dy dx dy dx Obs.: a forma canônica pode ser obtida da forma geral dividindo-se a equação geral por a 0 , desde que a ( x) 0 no intervalo x ( a,b)

Transcrição

1 3 EQUAÇÕES DIFEENIAIS INEAES 3 Toria Gral Estas quaçõs são uito iortats, ois são alicadas à Egharia ara rsolvr roblas d vibraçõs câicas, circuitos létricos, tc Escial atção srá dada às quaçõs d sguda ord or sr iortats do oto d vista rático A fora gral d ua quação difrcial ordiária liar é: ou sua fora caôica: a d d d d d d ( ) a ( ) a ( ) a ( ) f ( ) d d a d d d d ( ) a ( ) a ( ) f ( ) od a ( ) Obs: a fora caôica od sr obtida da fora gral dividido-s a quação gral or a ( ), dsd qu a ( ) o itrvalo ( a,b) cosidrado oo já foi visto atriort, s f(), a quação é dita hoogêa, caso cotrário, ãohoogêa Outra fora d s scrvr sta quação é através d u orador difrcial qu é alicado à fução ( ) d d d d f ( ), od a ( ) a ( ) a ( ) ou ak ( ) ( ) a d d k d d k k co o rlação à quação f ( ) od-s dizr qu sigifica dtriar a ais gral fução ( ) qu orada or coduz a f ( ) Obs: od-s fazr ua aalogia d ua quação difrcial d ord co ua quação algébrica d grau, od as fuçõs a k () são substituídas or costats a k a fução f() é ula S rsolvr a quação algébrica a a a a sigifica dtriar todos os valors d qu a satisfaz, rsolvr a quação difrcial sigifica, coo já foi dito, dtriar a fução () qu sja a ais gral satisfaça sta quação difrcial osidr ua quação difrcial d sguda ord hoogêa a sua fora caôica: Tora fudatal ( ) a ( ) a S ua solução da quação difrcial liar hoogêa acia é ultilicada or qualqur costat, a fução rsultat é tabé ua solução dsta quação Alé disso, s duas soluçõs for adicioadas, a soa rsultat tabé é solução 3-

2 Est tora tabé é chaado d Pricíio da Surosição Dostração Sja φ ( ) ( ) a ( ) a ( ) φ soluçõs da quação difrcial d sguda ord hoogêa Para dostrar o tora é cssário rovar qu φ ( ) φ ( ) ( ) S φ ( ) é solução da quação a ( ) a ( ) φ dv satisfazê-la, ou sja: ( ) φ a ( ) φ a φ Substituido: ( φ φ ) a ( ) ( φ φ ) a ( ) ( φ φ ) oo φ ( ) ( ) ( ) φ a ( ) φ a ( ) φ a ( ) φ φ φ a [ φ a ( ) φ a ( ) φ ] [ φ a ( ) φ a ( ) φ ] φ são soluçõs da quação difrcial, tão: a ( ) φ a ( ) φ a ( ) φ a ( ) φ φ φ Etão: [ ] [ ] 3 solução d EDO iar co oficits ostats oo toda fução costat ral é cotíua, tão, dtr as quaçõs difrciais liars, ist u gruo d quaçõs uito iortat qu é forado las quaçõs cujas fuçõs coficits d,, rsctivat, a ( ), a ( ) a ( ) são costats, st caso, scrv-s silst: a b c f Para rsolvr st tio d quação liar ão hoogêa, dv-s: a) obtr a solução gral h () da quação liar hoogêa associada a b c ; b) or algu rocsso atático, obtr ua solução articular () ara a quação origial, a b c f o qu sigifica qu ( ) c) a solução gral () ara a EDO dada srá, a soa da solução gral da quação hoogêa associada, obtida (a) co a solução articular obtida (b), isto é: h ( ) 3 Solução da quação hoogêa oo cotrar a solução da quação liar d sguda ord hoogêa a b c? 3-

3 Voltado à quação liar d riira ord hoogêa solução dsta quação Portato, é atural suor qu a b c é, sab-s qu ( ) λ sja ua solução da quação Substituido, λ a quação λ a b c : a b c aλ b c λ λ ou ( λ ) oo a fução λ ão é ula ara qualqur, la srá solução da quação a b c s λ for ua solução da quação do sgudo grau: aλ bλ c Esta quação é chaada d quação caractrística (ou auiliar) da quação difrcial a b c Suas raízs são: b b 4ac λ a b b 4ac λ a E vista dsta ddução, sgu qu as fuçõs a b c são soluçõs d Utilizado o Pricíio da Surosição (Tora Fudatal), a solução gral da quação liar d sguda ord hoogêa srá: λ h ( ) Ua solução d ua quação difrcial d sguda ord (liar ou ão) é chaada d solução gral s la coté duas costats arbitrárias iddts Iddêcia sigifica qu sta solução ão od sr rduzida a ua fora cotdo aas ua costat arbitrária ou hua (coo já foi visto, quado s atribu valors dfiidos ara as costats arbitrárias, a solução obtida é chaada d solução articular) E qu codiçõs tal rdução srá ossívl? Quado as fuçõs () () for liart ddts u itrvalo (a,b) od abas são dfiidas, ou sja, s las for roorcioais st itrvalo Mataticat falado, s k ou l val ara qualqur ( a,b), od k l são úros qu od sr iguais a zro ou ão S as fuçõs ão são roorcioais (a,b) las são ditas liart iddts (a,b) Not qu os cocitos d ddêcia iddêcia sr s rfr a u itrvalo ão a u sils oto suido: - s ao os ua das fuçõs () () for idticat ula o itrvalo (a,b), tão as fuçõs são liart ddts st itrvalo; - s / for costat o itrvalo (a,b), tão () () são liart ddts - s / dd d o itrvalo (a,b), tão () () são liart iddts oo a, b c são rais a quação aλ bλ c, da álgbra ltar, a artir d u a do discriiat b 4ac da quação, dcorr qu a quação caractrística od ossuir: i duas raízs rais distitas ( > ); 3-3

4 ii duas raízs rais idêticas ( ); iii duas raízs colas cojugadas ( < ) aso i duas raízs rais distitas ( > ) ( λ λ ) oo as duas raízs λ λ são rais distitas dd d, ortato, são fuçõs liart iddts osqütt, a solução gral da quação srá: aso ii duas raízs rais idêticas ( ) λ ( ) b oo λ λ λ, ou sja, ua costat, ortato, são fuçõs a liart ddts Visto qu a solução gral da quação difrcial d sguda ord dvrá cotr costats arbitrárias, é cssário dtriar ua outra solução qu sja liart iddt da úica cotrada Esta outra solução od sr obtida utilizado o Método d d Albrt qu cosist costruir ua sguda solução a artir d ua riira já cohcida ultilicada or ua fução icógita v(): v ( ) ( ) ( ) oo () é solução da quação difrcial a b c Substituido v, v v v v v : a ( v v v ) b ( v v ) c v ( a b ) v ( a v c ) v a v oo é solução da quação difrcial, a b c Etão a quação acia s rduz a: ( a b ) v a v Sarado as variávis: dv d a v a b d d a dv a d bd v Itgrado: a dv a d b d v 3-4

5 ( v ) a l( ) b a l l a [( v ) ] l ( ) a [ ] b a l ( ) ( v ) a [ ] b a a b ( v ) ( ) v b a ( ) a oo : v b λ a b Mas λ, tão: v a dv d ( ) v oo s stá rocurado ua fução sils (qu od sr articular), as qu ão sja idticat ula, od-s adotar Etão: v ( ) ( ) Esta fução é liart iddt da riira, ois Substituido, λ λ b a b c utilizado λ, ara vrificar s é solução dsta quação: a a ( λ λ ) b( ) c [ aλ b ( aλ bλ c) ] a quação difrcial [ ( ) ] Etão, a solução da quação difrcial, quado as raízs for idêticas, srá: ( ) 3-5

6 aso iii duas raízs colas cojugadas ( < ) Sja λ qi λ qi as raízs da quação difrcial a b c, tão as soluçõs dsta quação são ( qi) qi ( qi) ( qi ) ão é ua costat ( qi) qu são liart iddts, ois Etrtato, o qu é itrssa é buscar soluçõs rais a artir dstas soluçõs colas Plas fórulas d Eulr (vr caítulo ): θ i θ cos( θ ) i s( θ ) i cos( θ ) i s( θ ) Etão: ( qi) [ cos( q) i s( q) ] ( qi) [ cos( q) i s( q) ] Dstas duas rssõs od-s obtr: ( ) cos( q) i ( ) s( q) Estas duas fuçõs são rais d acordo co o Pricíio da Surosição (Tora Fudatal) são soluçõs da quação difrcial a b c Etão, a solução gral da quação difrcial, quado as raízs for colas cojugadas, srá: ( ) [ cos( q) s( q) ] 3 Solução da quação ão-hoogêa oo já visto atriort, a solução gral d ua quação difrcial d sguda ord liar a b c f é: ão-hoogêa ( ) ( ) ( ) ( ), h od h () é a solução gral da hoogêa () é ua solução articular qu satisfará a quação ão-hoogêa Já s sab coo obtr a solução da quação hoogêa sta, ortato, cotrar u étodo ara dtriar a solução articular U étodo utilizado ara tal doia-s étodo dos coficits a dtriar A sua vatag é sr sils rático a dsvatag é qu só é alicávl a crtas quaçõs liars oo a fução f() é cohcida, st étodo roõ cotrar ua solução articular () qu sja ua cobiação liar d u cojuto liart iddt d fuçõs O robla fica fácil d sr rsolvido s f() t ua das foras arstadas a sguir 3-6

7 a) f() é u oliôio d grau a a a a A solução rocurada dvrá star a fora ( ) b) f() é ua fução ocial A solução rocurada dvrá star a fora ( ) r c) f() é ua fução s(q) ou cos(q) A A solução rocurada dvrá star a fora ( ) Acos( q) Bs( q) d) f() é ua soa das fuçõs atriors A solução rocurada dvrá sr a soa das soluçõs articulars arstadas E: S f ( ) a r bcos( q), tão a solução articular t a fora ) f() é u roduto das fuçõs atriors r ( ) A Bcos( q) s( q) A solução rocurada dvrá sr o roduto das soluçõs articulars arstadas E: S f ( ) ( a b) s( q), tão a solução articular t a fora ( ) ( A B ) cos( q) ( D E F ) s( q) Obsrvação iortat: s f() ossui algua solução da quação hoogêa associada, tão sta solução da hoogêa dv sr ultilicada or ara s obtr a solução articular da quação ão-hoogêa aso a fução ão sirva, dv sr ultilicada or ² assi sucssivat E: S f ( ) a b, a solução articular t a fora ( ) A B, as s a solução costat ( ) rtcr à solução da hoogêa, tão a solução articular dvrá sr ultilicada la variávl iddt (o caso, ) Portato, a solução articular dvrá tr a fora A ( ) B Obsrvação fial do caítulo: Ebora, os étodos d rsolução d quaçõs difrciais liars co coficits costats tha sido arstados ara quaçõs d sguda ord, o raciocíio od sr stdido ara quaçõs d ord surior Es: ) ) cos cos 3) ( ) 4) ( ) 3-7

8 33 Alicaçõs ) Oscilaçõs livrs ão-aortcidas osidr u sista assa-ola od a assa do coro é a costat lástica da ola é k k k Diagraa d coro livr D acordo co a sguda li d Nwto: Mas a dv d d d & dt dt dt dt F a k a Etão: & & k é a quação do ovito ão-aortcido do sista assa-ola a sua solução dvrá sr cotrada Equação caractrística: λ k Discriiat: 4 k < duas raízs colas cojugadas aízs da quação caractrística: k λ i k λ i A solução da quação srá: ( t) k k Acos t B s t Not qu a disão d k é F - ou MT - (já qu F MT - ) a disão d é M Portato, a disão das raízs da quação caractrística é T -, qu é disão d frqüêcia O su valor absoluto, k é cohcido coo frqüêcia atural (ω ) do sista assa-ola Etão, a solução od sr scrita coo: t Acos ω t B s ω t ( ) ( ) ( ) ) Oscilaçõs livrs aortcidas osidr u sista assa-ola-aortcdor od a assa do coro é a costat lástica da ola é k o coficit d aortcito do aortcdor é c c k k cv Diagraa d coro livr 3-8

9 A força d aortcito é cotrária ao ovito roorcioal à vlocidad v & do ovito: F cv c& D acordo co a sguda li d Nwto: F & c& k & Etão: & c& k é a quação do ovito aortcido do sista assa-ola a sua solução dvrá sr cotrada Equação caractrística: λ cλ k Discriiat: c 4k oo o discriiat é ua subtração d dois úros rais ositivos, ist 3 ossibilidads: i c 4k >, as raízs são rais distitas o sista é suraortcido; ii c 4k, as raízs são rais idêticas o aortcito é crítico; iii c 4k <, as raízs são colas cojugadas o sista é subaortcido caso i sista suraortcido ( > ) aízs da quação caractrística: c c 4k λ c c 4k λ t λ t Solução gral da quação difrcial: ( ) t λ A Figura 3 ostra o ovito do sista assa-ola-aortcdor, od kg, c 5 kg/s (uidad d corito) vlocidad k,5 N/ ara o PVI: dslocato iicial ( ) iicial & ( ) & A solução do PVI é ( ), 5t 4, 5t t 5, 5, (t) () t (s) Figura 3 Sista suraortcido 3-9

10 caso ii sista co aortcito crítico ( ) aiz da quação caractrística: c λ t t λt λt Solução gral da quação difrcial: ( ) A Figura 3 ostra o ovito do sista assa-ola-aortcdor, od kg, c 3 kg/s k,5 N/ ara o PVI: dslocato iicial ( ) (uidad d corito) vlocidad iicial & ( ) & A solução do PVI é ( ), 5t, 5t 5 t, (t) () t (s) Figura 3 Sista co aortcito crítico caso iii sista subaortcido ( < ) aízs da quação caractrística: c i 4k c λ c i 4k c λ c 4k c Para facilitar a scrita, as sguits quatidads srão roadas: q t t cos qt s qt Solução gral da quação difrcial: ( ) [ ( ) ( )] A Figura 33 ostra o ovito do sista assa-ola-aortcdor, od kg, c kg/s k,5 N/ ara o PVI: dslocato iicial ( ) (uidad d corito) vlocidad iicial ( ) & A solução do PVI é ( ) ( ) ( ), 5t & t cos t s t 4, t otilhada ostra o dcaito do ovito corrsod a 5 A curva 3-

11 (t ) () t (s) Figura 33 Sista subaortcido 3) Oscilaçõs forçadas osidr u sista assa-ola od a assa do coro é a costat lástica da ola é k f t F cos t subtido à ação d ua força f(t), ou sja, ua fução do to dada or ( ) ( ) k f(t) k f(t) & & D acordo co a sguda li d Nwto: F f ( t) k Etão: & k f ( t) & é a quação do ovito ão-aortcido do sista assa-ola a sua solução dvrá sr cotrada Priiro, dv-s cotrar a solução da quação hoogêa & & k qu já foi rsolvida o A solução da quação hoogêa é: h ( t) cos( t) s( t) k Para cotrar a solução articular ara a quação ão-hoogêa, é cssário utilizar o étodo dos coficits a dtriar oo f ( t) F cos( t), a solução articular dv sr ( t) Acos( t) B s( t) k A B são os coficits a dtriar Diagraa d coro livr, od Etrtato, ota-s qu a fução f(t) faz art da solução da quação hoogêa Etão é cssário ultilicar as fuçõs qu od sr solução da quação ão-hoogêa or t Portato: 3-

12 & ( t) At cos( t) Bt s( t) ( t) Acos( t) A t s( t) B s( t) B t cos( t) k k k k & ou & ( t) Acos( t) B s( t) A t s( t) B t cos( t) k k k k ( t) A s( t) B cos( t) A k t cos( t) B k t s( t) k k k Substituido a quação difrcial: [ A ( ) ( ) ( ) ( )] k s t B cos t A k t cos t B k k k k k t s k t k[ At cos( t) Bt s( t) ] F cos( t) [ A s( t) B cos( t) ] F cos( t) k k k E rtira-s: A solução gral da quação é: A F B k F ( t) ( t) ( t) cos( t) s( t) t s( t) h Not qu a rsosta ossui ua fução so ultilicada lo to t, ou sja, a rsosta srá crsct tdrá ao ifiito Est fôo é cohcido coo rssoâcia A Figura 34 ostra a rsosta do sista k 3 (t ) () t (s) Figura 34 Oscilação forçada d u sista ão aortcido (rssoâcia) 3-

13 4) ircuito osidr u circuito létrico rsistor-idutor () s qur dtriar a corrt létrica u dado istat d to É cssário cohcr a quação difrcial qu rg o coortato da corrt létrica co o to I E Od: - E é a difrça d otcial da fot d rgia létrica sua uidad é o Volt (V); - é a rsistêcia létrica do lto rsistor sua uidad é o Oh (Ω); - é a idutâcia do lto idutor sua uidad é o Hr (H); - I é a corrt létrica qu assa lo circuito sua uidad é o Aèr (A) Através d riêcias, as sguits lis fora obsrvadas: a) a difrça d otcial tr as tridads d u rsistor é roorcioal à corrt létrica qu assa or st rsistor E I (li d Oh); b) a difrça d otcial tr as tridads d u idutor é roorcioal à taa d di variação da corrt létrica qu assa or st idutor E (ara havr corêcia dt d uidads, o to é dido sgudos) A quação difrcial da corrt létrica qu assa lo circuito é obtida utilizado a sguda li d Kirchhoff: A soa algébrica d todas as variaçõs d tsão istatâas toro d qualqur circuito fchado é ula Para o circuito : E E E I& I E( t) S E(t) E costat, a solução da quação difrcial srá: I ( t) E t K A Figura 35 ostra o coortato da corrt létrica co o to ara o circuito co tsão costat 3-3

14 I(t ) (A) E / t (s) S E( t) E s( ω t) Figura 35 orrt létrica u circuito co E costat, ua fução so (harôica) d alitud E, a solução da quação difrcial srá: t E I( t) K [ s( ω t) ωcos( ω t) ] ω Qu tabé od sr scrita coo: I t ( t) K I s( ω t φ), ω od φ é o âgulo d fas tr a tsão a corrt létrica dado or φ ata I é a E alitud do tro harôico da corrt létrica dada or I ω Not qu o riiro tro da solução é ua ocial qu s aroia d zro à dida qu o to td ara o ifiito, ou sja, aós u crto to, a corrt létrica oscilará d aira harôica coo a tsão, co alitud I Etrtato, stará dfasada d φ rlação à tsão, o qu sigifica qu o dado istat qu tsão stivr su valor áio a corrt létrica ão stará su valor áio vic-vrsa oo o âgulo d fas φ srá gativo, a corrt stará atrasada rlação à tsão, ou sja, o valor áio da corrt létrica ocorrrá dois qu o valor áio d tsão houvr ocorrido A Figura 36 ostra a rrstação da tsão da corrt d u circuito u lao colo (vr ca ) I E ωt φ Figura 36 rstação da tsão da corrt létrica o lao colo I 3-4

15 A Figura 37 ostra o coortato da corrt létrica co o to ara o circuito co tsão harôica I(t ) (A) E / t (s) Figura 37 orrt létrica u circuito co E harôica 5) ircuito osidr u circuito létrico rsistor-caacitor () s qur dtriar a corrt létrica u dado istat d to Do so odo qu o circuito, é cssário cohcr a quação difrcial qu rg o coortato da corrt létrica co o to I E Od: - é a caacitâcia do lto caacitor sua uidad é o Farad (F); - os outros arâtros são os sos dfiidos ara o circuito oo foi dito o circuito, através d riêcias, a sguit li foi obsrvada: a) a difrça d otcial tr as tridads d u caacitor é roorcioal ao valor da carga létrica istatâa Q, cuja uidad é o oulob (), arazada o codsador Q E Alé disso, sab-s qu a itsidad da corrt qu atravssa u caacitor é igual a variação da dq carga létrica Q rlação ao to, ou sja, I dt 3-5

16 Pla sguda li d Kirchhoff, ara o circuito : Q E E E I E( t) Mas: Q Idt Q & I Q Q& Drivado a quação I E( t) rlação ao to: I& E& ( t) Etão, a quação difrcial qu rg a corrt qu assa or u circuito létrico é dada or: A solução gral dsta quação é: I ( t) I& I E& de t t ( ) t dt K dt de S E(t) E costat, a solução da quação difrcial srá: dt I ( t) K A Figura 38 ostra o coortato da corrt létrica co o to ara o circuito co rgia costat t I(t ) (A) K t (s) Figura 38 orrt létrica u circuito co E costat 6) ircuito osidr u circuito létrico rsistor-idutor-caacitor () s qur dtriar a corrt létrica u dado istat d to Do so odo qu os circuitos atriors, é cssário cohcr a quação difrcial qu rg o coortato da corrt létrica co o to 3-6

17 I E Pla sguda li d Kirchhoff, ara o circuito : Q E E E E I & I E( t) Mas: Q Idt Q & I Q Q& Drivado a quação I & I E( t) rlação ao to: I& I& E& ( t ) Etão, a quação difrcial qu rg a corrt qu assa or u circuito létrico é dada or: Ou a sua fora caôica (dividido or ): I & I& I E& ( t) I & I& I &( t) E As raízs da quação caractrística λ λ são: 4 λ 4 λ A solução gral da quação hoogêa associada é: t t ( t) λ λ I h oo já foi visto, havrá 3 casos distitos d rsosta dddo do valor d 4 S for aior qu zro, havrá raízs rais, sr for igual a zro, as raízs srão iguais s for or qu zro havrá raízs colas Nst últio caso, a solução srá harôica 3-7

18 Suoha qu as raízs sja colas, ou sja, srá: I h t ( t) [ cos ( t) s( β t) ] 4 < Nst caso, a solução da hoogêa, β od 4 β A solução articular I ( t) srá obtida utilizado u étodo, coo o dos coficits a dtriar a solução gral srá I( t) I ( t) I ( t), od I (t) é cohcida coo corrt stacioária h S E(t) for ua fução harôica do tio E( t) E s( ω t), E& ( t) E cos( ω t) ω, obté-s a solução articular da quação difrcial utilizado o étodo dos coficits a dtriar srá t As ω t Bcos ω t, od as costats srão dtriadas através da substituição do tio ( ) ( ) ( ) I da solução suas drivadas a quação difrcial As drivadas d I (t) são: & ( t) Aω cos( ω t) Bω s( ω t) & ( ) ( ) t Aω s ω t Bω cos ( ω t ) I Substituido a quação difrcial: & [ Aω s( ω t) Bω cos( ω t) ] [ Aω cos( ω t) Bω s( ω t) ] [ As( ω t) Bcos( ω t) ] E ω cos ( ω t) A B A ω B s ω ω I ( ω t) Bω A cos( ω t) E cos( ω t), tira-s qu: E os valors d A B srão: A ω B ω A B ω E ω A E ω ω ω ω B E ω ω A solução articular srá, ortato: 3-8

19 I ω ω ω ω ω ( t) E s( ω t) E cos( ω t) Ou ( t) I s( ω t φ ) I, Od E ω Z, φ ata ω I Z ω ω é chaada d idâcia A solução gral da quação srá: I ( ) t t [ ( β t) s( β t) ] I s( ω t φ) cos Notar qu: i s ω β, a solução articular stará cotida a solução da hoogêa, ortato, a riira srá ddt da sguda Nst caso, as fuçõs so cosso da solução articular dvrão sr ultilicadas lo to ara s obtr ua solução iddt da solução da hoogêa; ii a solução da hoogêa, a fução ocial faz co qu la s aroi d zro quado t Etão, I(t), chaada d corrt trasit, td ara a stacioária I (t) No PVI d u circuito, as codiçõs iiciais são a corrt létrica a carga létrica o caacitor osidrado o istat iicial coo ulo, od-s ostrar qu a drivada da corrt létrica t srá dada or: ( ) ( ) E Q I & ( ) I( ), od Para cotrar sta rssão, basta utilizar a quação obtida co a sguda li d Kirchhoff Q I & I E( t) fazr t A Figura 39 ostra o coortato da corrt létrica co o to ara o circuito co E t E s ω t, corrt iicial ula carga iicial ula o caacitor tsão harôica ( ) ( ) 3-9

20 I(t ) (A) E /Z t (s) Figura 39 orrt létrica u circuito co E harôica 3-