por Graciano Neves de

Transcrição

1 I 6 GAZETA DE MATEMÁTICA V definida pr (1) a (a x + b y) = b x + a y send a e b reais, pis E é real. Segue-se que <J 2 =/, send I a aplicaçã idêntica, de nde resulta que c á ua invluçã. Send M = ax hy' ü{ax-\-by)=ax-\-by\ = =!*(«+?); c < /c < + c j e Jí ux+by; a(ax+ by) =~(ax±by)\ = = fc(ar j); - C O < / Í < +c segue-se que é ua invluçã e trn de M paralelaente a N. Supnhas que V seja dtad de prdut escalar, qual, c n cas cplex, vas representar pr (j). Entã se # [ = HfflJ, te-se \\ax + by\p = (ax + by\ax + by) = = a 3 a: II «ô x,y + A a ]ff 2 -P «IP + 8a»(«ID + P #ip = = \\bx + ay\\*. Daí resulta, que se E fr u espaç vectrial real, quand a?j y [ a invluçã a ó ua isetria. O trabalh de F. A. FICKEV, te pr bjectiv prvar que dad u espaç vectrial real nrad E, se para cada par de vectres x,yee, tais que [ ar =- y, a invluçã ff definida pr (1) fr ua isetria, entã E é dtad de u prdut escalar, que induz a nra de E. O autr prva que se esta hipótese fr verdadeira, entã a nra de E satisfaz à cndiçã (N J), de nde resulta a veracidade da afirativa. C bservaçã final, estende seu terea para s espaçs vectriais cplexs, ainda se se libertar da cndiçã (NJ). Sbre prc/ufs infinits pr Gracian Neves de de funções Oliveira 1 N últi núer da agazeta de Mateática» publicás u artig e que estudás prduts infinits nuérics, prcurand reduzi-ls a séries pr aplicaçã de lgarits. Esta ideia te-se-ns revelad fecunda e pr iss aplicá-la a estud de prduts infinits de funçües, tend já cnseguid alguns resultads interessantes que passas a expr. 2 Cnsideres prdut (2. i) que supres cnvergente e td pnt ar du cnjunt X nde s w sã definids. Dires que prdut (2. 1) cnverge quase unifreente n pnt a (pnt de acuulaçã de X) se dad u <3 > 0 arbitrári é sepre pssível deterinar ua rde (3) tal que para n > (3) se verifique p,(«)~p( )i<:3 e certa vizinhança s de a, pdend e depender de n. Dand-se cas de e ser independente de Ji diz-se que a cnvergência é unifre. N que se segue supres sepre «n>0. TEOREMA 1. Se P(x) ê quase unifreente cnvergente e a e se P(x)>k>0 e certa vizinhança e. de a, rest de rde

2 GAZETA DP MATEMATICA II n,q0(x) tende quase unifreente para 1 e a (*). dnde ^ (*) I < 5 IJ 0 «(*) I Pr hipótese tes pis (2.2) i\(»)-p(*)<3 para n > (3) e e/(fl,s,). A desigualdade (2. 2) pde ainda escrever-se - 3 < Pn - P < 4 u p _ i < pn < p + 3 u, esclhend 3<& e pr ser P(;c)>/f>0 e 7(a, s) tes 0 < k 5 < Pn para n > 7» e na enr das vizinhanças I(a, e ) e I(a, s) que designares pr I(a, rr ). De (2, 2) ve entã P(x) Send uin núer superir a e a (3) e designand pr l(a,n ) a enr das vizinhanças l(a,en) e I(a,e'n) teres para n > e xel(a,-nn) denstrad, e fica terea 3 A par c prdut (2. 1) cnsideres a série CO (3.1) S (a:) - lg P (») 2 l S ( ) Designes pr if»(ar) rest de rde n desta série. Será anifestaente i?n = lg Supnhas que P (ar) satisfaz às hipóteses d terea 1 d 2. Iss iplica c prvás a desigualdade (2. 3) que pde escrever-se Pn(x) k - 5 (3.2) 11 Qa I < 3' u (2. 3) i-e (»)l< S te-3 para n > e a: e/(a, nj ) c que fica cncluída a denstraçã. TEORSMA 2. Se Q (x) tende quase unifreente para 1 e a e ni(i» vizinhança n de a se te P (x) < k, para D > nii, prdut cnverge quase unifreente e a Pr hipótese te-se (2. 4) 1.-0,(*) < 3 para n > (3) e xe l(a,e'n), A desigualdade (2. 4) pde escrever-se para n > e xel(a,en). De (3. 2) ve evidenteente IgQ (ao <6 n (3. 3) J2. <E u ainda que perite enunciar TEOIÍKMA 1, Se P(x) é quase unifreente cnvergente e a e se P(x)>k>0 e certa vizinhança de A, A série (3. 1) è quase unifreente cnvergente e a. E de d seelhante se prva e 1 < 3 Pn{x) (') Ist é, ter-6e-á Q (x) 11 < í para»>{5) 0 e / (a, n ), TEORKMA 2. Se a série (3. 1) é quase unifrente cnvergente e a e nuina vizinhança ej, de a se te P (x) < k, para Q > idj, e7itã O prdut P (x) é quase unifreente cnvergente e a.

3 8 GAZETA. DE MATEM ATIÇA 8 De fact verificand-se (3. 3) para n > e xel(a, s ) tes nas esas cndições lg Q» (af) < 8 a [ i a i < 3'. Pel terea 2 d 2 fica este prvad. 4 É cnhecid seguinte terea de ÁRZEL.v: A cndiçã necessária e suficiente para que urna série seja cntínua e pnt de cntinuidade ds seus ters é que a cnvergência seja quase unifre nesse pnt. Pdes agra prvar 5 Neste supres sepre que existe na vizinhança d pnt P{x) a nde prdut é cnvergente e diferente de zer. >' (a?) TEOREMA 1. Se a série 2 0 ">n (-c) é unifreente cnvergente n pnt a, a derivada de P{x) n pnt a pde bter-se pela regra de derivaçã du prdut finit ; (5. 1) P' («) = (.10 (a) (a) w2 (a) + M0{a) &)j (a) w2 (a)... + ' ' ( a ) <"i («) + (a) TEOREMA 1. Se e a prdut (2. 1) è quase unifreente cnvergente, se e I (A, E) è P (x) > k > 0 e se e a tds s &) sã funções cntinuas entã prdut P é ainda funçã cntínua e a. De fact pel terea 1 d anterir a série (3. 1) será quase unifreente cnvergente e a. Os seus ters sã lds funç&es cntínuas e Lg pel terea de Arzila lg /'(a;) é ua funçã cntínua ein a. O es acntece pis a P[x) = í 11 *'' 1 '. TEOREMA 2. Se e a prdut (2. 1) nft se anula e é ua funçã cntinua be c tds s seus factres e se alé diss nua vizinhança I (a, s ) se te P ( x) < t, prdut cnverge quase unifreente e a. e C efeit e a s ters da série (3. 1) a sua sa serã funçfies cntínuas. Pel terea de ARZKLA cnvergirá quase unifreente. E pel terea 2 d anterir fica este prvad. (l) Supzes de infci «. (as) > 0. Aliás aqui a cndiçã P (se) > k 0 e /(,t) iplica já que nenhu u se anule e / (a, t). g De fact a série (5.2) -S («) = lg P (a:) = 2 ( x ) erá cnvergente nua certa vizinhança de a. Cnsideres a série»(jt) cuj ter geral é a derivada de lg <.) (ar): 0 *(*) = 2 J H c esta série é unifreente cnvergente e a teres De (5. 2) ve e prtant u ainda 8>(a)=*s(a) S'(a) P'(a) P(a) P' (a) = s (a) P (a) (5.3) P ' i a ) = X ^ : P ( a ) dnde iediataente se tira (5. 1). TEOREMA 2. Se e I(a,s) ê w (x)> k> 0, ÍE para n>ni[, e se e a 2 ( s ) cnverge 0

4 GAZETA DP MATEMATICA II absluta e unifreente, P (x) pde derivarse pela regra deduzida. Bastará, pel terea anterir, prvar que V é unifreente cnvergente e a. Ora tes e 1 (a, s) e para WÍ > M, í»n nt+7> I i I 1 + p <2 ^<7-2 Klt>'n /c Pr hipótese pde sepre tar-se tã grande que nua vizinhança /(a,e r ) se tenha sv«i< 3a - l Lg para suficienteente grande e x pertencente à enr das vizinhanças e 1 {a, e') tes dnde +p / VI M, < 3 <3 e fica terea denstrad. i(a,s) TEOREMA 3. Td prdut da fra as + u?( x )) pde derivar n pnt a, 0 pela regra deduzida, se 2 u n ^ abslutaente cnvergente, se e a a derivada de <p{x) é liitada e se e I (a, e) se te 1 + u % (x) > > k > 0 a partir de certa rde. Neste cas te-se 2K!-IVí«)l2l«-l pel que cnverge unifreente. Pel terea 2 fica este prvad. TEOREMA 4. Prdut infinit da fra ^[(1 + unx n ) è derivável, pela regra deduzida, e qualquer pnt a d interir d interval, e que é X / 1 = U "/Kj desde que e I (a, s) seja 1 + u x n > k > 0. C efeit a série 2KI-2l» tt «<r-m cnverge unifreente e qualquer pnt interir a, c v=li V w Vl w«1 = 7 7 li V K I = 1. 6 Supzes nas denstrações ds quatr tereas anterires que existia ua vizinhança de a nde prdut infinit nã se anulava e era sepre cnvergente. Supzes ainda que nessa vizinhança era para td O n. M >0 Se prdut nã satisfaz a estas cndições, as ó pssível deterinar ua rde n tal que rest Q«as satisfaz s tereas cntinua válids c ó fácil verificar ('). Efectivaente, teres Se P - Pn Qn satisfaz à hipótese de algu ds quatr tereas anterires e tds s, para = 0, 1,,íi 1, sã deriváveis pdes escrever P' - P» + P» O, ~ 2 P»Qn + 0 U; 2 (-0 Se algu ds w; (» = 0,1,,» 1) é nul ta se, é clar Pn => Mq Wi_l Wf M _]. b>í A regra anté-se pis neste cas. (1) Prtant agra só exigis <cl > 0 para al<s da rde n 1.

5 10 GAZETA DE M ATEM ATIÇA 7 Das agra alguas aplicaçoes da regra de derivaçã que deduzis. Sabe-se que é (7.1) sen. =, n ( l - ^ ) - É fácil ver que este prdut se pde derivar pela regra deduzida c base terea 3 d 5 e n que se disse n 6. Teres (7. 2) n atendend cs x = f í ( l x 2 a terea 3 d 5, a G e à fórula (5. 3) pdes escrever dnde 2 8 x _ 0 (2«+ lfn 2-4x 2 cs x 8 a; tg = 2J 7^2 a + 1)2 4^2 É ainda cnhecid seguinte prdut infinit \ neste cas é V- 3) sen x x x = cs cs x 2 2* cs x 2» tii 71 t n 2x 2 H * :r Tl 2 Tes &> = cs - 9!» Pela fórula (5. 3) X <f2 2 gr-2 Y v * 2 / C 1» &> sen 2" 2* 1» - sen On q» 2» pel que (7. 2) passa a escrever-se cs x a- 2 j \ U* Tt" / J 71 í entrand aqui c valr de tirad de (7. 1) ve nfi -) j \ n a 7t 3 / 1 ct x 2 2 Sabe-se tabé que,2 tt2 n:2 x a série 2 w«ó unifreente cnvergente i e qualquer pnt. Para qualquer x te-se fi) ~>k > 0 desde que n seja suficienteente grande. Atendend a terea 2 d 5 e a 6 pdes a (6. 3) aplicar a fórula (5. 3)j vind dnde cs x x sen x X x sen -2-- x sen x, 2" cs ct x = tang. x T á * 2* 2"

6 GAZETA DP MATEMATICA II Prvares agra que a sa da série v i + jfl +» (2 n 4- l)«2 " _ (2 n x x 3 " + 1 J é zer qualquer que seja a; desde que Para iss partires da igualdade (') JJ(1 + JJ(1-4- a: 2 " + ').JJ(1 fl! fl - +, )= 1 para [ a? < 1 Designes pr Pt, Pa, f j respectivaente 1., 2. e 3. prdut infinit. Pr derivaçã teres (7. 5) P) P3 Ps + P, F, P3 + A P. PS - 0 A fórula (Õ. 3) é aplicável a qualquer ds três prduts nu pnt de interval abert (- 1, + 1). Facilente se cnclui que P\ = SI PT P'i = s a Ps - respectivaente c P2 P5,2(n + l):r a *+t Si = 2 (2n i (2 Ti + 1 _» +1 Entrand c estes resultads e (7. 5) e dividind tud pr Pj Pg Ps Lg btes que pretendías. 8 Acabares, dand seguinte critéri de cnvergência unifre para u prdut infinit : ( ) VICENTE GOKÇAI-VEB, Curs de Álgebra Superir (1944), jjág TEOREMA 1. Se HW U(W A >0} è u prdut infinit nuéric abslutaente cnvergente e nua vizinhança de a, t<in (x) está sepre entre s núers e w (u ê igual a \vb u deles), entã JJ <*> (x) cnverge unifreente e a. Antes de denstrars esta prpsiçã cnvé ntar seguinte: Pr u prcess inteiraente análg a usad na denstraçã d terea 2 d 2 se denstraria: TEOREMA 2. Se Q (x) tende unifreente para 1 e a e nu a vizinhança s de a se te P (x) < k, para n >,, prdut JX^nW cnverge unifreente eni a. Depis, baseand-ns neste terea e de d aálg a que se usu para prvar terea 2 d 3 se prvaria: TEOUEMA 3. Se a série (3. 1) é unifreente cnvergente e a e nua vizinhança de a se te P (x) < k, para n >i, entã prdut JJ^ é unifreente cnvergente e a. Pst ist prves finalente terea 1: Designe W~n air da valres e w. t». Teres pr hipótese e (8. 1} 1 W - H» dnde (8. 2) ílg^^l^lgtf*. C XI ^ é abslutaente cnvergente, cnvergirá I W* (!) e será evidenteente diferente de zer. A série 2lgH'n é pis cnvergente. Mstra a desigualdade (8. 2)

7 12 GAZETA. DE MATEM ATIÇA 12 que M ^ unifreente cnvergente e a. De (8. 1) tira-se ainda OQ Seja K f l \VN. Teres "Jwn(x)<jr e I(a, e). f Ntes que, designand pr W*(x) air ds valres e -,» (x) ainda se pde tirar de (8. 2) lg W'n(x)^ lg JF lg cnverge. Será prtant cnvergente e diferente de zer prdut J Wt. Pdes pis cncluir que JJ wb (a;) é abslutaente cnvergente e 7 (a, )( ). Pel terea 3 fica a denstraçã cncluida. (<) C denstrás n nss artig d últi núer da «Gazeta de Mateáticas. As funções recursivas e s fundaents da ateática (') pr Méri Turasse Teixeira Faculdade de FUsÚa, ClSnclae Letraa de Ki Clar Drasíl Muitas vezes nã estas dispsts a aceitar (e algu sentid) <ie iediat ua certa sentença S. N entant, se ns apresenta ua deterinada sequência de sentenças SI, S2, SN = S passas a cnsiderar aceitável a sentença S. Pdes dizer entã que a sequência e questã é u arguent para S n sentid de aceitaçã cnsiderad. Ua aneira que parece natural de cnstruir sisteaticaente arguents é a seguinte. Das u cnjunt a de sentenças aceitáveis e u cnjunt R\, fí2» *" > de regras que ns cnvences leva sepre, quand aplicadas a sentenças aceitáveis, a sentenças aceitáveis. (*) Palestra realizada n Institut de Mateática Pura e Aplicada, Ri de Janeir, ttrasil. Entã, tda a sequsncia Si s nde cada St u pertence a a u é btida de anterires pr ua das regras Jiit é u arguent. Supnhas, pr exepl, que estejas interessads e gerar dessa aneira arguents para a teria eleentar ds núers. Para trnar ais explicitas as sentenças e que estas interessads, vas dar tabé u prcess de geraçã para elas. Prieir especifiques s ters (substantivs), que serã btids a partir de variáveis {x,y, etc.) e cnstantes (0 ê bastante) pr ei de +, e (sa, ultiplicaçã e sucessr). Exepls de ters serã entã + 0 x y x' + y etc.