MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

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1 .0 LIMITES ite (latim es, -itis, caminho, raia, fronteira, atalho). Linha que separa superfícies ou terrenos contíguos (Mais usado no plural.) = ESTREMA, FRONTEIRA, RAIA. Momento ou espaço que corresponde ao fim ou ao começo de algo. = CONFIM, EXTREMO 3. Termo, meta. 4. [] Quantidade fia de que uma variável se aproima indefinidamente sem nunca a alcançar. 5. Que atingiu um ponto máimo ou etremo (e.: data ite, valor ite). [Como, pode ser ligado por hífen ao substantivo que qualifica (e.: ponto-ite).] fonte: HOFFMANN ( 00, p.47), o conceito de ite, está relacionado o que acontece a função f = definida no ponto =. quando se aproima de, sendo que esta função não é Para ter uma idéia da situação e calculando f() para valores de que se aproimam cada vez mais de, tanto pela esquerda como pela direita. Construa uma tabela de se aproimando pela esquerda e pela direita de. Limite : Se f() se aproima de um número L quando se aproima de um número c tanto pela esquerda como pela direita, L é o ite de f() quando tende a c, que é abreviado como : f c Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:3

2 Cálculo de ites eemplo : = eemplo : = Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:3

3 eemplo 3: = não eiste eemplo 4: 3 = resposta : - Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:3 3

4 eemplo 5: = resposta : ½ Definição de Limite: GUIDORIZZI(00, p.7) Sejam f uma função e (a) um ponto do dominio de f ou etremidade de um dos intervalos que compõem o dominio de f. Escreve-se que f tem ite L, em (a), se para todo ϵ>0 dado, eistir um δ>0 tal que, para todo D f, 0< a <δ f () L <ϵ. Tal numero L, que quando eiste é único, será indicado por f ( ) a f ( ) a=l ϵ>0, δ>0 tal que, para todo D f 0< a <δ f () L <ϵ Forma indeterminadas. Assim CUNHA ( 990, p. 73), no calculo do ite de uma função aparecem os simbolos de indeterminação: 0/ Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:3 4

5 . EXERCICIOS a) variável tende para um valor finito ) Determine o ite indicado, caso eista: a) 3 5 c) 3 b) 3 3 d) e) 3 f) g) i) 0 mais h) j) l) 4 5 m) 4 4 n) n) 4 3 O) p) q) Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:3 5

6 ) STEWART( 0, p.95-96) Calcule o ite, se eistir: a) + 6 b) +6 c) R:/6 d) 9 t 3 t t 9 e) 3 f) 4 6 g) R:-/6 h) Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:3 6

7 b) a variável tende para um valor infinito 3) STEWART(03, p.30) Um tanque contem 5000 de litros de agua pura. Agua salgada contendo 30 g de sal por litro de água é bombeada para dentro do tanque a uma taa de 5 litro/minuto. A concentração de sal depois de t minutos ( em gramas por litro) é C (t)= 30t 00+t. a) o que acontece com a concentração quando t? solução : quantidade de agua no tanque= t, como contem 30 g de sal por litro multiplica-se 30*5t=750t, então a concentração de sal sera a seguinte proporção : quantidade que entra de agua salgada sobre a quantidade eistente de agua no tanque 750t t 4) STEWART(03, p.30) A velocidade v(t) de uma gota e chuva caindo no instante t é : v(t )=vf ( ep( g t vf gota. a) Encontre v (t ) t. )) onde g é a aceleração da gravidade e vf é a velocidade final b)faça o grafico de v(t) se vf= m/s e g=9,8m/s. Quanto tempo levará para a velocidade da gota atingir 99% de sua velocidade final? Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:3 7

8 Resposta: a) vf b) faça v(t)=0,99vf e aplique logaritmo 6) STEWART(0, p.8)encontre o ite: a) +3 R:zero c) + + e) R:- b) d) f) ep() +ep() R: /3 R:-/ g) 6 3 h) + R i) +a +b R:(a-b)/ 7) Apostila Calcule os ites indicados: (a) 3 6 Resposta: (b) Resposta: (c) + + Resposta: 0 (d) Resposta: / (e) Resposta: 0 (f) Resposta: (g) 4 Resposta: Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:3 8

9 (h) (i) (j) Resposta: 0 Resposta: Resposta:- c) ites de funções trigonométricas sen Teorema: Limite Trigonométrico Fundamental: 0 Uma demonstração: No círculo trigonométrico (o raio é a unidade), seja radianos, com 0. Na figura a seguir: AM ˆ, sen PM e tg AT. Lembre-se: A Base Altura  M um arco de A Setor ( Raio) Arco Observe que o triângulo oam está contido no setor circular oam, o qual por sua vez está contido no triângulo oat. Assim, podemos afirmar que: área Δ oam Δ área setor oam Δ área oat isto é: oa PM ( oa) oa AT Mas, Logo: ou, oa PM AT sen tg Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:4 9

10 Dividindo termo a termo por sen, temos: sen sen sen tg sen sen cos Tomando os inversos e invertendo a desigualdade, ficamos com: sen sen cos cos Sabemos que, quando 0, cos. Então, para tendendo a zero, sen permanece entre cos e E, portanto: sen 0 A seguir, construímos um quadro para confirmar o que acabamos de demonstrar: (c.q.d) (em radianos) sen f ( ),0 0,4546,0 0,844 0,5 0,9588 0, 0,9933 0, 0,9983 0, , f() Assim, quando 0 (em radianos), temos que: f(), ou seja, 0 sen =. Eemplos: a) Calcule. 0 sen Solução: 0 sen 0 sen sen 0 Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:4 0

11 b) Calcule 0 Solução: tg 0 0 tg. sen cos 0 sen cos 0 sen cos sen 0 0 cos sen 3 sen u c). 0 3 u0 u Nota: u 3, 0 u 0 senk sen u * d), k. 0 k u 0 u Nota: u k, 0 u 0 sen sen sen e). 0 0 cos f) Calcule 0. Solução: 0 cos = 0 ( ( cos ) (+cos ) (+cos )) = 0 ( ( cos ) (+cos )) = 0 ( sen (+cos )) = 0 sen sen cos 0 sen3 g) Calcule 0. 5 sen3 Solução: Resumo sen. 0 sen 0 sen sen cos sen cos0 sen tg. = Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:5

12 Fonte: Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:5

13 8) (APOSTILA) Calcule os seguintes ites a) sen 3 0 b) sen 0 4 c) tg 0 3 d) sen 4 0 sen 3 e) tg3 0 tg5 f) cos 0 g) cos 0.sen h) sec 0 i) tg sen 0 j) sen cos π tg k) 4 tg sen 0 sen l) cos π cos sen 4 m) sen 0 sen n) sen 0 sen3 o) cos5 cos3 0 sen 4 p) sen 3 sen 0 sen q) sen( a) sen a 0 r) cos( a) cosa 0 s) sen π π t) cos 0 3 u) tg sen 0 3 s) * π =u aplique a subtração de arcos, aplique o conjugado, ite fundamental trigonométrico. n) divida por e 3 e coloque em evidencia t) conjugado de -cos() j) substitua tg por sen()/cos() o) transformação em produto Respostas: a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u / cos a sen a 0 3 Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:5 3

14 d) ites de funções eponenciais e logarítmicas O Número e. Esse número é a base do sistema de logaritmos naturais ou neperianos. O número e pode ser obtido por meio de uma sucessão notável (sucessão de Euler), cujo termo geral é: a n n n Tomando alguns valores naturais, para eemplificar, temos: n a n a, 5 n 3 a3, n 5 a5, n 0 a0, n 00 a00, n.000 a.000, n a0.000, n a n a n e, ou seja: , , e assim por diante. Notamos que aumentando o valor de n, infinitamente, a n tende ao valor aproimado de,788..., ou ainda: e, Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:6 4

15 Limite Eponencial Fundamental Teorema: e, Lembre se: O número e é irracional. Dois ites podem ser obtidos como conseqüência do ite eponencial fundamental. Primeira Conseqüência: e 0 De fato, fazendo u u, e observando que quando 0 u, ficamos com: 0 u e u u que é o próprio ite eponencial fundamental. e Segunda Conseqüência: 0 Fazendo e u e u ln( u ), e é evidente que quando 0, u 0. Daí, 0 e u0 u ln(u ) u0 u ln( u ) u0 ln( u ) u u0 ln( u) u ln u0 ( u) u lne Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:6 5

16 Eemplos: a) Calcule * k, k. 0 Solução: Podemos escrever: k k k k k k k Fazendo k u, resulta que se 0 u 0 portanto, ficamos com: 0 ln b) Calcule. Solução: Façamos u u. Quando u 0, logo: ln u0 ln( u ) u u k k u e ln( u ) u0 u 8)APOSTILA Calcule os seguintes ites: (a) ( + n n ) n+ ( + 3 n ) n b) n (c) ( (d) ( + 5 ) + (e) + ) * inverte a fração (+sen ) sen u0 u0 k ln( u ) u ln ( u ) π Respostas: (a) e (b) e 3 (c) e - (d) e 5 (e) e u0 u ln e. Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:6 6

17 9) APOSTILA Mostre que: 4 (a) ( 3) e 0 (b) ( ) e 0 3 (c) 3 e e (d) 7 e 0 7 (e) ( ) 0 (f) 0 e e 4 e e 0)APOSTILA Calcule os ites abaio: ln (a) Fazer + = u + (b) (c) (d) (e) ln 3 Fazer + = u + 0 e sen 0 sen 0 ln (f) ln 3 +sen ( Fazer sen = u) 0 (g) cossec Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:6 7

18 (h) (i) (dividir por Num. e Den.) (j) + Respostas: (a) (b) (c) ln (d) (e) (f) 3 ( g) e (h) 5 e (i) ln 0/ln 5 (j) e ) CUNHA (990, p.76), calcule os ites se possível: a) 0 b) 3 g) ln j) 3 l) Resposta: e 0 * coloque em evidência /² R: * divida a epressão por e aplique a bc * substitua -=u e aplique a propriedade de logaritmo.r: R: m) ( + ) =e ab ( neperiano) R: e 3/ * substitua o numerador pela variável u e isole e aplique as propriedades de logaritmo. R:/4 Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:7 8

19 ) Se $ 000 são investidos a juros de 9% capitalizados n vezes ao ano, o montante após ano será de B()= 000 ( +0,09) /, onde =/n é o periodo de capitalização. Assim, por eemplo, se n=4, o periodo de capitalização é de ¼ de ano, ou seja 3 meses. No caso da chamada capitalização contínua de juros, o montante após ano é dado pelo ite B 0 mais. Faça uma tabela e estime o valor deste ite. B() 090,00 0, 093,73 0,0 094,3 0,00 094,7 Seja o ite da função ( +0,09) /, para tendendo a zero, substituindo 0,09 =/a, então tem-se : a 0,09 a a =e 0,09 3) Uma toina é introduzida em uma colônia de bactérias; t horas depois, a taa de variação da população da colônia é dada pela epressão de variação quando o tempo tender para o infinito. dp = ln 334 t dt. Calcule o ite da taa 4) Uma árvore foi transplantada e anos depois está crescendo à razão de ² metros por ano. a) calcule o ite quando =3 b) calcule o ite quando tende ao infinito. Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:7 9

20 e) ites laterais FERREIRA(99, p.3) Limite a esquerda: f ( ) a menos Limite a direita: f ( ) a mais <a =a-h, onde h >0 é muito pequeno >a =a+h, onde h>0 é muito pequeno a) Calcule: a) (3+ ) menos b) (3+) mais b) f = se se c) f mais = d) f () menos, determine os ites laterais : 3) FERREIRA (99, p.3) Calcule, por mudança de variável, os ites laterais à esquerda e à direita, respectivamente, das funções dadas nos pontos indicados: a) y=+, em = b) y=, em = c) y= 3, em =3 d) y=, em =0 e) 5 y=3, em =5 4) Calcule os ites laterais: Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:7 0

21 a) b) 3 3 mais mais c) f = se 3 3 se3 f 3 mais = f 3 menos se d) f = se f mais = f menos, determine os ites laterais : respostas: a) ¼ b)/3 c) 0; 5 d) -; -/ f) CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Para HOFFMANN (00, p.57-6), contínuo significa que não tem interrupção. Por eemplo crescimento de uma árvore. A função contínua é aquela cujo gráfico que é traçado sem que a caneta se afaste do papel. FERREIRA(99, p.50) seja f()=y uma função definida em um intervalo I e seja a Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:7

22 pertencente a I. Diz-se que f' é contínua em =a se f () a = f (a). Da decorrencia da definição de função contínua em =a, se e somente se, forem verificadas as seguintes condições: eiste f(a) eiste f () a eiste f () a = f (a) ( os ites laterais tem que serem iguais) 5) Mostre que o polinomio p()=3³ - +5 é contínuo no ponto =. Solução: Eiste f()=7 f ( ) =7 f ( ) = f () é uma função contínua em =. 6) Mostre que a função racional f = é continua em =3. solução: f ( ) 3 = 4 e f(3)=4, portanto é uma função contínua em =3. 7) Discuta a continuidade das seguintes funções: i) f = Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:7

23 ii) g = * em (-;-) é descontínua iii) h() = se se Função definida por partes Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:7 3

24 ,5,5,5,5 0,5 0, , , ,5 -, ,5 -,5 * para + apenas < e para - 8) Para que valor da constante A a função a seguir é contínua para qualquer valor real de? f()= A5se ² 34 se Continuidade de um intervalo resposta : A=-3 Uma função f() é dita contínua em intervalo aberto a<<b se for contínua para todos os valores de contidos no intervalo. Uma função f() é dita contínua no intervalo fechado ab se for contínua no intervalo aberto a<<b e se f() tender a f(a) quando tender a (a) pela direita ( para a<) e se f() tender a f(b) quando tender a (b) pela esquerda ( para <b). 9) Discuta a continuidade da função f()= 3 no intervalo aberto - << 3 e no intervalo fechado 3. Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:7 4

25 solução: A função racional f() é contínua para todos os valores de, eceto =3. Assim, a função é contínua no intervalo aberto - << 3, mas não no intervalo fechado 3, pois eiste um descontinuidade no ponto =3 ( denominador nulo) Propriedade do valor intermediário Se f() é contínua no intervalo ab e L é um número entre f(a) e f(b), eiste algum numero (c) entre (a) e (b) para o qual f(c)=l, significa que uma função contínua assume todos os valores possíveis entre os dois dos seus valores. Por eemplo uma menina que pesa 3 kg ao nascer e 40 kg ao fazer 5 anos deve ter pesado eatamente 30 kg em algum instante da vida, sendo que o peso é uma função contínua do tempo. Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:7 5

26 Fonte: +Teorema+do+Valor+Intermedi%C3%Ario *STEWART(0, p.4), uma das aplicações do teorema do valor médio é a localização das raízes de equações. 0) STEWART (0,p.4) Mostre que eiste uma raiz da equação f ()= =0 entre e. solução: seja f ()= =0, o objetivo é encontrar uma solução da equação dada, ou seja um numero c entre e tal que f(c)=0. Com os valores a= e b= e N=0 ou y=n ( reta horizontal- fica em cima do eio '') f()=- < 0 e f() = >0, e logo f() <0 < f(), isto é, N=0 é um numero que esta entre f() e f(). Como f é contínua, o teorema do valor intermediário afirma que eiste um numero c entre e tal que f(c)=0. Pode-se afirmar que a equação f ()= =0 tem pelo menos uma raiz c no intervalo (;). ) Mostre que a equação ² - - =/(+) tem uma solução para. solução: seja f ()= (+) Tem-se f()=-3/ e f()=/3.. Como f() é contínua para e o gráfico de f está abaio do eio e no ponto = e acima do eio no ponto =, segue-se que, de acordo com a propriedade do valor intermediário, o gráfico deve cruzar o eio em um ponto = e =. t Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:7 6

27 Portanto eiste um numero c tal que <c< e f(c)=0, tal que : c c = (c+) ) Verifique se a função dada é contínua para o valor especificado de. a) f() =5² -6 + para = * calcule os ites laterais e o f()=f()? b) f =³ ² 5 ; =0 c) f = ; = d) f = ; = se e) f = se ; = ²se 3 f) f = 4 se 3 ; =3 ² se g) f = ; = ² 3 se 3) Suponha que a temperatura é de T ( o F) e que a velocidade do vento é v ( milhas por hora). Nesse caso, a temperatura corrigida é dada pela função Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:7 7

28 T se 0v4 W v= 9,49,4 T 0,003v 0,304 v 0,474 se 4v45,6T 55se v45 a) suponha que T= 30 o F. Qual é a temperatura corrigida quando v=0 milhas por hora? E quando v=50 milhas por hora? R:3,7497; -7 b) Para T= 30 o F, que velocidade do vento corresponde a uma temperatura corrigida de T= 0 o F. R:5 c) A função de correção W(v) é contínua em v= 4? E em v=45? R:sim; 9,4 4) No correio dos EUA,a função de porte p() pode ser descrita da seguinte forma: 33 se 0 55 se p = 77 se se onde é o peso de uma carta em onças e p() é o preço correspondente do porte, em cents. Faça o grafico de p() para de a função p() é descontínua, dentro do intervalo ites laterais para e o =f() 06. Para que valores 0 6.?R:,,3,4,5 ou calcule os 5) Determine os valores da constante A para que a função f() seja contínua para qualquer A 3se valor de. a) f = 3 ² se. b) 3 se 4 f = A² 3se 4 6) Investigue o comportamento de f()= (² -5 -)/(²-4) quando está próimo de : a) b) -. Eiste o ite para esses valores de? A função é contínua para esses valores de? 7) Foi observado que o número de cricris que um grilo faz por minuto depende da temperatura. Os resultados eperimentais são os seguintes ( para T > 3 o C, os grilos permanecem silenciosos): Numero de cricris (C) Temperatura T ( o C) Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:7 8

29 a) epresse T como função linear de C. b) quantos cricris faz um grilo por minuto quando a temperatura ambiente é de 5 o C? c) se um grilo faz 37 cricris em 30 segundos, qual é a temperatura ambiente? g)assíntotas HORIZONTAIS E VERTICAIS Introdução Em aplicações práticas, encontramos com muita freqüência gráficos que se aproimam de uma reta a medida que cresce ( + ) ou decresce ( ). Conforme as Figuras a seguir: Essas retas são chamadas assíntotas. Para obter-se o esboço do gráfico de uma função é através das assíntotas horizontais e verticais do gráfico, caso elas eistam..assíntota Vertical Quando a reta a é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira: (i) a + f ( )= (ii ) a + f ( )= (iii) a f ( )= (iv ) a f ( )= Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:8 9

30 .Assíntota Horizontal ( i) Quando a reta y b e/ou y=c é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira: f ( ) b ( ii) f ( ) c * calcular os pontos A(0;y) ( corta o eio y) e B(;0) ( corta o eio ) EXERCICIOS 8) Seja a função elas eistirem e faça o gráfico Solução: 5 f ( ). Encontre a equação das assíntotas horizontais e verticais, se 3 Primeiramente devemos observar o domínio da função. Verificamos, facilmente que D( f ) {3}. Sendo assim, vamos calcular: 5 3 ( 3). Para calcular o ite da função quando tende a 3 devemos calcular os ites laterais, assim: Para calcular ( 3 5, fazemos 3 h, com h 0, assim temos: 3) ( 3) h0 (3 h 3) h0 ( h) h0 h 5 Por outro lado, para calcular, fazemos 3 h, com h 0, assim 3 ( 3) temos: ( 3) h0 (3 h 3) h0 h h0 h Desta forma, temos: 3 f ( ) e 3 f ( ) Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:8 30

31 Logo, 3 é uma Assíntota Vertical da função dada, pois são válidas as afirmações (i) e (iv). Agora, vamos determinar a assíntota horizontal, se esta eistir. Para determinar a assíntota horizontal, basta fazer: 5 5 f ( ) 0 3 e 5 5 f ( ) 0 3 Logo, y 0 é a assíntota horizontal. Obs: é possível que os ites acima tenham resultados distintos, nesse caso, teremos duas assíntotas horizontais. O gráfico da função em estudo está apresentado na figura a seguir: 4 9) Considere a função f ( ) 3. Encontre a equação das assíntotas horizontais ( ) e/ou verticais, se elas eistirem. Solução: Primeiramente devemos observar o domínio da função. Verificamos facilmente que D( f ) {}. 4 Sendo assim, vamos calcular 3 ) (. Para calcular o ite da função quando tende a (dois) devemos calcular os ites Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:8 3

32 laterais, assim: 4 Para calcular 3 ) (, fazemos h, com h 0, vamos a: 3 4 ( ) = 4 3 h 0 ( h ) = 3 4 h 0 h = 4 3 h 0 h 0 h =3 = 4 Agora para calcular 3 ), fazemos h, com h 0, vamos a: ( ( ) = h ( +h ) = h h = h h 0 h =3 = Assim, temos: f ( ) e f ( ) Logo é uma Assíntota Vertical da função dada. Agora vamos encontrar a assíntota horizontal, se esta eistir: 4 Para encontrar a assíntota horizontal, basta calcular 3, ou seja: ( ) ( ) 4 4 Logo, y 3 é a assíntota horizontal. O gráfico da função em estudo está apresentado na figura a seguir: Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:8 3

33 30) FERREIRA(99, p.38) seja a função f ()= ( ) e desenhe o grafico., determine as assíntota vertical 3) Seja a função f ()= ( +) determine as assíntota horizontal e desenhe o grafico. 3) Encontre as equações das assíntotas horizontaise/ou verticais, se elas eistirem. a) f ()= ( +) ( ) b) f ()= (+) ( ) ( +) f ()= ( ) ( +) * quando for calcular ite você poderá simplicar. f ()= ( ) *no cálculo do domínio não simplique, por que se calcula pontos de descontinuidade. Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:9 33

34 c) f ()= 3 +3 R: assíntota vertical : não há assíntota horizontal:y=3 REFERENCIAS CUNHA, Feli da et al. Matematica Aplicada. Editora Atlas. SP.990. HOFFMANN.L.D. & BRADLEY.G.L. Cálculo. Um curso moderno e suas aplicações. Editora LTC.RJ.7 a edição.00. Disponível em acessado em /05/03. STEWART, James. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 0. v. ISBN (v.). Matemática para escolas técnicas industriais e centros de educação tecnológica : Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:9 34

35 ites e derivadas / 99 - ( Livros ) Acervo 8748 FERREIRA, Silvimar Fábio. Matemática para escolas técnicas industriais e centros de educação tecnológica: ites e derivadas. Belo Horizonte: CEFET-MG, p.número de Chamada: M45m Disponível em +Teorema+do+Valor+Intermedi%C3%Ario, acessado em 7/05/03. STEWART, James. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 03. v. ISBN (v.). Fonte: Prof: Jorge Roberto Grobe CA3M a edição /09/4 4:05:9 35