3 ANALISE ESTÁTICA DA ESTABILIDADE - MÉTODO RAYLEIGH RITZ.

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1 ANALISE ESTÁTICA DA ESTABILIDADE MÉTODO RAYLEIGH RITZ Alguns roblmas d stabilidad d struturas não odm sr rsolvidos or métodos analíticos ou são rsolvidos d forma mais fácil utilizando métodos aroximados Os métodos analíticos rfrms a métodos los quais s obtém uma solução xata das quaçõs difrnciais govrnants do sistma Algumas dstas soluçõs odm sr aroximadas or séris d funçõs harmônicas ou olinomiais com coficints indtrminados O método d RaylighRitz utiliza sts tios d aroximação m conjunto com o funcional do roblma ara discrtizar o sistma contínuo obtr os coficints dos trmos das séris d funçõs Aqui nst trabalho é usado o método d RaylighRitz ara rsolvr o roblma stático não linar obtr as informaçõs ncssárias ara a anális dinâmica não linar arsntada no Caítulo Calculo do Carrgamnto Critico Adimnsional Para gnralizar os rsultados facilitar a anális aramétrica s dfinm as sguints coordnadas dslocamntos adimnsionais (coordnadas horizontais divididos or coordnadas vrticais divididos or ): z z/l y y/ f w w/l vv/ f d d dz Ld z () Adicionalmnt considrams os sguints arâmtros adimnsionais f / L q qf EA rx f L Ki ki L i EA () Substituindo os arâmtros adimnsionais na quação (6) corrsondnt à nrgia total do sistma obtéms:

2 6 / d (v ) d ( w) d ( v ) d ( v ) 8 z qv d z AEL / d z dz dz dz K w K w () No método d solução numérica d Rayligh Ritz é rciso aroximar o dslocamnto or uma séri d funçõs admissívis qu sjam contínuas satisfaçam lo mnos as condiçõs d contorno do sistma m trmos dos dslocamntos (condiçõs d contorno forçadas) Para o caso do arco arabólico Figura 6 uma boa aroximação ara o dslocamnto vrtical é dada or (): n v Vi cos(i z ) () i ond cada trmo da séri () é uma função admissívl contínua qu satisfaz todas as condiçõs d contorno do sistma m v O trmo é conhcido como dslocamnto gnralizado ou variávl cinmática No caso articular dst trabalho a constant é uma grandza adimnsional dada la divisão do dslocamnto modal vrtical no mio do arco la altura do arco f ou sja Vi vci f (5) Para qu a quação () sja rsolvida dvs rimiro ncontrar ara cada trmo da séri uma xrssão ara o dslocamnto horizontal adimnsional função m Insrindo a quação () os arâmtros adimnsionais () () na quação difrncial d quilíbrio na dirção horizontal () obtéms a quação difrncial: d ( w) dz 8 qu rlaciona a função d (v ) d (v ) d (v ) d (v ) 8 z dz dz dz dz (6) com a função Agora substituindo or xmlo o rimiro trmo da quação () na quação (6) rsolvndoa obtéms a quação (7) qu dscrv o comortamnto do dslocamnto horizontal adimnsional w 8 V sn( z ) m função d : 8 V z cos( z ) V sn( z ) cos( z ) C z C (7)

3 7 A constant é obtida considrando qu as rigidzs das molas sjam iguais ou sja o dslocamnto horizontal adimnsional no mio do arco é igual zro () Dsta condição s tm qu Da quação () qu dscrv as condiçõs d contorno na dirção horizontal s obtêm duas quaçõs adimnsionais: m K w m K w (8) Somando as quaçõs (8) tms: m K w K w (9) Lvando a quação () à forma adimnsional obtéms: d ( w) d (v ) d (v ) m 8 z dz dz dz () Considrando qu a dformação d mmbrana é constant m (9) igual à dformação média quação () tms: / d ( w) d (v ) d (v ) K w K w 8 z dz dz / d z d z () Insrindo as quaçõs () (7) na quação () rsolvndoa obtéms a constant : C K w K w V () Prcisas agora obtr os dslocamntos horizontais arâmtros adimnsionais d das constants d rigidz ossívl avaliando a quação (7) m obtidos das constants m trmos dos Isto é insrindo os valors Uma vz rsolvido o sistma d quaçõs os dslocamntos horizontais no aoio do arco são obtidos: V V 6 w K V V 6 w K Dsta forma s obtém o dslocamnto horizontal constants d rigidz dos arâmtros adimnsionais d K K K () m função somnt das :

4 8 8 V sn( z ) 8 V z cos( z ) V sn( z ) cos( z ) V K V 6 V z K w () Cab rssaltar qu sta xrssão não só é comatívl com o camo d dslocamntos vrtical como satisfaz as condiçõs d contorno simtria m w Na rsnt dissrtação considras um modlo rduzido d um grau d librdad adotandos anas o rimiro trmo da séri () Substituindo ois o dslocamnto horizontal adimnsional () o dslocamnto vrtical adimnsional () na quação () obtéms: q 8 K K K V V V (5) V AEL K K K ou m forma mais comacta: D qv CV BV AV AEL (6) ond D C 8 K K K (7) B A K K K Tndo m vista qu o rimiro trmo m () é simétrico a rsnt aroximação é válida anas ara arcos abatidos Emrgando agora o rincíio da nrgia otncial stacionária ( / ) ncontras a sguint aroximação ara o caminho não linar d quilíbrio: q AV BV CV (8) ond A 5 8 K 6 K 5 K B C K 6 K K (9) A quação (8) ncontras xrssa m forma adimnsional Porém ara odr fazr a comaração com a solução analítica rscrvs a quação (8) m trmos dos arâmtros usados no caítulo Substituindo o carrgamnto adimnsional or su quivalnt arsntado na quação () multilicando lo arâmtro focal dividindo la força axial tms:

5 9 q q N N f AV BV CV AE N arox () ond: N EI x (L/ ) L 8f () A quação () toma assim a forma: q N AV BV CV arox () ond: A 8 K K K B C K 6 K 5 K () Cálculo da Enrgia Potncial A nrgia otncial total quação () od ois sr rscrita na forma: q N A B C V V V V arox () Anális dos rsultados obtidos Para a validação das quaçõs obtidas utilizams as caratrísticas físicas gométricas do arco arsntadas na Tabla as sguints rlaçõs d rigidz sbltz: Tabla Rlação d rigidz sbltz modificada analisados Esbltz modificada ( ) Rlação d rigidz ( ) 5 Agora rcisas rscrvr a rigidz adimnsional d rigidzs m função da rlação da msma manira rcisas ncontrar uma rlação dos arâmtros adimnsionais m função d

6 5 Insrindo as quaçõs (5) () na quação () lmbrando qu ncontras a sguint rlação: K (5) Fazndo uso das quaçõs () () obtêms as sguints rlaçõs: r rx x L L (6) Na Tabla mostras a rlação ntr a rigidz adimnsional arâmtro d rigidz quação (5) Quando mola qu o valor da rigidz linar da é muito lvada m comaração da rigidz do matrial sja muito quna Assim quando o o qu faz com aroximas do valor zro ou sja d um aoio rotulado (nnhum dslocamnto horizontal) Para rrsntar st limit utilizas o valor aroximado d já qu a rigidz adimnsional é invrsamnt roorcional ao valor d À mdida qu crsc crsc a flxibilidad das molas horizontais Tabla Rlação ntr as rigidzs 5 K 8 A Tabla mostra a variação dos dslocamntos horizontais nos aoios m função comrimnto horizontal Vrificas qu sts são muito qunos m comaração do do arco A Figura arsnta a variação do dslocamnto ( ) xrsso m milímtros quação (7) Para isto utilizous um dslocamnto stático (7) w wl Tabla Dslocamnto horizontal nos aoios 5 K w(l/) mm w(l/)mm 8 E 7 E 7 %L % 75% 55%

7 5 w(z) (mm) 8 5 z 8 Figura Dslocamnto horizontal ara divrsos valors d A Figura mostra os caminhos não linars d quilíbrio dscritos la quação () ara difrnts valors d Notas comarando com a Figura 6 qu os caminhos d quilíbrio obtidos lo método aroximado d RaylighRitz tm uma grand smlhança com o caminho d quilíbrio dscrito 5 5 q (N )Arox la formulação analítica arsntada no caítulo (a) l75 8 (b) l q (N )Arox (c) l87 8 V (d) l76 6 a a 8 V a5 Figura Caminhos não linars d quilíbrio ara valors slcionados d A Tabla mostra os valors do carrgamnto crítico (na sua forma dimnsional adimnsional) do rsctivo dslocamnto no mio do arco rlativos aos ontos limits obsrvados na Figura

8 5 Tabla Carrgamnto dslocamnto crítico corrsondnt ao onto limit V (q/n) aroximado q (KN/m) Mdiant a anális do rfil d nrgia otncial total do sistma dscrito la quação () m função do dslocamnto vrtical adimnsional od s analisar a stabilidad do quilíbrio do arco abatido Na Figura b ods vr qu nnhuma das configuraçõs do arco ating o flambagm ou sja ara λ 75 qualqur valor d α a nrgia otncial do osição d quilíbrio stávl A Figura b mostra o comortamnto d um arco abatido com uma sbltz 58 Nst caso o comortamnto é similar ao dscrito na Figura xcto quando a rlação d rigidz é igual a ond o 5 5 q (N )Arox sistma conta com três osiçõs d quilíbrio duas stávis uma instávl (a) 8 V 6 (b) V Figura Enrgia otncial adimnsional vrsus dslocamnto q (N )Arox sistma arsnta um único xtrmo um mínimo Tms assim uma única 5 (a) 8 V 6 (b) Figura Enrgia otncial adimnsional vrsus dslocamnto V 5

9 5 Quando o arco tm uma sbltz d 87 o sistma arsnta ara dois vals otnciais cujos mínimos stão associados à osição d quilíbrio stávl récrítico ( ) osição dsjávl ond o sistma ainda arsnta qunas dformaçõs a configuração d quilíbrio óscrítica não dsjávl ond o sistma arsnta uma configuração invrtida vr Figura 5 O 6 8 q (N )Arox onto d máximo corrsond à osição d quilíbrio instávl (a) 8 V 6 (b) V Finalmnt quando 5 76 a não linaridad arsntada lo sistma é maior uma quna alicação d carrgamnto stático roduz um salto d um val otncial dsjávl ara um não dsjávl Figura 6 q (N )Arox Figura 5 Enrgia otncial adimnsional vrsus dslocamnto (b) (a) 8 V V Figura 6 Enrgia otncial adimnsional vrsus dslocamnto 5 Comaração do Carrgamnto Crítico Obtido Analiticamnt lo Método d Rayligh Ritz Com a finalidad d s vrificar quando o rsnt modlo rduzido od sr mrgado ara o studo das oscilaçõs não linars arsntams na Tabla 5 os valors dos carrgamntos críticos obtidos lo método analítico numérico Pods obsrvar qu à mdida qu aumntam aumnta a difrnça ntr os dois rsultados o qu já ra srado dado qu um trmo m () não é suficint ara rrsntar o comortamnto antissimétrico do arco o qu dv sr studado m um trabalho futuro

10 5 Tabla 5 Comaração dos carrgamntos críticos d flambagm λ α (q/n) analitico (q/n) aroximado %rror Modo d Flambagm % Simétrica % Simétrica ou Antissimétrica % 69% Simétrica Antissimétrica % Simétrica ou Antissimétrica A artir da Tabla 5 s od dizr também qu a função harmônica d dslocamnto vrtical aroximada dscrita na quação () é válida ara sistmas com uma sbltz rlativamnt baixa Assim na anális dinâmica arsntada no caítulo sguint utilizams arcos com sbltz d com uma rlação d rigidz ambas Para os dois casos scolhidos é rciso ncontrar as osiçõs d quilíbrio ara valors crscnts d carrgamnto Os dados são arsntados na Tabla 6 Tabla 7 Tabla 6 Posiçõs d quilíbrio m função do nívl d carrgamnto ara % % % % % % 5% 6% 7% 8% 9% (q/n)crit VA VB VC

11 55 % Tabla 7 Posiçõs d quilíbrio m função do nívl d carrgamnto ara % % % % % % 5% 6% 7% 8% 9% % (q/n)crit VA VB Comlxo Comlxo Comlxo Comlxo Comlxo Comlxo Comlxo Comlxo Comlxo Comlxo Comlxo VC Comlxo Comlxo Comlxo Comlxo Comlxo Comlxo Comlxo Comlxo Comlxo Comlxo Comlxo