( a2v I/ minimo:~em( -~'Jz, -V2)e(~, - ~.V2). 89. (a) (2y + X2Z)eYz. . ax - cos ar - -r ao' ay - sen u ar -r ao

Transcrição

1 Respstas Pnt de sela em (O, O),f(O, O) = O; mínim lcal -4 em (0,); máim lcal de 4 em (-, O);pnt de sela em (-,), f(-,) = O 7. Máim abslut: 8 em (O, 4); mínim abslut: -9/4 em (/, O) 7. Máim abslut: 8 em (, -); mínim abslut: -7/4 em (-, /) 75. Máim abslut: 8 em (-, O);mínim abslut: - em (, O) 77. Máim abslut: 4 em (, O);mínim abslut: -4 em (O,-) 79. Máim abslut: em (O,:!:) e (, O);mínim abslut: - em (-, O) 8. Máim: 5 em (O, ); mínim: -/ em (O,-) 8. Máim: Vem (~, - ~, ~} ~. ";;:; numm' -v,jem -- ( \' \' V) CV /. ( ) ( bv ) 85. Largura= ---;;j;, prfundidade= ac ' altura = ~ 87. Málln:~em(~, ~, V)e (- ~, - ~, -V} / ( av / ) minim:~em( -~'Jz, -V)e(~, - ~.V). 89. (a) ( + XZ)ez. ' e'"(r ~) (c) ( + )ez 9 aw - Oaw sen aw aw - a aw + cs Oaw. a - cs ar - -r a' a - sen u ar -r a 97. (t, -t :!: 4, t), send tum númer real Capítul EercícisAdicinais. p f(o,0)= -"h,io, O)= 7. (c) ;=i (X + l + r). v = ~abc 9 7.f(, ) = + 4,g(,) = "+" 9. = ln sen + ln. (a) " ~ (i + 7j) v5 ~ 9,097 (98i - 7j + 58k). w = e-c"tlt sen 7TX SE: +. 7" 9. e -. / " (7", 7") - P 4 (4-))/. f f dd 4 e =4- (,) 5. f f dd ln (. e) (, ) 7. 8ln e.t- ns (ln ln s. ]n 8) O =]n ln]n 8. "ln T (-7"/,). f f d d r 9 (~)l (. ) 7.f f 6dd CAPíTULO 0 Seçã.. p V=? 9. f f - O d d. ('T, 7")

2 55 Respstas. e - 5. ({h;,~) -)' ln ti'. 7. /80'7T. J f d d = ~ J J d d = (ln, ) 0,065 (0,5, 0,065) -4 0,5 (-4, -) - : " 9. -/ _ 7. f f d d = ~ T 9. (, ) (, 6) FORA DE ESCALA. v / ( + ln ) 5. 7J 4. 65/ ~ : (7T/4, -..[i ) (-. ) =l ~ J J (.:+ l) d d = ~ 7T 4 5. (a) O 7. 8/. = 64/5, = 5/7 5. = = 4a'7T 9. = -l, = /4. = /8, = 7/6 5. = /, = 4/7, = 4, R = 4 7. = O, = /, = 7/5, R = V/ F~7-') =-Z 4/,,[- 9. = 5/4, = 8/5. = O, = 4/" 7. = = 4",0= 8". = 64/05,R= ii 6. Nã, pel Terema de Fubini, as duas rdens de integraçã devem dar mesm resultad , , Seçã., p rt d d = u Í 'J d d = 9. = O, = 7/0; = 90, = /0,0 = 6/5; R = \6/0, R = v/0, R = V ( - e-) n(7/) = Se O< a :5 5/, entã eletrdméstic terá que ser inclinad mais que 45 para cair. 45. (, ) = (/",O) 47. (a) / Sã s mesms

3 Respstas (a) (7/5,/0) (9/7, 87) (c) (9/,9/8) (d) (/4,4/6) 55. Para centr de massa estar sbre a frnteira em cmum, h = av. Para centr de massa estar dentr de T, h > av. l-r l-z. (a) f d dz d - r dz v'l=z l-z f l. d d -Ví=Z r.f Seçã., p f/ 5. 7fa 9. ( - ln )T. T/+ 7. (7f- ). T/ v - T 9. ~a. T(- v';) ; 7.(a) 9. Tln4, nã Seçã.4, p / l -)'/--l. T/ (n - )(7f/) 5. 7f(n4 - ) 9. T = 5/6, = O. ~a 5 i + 5T ~(a + h). f f f dz d d,f J dz d d, - --z l-zl --z/ f ~~~ f ~d~ r-r '-T"' ddzd,j '-r -T"' dddz valr de tdas as seis integrais é. v'4=x' 8-r-/ v'4=l 8-'- 5. f dz d d, L f dz d d - -v'4= V'4= r+' rr~8:, d dz d +, L d dz d, 8 V8=Z V8-z-' 4 vz vz::? Lk.-vL/dddz+ LLdddz 8-r V8-z-.~ 4 ~ L[ -vlr ddzd + L[- ddzd, 8 V8=Z V8-z-.~ 4 vz ~ [-k.-k dddz+ -L dddz O valr de tdas as seis integrais é 6T. 7. 7f. ( - cs ) 5. 7/6 T 9. "- " O. / (c) jj dddz -v (e) J Jdzdd -v 7.. 8T- 5. 0/ 9. 6/. 5. 4T 7. / (d) JJ d dz d -v 4. sen4 45. a = ua = / 47. O dmíni é cnjunt de tds s pnts tal que 4X+ 4l + Z::::;4. Seçã.5, p ~r;;z+;;w+b. R= ~ U-' R = ~ U-' Rz = -v u- M =- M M (b+c ) =- (a +C ) =- (a+b ). ' ' Z 5. = = O,Z = 5, = = 75,8, = 4.8/6 = 76,70,z = 56/45= 5,69 7. (a) = = O,Z= 8/ c = V!Ti 9. h =.86,RL= V. (a) 4/ 5. (a) 5/ (c) = = z = / (a) g g.. (a) c.m.= abc(a' + b') ' Rc.m.= Ja' u- + b' L - abc(a' + 7b') ' RL - Ja' + 7b' 40!5. L=,RL = V = 4/5, = z = /5 = = z = 8/5.!li (d) R = R = Rz = -V 5 7. (a) h = av h ~ av Seçã.6, p T(V - ). 5. T(6V - 8) 9. T. 7T 5 7. T 0

4 554 Respstas! " T ~. (a) ff f r dz dr do Tv T v'4"=? f ff rdrdzdo+ f f f \ v'4=? T f JfrdOdzdr (c) 7Tf cs,. J Jff(r, O,z) dz r dr do -Tf T sen 4-rsen 5.JJ J f(r, 7Tf +cso 4 O,z) dz r dr do 7. f J ff(r, O,z) dz r dr do -7' 'l'/4 seco -rseno 9. Jf f f(r, O,z) dz r dr do. 7f 5. 57f 9.(8 - i)t 'l't6 r dr dz do. 7f/ 7. 'Tl' T'l'f csec cf>. (a) f Jf l sen 4>dp d4>do +JJ f p sen 4>dp d4>do 000 0T6. JJJp T are sen(llp) T T6 ff f l sen 4>d</>dp do + fff sen <pd</>dp do O T6 O O O 'l'l'f sen </>dp d</>do = ~7f O O cqscf> 'l' T - cs cf> 5. Jf f l sen4>dp d4>do= 8;- O O O T T cs cf> 7. ff f l sen 4>dp d4>do = ~ O 'l'/4 O 7T7T 9. (a) 8 JJJl sen </>dp d4> do 7T/ V4=? 8 JJ r dz dr do v'4=x4-x- (c) 8J f dz d d /T7T/ 4. (a) f f l sen4>dp d4>do secrj> Tv v'4'=? f rdzdrdo v v'=? 4-X- (c) 8 J L f dz d d -' -VH (d) 57f/ 4. 87f/ 47 7f 'Tl' 5 4(\ 5.~ - )7T 59. 5'/T 45. 9/4 49. ~a 5. 7T T 6. 4T(8- v) 6. / 65. /4 67. = = O,Z = /8 69. (,), z) = (O,O,/8) 7. = = O, z = 5/6 7~., ~ 0T,R, =,fi. a4h'/t 75. = 'Tl' (a) (,, z) ~ (O,,~)., ~ ;;" R,= ~ (,, z) ~ (O, O,~),, ~ ~, R, = ~ 'Tl'a4(h + h) a 8. (,, z) = O, O, h + 6,z = 4,Rz = V ( h + h ) 85. M '/TR 89. A equaçã da superfície r = fez) ns diz que pnt~ (r, O,z) = (f(z), O,z) estará sbre a superfície para td O.Em particular, (f(z), O + '/T,z) está sbre a superfície sempre que (f(z), O, z) também está. Assim a superfície é simétrica em relaçã a ei z. (f(z),,z) f(z) '--- (f(z), fw ---J + '/T,z) Seçã.7, p. 4-4 u+v v-u. (a) = ~, = ~; " Regiãtriangularcmfrnteirasu = O,v = Oeu + v =. (a) = "5 (u - v), = 0 (v - u)~ 0 Regiã triangular cm frnteiras v = u, v = u e u + v = /5 u 5 9. (u + v)v du dv = 8 + ln. 'Tl'ab(a + b) 4. ( + :')=0,4687

5 Respstas (a) 9. csv senv sen v cs v - u sen v u cs v u cs v - u sen v = Ucs v + u sen v = u = - u sen v - u cs v = - u abc.~ Capítul Eercícisde Fiaçã, p ge / 0W/O, 0) =.i' 4. ( - 5) v' 'v'=i v' 4- -' 4.(a)-L- k dzdd 7" 7"/4 J f J psen cfjdpdcf>do (c) 7"(8-4V') 7"7"/4sec <> 45. J J J p sen cf>dp d</jdo =~ v'=? v'4-.--l v' v'=? '. (, ) FORA DE ESCALA J J dd =t - +4 ()'\9=? 7. J f d d ~ ~ - tn. [ J i'- dz d d + J [ J i'- dz d d 49. (a) 87"(4V- 5) 5. z = 87"8(b5 - a5) 5 87(4V - 5) ) Capítul EercícisAdicinais, p (a) f J r d d - 6-r 9. sen 4. 4/ 7. /4. 0= M = 4, M = O,M = O ln 7. ~ 5. 4/ = = - ln 4., = 8,R, =.JiJ 7. 7" J f J dzdd - (c) 5/ "/ 7. (a) Rai d fur = ; rai da esfera = 47" 9. 7/4 U. ]n (*) 5. /~ 9. = - ::rr' = O. (a) = 57"+ - 67"+48'=0 r=+cs9 7. Massa ~ a' arc cs (*) - ba' - b',l = ( a4 b b b - arc cs - a - - Va - b -- (a - b) ) 6 9. ab(eaw- ). (c) O 5. h = Võpl, h = V6Op 7. Ü-m~J CAPíTULO. 7T~ 7. 8/5 5. O 9. 7"/ Seçã., p Gráfic(c) 5. Gráfic(d) 9. V. Gráfic(g) 7. Gráfic(D. ~