Funções vetoriais. I) Funções vetoriais a valores reais:

Transcrição

1 Funções vetoiais I) Funções vetoiais a valoes eais: f: I R R t a f(t) (f 1 n (t), f (t),..., f n (t)) I intevalo da eta eal denominada domínio da função vetoial f {conjunto de todos os valoes possíveis de t, paa os quais todas as componentes estão definidas}. Imagem f : conjunto de vetoes 3 Cassi paticula: f: I R R t a f(t) (f 1 (t), f (t), f 3 (t)) Dom( f ) Dom( f1) I Dom( f) I Dom( f3) Exemplo 1: defina o domínio e a imagem da função vetoial a segui: f: t I R a f(t) R 3 (sin(t + 1), ln(4 + t),- t - 1 )

2 Exemplo.- Defina o domínio e a imagem da função vetoial a Segui f: t I a R f(t) Resposta: Dom(f){...,[-4pi,-3pi],[-pi,-pi],[0,pi]}. Cuva espacial: dada uma função vetoial f: I R R t a f(t) (f 1 n (t), f (t),..., f n (t)) R ( t 3 + 1, t,- sin(t) Tal que f 1 (t), f (t),...fn(t) são funções eais continuas no domínio da função vetoial f. Então o conjunto V de pontos do espaço R 3 tais que x 1 f 1 (t), x f (t),x 3 f 3 (t),...xn fn(t)...(*) ; e t vaiando no domínio de f é chamado de cuva espacial. As equações (*) são denominadas equações paaméticas de V )

3 Cuvas no espaço ti-dimensional R 3 Quando uma patícula se movimenta no espaço R 3, ela desceve uma cuva (t) denominada tajetóia. : I [ a, b] R 3 t a (t) ( 1 (t), (t), 3 (t)) ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) Exemplo: seja a função vetoial definida no espaço R 3 f ( t) ( a cos( t), a sin( t), vt) Esta função define uma cuva no espaço R 3, denominada de helicóide.

4 usando Maple > estat; #helicoide > with(plots): > a:3: v:: # dados paa ajusta a cuva > spacecuve( [a*cos(t), a*sin(t), v*t], t0..5*pi, axesbox, labels[x,y,z], thickness);

5 Uma cuva plana é um conjunto de paes odenados de eais ( f(t), g(t) ), em que f(t) e g(t) são funções eais contínuas em um intevalo I. (x,y) cuva no plano R x f(t) equação y g(t) paamética g Y y P I t f 0 x X f ( t) ( vt sin( wt ), cos( wt)) Exemplo: a função vetoial define uma cuva plana denominada de ciclóide, v,, w são constantes.

6 > estat; #cicloide > with(plots): > v::w:1:r:: > plot( [v*t-r*sin(w*t), R-R*cos(w*t), t0..5*pi], scalingconstained, thickness, coloblue,labels[x,y]); cloide.htm

7 Funções vetoiais: epesentação gáfica Impotante: A paametização define uma oientação na cuva

8 Limite de funções vetoiais (t) Definição: Sejam uma função vetoial que define uma cuva no espaço R 3, tal que (t)(x(t),y(t),z(t)) x(t) i+ y(t) j + z(t) k, Logo, dizemos que tem limite L a medida que t se apoxima a t o e escevemos assim: lim lim t t 0 t t 0 (t) x(t) L l 1 (l 1,lim,l,l t t 0 3 ), y(t) t t 0 Desde que os limites das funções componentes existam. Definição fomal : O lim t t ( t ) L, existe se somente 0 ε > 0 δ > 0, tal que t 0 < t t < δ ( t ) L < ε o l,lim z(t) l 3 se

9 Exemplo 1, Seja a função ( t) ( t + 1, t), demonsta que : lim 0 ( t) L (1,0) t Exemplo Seja a função, demonsta que : lim 0 ( t) L (0,1,1) t Continuidade de funções vetoiais ( t) t ( t, e, t + 1) Uma função vetoial (t) seá contínua em um ponto tt 0, do seu domínio se a)lim b) ( t c) ( t 0 0 t t 0 ) existe ) (t) (x( t 0 L existe ), y( t 0 ),z( t 0 )) L,

10 Continuidade de funções vetoiais. (t) t π / 4 ( t) sin( t) i + cos( t) j + t k Exemplo 1. Veifique se é contínua em Exemplo. Veifique se a função vetoial abaixo é contínua paa. t 0

11 Deivada de uma função vetoial v (t) v (t) Definição: Seja uma função vetoial, ela é deivável ou tem deivada, se as deivadas das componentes x(t),y(t),z(t) estão bem definidas paa todo t do domínio de d & ( t) '( t) lim t (t + h) - (t) h 0 dx (, dy dz, ), Intepetação geomética da deivada de uma função vetoial. Seja (t) o veto posição de uma patícula em movimento no espaço R 3. A função & (t) é a velocidade da patícula e é um veto tangente à tajetóia espacial descita pela patícula (paa cada instante do tempo t).

12 Exemplo 1: Detemine a deivada da função vetoial a) f(t) (t, cos(t),4 t) b) f(t) (t-3sin(t), 3-3cos(t)) usando a definição Equação vetoial de uma eta L Seja P(x,y,z) ϵ L, P 0 (x 0,y 0, z 0 ) ϵ L, P 0 Z P L V é um veto paalelo a L. Logo: L : { P P + V 0 t} X V 0 Y Foma paamética da equação da eta L. x x 0 + v x t Y y o + v y t z z 0 + v z t, sendo v (v x,v y,v z )

13 Regas de deivação Seja u,v funções vetoiais de vaiável eal t; a e b são númeos eais, e f(t),g(t) são funções eais de vaiável eal t. d[ u( t) + v( t)] du( t) dv( t) 1. +, d[ au( t)] du( t). a, d [ f ( t ) v ( t )] df ( t ) dv ( t ) 3. v( t) + f ( t), d[ u( t) o v( t)] du( t) dv( t) 4. o v( t) + u( t) o, d[ u( t) v( t)] du( t) dv( t) 5. v( t) + u( t), d[ u( f ( t))] du( f ) df ( t) 6., df o poduto escala poduto vetoial

14 Execícios Execício 1.- Detemine a velocidade v(t) e a aceleação a(t) de uma patícula que desceva a seguinte cuva (tajetóia) (t)(t, 8-3t,3t+4)m. Execício.- Seja uma patícula pontual que segue uma tajetóia dada pela cuva, α: I R definida assim: α :t α(t) (vt-rsin(wt), R -Rcos(wt)), R, w, V são constantes. R,w 1, v R.w. a) Detemine a posição, velocidade e aceleação no instante t0s, e t3π/. b) Detemine a equação da eta tangente a cuva α no instante t3π/. Execício 3.-Demonste a popiedade 4 e 6 da ega de deivação.

15 Integal de uma função vetoial Seja f(t) (x(t),y(t),z(t)) uma função vetoial, definição: se as componentes de f são integáveis sobe I[a,b],então b f ( t) ( x( t)) i + ( y( t)) j + ( a b a ( t) lim b a n i n i 1 ( t b a i ) t, t b a n b a, t i z( t)) k patiçãode Exemplo: Calcula a integal da função f(t) ((cos(w t)), t 3 +t+1), Compimento de aco paa cuvas lisas Quando uma patícula pecoe uma deteminada Tajetóia no espaço, ela desceve uma cuva, o compimento desta cuva ente dois instantes dado t 0 e t 1 se denomina compimento de aco I

16 Compimento de aco dl dx + dy Definição: O compimento L de uma cuva lisa (t) x(t) i + y(t) j + z(t) k, tal que t ϵ [a,b] é L b dx dy ( ) + ( ) + a ( dz )

17 L Se Compimento de aco d v & ( t) ' ( t) ( v x, v y, v z ) então a fomula do compimento de aco fica b a v b a ' ( t ) Exemplo: Detemine o compimento de aco da ciclóide (t)(t- sin(t), - cos(t)) ente t0 e t pi 0 π t

18 FUNÇÃO COMPRIMENTO DE ARCO s( t) t d t0 t t0 v s(t) é o compimento da cuva (t) desde o instante t 0 ate o instante t. Sendo v o módulo da velocidade, ou chamada também como velocidade escala. Usando um pouco de cálculo Impotante: Como ss(t) então ds ds ds v(t) Logo : O compimento de aco de uma cuva abitáia não depende da paametização.

19 L t1 t0 d( t) s1 0 d ds ds O compimento de aco de uma cuva ente dois pontos é invaiante pela e-paametização Execícios 1.- estude a continuidade da função vetoial f(t)(t-sin(t),-cos(t)) no ponto tπ..- Detemine o limite da função vetoial f(t)(t 3,4t,3t+4) quando t se apoxima a t Do execício anteio detemine f (t) paa todo t ϵ R. qual é o ângulo que foma o veto f (t) como o veto f(t) no instante t. 4.-Detemine a função compimento de aco s(t) paa a ciclóide do execício.

20 TRAJETÓRIA DE UMA PARTÍCULA EM CAMPOS ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS

21 Movimento de uma patícula no espaço R 3 V V Sabemos que T, T.T 1 V v dt. T 0 Analisemos a velocidade de uma patícula V ( t) T. v Deivando esta equação temos a a T + t v dt Definamos : ds K dt ds

22 K de d T dt, ds ds Cuvatua K dt ds N dt T.T 0, temos. T ds Finalmente, consideando o adio de cuvatua 0 a a T + t Sendo N veto unitáio dt Logo deve se otogonal a T, seu veto unitáio também ds T. N 0 v ρ N ρ 1 k

23 a Aceleação instantânea dv a T Aceleação tangencial a cpta v ρ Aceleação centípeta ou adial Sempe oientada á pate côncava Da tajetóia. Suponhamos que : (s), definamos τ ( dx ds, dy ds, dz ds ) τ d ds

24 τ ( dx ds ) + ( dy ds ) + ( dz ds ) 1 Logo T τ K d T d d d ( ) ds ds ds ds Logo, em foma explicita d x d y K ( ) + ( ) + ds ds ( d ds z )

25 Tiedo de Fenet-Seet B N T Veto binomal Execícios 1.- Pova que.- Pova que B 1 a. V a. V a T V v 3.- Pova que k V 3 v a

26 Execícios.. Continua 4.- Em elação á ciclóide estudada no começo a) Detemine o veto T, N,B paa a ciclóide no instante t3pi/. b) Detemine a aceleação tangencial e a aceleação centípeta paa todo instante t. Paticulaize paa t3pi/ c) Detemine a cuvatua k(t) paa todo instante de Tempo. c) Intepete seus esultados. 5.- demonste que no casso de uma cicunfeência de adio a, a cuvatua K em qualque ponto da cicunfeência é sempe a mesma e é 1/a.

27 Execícios.. Continua 6.- Seja uma patícula descevendo uma helicóide (t)(cos(t), sen(t),t) no espaço R 3 a) Detemine a velocidade e a aceleação instantânea paa todo instante t. b) Detemine o veto unitáio tangente T, paa todo instante t. c) Detemine a equação da eta tangente a helicóide no Instante tpi/4. d) Detemine a função compimento de aco s(t) em função do tempo t. e) Detemine a aceleação tangencial e a aceleação centípeta paa todo instante t. Paticulaize paa tpi/4.

28 Execícios.. Continua f).- Detemine os vetoes N e B paa todo instante t

29 Equação de um plano. Seja um plano M imeso no espaço euclidiano R 3 onde n é um veto pependicula ao plano M, então conhecendo um ponto P o (x o,y o,z o ) que petence ao plano P, podemos detemina a equação algébica que obedece todos os pontos (x,y,z) do plano M. Basicamente, ela disse que toda eta contida no plano (ou todo veto contido no plano), é pependicula ao veto nomal n. dado n(a,b,c) n. P o P 0 (O poduto escala ente n e P 0 P é nulo) Seja P(x,y,z) um ponto abitaio do plano M

30 Equação de um plano. ax + by + cz + d 0 Onde a constante d pode se acha avaliando a equação em qualque ponto que petence ao plano.

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32 Paalelismo ente ectas e planos o vecto diecto (da ecta ) é pependicula ao vecto (n) nomal ao plano C Β n A José Maia Plano_08

33 Pependiculaidade ente ectas e planos o vecto diecto da ecta (s) é colinea com o vecto (n) nomal ao plano D n s α A C José Maia Plano_09

34 Paalelismo ente dois planos os vectoes nomais aos planos ( n e p ) são colineaes n α β p José Maia Plano_10

35 Paalelismo ente dois planos os vectoes nomais aos planos ( n e p ) são colineaes n α β p José Maia Plano_10

36 Inteseção de dois planos n 1 (a 1,b 1,c 1 ) n (a,b,c ) cos( θ ) n n 1 1. n n n + 1. n a1a1 + b1b c1c

37 Execícios. Execício 1.- Seja M um plano paalelo ao plano xy localizada a uma distancia c da oigem de coodenadas. Detemine a equação deste plano. Execício.-Enconte a distancia do ponto Q(1,,1) ao plano M com equação x+y+z6 Execício 3.- Seja os planos M 1 : 3x+y+z+40, M : z0, a) Detemine o ângulo ente estes planos b) Detemine a equação da eta poveniente da inteseção dos dois planos. Site ecomendado paa entende melho a geometia euclidiana eana.htm