P (x i ) = f(x i ), f(x) p(x) < δ.

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1 Capítulo 4 Intrpolação Nst capítulo studarmos métodos qu prmitm ncontrar um valor aproximado para uma função f calculada m um ponto x do intrvalo I, através do conhcimnto d uma colção d pars ordnados (pontos) {(x i, f(x i ))} N i=1 tais qu x i I Sja P a função qu aproxima f no intrvalo I Então, para o conjunto d pontos x i, i = 1,, N P (x i ) = f(x i ), dizmos qu P intrpola a função f nos valors x 1, x 2,, x N Então podmos utilizar a função P para ncontrar uma aproximação para o valor d f no ponto x I, ss procdimnto é dnominado intrpolação S x stivr fora do intrvalo I ainda assim utilizarmos a função P para ncontrar o valor aproximado d f nss ponto, o procdimnto é dnominado xtrapolação A scolha d polinômios para ralizar ssa tarfa possui os sguints motivos: é possívl aproximar uma grand varidad d funçõs, os polinômios são d fácil manipulação matmática (principalmnt drivação intgração) o torma d Wirstrass Torma (Wirstrass) Sja f uma função contínua dfinida no intrvalo fchado limitado [a, b] sja δ um númro positivo Então xist um polinômio p, tal qu para todo x [a, b], f(x) p(x) < δ No ntanto, da msma forma qu o torma d Wirstrass garant uma rprsntação d f por um polinômio p tão próximo quanto quiramos, l nada diz sobr o grau d p Em algumas situaçõs, o problma d ncontrar p qu dsmpnh ss papl pod sr xtraordinariamnt difícil do ponto d vista numérico Ants d discutirmos o procdimnto d intrpolação por polinômios, val a pna mncionar um algoritmo útil no cálculo do valor d p m um ponto x Trata-s do algoritmo d Hornr Algoritmo d Hornr Batizado com o nom do matmático inglês Willian Gorg Hornr mas já conhcido por Isaac Nwton m 1669 msmo plo matmático chinês Qin Jiunshao no séc XIII, o algoritmo consist m uma manira otimizada d calcular p(x) = a m x m + a m 1 x m a 1 x + a 0 através d m multiplicaçõs m adiçõs

2 Capítulo 4 Intrpolação 49 Basta rscrvr o polinômio na forma concatnada: p(x) = (( ((a m x + a m 1 )x + a m a )x + + a 2 )x + a 1 )x + a 0 Assim, p(x) pod sr calculado itrativamnt: s dnominarmos b m = a m, a m x + a m 1 = b m x + a m 1 = b m 1, ntão obtmos uma rcursão para os b i d modo qu p(x) = b 0 Por xmplo, o polinômio p(x) = 3x 3 + 8x 2 x + 1 = ((3x + 8)x 1) + 1 Nss caso b 3 = 3, b 2 = b 3 x + 8 = 3x + 8, b 1 = b 2 x 1 = (3x + 8)x 1 finalmnt p(x) = b 0 = b 1 x Intrpolação polinomial Sja f i, i = 1, 2,, n, o valor da função f calculada nos n pontos d intrpolação x i Encontrar o polinômio d grau m qu intrpola f nsss pontos consist m rsolvr o sistma d quaçõs linars f i f(x i ) = p(x i ), ou sja o sistma a m x m 1 + a m 1 x m a 1 x 1 + a 0 = f 1 a m x m 2 + a m 1 x m a 1 x 2 + a 0 = f 2 a m x m n + a m 1 x m 1 n + + a 1 x n + a 0 = f n (41) As m+1 incógnitas são os coficints do polinômio, a 0, a 1,, a m o sistma possui n quaçõs Portanto, tipicamnt, o sistma não possui solução s m + 1 < n, possui infinitas soluçõs s m + 1 > n srá unicamnt dtrminado s m + 1 = n Obsrvação Val lmbrar qu ss procdimnto não é adquado para dtrminar polinômios intrpolants s os dados d ntrada possuírm componnts alatórios (mdidas xprimntais), ou d alguma forma, o valor da função qu s qur intrpolar não é conhcida xatamnt ou com suficint xatidão 411 Intrpolação plos polinômios d Lagrang Como vrmos adiant, rsolvr o sistma (41) não é a manira mais simpls ou mnos sujita a rros d arrdondamnto quando dsjamos dtrminar o polinômio intrpolant O sguint torma garant a unicidad do polinômio intrpolant, o qu nos prmit buscar maniras altrnativas d construí-lo Por sr único, o rsultado srá indpndnt da construção Torma (unicidad do polinômio intrpolant) Sjam x 1,, x n, pontos distintos Para um conjunto arbitrário d valors f 1,, f n xist um somnt um polinômio p d grau mnor ou igual a n 1 tal qu p(x i ) = f i, para i = 1, 2,, n

3 Capítulo 4 Intrpolação 50 Dmonstração: No caso m qu tmos n pontos distintos procuramos um polinômio d grau mnor ou igual a n 1, a matriz quadrada dos coficints do sistma d quaçõs linars (41) assum a forma da sguint matriz d Vandrmond, x n 1 1 x n 2 1 x 2 1 x 1 1 x n 1 2 x n 2 2 x 2 2 x 2 1 x n 1 n x n 2 n x 2 n x n 1 Por hipóts os x i são distintos, portanto o dtrminant da matriz, dado por 1 i<j n (x j x i ) é não nulo, consqüntmnt, a solução do sistma é única o polinômio também Vamos supor qu para cada 1 j n xista um polinômio d grau n 1, l j (x) tal qu para cada 1 k n, o valor d l j no ponto d intrpolação x k é tal qu l j (x k ) = δ j,k, ond δ j,k é o dlta d Kronckr 1 Nss caso, os polinômios l j prmitm rscrvr o polinômio intrpolant p(x): p(x) = f 1 l 1 (x) + f 2 l 2 (x) + + f n l n (x) = n f j l j (x), podmos trivialmnt vrificar qu p(x k ) = n j=1 f jl j (x k ) = n j=1 f jδ j,k = f k Portanto s formos capazs d construir os polinômios l j a intrpolação stará dtrminada Vamos ntão construí-los a partir das sguints considraçõs Sgundo a sua dfinição l j (x k ) = 0 para todo x k tal qu k j, ntão os pontos x k são raízs d l j, s j k portanto, a mnos d uma constant multiplicativa, C j, o polinômio l j é dtrminado plo produtório l j (x) = C j (x x 1 )(x x 2 ) (x x j 1 )(x x j+1 ) (x x n ) j=1 n = C j (x x i ) i=1 i j 1 O dlta d Kronckr é dfinido pla xprssão 0, j k δ j,k = 1, j = k, ond j k são dois númros intiros

4 Capítulo 4 Intrpolação 51 Por fim, a constant C j pod sr dtrminada através da propridad l j (x j ) = 1: n l j (x j ) = 1 C j (x j x i ) = 1, i=1 i j ou sja C j = n i=1 i j 1 (x j x i ) Dssa forma, os polinômios l j (x), dnominados polinômios d Lagrang são dtrminados a partir do sguint produtório a intrpolação d Lagrang l j (x) = p(x) = n i=1 i j x x i x j x i n f j l j (x) j=1 Exmplo: Sja a função f(x) = sn(x) a partir da qual construímos a intrpolação nos três pontos x 1 = 0, x 2 = 1 x 3 = 2 Srá ntão um polinômio d sgundo grau Os pontos d intrpolação são dados por j x j f j = sn(x j ) sn(1) 3 2 sn(2) os polinômios d Lagrang são ntão dados por l 1 (x) = (x 1)(x 2) (0 1)(0 2) = x2 3x + 2, 2 A intrpolação é dada por l 2 (x) = ( sn(2) p(x) = 2 (x 0)(x 2) (1 0)(1 2) = x2 + 2x (x 0)(x 1) l 3 (x) = (2 0)(2 1) = x2 x 2 ) ( sn(1) x 2 + 2sn(1) sn(2) ) x Intrpolação d Nwton D acordo com o torma da unicidad do polinômio intrpolant, toda intrpolação d n pontos por um polinômio d grau n 1 é única pod sr obtida plo método d Lagrang No ntanto, xistm outras maniras d construir o polinômio p(x) qu podm sr mais convnints Uma

5 Capítulo 4 Intrpolação 52 dssas maniras é a intrpolação d Nwton, qu prmit a insrção d pontos adicionais d manira mais simpls mnos sujita à dtrioração por rros d arrdondamnto O método consist m dtrminar o polinômio p(x) = a 0 + a 1 (x x 1 ) + a 2 (x x 1 )(x x 2 ) + + a n 1 (x x 1 ) (x x n 1 ) Por construção, p(x 1 ) = a 0 como p(x) é o polinômio intrpolant, p(x 1 ) = f 1, ou sja, a 0 = f 1 Da msma forma, p(x 2 ) = a 0 + a 1 (x 2 x 1 ) = f 2 ou sja, = f 1 + a 1 (x 2 x 1 ) = f 2, a 1 = f 2 a 0 x 2 x 1 assim por diant, os coficints são dtrminados rcursivamnt o k-ésimo coficint é dtrminado m trmos dos pontos d intrpolação os coficints antriors pla xprssão a k = f k+1 a 0 k 1 j=1 a j(x k+1 x 1 ) (x k+1 x j ) k j=1 (x (42) k+1 x j ) A fórmula d rcorrência (42) pod sr convnintmnt dscrita através da notação d difrnças divididas Sja a função f[x k, x k+1,, x l+1 ] dfinida pla rlação d rcorrência f[x k, x k+1,, x l, x l+1 ] = f[x k+1, x k+1,, x l+1 ] f[x k, x k+1,, x l ] x l+1 x k f[x k ] = f k = f(xk ) Assim, podmos vrificar qu f[x k, x k+1 ] = f[x k+1] f[x k ] x k+1 x k f[x k, x k+1, x k+2 ] = f[x k+1, x k+2 ] f[x k, x k+1 ] x k+2 x k

6 Capítulo 4 Intrpolação 53 Nssa notação, os coficints do polinômio são dados por a 0 = f[x 1 ], a 1 = f[x 1, x 2 ], a 2 = f[x 1, x 2, x 3 ], a n 1 = f[x 1, x 2,, x n ] Diagramaticamnt, os coficints são calculados a partir da sqüência d difrnças divididas calculadas rcursivamnt: x 1 f[x 1 ] f[x 1, x 2 ] f[x 1, x 2, x 3 ] f[x 1,, x n 1 ] f[x 1,, x n ] x 2 f[x 2 ] f[x 2, x 3 ] f[x 2, x 3, x 4 ] f[x 2,, x n ] x 3 f[x 3 ] f[x 3, x 4 ] f[x 3, x 4, x 5 ] x n 2 f[x n 2 ] f[x n 2, x n 1 ] f[x n 2, x n 1, x n ] x n 1 f[x n 1 ] f[x n 1, x n ] x n f[x n ] Exmplo: Vamos ralizar a intrpolação da função sn(x) no intrvalo x [0, 2] através d um polinômio d sgundo grau nos pontos x 1 = 0, x 2 = 1 x 3 = 2 Nst caso, j x j f j = sn(x j ) sn(1) 3 2 sn(2) por f[x 1 ] = 0, f[x 2 ] = sn(1) f[x 3 ] = sn(2) As próximas difrnças divididas são dadas Finalmnt, f[x 1, x 2 ] = f[x 2] f[x 1 ] = sn(1) 0 x 2 x f[x 2, x 3 ] = f[x 3] f[x 2 ] x 3 x 2 = sn(2) sn(1) 2 1 f[x 1, x 2, x 3 ] = f[x 2, x 3 ] f[x 1, x 2 ] x 3 x 1 Portanto, o polinômio intrpolant = sn(2) sn(1) sn(1) 2 0 p(x) = f[x 1 ] + f[x 1, x 2 ] (x x 1 ) + f[x 1, x 2, x 3 ] (x x 1 )(x x 2 )

7 Capítulo 4 Intrpolação 54 é p(x) = sn(1) x + sn(2) 2sn(1) 2 x(x 1) Exrcício 1) Inclua o ponto x 4 = 1/2 na intrpolação antrior ncontr o polinômio intrpolant d trciro grau 2) Encontr o polinômio intrpolant d trciro grau nos msmos pontos do xmplo antrior (incluindo o ponto x 4 = 1/2) para as funçõs cos(x), xsn(x) x Erros d truncamnto na intrpolação por polinômios Sja f uma função contínua nvzs difrnciávl no intrvalo (a, b) qu contém os pontos x 1, x 2,, x n sja p o polinômio d grau n 1 qu intrpola f nsss pontos Então é possívl mostrar 2 qu para cada x (a, b), xist um ζ(x) (a, b) tal qu f(x) p(x) = 1 n! f (n) (ζ) n (x x i ) (43) Podríamos supor qu para uma f contínua suficintmnt suav, a sqüência d polinômios intrpolants {p n } n 1 convrgiria para f conform aumntássmos o númro d pontos d intrpolação no intrvalo (a, b) No ntanto, como o xmplo a sguir ilustra, isto nm smpr ocorr Fnômno d Rung A sguint função, proposta por Carl D T Rung ao studar o comportamnto dos rros na intrpolação polinomial, f(x) = i=1 1, x [ 1, 1] x2 é tal qu a sqüência d polinômios intrpolants {p n } n construídos a partir d pontos d intrpolação igualmnt spaçados não convrg 3 para f(x) no intrvalo d valors x ( 1, 0727) (0727, 1) Na ralidad é possívl dmonstrar qu lim n + max f(x) p n(x) = + 1 x 1 Podmos analisar ss comportamnto não rgular da intrpolação a partir do trmo n (x x i ) (44) i=1 contido na xprssão (43) Ess produtório possui uma flutuação para os valors do argumnto próximos à frontira do intrvalo ( 1, 1) qu é progrssivamnt ampliada conform aumntamos o númro d pontos s os msmos form igualmnt spaçados Os gráfico sguints ajudam a ilustrar o comportamnto do produtório (44) 2 A dmonstração pod sr ncontrada nas rfrências: Eldén, L; Wittmyr-Koch, L Numrical Analysis (1990), Claudio, D M; Marins, J M Cálculo Numérico Computacional - toria prática 3 a d (2000) 3 A dmonstração pod sr ncontrada na rfrência : Isaacson, E ; Kllr, H Analysis of Numrical Mthods (1966)

8 Capítulo 4 Intrpolação x x Figura 41 a) comportamnto do produtório (44) com 20 pontos igualmnt spaçados no intrvalo [ 1, 1] b) rcort do msmo produtório no intrvalo [ 07, 07] Ess comportamnto pod sr minimizado através da scolha d pontos não igualmnt spaçados Na ralidad é possívl dmonstrar qu a variação do trmo (44) é mínima m valor absoluto quando os pontos x i stão spaçados m um intrvalo (a, b) sgundo a sguint xprssão x i = a + b 2 + a b 2 ( ) 2i 1 cos 2n π para i = 1, 2,, n Esss pontos são dnominados pontos d Chbyshv Utilizando os pontos d Chbyshv no intrvalo [ 1, 1] podmos controlar o comportamnto dos polinômios intrpolants para a função d Rung garantir a convrgência p n 1 (x) f(x) quando n x Figura 42 O produtório (44) com 20 pontos d Chbyshv Ainda assim, xistm funçõs contínuas qu rqurm um númro impraticávl d pontos para qu a intrpolação s aproxim da função original Por xmplo, a função x no intrvalo [ 1, 1] rqur um polinômio d grau maior qu 10 6 para qu a intrpolação sja xata até 10 3 Em gral, quando utilizamos polinômios d grau maior ou igual a 100, a maior dificuldad é lidar com os rros d arrdondamnto

9 Capítulo 4 Intrpolação Intrpolação splin Splins são funçõs formadas por difrnts polinômios d grau mnor ou igual a um m, dfinidos para cada intrvalo ntr os pontos d intrpolação d modo qu m cada ponto d intrpolação o splin é contínuo,assim como todas as drivadas até ordm m 1 f s n 1 x s 1 x s2 x s n 2 x x 1 x 2 x 3 x n 2 x n 1 x n x Figura 43 Intrpolação splin Nas situaçõs m qu o númro d pontos d intrpolação é grand (por xmplo, m aplicaçõs CAD computr-aidd dsign), a inxatidão na aproximação obtida com um polinômio d grau lvado é dominada plos rros d arrdondamnto Ou ntão quando a função qu s qur intrpolar possui drivadas d valor numérico lvado m alguma rgião do intrvalo d intrpolação, a aproximação é prjudicada m todo o intrvalo Nssas situaçõs, a intrpolação por splin pod auxiliar a tarfa d intrpolação O procdimnto d construir splins é análogo qualqur qu sja o grau dos polinômios utilizados, como o splin d maior intrss (vrmos porqu) é aqul formado por polinômios d grau 3, nos concntrarmos nss caso apnas 421 Intrpolação splin cúbica Sjam x 1 < x 2 < < x n os pontos intrpolação um splin cúbico é uma função s(x), dfinida no intrvalo [x 1, x n ] com as sguints propridads: 1 s(x), s (x) s (x) são funçõs contínuas no intrvalo (x 1, x n ) 2 Em cada subintrvalo [x i, x i+1 ], s(x) é um polinômio cúbico tal qu s(x i ) = f i = f(xi ) para i = 1, 2,, n Portanto, s é composto por n 1 polinômios cúbicos, cada polinômio é dtrminado por 4 coficints (a i,b i, c i d i ) o qu dá um total d 4n 4 coficints a dtrminar, ou sja 4n 4 incógnitas Cada polinômio dv satisfazr a condição d continuidad nos pontos d intrpolação além, é claro, d intrpolar o ponto x i, ou sja, s i (x i ) = f i (intrpolação),

10 Capítulo 4 Intrpolação 57 para i = 1, 2,, n 1 s n 1 (x n ) = f n A continuidad é satisfita s s i (x i+1 ) = f i+1 (continuidad d s ), para i = 1, 2,, n 2 As condiçõs acima implicam 2(n 1) quaçõs Faltam ainda as continuidads d s (x) s (x): s i(x i+1 ) = s i+1(x i+1 ) (continuidad d s ), s i (x i+1 ) = s i+1(x i+1 ) (continuidad d s ), para i = 1, 2,, n 2 Cada condição quival a n 2 quaçõs Portanto tmos até agora um total d 4n 6 quaçõs Rstam duas quaçõs para qu su númro sja igual ao númro d incógnitas Essas duas últimas quaçõs rlacionam-s com as condiçõs d frontira do splin Com rlação ao comportamnto d s(x) no xtrmo do intrvalo, há duas possibilidads a s considrar: i) splin natural, s 1(x 1 ) = 0 s n 1(x n ) = 0 possui ss nom por sr a condição quivalnt à aproximação por réguas lásticas (uso mais tradicional do splin) ii) splin com msmas condiçõs d f na xtrmidad, s 1(x 1 ) = f (x 1 ) s n 1(x n ) = f (x n ) ssa scolha prssupõ qu a informação sobr o valor da drivada d f nos xtrmos do intrvalo sja conhcida A aproximação obtida com ssa scolha possui uma maior xatidão do qu a obtida com o splin natural Nos próximos parágrafos montarmos o sistma d quaçõs linars para dtrminarmos 4n 4 os coficints a i,b i, c i d i dos n 1 polinômios qu compõ o splin: s i (x) = a i + b i (x x i ) + c i (x x i ) 2 + d i (x x i ) 3 (45) Por sr uma intrpolação, a cada x i, tmos qu s(x i ) = f i, ou sja, s i (x i ) = f i Portanto, m vista da quação (45) a intrpolação implica f i = s i (x i ) = a i

11 Capítulo 4 Intrpolação 58 para i = 1, 2,, n 1 O qu dtrmina o valor dos coficints a i A continuidad do splin s(x) nos pontos d intrpolação implica a quação s i (x i+1 ) = s i+1 (x i+1 ) para i = 1, 2,, n 2, ou sja, a i + b i (x i+1 x i ) + c i (x i+1 x i ) 2 + d i (x i+1 x i ) 3 = a i+1, f i + b i (x i+1 x i ) + c i (x i+1 x i ) 2 + d i (x i+1 x i ) 3 = f i+1 (46) Para aliviar a notação, vamos introduzir a notação h i = (x i+1 x i ) Dssa forma, a quação antrior (46) pod sr rscrita como f i + b i h i + c i h 2 i + d i h 3 i = f i+1 (47) A continuidad na primira na sgunda drivadas implicam b i + 2c i h i + 3d i h 2 i = b i+1 (48) c i + 3d i h i = c i+1 (49) para i = 1, 2,, n 2 Isolando d i na quação (49) substituindo m (47) (48) ncontramos rspctivamnt f i+1 = f i + b i h i + h2 i 3 (2c i + c i+1 ) (410) b i+1 = b i + h i (c i + c i+1 ) (411) para i = 1, 2,, n 2 Isolando b i na quação (410) podmos dtrminá-lo m trmos dos valors conhcidos f i, h i da incógnita c i (o msmo acontc com os coficints d i, a partir da quação (49)), b i = f i+1 f i h i h i 3 (2c i + c i+1 ), (412) para i = 1, 2,, n 2 A substituição d b i b i 1 dados pla quação (412) na quação (411) com os índics dslocados d uma unidad, ou sja, b i = b i 1 + h i 1 (c i 1 + c i ), prmit ncontrar uma quação para os coficints c i m trmos dos valors conhcidos f i h i : ( ) fi+1 f i h i 1 c i 1 + 2(h i 1 + h i )c i + h i c i+1 = 3 3 h i ( fi f i 1 h i 1 ), (413) para i = 2, 3,, n 1 A quação antrior dfin um sistma d quaçõs linars para as incógnitas c i Not qu além dos coficints c 1, c 2,, c n 1, o sistma nvolv um coficint c n qu não stá dirtamnt rlacionado a algum dos n 1 polinômios s i Na ralidad, c n stá rlacionado às condiçõs no xtrmo do intrvalo d intrpolação sua dtrminação dpnd do

12 Capítulo 4 Intrpolação 59 tipo d splin qu stamos construindo, s é um splin natural ou um splin qu satisfaz as msmas condiçõs d f nos xtrmos do intrvalo d intrpolação As n 2 quaçõs (413) nvolvm n variávis (as incógnitas c i ), para qu o sistma (tipicamnt) tnha solução única dvmos incluir as duas últimas quaçõs qu dscrvm o comportamnto do splin nos xtrmos do intrvalo d intrpolação Vamos studar inicialmnt o caso do splin natural Splin natural O splin natural dv satisfazr as condiçõs s (x 1 ) = 0 s (x n ) = 0, stas duas quaçõs implicam rspctivamnt c 1 = 0 2c n 1 + 6d n 1 h n 1 = 0 (414) A quação (414) implica m trmos da quação para os coficints d i (49) qu c n = 0 Colcionando sss rsultados tmos ntão a sguint situação: rsolvndo o sistma d quaçõs c 1 = 0 ( ) ( ) h i 1 c i 1 + 2(h i 1 + h i )c i + h i c i+1 = 3 fi+1 f i h i 3 fi f i 1 h i 1, i = 2,, n 1 c n = 0 ncontramos o valor dos coficints c i A partir dsss coficints dtrminamos o valor dos coficints b i através das quaçõs (412) b i = f i+1 f i h i h i 3 (2c i + c i+1 ), para i = 1, 2,, n 1; o valor dos coficints d i através da quaçõs d i = c i+1 c i 3h i, (415) para i = 1, 2,, n 1, obtida a partir d (49) Os coficints a i dtrminado antriormnt = f i como já havíamos Splin com as msmas condiçõs d f nos xtrmos Nss caso o splin dv satisfazr as condiçõs s (x 1 ) = f (x 1 ) f 1 s (x n ) = f (x n ) f npara dtrminar o splin, f 1 f n dvm sr valors conhcidos As condiçõs implicam rspctivamnt b 1 = f 1 (416) b n 1 + 2c n 1 h n 1 + 3d n 1 h 2 n 1 = f n (417)

13 Capítulo 4 Intrpolação 60 Como os coficints b i satisfazm a quação (412), a quação (416) implica ou sja, f 1 = b 1 = f 2 f 1 h 1 h 1 3 (2c 1 + c 2 ), ( ) f2 f 1 2h 1 c 1 + h 1 c 2 = 3 3f 1 (418) Da msma forma, no caso da quação (417), as quaçõs (412) (415) implicam h 1 ( ) fn f n 1 h n 1 c n 1 + 2h n 1 c n = 3 + 3f n (419) h n 1 Em rsumo, dvmos rsolvr o sistma formado plas quaçõs (413), (418) (419) 2h 1 c 1 + h 1 c 2 = 3 ( f2 f 1 h 1 ) 3f 1 ( ) ( ) h i 1 c i 1 + 2(h i 1 + h i )c i + h i c i+1 = 3 fi+1 f i h i 3 fi f i 1 h i 1, i = 2,, n 1 h n 1 c n 1 + 2h n 1 c n = 3 ( fn f n 1 h n 1 ) + 3f n ntão dtrminar os coficints b i d i através das quaçõs (412) (415): b i = f i+1 f i h i h i 3 (2c i + c i+1 ), d i = c i+1 c i 3h i, para i = 1, 2,, n 1 Naturalmnt, os coficints a i = f i 43 Exrcícios 1) (Aqucimnto) Chqu, indirtamnt, a xatidão das bibliotcas d funçõs d su computador ou calculadora cintífica através da anális do comportamnto das sguints idntidads nos valors d x = i π, para i = 1, 2,, sn 2 (x) + cos 2 (x) = 1 2 sn(2x) = 2sn(x) cos(x) 3 cos(x) = sn(x + π/2) 4 xp(x) xp( x) = 1 5 ln( x ) = x 6 x x = x 2) Utiliz a sguint tabla (com valors xatos até a prcisão utilizada),

14 Capítulo 4 Intrpolação 61 x sn(x) cos(x) cot(x) 0,001 0, , ,0 0,002 0, , ,999 0,003 0, , ,332 0,004 0, , ,999 0,005 0, , ,998 para calcular cot(0, 0015) com a maior prcisão possívl através d: 1 intrpolação para cot(x) 2 intrpolação d sn(x) cos(x) 3 stim o rro m 2) Dica: propagação d rros 4 Expliqu a difrnça ntr os rsultados m 1) 2) 3) Compar os rros na aproximação das funçõs abaixo no intrvalo [0, 1] através d: i) Expansão d Taylor m torno do ponto x 0 = 0, 5 ii) Intrpolação d Lagrang com pontos igualmnt spaçados, com x 1 = 0 até x 4 = 1 iii) Intrpolação d Lagrang utilizando os pontos d Chbyshv Utiliz smpr polinômios d 3 o grau compar os rros m x = 0; 0, 1; 0, 2; ; 1, 0 1 sn(2x) 2 x 3 x x 2 5 x 4 4) Encontr a intrpolação splin cúbica (splin natural) para os dados abaixo x f(x) ) Dcida s as sguints funçõs são splins x, 1 x 0 1 f(x) = 2x, 0 x 1 x + 1, 1 x 2 x, 1 x 0 2 f(x) = 2x 1, 0 x 1 x + 1, 1 x 2

15 Capítulo 4 Intrpolação 62 0, 1 x 0 3 f(x) = x 2, 0 x 1 2x 1, 1 x 2 6) Dtrmin os valors d a b d forma qu a sguint função sja um splin cúbico Rspostas x 3 + x, 1 x 0 f(x) = ax 2 + bx, 0 x 1 2) A partir dos dados da tabla ncontramos as sguints intrpolaçõs Obsrvação: os rsultados foram obtidos a partir d opraçõs m ponto flutuant os primiros st dígitos stão rprsntados S admitirmos os valors da tabla como racionais xatos, a intrpolação nvolvrá apnas coficints racionais Por xmplo, a intrpolação da função sno srá simplsmnt P (x) = x; nss caso, a difrnça dv-s xclusivamnt aos rros d arrdondamnto comtidos nas opraçõs aritméticas para a função cotangnt P cot (x) = x x x x 4 para a função sno P sn (x) = x x x 3 para a função cossno P cos (x) = x x x x 4 O rro comtido na aproximação do valor d cot(00015) por P cos(00015) pod sr avaliada P sn (00015) através da propagação d rros D acordo com la, o rro vamos dnominá-lo δ P cos P sn (x) stá rlacionado aos rros comtidos na aproximação do sno do cossno plas rspctivas intrpolaçõs 4 : δ P cos P sn (x) 1 P sn (x) δp cos(x) + P cos (x) (P sn (x)) 2 sn (x), 7ond os rros são dados por δp cos (x) = cos(x) P cos (x) δp sn (x) = sn(x) P sn (x) Dssa forma, δp cos (00015) = δp sn (00015) = qu implicam a stimativa δ P cos P sn (00015) Já o rro obtido a partir da intrpolação dirta da cotangnt é δp cot (00015) = cos(00015) P cot (00015) = A difrnça ntr as duas stimativas s dv ao fato d qu a função cotangnt varia muito rapidamnt no intrvalo d pontos scolhido, o qu potncialmnt aumnta os rros d truncamnto Por outro lado, as funçõs sno cossno variam pouco, o qu prmit uma intrpolação com mnos rro d truncamnto 4 Calculamos a cotangnt através d uma xprssão do tipo f(z 1, z 2) = z1 z 2, portanto, d acordo com a xprssão para propagação d rros, δf(z 1, z 2) f z 1 (z 1, z 2) δz1 + f z 2 (z 1, z 2) δz2

16 Capítulo 4 Intrpolação 63 3) Dvmos construir duas intrpolaçõs polinomiais, uma com 4 pontos igualmnt spaçados, x j = 1 (j 1), para j = 1, 2, 3, 4 a outra com pontos spaçados sgundo a fórmula d Chbishv, 3 x j = a + b ( ) (a b) 2j 1 + cos 2 2 2n π, com n = 4 j = 1, 2, 3, 4 A função sn(2x) possui xpansão m séri d Taylor m torno d x = 05 dada por sn(2x) = (x (x 05) (x 05) 3 + O((x 05) 4 ) A intrpolação com pontos igualmnt spaçados é P (x) = x x x 3 A intrpolação com os pontos d Chbyshv é P (x) = x x x 3 A função x possui xpansão m séri d Taylor m torno d x = 05 dada por x = (x 05) (x 05) (x 05) 3 + O((x 05) 4 ) A intrpolação com pontos igualmnt spaçados é P (x) = x x x 3 A intrpolação com os pontos d Chbyshv é P (x) = x x x 3 A função x possui xpansão m séri d Taylor m torno d x = 05 dada por x = (x 05) (x 05) (x 05) 3 +O((x 05) 4 ) A intrpolação com pontos igualmnt spaçados é P (x) = x x x 3 A intrpolação com os pontos d Chbyshv é P (x) = x x x 3 1 A função x 2 possui xpansão m séri d Taylor m torno d x = 05 dada por x 2 = (x 05) (x 05) (x 05) 3 +O((x 05) 4 ) A intrpolação com pontos igualmnt spaçados é P (x) = x x x 3 A intrpolação com os pontos d Chbyshv é P (x) = x x x 3 A função x 4 possui xpansão m séri d Taylor m torno d x = 05 dada por x 4 = (x 05) + 15(x 05) 2 + 2(x 05) 3 + O((x 05) 4 ) A intrpolação com pontos igualmnt spaçados é P (x) = x x x 3 A intrpolação com os pontos d Chbyshv é P (x) = x 125 x x 3 4) O splin cúbico natural para o conjunto d dados formado por sis pontos é construído a partir d cinco polinômios d grau 3: s i (x) = a i + b i x + c i x 2 + d i x 3, ond i = 1, 2,, 5 mais o coficint acssório c 6 Como trata-s d um splin natural c 1 = c 6 = 0, os dmais coficints c i são solução solução do sistma c 2 c 3 c 4 c 5 = A solução é o vtor ( , , , ) T Os coficints b i d i são calculados a partir d c 1, c 2 c 5, os coficints a i são calculados a partir da rlação a i = f i

17 Capítulo 4 Intrpolação 64 5) Para qu uma função g(x) sja um splin d ordm n é ncssário qu as drivadas d ordm 0 k n 1 dos polinômios qu a constitui, s i (x), s igualm nos pontos d intrpolação, ou sja s (k) i (x i+1 ) = s (k) i+1 (x i+1): x, 1 x < 0 1 f(x) = 2x, 0 x < 1 Os pontos d intrpolação intrnos são x = 0 x = 1, x + 1, 1 x 2 d acordo com a xprssão para f, os limits nsss pontos xistm: lim x 0 f(x) = 0 1, 1 < x < 0 lim x 1 f(x) = 2 Quanto à drivada, f (x) = 2, 0 < x < 1, ou sja, a drivada não 1, 1 < x < 2 é contínua Portanto, como apnas f é contínua, ssa função é um splin linar x, 1 x < 0 2 f(x) = 2x 1, 0 x < 1 Os pontos d intrpolação intrnos são x = 0 x = 1, x + 1, 1 x 2 d acordo com a xprssão para f, o limit no ponto x = 0 não xist, pois lim x 0 f(x) = 0 lim x 0 + f(x) = 1 Isto é o suficint para garantir qu f não é um splin 0, 1 x < 0 3 f(x) = x 2, 0 x < 1 Os pontos d intrpolação intrnos são x = 0 x = 1, 2x 1, 1 x 2 d acordo com a xprssão para f, os limits nsss pontos xistm: lim x 0 f(x) = 0 0, 1 < x < 0 lim x 1 f(x) = 1 Quanto à drivada, f (x) = 2x, 0 < x < 1, podmos vrificar 2, 1 < x < 2 qu os limits m x = 0 x = 1 xistm: lim x 0 f (x) = 0 lim x 1 f(x) = 2 Então, como f nvolv apnas polinômios d grau mnor ou igual a 2, sgu qu f é um splin quadrático 6) Dada a função tmos qu x 3 + x, 1 x 0 f(x) = ax 2 + bx, 0 x 1 3x 2 + 1, 1 < x < 0 f (x) = 2ax + b, 0 < x < 1 6x, 1 < x < 0 f (x) = 2a, 0 < x < 1, (420) (421) (422) Para qu f sja um splin cúbico, la dv sr tal qu os limits para f, f f dvm star bm dfinidos m x = 0 Ou sja, a partir d (422), dvmos tr qu a = 0; a partir d (421), dvmos tr qu b = 1 Quaisqur qu sjam os valors d a b, lim x 0 f(x) = 0 Portanto, f srá um splin cúbico s a = 0 b = 1