Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física Centro de Ciências Exatas Universidade Federal do Espírito Santo

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1 OBLEMAS ESOLVIDOS DE ÍSICA rof. Andron Cor Gaudio Dpartanto d íica Cntro d Ciência Eata Univridad dral do Epírito Santo andron@npd.uf.br Últia atualização: 17/07/005 08:11 H ESICK, HALLIDAY, KAE, ÍSICA, 4.ED., LTC, IO DE JAEIO, ÍSICA 1 Capítulo 6 - Dinâica da artícula robla

2 robla olvido 09. Ua força horizontal d 53 purra u bloco qu pa contra ua pard vrtical (ig. 6). O coficint d atrito tático ntr a pard o bloco é 0,60 o coficint d atrito cinético é 0,40. Conidr o bloco inicialnt rpouo. (a) O bloco coçará a ovr? Qual é a força rcida no bloco pla pard? orça no bloco: f ou f c (ág. 116) (a) A condição para qu o bloco corrgu é qu o u po () ja aior do qu a força d atrito tático (f ). orça : = 0 = orça d atrito tático: f μ () Subtituindo- (): f μ = 0, 60.(53 ) f 31,8 Et rultado ignifica qu f pod uportar u bloco d até 31,8 d po. Coo o po do bloco é nor do qu liit áio, o bloco não dliza. (b) A força rcida pla pard ( ) obr o bloco t dua coponnt. A coponnt horizontal é a força noral a vrtical é a força d atrito. Ou ja: = i+ f j D acordo co o qua acia o valor dado no nunciado, to: = ( 53 ) i+ ( ) j nic, Hallida, Kran - íica 1-4 a Ed. - LTC

3 1. U tudant qur dtrinar o coficint d atrito tático atrito cinético ntr ua caia ua prancha. El coloca a caia obr a prancha gradualnt lvanta u do tro da prancha. Quando o ângulo d inclinação co a horizontal alcança 8,0 o, a caia coça a dlizar, dcndo,53 ao longo da prancha 3,9. Ach o coficint d atrito. (ág. 116) Conidr o guint qua da ituação: f a v 0 = 0 v r o onto qu a prancha tá na iinência d dlizar, a caia ainda tá quilíbrio. a condiçõ ag obr a caia, alé do po () da noral (), a força d atrito tática (f ). orça : co = 0 = co orça : f n = 0 μ = n () Subtituindo- (): μ co = n μ = tan = 0,5317 μ 0,53 o onto qu o corpo dliza obr a prancha, a força d atrito é do tipo cinético (f ). orça : = a f n = a μ gn = a (3) Subtituindo- (3): μ g co g n = a nic, Hallida, Kran - íica 1-4 a Ed. - LTC

4 a = μ gco gn (4) Análi do ovinto ao longo da prancha (coordnada ): 1 0 = v0t+ at 1 r 0= 0+ at r a = (5) t Igualando- (4) (5): r μ gco gn = t r μ = tan = 0, gt co μ 0, U trabalhador qur pilhar aria ua ára circular u quintal. O raio do círculo é. nhua aria dv air para fora da ára dtrinada; vja a ig. 8. Motr qu o volu áio d aria qu pod r tocado da anira é πμ 3 /3, ond μ é é o coficint d atrito tático da aria co a aria. (O volu do con é Ah/3, ond A é a ára da ba h é a altura.) (ág. 116) Conidr o guint qua: h f O volu do ont cônico é dado por: nic, Hallida, Kran - íica 1-4 a Ed. - LTC

5 Ah π h V = = 3 3 lo qua acia, vo qu: h= tan () Subtituindo- (): 3 tan V = π (3) 3 Vao analiar a dinâica d u grão d aria particular. orça : co = 0 gco (4) orça : f n = 0 μ = gn (5) Subtituindo- (4) (5): μ = tan (6) Subtituindo- (6) (3): 3 V = π μ 3 0. O cabo d u covão d aa faz u ângulo co a vrtical; vja a ig. 31. Sja μ c o coficint d atrito cinético ntr o covão o aoalho μ o coficint d atrito tático. Dprz a aa do cabo. (a) Ach o ódulo da força, dirigida ao longo do cabo, ncária para fazr co qu o covão dliz co vlocidad unifor obr o aoalho. (b) Motr qu for nor do qu u crto ângulo, 0, o covão não podrá dlizar obr o aoalho, por aior qu ja a força aplicada ao longo do cabo. Qual é o ângulo 0? orça no covão: (ág. 117) nic, Hallida, Kran - íica 1-4 a Ed. - LTC

6 f (a) o ovinto co vlocidad contant, a força rultant obr o covão é nula. orça : co = 0 = g+ co orça : n f = n μ = 0 () Subtituindo- (): c n μ g μ co = 0 μcg = n μ co c c c c (b) a ituação d rpouo do covão, a força d atrito é tática. A força qu ag no covão é idêntica à do it (a), ubtituindo- μ c por μ. μg = n μ co A condição para qu a força ja infinita ainda ai o ita prancr rpouo é: n μ co = 0 0 tan = μ 1 0 = tan μ 4. O bloco B na ig. 33 pa 71. O coficint d atrito tático ntr o bloco B a a é 0,5. Encontr o po áio do bloco A para o qual o ita prancrá quilíbrio. nic, Hallida, Kran - íica 1-4 a Ed. - LTC

7 (ág. 117) Coo o ita tá quilíbrio, o ponto ond o trê cabo ncontra (ponto O) tabé tá quilíbrio. Diagraa da força n ponto: TB O A TA orça no ponto O: A T n = 0 A A TA = n orça no ponto O: T A co T = 0 B' Coo T B = T B B (par ação-ração): T = T co () B A Subtituindo- (): A TB = (3) tan orça no bloco B: B f TB B orça no bloco B: B B = 0 B = B nic, Hallida, Kran - íica 1-4 a Ed. - LTC (4) 7

8 orça no bloco B: T B f = 0 T = f = μ (5) B Subtituindo- (4) (5): T B B B = μ (6) Subtituindo- (3) (6): = μ tan = 154, 733 A B A 1, U bloco dliza para baio d ua calha d ângulo rto inclinada, coo na ig. 36. O coficint d atrito cinético ntr o bloco o atrial da calha é μ c. Ach a aclração do bloco. Conidr o guint qua da ituação: (ág. 118) orça z: z co = 0 = gco Dvo conidrar a força d atrito cinética total (f ) coo ndo a oa d dua força d atrito (f f ), cada ua urgindo a partir da intração ntr a caia a calha na dirção. z 45 o ' '' ' '' f = f + f = μ + μ = μ co 45 f = μ () Subtituindo- (): nic, Hallida, Kran - íica 1-4 a Ed. - LTC

9 f orça : = μ gco (3) = a n f = a (4) Subtituindo- (3) (4): g n μ g co = a ( n co ) a = g μ Et rultado indica qu a aclração rá zro (condição d quilíbrio tático, na iinência d dlizar na calha) quando: n = μ co μ = 1 tan Et rultado difr da ituação d ua caia na iinência d dlizar obr ua uprfíci inclinada: μ = tan 8. O doi bloco, = 16 g M = 88 g, otrado na ig. 37 tão livr para ovr. O coficint d atrito tático ntr o bloco é μ = 0,38, a a uprfíci abaio d M é lia, atrito. Qual é a força ínia horizontal ncária para gurar contra M? (ág. 118) ara gurar contra M, a condição ncária é qu o ódulo da força d atrito qu M rc para cia ja igual ao ódulo do po d. orça no bloco : f orça no bloco : = a = a a nic, Hallida, Kran - íica 1-4 a Ed. - LTC

10 = a+ orça no bloco : f = g μ = 0 orça no bloco M: g = () μ M M f a M orça no bloco M: = Ma ' Coo = (par ação-ração): a = (3) M Subtituindo- () (3) : g g g = + = + 1 = 488,15311 Mμ μ μ M 4, U bloco d 4,40 g é colocado obr u outro d 5,50 g. ara qu o bloco d cia corrgu obr o d baio, antido fio, ua força horizontal d 1,0 dv r aplicada ao bloco d cia. O conjunto do bloco é agora colocado obr ua a horizontal atrito; vja a ig. 39. Encontr (a) a força áia horizontal qu pod r aplicada ao bloco infrior para qu o bloco ova junto, (b) a aclração rultant do bloco, (c) o coficint d atrito tático ntr o bloco. (ág. 118) nic, Hallida, Kran - íica 1-4 a Ed. - LTC

11 31. Ua laj d 4 g rpoua obr u aoalho atrito. U bloco d 9,7 g rpoua obr a laj, coo na ig. 40. O coficint d atrito tático ntr o bloco a laj é 0,53, nquanto o coficint d atrito cinético é 0,38. O bloco d 9,7 g ofr a ação d ua força horizontal d 110. Qual é a aclração rultant (a) do bloco (b) da laj? (ág. 118) E priiro lugar to qu vrificar havrá dlizanto ntr o bloco a laj. Io ocorrrá o ódulo da força horizontal qu atua no bloco () for aior do qu o ódulo da força d atrito tática ntr o bloco a laj (f ). Vrificação: f = μ = μ = μ g 50 Coo = 110, o bloco dlizará obr a laj, ndo f a força d atrito cinético. orça obr o bloco: a f orça obr o bloco: = 0 = g orça obr o bloco: f = a μc = a () Subtituindo- () rolvndo- para a : a = μcg = 7,614 / a 7,6 / nic, Hallida, Kran - íica 1-4 a Ed. - LTC

12 orça obr a laj: M M f am M orça obr a laj: f ' = Ma M Coo f = f (par ação-ração): f μc μcg am = = = = 0,86094 / M M M a 0,86 / M 40. U dico d aa obr ua a atrito tá ligado a u cilindro d aa M upno por ua corda qu paa atravé d u orifício da a (vja a ig. 4). Encontr a vlocidad co a qual o dico dv ovr u círculo d raio r para qu o cilindro prança rpouo. (ág. 119) O cilindro prancrá rpouo a tnão na corda qu o utnta for igual ao u po. orça no cilindro: T M = M 0 nic, Hallida, Kran - íica 1-4 a Ed. - LTC

13 T M = T = Mg orça no dico: 0 T = a T' = c () a Eq. () c é a força cntrípta rponávl plo ovinto circular do dico T = T (par açãoração). v T = (3) r Subtituindo- (3): v Mg = r v = Mgr 47. U avião tá voando ua trajtória circular horizontal à vlocidad d 48 /h. A aa do avião tão inclinada d 38, o co a horizontal; vja a ig,. 44. Encontr o raio do círculo no qual o avião tá voando. Suponha qu a força cntrípta ja totalnt forncida pla força d utntação prpndicular à uprfíci da aa. (ág. 119) Coo o avião dcrv ua trajtória circular, tá ujito a ua força cntrípta ( c ). Eta é a coponnt radial da força d utntação do ar ( ). A força po do avião () não contribui para c poi é ortogonal à dirção radial. Conidr o guint qua: nic, Hallida, Kran - íica 1-4 a Ed. - LTC

14 Vita d cia v v orça : = a v n = c = v = n orça : co = 0 g = () co Subtituindo- () : v v = = =.3,1387 g n g tan co,3 5. Ua bola d 1,34 g tá pra a ua hat rígida vrtical por io d doi fio aa, d 1,70 d coprinto cada. O fio tão pro à hat ponto parado d 1,70. O conjunto tá girando volta do io da hat, co o doi fio ticado forando u triângulo qüilátro co a hat, coo otra a ig. 45. A tnão no fio uprior é 35,0. (a) Encontr a tnão no fio infrior. (b) Calcul a força rultant na bola, no intant otrado na figura. (c) Qual é a vlocidad da bola? nic, Hallida, Kran - íica 1-4 a Ed. - LTC

15 Conidr o guint qua da ituação: (ág. 10) l r l a v T 1 l T (a) orça na bola : T co T co = 0 1 g T = T1 = 8,709 co T 8, 7 (b) A força rultant () qu atua na bola val: = T1+ T + ( T n T co ) ( T n T co ) ( ) = i+ j + i j + gj 1 1 ( ) ( ) = T j 1+ T ni+ T1 T co g ( ) = 37,853 i+ 0j ( 38 ) i (c) A rultant calculada no it (b) é a força cntrípta do ovinto circular da bola torno do io. Logo: () nic, Hallida, Kran - íica 1-4 a Ed. - LTC

16 v c = = (3) r A coparação da quaçõ () no dá o ódulo d : ( ) = T + T n (4) 1 Subtituindo- (4) (3): v v 1+ n = = r ln ( T T ) ( + ) T T l v = = 1 n 6,4489 / v 6, 4 / 53. U cubo uito pquno d aa é colocado dntro d u funil (vja a ig. 46) qu gira torno d u io vrtical à taa contant d v rvoluçõ por gundo. A pard do funil fora u ângulo co a horizontal. O coficint d atrito tático ntr o cubo o funil é μ c o cntro do cubo tá à ditância r do io d rotação. Encontr (a) o aior valor (b) o nor valor d v para o qual o cubo não ovrá rlação ao funil. (ág. 10) (a) a ituação qu o corpo tá na iinência d ubir a pard do funil obrva- o guint qua d força obr o bloco: nic, Hallida, Kran - íica 1-4 a Ed. - LTC

17 f Ebora tnhao f μ, na condição liit d o bloco ubir pla pard do funil io iplica : f = μ orça obr o bloco qu atua na coordnada : f = 0 Ebora a força d atrito cinética ja dfinida coo f μ, na condição d iinência d o bloco ubir pla pard do funil io iplica : Logo: f = μ co g μ n = 0 g = co μ n orça obr o bloco qu atua na dirção radial (coordnada ), ond c é a força cntrípta (força rultant na dirção radial): + + f = c v 0 + n + μco = r r v = ( n + μ co) () Subtituindo- (): r g v = n + μ co co μ n ( ) ( ) n + μ co v = rg co μ n ara convrtr v d / para rv/ (v rp ), uaro a guint idntidad: v vrp = (4) π r Subtituindo- v d (4) (3): tan + μ 4π rvrp = rg tan μ (3) nic, Hallida, Kran - íica 1-4 a Ed. - LTC

18 v rp 1 g tan + μ = π r tan μ (b) Quando o bloco tá na iinência d dcr a pard do funil, val o guint qua d força: f O dnvolvinto da olução é idêntico ao do it (a). 54. Dvido à rotação da Trra, u fio d pruo pod não pndr atant ao longo da dirção da força gravitacional qu a Trra rc no próprio fio, a pod dviar ligirant da dirção. (a) Motr qu o ângulo d dvio ( radiano), u ponto d latitud L, é dado por π = n L, gt ond é o raio T é o príodo d rotação da Trra. (b) E qu latitud dvio é áio? D quanto é dvio? (c) Qual é o dvio no pólo? E no quador? (ág. 10) Conidr o qua a guir: io d pruo Trra r L c L T Dirção radial o do pruo À dida qu a Trra gira torno d u io o po do pruo dcrv ua trajtória circular d raio r = co L, portanto, tá ujito a ua força cntrípta ( c ) qu é a rultant da força po do pruo () tnão no fio do pruo (T) na dirção radial. Vao aplicar a gunda li d wton ao pruo. E : = a Tco g = co L c nic, Hallida, Kran - íica 1-4 a Ed. - LTC

19 E : = a Tn = n L c c n L T = () n Subtituindo- () : c n L co g = c co L n n L g co L tan = + (3) c A força cntrípta do ovinto circular do pruo val: π r v T 4π co L 4π col c = = = = (4) r co L co LT T Subtituindo- (4) (3): n L = co L+ g tan 4π co n L co L tan = gt col co L + 4π col ( L) n tan = gt co L + π T L O tro gt /π 580, nquanto qu co L val no áio. ortanto, co boa aproiação podo dizr qu: co gt gt L + π π Tabé conidrando- qu é u ângulo pquno, podo dizr qu tan. Logo, co a aproiaçõ a Eq. (5) tranfora- : π n ( L) (6) gt (b) Coo conhco a função = f(l), para dtrinar o valor d L qu aiiza dvo igualar a zro a drivada d rlação a L. Ou ja: d π = co ( L) = 0 dl gt co( L ) = 0 L = π L = π = 45 4 (5) nic, Hallida, Kran - íica 1-4 a Ed. - LTC

20 Vrificação da concavidad da função L = π/4: d 4 π 8 π ( L) ( L) = ( ) n = n dl gt gt ara L = π/4, n (L) = n (π/)=1. Logo: d 8π = < 0 dl gt Coo d /dl < 0 iplica concavidad para baio, L = π/4 é u ponto d áio da função = f(l). (c) o pólo to L = 90 o = π rad. Logo, d acordo co (6) = 0. o quador to L = 0 o = 0 rad. Logo, d acordo co (6) = A poição d ua partícula d aa,17 g qu dloca linha rta é dada por 4 = 0,179t, 08t + 17,1, ond é dado tro t gundo. Encontr (a) a vlocidad, (b) a aclração (c) a força na partícula no intant t = 7,18. (ág. 10) (a) d() t 3 v() t = = 4at + bt d ara t = 7,18 : (b) v (7,18 ) = 35,1559 / v(7,18 ) 35 / dv() t a() t = = 1at + b d ara t = 7,18 : (c) a (7,18 ) = 106,5745 / a(7,18 ) 107 / = a () t () t (7,18 ) = a(7,18 ) = 31,667 (7,18 ) 31 nic, Hallida, Kran - íica 1-4 a Ed. - LTC

21 65. Ua barcaça d canal, d aa, tá viajando co vlocidad v i quando u otor pára. A força d arrato D co a água é dada por D = bv. (a) Encontr ua prão para o tpo ncário para qu a barcaça rduza a ua vlocidad até v f. (b) Calcul nuricant o tpo para qu ua barcaça d 970 g, navgando inicialnt a 3 /h, rduza a ua vlocidad para 8,3 /h; o valor d b é 68./. (ág. 11) Conidr o qua da ituação a guir: D vi D vf a a (a) O ovinto da barcaça é rtardado por ua aclração variávl, poi a força d arrato da água d pnd da vlocidad do barco. Aplicando- a gunda li d wton ao barco, na coordnada : = a dv bv = d dv b = dt v vf dv b = vi v v ln v f i b = t t 0 dt v t = ln b v f i (b) Subtituindo- o valor nuérico obté-: t = 19,499 t 19 nic, Hallida, Kran - íica 1-4 a Ed. - LTC

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