Roteiro de Integração Numérica (Método de Euler) Análise de Experimentos Virtuais

Transcrição

1 Experients Virtuais (WEB) Rteir de Integraçã Nuérica (Métd de Euler) Análise de Experients Virtuais Quand ua partícula se ve sb influência de frças c resultante cnstante, sua aceleraçã tabé é cnstante, e pdes encntrar sua velcidade e psiçã a cada instante a partir de fórulas be cnhecidas. Cnsidere, pré, ua partícula que se ve e u espaç nde a frça resultante e, prtant, sua aceleraçã, depende da psiçã e da velcidade. Nesse cas, a psiçã, a velcidade e a aceleraçã da partícula e u instante deterina a psiçã e a velcidade e u instante seguinte, que pr sua vez, deterina a aceleraçã neste instante. Prtant, tdas as três grandezas: psiçã, velcidade e aceleraçã d crp varia cntinuaente n tep. Ua das fras de reslver nuericaente prblea cnsiste e substituir a variaçã cntínua d tep pr ua seqüência de pequens intervals de duraçã. A aprxiaçã ais siples é a que supõe que a aceleraçã seja cnstante durante cada interval, que dá rige a étd de Euler. Se interval de tep fr suficienteente pequen, a variaçã da aceleraçã durante interval será pequena e pderá ser descnsiderada. Seja x, v x e a respectivaente a psiçã, velcidade e aceleraçã na direçã x da partícula x n instante inicial t. Quand ignras a variaçã da velcidade durante interval de tep, a nva psiçã é dada pr: De aneira siilar, se a aceleraçã durante será dada pr x x vx t () t fr cnstante, a velcidade n tep v vx ax t () Pdes usar s valres de x e v para calcular a nva aceleraçã vient e depis calcular x e v x usand x, v x e a x : x x v x t (3) v v a x t (4) t t t t a x usand a equaçã de Página

2 Experients Virtuais (WEB) As relações entre a psiçã e a velcidade ns teps t n e que sã generalizações das fórulas () e (). xn xn vnx t (5) vn vnx anx t (6) tn tn t sã dadas pr Para encntrar a velcidade e a psiçã e algu tep t, dividis, prtant, interval de tep t t e u grande núer de intervals enres t e aplicas repetidaente as equações (5) e (6), ceçand n tep inicial t. Iss envlve u grande núer de cálculs repetitivs que sã realizads ais facilente e u cputadr. A técnica de dividir interval de tep e pequens trechs e calcular a aceleraçã, velcidade e psiçã a cada nv pass usand s valres d pass anterir é chaada de integraçã nuérica. A fi de ilustrar essa técnica, vas cnsiderar u prblea n qual u paraquedista e repus se larga de ua certa altura, quand ele passa a ser influenciad tant pela gravidade quant pela frça de arrast, que é prprcinal a quadrad da rapidez. Encntrares a velcidade nuérica. v y e a distância percrrida y c funções d tep pr ei da integraçã A equaçã que descreve vient de u bjet de assa largad d repus, quand se ignra epux, é g bv a y (7) e que se adtu u referencial Oy rientad n sentid da frça da gravidade. A aceleraçã é, prtant, a y b g v (8) É cnveniente escrever a cnstante equaçã (8), btes b e ters da rapidez terinal v T. Clcand a y 0 na Página

3 velcidade (/s) Experients Virtuais (WEB) b (9) 0 g vt b g (0) v T Substituind (0) e (8), fica v a y g () vt Para reslver nuericaente a equaçã (), precisas usar valres nuérics para g e para v T. E Física para cientistas e engenheirs, Paul Tipler [] é sugerid que ua rapidez terinal razável para u paraquedista seja de 60 /s. Esclhend-se y 0 para a psiçã inicial, v 0 para a velcidade inicial e a y g 9, 8 /s² para a aceleraçã da gravidade, encntra-se a velcidade v y e a psiçã y e algu tep psterir, digas para u instante de tep t 0 s, divide-se interval de tep 0 t 0 s e uits intervals pequens t e aplicas as equações (5), (6) e (). Faz-se iss usand ua planilha eletrônica de cálcul, c strad n apêndice, e que esclhes t 0, 5 s e btives s gráfics das figuras e e. Para t 0 s s resultads v 59, 9 /s e y 939, 9. velcidade y tep (s) velcidade y Página 3

4 psiçã y () Experients Virtuais (WEB) Figura : Velcidade adquirida pel paraquedista e funçã d tep, calculad cnfre del discutid n text. psiçã y psiçã y tep (s) Figura : Psiçã vertical d pára-quedista e funçã d tep, calculad cnfre del discutid n text. Pdes esperar que seja elhr adtar intervals de tep uit pequens, digas t 0, s. Mas existe pel ens duas razões para nã se adtar intervals de tep extreaente pequens. Prieir, quant enr interval de tep, air será núer de cálculs necessáris e ais tep prgraa levará para rdar. Segund, cputadr guarda apenas u núer fix de algariss e cada pass d cálcul, de fra que e cada pass existe u err de arredndaent, que vai se acuuland cnfre tep auenta. Quant air núer de cálculs, ais iprtante fica err de arredndaent. Segund Física para cientistas e engenheirs, Paul Tipler [], ua ba regra é nã usar ais d que cerca de 5 0 intervals de tep para cada integraçã nuérica típica. Observaçã : Este étd te finalidade didática e dá ua ba aprxiaçã e cass siples, c d vient de ua eda nu plan inclinad, as nralente se usa étd de Runge-Kutta [], que é acessível a estudante que entendeu étd de Euler. Observaçã : A equaçã (7) nã leva e cnta ar carregad pel paraquedas, que depende da situaçã analisada e pde nã ser ua ba aprxiaçã. Para a sluçã cpleta, veja referência [3]. Página 4

5 Experients Virtuais (WEB) Apêndice Planilha de cálcul para prblea d pára-quedista: Δt= x 0 = v 0 = 0,5 s 0 0 /s 5 0,3745 4,505 5,7386 5,5, , , ,98 46,357 4,088 a 0 = 9,8 /s 6,5 67, ,300 3, V T = 60 /s 7 9, , , ,5 6,984 5,39403,633 T y V a (s) () (/s) (/s ) ,8 0,5 0 4,905 9,744439,455 9,777 9,549506,5 7,34 4,5597 9,3954 4,67 9,6845 8,808755,5 4,03 3,5783 8, , ,707 7, ,5 49, ,5787 7, , ,50 6, ,5 83, ,3490 5, ,68 5,7009,489 8,5 69,033 53,8, ,949 54,77934, ,5 33,335 55,59578, ,94 56,8944, ,5 379,74 56, , ,78 57, ,83975,5 436,400 57, , ,974 58,4846 0,5963,5 494,376 58,4465 0, , ,697 0,4384 3,5 55, ,9079 0, Página 5

6 Experients Virtuais (WEB) 4 58, , , ,5 6, ,3333 0, , , ,0885 5,5 67,354 59,463 0, , ,5498 0, ,5 730,745 59,635 0,84 7,5 790, ,7360 0, ,634 59, ,0709 8,5 850,59 59,853 0, , ,8453 0, ,5 909,983 59, , ,984 59,897 0, ,553 59, ,0873 Exercíci Vcê está praticand balnis e atira diretaente para baix ua bla de tênis c ua rapidez inicial v 0. A bla cai c ua rapidez terinal de 50 k/h. Supnha que arraste d ar seja prprcinal a quadrad da rapidez da bla. Use étd de Euler para respnder as questões abaix. a) Quand v 0 = 35 k/h, estie a rapidez da bla depis de 0,0 s. b) Quand v 0 = 0 k/h, deterine tep que a bla leva para atingir 99% de sua rapidez terinal, be c a distância percrrida entre lançaent e este instante. Bibligrafia [] Tipler, Paul A., Msca, Gene. Física para Cientistas e Engenheirs, vlue, 6ª ediçã, LTC. [] The Feynan Lectures n Physics. [3] The parachute paradx. (David Auerbach). A. J. Phys. 6 () 04, Nveber 994.