Correntes alternadas. circuito com corrente estacionária fi V = RI; P = RI 2 circuito puramente resistivo (resistores R) V L.

Transcrição

1 Eleents lineares Fi vist: rrentes alternadas circuit c crrente estacinária fi V RI; P RI circuit puraente resistiv (resistres R) quand a crrente nã é estacinária fi aparece fe induzida V L ε ind L di dt circuit puraente indutiv (indutres L ) Se $ I e u indutr L energia agnética quand $ capacitr fi acuula-se carga, e te-se Se $ q e u capacitr energia eletrstática circuit puraente capacitiv (capacitres ) U ag U V el 1 1 LI q q

2 Eleents lineares rrentes alternadas Obs. 1a) Bbinas tê resistência fi 1b) $ efeits indutivs de utrs eleents e u circuit indutância parasita (iprtante e altas freqüências) a) apacitr pde ter cndutividade (baixa) crrente de perda I perda V / R perda b) $ efeits capacitivs de utrs eleents capacitância parasita eleents lineares DV é prprcinal a q, dq/dt u d q/dt Desprezand-se esses efeits Obs. $ uits eleents nã lineares e circuits (dids, trids, transistres,etc.)

3 rrentes de baixa freqüência rrentes alternadas Escp d capítul fi estudar circuits de crrente alternada: I I senωt c T π / ω R- Depende d taanh d circuit. Q- O que é baixa freqüência? Send t r tep que cap eletragnétic gasta para percrrer circuit, te-se Baixa freqüência é quand Valres típics de l 1 Quand I nã é de baixa freqüência T >> 1) defasage a lng d circuit; ) eissã eletragnética. l c t r t r 0,3 x 10 8 s \ freqüência liite << 300 MHz l c diensões d circuit Velcidade da luz

4 ircuits R 1) a chave e a fi circuit alientad pr ε rrentes alternadas N circuit a lad, ε é ua fnte (u D) nsiderar que inicialente te-se q c 0 carrega-se Regra de Kirchff à alha nesta situaçã: A sluçã é q dq q R I + e u R + e d t q(t) { Eq. diferencial n prcess de carga d capacitr t e[1 - exp( - R q(0) 0 e q( ) ε e que R τ te diensã de tep e é chaad cnstante de tep capacitiva )] e c c b a [1 - exp(- t τ )] R ε

5 rrentes alternadas ircuits R ) nsiderand que, depis de capacitr estar carregad, clca-se a chave e b circuit livre descarrega-se Regra de Kirchff à alha nesta situaçã, te-se R dq dt + q 0 c c b a R ε { Eq. diferencial n prcess de descarga d capacitr A sluçã é q(t) e exp(- t τ ) q(0) ε e q( ) 0

6 rrentes alternadas ircuits R carga q(t) e exp(- [1- exp(- τ t )] q(t) descarga e τ t ) q(0) 0 e q( ) ε q(0) ε e q( ) 0

7 ircuits RL rrentes alternadas N circuit a lad, ε é ua fnte (u D) N instante t 0 a chave é fechada Regra de Kirchff à alha nesta situaçã: L di dt + RI ε { Eq. diferencial da crrente; ANÁLOGA a cas de carga d capacitr!! A sluçã é I ( t) e R [1 - exp( - t L/R I(0) 0 e I( ) ε/r L τ R L e que )] e R [1 - exp(- t τ L te diensã de tep e é chaad cnstante de tep indutiva )]

8 ircuits L livre Se $ apenas L e nã há dissipaçã \ P (R I ) 0 1 q U ( LI + ) 1 q di ( LI + ) LI dt Assi, d dt rrentes alternadas cnstante, + q dq dt 0 L q q& & + L 0 Fi vist { R tep; L/R tep; Define-se freqüência angular && e, assi, q + ω q 0 { L tep ; ω 1 L Eq. diferencial tip sciladr harônic & & x + kx 0 k x&& + x x&& + ω x 0 Sluçã: qt () q cs( ω t+ ϕ) áx

9 ircuits L livre qt () q cs( ω t+ ϕ) áx rrentes alternadas { q scila harnicaente, c freq. ω qáx e ϕ depende de cndições iniciais q(t0) q áx csϕ, e I(t0) ω O q áx senϕ Se I(0) 0, te-se ϕ 0 e q(0) q { áx q(t) q csω áx t I(t) ω q áx senω t U Q1- Mstrar (agra) que A energia deste sciladr será: 1 q U ( LI + ) 1 1 qax Lω sen ( ) cs qax ωt + ϕ + ( ωt + ϕ ) 1 qáx U Q- Qual a rige de U?

10 ircuits RL livre rrentes alternadas nsiderar que $ L, e R se fe externa A regra de Kirchff à alha dá V L + V + V R 0 γ di q L + RI + 0 q&& + γ& q + ω q 0 dt R / L ω 1/ { L Eq. dif. tip sciladr harônic artecid Sluçã: ceficiente de artecient γ t q Ae cs( ω' t+ ϕ) c ω γ ω freqüência natural L R k b

11 ircuits RL livre γ t q Ae cs( ω' t+ ϕ) Se scilaçã é sub-artecida, ω > γ/, te-se que ω é ua grandeza real. rrentes alternadas E cnsiderand-se fase inicial nula, ϕ 0, te-se γ t q qe csω t Ns pnts de pic de q(t) te-se I(t) 0 \ energia tda n capacitr U q pic / Fazend cs ω t 1 te-se e entã, e que q q pic γt γt U e Ue U q / γ ω ω qpic q exp( γ t/) é a energia incial Q- Qual valr q pic? Q- Qual a rige de U?

12 ircuits frçads: ipedância N Brasil, ω /π v 60 Hz rrentes alternadas nsiderar geradr de tensã senidal: ξ ξ áx senω t (geradr A u A) síbl: Se há u únic eleent linear e u circuit frçad: resistiv pur indutiv pur capacitiv pur

13 rrentes alternadas ircuits frçads: vltage e R V R RI RI ax senω t ε áx sen(ωt+φ) φ 0 Representaçã gráfica de tensã senidal fi diagraa de fasres Diz-se que tensã e crrente estã e fase

14 rrentes alternadas ircuits frçads: vltage e L di V L L dt Lω I ax cs(ωt) ε áx sen(ωt+φ) Lebrand-se que csθ sen(θ+π / ), te-se V L Lω I ax sen(ωt + π / ) u seja, φ π/ \ V L e I estã defasadas de π / (90 ), c I atrasada e relaçã a V L Pde-se reescrever: V L X L I ax sen(ωt + π/), usand X L ωl reatância indutiva (análg, as NÃO igual, à resistência)

15 rrentes alternadas ircuits frçads: vltage e q 1 V I dt Lebrand-se que csθ sen(θ π/), vê-se que φ π/, e \ V e I estã defasadas de π/ (90 ), c I adiantada e relaçã a V Pde-se reescrever: V X I ax sen(ωt π/), usand 1 X reatância capacitiva ω I csωt V ω ε áx sen(ωt+φ) V I sen( ωt π /) ω

16 ircuits frçads rrentes alternadas resistência R fi independe da freqüência reatância indutiva X L ( ωl) fi prprcinal à freqüência reatância capacitiva X ( 1/ω ) fi prprcinal a invers da freqüência V () R t It () V t () V t L () V R fi e fase c I V fi atrasada de π/ c I V L fi adiantada de π/ c I

17 rrentes alternadas ircuits frçads: Ptência frnecida A ptência e u eleent é P(t) ε(t) I(t). Entã, te-se P X I ax csωt x I ax senωt ; P L X L I ax cs ωt x I ax sen ωt; Assi, a ptência e e e L scila n tep pdend-se ter P(t) < 0 e P(t) > 0 A ptência efetiva édia (e u períd T) n capacitr e n indutr será T P ± cnst. csωt senωt dt 0 T 0 Q- Qual significad de P < 0? Q- Era de se esperar este resultad?

18 ircuit RL frçad Agra: eleents R, L e + geradr senidal de freqüência ω nsidere-se que I I sen ω t rrentes alternadas As fases relativas entre R, L e serã c já fi vist. Mas... Haverá ua diferença de fase φ entre a fe d geradr e a crrente I ε ε sen (ω t + φ ) A regra das alhas de Kirchff leva a R- Diagraa fasrial! V + V R + V L ε Q- reslver circuit?

19 ircuit RL frçad V R RI sen ωt ; Z rrentes alternadas A tensã externa é ε ε sen (ωt + φ) e as tensões e cada eleent sã V L X L I sen(ω t+π/); ε e taanh ds fasres é O ângul φ ( defasage entre a ε e I ) pde ser btid geetricaente: V R RI V L ωli V I / ω Usand V + V R + V L ε e aplicand Pitágras Diagraa fasrial! X ε ZI V X I sen(ω t π/) ε V R + (V L +V c ) 1 Eε I R + ω L Define-se a ipedância d circuit a partir de 1 R + X L X ) R + ωl ( ω 1 ωl tgφ ω R ω

20 rrentes alternadas Ptência cedida a circuit RL e ressnância A ptência e u eleent é P(t) ε (t) I(t) e, assi, te-se P(t) ε ax sen (ωt + φ) I ax senωt; Usand a definiçã de ipedância (ε ax Z I ax ) P(t) e áx Z sen (ωt + φ) senωt; Fazend-se a édia n tep: e áx <P(t)> < sen (ωt + φ) senωt > Z Lebrand-se que sen (α +β) senα csβ + csα senβ, te-se <sen (ωt +φ) senωt> <sen ωt. senωt > cs φ + <sen ωt. csωt > sen φ { 1/ P(t) e áx Z { 1 cs φ 0

21 rrentes alternadas Ptência cedida a circuit RL e ressnância Usand diagraa de fasres bté-se V+V+V ε R L V V RI R e R 1 R csφ P(t) e e Z \ 1 P (t) e que pde ser reescrita c P(t) 1 e que γ R / L e ω 1 / L R ) (ωl- 1 + R ω e L ( ω -ω Z γω γ ) + ω V L V+V L φ V I V R Vê-se que P é áxia quand ω ω situaçã de ressnância!

22 rrentes alternadas Ptência cedida a circuit RL e ressnância Nesta situaçã (ressnância) te-se P(t) 1 γω L ( ω -ω ) + γ ω γ 1 e e L P(t) e e rs e R R γ rs L Define-se fatr de qualidade d circuit RL Q ω γ Ptência efetiva e funçã da freqüência da fnte A