MAT0326 Geometria Diferencial I
|
|
- Branca Flor Salazar
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 MAT6 Geometria Diferencial I Primeira Prova /9/ Soluções Questão Valor:. = pontos). a. Mostre que cos arctanx) ) =. + x b. Determine uma curva plana α : R R, parametrizada por comprimento de arco, tal que κ α s) = + s e α) =, ). Solução. a. Como arctanx) π, π ) temos que sec arctanx) ) > e então cos arctanx) ) = sec arctanx) ) = + tan arctanx) ) =. + x b. Lembremos que se κs) >, s I é uma função dada então toda curva parametrizada por comprimento de arco, α : I R, que tem κs) como curvatura é dada por s s ) αs) = a + cos θt) dt, b + sin θt) dt, onde θt) = t κs) ds + φ. As constantes a, b e φ determinam a posição da curva no plano. Podemos escolher φ = e então Assim, αs) = θt) = Do item anterior temos que cos arctant) ) = αs) = s a + t κs) ds = arctant). s a + cos arctant) ) s dt, b + sin arctant) ) ) dt. + t dt, b + s Como α) =, ), devemos ter a = e b =. + t e disto concluímos que sin arctant) ) = ) t dt = a + lns + + s ), b + ) + s. + t t + t. Logo Os extremos de integração levam em conta o fato de que I
2 Questão Valor:. = pontos). Seja α : I R uma curva regular. Podemos definir seu triedro de Frenet, sua curvatura e sua torsão em termos da reparamentrização de α pelo seu comprimento de arco como se segue. Sejam st) o comprimento de arco de αt) e βs) = α ts) ) a reparamentrização de α por comprimento de arco. Definimos então que T α t) = T β s), N α t) = N β s), B α t) = B β s) e κ α t) = κ β s), α t) = β s). Seja α : R R a curva dada por αt) = cosh t, sinh t, t). a. Mostre que α é regular e calcule seu comprimento de arco. b. Determine os vetores tangente, normal e binormal de α, bem como sua curvatura e torsão. Solução. a. Temos que α t) = sinh t, cosh t, ) e portanto, para todo t R, α t). Logo α é uma curva regular. Calculando explicitamente temos α t) = cosht), donde t t st) = α t) dt = cosht) dt = sinht). b. Qualquer que seja a parametrização da curva temos Tt) = α t) α t) = tanh t,, sech t). Lembrando que a curvatura de uma curva regular é κt) = α t) α t) α t) e α t) = cosh t, sinh t, ) temos sinh t, cosh t, ) κt) = cosh = t cosh t. De B = T N e das equações de Frenet segue-se que T = κn Nt) = sech t,, tanh t) B = T N Bt) = tanh t,, sech t) e B t) = sech t sech t,, tanh t) B = N t) = B, N = cosh t.
3 Questão Valor:. = pontos). Seja α : I R uma curva regular cujas curvatura e torsão nunca se anulam e sejam T, N e B seus vetores tangente, normal e binormal, respectivamente. a. Mostre que N N, N κ ) N = κ ), onde κ e são a curvatura e a torsão de α, respectivamente. + b. Conclua que α é uma hélice se e somente se o conjunto {N, N, N } é linearmente dependente. Solução. a. Das equações de Frenet temos.) N N = N κt B) = κb T. Derivando N obtemos.) N = κt B) = κ T + κt + B + B ) = kappa T κ + )N B. De.) e.) e de {T, N, B} ser base ortonormal segue-se que N N, N = κ + κ. Além disso temos que N = κ +. Logo, N N, N N = κ + κ κ +κ κ ) κ + = κ ) = + κ ). + b. Uma curva é uma hélice se e somente se κ é contante. Segue-se do item anterior que isso ocorre se e somente se N N, N =, ou seja se e somente se os vetores N, N e N são linearmente dependentes.
4 4 Questão 4 Valor:. =. +. pontos). Seja α : I R uma curva regular cujas curvatura e torsão nunca se anulam. a. Suponha que a imagem de α está contida numa esfera centrada na origem. Mostre que ) ).) κ + =. κ Dica. Escreva α = ζt + ηn + θb. b. Mostre agora que se.) é satisfeita pelas curvatura e torsão de uma curva α então a imagem de α está contida em alguma esfera. Dica. Usando os valores de ζ, η e θ obtidos acima, mostre que a curva α ζt + ηn + θb) é constante e portanto um fortíssimo candidato a centro da esfera procurada. Solução. a. Podemos supor incialmente que α está paramentrizada por comprimento de arco e como, por hipótese, a curva tem seu traço contido numa esfera centrada na origem temos que αt) = r, donde α, α =. Como o triedro de Frenet em cada t I é uma base ortonormal para R podemos escrever αt) = ζt)tt) + ηt)nt) + θt)bt). Omitindo t, derivando e usando as equações de Frenet temos.4) α = ζ T + ζt + η N + ηn + θ B + θb = ζ ηκ)t + ζκ + η + θ)n + η + theta )B. Como α, α = temos que αt) [ Nt), Bt) ], donde ζ. Além disso, α, N = α, B = e portanto as coordenadas em.4) satisfazem η + θ = η + θ = ηκ =, onde a última equação segue do fato que α = T, pois α é parametrizada por comprimento de arco. Assim temos que η = κ e θ = η = ). Isto substituído na segunda equaçao do sistema acima dá κ κ + ) ) =. κ b. Reciprocamente, considere a curva β = α + ) κ N ) B, onde κ e são as curvatura e torsão de α, κ enquanto N e B são os vetores normal e binormal de α. Cálculo diretos usando o triedro de Frenet mostram que ) ) ) β = α ) ) T + N κ κ κ + ) B =. κ Isto mostra que, para todo t I, βt) = P R é ponto. Finalmente ) α P = κ N ) B = [ κ κ + ) ] κ = R, uma constante. Segue-se então que o traço de α está contido na esfera de centro P e raio R.
5 5 Questão 5 Valor:. pontos). Seja S ) a esfera unitária centrada na origem de R e sejam α e β curvas regulares dadas pela interseção de S ) com x = y e de S ) com y =, respectivamente. a. Parametrize as curvas α e β. b. Calcule o comprimento do arco ligando os pontos, ), e, ), tanto pela curva α quanto por β. c. Determine o ângulo que os vetores normais de α e β fazem com o vetor normal a S ). Solução. a. A curva α é dada pela interseção das superfícies x + y + z = e y = z. Disto temos que x + z = e portanto xt) = cos t e zt) = sin t. Logo, αt) = cos t, cos t ), sin t, t [, π]. A curva β é dada pela interseção das superfícies x + y + z = e y =, ou seja, x + z = 4 e portanto xt) = cos t e zt) = sin t. Logo, βt) = cos t, ), sin t, t [, π]. b. A curva α é um círculo de centro,, ) e raio, logo o seu comprimento de arco entre os pontos, ), e,, ), que produzem um arco de ângulo π, é π. Analogamente, a curva β é um círculo de centro,, ) e raio. Logo o comprimento de arco de β entre os pontos, ), e, ), é arccos, pois o ângulo entre os segmentos que ligam os pontos dados ao centro de β é arccos. c. Um vetor normal unitário à esfera unitária em cada ponto, Np), pode ser o próprio vetor posição, ou seja Np) = p. Para a curva α temos α = sin t, sin t ), cos t α = cos t, cos t ), sin t = α Sendo N α o vetor normal unitário à curva α, temos que α = λn α, já que α = e α é uma curva plana. Como o vetor normal à esfera no ponto αt) é αt) temos que N α, Nα) ) = α, α) = π. Para a curva beta temos β = β = ) sin t,, cos t ) cos t,, sin t Como antes, indicando por N β o vetor normal à curva β temos que β = λn β, pois β = uma curva plana. Deste modo, o ângulo θ entre N β e Nbeta) satisfaz cos θ = N β, Nβ) N β Nβ) = /4 = / θ = 5π 6. e β também é Na sua solução você poderia ter escolhido o vetor oposto e a resposta obtida difere da aqui apresentada por π.
6 6 Questão 6 Valor:. pontos). Seja S = { x, y, z) R : z = y x }. Para cada θ [, π] seja α θ a curva dada pela interseção de S com o plano que contém o eixo Oz e faz ângulo θ com o eixo Ox. a. Parametrize a curva α θ. b. Determine κ αθ a curvatura de α θ ). c. Determine os valores de θ para os quais κ αθ é máximo e mínimo no ponto,, ). Dica. A curvatura de uma curva regular qualquer em R é dada por κ = α α α. Solução. a. Para cada θ [, π] o plano em questão é dado pela equação cos θx + sin θy =, ou y = cot θx, se θ =, π e x =, se θ =, π. Deste modo a curva dada pela interseção da superfície z = y x com um desses planos pode ser parametrizada, para t R, por { t, cot θt, cot θ)t ), se θ =, π α θ t) =, t, t ), se θ =, π. b. Seguindo a sugestão dada no enunciado, os ingredientes para o cálculo da curvatura de α θ são Assim, { { α, cot θ, cot θ = θ)t), se θ =, π,, cot,, t), se θ =, π e α θ = θ)), se θ =, π,, ), se θ =, π. cot θ +cot θ κ αθ t) = +cot θ+4 cot θ) t ), se θ =, π, se θ =, π. +4t ) c. O ponto,, ) corresponde a t = em cada α θ. Queremos encontrar extremos da função κ αθ ) : [, π] R dada por κ αθ ) = { cot θ +cot θ = cosθ), se θ =, π, se θ =, π. Claramente o valor máximo de κ θ ) é atingido quando θ =, π, π, onde κ θ) = e é mínimo quanto θ = π 4, π 4, onde κ θ) =. Observação.. Note que aqui estamos considerando a curvatura sem sinal das curvas planas α θ. Seria interessante e de grande utilidade para os próximos tópicos do curso estudar esse tipo de problema considerando a curvatura com sinal.
Lista de Exercícios 1
UFS - PROMAT Disciplina: Geometria Diferencial Professor: Almir Rogério Silva Santos Lista de Exercícios. Seja α : I R 3 uma curva regular. (a) Mostre que α é uma reta se α (t) e α (t) são linearmente
Leia maisMAT Geometria Diferencial 1 - Lista 1
MAT0326 - Geometria Diferencial - Lista Monitor: Ivo Terek Couto 9 de outubro de 206 Observação. Assuma que todas as curvas e superfícies são diferenciáveis. Aquecimento Exercício. Seja α : I R R 3 uma
Leia maisMAT0326 Geometria Diferencial I
MAT036 Geometria Diferencial I Segunda Prova 06/11/01 Soluções Questão 1 Valor: 3.0 pontos. Considere a superfície S, de Enneper, parametrizada por Xu, v = u u3 3 + uv, v v3 3 + u v, u v. a. Determine
Leia maisNome:... Q N Assinatura:... 1 RG:... 2 N o USP:... 3 Turma: Teórica... 4 Professor: Edson Vargas... Total
1 a Prova de MAT036 - Geometria Diferencial I IME - 9/09/016 Nome:................................................... Q N Assinatura:............................................... 1 RG:......................................................
Leia maisGeometria Diferencial
Geometria Diferencial Exercícios sobre curvas planas e espaciais - 2007 Versão compilada no dia 20 de Setembro de 2007. Departamento de Matemática - UEL Prof. Ulysses Sodré: ulysses(a)uel(pt)br Matemática
Leia maisJustifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos. t (e t cos t, e t sin t).
Ano lectivo 004/05 Exame de Geometria Diferencial 6/7/05 Justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos Duração: h30m Soluções 1. Considere a espiral logaritmica γ : R +
Leia maisTeoria Local das Curvas
Teoria Local das Curvas Márcio Nascimento da Silva Departamento de Matemática Universidade Estadual Vale do Acaraú de setembro de 007 mharcius@gmail.com pré-prints do Curso de Matemática de Sobral no.
Leia maisVetor Tangente, Normal e Binormal. T(t) = r (t)
CVE 0003 - - CÁLCULO VETORIAL - - 2011/2 Vetor Tangente, Normal e Binormal Lembre-se que se C é uma curva suave dada pela função vetorial r(t), então r (t) é contínua e r (t) 0. Além disso, o vetor r (t)
Leia maisO Triedro de Frenet. MAT Cálculo Diferencial e Integral II Daniel Victor Tausk
O Triedro de Frenet MAT 2454 - Cálculo Diferencial e Integral II Daniel Victor Tausk Seja γ : I IR 3 uma curva de classe C 3 definida num intervalo I IR. Assuma que γ é regular, ou seja, γ (t) 0 para todo
Leia maisCURVATURA DE CURVAS PLANAS
CURVATURA DE CURVAS PLANAS PROFESSOR RICARDO SÁ EARP (1) A tractrix. Vamos continuar com o traçado das curvas planas, agora incluindo o estudo da curvatura ao roteiro sugerido no exercício 1 da lista sobre
Leia maisLista de Exercícios de Cálculo 3 Terceira Semana
Lista de Exercícios de Cálculo 3 Terceira Semana Parte A 1. Reparametrize as curvas pelo parâmetro comprimento de arco medido a partir do ponto t = 0 na direção crescente de t. (a) r(t) = ti + (1 3t)j
Leia maisMAT1153 / LISTA DE EXERCÍCIOS : CAMPOS CONSERVATIVOS, INTEGRAIS DE LINHA, TRABALHO E TEOREMA DE GREEN
MAT1153 / 2008.1 LISTA DE EXERCÍCIOS : CAMPOS CONSERVATIVOS, INTEGRAIS DE LINHA, TRABALHO E TEOREMA DE GREEN OBS: Faça os exercícios sobre campos conservativos em primeiro lugar. (1 Fazer exercícios 1:(c,
Leia mais3. Quanto é que uma curva curva? Curvatura e torsão; triedro de Frenet-Serret
3. CURVATURA E TORSÃO; TRIEDRO DE FRENET-SERRET 23 3. Quanto é que uma curva curva? Curvatura e torsão; triedro de Frenet-Serret Nesta secção associamos a cada curva duas funções escalares, chamadas curvatura
Leia maisEvolutas e Involutas: Planas e Espaciais
Evolutas e Involutas: Planas e Espaciais Aluno: Igor Albuquerque Araujo Orientador: Marcos Craizer Introdução Foi feito um estudo de conjuntos focais de superfícies. Foram utilizados os softwares Maple
Leia maisLISTA 6 DE GEOMETRIA DIFERENCIAL 2008
LISTA 6 DE GEOMETRIA DIFERENCIAL 2008 RICARDO SA EARP (1) Considere a esfera unitária S 2 = {x 2 + y 2 + z 2 = 1} em R 3. (a) Mostre que a projeção estereográfica usual do pólo norte é dada por Π N (x,
Leia maisMAT Geometria Diferencial 1 - Lista 2
MAT036 - Geometria Diferencial 1 - Lista Monitor: Ivo Terek Couto 19 de outubro de 016 1 Superfícies - parte ; Exercício 1. Mostre que, em um ponto hiperbólico, as direções principais bissectam as direções
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III Capítulo 1 Vetores no Rn 1. Sejam u e v vetores tais que e u v = 2 e v = 1. Calcule v u v. 2. Sejam u
Leia maisGeometria Analítica II - Aula 4 82
Geometria Analítica II - Aula 4 8 IM-UFF K. Frensel - J. Delgado Aula 5 Esferas Iniciaremos o nosso estudo sobre superfícies com a esfera, que já nos é familiar. A esfera S de centro no ponto A e raio
Leia maisMini Curso. Teoria Local das Curvas Planas
Goiânia, 07 a 10 de outubro Mini Curso Teoria Local das Curvas Planas Profa. Dra. Luciana Maria Dias de Ávila Rodrigues - UnB . Estas notas são dedicadas a todos aqueles (alunos, docentes, técnicos...)
Leia mais2 Propriedades geométricas de curvas parametrizadas no R 4
2 Propriedades geométricas de curvas parametrizadas no R 4 Nesse capítulo trataremos dos conceitos básicos de geometria diferencial referentes à curvas parametrizadas no R 4. 2.1 Curvas Parametrizadas
Leia maisSUBVARIEDADES RIEMANNIANAS DO ESPAÇO EUCLIDEANO
SUBVARIEDADES RIEMANNIANAS DO ESPAÇO EUCLIDEANO PROFESSOR RICARDO SÁ EARP (1) Superfícies regradas. Seja I um intervalo aberto da reta. Uma superfície imersa regrada S em R 3 é a imagem de uma imersão
Leia mais5. Teorema fundamental das curvas
48 CURVAS EM R 3 5. Teorema fundamental das curvas Nesta secção provaremos a versão geral do Teorema Fundamental das Curvas, que mostra que uma curva parametrizada por comprimento de arco fica essencialmente
Leia maisGeometria Analítica II - Aula 5 108
Geometria Analítica II - Aula 5 108 IM-UFF Aula 6 Superfícies Cilíndricas Sejam γ uma curva contida num plano π do espaço e v 0 um vetor não-paralelo ao plano π. A superfície cilíndrica S de diretriz γ
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 1 a Lista de exercícios MAT 41 - Cálculo III - 01/II Coordenadas no espaço 1. Determinar o lugar geométrico
Leia maisLISTA 6 DE GEOMETRIA DIFERENCIAL 2007
LISTA 6 DE GEOMETRIA DIFERENCIAL 2007 RICARDO SA EARP Vamos tratar a Geometria Diferencial das curvas e superfícies de R 3. Vamos aplicar as equações de compatibilidade; equação de curvatura de Gauss e
Leia maisCapítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que
Capítulo 11 1. Equações da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que AP = t AB Fig. 1: Reta r passando por A e B. Como o ponto
Leia mais14 AULA. Vetor Gradiente e as Derivadas Direcionais LIVRO
1 LIVRO Vetor Gradiente e as Derivadas Direcionais 14 AULA META Definir o vetor gradiente de uma função de duas variáveis reais e interpretá-lo geometricamente. Além disso, estudaremos a derivada direcional
Leia mais3. Algumas classes especiais de superfícies
3. ALGUMAS CLASSES ESPECIAIS DE SUPERFÍCIES 77 3. Algumas classes especiais de superfícies Nesta secção descrevemos algumas das classes de superfícies mais simples. Superfícies quádricas As superfícies
Leia mais1.3 Comprimento de arco
0 CAPÍTULO. CURVAS NO E ENOE 3.3 Comprimento de arco Seja γ :[a, b] V uma curva não necessariamente regular. Consideremos P ([a, b]) o conjunto de todas as partições de [a, b]. Uma partição P = a = t 0
Leia maisGeometria Analítica II - Aula 7 178
Geometria Analítica II - Aula 7 178 Aula 8 Superfícies Regradas Dizemos que uma superfície S é regrada quando por todo ponto P pertencente a S passa pelo menos uma reta r P inteiramente contida em S. Fig.
Leia maisEquações paramétricas das cônicas
Aula 1 Equações paramétricas das cônicas Ao estudarmos as retas no plano, vimos que a reta r que passa por dois pontos distintos P 1 = x 1, y 1 ) e P = x, y ) é dada pelas seguintes equações paramétricas:
Leia mais(b) a quantidade de cloro no tanque no instante t;
NOME: Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matemtica Departamento de Mtodos Matemticos Gabarito da a Prova de Cálculo II - 06//0 a QUESTÃO : Um tanque possui 0 litros de solução com cloro
Leia maisVectores e Geometria Analítica
Capítulo 1 Vectores e Geometria Analítica 1.1 Vectores em R 2 e R 3. Exercício 1.1.1 Determine um vector unitário que tenha a mesma direcção e sentido que o vector u e outro que que tenha sentido contrário
Leia maisINSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-454 Cálculo Diferencial e Integral II (Escola Politécnica) Primeira Lista de Exercícios - Professor: Equipe de Professores BONS ESTUDOS!.
Leia maisJ. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
178 Capítulo 10 Equação da reta e do plano no espaço 1. Equações paramétricas da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que
Leia maisPROFESSOR: RICARDO SÁ EARP
LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE TRABALHO, CAMPOS CONSERVATIVOS, TEOREMA DE GREEN, FLUXO DE UM CAMPO AO LONGO DE UMA CURVA, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL DE UM CAMPO NO PLANO, FUNÇÕES HARMÔNICAS PROFESSOR: RICARDO
Leia mais4. Curvas planas. T = κn, N = κt, B = 0.
4. CURVAS PLANAS 35 4. Curvas planas Nesta secção veremos que no caso planar é possível refinar a definição de curvatura, de modo a dar-lhe uma interpretação geométrica interessante. Provaremos ainda o
Leia maisCurso de Verão Exemplos para o curso de
Curso de Verão 006 Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada DCCE - Departamento de Ciência da Computação e Estatística Universidade Estadual Paulista - UNESP Instituto de Biociências, Letras e
Leia maisLuis Fernando Coelho Amaral UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO. Análise Vetorial. α Rot div
Luis Fernando Coelho Amaral UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO Análise Vetorial α Rot div Luís Fernando Coelho Amaral Análise Vetorial Universidade Federal do Maranhão 1 Luís Fernando Coelho Amaral À minha
Leia maisJustifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos
Ano lectivo 006/07 Exame de Geometria Diferencial 0/7/07 Justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos Duração: h30m Soluções 1. Em cada uma das alíneas seguintes indique
Leia maisExercícios resolvidos P3
Exercícios resolvidos P3 Questão 1 Calcule a área da superfície obtida pela revolução da curva α(t) (R cos t,, R sin t + a), t [, 2π], < R < a, em torno do eixo x. Esta superfície é chamada de Toro. Resposta:
Leia maisPARAMETRIZAÇÃO DE CURVA:
PARAMETRIZAÇÃO DE CURVA: parametrizar uma curva C R n (n=2 ou 3), consiste em definir uma função vetorial: r : I R R n (n = 2 ou 3), onde I é um intervalo e r(i) = C. Equações paramétricas da curva C de
Leia maisGeometria Analítica I
Geom. Analítica I Respostas do Módulo I - Aula 11 1 Geometria Analítica I 10/05/011 Respostas dos Exercícios do Módulo I - Aula 11 Aula 11 1. Em todos os itens desta questão, utilizaremos as relações x
Leia mais4. Primeira Forma Fundamental; Área
Conteúdo 3 Superfícies Regulares 81 1. Superfícies Regulares; Pré-imagens de valores regulares............. 81 2. Mudança de Parâmetros; Funções Diferenciáveis sobre Superfícies....... 100 3. Plano Tangente;
Leia maisNotas de Aula. Geometria Diferencial
Notas de Aula Geometria Diferencial Rodney Josué Biezuner 1 Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas (ICEx) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Notas de aula do curso Geometria Diferencial
Leia maisCálculo Vetorial. Um Livro Colaborativo
Cálculo Vetorial Um Livro Colaborativo 19 de fevereiro de 2018 Organizadores #srcpath:/organizadores.tex# Esequia Sauter - UFRGS Fabio Souto de Azevedo - UFRGS Pedro Henrique de Almeida Konzen - UFRGS
Leia maisAula 6. Doravante iremos dizer que r(t) é uma parametrização da curva, e t é o parâmetro usado para descrever a curva.
Curvas ou Funções Vetoriais: Aula 6 Exemplo 1. Círculo como coleção de vetores. Vetor posição de curva: r(t) = (cos t, sen t), t 2π r(t) pode ser vista como uma função vetorial: r : [, 2π] R R 2 Doravante
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Sexta Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral III - MTM124 Prof. Júlio César do Espírito
Leia maisx = u y = v z = 3u 2 + 3v 2 Calculando o módulo do produto vetorial σ u σ v : 9u 2 + 9v 2
MAT 255 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III a. Prova - 22/6/21 - Escola Politécnica Questão 1. a valor: 2, Determine a massa da parte da superfície z 2 x 2 + y 2 que satisfaz z e x 2 +
Leia mais0.1 Superfícies Regradas
Título : Superfícies Regradas Mínimas no Espaço Euclidiano Autor:Gilvan Alves Nascimento Instituição de Origem:Faculdade José Augusto Vieira (FJAV) Sessão temática:geometria Diferencial. RESUMO Apresentaremos
Leia maisAula 31 Funções vetoriais de uma variável real
MÓDULO 3 - AULA 31 Aula 31 Funções vetoriais de uma variável real Objetivos Conhecer as definições básicas de funções vetoriais de uma variável real. Aprender a parametrizar curvas simples. Introdução
Leia maisProcessamento de Malhas Poligonais
Processamento de Malhas Poligonais Tópicos Avançados em Computação Visual e Interfaces I Prof.: Marcos Lage www.ic.uff.br/~mlage mlage@ic.uff.br Conteúdo: Notas de Aula Curvas 06/09/2015 Processamento
Leia maisProcessamento de Imagens COS756 / COC603
Processamento de Imagens COS756 / COC603 aula 09 - curvatura Antonio Oliveira Ricardo Marroquim 1 / 1 aula de hoje feature detection overview curvatura espaço de escala block matching 2 / 1 curvatura o
Leia maisANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. Apresente e justifique todos os cálculos
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS TESTES DE RECUPERAÇÃO A - 6 DE JUNHO DE 9 - DAS H ÀS :3H Teste Apresente e justifique
Leia maisraio do arco: a; ângulo central do arco: θ 0; carga do arco: Q.
Sea um arco de circunferência de raio a e ângulo central carregado com uma carga distribuída uniformemente ao longo do arco. Determine: a) O vetor campo elétrico nos pontos da reta que passa pelo centro
Leia mais2 Conceitos Básicos da Geometria Diferencial Afim
2 Conceitos Básicos da Geometria Diferencial Afim Antes de iniciarmos o estudo das desigualdades isoperimétricas para curvas convexas, vamos rever alguns conceitos e resultados da Geometria Diferencial
Leia maisMecânica 1. Guia de Estudos P2
Mecânica 1 Guia de Estudos P2 Conceitos 1. Cinemática do Ponto Material 2. Cinemática dos Sólidos 1. Cinemática do Ponto Material a. Curvas Definição algébrica: A curva parametriza uma função de duas ou
Leia mais(a) Determine a velocidade do barco em qualquer instante.
NOME: UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Instituto de Matemática PRIMEIRA PROVA UNIFICADA CÁLCULO II Politécnica, Engenharia Química - 10/10/2013. 1 a QUESTÃO : Um barco a vela de massa m = 1 parte
Leia maisMAT CÁLCULO 2 PARA ECONOMIA. Geometria Analítica
MT0146 - CÁLCULO PR ECONOMI SEMESTRE DE 016 LIST DE PROBLEMS Geometria nalítica 1) Sejam π 1 e π os planos de equações, respectivamente, x + y + z = e x y + z = 1. Seja r a reta formada pela interseção
Leia maisAula 15. Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente. Quando u = (1, 0) ou u = (0, 1), obtemos as derivadas parciais em relação a x ou y, respectivamente.
Aula 15 Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente Seja f(x, y) uma função de variáveis. Iremos usar a notação D u f(x 0, y 0 ) para: Derivada direcional de f no ponto (x 0, y 0 ), na direção do vetor unitário
Leia maisCURVAS REGULARES E EQUAÇÕES DE FRENET. Thiago Mariano Viana ¹, Dr. Fernando Pereira Souza ²
1 CURVAS REGULARES E EQUAÇÕES DE FRENET Thiago Mariano Viana ¹, Dr. Fernando Pereira Souza ² ¹ Aluno do curso de Matemática CPTL/UFMS, bolsista do grupo PET Matemática CPTL/UFMS; ² Professor do curso de
Leia maisGeometria Analítica l - MAT Lista 6 Profa. Lhaylla Crissaff
Geometria Analítica l - MAT 0016 Lista 6 Profa. Lhaylla Crissaff 1. Encontre as equações paramétricas e cartesiana do plano π que passa pelos pontos A = (1, 0, ), B = (1,, 3) e C = (0, 1, ).. Prove que
Leia maisUniversidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática
Univrsidad Fdral do Rio d Janiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA Dpartamnto d Matmática Gabarito da 1 a prova d Gomtria difrncial - 20/09/2018 - Mônica 1. Sja α(s) uma curva rgular plana paramtrizada plo comprimnto
Leia maisNovo Espaço Matemática A 11.º ano Proposta de Teste Intermédio [janeiro 2015]
Proposta de Teste Intermédio [janeiro 015] Nome: Ano / Turma: N.º: Data: - - GRUPO I Na resposta a cada um dos itens deste grupo, seleciona a única opção correta. Escreve, na folha de respostas: o número
Leia maisJustifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos
Ano lectivo 006/07 Exame de Geometria Diferencial 5/7/07 Justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos Duração: h30m Soluções 1. Determine: a) Uma parametrização da curva
Leia maisGeometria Diferencial das Curvas Planas
Geometria Diferencial das Curvas Planas Hilário Alencar Walcy Santos Dedicamos este livro ao amigo e Professor Manfredo do Carmo por sua notável contribuição à Geometria Diferencial. 4 Prefácio Neste
Leia maisAPLICAÇÕES DAS FÓRMULAS DE FRENET EM CURVAS PLANAS E ESFÉRICAS
APLICAÇÕES DAS FÓRMULAS DE FRENET EM CURVAS PLANAS E ESFÉRICAS Adailson Ribeiro da Silva; Carlos Rhamon Batista Morais; Alecio Soares Silva; José Elias da Silva Universidade Estadual da Paraíba; adailsonribeiro1@gmail.com;
Leia maisCálculo Diferencial e Integral II
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral II Exame/Teste de Recuperação v2-8h - 29 de Junho de 215 Duração: Teste - 1h3m; Exame -
Leia maisGEODÉSICAS EM SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO NO R 3
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET COLEGIADO DE MATEMÁTICA Monografia de Graduação - Bacharelado em Matemática GEODÉSICAS EM SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO
Leia maisFunções vetoriais. I) Funções vetoriais a valores reais:
Funções vetoriais I) Funções vetoriais a valores reais: f: I R t f( n R (f 1 (,f (,...,f n () I = intervalo da reta real denominada domínio da função vetorial f = {conjunto de todos os valores possíveis
Leia maisGeometria Diferencial de Curvas de Interseção de Duas Superfícies Implícitas.
Geometria Diferencial de Curvas de Interseção de Duas Superfícies Implícitas. Osmar Aléssio e Marcela L. V. de Souza UNINCOR- Universidade Vale do Rio Verde de Três Corações Av. Castelo Branco, 8 CEP:
Leia maisCÁLCULO DAS VARIAÇÕES E SUPERFÍCIES DE CURVATURA MÉDIA CONSTANTE ALEXANDRE LYMBEROPOULOS
CÁLCLO DAS VARIAÇÕES E SPERFÍCIES DE CRVATRA MÉDIA CONSTANTE ALEXANDRE LYMBEROPOLOS 1. INTRODÇÃO E O FNCIONAL COMPRIMENTO DE CRVAS No cálculo diferencial de funções de várias variáveis estudamos critérios
Leia mais1.2. Curvas, Funções e Superfícies de Nível. EXERCÍCIOS 1. Desenhe as imagens das seguintes curvas, indicando o sentido de percurso:
. MAT - 047 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II PARA ECÔNOMIA a LISTA DE EXERCÍCIOS - 07.. Retas e Planos. Faça alguns exercícios das seções.3 e.5 do livro Cáculo (vol.) de James Stewart... Curvas, Funções
Leia maisGeometria Diferencial
Geometria Diferencial Curvas no plano e no espaço - Segundo semestre de 2007 Versão 14 compilada com o pdflatex no dia 2 de Agosto de 2007. Departamento de Matemática - UEL Prof. Ulysses Sodré: ulysses(a)uel(pt)br
Leia maisUFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM042 - Cálculo II Prof. José Carlos Eidam. Lista 1. Curvas
UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM042 - Cálculo II Prof. José Carlos Eidam Lista 1 Curvas 1. Desenhe as imagens das seguintes curvas: (a) γ(t) = (1, t) (b) γ(t) = (cos
Leia maisPara motivar a definição de integral curvelínea, imagine um fio delgado em forma de uma curva C, com extremidade A e B. Suponha-se que o fio tenha
INTEGRAIS DE LINHA INTRODUÇÃO: Temos como objetivo definir uma integral que é semelhante a uma integral simples, exceto que ao invés de integrarmos sobre um intervalo [a,b], integramos sobre uma curva
Leia maisIntegrais Sobre Caminhos e Superfícies. Teoremas de Integração do Cálculo Vectorial.
Capítulo 5 Integrais Sobre Caminhos e Superfícies. Teoremas de Integração do Cálculo Vectorial. 5.1 Integral de Um Caminho. Integral de Linha. Exercício 5.1.1 Seja f(x, y, z) = y e c(t) = t k, 0 t 1. Mostre
Leia maisMAT2457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I Gabarito da 2 a Prova - 1 o semestre de 2015
MAT27 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I Gabarito da 2 a Prova - 1 o semestre de 201 Nesta prova considera-se fixada uma orientação do espaço e um sistema de coordenadas Σ (O, E) em E 3, em que E é uma base
Leia maisUniversidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS VGA - 2 a Prova - Engenharia Civil + Física 03 de Julho de Prof o. E.T.
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS VGA - 2 a Prova - Engenharia Civil + Física 0 de Julho de 2014 - Prof o ETGalante 1 (2,0 pontos) Na gura acima ABCDEF GH é um paralelepípedo O ponto M
Leia mais6.1 equações canônicas de círculos e esferas
6 C Í R C U LO S E E S F E R A S 6.1 equações canônicas de círculos e esferas Um círculo é o conjunto de pontos no plano que estão a uma certa distância r de um ponto dado (a, b). Desta forma temos que
Leia maisMAT0354/MAT Geometria diferencial Lista de exercícios
MAT0354/MAT5751 - Geometria diferencial Lista de exercícios I. Curvas parametrizadas 1. Dado a > 0, considere a circunferência x 2 +(y a 2 )2 = ( a 2 )2. Parametrize a curva C do R 2 formada pelos vértices
Leia maisGeometria Analítica II - Aula
Geometria Analítica II - Aula 0 94 Aula Coordenadas Cilíndricas e Esféricas Para descrever de modo mais simples algumas curvas e regiões no plano introduzimos anteriormente as coordenadas polares. No espaço
Leia maisDescrevendo Regiões no Plano Cartesiano e no Espaço Euclidiano
Descrevendo Regiões no Plano Cartesiano e no Espaço Euclidiano Americo Cunha Débora Mondaini Ricardo Sá Earp Departamento de Matemática Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Regiões no Plano
Leia maisLista de Exercícios de Cálculo Infinitesimal II
Lista de Exercícios de Cálculo Infinitesimal II 10 de Setembro de 2003 Questão 1 Determine as representações explícitas em coordenadas polares das seguintes curvas: a) O círculo de raio a centrado em (a,
Leia maisP1 de Álgebra Linear I
P1 de Álgebra Linear I 2008.1 Gabarito 1) Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e marque COM CANETA sua resposta no quadro a seguir. Itens V F N 1.a x 1.b x 1.c x 1.d x 1.e x 1.a) Para
Leia maisMAT 112 Turma Vetores e Geometria. Prova 2 28 de junho de 2018
MAT 112 Turma 2018134 Vetores e Geometria Prof. Paolo Piccione Prova 2 28 de junho de 2018 Nome: Número USP: Assinatura: Instruções A duração da prova é de uma hora e quarenta minutos. Assinale as alternativas
Leia maisUniversidade Federal da Bahia
Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática DISCIPLINA: MATA3 - CÁLCULO B UNIDADE II - LISTA DE EXERCÍCIOS Atualiada 13.1 Coordenadas Polares [1] Dados os pontos P 1 (3, 5π 3 ), P ( 3, 33 ),
Leia mais1 Cônicas Não Degeneradas
Seções Cônicas Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICE Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi regi@mat.ufmg.br 11 de dezembro de 2001 Estudaremos as (seções) cônicas,
Leia mais0 < c < a ; d(f 1, F 2 ) = 2c
Capítulo 14 Elipse Nosso objetivo, neste e nos próximos capítulos, é estudar a equação geral do segundo grau em duas variáveis: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, onde A 0 ou B 0 ou C 0 Para isso, deniremos,
Leia maisMAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III 2a. Lista de Exercícios - 1o. semestre de 2014
MAT455 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III a. Lista de Exercícios - 1o. semestre de 014 1. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo da curva indicada: x ds, (t) = (t 3, t), 0 t
Leia mais3. Achar a equação da esfera definida pelas seguintes condições: centro C( 4, 2, 3) e tangente ao plano π : x y 2z + 7 = 0.
Universidade Federal de Uerlândia Faculdade de Matemática Disciplina : Geometria Analítica (GMA00) Assunto: Superfícies, Quádricas, Curvas e Coordenadas Professor Sato 4 a Lista de exercícios. Determinar
Leia maisProduto interno e produto vetorial no espaço
14 Produto interno e produto vetorial no espaço Sumário 14.1 Produto interno.................... 14. Produto vetorial.................... 5 14..1 Interpretação geométrica da norma do produto vetorial.......................
Leia maisMAT VETORES E GEOMETRIA - IF/IME 1 o SEMESTRE Suponha fixado um sistema de coordenadas ortogonal cuja base é positiva.
MAT 11 - VETORES E GEOMETRIA - IF/IME 1 o SEMESTRE 015 LISTA Suponha fixado um sistema de coordenadas ortogonal cuja base é positiva. 1. Sejam A = (1, 1, 1), B = (0, 0, 1) e r : X = (1, 0, 0) + λ(1, 1,
Leia maisPosição relativa entre retas e círculos e distâncias
4 Posição relativa entre retas e círculos e distâncias Sumário 4.1 Distância de um ponto a uma reta.......... 2 4.2 Posição relativa de uma reta e um círculo no plano 4 4.3 Distância entre duas retas no
Leia maisCurvas Planas em Coordenadas Polares
Curvas Planas em Coordenadas Polares Sumário. Coordenadas Polares.................... Relações entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas...................... 6. Exercícios........................
Leia maisCálculo 3 Primeira Avaliação (A) 25/08/2016
Cálculo 3 Primeira Avaliação A) 25/08/2016 Nome / Matrícula: / Turma: AA Nota: de 4 pontos) 1. 1 ponto) Determine a equação do plano que é: perpendicular ao plano que passa pelos pontos 0, 1, 1), 1, 0,
Leia maisUniversidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS VGA - 2 a Prova - Engenharia de Computação 03 de Julho de Prof o. E.T.
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS VGA - 2 a Prova - Engenharia de Computação 0 de Julho de 2014 - Prof o ETGalante 1 (2,0 pontos) Na gura acima ABCDEF GH é um paralelepípedo O ponto M é
Leia maisUNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA SUPERFÍCIES REGULARES E O TEOREMA EGREGIUM DE GAUSS ADAILSON RIBEIRO DA SILVA
UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA SUPERFÍCIES REGULARES E O TEOREMA EGREGIUM DE GAUSS ADAILSON RIBEIRO DA SILVA
Leia maisMAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II 2 a Lista de Exercícios
MAT454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II a Lista de Eercícios - 014 1. Seja f (, y) = + y + 4 e seja γ(t) = (t cos t, t sen t, t + 4), t 0. (a) Mostre que a imagem de γ está contida no
Leia mais