CÁLCULO I 2º Semestre 2011/2012. Duração: 2 horas e 15 minutos

Transcrição

1 NOVA SHOOL OF BSINESS AND EONOMIS ÁLLO I º Ssr / EXAME ª ÉOA TÓIOS DE RESOLÇÃO Juho Duração: horas iuos Não é priido o uso d calculadoras Não pod dsagrafar as folhas do uciado Rspoda d fora jusificada a odas as qusõs, aprsado spr os cálculos fcuados Siplifiqu spr os rsulados ao áio Não s sclarc dúvidas O uciado ds s é coposo por págias RESONDA A ADA GRO NAS RESETIVAS FOLHAS NOME: NÚMERO:

2 GRO valors alcul o i das sguis sucssõs: a valor ilizado u dos rsulados sobr is d sucssõs 7 b valor ilizado o Tora das Sucssõs Equadradas arcsi Rsolução a Sja 7 V oo V é crsc V são ifiia grads, ão: S a V V ão a V V V b π π π π arcsi arcsi lo Tora das Sucssõs Equadradas supodo > : arcsi arcsi arcsi π π

3 GRO valors Rsolva as sguis priiivas: a valor b valor l l usado o éodo d priiivação por subsiuição c valor si 8 si Dica: cos si cos si si a b b a b a Rsolução a b l l l l l l l l c cos si cos si cos si si

4 si arca si cos si si cos si si 8 cos si si 8 si GRO valors - Esud quao à covrgêcia as sguis séris uéricas calcul as suas soas, caso sja possívl a,7 valors b valor -, valors S B for o cojuo dos ros da sucssão das soas parciais da séri dri, s isir, o supro, o ífio, o áio o íio d B Rsolução a

5 oo, plo riério Gral d ovrgêcia podos cocluir qu a séri uérica é divrg b ara calcular S a usos u dos rsulados sobr is d sucssõs a oo, plo riério Gral d ovrgêcia podos cocluir qu a séri uérica é divrg c alculos algus ros da sucssão S das soas parciais d : S 9 ; S ; S ;; S 9 Os ros dsa squêcia sria oóoa crsc srão os los cosiuis do cojuo B Esa squêcia coo priiro ro S coo i a soa da séri qu é dada por S Supro d B: or dos ajoras Máio d B: ão is pois o supro ão prc ao cojuo Ífio d B: aior dos ajoras

6 Míio d B: pois o ífio prc ao cojuo, é o priiro ro da squêcia GRO,7 valors Idiqu, jusificado, s as sguis afiraçõs são vrdadiras ou falsas a,7 valors Sja os cojuos A R : > B R :, N O faco d u úro ral prcr à uião r o irior o drivado d B é codição sufici, as ão cssária, para prcr à adrêcia d A b valor ε >, δ ε > : < δ < ε c valor A fução j é prologávl por coiuidad si l l j π arccos > < 6

7 Rsolução a Vrdadira > > > quadro d siais A ; B R : ; driv B i B { } i B driv B adr oo A ; ; aravés d u é possívl afirar qu o faco d u úro ral prcr à uião r o irior o drivado d B é codição sufici para prcr à adrêcia d A oo ; ão é possívl afirar qu a codição é abé cssária ara al ra prciso qu os dois cojuos foss quivals, o qu ão s vrifica b Falsa ε > : < δ ε ε >, δ < or ouras palavras, o qu a dfiição arior raduz é qu qu é falso pois orrigido a dfiição arior ε > : < δ ε ε >, δ <, o 7

8 c Falsa Srá possívl prologar a fução por coiuidad a s isir i fiio ss poo π π π π arccos arccos l l si R cos si cos si cos si Não is i possívl o prologao prdido cos si cos si pois os is larais são disios, logo ão é RL GRO valors osidr a fução f a valor alcul f b valor alcul a quação da rca ag ao gráfico da fução f c valor osidr a fução ral d variávl vcorial, y y f g Srá qu a curva d ívl d coa da fução g corrspod à fução ivrsa da fução f? Jusifiqu 8

9 9 Rsolução a [ ] l l l l RL R b f l ' ' f Equação da rca ag : b y oo da fução da rca ag : ; Equação da rca ag : y c, y f y y g urva d ívl d coa :, y y y g Não s raa da fução ivrsa da fução f Noar qu f dsiga a fução ivrsa d ua fução siria rlação à bisscriz dos quadras ípars, quao qu [ ] f f é ua ova fução qu

10 associa a cada objco o ivrso ariéico das iags sgudo f orao a fução f GRO 6 6, valors osidr a fução ral d variávl ral dfiida por arcsi a valor O doíio da fução é rprsado plo cojuo A Rprs grafica o cojuo A ] ; 8] scrva aaliica o su irior a sua froira b,7 valors Dri o valor aco d cos c, valors sado a rgra da drivada da fução ivrsa, cor a fução drivada d d valors Euci o Tora d Lagrag Srá possívl aplicá-lo à fução o irvalo ;? valor A parir do difrcial da fução avaliado, si f, valors alcul a ára diada r a fução, a rca o io OX oc por rprsar grafica a rgião causa

11 Rsolução a A { R: } [ ;] A ] ; 8] [ ;] ] ; 8] A ] ;[ ] ; 8 [ i fro A { ;} [ ; 8] [ ;] { ; 8} 8 b cos cos arcsi cos arcsi si arcsi siarcsi siarcsi 9 6 c la rgra da drivada da fução ivrsa: ' si [ y ]' si y cos y cos arcsi ' arcsi Noar qu: si y si y

12 O rsulado faz sido porqu sabos qu: arcsi d Tora d Lagrag: Sja f ua fução coíua [ b] is plo os u valor c ] a; b [ a; Eão f b f a al qu f ' c b a a; difrciávl ] b [ Gorica sigifica qu a rca ag ao gráfico d f o poo d abcissa c é paralla à rca sca qu passa plos poos d abcissas a b [ a;b] ; arcsi Traa-s d ua fução rigooérica ivrsa, logo é coíua o su doíio [ ;], sdo por isso coíua ; { > } ] ; [ ' D : R ' Traa-s d ua fução difrciávl ] ;[, logo é difrciávl ; Esaos assi as codiçõs do Tora d Lagrag qu gara qu is plo os u valor ' d Difrcial f f c ; al qu f ' c

13 d ' arcsi arcsi f arcsi arcsi d d A álculo auiliar : ' arcsi arcsi v u

14 álculo auiliar : v u ' arcsi arcsi arcsi [ ] [ ] arcsi arcsi arcsi arcsi π π d d A