3.6 EXERCÍCIOS. o x2 sen 1 x2, V x O. =0. Multiplicando a desigualdade por x2, temos

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1 86 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração 0 < sen 1 1, V O. Multiplicando a desigualdade por 2, temos o 2 sen 1 2, V O. Como lim 0 = O e lim 2 = O, pela proposição concluímos que ->I3 ->0 lim 2 ->I3 sen - 1 = EXERCÍCIOS 1. Seja f () a função defmida pelo gráfico: Intuitivamente, encontre se eistir: e(a) lim fl). 6 (b) lim f(). ->3 ->1+ - e(c) lim f(). -> 3.(d) lim f(). -> (e) lim f(). -> lim f(). -> 4

2 Limite e continuidade Seja f() a função definida pelo gráfico: Intuitivamente, encontre se eistir: ',(a) lim f(). (b) lim f(). -> -2+ -> -2 c (c) lim f()..(d) lim f(). -> -2 X -> 3. Sejafi) a função defmida pelo gráfico: Intuitivamente, encontre se eistir: e (a) lim f(). (b) lim f(). (c) lim f(). -> > O- O b(d) lim f(). -> + $(e) lim f(). X -3 - lim f(). -> 2

3 88 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração 4. Seja f() a função definida pelo gráfico: Intuitivamente, encontre se eistir: e (a) lim f(). 2+.(b) lim f(). (c) lim f(). -ì + (d) lim f(). 0(e) lim f(). 5. Seja f() a função definida pelo gráfico: Intuitivamente, encontre se eistir:.,(a) lim,fi) (b) lim f(). -) 1 '(c) lim f(). 1 ((d) lim f() m o (e) lim f(). --t- oo

4 Limite e continuidade 89 u6. Mostrar que eiste o limite de f() = 4 5 em = 3 e que é igual a Mostrar que lim 2 = 9. 3 Nos eercícios 8 a 12 é dado lim f() = L. Determinar um número 8 para o E dado > a tal que If() LI < e sempre que O < I al < S. 8. lim (2 + 4) = 8 e = 0, lim (-3 + 7) = 10, e = 0,5. -* lim > 2 X + 2 = 0, ime 11. = 0,25. > X e = 0,75. X lim1 > Demonstrar que lim sen 1/ = 0. > O 14. Mostrar que: (0 Se f é uma função polinomial, então lim f() = fia) para todo real a. -4a (ii) Se g é uma função racional e a pertence ao domínio de g então lim g() = g(a) > a Calcular os limites nos eercícios 15 a 34, usando as propriedades de Limites. 45. lim (3 7 52). 16. lim ( ). > O > 3

5 90 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração. Em ( ). -> Hm (2. + 7). -> 1/2. Hm [( + 4)3 ( + 2) lim [( - 2) 10 ( + 4)]. -> lim 4t Em ->2 3 - t + 2 t->2. X lim -)1 1.. t2 +St hm t + 2 t->2 t2-5t lint s t-2 t - 2 s -3 1/2 2s 27. lim 3N lim -).5/ fim (3 + 2)2/ Hm lim [2 sen - cos + cotg ]. -37c/ lim (e + 4).,21 i ->4 33. Em (2 + 3) 1/4. senil 34. lim 4 ->2 3.7 LIMITES LATERAIS Definição. Seja f urna função definida em um intervalo aberto (a, c). Dizemos que um número L é o limite à direita da função f quando tende para a, e escrevemos lim f() = L, a-f

6 96 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração Figura EXERCÍCIOS 1. Seja f() = Calcule: 3(a) lim f(). )(b) Em fl) ) 3+ ""(,,(d) lim f(). -(e) Hm f(). - > 5 - _5+ (c) lim fiz) Em f(). -)5 Esboçar o gráfico defl). { , 3.2. Seja h() = 7 3. Calcule lim h(). Esboce o gráfico de h(). -) 3

7 Limite e continuidade Seja F() = L 4L Calcule os limites indicados se eistirem: e(a) lim F(). ->4+ sa(b) lim F(). s(c) lim F(). ->4 -> 4 Esboce o gráfico de F(). 4. Seja f () = Calcule se eistir: (a) lim f(z). (b) hm f(). e(c) lim R). > 1/5+ > 1/5 -> 1/5 Esboce o gráfico de f(). -5. Seja g() = , = 3. (a) Esboce o gráfico de g(). '(b) Achar, se eistirem lim g(), > 3+ lim > 3- g() e lim -> 3 g(). e6. Seja h() = { /l 1, se O O, se = O. Mostrar que h() não tem limite no ponto O. el. Determinar os limites à direita e à esquerda da função f() = arc tg 1/ quando -* O. a8. Verifique se lim 1 1 eiste. X >

8 98 Cálculo A Funções, Limite, Derivação, Integração 9. Seja f() = 1/, 2, 2, 2, < 0 O X < 1 =- 1 > 1. Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se eistirem: é (a) lim f(). ) 1,*(19) lim f(). a(c) lim f(). ) )0+,(d) lim f(). ) '(e) lim f(). lim f(). > O ->2+,(g) lim f(). - 2 (h) lim f() Seja f() = (2-25)/( 5). Calcule os limites indicados se eistirem: *(a) lim f(). O _ 1(b) lim f().,(c) lim f(). -> 5+ -> - ((d) lim f(). s(e) lim f(). > 5 --> CÁLCULO DE LIMITES Antes de apresentar eemplos de cálculo de limites, vamos falar um pouco sobre epressões indeterminadas. Costuma-se dizer que as epressões: o o ' -,00 oo,o 3 O.. 00 são indeterminadas. O que significa isto?

9 102 Cálculo A Funções, Limite, Derivação, Integração ( + h)2 2 Eemplo 4. lim h->0 h Neste eemplo, simplesmente desenvolve-se o numerador para poder realizar as simplificações. Obtem-se: h. m ( + h) h + h2 2 lim h->0 h h->0 h 2h + h2 = um ->0 h um h(2 + h) ->0 h = lim (2 + h) h-> EXERCÍCIOS 1. Para cada uma das seguintes funções ache f() f(2) hm - 2-2?,(u) f() = 32. (b) f() = 1/, O. (c) f() = 2/3 2. e(d) f()= (e) f() = + 1, 1. a (f) f() = 3.

10 Limite e continuidade 103 Nos eercícios 2 a 25 calcule os limites. 3 + a. hm, t3 + 4ê + 4f 3. lim (t + 2) (t 3) E4. lim $. lim 2t2 3t 5 -> > 5/2 2t lim 2 + (1 a) a lim -*a a -> Li *8. lim -->_1 3 4 lim 2-1 (m-}, y,,y--n L (/ -IJ) X lim D11. ->2 2 ->2 XL lim (2 + h) fim h > tr) ( ' t 5.N1a2 + bt a.r.14. lim m15. lim, a > O r > o t r->0 1 \Àt, 'N/2(h2 8) + h. 16. t h-->1 h 1 h->-4 h + 4-3\ h 19. lim -> "V 2 + a2 a lim, a, b > O. "\i2 + b2 b tf 17 ( V' 4a 21. lim a O. > a a

11 Limite e continuidade 119 lim X ` + Xrn a o b o aon = lim -4± bom 3.13 EXERCÍCIOS ll Se f() 7 5ii,calcule: 9(a) lim f(). > o(b) lim f(). -) Sef() = calcule: ( + 2)`: t(a) lim f(). #(b) lim f() Nos eercícios 3 a 40 calcule os limites. 1 4 \ o3. lim ( ) lim 2 + a %S.. t + 1 Um r + 1,o6. lim hm + 1, r + 1 lim t2, 2t lim 2t` + 5t 3 ` lim '10. lim X

12 120 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração 11. Hm X CO *12. lim '"r 3 t lim + t - 4 OD 14. lim X CO (2-7 cos ) 32-5 sen + 1 V VV lim v 3v - 1 +r 16. lim Ni lim V2 + 1 lim ( V /2-1) lim (V2-1 - ) lim ( Vf ). + co 10X lim 32-1 lim X lim V 25. lim hm lim - s + OD VS lim ( O 27. lim + CO V 3s / - 4s5 2s lim X + CO V y. lim 30. lim Y 4- c V 5 + 4y2Y NI lim X lim 34. lim 24- X

13 Limite e continuidade 121. lim + 6 y 6+ y lim Y + 6 y-6 y` lim -) lim, -) lim 40. lim ) LIMITES FUNDAMENTAIS Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados limites fundamentais. Estaremos tratando de casos particulares de indeterminações do tipo 0/0, 1- e Proposição. O lim é igual a 1. -)0 Prova. Consideremos a circunferência de raio -1 (Figura 3.10). Figura 3-10 Seja a medida em radianos do arco AOM. Limitamos a variação de ao intervalo (O, n/2).

14 128 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração 1-2 (ln e - ln a) - 1 (1 - ln a EXERCÍCIOS Nos eercícios 1 a 27, calcule os limites aplicando os limites fundamentais. sen 9. se n4 01. lim.2. hm -) hm s e. n lim sen a O. sen 7 sen b. hm. sen /2 o 5. lim tg -)0 o 3,À+1 tg.- 4 lim,.8. um 1 - cos -)-1 ( + 1)J --) o 1 - cos lim > o lim ( - 3) coser 7C X. --> 3 6 sen 2 cos 2 - cos lim 12. lim sen lim 1-2 cos + cos 2 X2 14. lim (1 + 1/n)n 1-5 n-).0

15 Limite e continuidade l [ > > 1 + X.) 17. n --> 2n + 2n + \n lim (1 + l/tg Atg X. TC )2 19. lim (1 + cos ) licc" 37e lhn \r lim lim >2 2,1 sen [5 ( - 1)] 25. lim -K) e -ax CbX t g. h a 26. hm >I3 X e" - eb 27. lim 0 sen a - sen b 3.16 CONTINUIDADE Quando definimos lim f() analisamos o comportamento da função f() para -> a valores de próimos de a, mas diferentes de a. Em muitos eemplos vimos que lim f() pode eistir, mesmo que f não seja definida no ponto a. Se f está definida em -> a a e lim f() eiste, pode ocorrer que este limite seja diferente de f(a). > a

16 Limite e continuidade 139 Figura EXERCÍCIOS 1. Investigue a continuidade nos pontos indicados: sen (a) f() =, O = O em = O. (b) f() = I em = O. (c) f() = X3-8 X = 2 em = 2. (d) f() = 1 sen l/ em = 2. { 2 sen 1/, O (e) f() = em=0. = 0

17 140 Cálculo A Funções, Limite, Derivação, Integração -.2, < 1 (I) f() = 1, > 1 em =1: = 1 (g) f() 2 4, 2 2 em = 2. = 2 a (h) f( ) = -1 1_,,, <_1 em = , (i) f() = em = 2. 0).f(X) = em = Determine, se eistirem, os valores de e D(f), nos quais a função f() não é contínua. _2, ' 2 # 1 (a) f() = { l''' -I * 0 = 1. (b) f() 1 + cos 3 + sen (c) f() l I NI , < 3 e > 2 ( 0 it) = 1 3 < 2

18 Limite e continuidade 141 (e) f() = 1 - cos, <O O (f) f() = 2 (g) f() { = 1 (h) f() = cos X + 7Z 3. Faça o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções: a) f() =,, O > O b) f() f() = - 2 c) f() = l I O = O dj f() -= { ln ( + 1), > O -, <O e) f() Calcule p de modo que as funções abaio sejam contínuas. (a) f() = 2 + p + 2, p,.^ -1 (b) f() =, = 3 > -1

19 142 Cálculo A Funções, Limite, Derivação, Integração (c) f() = e2 O 1'3 7, = O. 5. Determine, se eistirem, os pontos onde as seguintes funções não são contínuas. (a) f() ( 3)( + 7) (b) f() = '/(3 )(6 ) (c) f() = sen (d).f() Prove que se f() e g() são contínuas em o = 3, também o são f+g e f -g. 7. Defina funções f, g e h que satisfaçam: (a) f não é contínua em 2 pontos de seu domínio; (b) g é contínua em todos os pontos de seu domínio mas não é contínua em I? ; (c) h of é contínua em todos os pontos do domínio def; Faça o gráfico das funções f, g, h e h of. 8. Dê eemplo de duas fimçõesf e g que não são contínuas no ponto a= O e tais que h =f gé contínua neste ponto. Faça o gráfico das funções f, g e h. 9. Sejam f, g e h funções tais que, para todo,f () ^ g () h(). Sef e h são contínuas no ponto = a e f(a) = g(a) = h(a), prove que g é contínua no ponto a. 10. Sejam a E R ef: R > R uma função definida no ponto a. Se lim f() fia) m, prove a que f é contínua no ponto a. a