2.1 O problema das áreas - método de exaustão

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1 Capítulo 2 Limite de uma função Podemos afirmar que o conceito de ite é uma das ideias fundamentais do Cálculo Diferencial. Seu processo de construção surge historicamente a partir de problemas geométricos como, por eemplo, no cálculo da área de regiões planas e na determinação retas tangentes à uma curva. Apresentaremos rapidamente esses dois problemas que motivaram a definição de ite, como no livro Cálculo com Geometria Analítica - Vol. de George Simmons Editora Makron Brooks. 2. O problema das áreas - método de eaustão A área de um retângulo é o produto das medidas de sua base e sua altura. Já a área de um triângulo é a metade do produto das medidas de sua base e altura. Como um polígono pode ser sempre decomposto em triângulos, sua área é a soma das áreas dessses triângulos. Figura 2.: Áreas. O círculo é uma figura mais complicada. Os gregos resolveram o problema de achar a sua área de uma maneira natural. Figura 2.2: Método para aproimar a área do círculo. Primeiro eles aproimaram essa área, inscrevendo um quadrado. Depois eles melhoram a aproimação, passo a passo, dobrando o número de lados, isto é, inscrevendo um octógono regular, depois um polígono regular de 6 lados e assim por diante. As áreas desses polígonos inscritos aproimam a área eata do círculo com uma precisão cada vez melhor. Vamos ver que esse 45

2 46 CAPÍTULO 2. LIMITE DE UMA FUNÇÃO processo chega à fórmula A = πr 2 para a área do círculo de raio r. Suponha que o círculo tenha inscrito nele um polígono com um número grande n de lados, como abaio. Figura 2.3: Círculo com polígono de n lados. Cada um dos triângulos isóceles mostrados na figura anterior tem área igual a bh 2 e a soma dessas áreas é igual a área do polígono, que é uma aproimação da área do círculo. Se p denota o perímetro do polígono, então temos que A polígono = 2 bh + 2 bh bh = 2 hb + b b = 2 hp. Como o número de lados cresce, h tende a r em símbolos h r e p tende ao comprimento do círculo c = 2πr em símbolos p c. Portanto, A polígono = 2 hp 2 rc = 2 r2πr = πr2. Esse processo é conhecido por método de eaustão porque a área do círculo foi eaurida pelas áreas dos polígonos inscritos. 2.2 Reta tangente a uma curva Um problema básico do Cálculo Diferencial é o problema das tangentes: determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto P dado. Figura 2.4: Reta tangente à uma curva. Antes de tentar calcular o coeficiente angular da reta tangente, devemos decidir primeiro o que é uma reta tangente. No caso de uma circunferência não há dificuldade. Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto, chamado ponto de tangência. As retas não tangentes ou não interceptam a circunferência ou interceptam em dois pontos. Essa situação reflete a ideia intuitiva que a maioria das pessoas tem de tangente a uma curva num dado ponto como sendo a reta que toca a curva naquele ponto. Ela sugere também a

3 2.2. RETA TANGENTE A UMA CURVA 47 Figura 2.5: Relações entre círculo e retas e entre curvas e retas. possibilidade de definir uma tangente a uma curva como uma reta que intercepta a curva em apenas um ponto, mas em geral essa ideia é insatisfatória, como vemos na Figura 3.5. O conceito moderno de reta tangente originou-se com Fermat, em torno de 63. Considere uma curva, gráfico da função y = f, e P um ponto nessa curva. Considere Q um segundo ponto próimo de P sobre essa curva e desenhe a reta secante P Q. A reta tangente em P pode ser definida como a posição ite da secante variável quando Q desliza ao longo da curva na direção de P. Figura 2.6: Posição ite da secante. Mas como calcular o coeficiente angular da reta tangente? Seja P =, y um ponto na curva y = f. Para começar o processo escolha um segundo ponto Q =, y sobre a curva. O coeficiente angular da secante P Q é m sec = coeficiente angular da reta P Q = y y. Figura 2.7: Cálculo do coeficiente angular. Em seguida, façamos se aproimar de, de modo que o ponto variável Q se aproime do ponto P, ao longo da curva. Quando acontece isso, a secante muda de posição e se aproima da tangente em P como sua posição ite. É também intuitivo que o coeficiente angular m da tangente é o valor ite aproimado pelo coeficiente angular m sec da secante. Se usarmos

4 48 o símbolo para indicar se aproima, m sec tende a m e escrevemos: CAPÍTULO 2. LIMITE DE UMA FUNÇÃO ou tende, então dizemos que quando tende a m = m y y sec =. P Q A formalização do conceito de ite de uma função visto através do método da eaustão e do cálculo do coeficiente angular de uma reta tangente será nosso objeto de estudo ao longo do capítulo. 2.3 Definição de ite Intuitivamente dizemos que uma função f tem ite L quando tende para a, se é possível tomar f arbitrariamente próimo de L, desde que tomemos valores de, a, suficientemente próimos de a. Inicialmente, vamos desenvolver essa ideia intuitiva, estudando o comportamento de uma função y = f próimo a um ponto que não pertence, necessariamente, ao seu domínio. Consideramos, por eemplo, a função a seguir, cujo domínio é R \ {}. f = Vamos construir uma tabela de valores de f quando se aproima de, pela esquerda isto é, quando < e pela direita isto é, quando > : < f - 2,5 -,5 2,5,7 -,3 2,7,9 -, 2,9,99 -, 2,99,999 -, 2,999,9999 -, 2,9999, , 2,99999, , 2,999999, , 2, , , 2, > f 2 4,5,5 3,5,3,3 3,3,, 3,,9, 3,9,9, 3,9,9, 3,9,9, 3,9,9, 3,9,9, 3,9,9, 3,9 Observando as tabelas, concluimos que: quando se aproima de, os valores de f se aproimam de 3. A noção de proimidade fica mais precisa se utilizarmos o valor absoluto: no caso, o que observamos é que quando fica pequeno f 3 fica pequeno também. Veja que essa relação de implicação vem da própria função, pois quando, isto é, Dom f, então: f 3 = = = Assim, a distância entre f e 3 depende da distância entre e. Para outro eemplo, vamos considerar f = +. Aqui, o domínio de f é todo o conjunto 2 dos reais. Vamos analisar o comportamento de f quando se aproima de. Para isso, vamos assumir que está ficando pequeno, como no eemplo anterior.

5 2.3. DEFINIÇÃO DE LIMITE 49 < f -,5 -,5,25,7 -,3,35,9 -,,45,99 -,,495,999 -,,4995,9999 -,,49995, ,,499995, ,, , ,, , ,, > f 2 2,5,5,75,3,3,65,,,55,9,,545,9,,545,9,,545,9,,545,9,,545,9,,545,9,,545 Pelas tabelas, vemos que quando se aproima de, f se aproima de 3. Na verdade, como 2 fizemos no eemplo anterior, podemos notar que f 3 2 = = 2 2 = 2 Isto é, a distância entre f e 3 2 depende da distância entre e. Por eemplo, se a distância entre e for menor do que,, isto é, <,, então a distância entre f e 3 2 será f 3 2 = <, 5 2 Vemos que o tamanho, foi apenas um eemplo, pois podemos escolher qualquer número positivo, o menor que seja, e fazer o mesmo raciocínio. Estamos prontos para a definição formal de ite. Compare-a com os eemplos anteriores. Definição 8. Sejam a um número real e I um intervalo aberto contendo a. Seja f uma função definida em I, eceto, talvez, no próprio a. Dizemos que o ite de f, quando tende a a, é L e escrevemos f = L, se para todo ε > eistir um δ >, tal que < a < δ f L < ε. Observação 8. Como vimos no primeiro eemplo dessa seção, para a definição de f não é necessário que a função f esteja definda em a. Nos interessa o comportamento de f quando está próimo de a.

6 5 CAPÍTULO 2. LIMITE DE UMA FUNÇÃO Teorema 2. Se eiste ite de uma função f, quando tende a a, então ele é único. Eemplo. Sejam k um número real e f = k a função constante. Então para qualquer a R, temos f = k. Primeiro, notamos que f k = k k =, que é menor do que qualquer número positivo. Então, fiando qualquer ε > e escolhendo δ = ε temos que independentemente de < a < δ = ε sempre teremos f k = k k = < ε. Eemplo 2. Sejam a um número real e f = a função identidade. Então = a. De fato, fiando qualquer ε >, então escolhendo δ = ε temos: < a < δ = ε f a = a < δ = ε. Eemplo 3. Vamos mostrar que =. Para isso, devemos mostrar que dado ε >, eiste um δ > tal que < 2 < δ 2 3 < ε. Observe que 2 3 = 2 4 = 2 2 = 2 2. Logo: se < 2 < δ, então 2 3 = 2 2 < 2δ. Assim, para qualquer ε > fiado, escolhendo δ = ε 2 teremos que < 2 < ε 2ε = 2 3 = 2 2 = 2 2 < 2δ = 2 2 = ε. Eemplo 4. O eemplo anterior pode ser generalizado para qualquer função afim f = a+bquando tende a c, onde a, b, c R, a. De fato, para mostrar que a+b = ac+b, c vemos primeiro que a + b ac + b = a ac = a c. Assim, fiando ε > e escolhendo δ = ε a temos que < c < ε a = a + b ac + b = a ac = a c < aδ = aε a = ε. 2.4 Propriedades do ite de uma função Teorema 3. Sejam f e g funções definidas em um intervalo I contendo a, eceto, possivelmente, em a. Se f = L e g = M, então: L f + g = L + M; L2 fg = LM; f L3 g = L, se M ; M L4 n f = n L, se L > e n N ou L < e n N ímpar. Uma consequência imediada das propriedades L e L2 é: Eemplo 5. Se p = b n n + b n n b + b := então para qualquer a R: n p = b i i = i= L n i= n b i i é uma função polinomial, i= b i i = L2 n b i a i = pa. i=

7 2.5. FORMA INDETERMINADA DO TIPO 5 Pelo eemplo anterior, uma função polinomial é nosso primeiro eemplo de função contínua, isto é, uma função tal que f = fa para todo a Df. Voltaremos a isso mais a frente. Eemplo 6. Pelo eemplo 5, temos: = = 5. Eemplo 7. Pela propriedade L3 e o eemplo 5, como 3 não é raiz de 3 7, temos = =. Eemplo 8. Pela propriedade L4 e o eemplo 5, = = = 2 = 2, segue da propri Eemplo 9. Como, pelo eemplo 5 e a propriedade L3, edade L2 que = Forma indeterminada do tipo Se f e g são funções tais que f = = g, o ite de f, quando tende a a, g pode ou não eistir e, portanto, é denominado forma indeterminada do tipo, já que o ite pode ou não eistir, como mostram os eemplos a seguir. 3 Eemplo. 2 = 3 2. Eemplo. 2 + Eemplo 2. Não eiste frente. = Esse tipo de problema será tratado mais a Nesse momento, para resolvermos ites com a forma indeterminada /, devemos trabalhar a epressão do quociente f/g a fim de não mais ter uma indeterminação. Vamos começar calculando os ites dos eemplos e. No primeiro, temos que é raiz do numerador e do denominador, então vamos fatorá-los, o que é feito através de divisão de polinômios. 3 2 = = + fatorando 3 e 2 como = + No segundo, novamente é raiz do numerador e do denominador, mas a função não é racional. Nesse caso, vamos racionalizar o quociente, isto é, multiplicar por como uma fração de numerador e denominador iguais a Usaremos ainda o fato de que a 2 b 2 = a ba+b para todos a, b R. L3 3 2

8 52 CAPÍTULO 2. LIMITE DE UMA FUNÇÃO 2 + = racionalizando = 2 + = + como = 2 2 Vamos fazer mais eemplos: Eemplo 3. Mais um eemplo com fatoração = colocando em evidência = como = como = 5 3 = continuamos com /, dividimos por de novo Note que se tivéssemos fatorado o numerador e o denominador, teríamos poupado trabalho: = = = fatorando como Eemplo 4. Mais uma eemplo com racionalização = racionalizando = = 3 como 3 = Para alguns ites do tipo /, pode ser útil fazer uma mudança de variáveis, como veremos a seguir. Eemplo 5. Vamos calcular fazendo uma troca de variáveis do tipo y = Como 2, temos que y 3 8 = 2. Ainda, como y = 3 4, temos que 4 = y 3, donde = y3 4.

9 2.6. LIMITES LATERAIS 53 Assim: = 2 y 2 y 2 y fazendo y = 3 4 = y 2 4 = 4 y 2 y 2 y 3 8 y 2 y 2y 2 + 2y + 4 = y 2 4 y 2 + 2y + 4 = 4 6 = 4 fatorando y 3 8 como y 2 3 Eemplo 6. Vamos calcular fazendo a seguinte troca de variáveis y = 6. Temos que y = 6 y 2 = 3 e y 3 = Além disso, como, temos que y 6 =. Dessa forma: 3 y 2 y y + y + = y y 3 = y y y 2 + y + = y y 2 = 2 + y + 3 fazendo y = 6 fatorando como y 2.6 Limites Laterais Ao considerarmos f, estamos interessados no comportamento da função y = f para valores de próimos de a, podendo ser maior ou menor que a. Entretanto, algumas funções tem um comportamento diferente à direita e à esquerda de a. Eemplo 7. Considere a função f =, então f = {, se >, se < Logo, se está próimo de e à direita de, então os valores de f são sempre iguais a. Por outro lado, se está próimo de e à esquerda de, então os valores de f são sempre iguais a. Representamos essa situação da seguinte maneira: + = e =. O símbolo + indica que estamos considerando somente valores de maiores que e o símbolo indica que estamos considerando somente valores de menores que. Definição 9. Limite lateral à direita Seja f uma função definida no intervalo aberto a, b. Escrevemos + f = L e dizemos que o ite de f quando tende a a pela direita é L, se os valores de f ficam arbitrariamente próimos de L bastando para isso tomarmos valores de sufcientemente próimos de a e à direita de a. Isto é, se para todo ε > eistir um δ >, tal que < a < δ f L < ε. Analogamente definimos ite lateral à esquerda.

10 54 CAPÍTULO 2. LIMITE DE UMA FUNÇÃO Definição. Limite lateral à esquerda Seja f uma função definida no intervalo aberto c, a. Escrevemos f = L e dizemos que o ite de f quando tende a a pela esquerda é L, se os valores de f ficam arbitrariamente próimos de L bastando para isso tomarmos valores de sufcientemente próimos de a e à esquerda de a. Isto é, se para todo ε > eistir um δ >, tal que δ < a < f L < ε. Observação 9. As propriedades L, L2, L3 e L4 do Teorema 3 continuam válidas para ites laterais. Eemplo 8. Seja f = 2. Como 2 + quer dizer que > 2, temos que 2 + f = 2 2 =. Por outro lado, se 2, temos que < 2, donde 2 < e a função não está definida para valores negativos. Assim, não podemos calcular o ite à esquerda 2 f. Eemplo 9. Considere a função f = 2. Temos que Df = { R 2 } = [, ]. Assim, nos pontos = e =, não estão definidos os ites laterais à esquerda e à direita, respectivamente. No entanto f = e f= + Limites laterais são especialmente importantes no cálculo de ites de funções definidas por partes, já que a eistência do ite de f quando tende a a está condicionada à eistência dos ites laterais da seguinte forma: Teorema 4. f = L se e somente se f = L e Eemplo 2. Vamos calcular, se possível, o f onde f = Quando <, a função é 2 4, donde f = L , se <,, se = 2, se >. Já quando >, temos f = 2, donde f = 4 = 3. 2 Então, pelo teorema 4, f = 3. f = = Note que não usamos o fato de f =, já que no cálculo do ite estamos interessados no comportamento da função quando se aproima de, mas é diferente de. Ainda, note que f = 3 = f isso quer dizer que a função f não é contínua em =. Esse será o assunto da próima seção. Note ainda que poderíamos calcular facilmente outros ites. Por eemplo, f = 2 4 = 4 e pois a lei da função na proimidade de ou de 3 não muda. f = 2 = 5 3 3

11 2.7. FUNÇÃO CONTÍNUA 55 Eemplo 2. Vamos calcular, se possível, f onde f = , 2. Primeiro, notamos que essa é uma função por partes: , se /3 2 3 f = , se /3 < < 2 2 Então: , se > f = = = = 7 2 Por outro lado: como /3 < < 2 fatorando como f = = = = como > 2 fatorando como 2 Portanto, pelo Teorema 4, não eiste 2 f. Eemplo 22. Questão da a 2 3 prova de 27- Vamos calcular, se eistir,. Temos { 2, se que =, assim, é necessário analisar os ites laterais. Temos que:, se < 2 3 = = = = > fatorando 2 3 como 2 3 = = 2 < + 3 = 2 fatorando = como 2 3 Como os ites laterais são distintos, segue que não eiste Função contínua Definição. Seja f uma função definida no intervalo aberto I e seja a I. Dizemos que f é contínua em a se f = fa. Observação 2. Note que estamos eigindo, na verdade, 3 condições para que f seja contínua em a:

12 56 CAPÍTULO 2. LIMITE DE UMA FUNÇÃO. eiste fa, 2. eiste f e 3. f = fa Eemplo 23. Para todo a, +, a função a y = é contínua. Eemplo 24. veja o eemplo 5 A função polinomial p = a n n + a n n a + a é contínua em a, para todo a R, já que p = a na n + a n a n a a + a = pa. Nesse caso, como é contínua em todo a Dp, dizemos apenas que p é contínua. Definição 2. Dizemos que função é contínua se for contínua em em todos os pontos do seu domínio. Definição 3. Seja f uma função definida no intervalo aberto I e seja a I. Dizemos f é descontínua em a se f não for contínua em a, isto é, se: não eiste f ou f fa. Eemplo 25. A função do eemplo 2 é descontínua em pois f = 3 = f. Porém, nos demais a R, a função é contínua pois é polinomial. De fato, Df = R e f = 2 = 2 a = fa, se a > 2 4 = a 2 4 = fa, se a < Eemplo 26. A função f = { 2 + se, 4 se = é descontínua em. De fato, f = 2 + = 3 4 = f Porém, para os demais a R \ {}, f é contínua pois é polinomial. Eemplo 27. Vamos determinar a, b R para que a função f : R R definida por 2 + a, se < f = b, se = + seja contínua em R. Para < e >, a função é polinomial e, portanto, contínua. Para =, devemos ter f = f = f = b + Temos que f = 2 a = a + e f = + Assim, para que eista f, devemos ter a =. Por fim, b = f = f = 2 + = 2 +

13 2.7. FUNÇÃO CONTÍNUA 57 Eemplo 28. Questão da a prova de 27- Consideramos a f : R R a função definida por { f = se < a 2 7 se a Vamos determinar os valores de a para os quais f é contínua em R. Primeiro, para a a função f é polinomial e portanto contínua. Temos que f = = a 4 4a 2 3 f = = a 2 7. Logo, para que eista f é necessário que Além disso, como a 4 4a 2 3 = a 2 7 a = ± ou a = ±2. fa = a 2 7 = + f o que fizemos anteriormente já basta. Portanto, temos que f é contínua se e somente se a = ± ou a = ±2. Teorema 5. Sejam f e g funções contínuas em a, então são contínuas em a as funções f + g, fg e f/g, se, neste último caso, ga. Eemplo 29. Toda função racional é contínua em seu domínio, o que já sabíamos pela propriedade L3 de ites ver Teorema 3. Eemplo 3. Questão da a prova de 26-2 Sejam a e b constantes reais não nulas e f : R R a função dada por: 2 a + 2, f = b Vamos determinar a e b de forma que f seja contínua em R. Para, a função é racional, donde é contínua. Para =, temos que f = b, donde devemos ter 2 a + 2 = b Para o ite eistir, devemos ter como raiz de 2 a + 2, isto é, a + 2 = a = Portanto, b = = 2 =. Teorema 6. Sejam f e g funções tais que f = b e g contínua em b, g f = gb, ou seja, gf = g f. Em particular, a composição de funções contínuas é contínua. Eemplo 3. Se f é uma função polinomial e g =, então g f = f é contínua em a se fa > veja propriedade L4 no Teorema 3.

14 58 CAPÍTULO 2. LIMITE DE UMA FUNÇÃO Como a continuidade depende da eistência do ite f, faz sentido estudar também continuidade lateral, analogamente ao que fizemos com ites laterais: Definição 4. Seja f uma função definida no intervalo aberto I e seja a I. Dizemos f é contínua à direita de a se f = fa e dizemos que f é contínua à esquerda de a se + f = fa. Em particular, f é contínua em a se e somente se é contínua à esquerda e à direita de a. Definição 5. Dizemos que função é contínua em um intervalo fechado [a, b] se f for contínua em a, b, contínua à direita de a e continua à esquerda de b. Eemplo 32. Voltando à função f = 2 do eemplo 9. Sabemos que Df = [, ] e f = = f + Portanto, f é contínua em seu domínio [, ]. f = = f f = fa se a, Teorema 7. Teorema do Valor Intermediário Se f for contínua no intervalo fechado [a, b] e L for um número real tal que fa L fb ou fb L fa, então eiste pelo menos um c [a, b] tal que fc = L. Observação 2. Como consequência desse teorema temos que:. o gráfico de uma função contínua num intervalo pode ser traçado sem tirar o lápis do papel. 2. se f for contínua em [a, b] e fa e fb tem sinais opostos, então eiste pelo menos um c a, b tal que fc =. Eemplo 33. Seja f = Temos que f = 3 e f = =, assim, pelo Teorema 7, eiste pelo menos um a [, ] tal que fa =. Ainda, f2 = = 9, então eiste pelo menos mais uma raiz de f em [, 2]. 2.8 Funções itadas Definição 6. Uma função f é dita itada superiormente se eiste M R tal que f M para todo Df. Por outro lado, é dita itada inferiormente se eiste N R tal que f N para todo Df. Se f for itada superiormente e inferiormente, dizemos apenas que f é itada. Nesse caso, temos que Imf [N, M] e, então, tomando L = ma{ N, M } temos que f L. {, se < Eemplo 34. A função f = é itada, pois Imf = {, 2}. 2, se Eemplo 35. A função f = é itada inferiormente, pois por definição. No entanto, quando cresce arbitrariamente, vemos que também cresce arbitrariamente:

15 2.9. LIMITES INFINITOS 59 Dessa forma, não é itada superiormente... Eemplo 36. A função f = esquerda, temos: < -, - -, - -, - -, - -, - -, -.. não é itada: quando se aproima de pela direita ou >,,,,,,.. Isto é, a medida que > se aproima de zero, f atinge valores positivos arbitrariamente grandes. Por outro lado, quando < se aproima de zero, f atinge valores negativos com módulos arbitrariamente grandes. Por isso, não podemos encontrar L tal que f L. Eemplo 37. Comparando com o eemplo anterior, vejamos a função f = 2. Sabemos que 2 > para todo R \ {} = Df. Assim, f = > para todo Df, o 2 que significa que f é itada inferiormente. Porém, quando se aproima de, tanto pela direita quanto pela esquerda, f torna-se arbitrariamente grande, isto é, f não é itada superiormente. Eemplo 38. Seja R. Temos que 2 e, então, 2 +. Isso significa que Além disso, 2 < 2 + para todo R, o que significa que f = é itada pois sua imagem está contida em [, ] 2.9 Limites infinitos <. Assim, a função Voltando ao eemplo 36 da função f =, já sabemos que f não é itada, por isso temos que os ites laterais + e não eistem. O comportamento observado, na verdade, é que o módulo de cresce indefinidamente quando se aproima de.

16 6 CAPÍTULO 2. LIMITE DE UMA FUNÇÃO Mais formalmente, temos que dados M > e N <, eiste δ > tal que sempre, δ, tem-se que f = > M e se δ,, então f = < N. Na notação de ite, escrevemos: + = + e = Em geral, fazendo uma análise como a do eemplo 36, temos que para n N: { = + e + n n = +, se n é par, se n é ímpar Em qualquer um desses casos, dizemos que a reta = ou seja, o eio y é uma assíntota vertical do gráfico de f =. A definição formal de um ite infinito é dada a seguir: Definição 7. Dizemos que f = + se dado M > eiste δ > tal que sempre que < a < δ então f > M. Dizemos que f = se dado N < eiste δ > tal que sempre que < a < δ então f < N. Observação 22. Os ites infinitos com a + ou a são análogos, trocando < a < δ por, δ ou δ,, respectivamente. Definição 8. Em qualquer um dos casos da definição 7 ou da observação 22, dizemos que a reta de equação = a é uma assíntota vertical do gráfico da função f. Vamos modificar um pouco os eemplos vistos, considerando o comportamento das funções f = + 2 e g = 2 definidas em R \ { 2} nas proimidades de = f = + 2 g = Vemos que ambas funções são iitadas, pois quando se aproima de 2, tanto f quanto g crescem arbitrariamente. Vemos ainda que o denominador é o mesmo e se aproima de

17 2.9. LIMITES INFINITOS 6 quando se aproima de 2, sendo negativo quando 2 e positivo quando 2 +. Além disso, ambos os numeradores são diferentes e não se aproimam de de quando se aproima de 2, porém, nessa vizinhança, têm sinais opostos. A questão do sinal do numerador e do denominador é, então, determinante para dizermos que a função tende a ou +. Teorema 8. Sejam f, g funções tais que f = L e g =. Então: f f. = + se > próimo de a. g g f f 2. = se < próimo de a. g g Observação 23. O teorema 8 continua válido para a + ou a no lugar de a. Observação 24. Em qualquer um dos casos do Teorema 8 ou da observação 23, temos que = a é uma assíntota vertical do gráfico da função h = f g. Eemplo 39. Seja f =. Temos que + 2 estudo de sinal de f, temos: Dessa forma, f = do Teorema 8 que Eemplo 4. Seja g = = 2 e =. Fazendo o f = > se 2 e f = 2 = + e < se 2+. Portanto, segue + 2 = 2. Temos que = 4 e + 2 =. Como 2 2 > quando 2, temos que o sinal de g = depende apenas do sinal de + 2, que é + 2 negativo se 2 e posivito se 2 +. Tudo isso pode ser visto no seguinte estudo de sinal: Dessa forma, g = 8 que f = < se 2 e g = = e = > se 2+. Segue do Teorema

18 62 CAPÍTULO 2. LIMITE DE UMA FUNÇÃO Eemplo 4. Questão da a prova de 26-2 Vamos estudar o Primeiro, temos que = 3 < e =. Assim, se o denominador for positivo, o quociente 2 será negativo e, se o denominador for negativo, o quociente + 2 será positivo. Como 2 > quando, segue que o sinal do denominador depende apenas do sinal de + 2. Agora, como 2 +, temos que > 2, donde + 2 >. Logo, > quando 2 +. Essa discussão pode ser resumida na seguinte tabela: Portanto, segue do Teorema 8 que = Eemplo 42. Questão da a 3 prova de 27- Vamos estudar o. Temos que = 7 > e ainda que =. Como o numerador é positivo na vizinhança + de 2, o sinal do quociente depende apenas do sinal do denominador. Temos Portanto, = 2 + = > 2 = 2 > 4 = 2 < 4 = 4 2 < 2. Limites no infinito Já investigamos comportamentos de funções quando se aproima de um valor fiado. Agora, gostaríamos de estudar os casos em que cresce ou descresce iitadamente. Isto é, os casos em que + ou. Como um primeiro eemplo, consideremos a função f =. Nas tabelas abaio, temos os valores de f para alguns valores de módulo grande de. Em ambos os casos, vemos que f = se aproima de, o que é fácil de entender, pois em estamos dividindo por um número de módulo muito grande, obtendo um número de módulo muito pequeno. -, -, -, -, -, -, -, -,.. +,9,99,999,9999,99999,999999, ,

19 2.. LIMITES NO INFINITO 63 Tentando ser um pouco mais precisos no caso em que cresce indefinidamente, vamos considerar o seguinte: podemos tormar grande o suficiente de forma a tornar arbitrariamente perto de. Vamos começar escolhendo uma tolerância para essa distância, isto é, um número positivo arbitrário pequeno. Consideremos, por eemplo,,. Quão grande devemos escolher para termos, < <? Temos que, < <, < < < <, >, = Isto é, tomando >, temos que f <,. Esse argumento funcionará para qualquer tolerância ɛ > escolhida: eistirá M > tal que sempre que > M, teremos < f < ɛ. Dessa forma, dizemos que quando +, f e escrevemos + = Fazendo o mesmo tipo de raciocínio quando decresce iitadamente, obtemos = No gráfico da função, vemos esses comportamentos: A reta y = é chamada, nesse caso, assíntota horizontal do gráfico da função. As definições a seguir generaliza os comportamentos apresentados: Definição 9. Seja f uma função definida em um intervalo aberto a, +. quando cresce iitadamente, f se aproima de L e escrevemos Dizemos que, f = L + se, para qualquer número ɛ >, eistir M > tal que sempre que > M então f L < ɛ. Definição 2. Seja f uma função definida em um intervalo aberto, a. quando decresce iitadamente, f se aproima de L e escrevemos Dizemos que, f = L se, para qualquer número ɛ >, eistir N < tal que sempre que < N então f L < ɛ. Definição 2. Em qualquer um dos casos da definições 9 e 2, dizemos que y = L é uma assíntota horizontal para o gráfico de f.

20 64 CAPÍTULO 2. LIMITE DE UMA FUNÇÃO Eemplo 43. Seja f =. Seja ɛ >. Sempre que > ɛ >, temos que < < ɛ. Por outro lado, sempre que < ɛ <, temos que ɛ < <. Isso significa que dado ɛ >, sempre que > ɛ, temos que < ɛ. Dessa forma, concluimos que + = e = Decorrem das definições 9 e 2, mas não mostraremos, que: Teorema 9. Se duas funções f, g possuem ites quando tende a +, digamos L R e g = L 2 R, então + f + g = L + L 2 R + fg = L L 2 R + f + g = L R, se L 2 L 2 Observação 25. O Teorema 9 continua válido trocando + por Eemplo 44. Seja n um inteiro positivo, como Teorema 9: + + = e n = e n = f = + =, então segue do Algumas funções têm comportamento ainda diferente. Por eemplo, o gráfico a seguir mostra as funções y = n para n {2, 4, 6}. O que observamos é que quando cresce ou decresce iitamente, a função y = n, nesses casos, cresce iitadamente. De fato, potências pares de números reais não-nulos são sempre positivas e crescem iitadamente. Já para potências ímpares, quando descresce iitadamente, n também decresce iitadamente.

21 2.. LIMITES NO INFINITO 65 Teorema. Seja n Z +. Então + n = + e n = { +, se n é par, se n é ímpar Vejamos a definição formal do caso em que f cresce iitadamente quando cresce iitadamente. Definição 22. f = + se e somente se fiado M >, eiste N > tal que sempre + que > N, então f > M Observação 26. Os ites definidos de forma análoga. Faça isso. f = +, f = e + f = são Podemos usar esse teorema para estudar o comportamento de polinômios e funções racionais quando + ou, como veremos nos eemplos a seguir: Eemplo 45. Vamos ver alguns eemplos de ites de polinômios usando o eemplo 44 e o Teorema. a = = + como + 24 = + b = = como + 24 = + c = = como + 3 = d = = + como 3 = + Esses eemplos nos mostram que o comportamento da função polinomial quando ± depende apenas do comportamento do monômio de maior grau. Eemplo 46. Vamos ver alguns eemplos de ites de funções racionais novamente usando o eemplo 44 e o Teorema.

22 a = = 2 CAPÍTULO 2. LIMITE DE UMA FUNÇÃO + como = = b = = = como = 2 = c = = + 3 como 2 2 = = 2 = Pelo que aconteceu no eemplo anterior, dizemos que os ites de funções racionais quando ± são indeterminações do tipo : podem eistir isto é, resultar em um número ou não. Vamos ver agora eemplos de ites quando ± envolvendo polinômios e raízes. Eemplo = = = = + como 2 = = pois > como 2 = + + Eemplo = = = = como 2 = = pois < como 2 =

23 2.. LIMITES NO INFINITO 67 Eemplo 49. Questão da a prova de 27- Vamos calcular, se eistir, = = < = = = como = como 2 = = Eemplo 5. O ite abaio tem uma indeterminação do tipo entre parênteses: = 3 = Vamos começar multiplicando e dividindo por 2 + : 2 = = = = = + = = = pois > = + = + como = = + = 2

24 68 CAPÍTULO 2. LIMITE DE UMA FUNÇÃO 2. Eercícios. Calcule os ites, se eistirem. a b c d e f g 3/ h 3 3 i j k l m n o + 3 p q r s t h 2 9 u h h t v t w y z t Calcule os ites, se eistirem. a b c d e f g h

25 2.. EXERCÍCIOS 69 i j k l m n t o t 4 t 2 p q r s t u v w y z Seja f :, + R uma função contínua tal que f =, + Marque a alternativa incorreta: f = 2 e f = + a f = 2. b A função não possui raízes reais. c A reta = é assíntota vertical do gráfico de f. d A reta y = é assíntota horizontal do gráfico de f. e O gráfico de f intercepta y = em pelo menos 2 pontos. 4. Sobre a função {, se 3 3, se > 3 pode-se afirmar que a b c d e É definida e contínua para todo R. É definida e contínua somente para > 3. É definida para todo R e descontínua apenas em = 3. É definida e contínua somente para 3. É definida e contínua somente para Determine, se eistir, o ite da função a seguir quando tende a se f = 4, se =

26 7 CAPÍTULO 2. LIMITE DE UMA FUNÇÃO A função é contínua em R? 6. Considere as seguintes afirmativas: I. Se f = L então f = L. II. Se eiste f então eiste f. III. Se f é uma função definida em [a, b] e fa < < fb, então eiste c [a, b] tal que f =. Temos que a Todas as afirmativas são verdadeiras. b Todas as afirmativas são falsas. c Apenas a afirmativa I é verdadeira. d Apenas a afirmativa II é falsa. e Apenas a afirmativa III é falsa. 7. Sejam a, b R. Considere a função y = f definida no intervalo [ 4, 8] dada por Podemos afirmar que a + b vale + 6, se 4 a + b, se < < 4 2, se 4 8 a -2 b -2 c d 4 e 6 8. Marque a alternativa correta: a Se f = e g =, então fg = f b Se f = e g =, então g = f c Se f = e g = +, então g = f d Se f = + e g =, então g = + e Se f = e g = +, então f g = 9. Mostre que = tem pelo menos uma solução real.. Eiste um número que é eatamente um a mais que seu cubo? 2. Ache as assíntotas horizontais de f = 2 +. Eistem assíntotas verticais? Determine, se eistirem as assíntotas verticais e horizontais das funções a seguir. a f = 2 5 b f = c f = d f = Calcule os ites laterais nos pontos de descontinuidade das funções a seguir.

27 2.. EXERCÍCIOS 7 a f = b f = { 2, if < 2; 2 +, if > 2.. { 5 3, if < ; c f = 2, if. { 3 + 2, if < 2; d f = 2 + 3, if 2. Eercícios etras 4. Cálculo A- páginas 93 a 95, menos e Cálculo - vol, Stewart, seções 2. a 2.6 Eercícios de provas anteriores Sejam a e b constantes reais não nulas e f : R R a função dada por: a + 2 f =, b Sabendo que f é contínua, podemos afirmar que: a ab > b ab é ímpar c a + b = d a + b < e a < b f Seja f : R R uma função tal que f 2 vale: =. Podemos afirmar que a b c d 2 e Considere a função f : R R representada pelo gráfico abaio. Marque a afirmação CORRETA. a + f = b + f = c d + + f = + f + = e f + = +

28 72 CAPÍTULO 2. LIMITE DE UMA FUNÇÃO 2.2 Respostas dos eercícios. a 5 b -/ c 5 d 2 e f g 7/ h /4 i 2/4 j k 3 l /8 m 2 n o -9 p -/8 q 5/3 r - s 3 t /4 u 6 v /6 w + + y /2 z + 2. a -2 b c 2 d + e + f g + h i j + k + l -4/5 m 3/2 n o -4 p /6 q / r -5/4 s -/2 t -4 u + v -5/2 w 32-25/32 y /2 z 3. b 4. c 5. f 6. c 7. d 8. e 9. f é contínua em R, f 3 = 7 e f = 5. Logo, pelo TVI, eiste c 3, tal que fc =.. Sim, eiste [ 2, ].. Assíntota vertical: = 3/5. Assíntotas horizontais: y = ± 2/3. 2. a Assíntota vertical: = 5. Assíntota horizontal: y = b Assíntota vertical: =. Assíntota horizontal: y = c Assíntota vertical: = 3 d Assíntota vertical: = 9. Assíntota horizontal: y = 3. a f = 3 e f = b f = e f = + c d f = 2 e f = + f = 4 e f = b 5. b 6. b

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