Física 1 Exercícios - TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA Gabarito - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

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1 Física Eercícis - TRBLHO E ENERGI CINÉTIC Gabarit - Prf Dr Cláudi S Sartri Da editra Pearsn wwwawc/ung_br Capítul 6 ª Ediçã Sears &Zeansk 6-: (a Puand lentaente pde ser entendid que balde sbe a velcidade cnstante, entã a tensã na crda pde ser cnsiderada c send pes d balde se puar u dad cprient da crda, da Eq (6-, W = Fs = gs = (67 kg(98 /s ( = 66 J (b Gravidade está direcinada n sentid pst d vient d balde, entã da Eq (6- resulta n resultad negativ da parte (a, u 6 J (c O trabalh resultante realiad sbre balde é nul 6-: (a frça de atrit a ser vencida é: f = k N = k g = (( kg(98 /s = 7 N, u 7 N, cnsiderand apenas dis algariss significativs (b Da Eq (6-, Fs = (7 N( = J O trabalh é psitiv, desde que trabalhadr está epurrand na esa direçã de vient da caia (c Desde que f e s estã e direçã psta, da Eq (6- tes: -fs = -(7 N( = - J (d bas as frças nra e da gravidade atua na direçã perpendicular a vient, entã nenhua das frças realia trabalh (e O trabalh resultante realiad é nul 6-6: Da equaçã (6- Fs cs = (8 N( cs = J 6-8: (a Da Eq (6-6, K = / s (6 kg ( k/ h J 6 k/ h (b Equaçã (6- apresenta a dependência eplicita da energia cinética sbre a velcidade Dbrand a velcidade de qualquer bjet auenta a sua energia cinética pr u fatr de quatr 6-: Dbrand a velcidade auenta a energia cinética, e pr cnseqüência quadruplica ódul d trabalh feit pr atrit C a frça de parada, definida c send independente da velcidade, a distância tabé deve auentar pr u fatr quatr 6-: C eepl eplica, s barcs pssue a esa energia cinética K na linha de chegada, entã (/ v (/ v, u c B, v v B (a Reslvend para a raã das velcidades, btes: v /v B = (b Os barcs parte d repus, entã tep transcrrid é a distância dividida pela sua velcidade edia C a raã entre as velcidades edia é a esa que a raã das velcidades final, entã a raã entre s teps transcrrid é t B /t = v /v B = 6-: Da Equaçã (6-, (6- e (6-6, e reslvend para F, tes: B B v v (8kg((6 / s ( / s K F N s s ( 6-6: (a Se nã eiste trabalh realiad pel atrit, a energia cinética final é trabalh realiad pela frça aplicada, Reslvend para a velcidade, tes: W Fs (6 N( v 8 / s (kg (b O trabalh resultante é Fs f k s (F - k gs, entã ( F g s k v (6 N ((kg(98 / s ( = 6 /s (kg (Nte que es que se pense que ceficiente de atrit seja cnhecid para apenas dis lugares, a diferença das frças é ainda cnhecida para três lugares 6-8: (a Gravidade atua na esa direçã que vient da elancia, entã da Eq (6- tes: W = Fs = gs = (8 kg(98 /s ( = 76 J (b C elã é liberad d repus, sua K =, e da Eq (6-6 tes:k = K = W = 76 J 6-: frça nral nã realia trabalh D Terea trabalh energia, junt c a Eq (6-, tes v K W gh glsin, nde h = L sen é a distância vertical que blc caiu, e é ângul que plan fa c a hrintal Usand s núers dads, tes: v (98/ s (7 sin 69 97/ s 6-: O calcul interediári da cnstante da la pde ser evitad utiliand-se a Eq (6-9 para verificar que trabalh é prprcinal a quadrad da etensã O trabalh necessári para cpriir de c ua la é ( J : c J c 6-: O trabalh pde ser encntrad através da área sb gráfic Cuidad c sinal da frça área sb cada triângul é ½ base altura (a ½ (8 ( N = J (b ½ ( ( N = + J (c½ ( ( N = 6 J 6-6: (a frça édia é (8 J/( = N, e a frça necessária para segurar a platafra n lugar é duas esse valr, ist é 8 N (b Da Eq (6-9, dbrand-se a distância, quadruplica-se trabalh realiad, entã u trabalh etra de J deve ser realiad frça áia é quadruplicada, 6 N bas as partes pde é clara ser feita, reslvend-se para a cnstante da Mla, ie: k= (8 J ( = N/, que cndu as ess resultads 6-8: (a la está realiand pressã sbre blc e na sua direçã d seu vient, entã trabalh é psitiv e igual a trabalh realiad na cpressã da

2 Física Eercícis - TRBLHO E ENERGI CINÉTIC Gabarit - Prf Dr Cláudi S Sartri la Da Eq (6-9 u Eq (6-, tes: W k (N / ( 6 J (b D Terea d trabalh energia, tes: W (6 J v 8 / s (kg 6-: (a K = J, entã v = K / ( J/( kg / s (b Nenhu trabalh é realiad entre = e =, entã a velcidade é a esa: /s (ck = J, entã v kg 7/ K / ( J / s 6-: (a Da Eq (6-, c dl = Rd, W P F cs dl wr cs d wr /sen P E u trataent geétric quivalente, quand F é hrintal, F d l F d, e trabalh ttal é F = w vees a distância hrintal, neste cas (veja Fig 6-8(a R sin, dand es resultad (b raã das frças é w ct wtan (c wr sen sen ct wr( cs ( cs 6-: s energias cinética inicial e final d tijl sã abas nulas, entã trabalh resultante realiada sbre tijl pela la e gravidade é nul Entã (/kd gh =, u d = gh / k (8 kg(98 / s (6 / ( N / gh / k Enquant a la e tijl estã e cntat, a la frnece ua frça para cia Quand esta frça vai para er, a la está e seu estad descpriid 9 6-6: (a ( J / r W 7 (6 s / r (b W kw / pessa 8 6 flks W ( W / (c 8 8 8k 6-8: (a O nuer pr inut seria a ptencia edia dividida pel trabalh(gh necessári para levantar a caia, (hp(76w / hp / s (kg 98/ s (9 u 86 / in (b nalgaente, (W 78/ (kg(98 / s (9 u 7 / in s 6-: De qualquer ua das seguintes Equações (6-, (6-, 6, (6-8 u (6-9, Wh ( 8N(8 P 66 W 7hp t (s 6-: qui a aplicaçã da Eq (6-9 é a fra ais direta gravidade está realiand u trabalh negativ, entã a crda deve realiar u trabalh psitiv para levantar esquiadr frça da gravidade F, e F = Ng, nde N é núer de esquiadres na crda ptencia é entã: P = (Ng(v cs = ((7 kg (98 /s ( k/h / s = 96 W cs(9 6k / h Nte que a Eq (-8 utilia c send ângul entre a frça e vetr velcidade Nesse cas a frça é vertical, as ângul é edid da hrintal, prtant é utiliad valr = 9 dv dk d 6-: v = v dt dt dt = va = a v = Fv = P 6-6: (a P 8 W F 68 N v (6 k / h(( / s /(6 k / h (b velcidade é diinuída pela etade, e a frça resistiva é diinuída pr u fatr de (6 + /, e prtant a ptência nessa velcidade ais baia é: (8 kw((6 + / = kw = 8 hp (b nalgaente, e velcidades ais alta: (8 kw((6 + = kw = 8 hp 6-8: assa altera dul de atrit d rlaent, as atrit d ar peranece inalterad udança percentual na ptencia é : (a 8 N (6 9% e N (b 8N (6 % N 6-: O trabalh pr unidade de assa é (W/ = gh (a O he fa trabalh, (98 N/kg( = 9 J/kg (b (9 J/kg/(7 J/kg = 6% (c criança fa trabalh, (98 N/kg( = 96 J/kg (96 J/kg/(7 J/kg = 8% (d Se abs, he e a criança pde faer trabalh a ua taa de 7 J/kg, e se a criança apenas precisa utiliar 96 J/kg a invés de 9 J/kg, a criança seria capa realiar uit ais 6-: (a W / s g (7 J 7 kg g g (98 / s (8 (b W 8 J N N 8N s 8 O pes é Wg entã a aceleraçã é a frça g 8N, s resultante dividida pela assa,

3 Física Eercícis - TRBLHO E ENERGI CINÉTIC Gabarit - Prf Dr Cláudi S Sartri 8N 8N / s 7 kg 6-: (a W f = - f k s = - k g cs s = -(( kg(98 /s cs ( = - J (antend u algariss significativ a ais (b ( kg(98 /s sen ( = J (c frça nral nã realia trabalh (d J - J = -7 J (e K = K + W = (/( kg( /s 7 J = J, v ( J /( gkg / s 6-6: (a Da Eq (6-7, d W F d k k k frça é atrativa, entã F <, e k deve ser psitiv Se > e W <,, (b Cnsiderand lentaente se a velcidade cnstante, a frça resultante sbre bjet é nula, entã a frça aplicada pelas ãs é psta a F, e trabalh realiad é negativ daquele encntrad na parte (a, u k, qual é psitiv se > (c s repstas pssue es ódul as c sinal trcad Ist era esperad já que trabalh resultante realiad é nul 6-8: Da Eq (6-7, c =, k b c W Fd ( k b c d = ( N / (N / (N / (a Quand =, W = J, u J (para dis algariss significativs (b Quand = -, W = 7 J, u 7 J (para dis algariss significativs (c É ais fácil esticar a la O ter quadrátic b está sepre na direçã, e prtant a frça necessária e pr cnseqüência trabalh necessári, será enr quand > 6-6: (a Ist é análg a Prblea 6-6, as aqui a > (a frça é repulsiva, e <, entã trabalh realiad é nvaente negativ W a 6 9 W ( N (( ( = -6-7 J Nte que é uit grande quand cparad a que ter reslvend para v, é despreível Entã, utiliand a Eq (6- e W v v 7 ( 6 J v ( / s / s 7 (67 kg (bc K =, W = -K Utiliand W a a K v 6 ( N 8 7 ` (67 kg( / s (c frça repulsiva nã realiu nenhu trabalh resultante, entã a energia cinética e pr cnsequência a velcidade d prótn pssue seus valres riginais, e a velcidade é /s 6-6: Na Eq (6-, dl = d and = é cnstante, e P prtant W F cs dl F cs d P = ( N/ cs d 9 velcidade final d bjet é: v W v J (9 J v s s kg ( / 67 / b b ( ( n 6-6: (a W d n, a b ( n n n n Nte que para esta parte, para n as (b Quand < n <, a integral iprópria deve ser utiliada, b n n W li (, ( n n e devid a epente sbre ser psitiv, liite nã eiste e a integral diverge Ist é interpretad c a frça F realiand ua quantidade infinita de trabalh, apesar d fat de que F as 6-66: (aigualand trabalh realiad pela la c ganh e energia cinética, tes: entã: k v, k (N / v (6 69 / s (kg (b W tt deve agra incluir atrit, entã nde f é ódul da frça de v W k f, tt atrit Entã k f v N / (6 N 6 (6 9 / s kg ( kg (c air velcidade crre quand a aceleraçã (e a frça resultante sã nulas, u k = f, f 6N Para se k N / encntrar a velcidade, a frça resultante é: W tt k( f (, entã a velcidade,

4 Física Eercícis - TRBLHO E ENERGI CINÉTIC Gabarit - Prf Dr Cláudi S Sartri áia é : k f v ( a N / (6N ((6 ( 6 (kg (kg = /s, a qual é air que resultad da parte (b, as enr que resultad da parte (a 6-68: O trabalh realiad pela gravidade é W g = -gl sen (negativ pis gat está se vend para cia, e trabalh realiad pela frça aplicada é FL, nde F é ódul da frça aplicada O trabalh ttal é: W (N (7kg(98 / s ( sin J tt energia cinética inicial d gat é: v (7kg(/ s J, and ( K W ( J J v 68 / s (7kg 6-7: Os estudantes realia u trabalh psitiv, e a frça que eles eerce fa u ângul de c a direçã d vient frça da gravidade realia u trabalh negativ, e u ângul de 6 c relaçã a vient da cadeira, entã trabalh ttal realiad é W tt = ((6 N cs (8 kg(98 /s cs 6 ( = 78, e prtant a velcidade n tp da rapa é : W (78 J tt v v (/ s 7/ s (8 kg Nte que algariss significativs etras fra cnservads durante s cálculs interediáris e de fra a se evitar errs de arredndaent 6-7: O trabalh ttal realiad é a sa d trabalh realiad pela gravidade (sbre blc pendurad e trabalh realiad pel atrit (sbre blc na esa O trabalh realiad pela frça da gravidade é (6 kg gh e trabalh realiad pela frça de atrit é - k (8 kg gh, entã W tt (6kg (8kg(98 / s ( 88 J Este trabalh auenta a energia cinética sbre abs s blcs; entã W tt v, (88 J v 9 / s (kg 6-7: seta adquirirá a energia que fi usada a se encurvar arc (ist é, trabalh feit pel arqueir, que será a área sb a curva que representa a frça e funçã da distância Ua aneira pssível de se estiar este trabalh, é apriar a curva F vs c ua parábla, a qual vai para er e = e =, e te u ái de F e =, tal que F F( Ist pde parecer c ua apriaçã, as c ist tes a vantage de ser ais fácil para se integrar: F F F d ( d F C F = N e 7, W = J velcidade da seta é: W ( J Outras fras 89 / s (kg de se achar a área sb a curva na Fig (6-7 deverá cnduir a resultads siilar 6-76: P = Fv = av= (a + 6t(at + t = (a t + 8at + 8 t = (96 N/st + ( N/s t + ( N/s t Para t = s, a ptência de saída é W 6-78: (ao beija flr gera energia a ua taa de 7 J/s a 7 J/s Para batidas/s, passarinh deve gastar entre 7 J/batida a 7 J/batida (b saída cntínua d atleta é W/7 kg = 7 W/kg, qual esta abai ds W/kg necessári para peranecer para peranecer n ar Ebra atleta pssa gastar W/7 kg = W/kg pr curts períds de tep, nenhua aernave energisada pr u ser huan pderia peranecer n ar pr uit tep Files antigs sbre áquinas energisadas pr seres huans, tenta denstrar que cnstatas acia 6-8: (a ptência P está relacinada c a velcidade pr:pt = K = v, entã Pt v, (b dv d Pt P d P P a t dt dt dt t t (c P P 8 P v dt t dt t t 9 6-8: (a O núer de carrs é btid dividindse a ptência ttal dispnível pela ptência necessária para cada carr, 6 W 77, (8 N(7 / s que fi arredndad pr bai, resultand e núer inteir (b Para acelerar ua assa ttal M a ua aceleraçã a e velcidade v, a ptência etra necessária é Mav Para subir ua ntanha cuj inclinaçã é u ângul a, será necessári ua ptência etra de Mg sen av Ist será apriadaente es que se a g sen a; se g sen a g tan a /s, a ptência é apriadaente a esa que aquela necessária para acelerar a /s (c ( 6 kg(98 /s ((7 /s = 9 MW (d ptência necessária pr carr é aquela utiliada na parte (a, ais aquela encntrada na parte (c, nde M é a assa de u únic carr O núer ttal de carrs é entã: 6 6 W 9 W 6, (8 N (8 kg(98 / s ((7/ s que fi arredndad para núer inteir ais prói 6-8: (a lng deste cainh, é cnstante e deslcaent é paralel a frça, entã: W = a d = ( N/ (

5 Física Eercícis - TRBLHO E ENERGI CINÉTIC Gabarit - Prf Dr Cláudi S Sartri ( J (b Desde que a frça nã pssui cpnente na direçã, nenhu trabalh é realiad vend-se nesta direçã (c lng deste cainh, a variaçã de c a psiçã a lng deste é dada pr, entã F = a( = a, e ( W F da d(n / J 6-86: Utilie Terea Trabalh Energia W = KE, e integre para encntrar trabalh KE v andw ( gsen gcsa d Entã, W g (sen a csa d, W g sen cs a a Faça W = KE, entã: v g sen cs a Para eliinar, bserve que a caia atinge repus quand a frça de atrit estátic equilibra a cpnente d pes (que está direcinada para bai Entã, g sin a = g cs a; reslvend ist para e substituind na equaçã anterir, tes: sen a csa Prtant, sen a sen a cs sen a v g a csa, csa após siplificaçã ds ters, encntras, g sen a v csa caia peranecerá estacinada sepre que g sen a v csa 6-88: E abs s cass, ua dada quantidade de cbustível representa ua certa quantidade de trabalh W que tr realia vientand aerplan cntra a frça de resistência E ters d air alcance R pssível e da velcidade cnstante v (presuida, tes: W RF R av v E ters t tep T de vô, R = vt, entã W vtf T av v (a invés de reslver para R e funçã de v, derivas c relaçã a v a prieira dessas relações, e dr df faend-se dw para se bter F R dv dv dv Para alcance ái, dr, entã df dv dv Realiand a diferenciaçã, tes df av / v, qual é reslvid, dv resultand e: / N / s v 9 / s 8k / h N s // (b Da esa fra, tep ái é ncntrad faend-se d ( Fv ; realiand essa derivada, dv encntras: av - /v =, dnde encntras: v a / / N / s (N s / 6-9 (a De F a F a, F (, / / s 9k / h, a and F Generaliand, a Eq (6- é: dv a dv v, a v, d dv a v, d d O trabalh ttal é prtant: (,, W F d F d F d tt v v dv v v d v v v v v v v dv v v dv v d d v dv v v v v dv a dv v d d

6 Física Eercícis - TRBLHO E ENERGI CINÉTIC Gabarit - Prf Dr Cláudi S Sartri Eercíci Gabarit 6 (a 6J (b -9J (c 7J 6 J 6 (a 99J (b 87J (c -87J (d ; (e J 69 (a J (b k/h 6 7J 6 (a 6 K (b nã 6 68 c 67 (a 8J (b /s (c nã 69 (a 96 s(b 6 (a a s ; v 96 s v C g (b 6 priadaente US$ 8 6 (a 8 s(b /s 67 (a 76(b 67 /s 69 (a J (b (c - J (d J (e - J 6 (a 8 s(b s 6 (a 6c (b nã;7 J 6 7 W N 6 9 (b (c 8 W 6 L (b (c k/h 67 (a 8N (b kw (c 9kW (d % 69 (a J (b - J (c (d J (e 7J (f s 6 (a sen (b Went Wsaída 6 (a 9 J (b 8J Eercíci Gabarit (a N (b N (c - J 69 (a N (b 9 N (c J 66 (a 6 /s N (b 8 N (c 97 J 66 (a -9 J (b 7 J 66 N 667 a partir d pnt nde a la é liberada 669 (a N,86 67 (a 6 (b /s (a J (b J (c 9 kw h 679 s 68 (a 6 J (b 6W 68 (a MW (b 6MW (c 6MW 68 (a W (b W (c W 687 (a 689 (a 6 M v (b 6 s (c 9 /s (d K J (e K 6 J bla J (b Mla 8 J (c 8 J (d k h 6 Capítul 7 ª Ediçã Sears &Zeansk

7 Física Eercícis - TRBLHO E ENERGI CINÉTIC Gabarit - Prf Dr Cláudi S Sartri 7-: (a Para velcidade cnstante a frça resultante é nula, entã a frça necessária é pes d sac, ( kg(98 /s = 9 N (b frça de elevaçã atua na esa direçã d vient d sac, entã trabalh é igual prdut d pes pela distância, (9 N( = 7 J; este trabalh se transfra e energia ptencial Nte que resultad é independente da velcidade e que algariss significativs etras fra cnsiderads na parte (b a fi de se evitar errs de arredndaent 7-: (a crda fa u ângul de arcsen 6 c a vertical frça hrintal necessária é entã w tan = ( kg(98 /s tan = 679 N, u 68 N para dis algariss significativs (b vientar sac a crda nã realia trabalh, entã trabalhadr realia ua quantidade de trabalh igual a variaçã da energia ptencial, ist é ( kg(98 /s(6 ( cs = 9 J Nte que ist nã é prdut d resultad da parte (a pel deslcaent hrintal frça necessária para anter sac e equilíbri uda quand ângul variar 7-6: (a Seja tp da rapa c pnt Na Eq (7-7, K =, W utr = -( N ( = -87 J, e faendse U = e U g = ( kg(98 /s ( sen = 7 J, v = (7 J 87 J 6 / s, para dis algariss kg significativs Ou trabalh realiad pela frça de atrit e a variaçã na energia ptencial sã prprcinal a distância que a cesta se vienta para cia na rapa, e prtant a velcidade inicial é prprcinal a rai quadrada da distância subida na rapa, ist é ( /s 6 / s 6 Na parte (a, nós calculas W utr e U Utiliand Eq (7-7,K - (kg( / s 87 J 7J 9 J K (9 J v 9 / s ( Kg 7-8: velcidade é v e a energia cinética é K O trabalh realiad pela frça de atrit é prprcinal a frça nral e prtant a assa, entã cada ter na Eq (7-7 é prprcinal a assa ttal da caia e, a velcidade na parte ais baia é a esa para qualquer assa energia cinética é prprcinal a assa e para a esa velcidade as vees a assas, a energia cinética fica quadruplicada 7-: Taran está lcaliad n pnt ais bai de sua altura riginal de ua distância igual a l(cs cs, e prtant a sua velcidade é: v gl(cs cs 79 / s, u puc rápid para ua cnversa 7-: (a N tp d balanç, quand a energia cinética é nula, a energia ptencial (c respeit a parte ais baia d arc é gl ( cs, nde l é cprient da crda e é ângul que a crda fa c a vertical Na base d vient, esta energia ptencial se transfru e energia cinética, entã gl ( cs = v, r v gl( cs v s s (98 / (8 ( cs / (b relativ a vertical, a velcidade é nula e, nã eiste aceleraçã radial tensã é igual a cpnente radial d pes, u seja g cs = ( kg(98 /s cs = 8 N (cna base d circul, a tensã é a sa d pes e da aceleraçã radial, u seja: gv / l g( ( cs 86N, 9 N cnsiderand dis algariss significativs Observe que este étd nã utilia calcul interediári de v 7-: U = k, nde é a distância vertical e que a la é estirada quand pes w = g é pendurad = g F, e k, nde e F sã as quantidades que k calibra a la Cbinand essas equações, tes: ( g ((6 kg(98 / s U 6 J F / (7 N / 7-6: (a Partind d repus n estilingue, para tabé atingir repus a ua altura áia, a energia ptencial araenada na tira de brracha d estilingue é cnvertida para energia ptencial gravitacinal, ist é: U = g = ( - kg(98 /s ( = 6 J (b C a energia ptencial gravitacinal é prprcinal a assa, a air altura que a pequena pedra atinge é apenas 88 (c falta da resistência d ar e a nã defraçã da tira de brracha sã duas supsições pssíveis 7-8: C n eepl 7-8, K =, e U = J Para v = /s, K = J, entã ( J U J k, s 9 N / Na ausência de frças de atrit, planadr atravessará pela psiçã d equilíbri e passará através = -,9, n lad pst da psiçã d equilíbri, c a esa velcidade 7-: (ao trabalh feit pela frça de atrit é: W g k (( kg(98 / s ( 96 J, ther entã (7 J K 7 J and v 7 / s kg (b Neste cas, W ther 98J, entã: ( J (c K J 98 J J v 9 / s kg Neste cas, K, U U W ther u U Wther J k kg 98 / s k 7-: De k v, as relações entre, v, k e sã: 7

8 Física Eercícis - TRBLHO E ENERGI CINÉTIC Gabarit - Prf Dr Cláudi S Sartri k v, kg Dividind prieir ter pel segund, tes:, e substituind este n segund, resulta: g g k, entã (a & (b, v ( / s 8, (98 / s (6 kg k ( / s 98 / s 6 N / 7-: (a & (b-( kg(98 /s ( = - J (c frça da gravidade é cnservativa desde que trabalh realiad para se ir de u pnt a utr fr independente da trajetória 7-6: (a De (, para (, L, = entã F, e trabalh é nul De (, L para (L, L, F e d l sã perpendiculares, entã F d l = e trabalh resultante a lng d cainh é nul (b De (, para (L,, F d l De (L, para (L, L, trabalh é aquele encntrad n eepl, ist é W = CL, entã trabalh ttal a lng d cainh é CL (c lng da trajetória diagnal, =, e prtant CL F d l C d; integrand de para L resulta e (nã é ua cincidência que ist é a édia das repstas btidas e (a e (b (d O trabalh depende da trajetória e cap nã é cnservativ 7-8: frça de atrit te ódul igual a k g = (( kg(98 /s = 88 N (a Para cada parte d vient, a frça de atrit realia (88 N(6 = -6 J, prtant trabalh ttal realiad pela frça de atrit é kn (b (88 N( = -88 N (c O trabalh resultante realiad pela frça de atrit depende da trajetória, prtant a frça de atrit nã é cnservativa 7-: (a k( (b k( O trabalh ttal realiad é nul e a frça da la é cnservativa (c De para, W = k( De para, W = k( é k( O trabalh resultante Este é es resultad btid na parte (a 7-: Da Eq (7- du F (8 J /, e prtant d 8 6 N F ( 8 (8 J / U ˆ U F i ˆj U U, entã ˆ ˆ F i j 7-: Da Eq (7-9,, U nã pssui dependência e, desde que 7-6: (a Cnsiderand as únicas frças na direçã du d, ist é, entã a frça é nula ns pnts b e d F quand a inclinaçã n gráfic de U vs fr er (b O pnt b está a u ptencial íni e para ve-l para u lcal distante deste pnt seria necessári frnecer energia, prtant este pnt é estável (c Mvend para u lcal distante d pnt d requer ua diinuiçã da energia ptencial, e pr cnseguinte u auent na energia cinética, e a bla de gude tende a se vientar ainda para ais lnge e prtant d é u pnt instável 7-8: (a Igualand a energia ptencial araenada na la c a energia cinética d blc, tes: k = gl sen u v k N / ( / s kg (b utiliand-se diretaente ds étds de energia, a energia ptencial inicial da la é a energia final ptencial gravitacinal, ist é: glsen, k u k ( N / ( L g sen ( kg(98 / s sen 7 : (a U U g( h R v B 8 7- Das cnsiderações anterires, a velcidade n tp deve e 8

9 Física Eercícis - TRBLHO E ENERGI CINÉTIC Gabarit - Prf Dr Cláudi S Sartri pel enr ser igual a: gr Prtant, g( h R gr, u h R (b U U Rg K, prtant v C ( gr C ( C ((98 / s ( / s C aceleraçã radial é a 9 / s direçã tangencial é para bai e a frça nra n pnt C é hrintal, nã eiste frça de atrit, entã a única frça para bai é a frça da gravidade, e prtant, a tan = g = 98 /s 7-: Para estar n equilíbri n fund e c a la cpriida a ua distância, a frça da la deve equilibrar a cpnente d pes apntand para bai na rapa ais grande valr da frça de atrit estática, u seja: k > w sin + f O terea d trabalh energia requer que a energia araenada na la seja igual à sa d trabalh realiad pela frça de atrit, trabalh realiad pela frça da gravidade e pela energia cinética inicial, u seja: rad v R k ( sin w f L v, nde L é cprient ttal descid na rapa, e v é a velcidade n tp da rapa C s parâetrs dads, tes: k 8J e k N Elevand a quadrad a segunda epressã, dividind pela prieira e reslvend para k, btes: k = N/ 7-: (a energia araenada pde ser encntrada diretaente de: k K W g ther 6,, ( 8,8 6 k J J J J Dente a distância para cia, a partir de, c send h energia cinética n pnt e a ua altura h é nula, entã a energia encntrada na parte (a é igual a negativ d trabalh realiad pela frça de atrit e frça de gravidade, ist é: -(g + fh = -(( kg(98 /s + 7, Nh = (6,6 Nh, entã 6 J h 7 66 J O trabalh ttal realiad sbre elevadr entre pnt ais alt e seu retrn e seguida até encntrar a la é: (g f(h = 7 J Observe que n cainh de retrn, a frça de atrit realia u trabalh negativ velcidade d elevadr é entã: (7 J 6 / s kg (b Quand elevadr atinge repus, trabalh ttal realiad pela la, frça de atrit e frça de gravidade deve ser negativ da energia cinética K encntrada na parte (c, apresentada a seguir, K 7 J ( g f k K (,6 N (7 N / (Neste calcul, valr de k fi recalculad para se bter ua elhr precisã Esta é ua funçã quadrática para, e a sluçã psitiva para é (7 N / 6 N (6 N (7 N / (7 J 76 que crrespnde a ua frça de N e a ua energia araenada de 9 J Observe que diferentes ds de arredndaent ds núers durante s cálculs interediáris pderá cnduir a u resultad diferente 7-6: Ua assa sb enquant a utra desce, entã a energia ptencial é : ( kg kg(98 /s ( = 76 J Esta é a sa das energias cinéticas ds aniais Se s aniais estã eqüidistante d centr, eles pssue a esa velcidade, entã a energia cinética da cbinaçã é: tt v, e (76 J v 8 / s (7 kg 7-8: (a variaçã na energia ttal é trabalh realiad pel ar, ( K U ( K U v v g (/ ((86 / s ( / s ( kg ( / s (98 / s (6 = -8 J (bnalgaente, (/ ((9 / s ( 87 / s ( K U ( K U ( kg (86 / s (98 / s (6 = - J (c bla está se vend de d ais lent n cainh para bai e, e nã vai tã lnge ( na direçã, e prtant trabalh realiad pel ar é enr e ódul 7-: (a energia cinética d esquiadr na base pde ser encntrada da energia ptencial desse esquiadr quand n tp, as subtraída d trabalh realiad pela frça de atrit, ist é: K = gh W F = (6 kg(98 N/kg(6, J, u K = 8,s J, J = 7,7 J K (7,7 J Entã v = /s 6 kg (b K = K (W F + W = 7,7 J ( k gd + f ar d, K = 7,7 J [((88 N (8 + (6 N(8 ], u K = 7,7 J,76 J = 97 J Entã: K (97 J v 8 / s 9 / s 6 kg (c Utilie Terea d trabalh energia para encntrar a frça W = KE, F = KE/d = (97 J/( = 98 N 9

10 Física Eercícis - TRBLHO E ENERGI CINÉTIC Gabarit - Prf Dr Cláudi S Sartri N 7-: Se a velcidade da rcha n tp fr v t, entã a cnservaçã de energia dá a velcidade v b, ist é: vv vt g(r, R v v gr é rai d circul Prtant tes: tensã n tp e na base sã encntradas de T b + g = v t T b g =, entã b e t R v b R ( vb vt g6g 6w R T b T t = 7-: Seja a distância que cainhã se vienta para cia K v, U glsen, K, U gsen Wther rg cs De Wther ( K U ( K U, reslvend para, btes: K gl sen ( v / g Lsen g(sen cs sen cs r 7-6: frça auenta tant energia ptencial gravitacinal d blc c a energia ptencial da la Se blc fr vientad lentaente, a energia cinética pde ser cnsiderada c send cnstante, entã trabalh realiad pela frça é n auent da energia ptencial, ist é: U gasen k a 7-8: (a Neste prblea a utiliaçã da álgebra evita s cálculs interediáris da cnstante da k da la Se a altura riginal é h e a cpressã áia da la fr d, entã g(h + d = kd velcidade necessária é quand a la fr cpriida de d e da cnservaçã de energia tes:, g( h d / k( d / v Substituind para k e ters de h + d, encntras: d g( hd gh v, que pde ser siplificad para: v g h d Inserind valres nuérics, resulta e v = 6 /s (b Se a la fr cpriida ua distância, entã k g g, r k Utiliand a epressã da parte (a que dá k e ters de h e d, encntras: d d (g g( h d h d 7-6: Seguind a dica, a cnstante de frça é encntrad de r w = g = kd, u g k d Quand peie cai d repus, sua energia ptencial gravitacinal diinui de Mg e, ist se transfra na energia ptencial da la, a qual é: g k Igualand essas, tes: d g g, r d d 7-6: (a Tant de cnsiderações de energia c da frça, a velcidade antes que blc atinja a la é: v gl (sen cs (98 / s k ( (sen ( cs 7 / s (b Ist de fat requer cnsiderações de energia O trabalh cbinad realiad pela frça de gravidade e pela frça de atrit é: g(l+d(sen - k cs, e a energia ptencial da la é: kd, nde d é a cpressã áia da la Esta é ua funçã quadrática e d, a qual pde ser escrita c: k d d L g(sen k cs O fatr que ultiplica d é -, e a utiliaçã de frula quadrática dá d = 6 (c cisa fácil a faer aqui é recnhecer que a presença da la deterina d, as n fi d vient a la nã te energia ptencial, e a distância abai d pnt de iníci é deterinada unicaente pr quanta energia fi perdida para atrit Se blc terinar acia d pnt de inici ua distância, entã blc se vientu ua distância L + d para bai, e ua distância L + d para cia O valr da frça da atrit é es e abas as direções, k g cs, e assi trabalh feit frça de atrit é - k (L = d g cs Ist deve ser igual à udança na energia ptencial gravitacinal, u seja g sen Igualand essas equações e reslvend para tes: k cs k ( Ld ( L d sen k cs tan k Utiliand-se s valr d encntrad na parte (b e s valres dads para k e, resulta e = 7-6: energia cinética K após ver-se para cia, na rapa, ua distância s, será a a energia araenada inicialente na la, ais trabalh (negativ realiad pela frça da gravidade e pela frça de atrit, u seja: K k g(sen k cs s Miniiar a velcidade é equivalente a iniiar K, e diferenciand a epressã acia c respeit a e dk d faend-se, tes: = -gs(cs - k sen, u tan =, arctan Epurrand a caia k k diretaente para cia ist é = 9, aiia deslcaent vertical h as nã s = h / sen 7-66: (a Si, a invés de se cnsiderar cainhs

11 Física Eercícis - TRBLHO E ENERGI CINÉTIC Gabarit - Prf Dr Cláudi S Sartri arbitráris, cnsidere que: C F ˆ j (b Nã Cnsidere es cainh c n Eepl 7- ( cap nã é es Para essa frça, F a lng d cainh, F d l a lng ds cainhs and, as F d l a lng d cainh 7-68: (a (b (: = a lng desse cainh, entã F = e W = (: lng desse, =, entã F d l ( N / d, e W = ( N/(( = 8 J ( F d l, entã W = ( =, entã F e W = O trabalh realiad a se ver a redr de u cainh fechad é 8 J (c O trabalh realiad a se ver a redr de u cainh fechad nã é er, e a frça nã é cnservativa 7-7: (a inclinaçã da curva U vs n pnt é negativa, entã F é psitiva ver a Eq 7-7 (b inclinaçã da curva n pnt B é psitiva, entã a frça é negativa (c energia cinética é u ái quand a energia ptencial fr u íni, que parece ser a redr de 7 (d curva n pnt C parece ser be prói a u plan, entã a frça é er (e O bjet tinha energia cinética er n pnt, e a fi alcançar u pnt c ais energia ptencial d que U(, a energia cinética necessitaria ser negativa energia cinética é nunca negativa, entã bjet nã pde nunca estar e qualquer pnt nde a energia ptencial é air d que U( Sbre gráfic ist se parece crrer apriadaente e (f O pnt de ptencial íni (encntrad na parte (c é u pnt estável, assi c tabé é íni relativ prói de 9 (g O únic ptencial ái, e pr cnseguinte únic pnt de equilíbri instável, é pnt C

12 Física Eercícis - TRBLHO E ENERGI CINÉTIC Gabarit - Prf Dr Cláudi S Sartri Eercíci Gabarit 7 6 J 7 7 (a s(b s (c part (b s 7 (a 88J (b 7J (c 7J (d J (e a 6 s v 7 s K J 7 (a 8J (b J 7 (a 6c (b c (a s(b 7 7 (a (a 6 s (b J (b (d cnservativa 69 s J (c 7 (a (b J (c J (d cnservativa U 77 (a 6J (b 6J (c 7J (d nã cnservativa 79 (a 9J (b J (c 9J (d nã cnservativa 7 6C 7 6 ; atrativa 7 ˆ 7 F k k i k k ˆj a 6b F r r r (a 7 a (b b (c 6, estável b a 8 d a 668 J b 6 J (a 9 N (b 8 J 79 7 /s Eercíci Gabarit 7 /s 7 (a 99 N/, 98 /s (b 7 /s² 77 (a 7 s(b 9 N 79 (a g h d g h (b d (a 7 (a J (b N (c J U( 6 (b 78 s 77 7 s 79 (a g a gh (b gh g a 76 9 J 76 (a 87 s (b 76 (a s (b 767 (a 6J cnservativa (b 67J (a nã (b F k, (c nã (c nã F k (d nã (e F k (b va F k F k (b v ( v (, v (d (e 9 (f cas:,, cas:

13 Física Eercícis - TRBLHO E ENERGI CINÉTIC Gabarit - Prf Dr Cláudi S Sartri