Probabilidade de Ruína com eventos espaciais

Transcrição

1 Uvrsdad Fdral d as Gras Probabldad d uía om vos spaas Dssração submda omo rquso paral para obção do grau d sr m saísa pla Uvrsdad Fdral d as Gras ALI ATIS PIOUTK Orador: Prof. Dr. ao ars Assução arço-9

2 Uvrsdad Fdral d as Gras Isuo d Cêas aas Probabldad d uía om vos spaas Al ars Prou

3 Uvrsdad Fdral d as Gras Isuo d Cêas aas Probabldad d uía om vos spaas A oqusa d um soho ua ao m um prurso soláro. Pssoas smpr são a ossa vola os ouvdo, os obsrvado rfrdo quado samos mrsos dmas a suação. Por ss movo, u ho orgulho d ofrr ssa oqusa a odos àquls qu svram ao mu lado. Al ars Prou Obrgada Dus por m guar. Ao grad msr sprador Prof. ao Assução agradço por ardar m mm. Aos mus pas plo apoo. Ás mhas rmãs Tála Jéssa agradço o arho. Ao afal plo vo ompahrsmo. Ao mu rmão Adré plos oslhos. Ás mhas amgas Thábaa, Cbl, Débora, Vassa Al pla algra. Ao ahus plos rsos. Agradço aos gras do Ls pla ajuda. À K pla ompaha. A odos qu amo muo u agradço por fazrm par dssa apa umprda. Agradço á FAPIG plo apoo faro.

4 Sumáro. Irodução 7. ovação Objvos 9. odlo Clásso. Irodução. Prosso d Posso. Prosso d Posso Composo.4 odlo Clásso d Cramér-Ludbrg 4. Probabldad d uía 7. Dfçõs proprdads 7. Dsgualdad d Ludbrg Cof d Ajus 8. Ifluêa do apal al.4 Ifluêa do valor das dzaçõs o of d ajus.5 Cálulo da probabldad d ruía 6 4. Apromação da Probabldad d uía 7 5. odologa Dsvolvda 5. odlo 5.. Agrgação das dzaçõs por vo 5. odlo Cof d orrlação as Idzaçõs vzhas 7 5. odlo 4 6. sulados Par : A Dsgualdad d Ludbrg o Cof d ajus odlo Agrgação das dzaçõs por vo a Dsgualdad d Ludbrg O valor médo das dzaçõs a Dsgualdad d Ludbrg odlo Agrgação das dzaçõs por vo a Dsgualdad d Ludbrg O valor médo d dzaçõs a Dsgualdad d Ludbrg Cof d orrlação spaal a Dsgualdad d Ludbrg odlo Clásso, odlo odlo Par: Apromação da Probabldad d uía omos do odlo omos do odlo 6 4

5 6.. solha das Dsrbuçõs 6 7. Aálss 6 7. Prmra dzação : ~ poal 7. Prmra dzação : ~, 7. Prmra dzação : ~, 64 Paro 66 Wbull Colusão 7 9. Apêd 7. frêas: 87 5

6 Íd d Fguras Fgura - O Prosso srva d so... 5 Fgura - Cof d Ajus... 9 Fgura - Probabldad d ruía Dsgualdad d Ludbrg... Fgura 4 - Dsgualdad d Ludbrg om dfrs Cofs... Fgura 5 - Probabldad d ruía d aordo om o apal al... Fgura 6 - Dsgualdad d Ludbrg varado valor médo do ssro... 5 Fgura 7 - Vsualzação do umro médo d apóls por vo: = =4.... Fgura 8 - Vsualzação do umro médo d apóls por vo: = = Fgura 9 - Comporamo do s... 6 Fgura - Trajóra om ~ poa l... 4 Fgura - Damo das dzaçõs o odlo om dfrs orrlaçõs spaas Fgura - Ifluêa do úmro médo d vos a Dsgualdad d Ludbrg Fgura - Ifluêa do valor médo d dzaçõs a Dsgualdad d Ludbrg Fgura 4 - Ifluêa do úmro médo d vos... 5 Fgura 5 - Ifluêa do valor médo d dzaçõs a Dsgualdad d Ludbrg Fgura 6 - Ifluêa do valor do of d orrlação spaal Fgura 7 - Comparação d odlos om Fgura 8 - Comparação d odlos om Fgura 9 - Comparação d odlos poas om orrlação spaal. 9 - Apromação da Probabldad d uía. Gráfo- : 5. Gráfo- : Fgura - Comparação d odlos poas om orrlação spaal. - Apromação da Probabldad d uía. Gráfo- : 5. Gráfo- : Fgura - Comparação d odlos Paro om orrlação spaal. 9 - Apromação da Probabldad d uía. Gráfo- : 5. Gráfo- : Fgura - Comparação d odlos Paro om orrlação spaal. - Apromação da Probabldad d uía. Gráfo- : 5. Gráfo- : Fgura - Comparação d odlos Wbull om orrlação spaal. 9- Apromação da Probabldad d uía. Gráfo- : 5. Gráfo- : Fgura 4 - Comparação d odlos Wbull om orrlação spaal. - Apromação da Probabldad d uía. Gráfo- : 5. Gráfo- :

7 . Irodução Os prípos básos do sguro prvêm a adquação da bas fara da dad sguradora vsado aloar rursos d forma f para horar suas obrgaçõs. A aurza do sguro é ararzada por ssa gsão d rursos qu busa a formação d um fudo garador d pagamos d dzaçõs oorrdos dura um príodo d mpo Souza,. Os rsos auas ss prosso são rlaoados a áras auaras, faras, saísas, r ouras. Dv-s busar a quvalêa dos dros obrgaçõs m odo o mpo dsro ss prosso. Para sso, d um lado há as orbuçõs o apal al da dad d ouro o pagamo d odas as dzaçõs om sus rspvos valors. A apadad da dad m prmar apa a fuar os pagamos ararza a solvêa dssa dad. Iso é, la srá solv s o fluo d ra fuuro ulrapassar o fluo d dsmbolsos fuuros. sm dvrsas varávs qu fluam a solvêa d uma sguradora. O úmro spalhamo dos ssros o mpo, o valor da dzação, o apal al o fluo d prêmos a srm arradados podm drmar omo o aa da dad va s omporar dura o mpo m sudo. Proura-s om a maor probabldad possívl qu ss aa prmaça maor do qu zro aé um mpo spífo. A ruía orrspod ao vo o qual o apal da dad s ora mor qu zro m um ro mpo. Quado sso oorr, a sguradora ão possurá rursos para pagar as obrgaçõs assumdas. Ou sja, su aa é gavo a oorrêa d um ssro rará su dvdamo Dso ad Wars, 99. sa dssração srá abordado om maor êfas o odlo Clásso, od a oorrêa d ssros é osdrada omo um prosso d Posso om sdad 7

8 osa gual a. Isso sgfa qu o mpo r oorrêas sgu uma dsrbução poal om méda /. A dsrbução poal m larga aplação m váras áras. quao ulzamos a dsrbução d Posso para dfr o úmro d oorrêa m drmado príodo, a dsrbução poal alula o mpo r oorrêas sussvas. É omum usada para mpos r hgadas a, por mplo, abs d pdágos. Pod-s usar ambém sa dsrbução para alular probabldads d falhas, quado do sudo d ofabldad; ou sja, o rvalo d mpo dorrdo r o sa m qu uma pça é suja a um sforço mâo o sa m qu oorr uma falha a qubra da pça, por mplo. A dsrbução poal possu a proprdad d fala d mmóra. Isso sgfa qu a probabldad d qu sja ssáro sprar mas qu s + aé qu o vo aoça, dado qu ss vo ão aou as do mpo s, é a msma d qu ss vo oorra dpos do mpo. Como dsro ama, o odlo Clásso d rso d sguros ulza a dsrbução poal para drmar o mpo d oorrêa r os ssros. Dvdo à ulzação dssa dsrbução, os mpos r as oorrêas dos ssros oram-s dpds. Além dssa suposção, o modlo ada assum dpdêa r os valors das dzaçõs. As suposçõs ama s oram váldas quado ldamos om aásrofs auras. ss po d áro, s grad dpdêa do mpo r ssros r os valors das dzaçõs. Isso ao, por mplo, quado um furaão osgu dsrur asas dura su prurso m rra. S o furaão for muo dvasador, os daos srão bm maors do qu aquls provoados por furaçõs mos dvasadors. É fál prbr qu os mpos r oorrêa são dpds r s, assm omo o valor das dzaçõs. Ada podmos psar sobr o áro m qu oorru ss vo, o furação. m rgõs muo povoadas os daos srão bm maors omparados om as 8

9 rgõs pouo povoadas. Assm, a loalzação do vo a ofguração spaal são faors mporas qu ão são osdrados o odlo Clásso.. ovação Objvos A movação dss rabalho provém da possbldad d sr algum vo qu dsad a oorrêa d dzaçõs prómos o spaço mpo, poddo lvar uma sguradora à falêa. Da das prspvas d aumo d aásrofs auras, rsulas das mudaças lmáas, as sguradoras são oss d qu, a logo prazo, rão d pagar mas por dzaçõs. Por sso, já sm modlos alravos d rasfrêa d rso para os mrados faros. Um mplo d aásrof qu ausou ssros sqüalm, om grad prjuízo às ompahas d sguros, oorru m 997. A passagm do furaão Adrw dvasou as lhas Bahamas, o sul da Flórda a Lousaa. As sguradoras do mudo ro vram qu pagar 7 blhõs d dólars. m, sgudo um sudo da sguradora almã ü, as aásrofs auras provoaram prjuízos d 4 blhõs d dólars, o qu sgfa um aumo d % m rlação ao ao aror, mbora sasam o úmro d aásrofs ha dmuído d 85 para 7 asos. Após ada aásrof, as pssoas são s oszado d qu dvm omar mddas qu mpçam qu sus mpaos grm prdas humaas, físas faras para a sodad. Os rrmoos, os furaçõs, as udaçõs, as rupçõs vulâas ouras aásrofs auras são uma par vávl da vda. Iso ão qur dzr qu ão possamos fazr ada para os orarmos mos vulrávs. 9

10 Prbmos qu a frqüêa dssas aásrofs m aumado, dsadado dvrsas prdas. Porao, modologas mas fs dvm sr adoadas para qu s mgum os rsos. É mpora, s oo, o aprofudamo a mlhora dos méodos qu osdrm os rsos dpds, já qu as oorrêas d aásrofs fluam o áro d sguros Albrhr, 998. m ros sudos, é ulzada a modlagm d dpdêa r o mpo d spra d um ssro su valor vr, por mplo, Albrhr ad Tugls, 6. Ca suda a probabldad d ruía om aas d prêmos dpds para modlos d rso gralzados. Os pagamos são osdrados dpds om uma sruura auo-rgrssva. Para sua aáls, Ca ulzou a Dsgualdad d Ludbrg para as probabldads d ruía a parr d éas d rovação rursva. üllr ad Pflug drvam a Dsgualdad d Ludbrg para probabldads d ruía assóas m asos d um prosso om rmos dpds. ls assumm qu a fução gral d probabldad s qu su logarmo ovrg. osso objvo é vrfar o mpao do grau da dpdêa spaal dos ssros a probabldad d ruía m rês modlos proposos assumdo dfrs dsrbuçõs para o valor das dzaçõs. m parular, qurmos avalar o rro omdo o álulo da probabldad d ruía quado goramos a orrlação spaal dos ssros.

11 . odlo Clásso. Irodução Os rabalhos d Flp Ludbrg sobr a ora do rso foram sros m um momo m qu huma ora gral dos prossos soásos sa quado méodos olvos d rssguro, o prs sdo da palavra, ram oalm dsohdos para as ompahas d sguros. m ambos os aspos suas déas ram muo à fr do su mpo, suas obras mrm sr gralm rohdas omo poras d fudamal mporâa. m 9, Ludbrg rmou sua s d douorado d dfíl omprsão para a époa, Appromaos of h Probably Fuo/sura of Collv ss. s rabalho roduzu o Prosso d Posso Composo volvu sudos ulzado o Torma Cral do Lm. Cramér dsvolvu as déas d Ludbrg sobr os rsos as rlaoou à mrg ora d prossos soásos. É sa fas qu fo roduzdo o odlo Clásso d Cramér-Ludbrg ou odlo Clásso d rso olvo. Shryav,999. O odlo Clásso fo mas ard sddo para orar mas flívs algus dos sus prssuposos. a maora dos asos m qu é ulzado m omo objvo alular a probabldad d ruía.. Prosso d Posso Um prosso soáso é um prosso ujo omporamo é ãodrmíso, o sdo m qu ada sado dss prosso ão drma omplam qual srá o su sado sgu. Iso sgfa qu msmo qu a odção

12 al sja ohda, sm muas possbldads, sdo qu algus amhos são mas provávs qu ouros. Um prosso d Posso, sgudo Wasa975 Karl & Taylor975, é um prosso soáso m qu vos oorrm ouam dpdm um do ouro. uos prossos ão são aam um prosso d Posso, mas s assmlham o suf para qu m ros pos d aáls ls possam sr osdrados omo as. O prosso d Posso é uma olção { } d varávs alaóras, od é o úmro d vos qu oorrram aé o mpo omçado do mpo. O úmro d vos r o mpo a o mpo b é dado omo b-a sgum uma dsrbução d Posso. Cada ralzação do prosso { } é fução d salos ão gavos. Dz-s um prosso d Posso d sdad s vrfa as sgus odçõs: { } m rmos saoáros dpds. Dz-s r rmos dpds s, para odos os ros..., as varávs alaóras,,,..., são dpds. ls srão saoáros s para qualqur s, s m a msma dsrbução d s para odo valor d., ~ Posso. Ou sja: P,,,,...! A varávl alaóra m valor sprado varâa guas a sua fução gradora d momo é dada por: r r r

13 Calulado as rês sussvas drvadas da fução gradora d momos m rlação à r avalado ssas drvadas o poo r=, podmos orar os momos ordáros m rlação à orgm d. Dsa forma, obmos:. Prosso d Posso Composo Um prosso S é hamado d Prosso d Posso Composo s: S od } { } é um prosso d Posso homogêo } { é uma varávl alaóra oíua posva dpd dam dsrbuída dpd d } {. Sua fução gradora d momos é dada por: l... l... r r P r P P P P r r r r r r r rs rs S Subsudo a fução gradora d momos d mos qu:

14 4 r S r ovam, para orar os rês prmros momos, vamos alular as rês sussvas drvadas da fução gradora d momos m rlação à r, avalá-los o poo r=. Dsa forma, obmos: S S S S S S.4 odlo Clásso d Cramér-Ludbrg O odlo Clásso d rso olvo m mpo oíuo é um prosso soáso }, { U dfdo da sgu forma lusrado a Fgura : S u U m qu: U é a provsão d rso d uma arra o sa, S são as dzaçõs agrgadas oorrdas m,], é o volum d prêmos rbdos m, ], é uma osa qu rprsa o prêmo por udad d mpo

15 u=u é a provsão al. Fgura - O Prosso srva d so ss modlo som osdra as dzaçõs prêmos, dsarado assm faors as omo força d juros a formação da provsão argos d gsão, r ouros. Vamos agora dlarar algumas hpóss dfçõs Co, : é o úmro d dzaçõs m,]. É um Prosso d Posso om sdad ; S ; { S, } é um prosso d Posso Composo. S=, s =; { } é uma sqüêa d v.a s d dpds d, rprsam as dzaçõs parulars ou dvduas; A fução d dsrbução d é P=P a sua fução d dsdad é f. m gral, osdramos P=; Supõ-s a sêa d p =; 5

16 Supõ-s qu p, so é, o prêmo rbdo m uma udad d mpo é supror às dzaçõs agrgadas spradas o msmo príodo. m grad par dos rsulados é ssáro admr a sêa do momo d ordm, p =, adoalm, da fução gradora d s momos d, doada por s. A soma agrgada das dzaçõs { S, } m a spraça, a varâa a fução gradora d momos dadas por: S p V S V V p p p p r log r S 4 O odlo Clásso ão lva m osdração algus faors assoados om as dspsas admsravas, aas d juros, flação ou rdmos provs d vsmos. l ulza os prêmos arradados omo úa forma d gração da rsrva da ompaha d sguro as dzaçõs omo úo faor d rdução dssa rsrva. Com a odção p, a ompaha s assgura d qu o valor pago plo prêmo é supror ao valor sprado das dzaçõs por udad d mpo. rao, s uma odção o odlo Clásso: p al p qu : 6

17 od é hamado d faor d arrgamo.. Probabldad d uía. Dfçõs proprdads A probabldad d ruía orrspod à probabldad da sguradora orar su apal gavo m algum momo odoado a um apal al solhdo o ío do prosso. ssa probabldad pod sr alulada osdrado-s qu o momo d ruía é um sa o rvalo,], om fo, ou ão é um sa a sm-ra,. por: m osso rabalho ulzarmos som a probabldad o rvalo, dada u P T U u P U para a lg um U u 5 od T f U é a varávl alaóra qu rprsa o sa m qu a ruía oorr dado o apal al u. A quação 5 orrspod à probabldad d ruía u m um mpo drmado odoada ao apal al. Prb-s qu som podrá oorrr a ruía o momo d oorrêa do ssro, pos são som sss sas qu a rsrva da sguradora drs m fução do pagamo d dzaçõs. Como por suposção p, ão u, aso oráro, u, ou sja, ruía é ra. Falm omprd-s qu u s u. 7

18 A parr dssas aálss podmos sgur om as sgus proprdads qu rlaoam u u, : Cosdr u u. u, u, u u u, u, u lm u, u Vja as dmosraçõs dssas proprdads m Dso ad Wars99.. Dsgualdad d Ludbrg Cof d Ajus m grad par dos asos, ão é possívl osgur uma prssão fhada para a probabldad da ruía. Dvdo à ompldad dos álulos, város rabalhos foram fos m busa d smavas para ssa probabldad. Para amzar ssa ompldad, supodo qu a dsrbução das dzaçõs sja poal, surgu a apromação domada Dsgualdad d Ludbrg, muo ulzada a lraura auaral. ssa abordagm for uma oa ou lm supror para a probabldad d ruía u assumdo a sêa d um of d ajus. O Cof d ajus srá a mor raz da quação Shryav,996 amsay,99: 6 O parâmro rprsa o úmro médo d ssros, é uma osa qu rprsa o prêmo por udad d mpo rprsa a Fução Gradora d omos da varávl avalada m. 8

19 A quação 6 dpdm da dsrbução d ssro. possu uma úa raz ral posva qu sasfaz a gualdad, A Fgura aprsa um mplo do of d ajus om faor d arrgamo.,, o valor das dzaçõs dvduas m dsrbução poal om parâmro /. A parr dssa fgura, podmos vr laram as duas raízs da quação, a prmra drvada posva m oro do poo zro a oavdad. Fgura - Cof d Ajus Dado o of d Ajus, o lm supror da ruía ambém hamado d Dsgualdad d Ludbrg é dado por: u p u 7 od u é a rsrva al da sguradora, é o of d ajus. 9

20 O parâmro só dpd do prosso d ssros agrgados da aa parâmros orrspodm ao prosso d Posso omposo a soma dos ssros., ujos Pla própra quação 7 prb-s qu quao maor o parâmro, mor s ora a probabldad d ruía. ss omporamo ra prvsívl uma vz qu a rlação r ssas gradzas sgu uma fução poal drs. A Fgura mosra um gráfo da oa supror da Dsgualdad d Ludbrg, rprsada pla lha polhada da probabldad d ruía u rprsada pla lha oíua om o apal al varado d a 5 udads moáras. s gráfo fo obdo osdrado as dzaçõs dvduas sgudo uma dsrbução poal / faor d arrgamo.. Obsrv qu om apal al prómo d zro, a probabldad d ruía s aproma d um, ou sja, s ora bm mas provávl. Ao aumar o apal al prb-s um damo a fução d probabldad d ruía. Pla aáls do gráfo, ambém prbmos qu a dsrbução d u é muo próma da oa p -u, sa promdad absolua auma om o aumo do apal al u. Podmos ão dzr qu u p -u. u u Fgura - Probabldad d ruía Dsgualdad d Ludbrg

21 Pod-s rprar omo sdo uma msuração do rso. Assm, quao maor for, mor s orará a oa supror para u. spramos qu u drsça om o aumo d. Para mlhor aáls, vja a Fgura 4. la, ós famos o valors para o of d ajus aalsamos a o lm supror da probabldad d ruía a parr da varação do apal al u. ss gráfo ão assummos huma dsrbução para os mpos d oorrêa dos ssros sus valors. Som varamos o apal al o valor do of d ajus aalsamos o omporamo da dsgualdad d u Ludbrg. Fgura 4 - Dsgualdad d Ludbrg om dfrs Cofs

22 . Ifluêa do apal al m odo o prosso d ruía obsrva-s a fluêa do mpo d oorrêa r ssros. sm áros qu podm mplfar sua mporâa. Podrá sr um áro ujo apal al d uma sguradora sja rlavam razoávl, mas o mpo r ssros sja uro. Assm, msmo om ss apal, a sguradora ão possurá mpo para arradar orbuçõs ssáras para pagar odas as dzaçõs, poddo rar m ruía. m oraparda, podrmos sar m um áro om bao apal al, mas om grad mpo r dzaçõs. ss aso, ssa sguradora podrá r mpo suf para osgur arradar as orbuçõs pagar as dzaçõs, quado ssas oorrrm. Já o apal al, pod sr d grad mporâa m suaçõs m qu ohmos a pror a dsrbução dos mpos d oorrêa d ssros. Uma vz ohda ssa dsrbução podmos balaar o apal al probabldad d ruía. A fluêa do apal al pod sr obsrvada a Fgura 5. As dzaçõs dvduas sgum uma dsrbução poal om parâmro /, faor d arrgamo. úmro médo d dzaçõs. Quao maor o apal al mor a probabldad d ruía, quao mor for o apal al maor é a probabldad d oorrr a ruía.

23 Fgura 5 - Probabldad d ruía d aordo om o apal al.4 Ifluêa do valor das dzaçõs o of d ajus sudamos arorm qu o mpo r oorrêa dos ssros o apal al d uma sguradora possum grad mporâa a possívl oorrêa d ruía. Vamos agora dr omo o valor das dzaçõs pod afar o prosso d ruía. É uvo psar qu quao maors são as dzaçõs, maor srá a probabldad d ruía. Pod oorrr, m algum momo, um ssro uja dzação sja ão ala qu a sguradora ão possua o apal ssáro para obr-lo. Tmos uma rlação posva r o valor das dzaçõs a probabldad d ruía. Irmos avrguar ss omporamo a Dsgualdad d Ludbrg supodo qu a dsrbução do valor d dzaçõs é poal om parâmro. Isso fo fo

24 dvdo à faldad m s obr fórmulas fhadas para a probabldad d ruía para o of d ajus quado usamos a dsrbução poal. Lmbr-s qu a spraça d uma dsrbução poal é o vrso dss parâmro. solvdo a quação 6, o of d ajus é dado a parr da quação abao: 8 A osa srá alulada a parr da rlação: 9 Od orrspod ao faor d arrgamo é o úmro médo d dzaçõs. Sjam os valors fos:. u= 4

25 Fgura 6 - Dsgualdad d Ludbrg varado valor médo do ssro A Fgura 6 aprsa a sgu rlação: Quao mor o valor d, maor é valor médo d dzação mor srá o of. Cosqum a oa supror srá maor, obrgado a sguradora adoar um valor d apal al maor, pos a probabldad d ruía aumou. Do msmo modo mos qu, ao aumar o valor d, mor srá o valor médo d dzação o of aumará orado o valor da dsgualdad mor. sumdo, quao maor o parâmro, maor o valor d, quao mor ss parâmro, maor srá a probabldad d rar m ruía. Ou sja, omo já sprado, o valor da dzação afará a probabldad d oorrr ruía. 5

26 .5 Cálulo da probabldad d ruía sa sção, aprsamos uma quação para a probabldad d ruía vual. A dmosração dssa fórmula sá o apêd dss rabalho. Fa laro qu a quação da probabldad d ruía vual, aprsada ada, ão g a sêa do of d ajusamo por osqüêa ão é ssáro sabr a fução gradora d momo da fução d dsdad das dzaçõs parulars Para o álulo da probabldad d ruía, dv-s orar uma quação gral para u assumdo qu os ssros agrgados sgum um prosso d Posso Composo. Podmos rsolvr ssa quação m asos m qu os valors dos ssros dvduas sgum uma dsrbução poal. A quação da probabldad d ruía dada por: d u u du u f u d F u ss po d quação é ohdo omo uma quação gro-dfral. m gral, é possívl orar uma solução pla para a quação u som om ras formas d F. A quação pod sr alulada para a probabldad da ruía o aso da ulzação da dsrbução poal. Dss modo, para os ssros sgudo uma dsrbução poal om méda, mos: u u, 6

27 4. Apromação da Probabldad d uía sm váras maras d s smar a probabldad d ruía m asos m qu a dsrbução ão sja poal. ss rabalho, sudarmos uma apromação ohda omo éodo d Vyldr vja D Vyldr, 978. A déa por rás do éodo d Vyldr é smpls. Supoha um prosso d rso { U, } m qu ós dsjamos alular a probabldad d ruía. ós podmos ~ apromar o prosso d rso por um prosso lásso { U, } qu possu as sgus ararísas: ~ ~ U u ~ S ~ { U u} O parâmro d Posso é ~ O prêmo por udad d mpo é ~ ~ A dsrbução do ssro dvdual é F ~, Os ovos parâmros para a fução d u, dsd qu a dsrbução do ssro a apromação do rso sja poal om parâmro ~, são obdos gualado os rês prmros momos do prosso qu samos rssados { U, } ~ lásso { U, }. om o prosso Supodo qu são os rlamos dvduas om dsrbução F, é o prêmo arradado por udad d mpo é o úmro médo d ssros mpo qu: Igualado os prmros momos: 7

28 8 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ S u S u U U Igualado os sgudos momos ulzado a dmosração da varâa d um prosso d rso mos qu: ~ ~ ~ ~ ~ p S V S V U U U U Igualado os rros momos: ~ ~ 6 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ p S S S S S u S u S u S u U U U U solvdo o ssma obmos: ~ 9 ~ ~ Logo, a apromação da probabldad d ruía é dada por: u V u ~ ~ ~ ~ ~ ~ O méodo D Vyldr é ohdo por aprsar bos rsulados quado s oh a fução gradora d momos. Gradll aalsou aravés d rsulados uméros algus méodos smpls d apromaçõs para a probabldad d ruía

29 vual vrfou qu a apromação d D Vyldr fo a qu aprsou mlhor rsulado. o aso m qu a dsrbução dos ssros é poal, é sprado qu a apromação d D Vyldr aprs rsulado ao. rao, m asos m qu a dsrbução ão é poal, a aplação dss méodo som é possívl quado sm os rês prmros momos. a dssração d Lmos8, s um sudo dssa apromação varado a dsrbução das dzaçõs dvduas. la adoa dsrbuçõs d audas psadas as omo Paro Wbull. ssas úlmas ão possum fução gradora d momos. la ambém aalsa ouros dos méodos d apromação. Ao omparar va smulação as rês apromaçõs, varado a dsrbução do valor das dzaçõs, ão fo obsrvada huma dsção a qualdad da smação. 9

30 5. odologa Dsvolvda 5. odlo Cosdr a quação d prosso d rsrva da soma das dzaçõs já dsro arorm: U u S S od S é a soma agrgada d dzaçõs, é o valor das dzaçõs dvduas, om dsrbução F osdrados omo varávs alaóras dpds. é um prosso d Posso om aa. O odlo Clásso osdra os valors das dzaçõs dpds, sdo somados gradavam d aordo om sua oorrêa. Sab-s qu, a práa, s dpdêa r sss valors. Ps por mplo m fazdas sdo afadas por uma gada. ss aso, a oorrêa d al vo pod oasoar daos m mas d uma apól, sdo sas dpds. É fa uma ova abordagm, osdrado ão, a oorrêa d vos as dzaçõs ausadas por ada vo. Ou sja, ao um vo aásrof qu gra város ssros, assoados om váras apóls, qu rbm dzaçõs. Para ada vo osdrado o prosso, srá uma apól qu rbrá dzação a prmra a oaar o sguro ouras possívs apóls afadas. Chamarmos d vos as aásrofs qu ausam daos às apóls. Assummos qu: é o úmro d dzaçõs aé o mpo, sgudo o odlo Clásso, srá o úmro médo d vos aé o mpo.

31 é o úmro d vos aé o mpo, srá o úmro médo d vos aé o mpo. é o úmro d dzaçõs assoadas por vo, srá o úmro médo d dzaçõs afadas por vo sm oar a prmra dzação. Logo, o úmro médo d dzaçõs oal srá a soma das o úmro médo d vos mulplado por um mas o úmro médo d dzaçõs para ada vo. o prosso d rso U, rprsarmos S omo o valor das dzaçõs agrgadas. ssa soma ão srá mas d ssros dvduas. Subdvdrmos o prosso m vos. Para ada um, srá oablzado o valor da dzação da apól qu aoou a sguradora mas as dzaçõs das ouras apóls afadas plo vo. forma: s rabalho propõ uma ova abordagm para o prosso d rso da sgu Y S 4 ~ Posso Y 5 od K são d om dsrbução F. ~ Posso

32 o modlo, o úmro d vo,, srá um Prosso d Posso o úmro d ouras possívs apóls qu sofrram daos dorrs d algum vo rá dsrbução d Posso. A varávl Y rprsa a prda oal oasoada plo -ésmo vo, sdo domposa o valor da dzação da apól qu aoou o sguro mas as somas das dzaçõs d possívs apóls afadas. A varávl rprsará o valor das dzaçõs dvduas om dsrbução F d a varávl rprsa a dsrbução do úmro d vzhos assoados por vo. 5.. Agrgação das dzaçõs por vo ss modlo sugr qu a rada das dzaçõs sja fa m bloos, a parr d oorrêa do vo. ão, quado s oorr, odas as apóls afadas rbrão suas rspvas dzaçõs sdo oablzadas o prosso. Som a oorrêa do prómo vo é qu havrá a rada d ouras apóls o prosso. Fmos, por mplo, o úmro médo d dzaçõs =. S o úmro médo d vo for =, ão, para ada vo rmos m méda =49 ouras apóls afadas, além daqula qu aoou a sguradora. Assm, o oal, rmos, m méda, as msmas m dzaçõs. Da msma mara, podríamos r um úmro médo d vo = o valor médo d ouras apóls afadas = além daqula qu aoou a ompaha, obdo-s o fal m dzaçõs. s úlmo áro é dêo ao odlo Clásso já moado, pos as radas das dzaçõs são fas dvdualm. A plação aror roduzu a déa d agrgação das dzaçõs por vo. Assm, om o úmro médo d dzaçõs fo, quao mor o, maor é o úmro

33 úmro médo apóls por ssro d dzaçõs rsulas por ada vo, ou sja, ada vz qu oorrr um vo, muas apóls srão afadas. m oraparda, quao maor o, mor srá o úmro médo d dzaçõs por vo. A Fgura 7 a Fgura 8 aprsam as dfrças das agrgaçõs dos vos. Famos o úmro médo d dzaçõs = varamos o úmro médo d vo d =4, a prmra fgura, para =, a sguda fgura. Obsrva-s qu, ao aumar o parâmro, a ofguração muda d agrgada om pouos vos oração d apól por vo para uform om mas vo pouas apóls por vo. Apóls afadas por ssro Ssro oorrdo o Tmpo Fgura 7 - Vsualzação do umro médo d apóls por vo: = =4.

34 úmro médo apóls por ssro Apóls afadas por ssro Ssro oorrdo o Tmpo Fgura 8 - Vsualzação do umro médo d apóls por vo: = =. 5. odlo Imag qu oorru uma gada m um lugar o ampo. ss modlo ambém assummos qu há uma fazda qu aoará o sguro para rbr sua dzação qu, juo a ssa prmra fazda, ouras fazdas ambém rbrão suas rspvas dzaçõs. É uvo psar qu fazdas mas prómas do loal od oorru a gada sofrrão daos maors omparados om aquls m fazdas mas dsas. Assm, o valor da dzação sá rlaoado om a dsâa rlava da fazda ao loal da gada. ssa ova abordagm os oduzrá a um modlo om sruura d dpdêa r valors d dzaçõs. Tal dpdêa pod sr osdrada spaal, já qu apóls vzhas rão valors d dzaçõs orrlaoados. 4

35 Vja as sgus dfçõs : U u S, S Y ~ Posso Assm omo o odlo Clásso, U rprsa o prosso d rsrva, S a soma agrgada d dzaçõs o úmro d vo aé o mpo. A varávl Y orrspod à soma d dzaçõs do -ésmo vo srá dfda omo: Y, od ~ Posso om dsrbução F d om dsrbução F. O parâmro é dfdo omo úmro médo d dzaçõs aé o mpo. O poo hav dss ovo modlo é a dsrbução da varávl. m ada aáls, rmos solhr dfrs dsrbuçõs para ssa varávl. Obsrv qu ao oorrr a -ésma gada vo, uma prmra apól aoa o sguro rb sua dzação doada por. As dmas apóls afadas rão suas dzaçõs pardas om a prmra apól dado qu sofrram do msmo vo. Por 5

36 ss movo, odoamos o valor dssas dmas apóls ao valor da prmra, sdo qu, m méda, srão pardas. Ulzarmos ambém um ovo parâmro s qu afa o valor dzaçõs vzhas d aordo om a dsâa qu as apóls são do ro do vo. ss parâmro arsa o modlo a déa d qu, quao mas afasada a fazda sá do loal od oorru a gada, mors srão os daos, osqüm, mor o valor d sua dzação. Vamos assumr qu a prmra apól qu aoou o sguro sá loalzada o ro da gada. Sja s s a dsâa da fazda ao ro da gada. Quao maor a dsâa s,mas s s apromará d zro osqum o valor da dzação srá m méda próma d zro. m ora parda, quao mor for s, s srá prómo d um o valor da dzação srá m méda gual à dzação da prmra apól qu aoou o sguro. Adoamos um modlo smpls m qu as fazdas são quspaçadas a parr do ro do vo. Iso mpla qu. s. Além dsso, assummos qu s, od s A Fgura 9 aprsa o omporamo do s : Fgura 9 - Comporamo do s s 6

37 O parâmro orrspod à orrlação spaal r as apóls qu vara d aordo om a ofguração spaal do áro m sudo. Pod-s sprar uma orrlação ala quado s um aglomrado d fazdas, uma orrlação baa s las s oram spaçadas. 5.. Cof d orrlação as Idzaçõs vzhas Drmamos arorm o omporamo do s assumdo qu as apóls são quspaçadas a parr do ro do vo. Assm, o of d orrlação spaal va os dzr o quao as apóls são pardas. Isso qur dzr qu s ss of for lvado, é provávl qu dado o valor da prmra dzação, sua prmra vzha rá um valor d dzação pardo. A sguda vzha rá a dzação um pouo mor qu a prmra vzha a rra vzha om uma dzação um pouo mor qu a vzha aror assm por da. S o of for pquo, as dzaçõs srão mas dfrs r s, do um maor damo d su valor ao logo da vzhaça. Irmos sudar o omporamo das dzaçõs vzhas varado o of d orrlação spaal as dsrbuçõs ulzadas. parâmros: Ulzamos para o valor da prmra dzação as sgus dsrbuçõs 7

38 ~ poa l ~ Paro 4, ~ Wbull.9, Dada a dsrbução solhda, ós varamos ambém a dsrbução dos valors das apóls vzhas da sgu forma: ~ poa l s ~ Paro ~ Paro.9, s 4, s o o o Os dmas parâmros são: = =. =.9, =.5 ou =. Os gráfos foram fos va smulação. Prmro smulamos o valor da dzação da prmra apól d aordo om a dsrbução solhda. Ulzamos o valor 8

39 smulado para grar o valor das dzaçõs vzhas. Isso fo fo porqu ss modlo assum qu os valors das dzaçõs vzhas são odoados ao valor da prmra dzação. ss mplo o úmro d vzhos fo fado m, para possblar a aáls do msmo úmro d apóls para odas as smulaçõs. S assumíssmos ss valor omo uma varávl alaóra, podram sr smulaçõs om zro vzhos, mpossblado a aáls dos valors das dzaçõs vzhas. Para ada áro, foram fas 5 smulaçõs. Cada smulação fo osdrada omo uma rajóra qu rprsa o omporamo das dzaçõs a parr d um msmo vo do msmo valor da prmra dzação vzho zro. Para falar as aálss, famos as salas do o y para ada valor d ulzado. a Fgura osdramos a dsrbução poal para a prmra dzação. Ao far o of d orrlação spaal. 9, podmos omparar o omporamo d ada dsrbução m um áro od as apóls são basa orrlaoadas. A dsrbução poal aprsou rajóras om maors varaçõs m oro da prmra dzação om város pos. ss omporamo apara sr alaóro, ou sja, o valor da prmra dzação ão fluou o valor das dmas dzaçõs. ão s obsrvou hum damo ao logo dos vzhos. A dsrbução d Paro dmosrou mor varação m oro da prmra obsrvação, ou sja, dada a prmra dzação, as sgus são basa pardas. Além da orrlação obsrvada, s um pquo damo dos valors ao logo dos vzhos pouos pos. A dsrbução Wbull aprsou mor varação r odas as dsrbuçõs. Como a dsrbução Paro, os valors das dzaçõs vão dado ao logo dos vzhos, mas ão aprsou pos. A sguda olua d gráfos rprsa um áro om baa orrlação spaal, ou sja, as apóls são pouo orrlaoadas, Para sso adoamos um of d orrlação spaal. 5. A dsrbução poal dmosrou um amo r os valors das dzaçõs om algus pos os prmros vzhos. O 9

40 omporamo das dsrbuçõs d Paro Wbull é basa pardo. Os gráfos aprsaram uma quda dos valors das dzaçõs om mors varaçõs omparadas à dsrbução poal. Dvdo à baa orrlação spaal, odas as dsrbuçõs vram suas dzaçõs ovrgdo para zro. fm, a rra olua rprsa um áro od as apóls são basa dfrs r s, ou sja,.. m odas as dsrbuçõs adoadas, s um for damo ao logo das dzaçõs das apóls vzhas. Como obsrvado arorm, a dsrbução poal ouou aprsado algus pos. 4

41 Fgura - Trajóra om ~ poa l. Os rsulados das rajóras das dzaçõs vzhas ulzado duas ouras dsrbuçõs para o valor da prmra dzação são guas ao aprsado a Fgura. Isso s dv ao fao d qu som fo grado um valor para a prmra dzação. smo ulzado a dsrbução Paro Wbull, ss úo valor smulado provavlm ão sra muo dfr. 4

42 5. odlo O rro modlo sugrdo ss rabalho é dado osdrado o prosso d rso { U, } : U u S, S Y ~ Posso od u é o apal al, é o prêmo obrado por udad d mpo, S é a soma agrgada d dzaçõs é o úmro d vo aé o mpo. A varávl Y orrspod à soma das dzaçõs do -ésmo vo srá dfda por: Y, od ~ Posso Tm dsrbução F o O parâmro rprsa a orrlação spaal do áro. Os valors das dzaçõs das apóls vzhas rão dar a parr da prmra apól pos a orrlação é smpr mor qu um. Quao mas prómo d um a orrlação for, mas pardos as dmas dzaçõs srão do valor da prmra apól. Do msmo modo, quado a orrlação é próma d zro, o valor das dzaçõs vzhas ará rapdam. 4

43 A Fgura mosra o omporamo do valor das dzaçõs o quado a prmra dzação d, o úmro d vzhos. Varamos o valor da orrlação spaal. 4, Fgura - Damo das dzaçõs o odlo om dfrs orrlaçõs spaas. ss modlo ão prsamos dfr a dsrbução das apóls vzhas, poddo assm som varar. 4

44 6. sulados 6. Par : A Dsgualdad d Ludbrg o Cof d ajus 6.. odlo Como já aprsado, a dsgualdad d Ludbrg é dada por: u p u O parâmro é o of d ajus orado rsolvdo-s a quação 6. parm qu la m o msmo formao do aso Clásso, om pquas modfaçõs d parâmros. 6 Y O parâmro é o úmro médo d vos, é uma osa qu rprsa o prêmo por udad d mpo Y rprsa a Fução Gradora d omos da varávl Y avalada m. O rss agora sra orar a ova fução gradora d momos da varávl Y m fução da fução gradora d momos das dzaçõs dvduas. Y Y Y. log.p{..p{. log } } Para álulos posrors, fo osdrada a dsrbução poal om parâmro para as dzaçõs dvduas Y. A fução gradora d momos é dada por: 44

45 45.. Y Para orar fo subsuída a fução ama a quação 6:.. Dfmos:. f Od: Srá fa a pasão d Taylor d sguda ordm d f avalada o poo. Sgudo Dso ad Wars 99,, é um valor al razoávl para o of d ajus m asos qu s dsja fazr uma pasão, o qu mpla um. Assm, as raízs são: a a a a A prmra raz é rval, a sguda é posva a rra é gava. Assm, usarmos a sguda raz orada pla pasão.

46 6... Agrgação das dzaçõs por vo a Dsgualdad d Ludbrg O uo dss sudo srá a aáls da fluêa da agrgação das dzaçõs por vo a dsgualdad d Ludbrg. Sja a dsgualdad dada por: u p u Obsrva-s qu o ívl da oa supror é afado plo valor d, ou sja, quao mor o valor d of, maor srá a oa. Do msmo modo qu quao maor o of, mor s ora a oa. Isso mpla qu rmos avalar o omporamo do of d ajus a parr da varação do úmro médo d vos, fado o úmro médo d dzaçõs. A Fgura aprsa os rsulados dssas varaçõs. Fo assumdo qu os vos sgum um prosso d Posso om parâmro o úmro d dzaçõs por vo sgu uma dsrbução d Posso om parâmro. Já o valor das dzaçõs sgurá uma dsrbução poal om parâmro um faor d arrgamo. Adoarmos os sgus valors: =/=.5 =. u= 46

47 Fgura - Ifluêa do úmro médo d vos a Dsgualdad d Ludbrg. Por rmos fado o úmro oal d dzaçõs, ao dmur o úmro d vos, o úmro d apóls afadas por ada vo auma d aordo om a quação. Fmos o úmro médo d dzaçõs urva pra. Ao dmur o úmro médo d vos d para 5 o lm supror da probabldad d ruía aum d. para.. Pod-s obsrvar o msmo omporamo quado adoamos dfrs valors d. Assm, dado um valor médo d dzaçõs fo, quao mor o úmro médo d vos, mor srá o valor do Cof d Ajus,, osqum, maor o valor da oa supror. Isso ararza um aumo o rso d oorrr ruía, obrgado a sguradora a adoar um valor d apal al maor. Oura mara d rprar ss rsulado sra qu, ao adoar ss méodo, a sguradora sara assumdo uma posura mas osrvadora, o sdo d prfrr um apal al maor ao sugrdo plo odlo Clásso. 47

48 6... O valor médo das dzaçõs a Dsgualdad d Ludbrg O valor das dzaçõs dvduas sgu uma dsrbução poal d parâmro. Já fo sudado arorm qu a probabldad d uma sguradora rar m ruía auma om valors d dzaçõs alos. Os parâmros ulzados foram: = =. u= ssa sção rá omo objvo avalar a fluêa da varação do parâmro a oa supror d ruía. A Fgura aprsa o rsulado sprado. Tmos qu, ao aumar o parâmro vrso do valor médo das dzaçõs, o of auma, rduzdo a oa supror. Isso sgfa qu quao maor é o valor médo das dzaçõs, maor é a probabldad d rar m ruía. 48

49 Ao far um valor d, obsrvamos o msmo omporamo dsro arorm, ou sja, quao maor é o umro d dzaçõs por vo, maor é a probabldad da sguradora rar m ruía. Fgura - Ifluêa do valor médo d dzaçõs a Dsgualdad d Ludbrg. 6.. odlo Para orar o of d ajus, é prso rsolvr a quação abao: Y Lmbrmos qu a varávl Y é dfda omo: Y 49

50 5 O parâmro é o úmro médo d vos, é uma osa qu rprsa o prêmo por udad d mpo Y rprsa a Fução Gradora d omos da varávl Y avalada m. Obsrv qu a osa sá rlaoado om o úmro médo d vo om o úmro médo d dzaçõs : Som por movos d lusração, adoarmos a dsrbução da varávl K dado omo:, ~ K s ormal od: s para > A fução gradora d momos da varávl Y é dada por: l. l......,,. d P f d P f Y Y Y Y Y y Dada a fução gradora d momos da Varávl, obm-s, a parr d álulos, a fução gradora d momos da varávl Y.

51 5 Y s od, Após os álulos obmos: _ s s s s Assm omo o odlo, a prmra raz é rval, a sguda é posva a rra é gava. Usarmos a sguda raz orada. O odlo pod sr osdrado smlha ao odlo, porém arsdo da dpdêa spaal do valor das dzaçõs. ssa dpdêa advém d uma dsrbução odoal do valor das dzaçõs d apóls qu sofrram prdas d um msmo vo, dado uma prmra dzação. s s s s

52 6... Agrgação das dzaçõs por vo a Dsgualdad d Ludbrg Vamos agora avalar o omporamo do of d ajus a parr da varação do úmro médo d vos fado o úmro médo d dzaçõs. A Fgura 4 aprsa os rsulados dssas varaçõs. Como o modlo aror assummos qu os vos sgum um prosso d Posso om parâmro o úmro d dzaçõs por vo sgu uma dsrbução d Posso om parâmro. Ada mos qu o valor das dzaçõs sgurá uma dsrbução poal om parâmro, um faor d arrgamo um of d dpdêa spaal. Couamos assumdo qu a dsrbução odoal das dzaçõs das apóls vzhas é ormal om méda s varâa. Adoarmos os sgus valors: =/=.5 =.. 7 u= 5

53 Fgura 4 - Ifluêa do úmro médo d vos O omporamo é o msmo aprsado a aáls om o odlo. obsrvar qu ao vararmos o valor d, oorrrá o msmo fo. Pod-s 6... O valor médo d dzaçõs a Dsgualdad d Ludbrg É mpora lmbrar qu o valor das dzaçõs dvduas sgu uma dsrbução poal d parâmro. sudamos arorm qu a probabldad d uma sguradora rar m ruía auma om valors d dzaçõs alos. Os parâmros ulzados foram: = =. 5

54 . 7 u= A Fgura 5 aprsa o rsulado dss modlo. Obvmos as msmas olusõs qu o méodo aror. Ao aumar o parâmro vrso do valor médo das dzaçõs, o of auma, rduzdo a oa supror. Assm, quao maor é o valor médo das dzaçõs, maor é o rso da sguradora rar m ruía. Fado o valor d, obsrvamos qu a probabldad d rar m ruía auma om o drésmo do úmro médo d vo. Fgura 5 - Ifluêa do valor médo d dzaçõs a Dsgualdad d Ludbrg. 54

55 6... Cof d orrlação spaal a Dsgualdad d Ludbrg O of d orrlação spaal drmará o quao as apóls do áro são agrgadas orrlaoadas. Como já moado, ofs prómos d um orrspodm a dsâas pquas r as loaldads das apóls. ss of srá mor s as apóls s orarm afasadas. Podmos obsrvar a Fgura 6 qu quao maor é o of, mor s orará o valor d, ararzado um áro om maor rso d ruía. Isso pod sr mlhor rprado fazdo-s uma aaloga om a suação m qu s m fazdas sdo afadas por uma gada. ssa suação, as prdas oorrdas as fazdas qu s loalzam prómas ao foo do vo rão maguds lvadas smlhas r s. m oraparda, fazdas qu s loalzam mas afasadas do foo do vo rão prdas mors m fução dssa dsâa. Fgura 6 - Ifluêa do valor do of d orrlação spaal 55

56 6.. odlo Clásso, odlo odlo Irmos agora omparar o omporamo dos rês modlos fado algus parâmros. = =. =.95 Para al proposa, rmos varar o úmro médo d vos d 5 para 95. sss úmros foram solhdos d forma possblar a aáls m dos áros basa dfrs. O prmro aprsa pouos vos, sdo qu ada um afa muas apóls. Já o sgudo áro possu muos vos, mas ada qual ausado pouas dzaçõs. As Fgura 7 Fgura 8 aprsam grads dfrças r os rês modlos. O odlo Clásso possu um ívl d oa supror mor do qu os ouros dos modlos. Além dsso, é possívl obsrvar qu o odlo é mas osrvador, uma vz qu possu uma oa supror mas lvada. 56

57 Fgura 7 - Comparação d odlos om 5. Ao aalsarmos as dfrças r as duas fguras, obsrvamos qu ao aumar o úmro médo d vos, ou sja, apromar os dos modlos para o odlo Clásso, ssas oas s apromam. 57

58 Fgura 8 - Comparação d odlos om Par: Apromação da Probabldad d uía ssa sção srá dsada à aáls omparava dos modlos proposos arorm m rlação à apromação da probabldad d ruía. Isso srá fo a parr d suposçõs sobr a dsrbução dos vos, da dsrbução do valor da prmra dzação da dsrbução da dzação das apóls vzhas dsrbuçõs odoas.trmos o oal o modlos ludo o odlo Clásso. Os parâmros ulzados srão solhdos om bas m argos lvros qu ulzaram smulaçõs d ruía. Vja por mplo Dso ad Wars omos do odlo 58

59 59 Calulamos abao os rês prmros momos da varávl Y o odlo. Para falar a oação, srá hamado d srá hamado d. Lmbrmos qu Y é dfdo omo: Y, od ~ Posso Tm dsrbução F São d om dsrbução F. Sja a fução gradora d momos d Y dada por: l. l......,,. d P f d P f Y Y Y Y Y y Para orar a apromação da probabldad da ruía, dvmos orar os rês prmros momos.. y Y 7. y Y 8

60 6 y Y omos do odlo Tmos o odlo qu: Y, od ~ Posso Tm dsrbução F o Podmos srvr da sgu forma: Y Os momos srão: log Y

61 6 log log Y log log log Y 6.. solha das Dsrbuçõs odlo : o d om dsrbução F a. odlo.: o om dsrbução l poa,, Paro ou, Wbull o d om dsrbução s poa l. odlo.: o om dsrbução l poa,, Paro ou, Wbull o d om dsrbução, s Paro. odlo.: o om dsrbução l poa,, Paro ou, Wbull

62 o odlo : d om dsrbução Wbull, s o om dsrbução. poa l, Paro, ou Wbull, Ulzamos as sgus paramrzaçõs das dsrbuçõs Paro Wbull rspvam:,, Quado é Paro: f, Quado é Wbull: f,,, 6

63 7. Aálss ós podmos omparar o omporamo dos modlos fado algus parâmros. Sja, =.. Adoalm, sja,. O valor da prmra dzação srá solhdo d uma das rês dsrbuçõs: ~ poa l ~ Paro 4, ~ Wbull.9, solhmos sss parâmros d forma a apromar os rês prmros momos das dsrbuçõs. Para o valor das dzaçõs das apóls vzhas usamos as dsrbuçõs: ~ poa l s ~ Paro 4, s ~ Wbull.9, s ós varamos o úmro médo d vos d 5 para 95. A solha dss parâmro prm a aáls do omporamo dos modlos quado ls s apromam d um áro uja ofguração é aqula prvsa plo odlo Clásso. O prmro aprsa pouos vos, sdo qu ada um afa muas apóls. Já o sgudo valor orrspod à oorrêa d muos vos, mas ada qual ausado pouas dzaçõs. Ada sobr os parâmros, varamos as orrlaçõs spaas d.9 para.. O prmro valor mpla m grad orrlação spaal r as apóls poddo sr dfada omo um aglomrado o spaço. O sgudo valor é bm mas bao rprsa um áro uja orrlação spaal r as apóls é fraa, ou sja, las s oram spaçadas. 6

64 7. Prmra dzação : ~ poal o Gráfo- da rro! Fo d rfrêa ão orada. ós podmos vr uma grad dfrça r o odlo, o odlo., o odlo., o odlo. o odlo m rlação ao odlo Clásso qu aprsou probabldads bm frors. ss gráfo m alo valor d rfr a um áro uja ofguração spaal mpla m apóls muo prómas. Assm, a oorrêa d um vo, falm spraríamos muas apóls afadas, já qu las são muo prómas. parâmro podra jusfar o fao d qu algus modlos aprsarm uma probabldad d ruía maor qu o odlo Clásso, pos ss úlmo ão globa m su álulo a orrlação spaal r as apóls. ss Fgura 9 - Comparação d odlos poas om orrlação spaal. 9 - Apromação da Probabldad d uía. Gráfo- : 5. Gráfo- :

65 o prmro gráfo ada vo é osdrado muo dvasador, pos dado o úmro médo d apóls afadas fado m, quao mor o parâmro úmro médo d vos, maor srá o parâmro úmro médo d apóls afadas por vo. Assm m asos d pouos vos, mas d sdad dvasadora, o odlo Clásso subsma o rso d uma sguradora rar m ruía. o sgudo gráfo da Fgura 9 forçamos uma ofguração gual ao odlo Clásso. Isso sgfa qu ada vo afa m méda uma apól ssas são osdradas ao logo do mpo uma por uma ão m bloos. Podmos ambém psar qu agora os vos são mos dvasadors, mas m oraparda, o úmro d oorrêas srá maor. ssa suação, prbmos qu odos os modlos s apromam da probabldad d ruía dada plo odlo Clásso. ss rsulado mosra qu m suaçõs om muos vos, mas om mor sdad, o odlo Clásso aprsa o msmo omporamo dos ouros modlos sugrdos. o Gráfo- Gráfo- da Fgura rabalhamos om um áro om uma ofguração spaal orára aos dos prmros gráfos. la as apóls s oram dsas umas das ouras. Quado oorr um vo, spra-s qu pouas apóls sjam afadas dvdo à grad dsâa r las. o Gráfo- prbmos qu som o odlo o odlo. s dsaaram. ls aprsam valors mas lvados para a probabldad d ruía. O odlo aprsa aam os msmos valors omparados ao Gráfo-, pos l ão lva m osdração a orrlação spaal do áro. O odlo. ulza a dsrbução poal para as dzaçõs dos vzhos om méda gual ao valor da prmra dzação o ro do vo. O odlo., o odlo. o odlo são um pouo ama da urva da probabldad do odlo Clásso. Podmos osdrar qu sss dos modlos sofrm maor fluêa da ofguração spaal do qu plo omporamo dos vos. o Gráfo- da Fgura o omporamo d odos os modlos s aproma ao do odlo Clásso. Assm, quado mos um áro om baa orrlação spaal om vos afado pouas apóls, odos os modlos são adquados. 65

66 Fgura - Comparação d odlos poas om orrlação spaal. - Apromação da Probabldad d uía. Gráfo- : 5. Gráfo- : Prmra dzação : ~, Paro a Fgura podmos obsrvar o omporamo da probabldad da ruía varado o úmro médo d vos quado a dsrbução da prmra dzação é Paro. Como o prmro gráfo da Fgura 9, o odlo, o odlo., o odlo., o odlo. o odlo faram basa ama do odlo Clásso. ss é o áro om for orrlação spaal grad aglomração das dzaçõs. o Gráfo- as urvas vram uma apromação sgfava m drção ao odlo Clásso, mas ada s oram m rgõs mas lvadas. Podmos psar qu, msmo forçado as dzaçõs a hgarm dvdualm o mpo aumado o úmro médo d vos dmudo o úmro d vzhos afados por vos, os modlos ouam sdo fluados plo fo da ala orrlação spaal. 66

67 Fgura - Comparação d odlos Paro om orrlação spaal. 9 - Apromação da Probabldad d uía. Gráfo- : 5. Gráfo- : 95. o Gráfo- da Fgura, o odlo., o odlo. o odlo. vram um damo m rlação ao Gráfo- da Fgura. Como já moado, o odlo ão sofr fluêa da orrlação spaal. Ada obsrvamos qu o odlo. sá ama dos ouros modlos, qu ss gráfo aprsam mors rsulados. ss é o msmo omporamo qu já obsrvamos o Gráfo- da Fgura. O odlo. é mas afado pla mudaça a ofguração spaal do qu pla svrdad dos vos. Já os modlos qu assumm dsrbução odoal Paro ou Wbull o odlo aprsam rsulados muo smlhas sofrm maor fluêa do úmro d vzhos do qu plo valor do of spaal. Por ss movo ls vram uma quda m sua urva. o Gráfo- os modlos odm s apromam da urva do odlo Clásso. ls ada são m uma rgão mas lvada, mas sso é dvdo à ulzação da dsrbução d Paro para a prmra dzação. 67

68 Fgura - Comparação d odlos Paro om orrlação spaal. - Apromação da Probabldad d uía. Gráfo- : 5. Gráfo- : Prmra dzação : ~, Wbull a Fgura Fgura 4 adoamos qu a dsrbução da prmra dzação é Wbull. Os rsulados são basa pardos om aquls obdos quado usamos a dsrbução Paro, prpalm quado aalsamos o prmro gráfo. o Gráfo- da Fgura odos os modlos faram ama do odlo Clásso. o Gráfo- os modlos s oram pardo s apromam um pouo do odlo Clásso, ou sja, quado as dzaçõs aom dvdualm, a probabldad d ruía dmu. As urvas dos modlos sugrdos ss rabalho ada são m uma rgão mas lvada, mas sso é dvdo à ulzação da dsrbução d Wbull para a prmra dzação. 68

69 Fgura - Comparação d odlos Wbull om orrlação spaal. 9- Apromação da Probabldad d uía. Gráfo- : 5. Gráfo- : 95. Fgura 4 - Comparação d odlos Wbull om orrlação spaal. - Apromação da Probabldad d uía. Gráfo- : 5. Gráfo- :

70 Som o Gráfo- da Fgura 4 podmos rparar alguma dfrça m rlação á ulzação da dsrbução Wbull. Obsrvamos o áro om baa orrlação spaal, pouos vos om muos vzhos afados por ada vo, o odlo. sá ama do odlo. Os ouros modlos obvram rsulados mors muo pardos. O Gráfo- aprsou os msmos rsulados qu o Gráfo- da Fgura. 7

71 8. Colusão A ruía ararza a ausêa d apal d uma sguradora. m algum momo, fo ou ão, a sguradora ão rá apal suf para pagar odas as dzaçõs. o odlo Clásso, as oorrêas das dzaçõs são dpds dam dsrbuídas. Assm omo sua oorrêa, su valor ambém possu ssas proprdads. Todas as apóls srão oablzadas o sa m qu sofrram os daos. Sab-s qu as dzaçõs são ausadas por dvrsos vos. Assm, ada vo afa um drmado úmro d apóls, orado os valors das rspvas dzaçõs rlgados. A ada vo oorr srão afadas mas apóls, assm, o dorrr do mpo, ada rmos o msmo úmro d apóls osdradas o odlo Clásso. Todo modlo saíso ada mas é do qu uma rprsação da raldad. Porao, ao adoarmos um modlo para aáls d uma suação qualqur, dvmos sar s d suas lmaçõs. Ao adoarmos dpdêa spaal para aáls do prosso d ruía, prourou-s adoar mas raldad ao odlo Clásso. o ao, d mara alguma prourou-s sgoar om s rabalho a dsussão sobr o assuo. o odlo sugrmos qu as dzaçõs rm m bloos. Cada bloo orrspod a um vo, sdo qu sss om odas as apóls qu foram afadas. Assm, oluu-s qu as sguradoras dvm sr mas osrvadoras, adoado um apal al maor qu aqul sugrdo plo odlo Clásso. ss sdo, quao mas as dzaçõs form agrgadas pouos vos, mas ada um afado muas apóls maor srá a probabldad d ruía. o odlo, fzmos uma adapação do prmro, arsado dpdêa spaal. Assm, quao mas prómas do foo do vo são as apóls afadas, maor srá su valor d dzação. Do msmo modo, quao mas dsa, mors srão os daos ausados plo vo. Assm omo o modlo aror, obvmos 7

72 rsulados qu obrgam a sguradora a omar mddas qu prvam o rso d ruía. ss aso, srá mas prud adoar ambém um apal al maor qu o sugrdo plo odlo Clásso. Coluímos qu o odlo Clásso, ao gorar a dpdêa r os mpos d oorrêas r os ssros, a dpdêa dos valors das dzaçõs ausadas por um msmo vo o áro m qu s oram as apóls, subsma o rso da sguradora rar m ruía. Ardamos qu ss rabalho aprsou déas rsulados mporas a ára d sguro, poddo sr d grad uldad para ompahas d sguros agríolas. spramos qu osso rabalho ajud spr ovos sudos sobr a Tora da uía. 7

73 7 9. Apêd ss apêd om as prpas dmosraçõs do rabalho.. Um prosso S é hamado d Prosso d Posso Composo s: S od } { } é um prosso d Posso homogêo } { é uma varávl alaóra oíua posva dpd dam dsrbuída dpd d } {. p S Prova da spraça: p P P P P S p p p p V V S V Prova da varâa: S S S V Calulado S :

74 74 p p p V P P V P V P P S Subsudo a quação da varâa mos: p p p p p S S S V log r r S Prova da fução gradora d momos: log log r P P r P P P r r r r r r r r S S. O of d ajus é orado a parr da quação: O parâmro rprsa o úmro médo d ssros, é uma osa qu rprsa o prêmo por udad d mpo rprsa a Fução Gradora d omos da varávl avalada m.

75 ssa quação possu uma úa raz ral posva qu sasfaz a gualdad, dpdm da dsrbução d ssro. Prova: Dfa h omo: h Tmos h.. Isso mosra qu s uma raz rval gual a zro. Calulado a drvada oramos: h h p Provamos qu h é sram posva o poo zro, pos a drvada da fução avalada ss poo é posva. h Como a sguda drvada é gava, a fução é ôava do a sguda raz posva m.. A dsgualdad d Ludbrg é dada por: u p u od u é a rsrva al da sguradora, é o of d ajus. O parâmro só dpd do prosso d ssros agrgados da aa parâmros orrspodm ao prosso d Posso omposo a soma dos ssros., ujos 75

76 Prova da Dsgualdad d Ludbrg: Como ós samos rabalhado om mpo oíuo omo a aa d prêmo arradado é posva, a ruía pod som oorrr o mpo d um ssro. Vamos dfr u omo a probabldad d ruía as ou aé o -ésmo ssro. ão, u lm u. Prsamos mosrar qu u p u val para odos os valors d vamos provar sso por dução. Vamos assumr qu, para um valor parular valor d, u p u. ós podmos orar uma prssão para osdrado o mpo o moa do prmro ssro. u Supoha qu o prmro ssro oorra o mpo >, qu sua dzação é. Tmos ão as sgus possbldads: - uía oorru o prmro ssro, ou sja, u ou - uía ão oorru o prmro ssro, assm o rsulado da rsrva d rso é posva dado por um ovo apal al. u. A ruía oorrrá aé os prómos ssros om Dsd qu { } sja um prosso d Posso, a dsrbução do mpo do prmro ssro ambém rs os ssros é poal om parâmro. Assm mos qu: d d u u f d d f u u od a prmra gral rprsa a probabldad do prmro ssro oorrr aé o mpo, qu ss ssro aus ruía. o qu mos usado o fao da dzação d qualqur ssro sr dpd do mpo m qu o ssro oorr. A sguda gral rprsa a probabldad do prmro ssro oorrr aé o mpo, 76

77 77 dl ão ausar ruía da ruía oorrr a parr d uma rsrva u aé os prómos ssros. Por suposção mos qu p z z, assm: d d f d d f u u u u Ulzado o fao d u, mulplado ss faor dro da prmra gral udo as duas gras mos qu: d d f d d f u u u Subsudo a quação 4: u u u u d d d f d d f u Para omplar a prova por dução, ós vamos agora mosrar qu o rsulado é vrdadro para =. d d f d d f d d f d d f dd f f T u P T P U u u u u u u u T

78 Ulzado a msma mara quação 4 mos qu: u u u f d d d u u f d d Isso ompla a dução. 4. A quação da probabldad d ruía é dada por: d u u du u f u d F u Prova da quação da probabldad d ruía: As d rsolvr o problma, vamos psar m uma suação bm mas smpls déa. Sja a quação para a probabldad d ruía aé o prmro sa d mpo gual a dada por: u P[ U U ]. P ruía om U U U P[ U U ]. P ruía om U U U WLSH,986. A quação ama é ohda omo uma quação dfral. GITT ad Para o álulo d ruía rmos osdrar o mpo omo sdo d o lugar d. Assm, a rsrva da sguradora dpdrá do úmro d ssros qu oorrrm o rvalo d mpo oíuo [,d] dos valors dsss ssros. Os mpos os quas os ssros oorrm sgu um Prosso Posso om parâmro. Dssa mara, o úmro d ssros qu oorr o rvalo [,d] é: 78