sendo classificado como modelo de primeira ordem com (p) variáveis independentes.

Transcrição

1 RGRSSAO MULTIPLA - comlmtação Itrodução O modlo lar d rgrssão múltla é da forma: sdo classfcado como modlo d rmra ordm com () varávs ddts. od: é a varávl d studo (ddt, xlcada, rsosta ou dóga); é o cofct lar do modlo, sto é, o valor d () ara ; j é o cofct agular da ja. varávl, ou sja, a varação o comot dtrmístco do modlo, (), ara udad d varação a mdda d j; j é a ja. varávl ddt, xlcatva ou xóga; ( ) é o comot dtrmístco do modlo; é a art robablístca do modlo (rro alatóro) com méda varâca costat. Utlzado a otação matrcal, odmos xrssar ssa rlação or mo d:., Obsrvação: S, o modlo s dtfca ao modlo d rgrssão lar smls. Para s obtr stmatvas ara os arâmtros k, são ralzadas obsrvaçõs da varávl, ou sjam,,,...,, coform o squma sgut: A varávl k srá dtfcada or k dcará o valor d k corrsodt à obsrvação,,,.., k,,...,. D um modo gral as obsrvaçõs srão dotadas las quaçõs abaxo:,,, Para,,...,, obtmos as quaçõs sguts:,,,,,,,,,......

2 Arstação matrcal do modlo Uma forma smls muto útl ara rrstar o modlo d rgrssão lar múltla é através da rrstação matrcal das quaçõs acma. Para sto cosdrmos as dfçõs dos sguts vtors matrzs:. D modo qu: A rrstação matrcal das quaçõs s tora: As hótss báscas ara costrur o modlo d rgrssão lar múltla são: é um vtor d arâmtros dscohcdos. é uma matrz d valors fxados. é um vtor alatóro com dstrbução ormal tal qu: () I. Com rsto à últma hóts, tmos qu ara todo,,...,,, ortato r Além dsso,

3 ou Var( ) Cov( ) Cov( ) Cov( ) Var( ) Cov( ) ( ) Cov( ) Cov( ) Var( ) I ara todo,,...,, a matrz acma s trasforma m Como ( ) I Os trmos da dagoal rcal mostram qu os rros satsfazm a codção d homocdastcdad, aquls fora da dagoal mostram qu os rros são ão corrlacoados ortato ddts, os têm dstrbução ormal. stmadors d mímos quadrados do vtor d arâmtros Aalogamt ao rocsso d stmação studado m rgrssão lar smls, o crtéro dos mímos quadrados cosst m mmzar soma dos quadrados dos rros. m trmos matrcas, scrvmos: ( ) ( ) ( ) D mara qu, A soma dos quadrados dos rros od sr scrta matrcalmt, como sgu

4 SQ rros ( ) ( ) ( ) ou SQ rros scalar Logo, SQ rros. Drvado S m rlação a, SQ rros Igualado-s a zro, obtmos SQ rros A rta d mímos quadrados ajustada é dada las quaçõs a forma matrcal, Ŷ Cálculo da méda do stmador Substtudo-s o stmador d, tmos Calculado a méda ( ) [ ] ( ) ( )

5 ou ( ) Assm, o vtor d stmadors d mímos quadrados é comosto or stmadors ão tdcosos dos arâmtros k, k,,,...,. Cálculo da varâca do stmador Como ( k ) k ara k,,,...,, tão a varâca d k Por outro lado ( ) ( ) ( )( ) Var( k ) k k é calculada or, ara k,,,...,-. df a sgut matrz d covarâca. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) sta matrz cotém as varâcas dos stmadors m sua dagoal rcal as covarâcas tr os msmos stmadors as dmas células. Por outro lado, tão a varâca d é calculada or ( ) ( Var( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) Var( ) ( ) Falmt, obtmos a varâca do stmador ( ) ( ) Var( ) I Var( ) ( )

6 stmador da varâca Dotmos o rsíduo da rgrssão or,,,...,. Sob a forma matrcal scrvmos Substtudo-s or sus rsctvos valors, o vtor d rsíduos é tão: ( ) ( ) ( ) Falmt o vtor d rsíduos é scrto sob a forma, I sto sgfca qu o vtor d rsíduos é uma combação lar dos rros. Sja H, H é uma matrz quadrada d ordm. tão: SQ s [ I H ] R A matrz H é chamada d matrz chaéu ou d matrz d rojção os la trasforma m Ŷ. ( ) H Podmos scrvr: H ( I H ) Rar qu a matrz H xrc um al mortat a aáls dos rsíduos a busca d outlrs valors fluts A matrz H é uma matrz smétrca, os: H ( ) H ( ) dmott, [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) H H H

7 Por outro lado, sja a matrz A I ( ) I ( ) da rlação [ ] A. A é smétrca dmott, coform vrfcarmos a sgur: A é smétrca os: A I A I I A A é dmott os: A A I I ( ) ( ) A I. A I A I tão, a soma dos quadrados dos rsíduos é obtda or A A A [ I ( ) ] Agora abrrmos um arêtss ara xbr algus rsultados matrzs mortats ara falzar a dmostração:. S M é uma matrz quadrada d dmsão s ara,,...,, ( ) Var( ), tão I [ ] M tr(m). xmlo: S M é uma matrz quadrada, tr(m) tr( M ) Dadas as matrzs quadradas A B, s AB BA xstm, tr(ab)tr(ba). 4. Dadas as matrzs quadradas A, B C, s os rodutos tr las xstm, tão tr(abc)tr(bca)tr(cab). 5. Dadas duas matrzs quadradas A B, tr(a-b) tr(a)-tr(b)

8 Utlzado os rsultados acma calculmos a sraça das soma dos quadrados dos rsíduos { } tr I tr I I tr tr Dsta mara a méda da soma dos quadrados dos rsíduos é gual à varâca dos rros, multlcada la dfrça tr o úmro d obsrvaçõs o úmro d arâmtros a srm stmados o modlo d rgrssão lar múltla. Logo um stmador ão tdcoso ara a varâca do modlo, é: