Capítulo 3 Limite de uma função

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1 Departamento de Matemática - ICE - UFJF Disciplina MAT54 - Cálculo Capítulo 3 Limite de uma função Podemos afirmar que o conceito de ite é uma das ideias fundamentais do Cálculo Diferencial. Seu processo de construção surge historicamente a partir de problemas geométricos como, por eemplo, no cálculo da área de regiões planas e na determinação retas tangentes á uma curva. Apresentaremos rapidamente esses dois problemas que motivaram a definição de ite, como no livro Cálculo com Geometria Analítica - Vol. de George Simmons Editora Makron Brooks. 3. O problema das áreas - método de eaustão A área de um retângulo é o produto das medidas de sua base e sua altura. Já a área de um triângulo é a metade do produto das medidas de sua base e altura. Como um polígono pode ser sempre decomposto em triângulos, sua área é a soma das áreas dessses triângulos. Figura 3.: Áreas. O círculo é uma figura mais complicada. Os gregos resolveram o problema de achar a sua área de uma maneira natural. Figura 3.2: Método para aproimar a área do círculo. Primeiro eles aproimaram essa área, inscrevendo um quadrado. Depois eles melhoram a aproimação, passo a passo, dobrando o número de lados, isto é, inscrevendo um octógono regular, depois um polígono regular de 6 lados e assim por diante. As áreas desses polígonos inscritos aproimam a área eata do círculo com uma precisão cada vez melhor. Vamos ver que esse processo chega à fórmula A = πr 2 para a área do círculo de raio r.

2 Suponha que o círculo tenha inscrito nele um polígono com um número grande n de lados, como abaio. Figura 3.3: Círculo com polígono de n lados. Cada um dos triângulos isóceles mostrados na figura 3. tem área igual a bh e a soma dessas áreas é igual 2 a área do polígono, que é uma aproimação da área do círculo. Se p denota o perímetro do polígono, então temos que A polígono = 2 bh + 2 bh bh = 2 hb + b b = 2 hp. Como o número de lados cresce, h tende a r em símbolos h r e p tende ao comprimento do círculo c = 2πr em símbolos p c. Portanto, A polígono = 2 hp 2 rc = 2 r2πr = πr2. Esse processo é conhecido por método de eaustão porque a área do círculo foi eaurida pelas áreas dos polígonos inscritos. 3.2 Reta tangente a uma curva Um problema básico do Cálculo Diferencial é o problema das tangentes: determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto P dado. Figura 3.4: Reta tangente à uma curva. Antes de tentar calcular o coeficiente angular da reta tangente, devemos decidir primeiro o que é uma reta tangente. No caso de uma circunferência não há dificuldade. Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto, chamado ponto de tangência. As retas não tangentes ou não interceptam a circunferência ou interceptam em dois pontos. 2

3 Figura 3.5: Relações entre círculo e retas e entre curvas e retas. Essa situação reflete a ideia intuitiva que a maioria das pessoas tem de tangente a uma curva num dado ponto como sendo a reta que toca a curva naquele ponto. Ela sugere também a possibilidade de definir uma tangente a uma curva como uma reta que intercepta a curva em apenas um ponto, mas em geral essa ideia é insatisfatória, como vemos na Figura 3.5. O conceito moderno de reta tangente originou-se com Fermat, em torno de 63. Considere uma curva, gráfico da função y = f, e P um ponto nessa curva. Considere Q um segundo ponto próimo de P sobre essa curva e desenhe a reta secante P Q. A reta tangente em P pode ser definida como a posição ite da secante variável quando Q desliza ao longo da curva na direção de P. Figura 3.6: Posição ite da secante. Mas como calcular o coeficiente angular da reta tangente? Seja P =, y um ponto na curva y = f. Para começar o processo escolha um segundo ponto Q =, y sobre a curva. O coeficiente angular da secante P Q é m sec = coeficiente angular da reta P Q = y y. Figura 3.7: Cálculo do coeficiente angular. 3

4 Em seguida, façamos se aproimar de, de modo que o ponto variável Q se aproime do ponto P, ao longo da curva. Quando acontece isso, a secante muda de posição e se aproima da tangente em P como sua posição ite. É também intuitivo que o coeficiente angular m da tangente é o valor ite aproimado pelo coeficiente angular m sec da secante. Se usarmos o símbolo para indicar se aproima ou tende, então dizemos que quando tende a, m sec tende a m e escrevemos: m = m y y sec =. P Q A formalização do conceito de ite de uma função visto através do método da eaustão e do cálculo do coeficiente angular de uma reta tangente será nosso objeto de estudo ao longo do capítulo. 3.3 Definição de ite Intuitivamente dizemos que uma função f tem ite L quando tende para a, se é possível tomar f arbitrariamente próimo de L, desde que tomemos valores de, a, suficientemente próimos de a. Inicialmente, vamos desenvolver essa ideia intuitiva, estudando o comportamento de uma função y = f próimo a um ponto que não pertence, necessariamente, ao seu domínio. Consideramos, por eemplo, a função a seguir, cujo domínio é R \ {}. f = Vamos construir uma tabela de valores de f quando se aproima de, pela esquerda isto é, quando < e pela direita isto é, quando > : < f - 2,5 -,5 2,5,7 -,3 2,7,9 -, 2,9,99 -, 2,99,999 -, 2,999,9999 -, 2,9999, , 2,99999, , 2,999999, , 2, , , 2, > f 2 4,5,5 3,5,3,3 3,3,, 3,,9, 3,9,9, 3,9,9, 3,9,9, 3,9,9, 3,9,9, 3,9,9, 3,9 Observando as tabelas, concluimos que: quando se aproima de, os valores de f se aproimam de 3. A noção de proimidade fica mais precisa se utilizarmos o valor absoluto: no caso, o que observamos é que quando fica pequeno f 3 fica pequeno também. Veja que essa relação de implicação 4

5 vem da própria função, pois quando, isto é, Dom f, então: f 3 = = = Assim, a distância entre f e 3 depende da distância entre e. Para outro eemplo, vamos considerar f = +. Aqui, o domínio de f é todo o conjunto dos reais. 2 Vamos analisar o comportamento de f quando se aproima de. Para isso, vamos assumir que está ficando pequeno, como no eemplo anterior. < f -,5 -,5,25,7 -,3,35,9 -,,45,99 -,,495,999 -,,4995,9999 -,,49995, ,,499995, ,, , ,, , ,, > f 2 2,5,5,75,3,3,65,,,55,9,,545,9,,545,9,,545,9,,545,9,,545,9,,545,9,,545 Pelas tabelas, vemos que quando se aproima de, f se aproima de 3. Na verdade, como fizemos 2 no eemplo anterior, podemos notar que f 3 2 = = 2 2 = 2 Isto é, a distância entre f e 3 2 depende da distância entre e. Por eemplo, se a distância entre e for menor do que,, isto é, <,, então a distância entre f e 3 2 será f 3 2 = <, 5 2 Vemos que o tamanho, foi apenas um eemplo, pois podemos escolher qualquer número positivo, o menor que seja, e fazer o mesmo raciocínio. Estamos prontos para a definição formal de ite. Compare-a com os eemplos anteriores. Definição. Sejam a um número real e I um intervalo aberto contendo a. Seja f uma função definida em I, eceto, talvez, no próprio a. Dizemos que o ite de f, quando tende a a, é L e escrevemos f = L, 5

6 se para todo ε > eistir um δ >, tal que < a < δ f L < ε. Observação. Como vimos no primeiro eemplo dessa seção, para a definição de f não é necessário que a função f esteja definda em a. Nos interessa o comportamento de f quando está próimo de a. Teorema. Se eiste ite de uma função f, quando tende a a, então ele é único. Eemplo. Sejam k um número real e f = k a função constante. Então para qualquer a R, temos f = k. Primeiro, notamos que f k = k k =, que é menor do que qualquer número positivo. Então, fiando qualquer ε > e escolhendo δ = ε temos que independentemente de < a < δ = ε sempre teremos f k = k k = < ε. Eemplo 2. Sejam a um número real e f = a função identidade. Então = a. De fato, fiando qualquer ε >, então escolhendo δ = ε temos: < a < δ = ε f a = a < δ = ε. Eemplo 3. Vamos mostrar que =. Para isso, devemos mostrar que dado ε >, eiste um δ > tal que < 2 < δ 2 3 < ε. Observe que 2 3 = 2 4 = 2 2 = = 2 2 < 2δ. Assim, para qualquer ε > fiado, escolhendo δ = ε 2 Logo: se < 2 < δ, então teremos que < 2 < ε 2 = 2 3 = 2 2 = 2 2 < 2δ = 2ε 2 = ε. Eemplo 4. O eemplo anterior pode ser generalizado para qualquer função afim f = a + bquando tende a c, onde a, b, c R, a. De fato, para mostrar que a + b = ac + b, vemos primeiro que c a + b ac + b = a ac = a c. Assim, fiando ε > e escolhendo δ = ε temos que a < c < ε a = a + b ac + b = a ac = a c < aδ = aε a = ε. 6

7 3.4 Propriedades do ite de uma função Teorema 2. Sejam f e g funções definidas em um intervalo I contendo a, eceto, possivelmente, em a. Se f = L e g = M, então: L f + g = L + M; L2 fg = LM; f L3 g = L, se M ; M L4 n f = n L, se L > e n N ou L < e n N ímpar. Uma consequência imediada das propriedades L e L2 é: Eemplo 5. Se p = b n n + b n n b + b := qualquer a R: n p = b i i = i= L n i= n b i i é uma função polinomial, então para i= b i i = L2 n b i a i = pa. Pelo eemplo anterior, uma função polinomial é nosso primeiro eemplo de função contínua, isto é, uma função tal que f = fa para todo a Df. Voltaremos a isso mais a frente. Eemplo 6. Pelo eemplo 5, temos: = = 5. Eemplo 7. Pela propriedade L3 e o eemplo 5, como 3 não é raiz de 3 7, temos = =. Eemplo 8. Pela propriedade L4 e o eemplo 5, = = =. 2 i= Eemplo 9. Como, pelo eemplo 5 e a propriedade L3, que = = 2, segue da propriedade L2 3.5 Forma indeterminada do tipo Se f e g são funções tais que f = = g, o ite de f, quando tende a a, pode ou g não eistir e, portanto, é denominado forma indeterminada do tipo, já que o ite pode ou não eistir, como mostram os eemplos a seguir. Eemplo. 3 2 =

8 Eemplo. 2 + Eemplo 2. Não eiste = Esse tipo de problema será tratado mais a frente. Nesse momento, para resolvermos ites com a forma indeterminada /, devemos trabalhar a epressão do quociente f/g a fim de não mais ter uma indeterminação. Vamos começar calculando os ites dos eemplos e. No primeiro, temos que é raiz do numerador e do denominador, então vamos fatorá-los, o que é feito através de divisão de polinômios. 3 2 = = + fatorando 3 e 2 como = + No segundo, novamente é raiz do numerador e do denominador, mas a função não é racional. Nesse caso, vamos racionalizar o quociente, isto é, multiplicar por como uma fração de numerador e denominador iguais a Usaremos ainda o fato de que a 2 b 2 = a ba + b para todos a, b R. L = Vamos fazer mais eemplos: racionalizando = 2 + = + Eemplo 3. Mais um eemplo com fatoração = + colocando em evidência = como = como como = 5 3 = = 2 2 continuamos com /, dividimos por de novo 8

9 Note que se tivéssemos fatorado o numerador e o denominador, teríamos poupado trabalho: = = = fatorando como Eemplo 4. Mais uma eemplo com racionalização = racionalizando = = 3 como 3 = Para alguns ites do tipo /, pode ser útil fazer uma mudança de variáveis, como veremos a seguir Eemplo 5. Vamos calcular fazendo uma troca de variáveis do tipo y = 3 4. Como 2 2 2, temos que y 3 8 = 2. Ainda, como y = 3 4, temos que 4 = y 3, donde = y3 4. Assim: = 2 y 2 y 2 y fazendo y = 3 4 = y 2 4 fatorando y 3 8 = 4 y 2 y 2 y 3 8 y 2 y 2y 2 + 2y + 4 = y 2 como y 2 4 y 2 + 2y + 4 = 4 6 = 4 3 Eemplo 6. Vamos calcular fazendo a seguinte troca de variáveis y = 6. Temos que y = 6 y 2 = 3 e y 3 = Além disso, como, temos que y 6 =. Dessa forma: 3 = y y 2 y 3 = y y y + y y 2 + y + = y + y y 2 = 2 + y + 3 fazendo y = 6 fatorando como y 3.6 Limites Laterais Ao considerarmos f, estamos interessados no comportamento da função y = f para valores de próimos de a, podendo ser maior ou menor que a. Entretanto, algumas funções tem um comportamento diferente à direita e à esquerda de a. 9

10 Eemplo 7. Considere a função f =, então f = {, se >, se < Logo, se está próimo de e à direita de, então os valores de f são sempre iguais a. Por outro lado, se está próimo de e à esquerda de, então os valores de f são sempre iguais a. Representamos essa situação da seguinte maneira: + = e =. O símbolo + indica que estamos considerando somente valores de maiores que e o símbolo indica que estamos considerando somente valores de menores que. Definição 2. Limite lateral à direita Seja f uma função definida no intervalo aberto a, b. Escrevemos f = L + e dizemos que o ite de f quando tende a a pela direita é L, se os valores de f ficam arbitrariamente próimos de L bastando para isso tomarmos valores de sufcientemente próimos de a e à direita de a. Isto é, se para todo ε > eistir um δ >, tal que Analogamente definimos ite lateral à esquerda. < a < δ f L < ε. Definição 3. Limite lateral à esquerda Seja f uma função definida no intervalo aberto c, a. Escrevemos f = L e dizemos que o ite de f quando tende a a pela esquerda é L, se os valores de f ficam arbitrariamente próimos de L bastando para isso tomarmos valores de sufcientemente próimos de a e à esquerda de a. Isto é, se para todo ε > eistir um δ >, tal que δ < a < f L < ε. Observação 2. As propriedades L, L2, L3 e L4 do Teorema 2 continuam válidas para ites laterais. Eemplo 8. Seja f = 2. Como 2 + quer dizer que > 2, temos que 2 + f = 2 2 =. Por outro lado, se 2, temos que < 2, donde 2 < e a função não está definida para valores negativos. Assim, não podemos calcular o ite à esquerda 2 f. Eemplo 9. Considere a função f = 2. Temos que Df = { R 2 } = [, ]. Assim, nos pontos = e =, não estão definidos os ites laterais à esquerda e à direita,

11 respectivamente. No entanto f = e f + Limites laterais são especialmente importantes no cálculo de ites de funções definidas por partes, já que a eistência do ite de f quando tende a a está condicionada à eistência dos ites laterais da seguinte forma: Teorema 3. f = L se e somente se f = L e Eemplo 2. Vamos calcular, se possível, o f onde f = f = L , se <,, se = 2, se >. Quando <, a função é 2 4, donde Já quando >, temos f = 2, donde f = 4 = 3. 2 Então, pelo teorema 3, f = 3. f = = Note que não usamos o fato de f =, já que no cálculo do ite estamos interessados no comportamento da função quando se aproima de, mas é diferente de. Ainda, note que f = 3 = f isso quer dizer que a função f não é contínua em =. Esse será o assunto da próima seção. Note ainda que poderíamos calcular facilmente outros ites. Por eemplo, f = 2 4 = 4 e f = 2 = pois a lei da função na proimidade de ou de 3 não muda. Eemplo 2. Vamos calcular, se possível, f onde f = , 2. Primeiro, 2 2 notamos que essa é uma função por partes: f = , se / , se /3 < < , se > 2 2

12 Então: 2 f = = = = 7 2 como /3 < < 2 fatorando como 2 Por outro lado: 2 + f = = = = como > 2 fatorando como 2 Portanto, pelo Teorema 3, não eiste 2 f. Eemplo 22. Questão da a 2 3 prova de 27- Vamos calcular, se eistir,. Temos que 2, se =, assim, é necessário analisar os ites laterais. Temos que:, se < 2 3 = = = = > fatorando 2 3 como 2 3 = = = = < fatorando 2 3 como 2 3 Como os ites laterais são distintos, segue que não eiste Função contínua Definição 4. Seja f uma função definida no intervalo aberto I e seja a I. Dizemos que f é contínua em a se f = fa. Observação 3. Note que estamos eigindo, na verdade, 3 condições para que f seja contínua em a:. eiste fa, 2. eiste f e 3. f = fa Eemplo 23. Para todo a, +, a função a y = é contínua. Eemplo 24. veja o eemplo 5 A função polinomial p = a n n +a n n +...+a +a é contínua em a, para todo a R, já que p = a na n + a n a n a a + a = pa. 2

13 Nesse caso, como é contínua em todo a Dp, dizemos apenas que p é contínua. Definição 5. Dizemos que função é contínua se for contínua em em todos os pontos do seu domínio. Definição 6. Seja f uma função definida no intervalo aberto I e seja a I. Dizemos f é descontínua em a se f não for contínua em a, isto é, se: não eiste f ou f fa. Eemplo 25. A função do eemplo 2 é descontínua em pois f = 3 = f. Porém, nos demais a R, a função é contínua pois é polinomial. De fato, Df = R e f = Eemplo 26. A função f = { 2 = 2 a = fa, se a > 2 4 = a 2 4 = fa, se a < 2 + se, 4 se = é descontínua em. De fato, f = 2 + = 3 4 = f Porém, para os demais a R \ {}, f é contínua pois é polinomial. Eemplo 27. Vamos determinar a, b R para que a função f : R R definida por 2 + a, se < f = b, se = + seja contínua em R. Para < e >, a função é polinomial e, portanto, contínua. Para =, devemos ter Temos que f = f = f = f = b + 2 a = a + e f = + Assim, para que eista f, devemos ter a =. Por fim, b = f = f = 2 + = 2 + Eemplo 28. Questão da a prova de 27- Consideramos a f : R R a função definida por f = { se < a se a 3

14 Vamos determinar os valores de a para os quais f é contínua em R. Primeiro, para a a função f é polinomial e portanto contínua. Temos que Logo, para que eista f é necessário que Além disso, como f = = a 4 4a 2 3 f = = a 2 7. a 4 4a 2 3 = a 2 7 a = ± ou a = ±2. fa = a 2 7 = + f o que fizemos anteriormente já basta. Portanto, temos que f é contínua se e somente se a = ± ou a = ±2. Teorema 4. Sejam f e g funções contínuas em a, então são contínuas em a as funções f + g, fg e f/g, se, neste último caso, ga. Eemplo 29. Toda função racional é contínua em seu domínio, o que já sabíamos pela propriedade L3 de ites ver Teorema 2. Eemplo 3. Questão da a prova de 26-2 Sejam a e b constantes reais não nulas e f : R R a função dada por: 2 a + 2, f = b Vamos determinar a e b de forma que f seja contínua em R. Para, a função é racional, donde é contínua. Para =, temos que f = b, donde devemos ter 2 a + 2 = b Para o ite eistir, devemos ter como raiz de 2 a + 2, isto é, Portanto, b = = 2 =. a + 2 = a = 3 Teorema 5. Sejam f e g funções tais que f = b e g contínua em b, g f = gb, ou seja, gf = g f. Em particular, a composição de funções contínuas é contínua. Eemplo 3. Se f é uma função polinomial e g =, então g f = f é contínua em a se fa > veja propriedade L4 no Teorema 2. 4

15 Como a continuidade depende da eistência do ite f, faz sentido estudar também continuidade lateral, analogamente ao que fizemos com ites laterais: Definição 7. Seja f uma função definida no intervalo aberto I e seja a I. Dizemos f é contínua à direita de a se f = fa e dizemos que f é contínua à esquerda de a se f = fa. + Em particular, f é contínua em a se e somente se é contínua à esquerda e à direita de a. Definição 8. Dizemos que função é contínua em um intervalo fechado [a, b] se f for contínua em a, b, contínua à direita de a e continua à esquerda de b. Eemplo 32. Voltando à função f = 2 do eemplo 9. Sabemos que Df = [, ] e Portanto, f é contínua em seu domínio [, ]. f = = f + f = = f f = fa se a, Teorema 6. Teorema do Valor Intermediário Se f for contínua no intervalo fechado [a, b] e L for um número real tal que fa L fb ou fb L fa, então eiste pelo menos um c [a, b] tal que fc = L. Observação 4. Como consequência desse teorema temos que:. o gráfico de uma função contínua num intervalo pode ser traçado sem tirar o lápis do papel. 2. se f for contínua em [a, b] e fa e fb tem sinais opostos, então eiste pelo menos um c a, b tal que fc =. Eemplo 33. Seja f = Temos que f = 3 e f = 5+3 =, assim, pelo Teorema 6, eiste pelo menos um a [, ] tal que fa =. Ainda, f2 = = 9, então eiste pelo menos mais uma raiz de f em [, 2]. 3.8 Funções itadas Definição 9. Uma função f é dita itada superiormente se eiste M R tal que f M para todo Df. Por outro lado, é dita itada inferiormente se eiste N R tal que f N para todo Df. Se f for itada superiormente e inferiormente, dizemos apenas que f é itada. temos que Imf [N, M] e, então, tomando L = ma{ N, M } temos que f L., se < Eemplo 34. A função f = é itada, pois Imf = {, 2}. 2, se Nesse caso, 5

16 Eemplo 35. A função f = é itada inferiormente, pois por definição. No entanto, quando cresce arbitrariamente, vemos que também cresce arbitrariamente:.. Dessa forma, não é itada superiormente. Eemplo 36. A função f = temos: não é itada: quando se aproima de pela direita ou esquerda, < -, - -, - -, - -, - -, - -, -.. >,,,,,,.. Isto é, a medida que > se aproima de zero, f atinge valores positivos arbitrariamente grandes. Por outro lado, quando < se aproima de zero, f atinge valores negativos com módulos arbitrariamente grandes. Por isso, não podemos encontrar L tal que f L. Eemplo 37. Comparando com o eemplo anterior, vejamos a função f = 2. Sabemos que 2 > para todo R \ {} = Df. Assim, f = > para todo Df, o que significa que f é 2 itada inferiormente. Porém, quando se aproima de, tanto pela direita quanto pela esquerda, f torna-se arbitrariamente grande, isto é, f não é itada superiormente. Eemplo 38. Seja R. Temos que 2 e, então, 2 +. Isso significa que disso, 2 < 2 + para todo R, o que significa que itada pois sua imagem está contida em [, ] <. Assim, a função f = 2. Além 2 + é 6

17 3.9 Limites infinitos Voltando ao eemplo 36 da função f =, já sabemos que f não é itada, por isso temos que os ites laterais + e não eistem. O comportamento observado, na verdade, é que o módulo de cresce indefinidamente quando se aproima de. Mais formalmente, temos que dados M > e N <, eiste δ > tal que sempre, δ, tem-se que f = > M e se δ,, então f = < N. Na notação de ite, escrevemos: + = + e = Em geral, fazendo uma análise como a do eemplo 36, temos que para n N: = + e + n n = +, se n é par, se n é ímpar Em qualquer um desses casos, dizemos que a reta = ou seja, o eio y é uma assíntota vertical do gráfico de f =. A definição formal de um ite infinito é dada a seguir: Definição. Dizemos que f = + se dado M > eiste δ > tal que sempre que < a < δ então f > M. Dizemos que f = se dado N < eiste δ > tal que sempre que < a < δ então f < N. Observação 5. Os ites infinitos com a + ou a são análogos, trocando < a < δ por, δ ou δ,, respectivamente. Definição. Em qualquer um dos casos da definição ou da observação 5, dizemos que a reta de equação = a é uma assíntota vertical do gráfico da função f. 7

18 Vamos modificar um pouco os eemplos vistos, considerando o comportamento das funções f = e g = definidas em R \ { 2} nas proimidades de = f = + 2 g = Vemos que ambas funções são iitadas, pois quando se aproima de 2, tanto f quanto g crescem arbitrariamente. Vemos ainda que o denominador é o mesmo e se aproima de quando se aproima de 2, sendo negativo quando 2 e positivo quando 2 +. Além disso, ambos os numeradores são diferentes e não se aproimam de de quando se aproima de 2, porém, nessa vizinhança, têm sinais opostos. A questão do sinal do numerador e do denominador é, então, determinante para dizermos que a função tende a ou +. Teorema 7. Sejam f, g funções tais que f = L e g =. Então: f f. = + se > próimo de a. g g f f 2. = se < próimo de a. g g Observação 6. O teorema 7 continua válido para a + ou a no lugar de a. Observação 7. Em qualquer um dos casos do Teorema 7 ou da observação 6, temos que = a é uma assíntota vertical do gráfico da função h = f g. Eemplo 39. Seja f = sinal de f, temos:. Temos que + 2 = 2 e =. Fazendo o estudo de f =

19 Dessa forma, f = Teorema 7 que Eemplo 4. Seja g = + 2 > se 2 e f = 2 = + e Temos que = 4 e + 2 < se 2+. Portanto, segue do + 2 = + 2 =. Como 2 2 > quando 2, temos que o sinal de g = depende apenas do sinal de + 2, que é negativo se e posivito se 2 +. Tudo isso pode ser visto no seguinte estudo de sinal: Dessa forma, g = f = < se 2 e g = = e = + Eemplo 4. Questão da a prova de 26-2 Vamos estudar o = 3 < e = > se 2+. Segue do Teorema 7 que Primeiro, temos que + 2 Assim, se o denominador for positivo, o quociente 2 será negativo e, se o denominador + 2 for negativo, o quociente será positivo. Como 2 > quando, segue que o sinal do denominador depende apenas do sinal de + 2. Agora, como 2 +, temos que > 2, donde + 2 >. Logo, > quando 2 +. Essa discussão pode ser resumida com o estudo de sinal a seguir Portanto, segue do Teorema 7 que = Eemplo 42. Questão da a 3 prova de 27- Vamos estudar o. Temos que = 7 > + e ainda que =. Como o numerador é positivo na vizinhança de 2, o sinal do quociente de- + 9

20 pende apenas do sinal do denominador. Temos Portanto, = 3. Limites no infinito 2 + = > 2 = 2 > 4 = 2 < 4 = 4 2 < Já investigamos comportamentos de funções quando se aproima de um valor fiado. Agora, gostaríamos de estudar os casos em que cresce ou descresce iitadamente. Isto é, os casos em que + ou. Como um primeiro eemplo, consideremos a função f =. Na tabela abaio, temos os valores de f para alguns valores de módulo grande de. Em ambos os casos, vemos que f = se aproima de, o que é fácil de entender, pois em estamos dividindo por um número de módulo muito grande, obtendo um número de módulo muito pequeno. -, -, -, -, -, -, -, -,.. +,9,99,999,9999,99999,999999, , Tentando ser um pouco mais precisos no caso em que cresce indefinidamente, vamos considerar o seguinte: podemos tormar grande o suficiente de forma a tornar arbitrariamente perto de. Vamos começar escolhendo uma tolerância para essa distância, isto é, um número positivo arbitrário pequeno. Consideremos, por eemplo,,. Quão grande devemos escolher para termos, < <? Temos que, < <, < < < <, >, = Isto é, tomando >, temos que f <,. 2

21 Esse argumento funcionará para qualquer tolerância ɛ > escolhida: eistirá M > tal que sempre que > M, teremos < f < ɛ. Dessa forma, dizemos que quando +, f e escrevemos + = Fazendo o mesmo tipo de raciocínio quando decresce iitadamente, obtemos No gráfico da função, vemos esses comportamentos: = A reta y = é chamada, nesse caso, assíntota horizontal do gráfico da função. As definições a seguir generaliza os comportamentos apresentados: Definição 2. Seja f uma função definida em um intervalo aberto a, +. Dizemos que, quando cresce iitadamente, f se aproima de L e escrevemos f = L + se, para qualquer número ɛ >, eistir M > tal que sempre que > M então f L < ɛ. Definição 3. Seja f uma função definida em um intervalo aberto, a. Dizemos que, quando decresce iitadamente, f se aproima de L e escrevemos f = L se, para qualquer número ɛ >, eistir N < tal que sempre que < N então f L < ɛ. Definição 4. Em qualquer um dos casos da definições 2 e 3, dizemos que y = L é uma assíntota horizontal para o gráfico de f. Eemplo 43. Seja f =. Seja ɛ >. Sempre que > ɛ >, temos que < < ɛ. Por outro lado, sempre que < ɛ <, temos que ɛ < <. Isso significa que dado ɛ >, sempre que > ɛ, 2

22 temos que < ɛ. Dessa forma, concluimos que + = e = Decorrem das definições 2 e 3, mas não mostraremos, que: Teorema 8. Se duas funções f, g possuem ites quando +, digamos g = L 2 R, então + f + g = L + L 2 R + fg = L L 2 R + f + g = L R, se L 2 L 2 Observação 8. O Teorema 8 continua válido trocando + por Eemplo 44. Seja n um inteiro positivo, como + f = L R e + + = e =, então segue do Teorema 8: n = e n = Algumas funções têm comportamento ainda diferente. Por eemplo, o gráfico a seguir mostra as funções y = n para n {2, 4, 6}. O que observamos é que quando cresce ou decresce iitamente, a função y = n, nesses casos, cresce iitadamente. De fato, potências pares de números reais não-nulos são sempre positivas e crescem iitadamente. Já para potências ímpares, quando descresce iitadamente, n também decresce iitadamente. 22

23 Teorema 9. Seja n Z +. Então + n = + e n = +, se n é par, se n é ímpar Vejamos a definição formal do caso em que f cresce iitadamente quando cresce iitadamente. Definição 5. f = + se e somente se fiado M >, eiste N > tal que sempre que > N, + então f > M Observação 9. Os ites forma análoga. Faça isso. f = +, f = e + f = são definidos de Podemos usar esse teorema para estudar o comportamento de polinômios e funções racionais quando + ou, como veremos nos eemplos a seguir: Eemplo 45. Vamos ver alguns eemplos de ites de polinômios usando o eemplo 44 e o Teorema 9. a = b = c = d = = como = como = como + 24 = = = + como + 3 = 3 = + Esses eemplos nos mostram que o comportamento da função polinomial quando ± depende apenas do comportamento do monômio de maior grau. Eemplo 46. Vamos ver alguns eemplos de ites de funções racionais novamente usando o eemplo 44 e o Teorema 9. 23

24 a + 2 = = 2 + como = = b = + 3 c = = = como como = 2 2 = = como = 2 como 2 = Pelo que aconteceu no eemplo anterior, dizemos que os ites de funções racionais quando ± são indeterminações do tipo : podem eistir isto é, resultar em um número ou não. 2 = Vamos ver agora eemplos de ites quando ± envolvendo polinômios e raízes. Eemplo = = = = + como 2 = = pois > como 2 = + + Eemplo = = = = como 2 = = pois < como 2 = 24

25 Eemplo 49. Questão da a prova de 27- Vamos calcular, se eistir, = = < = = = como = como 2 = = Eemplo 5. O ite abaio tem uma indeterminação do tipo entre parênteses: = 3 = Vamos começar multiplicando e dividindo por 2 + : 2 = = = = = + = = = pois > = + = + como = = + = 2 25

26 3. Eercícios. Calcule os ites, se eistirem. a b c d e f g 3/ h 3 3 i j k l m n o + 3 p q r s t h 2 9 u h h t v t w y z t Calcule os ites, se eistirem. a b c d e f

27 g h i j k l m n t o t 4 t 2 p q r s t u v w y z Seja f :, + R uma função contínua tal que f =, + f = 2 e f = + Marque a alternativa incorreta: a f = 2. b A função não possui raízes reais. c A reta = é assíntota vertical do gráfico de f. d A reta y = é assíntota horizontal do gráfico de f. e O gráfico de f intercepta y = em pelo menos 2 pontos. 4. Sobre a função, se 3 3, se > 3 pode-se afirmar que a b É definida e contínua para todo R. É definida e contínua somente para > 3. 27

28 c É definida para todo R e descontínua apenas em = 3. d e É definida e contínua somente para 3. É definida e contínua somente para Determine, se eistir, o ite da função a seguir quando tende a A função é contínua em R? 6. Considere as seguintes afirmativas: se 4, se = I. Se f = L então f = L. II. Se eiste f então eiste f. III. Se f é uma função definida em [a, b] e fa < < fb, então eiste c [a, b] tal que f =. Temos que a Todas as afirmativas são verdadeiras. b Todas as afirmativas são falsas. c Apenas a afirmativa I é verdadeira. d Apenas a afirmativa II é falsa. e Apenas a afirmativa III é falsa. 7. Sejam a, b R. Considere a função y = f definida no intervalo [ 4, 8] dada por + 6, se 4 a + b, se < < 4 2, se 4 8 Podemos afirmar que a + b vale a -2 b -2 c d 4 e 6 8. Marque a alternativa correta: a Se f = e g =, então fg = f b Se f = e g =, então g = f c Se f = e g = +, então g = f d Se f = + e g =, então g = + e Se f = e g = +, então f g = 28

29 9. Mostre que = tem pelo menos uma solução real.. Eiste um número que é eatamente um a mais que seu cubo? 2. Ache as assíntotas horizontais de f = 2 +. Eistem assíntotas verticais? Determine, se eistirem as assíntotas verticais e horizontais das funções a seguir. a f = 2 5 b f = c f = d f = Calcule os ites laterais nos pontos de descontinuidade das funções a seguir. a f = b f = { 2, if < 2; 2 +, if > 2.. Eercícios etras 4. Cálculo A- páginas 93 a 95, menos e Cálculo - vol, Stewart, seções 2. a 2.6 Eercícios de provas anteriores c f = d f = { { 5 3, if < ; 2, if , if < 2; 2 + 3, if Sejam a e b constantes reais não nulas e f : R R a função dada por: a + 2 f =, b Sabendo que f é contínua, podemos afirmar que: a ab > b ab é ímpar c a + b = d a + b < e a < b f Seja f : R R uma função tal que vale: =. Podemos afirmar que f 2 a b c d 2 e Considere a função f : R R representada pelo gráfico abaio. Marque a afirmação CORRETA. 29

30 a + f = b + f = c d + + f = + f + = e f + = Respostas dos eercícios. a 5 b -/ c e 3 f 2 g 7/ i 2/4 j k 3 m 2 n o -9 q 5/3 r - s 3 u 6 v /6 w + y /2 z + d -2 h /4 l /8 p -/8 t / a -2 e + i m 3/4 q u + y /2 b f j + n r -5/4 v -5/2 z c 2 g + k + o -6 s w 32 d + h l -4/5 p /6 t -4-25/32 3. B 4. C 6. C 7. D 8. E. Sim, eiste [ 2, ].. Assíntota vertical = 3/5, horizontais y = ± 2/3. 2. a = 5 e y = b = ± e y = c = 3 d = ±9 e y = 3. a f = 3 e f = b f = e f = + c d f = 2 e f = + f = 4 e f = B 7. B 8. D 3