C5 C O termo geral do desenvolvimento de A( x ) é. Assim, vem: Número de casos possíveis: 6 C

Transcrição

1 Tst d avalação Pág Estm duas stuaçõs, a sabr: A Crsta ão va, ortato, o Atóo também ão va Os quatro blhts srão dstrbuídos los rstats quatro jovs, assm, o úmro d gruos é gual a um A Crsta va; os rstats três blhts srão dstrbuídos or três dos rstats cco jovs, ortato, o úmro d gruos dfrts, st caso, é gual a C O úmro total d gruos dfrts qu s odm formar as codçõs gdas o ucado é Tm-s qu Um cojuto com subcojutos, tm lmtos, lo qu tm atamt C 7 subcojutos com cco lmtos A B é um acotcmto crto, ortato, P( A B Assm, tm-s: P( A B P( A P( B P( A B P( A B P( A P( B P( A B P( A B P( A P( B P( A B P( A B P( A P( B P A B P( A B P( A P( B P( A B P( A B P( A P( B P( A B P( A B P( A P( B P( A B Substtudo sta últma quação, P( A or, a, P( B or, a, P( A B or a P( A B or, vm:, a, a a, a, a a, a,8 a a, P( A A P( B A ( P( A P A A P A, clu (A P A ( P( A P B A como A B são cotráros, A B, lo qu P( A B, ou sja, P( B A, ortato, ( A P( A P( A P B P B A, clu (B A B são dos acotcmtos cotráros, lo qu, P( A P( B, ou sja, P A P B, clu (D Tm-s qu P( A P( B or A B srm dos acotcmtos cotráros como P( A P B, vm: P A P B P B P B P B P( B Logo, P( A Portato, P( B od sr gual a C C 7 7 P A od sr gual a O trmo gral do dsvolvmto d A( é P Pág T C C C( 7 ( C ( C O º trmo do dsvolvmto d A( obtém-s ara, lo qu 7 ( ( T C T C Por outro lado, sab-s qu o º trmo tm grau, ortato, trá d sr vrdadra a gualdad Assm, vm: 8 7 Portato, O 8º trmo do dsvolvmto d A( obtém-s substtudo or 7 o trmo gral dst dsvolvmto 7 T C Sabmos qu Para 7, vm: T C T C 78 7 T T8 7 Númro d casos ossívs: C Númro d casos favorávs: 8 C C C C ou 8 Atddo à rgra d Lalac, a robabldad dda é 8, 7 Númro d casos ossívs: C 7 Númro d casos favorávs: C otos scolhdos tr A, I, L B F, J, G Atddo à rgra d Lalac, a robabldad dda é

2 As rstats facs odm sr tadas d A maras dfrts 8 Rlatvamt à rêca alatóra Escolha, ao acaso, d um dos jovs qu artcou st cotro cultural cosdra-s os acotcmtos: A : O jovm é stragro B : O jovm é do géro fmo Tm-s, tão, qu: P( A ; P( B A, P( B A, ou sja, P( B A Prtd-s dtrmar P( B, assm, ( ( P B P A P B A P A P B A P( B, 7,% Portato, 7,% dos jovs qu artcaram st cotro cultural são mulhrs Tst d avalação u u u u ( ( S u v v Rsosta: (D g f u > g( f ( > g f, ora f >, logo, g > Como g ( Pág, ara tão f >, lo qu g tm o msmo sal, ada s od coclur, lo Torma d Bolzao-Cauch, acrca da stêca d zros d g o trvalo ], [ g( f ( g f g f, ou somt s > < f é maor qu zro s f, lo qu ada s od coclur, lo Torma d Bolzao-Cauch, acrca da, stêca d zros d g o trvalo ] [ g( f ( g f > g f, tão > f < s somt s f, lo qu ada s od coclur, lo Torma d Bolzao-Cauch, acrca da stêca d, zros d g o trvalo ] [ g( f ( g é cotíua m [, ] os é dfda la soma d duas fuçõs cotíuas: g f < g f, como f >, tão f >, ortato, g > Assm, como g é cotíua o trvalo [, ] g( g <, lo Torma d Bolzao-Cauch (ou o su coroláro, odmos garatr a stêca d, lo mos um zro d g o trvalo ] [ Rsosta: (D A fução f é cotíua o su domío, ou sja, R \{ } f (, lo qu a rta d quação é assítota ao gráfco d f, é a úca assítota vrtcal Por outro lado, como f, ortato, a rta d quação é assítota ao gráfco d f, m f Já, f, lo qu a rta d quação é assítota ao gráfco d f, m Assm, as quaçõs das assítotas do gráfco d f são:, S f ( a f a <, a fução f tm um mámo o oto d abcssa a ão um mímo S f ( a f ( a >, a fução f tm um mímo o oto d abcssa a ão um mámo O aulamto da sguda drvada ão é codção sufct ara a stêca d oto d flão, tm qu havr mudaça d sal Aas a afrmação (C é corrta f ( ( ( ( Como, R, a sguda drvada aas muda d sal m O gráfco d f tm somt um oto d flão cuja abcssa é Rsosta: (A

3 u k 7 7 k ( Pág Portato: k k k k ou sja, u As somas têm arclas guas Logo, lo torma das sucssõs quadradas, u, dado qu cos cos como R, cos, vm qu cos cos or sr roduto d uma fução tada or uma fução d t ulo s s R \{ }, s ( s or sr o roduto d uma fução tada or uma fução d t ulo 8 Sab-s qu a fução f é cotíua m R, lo qu, m artcular f é cotíua o oto Tal acotc quado aas quado str f f f f, ou sja, Assm, tm-s: k 8 k 8 k f ( f ( f ( ( ( ( 8 ( ( ( ( ( ( ( * ( ( Logo, 8 k 8 k k 8 k Portato, k Portato, a rta d quação é assítota ao gráfco da rstrção da fução f ao trvalo ], ] Para ], [, tm-s: f ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Zros d f : ], [ f, ( ] [ ] [, ± ], [ ± ], [ ± ], [ ( ], [, os ], [

4 Costrudo uma tabla: f f PI O gráfco d f tm cocavdad voltada ara bao m, voltada ara cma m, Tm um úco oto d flão, d abcssa A fução, or sr uma fução f é cotíua m ] [ racoal ;,,, a fução f é cotíua m Como [ ] ] [ [ ;, ] Logo, tdo m cota o Torma d Wrstrass, f admt, st trvalo, um mámo um mímo absolutos Tst d avalação Pág 7 Tm-s qu a b, lo qu b a Assm: s( a b s a a s a a s a s a cos( a cos a s a Rsosta: (D w ta ta os Rsosta: (A Vamos dtrmar as abcssas dos otos d trsção dos gráfcos d f d g f ( g( s( s s s s cos s s cos s cos s cos k k k, k Z k k k, k Z Dtrmmos, agora, m artcular as duas mors abcssas ostvas Para k, 8 Para k, Portato, stas duas abcssas são: Assm, uma codção qu df a rgão colorda od sr: f ( g( O dclv da rta tagt ao gráfco d g o oto d abcssa é gual a g ( s( ( cos( cos( g, ortato, g cos cos cos cos cos s s s( s( s( s Ára do trâgulo [ OAP ] bas altura ordada d OA P O trâgulo [ OAP ] é sóscls, os [ OA ] [ ] Pág 8 OP são raos da crcufrêca trgoométrca Assm, s OPA θ, tão PAO θ, os são âgulos do trâgulo [ OAP ] qu s oõm a lados guas Como a soma das amltuds dos âgulos tros d qualqur trâgulo é gual a radaos, tm-s qu AOP OPA PAO, ou sja, AOP θ O, tão Sja Q o oto do o O tal qu [ PQ] ( θ POQ, sto é, POQ θ Assm: PQ PQ s( θ s( θ s( θ PQ OP s θ ortato, a ordada d P é gual a Logo, ára do trâgulo [ OAP ] ( θ ( θ s s S,

5 cos α s sα sα s α cos α cos cos cos α α α cosα cosα Como α,, cosα >, ortato, cosα Por outro lado, tm-s qu: s( α sαcosα A( α sα cosα Substtudo sα or cosα or A( α A (, P ( cos( θ, s( θ (, ( cos( θ ( s( θ d A P cos( θ cos ( θ s ( θ ( θ cos cos( θ Por mlo, d( A, P cos( θ 7 g( (, vm qu: ( ( s s g( s( s Como g( g(, tão st g( st caso, é gual a 7 Tm-s qu, ( R, s Por outro lado, ( s Portato, s(, or sr o roduto d uma fução tada or uma fução d t ulo A rta d quação é assítota ao gráfco d g m g(, ortato, a rta d quação é assítota ao gráfco d g m S,, 7 Uma quação rduzda da rta tagt ao gráfco d g o oto d abcssa é: g g s s g s( < Para, : g ( s s ( ( ( ( cos s ( ( ( ( cos s Assm: cos s g cos s Portato: g g A quação rduzda dda é 7 Tm-s qu s g, g Prtd-s rovar qu: c, : g( c A fução g é cotíua m ], [ os é dfda st trvalo or uma fução racoal Logo, a fução g é cotíua m,

6 Por outro lado: g,7 g,7 7,7, ortato g< < g Como g é cotíua o trvalo,, lo Torma d Bolzao-Cauch, odmos garatr qu c, : g( c,g 8 f f ( f ( cos cos cos cos cos s s s s s s s s s Portato, f ( 8 Para,, tm-s: ( cos( ( cos( f s s ( ( ( ( s( ( ( s( f ( ( ( ( s cos ( ( ( cos cos f ( cos(, cos(, Rcorrdo a uma tabla: f f PI PI PI PI O gráfco d f tm cocavdad voltada ara cma m,, m, m, tm cocavdad voltada ara bao m, m, Tm quatro oto d flão, d abcssas,, Tst d avalação r Rcorrdo à fórmula C C, od C, r,%, vm:, C, f f f f Pág Pos a sucssão ( dfda or é moótoa crsct é tada o su t é gual ao úmro d Nr, lo qu qu, Rsosta: (A Df { R : k > } A rssão k é smr ostva s só s uca s aular, sto é, s o bómo dscrmat, b ac, for mor qu zro Assm, vm k< k< k< k > Portato, k, Tm-s qu ( ( ( ( g g g g g g

7 As arclas são trmos d uma rogrssão gométrca d ( : razão, sto é,, cujo rmro trmo é, também, Portato, a soma dstas arclas é dada or: r S, od r é a razão, logo: r g( Dod, g( Sja g ( ( a, tão o valor d a é a solução da quação g( a, lo qu: g a 8 log a a> ( a log 8 a> ( a log a> a a> a 8 a> a 8 Portato, Rsosta: (D g 8 D R ( f { : log } > > > > log D f > > log > > < > < < > 7 < < 8,, 8 8 A fução f é cotíua Portato, as rtas d quação, são ossívs asstotas 8 vrtcas do gráfco d f Vjamos s o são: Pág 7 f ( ( l log ( ( l l l l l l l l ( ( l l l l l l ( l l l l l l l l l l l l l Como f ( é um úmro ral, tão, a rta d quação, ão é assítota vrtcal do gráfco d f f ( 8 8 ( l log ( l ( l f ( log ( l 8 8 A rta d quação gráfco d f f ( é assítota blatral do 8 ( l l log ( log ( log A rta d quação é assítota ao gráfco d f O gráfco d f ão tm assítota ão vrtcas já qu o domío d f é um cojuto tado Assm, as assítotas ao gráfco d f são as rtas d quaçõs l 8 ( l l S, 7

8 7 ( ( ( dado qu: l l l l l l l ( ( 8 Uma quação da rta tagt ao gráfco d g o oto d abcssa é: ( ( ( g g g l g ( l l ( l l ( l l Assm, ( Portato: g l ( ( ( ( g g A quação rduzda dda é 8 Para R, tm-s qu g ( ( l g l R ( l R l R R l S, Rcorrdo a uma tabla, vm: g g Mí A fução g é strtamt dcrsct m, strtamt crsct m rlatvo gual a,78t c( t, é Tm um mímo f l ,78t 7 8 7,78t ,78t,78t l 7 l 7 t t,7,78 Um tubarão-tgr atg,8 mtro ao fm d, aromadamt, três aos d vda,78 Tmos qu c ,78t,78( ( t Como a fução c é strtamt crsct c c t 7, odmos coclur qu o comrmto d t um tubarão-tgr od varar tr os ctímtros os 7 ctímtros, ou sja, srá uma valor do trvalo [, 7 [, aromadamt Tst d avalação z taα sα cosα sα cos α cos α cosα cosα cosα α α cosα sα cosα α Rsosta: (D cos s ( Pág 8

9 cos s é magáro uro ão ulo Portato, ão é um magáro uro Rsosta: (D A crcufrêca tm rao ctro m (,, lo qu od sr dfda la quação z( sja, z, ou A rta r é a bsstrz dos quadrats ars A rta s é aralla ao o ral trsta a rta r o oto d coordadas (, Uma codção qu od dfr a rgão sombrada, cludo a frotra é: z arg( z z z 8 z 87 z z ( k ( k k 8 k k 8 ( k ( k 8 O úmro comlo z é um úmro ral s só s k 8, ou sja, k 8 Rsosta: (A z Pág ( ( z ( 7 Assm: z z ( 7 z θ cosθ sθ θ θ θ θ cos s s cos 8 θ θ θ θ cos s s cos θ θ θ θ s s s cos θ θ θ s s cos θ θ θ s s cos θ θ θ s cos s s θ θ z z z Vamos scrvr a forma trgoométrca Sdo arg( θ, tm-s qu taθ θ º quadrat, ou sja, taθ θ º quadrat, tão, θ Logo, Voltado à quação, tm-s: z z z z z z k z, k,, 7 z z z 8 Prtd-s dtrmar w, tal qu w 8, od são úmros ras Assm:

10 8, 8± ( Etão, w ou w Portato, as raízs quadradas d z são z z z, df o círculo d ctro m (, rao z z < z z < z, df o smlao abrto (clu a frotras dtrmado la mdatrz do sgmto d rta [ OA ], od (, é a orgm, qu cotém A : z Sdo arg( z A é o afo z O θ, tm-s taθ θ º quadrat Assm, o âgulo cuja tagt é gual a ão é cohcdo, lo qu, o camho mas adquado ara scrvr w a forma algébrca é rcorrr ao Bómo d Nwto Assm: w z C C C C C C C ( ( ( 7 Portato, w7 z, logo z A dfrça tr os argumtos d z z é gual a Assm,, lo qu Por outro lado: w z 8 8 Coclusão:, w 8 o olígoo é um ágoo rgular Tst d avalação f d d d d R d d c, c Pág c, c R c, c R c, c R Das oçõs dadas, aas a oção (B s cotra uma fução qu od sr rmtva d f f d d d d c, c R Portato, f ( c, c R Por outro lado, sab-s qu o gráfco d f cotém o oto d coordadas (,, ou sja, ( ( f f c c c c c 7 Logo, f ( t t t 7 d l, > t l l Rsosta: (D

11 A ára, A, é dada or: A f ( d ( d Rsosta: (A a t v t t,t 7t a 7 7 Portato, a aclração do móvl, m cm/s, o stat t s é gual a 7 d d d d d c, c R c, c R d d l, R c c cos ( d ta c, c R cos s cos d d Pág cos s cos cos cos s cos d s d c, c 7 R t t t 8t dt 8 t t ( ( ( ( ( ( 7 s( ( t cos t dt cos cos cos cos Dtrmmos as abcssas dos otos d trsção do gráfco d f d g f ( g( ± 8 : 8 8 Sabmos qu, [, ] ( A g f d 8 8 d d 8 Portato, a mdda da ára da rgão do lao dtada los gráfcos d f g é gual a ua t t v t dt t ( t, t d t ( t t t t, t P t,7t,7 t t t Como, t,7t t, é a, tm-s qu fução osção do oto matral dda