Recursos Naturais Renováveis

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1 Uivrsidad Fdral do ABC UFABC Prof. João M. L. Morira Rcursos Naturais Rovávis Os rcursos aturais rovávis são aquls qu são rostos ao logo do tmo la aturza ou la ação do homm. Esss rcursos odm sr divididos m dois gruos: Rcursos aturais cujos volums são cotrolados la aturza (ixs, algas, sol, água dos rios, florstas, tc); Rcursos aturais cujos volums são cotrolados la ação do homm (lataçõs d biomassa ara a rodução d alimto ou rgia, criação d aimais, tc). Cada rcurso atural tm uma curva scífica d taxa d rovação tmoral, F(t). Cosqutmt, o arovitamto d difrts rcurso é ralizado d forma difrt m cada caso. 1. Rcursos aturais a fução logística O arovitamto d ixs florstas rrstam um roblma clássico a cologia d uso d rcursos aturais. O comortamto da quatidad d rcursos aturais sgu a fução logística. A Figura mostra a volução da quatidad d rcursos aturais, (t), m fução do tmo. A fução logística tm o sguit comortamto: iicia com uma taxa d crscimto baixa qu vai aumtado; m crto oto a taxa d crscimto atig um valor máximo, dois comça a dcliar chga fialmt um valor máximo com taxa d crscimto ula. Na Figura 1, a quatidad d rcursos aturais crsc com o tmo mas a taxa d crscimto dd da quatidad d rcursos (t). Há algumas caractrísticas ara srm obsrvadas. Abaixo d crta oulação míima, mim, od ocorrr a xtição do rcurso atural. S a oulação atigir st ívl, a quatidad d rcursos irá dcrscr, vtualmt, xtiguir. Há um ívl d quatidad, M, o qual a taxa d variação d/dt é máxima. Acima d M a quatidad comça a crscr m taxas mors. A quatidad, com o assar do tmo, s stabiliza m um valor máximo, s. As codiçõs do mio como falta d utrits, codiçõs advrsas quatidads lvadas iibm o cotíuo crscimto da quatidad d rcursos aturais. No caso d lataçõs fitas lo homm, a taxa d crscimto da biomassa dd da taxa d ivstimto dos mrddors do stor. Normalmt, stas açõs atdm a uma dmada gral da coomia, sja ara o cosumo itro do aís ou ara xortação. Há, 1

2 Uivrsidad Fdral do ABC UFABC Prof. João M. L. Morira trtato, limits como trras disoívis, qualidad da trra d frtilizats, dsidad d mudas latadas or hctar, tc. Outros limits ara os mrdimtos são disoibilidad d rcursos fiaciros, comtição com outros rodutors ou com outros bs agrícolas, imosiçõs d movimtos sociais, tc. Portato, a curva d (t) m fução do tmo também sofr limitaçõs, também, td a sguir a curva logística. A Figura mostra o comortamto gral d lataçõs atróicas m fução do tmo. Há, ortato, um ívl L limitat, acima do qual a fução logística dv sr cosidrada abaixo do qual, la é dscosidrada. Nsts casos, o stor d xloração do rcurso atural aida é quo. Figura 1 Fução logística rrstado a volução da quatidad d rcursos aturais rovávis. Figura Limit acima do qual o crscimto da quatidad d rcursos aturais sofr imdimtos.

3 Uivrsidad Fdral do ABC UFABC Prof. João M. L. Morira Para o caso da rodução d biomassa rgética o Brasil, odmos dizr Estados Uidos, Euroa, Chia Ídia cotram-s acima do limit L. O Brasil, odmos dizr, stá abaixo ou róximo do ívl limitat L. Algus aíss a África, Argtia outros também stão sta situação. Cosidrado as Eqs. 1 a 3 d AP-1, o Brasil odmos cosidrar qu a taxa d xtração d rcursos aturais d biomassa sja dado or F( t) ( t) (1) od é a taxa tmoral d rodução d biomassa.. Evolução tmoral d rcursos aturais sm limitaçõs A volução dos rcursos aturais rovávis sm limitaçõs é a situação a qual (t) < L, isto é, a quatidad é qua ara causar imdimtos ao su crscimto ou rrodução. Utilizado as Eqs. 1 a 3 d AP-5, tmos qu o comortamto d (t) od sr obtido da solução d () mim F( t) ( t) H ( t) ( t) d F( t) H ( t) ( ) ( t) ( t) dt od () A solução dst roblma é ( t) t mim O comortamto d (t) obtido as Eqs. é mostrado a Figura 3. A volução tmoral d (t) dd do valor d qu é a difrça tr as taxas d rodução d xtração rctual d rcursos aturais. S for ositivo, isto é, a taxa d rodução for maior qu a taxa d xtração, a quatidad d rcursos aturais aumta com o tmo 3

4 Uivrsidad Fdral do ABC UFABC Prof. João M. L. Morira xocialmt. S for gativo, a taxa d xtração é surior a quatidad d rcursos aturais dimiui xocialmt. A Figura 3 mostra as duas situaçõs. A situação d quilíbrio quado d/dt =. Nst caso vmos qu isto ocorr quado (3) isto é, quado as taxa rctuais d rodução d xtração são iguais. Esta situação td a sr rocurada los mrddors ara rtuar a xtração ao logo do tmo. Figura 3 Comortamto d (t) sm limitaçõs ara crscimto. Quatidads d rcursos aturais ifriors ao limit L 3. Evolução tmoral d rcursos aturais com limitaçõs rtroalimtação O crscimto da quatidad d um rcurso atural rovávl ormalmt sofr limitaçõs. Na maioria das vzs a taxa d rodução ou crscimto do rcurso atural tm uma limitação qu é roorcioal a quatidad d rcurso atural. A forma mais fácil d rrstar sta situação é cosidrar qu a taxa rctual tmoral d crscimto do rcurso atural ão sja costat qu dda da quatidad d rcurso (t). O comortamto roosto ara F(t) é F( t) ( ( t)) ( t). (4) A ddêcia d m rlação a od variar m fução do roblma m studo. Podmos sar m uma rrstação d como uma fução oliomial d 4

5 Uivrsidad Fdral do ABC UFABC Prof. João M. L. Morira ( ) a a a... (5) 1 od os coficits a 1, a sriam tais qu rrstassm os imdimtos ara o crscimto da quatidad d rcurso atural. Os coficits a 1, a, tc, são chamados d coficits d rtroalimtação ou ralimtação do roblma, ois a quatidad d rcurso ralimta a volução d, st caso d forma gativa. Para o caso simls d ão havr imdimtos ara o crscimto costat, dscrito a sção atrior, a 1 = a = a 3 =... = a =. A situação d ralimtação mais simls é cosidrar qu somt a 1 ão sja ulo. Nst caso tmos qu ) a a. (6) ( 1 Substituido a Eq. 6 a Eq. 4 obtmos a ( ) a ( ) ( ) ( ) 1 1 F t a1 t t a t ( t ). (7) a Chamado d a /a 1 d s substituido a or r a Eq. 7 fica 1 F( t) r ( t) 1 ( t ). (8) s A Eq. 8 dscrv a drivada da fução logística. O arâmtro r é chamado d taxa d rrodução atural do rcurso atural. Quado a quatidad (t) s aroxima do valor s, a taxa d rodução td a sr ula, ois a quatidad s stabiliza. Para (t) << s, a Eq. 8 fica F( t) r ( t) (9) qu dscrv o roblma da sção o qual ocorr crscimto d (t) sm imdimtos. Para ( t) s >> 1, a Eq. 8 fica F( t) r s ( t). (1) 5

6 Uivrsidad Fdral do ABC UFABC Prof. João M. L. Morira Nsta situação F(t) é gativa, isto é, a taxa d rodução do rcurso atural é gativa sua quatidad td a rduzir com o tmo. Nsta situação, msmo sm xtração d rcursos a quatidad td a dimiuir com o tmo, ois há codiçõs limitats o habitat. Nst caso, s ão há xtração a quatidad d rcursos s stabiliza m s, a codição d quilíbrio, q, q s. (11) s rcb o om d quatidad d suort do sistma d rcurso atural m studo. Sja qual for a situação iicial, a quatidad d rcurso atural td ara s com o assar do tmo. Em codiçõs d quilíbrio, s é a quatidad do rcurso atural qu o sistma suorta. A Eq. 8, qu forc como solução a fução logística, é a rrstação mais simls d ralimtação ara m fução da quatidad d rcursos,. Ela é imortat or modlar d forma simls os imdimtos qu ocorrm ara o crscimto cotíuo dos rcursos aturais. A Eq. 8 od sr scrita aas como fução d ara aalisar o comortamto da taxa d rodução d rcurso atural m fução da quatidad d rcurso atural, isto é, lvado m cota os fitos d ralimtação qu imdm o crscimto cotíuo d 1 F( ) r 1 ). (1) s F() é um oliômio do º grau tm raízs m = = s é cohcido como modlo d Schafr. A Figura 4 mostra F() m fução da quatidad. Notamos também qu F(), a taxa d rodução do rcurso atural, tm um máximo. Podmos obtr st máximo drivado F() m rlação a igualado a zro. Fazdo isto obtmos a quatidad M qu forc a máxima taxa d rodução d rcurso atural como s M. (13) Vmos qu s a quatidad d rcurso atural for igual a M, tmos a máxima taxa d rodução d rcurso atural. Esta é a codição d maior taxa d xtração do rcurso atural m rgim rmat, ois a taxa d rosição, F(), srá máxima. 6

7 Uivrsidad Fdral do ABC UFABC Prof. João M. L. Morira A solução (t) dst roblma é a fução logística mostrada a Figura 1. Substituido (t) m F(), obtmos F(t). A Figura 5 mostra a taxa d rodução do rcurso atural m fução do tmo. A itgral d F(t) o tmo forc a fução logística. Figura 4 F() m fução da quatidad d rcursos aturais, Figura 5 Taxa d rodução d rcursos aturais m fução do tmo A Figura 4 ão cosidrou qu xist uma oulação míima abaixo da qual F() é gativa lva a xtição do rcurso atural rovávl. Cosidrado st ascto, a Figura 5a mostra como sria F() lvado m cota st ascto. Para < mi, F() é gativa. 7

8 Uivrsidad Fdral do ABC UFABC Prof. João M. L. Morira Figura 5a F() lvado m cosidração a oulação mi abaixo da qual F() é gativa a oulação d rcursos rovávis ão é susttávl. 4. Extração d rcursos aturais com limitação A xtração d rcursos aturais com limitação dv sr tratada com o quacioamto da sção 3 icluido a taxa d xtração, H(t). A taxa d variação da quatidad d rcursos aturais é dada or d dt ( t) F( t) H ( t) r ( t) 1 ( t) s d ( t) dt r ( t) ( t) r s (14) Podmos, d forma smlhat, aalisar o roblma ara algumas situaçõs. Primiro vamos cotrar a situação d quilíbrio fazdo d/dt = a Eq. 14. Aós alguma maiulação cotramos q r s. (15) r Obsrvado a Eq. 15 vmos qu s ão ocorr xtração d rcursos aturais, =, la fica igual a Eq. 11 qu rrsta a situação sm xtração. Com uma taxa d xtração,, 8

9 Uivrsidad Fdral do ABC UFABC Prof. João M. L. Morira costat chga-s a uma ova codição d quilíbrio ifrior a s. A Figura 6 mostra as duas situaçõs. Figura 6 Comortamto d (t) com limitaçõs d crscimto taxa d xtração. S = r, q = a Eq. 15. Nsta situação ocorrrá a xtição do rcurso atural. O aumto cotíuo da taxa d xtração lva a dimiuição cotiuada da quatidad d rcursos aturais xistts. Quado q < mi ocorrrá a xtição do rcurso atural. 5. Solução aalítica da quação difrcial, Eq. 1 A Eq. 14 od sr rsolvida aaliticamt utilizado fraçõs arciais. A quação qu qurmos rsolvr é d ( t) ( t) r ( t) r dt s com a codição iicial () =. Rscrvdo como r d ' ' ' r s dt' (16) aós alguma maiulação obtmos 9

10 Uivrsidad Fdral do ABC UFABC d ' r ' 1 ( r ) s Prof. João M. L. Morira ( r ) dt'. (17) ' Chamado a r ( r ) b r s, a Eq. 17 fica 1 d ' bdt'. (18) ' 1 a ' O lado squrdo da Eq. 18 é difícil d s itgrar. Cotudo, usado fraçõs arciais, o lado dirito od sr scrito como ' 1 A B 1 a ' ' 1 a '. (19) Para rsolvr a Eq. 19 vmos qu su umrador dv satisfazr A ( B Aa) ' 1. Para qu tal ocorra a arcla do lado dirito iddt d dv sr igual 1 o fator qu multilica dv sr ulo. Assim obtmos qu A = 1 B = a. A Eq. 18 od sr scrita como 1 a d ' d ' bdt'. () ' 1 a ' Agora os dois lados da Eq. odm sr itgrados com mais facilidad ara rsolvr a quação difrcial. Itgrado o lado dirito tr t a variávl t o lado squrdo tr (t) tmos 1 d ' ' d ' 1 a ' a t bdt'. (1) A solução é 1

11 Uivrsidad Fdral do ABC UFABC Prof. João M. L. Morira ( t) 1 r r ( r ) t ( r ) t 1 () A solução aalítica acima é comlxa forc a fução logística mostrada a Figura 1. O roblma dv sr rsolvido umricamt ara casos ráticos m qu F() sja qualqur. 6. Solução umérica da quação difrcial, Eq. A Eq. 1 cotmla o caso mais simls d ralimtação ara rrstar os imdimtos ao crscimto do rcurso atural rovávl. O roblma mais gral é a Eq. com variávl. O roblma é arstado ovamt abaixo d dt F( t) ( t) F( ( t)) ( ( t)) ( t) (3) Codição iicial : ( ) A forma mais simls d s rsolvr a Eq. 3 umricamt é através d um rocsso d marcha o qual o lado dirito é aroximado tomado-s o valor do istat atrior a drivada tmoral é discrtizada a forma d uma difrça tr itrvalos d tmo subsquts. Primiro discrtizamos o tmo m uma séri d tmos discrtos t, t 1, t,..., t, t +1,.... Chamamos = (t ), F = F(t ), =1,,.... Assim tmos 1 t 1 F,,1,,... F ( ) od t 1 t 1 t (4) Codição iicial : 11 ()

12 Uivrsidad Fdral do ABC UFABC Prof. João M. L. Morira dada or Para o caso d ( ) r 1 r s, a taxa d rodução d rcurso rovávl, F, sria r F r 1. (5) s No lado dirito da Eq. 4 todos os trmos são cohcidos ois são calculados m fução d qu é cohcido. Assim +1 é dado or 1 Codição iicial : F t 1 ().,1,,... (6) A Eq. 6 é uma fórmula d rcorrêcia a qual a artir d odm sr obtidos todos os dmais, = 1,, 3,.... O mais itrssat é qu qualqur tio d rtroalimtação od sr cosidrada o trmo (). Para qu sta solução umérica sja mais rcisa o itrvalo d tmo dv sr suficitmt quo. O itrvalo d tmo dv satisfazr t << 1/r t << 1/. 7. Parallo com a rodução d biomassa atróica A rodução atróica d biomassa sgu as msmas rgras discutidas acima. Cosidrmos qu (t) sja a quatidad d biomassa roduzida lo homm m uma dada ára. A quatidad ão od crscr idfiidamt o sistma também arsta uma quatidad d suort K. S >> s od ocorrr um dsquilíbrio irrvrsívl do mio ambit ara a biomassa outras sécis. Portato, o mrddor dv matr smr ( t) (14) s s dv sr dfiido m fução d todas as sécis. Além das qustõs aturais o mrddor dv cosidrar outros imdimtos ara o crscimto da quatidad d rcursos aturais. A socidad imõ limits rgulação ara 1

13 Uivrsidad Fdral do ABC UFABC Prof. João M. L. Morira a taxa d xloração do rcurso atural qu tdm a dimiuir a taxa d rtoro do mrdimto. Rfrêcias 1. David Parc R. Krry Turr, Ecoomics of atural rsourcs ad th viromt, Ed. Parso Educatio, Harlow, Iglatrra, ag. 71, P. H. May, Maria C. Lustosa Valéria da Viha, Ecoomia do mio ambit toria rática, Ed. Camus, Rio d Jairo, Brasil, ag. 33, 3. 13