Funções vetoriais. I) Funções vetoriais a valores reais:

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1 Funções vetoriais I) Funções vetoriais a valores reais: f: I R t f( n R (f 1 (,f (,...,f n () I = intervalo da reta real denominada domínio da função vetorial f = {conjunto de todos os valores possíveis de t, para os quais todas as componentes estão definidas}. Imagem f : conjunto de vetores f ( ( f1(,..., fn( ) 3 Casso particular: f: I R R t f( (f1(,f (,f3() Dom( f ) Dom( f1) Dom( f) Dom( f3) Exemplo 1: defina o domínio e a imagem da função vetorial a seguir: f: I R t f( R 3 (sin(t ),ln(4,- 1-

2 Exemplo.- Defina o domínio da função vetorial a Seguir f: I t R R f( ( t 3 1 1, 4 - t Resposta: Dom(f)={...,[-4pi,-3pi],[-pi,-pi],[0,pi]}.,- sin() Exemplo 3.- Defina o domínio e a imagem da função vetorial a Seguir f: I R R t t f( ( 3 1, t t - 4, (cos( 3) Resposta : Dom( f ) = <-,-] U [, > Ima( f ) = curva espacial, pode-se visualizar unicamente com algum programa matemático. )

3 Curva plana: dada uma função vetorial f: I R t f( R (x(, y() Tal que f 1 (=x(, f (=y(,são funções reais continuas no domínio da função vetorial f. Então o conjunto C de pontos do espaço R tais que x = f 1 (, y = f (,...(*) é chamado de curva plana. t é o parâmetro da curva, variando no domínio de f As equações (*) são denominadas equações paramétricas de C. Uma curva é a imagem de uma função vetorial a valores reais. Obs: alguns autores, denominam curva a função f, e a imagem de f de traço da curva

4 Uma curva plana é um conjunto r de pares ordenados ( f(, g( ), em que f( e g( são funções reais contínuas em um intervalo I. r( =(x(,y() é uma curva no plano R x = f( equação y = g( paramétrica Y P g y C I t f 0 x X r : I R : função vetorial associada a curva C

5 Funções vetoriais: representação gráfica Importante: A parametrização define uma orientação na curva

6 Mais exemplos... Exemplo 3. Sejam as funções vetoriais a) r( = (t,3t,0), b) r( = (+t,4t-1), c) f( = (4,, d) r( = (sin(, -cos( ), e) f(=(t, cos(); identifique no plano xy as curvas associadas a cada função vetorial. ( w) Exemplo 4: a função vetorial f ( vtrsin( w, r r cos( define uma curva plana denominada de ciclóide, v,r, w são constantes.

7 > restart; #cicloide # no programa Maple > with(plots): > v:=:w:=1:r:=: > plot( [v*t-r*sin(w*, R-R*cos(w*, t=0..5*pi], scaling=constrained, thickness=, color=blue,labels=[x,y]); cloide.htm

8 Curva espacial: dada uma função vetorial f: I R t f( n R (f 1 (,f (,...,f () Tal que f 1 (, f (,...fn( são funções reais continuas no domínio da função vetorial f. Então o conjunto C de pontos do espaço R 3 tais que x 1 = f 1 (, x = f (,x 3 = f 3 (,...xn = fn(...(*) ; n e t variando no domínio de f é chamado de curva espacial. As equações (*) são denominadas equações paramétricas de C

9 Curvas no espaço tri-dimensional R 3 Quando uma partícula se movimenta no espaço R 3, ela descreve uma curva r( denominada trajetória. r: I [ a, b] R 3 t r( (r 1 (,r (,r 3 () ( x(, y(, z( ) Exemplo 1: Uma partícula realiza um movimento mecânico no espaço R 3 de acordo a seguinte lei de movimento : f ( (4t 4, 1 t,4) Qual é a forma da trajetória no espaço R 3?

10 Exemplo.- seja as funções vetoriais seguintes a) r( = (0, 3 -t, t ), b) r(= (-1+t, 4t, +, c) r( =(cos(, -sin(,3), d) r(=(sin(, t, 4), Identifique o tipo de curva no plano xy para cada uma das funções vetoriais dadas anteriormente. Exemplo 3: seja a função vetorial definida no espaço R 3 f ( ( acos(, asin(, v Esta função define uma curva no espaço R 3, denominada de hélice. Esta trajetória é realizada por uma partícula pontual carregada dentro de um campo magnético constante

11 usando Maple > restart; #helice > with(plots): > a:=3: v:=: # dados para ajustar a curva > spacecurve( [a*cos(, a*sin(, v*t], t=0..5*pi, axes=box, labels=[x,y,z], thickness=);

12 Ciclóide Seja O : origem de coordenadas, logo as coordenadas do ponto P =(x,y) no instante t arbitrário é OB x Rt OP y R Rsin(, R cos(. ( x, y) ( Rt Rsin(, R Rcos( ) Equação paramétrica

13 Limite de funções vetoriais r ( Definição: Sejam uma curva no espaço R 3, tal que r(=(x(,y(,z() = x( i+ y( j + z( k, uma função vetorial que define Logo, dizemos que r tem limite L a medida que t se aproxima a t o e escrevemos assim: lim lim tt 0 tt 0 r( x( L l 1 (l 1,lim,l,l tt 0 3 ), y( tt 0 Desde que os limites das funções componentes existam. Definição formal : O lim tt r( L, existe se somente se 0 0 0, tal que t 0 t t r( L o l,lim z( l 3

14 Exemplo 1, Seja a função r( ( t que : lim 0 r( L (1,0) t Exemplo Seja a função, demonstra que : lim 0 r( L (0,1,) Continuidade de funções vetoriais, demonstrar Uma função vetorial r( será contínua em um ponto t=t 0, do seu domínio se a)lim b) r( t c) r( t 0 0 tt 0 ) existe ) t r( r( (x( t 0 ( t L existe ), y( t 1,t ), e 0 t,6t ),z( t 0 ) )) L,

15 Continuidade de funções vetoriais. Exemplo 1. Verifique se r( sin( i cos( j r ( é contínua em t 0 Exemplo. Verifique se a função vetorial abaixo é contínua para. t= 0 t k

16 Derivada de uma função vetorial r ( Definição: Seja uma função vetorial, ela é derivável ou tem derivada, se as derivadas das componentes x(,y(,z( estão bem definidas para todo t do domínio de r ( r'( dr dx (, dy lim Interpretação geométrica da derivada de uma função vetorial. Seja r( o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço R 3. A função r ( é a velocidade da partícula e é um vetor tangente à trajetória espacial descrita pela partícula (para cada instante do tempo., dz ) h0 r(t r ( h) - r(, h

17 Exemplo 1: Determine a derivada da função vetorial a) f( = (t, cos(,5 b) f( = (t - 8, t e -t ) usando a definição Equação vetorial de uma reta L Seja P=(x,y,z) ϵ L, P 0 =(x 0,y 0, z 0 ) ϵ L, P 0 Z P L V é um vetor paralelo a L. Logo: L : { P P V 0 t} X V 0 Y Forma paramétrica da equação da reta L. x= x 0 + v x t Y= y o + v y t z= z 0 + v z t, sendo v = (v x,v y,v z ) // reta L

18 Regras de derivação Seja u,v funções vetoriais de variável real t; a e b são números reais, e f(,g( são funções reais de variável real t. d[ u( v( ] du( dv( 1., d[ au( ] du(. a, d[ f ( v( ] df ( dv( 3. v( f (, d[ u( v( ] du( dv( 4. v( u(, d[ u( v( ] du( dv( 5. v( u(, d[ u( f ( )] du( f ) df ( 6., df produto escalar produto vetorial

19 Exercícios Exercício 1.- Determine a velocidade v( e a aceleração a( de uma partícula que descreva a seguinte curva (trajetória) r(=(t, 8-3t,3t+)m, determine o ângulo entre eles no instante t=s. Exercício.- Seja uma partícula pontual que segue uma trajetória dada pela curva, : IR definida assim: α:t α( (vt-rsin(w,r-rcos(w), R, w, V são constantes. R =,w = 1, v = R.w =. a) Determine a posição, velocidade e aceleração no instante t=0s, e t=π/. b) Determine a equação da reta tangente a curva α no instante t=π/. Exercício 3.-Demonstre a propriedade 4 e 6 da regra de derivação.

20 Exercício 4.- Determine o limite da função vetorial t quando t se aproxima a t 0 =0. e f ( ( 1, t t 1 1, t t 4 ) Exercício 5.- estude a continuidade da função vetorial ( t, t 1), t 0, f ( (0,1), t 0. Exercício 6.-Seja f(=(t+3, t + 4 determine f ( para todo t ϵ R. Qual é o ângulo que forma o vetor f ( como o vetor f( no instante t=1.? Exercício 7.- Sejam as funções vetoriais v(=(t, cos(, t ), w(=(5, t, sin(). Determine a primeira derivada dos vetores A( = V(. W(, e B( = v( X w(; produto escalar e produto vetorial respectivamente.

21 Integral de uma função vetorial Seja r( =(x(,y(,z() uma função vetorial, definição: se as componentes de f são integráveis sobre I=[a,b],então b a b a r( lim b r( ( x( ) i ( y( ) j ( a n in i1 r( t *) t, t z( ) k Exemplo 1.- Calcular a integral f ( a) b) f ( ( cos(t ), t b a i 1 ) b a, ti* partiçãode n da função Exemplo.- Determine a integral da função vetorial f(= ( e - t + t, cosh(, sinh( ) entre t=0 e t=1. b a f ( ( sin(, ln( t )) I

22 Comprimento de arco para curvas lisas Dado uma superfície arbitraria, o comprimento de arco é o comprimento da curva entre dois pontos da superfície. Por exemplo, quando uma partícula percorre uma determinada trajetória no espaço, ela descreve uma curva, o comprimento desta curva entre dois instantes dado t 0 e t 1 se denomina comprimento de arco. Comprimento de arco D dl dx dy L b a ( dx) ( dy) b a 1 ( dy dx ) dx

23 Comprimento de arco no espaço R 3 Definição: O comprimento L de uma curva lisa e parametrizada 3D : r( = x( i + y( j + z( k, tal que t ϵ [a,b] é v L L b a b a dr ds ( b a dx ) dx dy ( ) dy dz dz ( ) b a dr dr( ( vx, vy, vz ) v( r ( : velocidade Algumas notações usuais L b a b v( v( a b a r'( v( é o modulo ou norma do vetor v(

24 Exemplo 1.- Seja a função vetorial r(=(+t, 4+t, -+, determine o comprimento de arco entre os valores t=1 a t=4. Exemplo.- Determine o perímetro de uma circunferência centrada no ponto (1,) e radio R=3 Exemplo 3.- Determine o comprimento de arco da ciclóide r( = (t - sin(, - cos() entre t=0 e t= π y 0 4 x

25 s( S: FUNÇÃO COMPRIMENTO DE ARCO t t0 dr t t0 v( s( é o comprimento da curva r( desde o instante t=0 ate o instante t. Sendo v( o módulo da velocidade, ou chamada também como velocidade escalar. Usando um pouco de cálculo ds v( Importante: O comprimento de arco de uma curva arbitrária não depende da parametrização.

26 L t1 dr ( t0 w1 w0 dr dw dw O comprimento de arco de uma curva entre dois pontos é invariante pela re-parametrização Exercícios 1.-Determine a função comprimento de arco s( para a ciclóide do exemplo 3..-Determine a função comprimento de arco da curva parametrizada r(=( 3 cos(, 3sin() 3.-Determine a função comprimento de arco da curva Parametrizada r(=( 3cos(, 3sin(,, 4,- Determine o domínio, imagem e o a função comprimento de arco para a função r(=(cos(,sin(,3).

27 TRAJETÓRIA DE UMA PARTÍCULA EM CAMPOS ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS

28 Movimento de uma partícula no espaço R 3 Uma partícula no espaço R 3 descreve uma trajetória de acordo a uma certa lei de movimento que define a posição dela para cada instante do tempo t. Esta lei de movimento está definida por uma função vetorial: r( x( i y( j z( k r(: vetor posição da partícula em relação a certo sistema de referencia. Obs: A lei de movimento é deduzida a partir das leis de movimento da mecânica clássica= leis de Newton

29 Sabemos que A ultima relação. dt. T 0 T V V V v, T.T 1, derivando Analisemos a velocidade de uma partícula V ( T. v Derivando esta equação temos a a T t v dt Definamos : ds K Lembre que s=s(, s é função comprimento de arco. dt ds

30 Considere : dt dt K, ds ds de T.T Finalmente 1, Curvatura K temos dt ds dt ds N. T, considerando o radio de curvatura 0 a a T t Sendo v N N vetor unitário dt Logo deve ser ortogonal a T, seu vetor unitário também ds T N T T(s), logo definimos a curvatura K 1 k

31 a Aceleração instantânea a T dv a T a T T Aceleração tangencial acpta v N Suponhamos que : r r(s) ( dx ds Aceleração centrípeta ou radial sempre orientada á parte côncava da trajetória., dy ds, dz ds, definamos ) dr ds s: função comprimento de arco.

32 ( dx ds ) ( dy ds ) ( dz ds ) 1 Logo T Como : dt d dr d r K ( ) ds ds ds ds então, em forma explicita K ( d ds x ) ( d ds y ) ( d ds z )

33 Triedro de Frenet-Serret B T N Vetor binormal Exercícios 1.- Provar que.- Provar que B 1 av. av. a T V v 3.- Provar que K V 3 v a

34 Torção de curvas espaciais Consideremos uma partícula descrevendo uma curva, como se comporta o vetor bi-normal B em relação a função comprimento de arco s? B T N Como : podemos derivar em relação a s db dn dt T N, como dt dt logo ds ds ds N // N 0 ds db dn T db B. B 1,. B 0 ds ds ds db db db db T, B // N N ds ds ds ds ds, então finalmente N. db ds

35 Equações de Frenet Conforme uma partícula se move no espaço, os vetores T,N,B se movem junto com a partícula ao longo da trajetória (curva). Então vale perguntar qual é a rapidez da mudança destes vetores em relação ao parâmetro comprimento de arco s dt ds db ds dn ds k N...(1) k T N...() B...(3) provar!

36 Exercícios Exemplo 1.- Seja uma partícula que descreve uma circunferência de radio R=1, centralizada na origem de coordenadas de acordo a lei de movimento r( = (Rcos(, R sin( ). a) Determine o vetor T,N para todo instante do tempo. b) Determine a curvatura, a aceleração centrípeta, a Acerelação tangencial. c) Determine o vetor binormal B para todo instante do tempo t. Exemplo : Determine a curvatura e a torção de uma helicóide : r( ( Rcos(, Rsen(, V Para todo instante t, sendo R e V constantes arbitrarias.

37 Exercícios 1.- Em relação á ciclóide estudada anteriormente α:t α( (vt-rsin(w,r-rcos(w), sendo R, w, V são constantes. R =,w = 1, v = R.w =. a) Determine o vetor T, N,B para a ciclóide no instante t=π/. b) Determine a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta para todo instante t. Particularize para t=π/ c) Determine a curvatura K( para todo instante de tempo. d) Seja uma partícula sinalizada na borda da roda que realiza rolamento sem deslizamento.sabemos que esta partícula descreve uma trajetória em forma de. Provar que no instante t, a velocidade V da partícula é sempre ortogonal ao radio vetor que une a partícula ao ponto mais baixo da roda.

38 Exercícios.. Continua.- Seja uma partícula descrevendo uma hélice r(=(cos(, sen(,4 no espaço R 3 a) Determine a velocidade e a aceleração instantânea para todo instante t. b) Determine o vetor unitário tangente T, para todo instante t. c) Determine a equação da reta tangente a helicóide no Instante t=π/4. d) Determine a função comprimento de arco s( em função do tempo t. e) Determine a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta para todo instante t. Particularize para t=π/4.

39 Exercícios.. Continua f).- Determine os vetores N e B para todo instante t

40 Equação de um plano. Seja um plano M imerso no espaço euclidiano R 3 onde n é um vetor perpendicular ao plano M, então conhecendo um ponto P o =(x o,y o,z o ) que pertence ao plano P, podemos determinar a equação algébrica que obedece todos os pontos (x,y,z) do plano M. Basicamente, ela disse que toda reta contida no plano (ou todo vetor contido no plano), é perpendicular ao vetor normal n. dado n=(a,b,c) n. P o P 0 (O produto escalar entre n e P 0 P é nulo) Seja P=(x,y,z) um ponto arbitrario do plano M

41 Equação de um plano. ax by cz d 0 Onde a constante d pode se achar avaliando a equação em qualquer ponto que pertence ao plano.

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47 Interseção de dois planos n 1 =(a 1,b 1,c 1 ) n =(a,b,c ) cos( ) n n 1 1. n n n 1. n a1a 1 b1b c1c

48 Exercícios. Exercício 1.- Seja M um plano paralelo ao plano xy localizada a uma distancia c da origem de coordenadas. Determine a equação deste plano. Exercício.-Encontre a distancia do ponto Q=(1,,1) ao plano M com equação x+y+z=6 Exercício 3.- Seja os planos M 1 : 3x+y+z+4=0, M : z=0, a) Determine o ângulo entre estes planos b) Determine a equação da reta proveniente da interseção dos dois planos. Site recomendado para entender melhor a geometria euclidiana eana.htm