O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO APLICADO À ANÁLISE NÃO-LINEAR DE PLACAS

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1 O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO APLICADO À ANÁLISE NÃO-LINEAR DE PLACAS Gabrla Rzd Frads & Wlso Srgo Vtur Rsumo Nst trabalho, dsvolv-s uma formulação lar d plaas através do Método dos Elmtos d Cotoro, basada a tora lássa d Krhhoff, od a tgração uméra, sobr os lmtos do otoro, é fta osdrado-s a téa d sublmtos. Estd-s ssa formulação à aáls ão-lar d plaas d orto armado, através da lusão d um ampo d momtos as, od as tgras d domío são aluladas aproxmado-s o ampo d momtos as m élulas tras. Cosdram-s dos modlos osttutvos para o orto: um lastoplásto, od o rtéro utlzado é o d Vo Mss, sm osdrar rsstêa à tração, quato qu o outro é o modlo d dao d Mazars. A dstrbução das tsõs é aproxmada, m uma sção qualqur da plaa, por potos dsrtos, qu sgudo um squma gaussao, prmt a tgração uméra para o álulo dos sforços. Em ada poto, osdrado ao logo da spssura, vrfa-s o modlo osttutvo adotado. Numa prmra aproxmação, osdra-s qu a lha utra é dfda pla suprfí méda da plaa, uma aproxmação sgut, a posção da msma é alulada d tal forma qu a força ormal rsultat sja ula. Palavras-hav: Método dos lmtos d otoro; aáls ão-lar; flxão d plaas. INTRODUÇÃO Grad part dos problmas m ghara aprsta omplxdad a gomtra do sóldo ou é osttuído d matras ujas ls osttutvas são bastats omplxas. Assm sdo, as soluçõs aalítas dos msmos, qu orrspodm às soluçõs xatas, são pratamt mpossívs d srm obtdas, sdo tão ssáro a obtção d soluçõs aproxmadas através d métodos uméros, od faz-s também smplfaçõs as ls osttutvas dos matras a gomtra do sóldo. O objtvo do trabalho proposto é aprstar modlos, qur sja lastoplásto ou d dao, qu rprstm bm o omportamto do orto armado, para a aáls ão-lar d flxão smpls d plaas dlgadas d orto armado, através do Método dos Elmtos d Cotoro (MEC). Doutor m Eghara d Estruturas - EESC-USP, gabrf@bol.om.br Prof. Ttular do Dpartamto d Eghara d Estruturas da EESC-USP, vtur@s.usp.br Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos, v. 7,., p. 9-6, 5

2 Gabrla Rzd Frads & Wlso Sérgo Vtur A formulação d plaas utlzada é basada a tora d Krhoff, od a solução ão-lar do problma é obtda osdrado-s um modlo basado o prosso dos momtos as, utlzado-s o Método d Nwto-Raphso Modfado. A dstrbução ão-lar das tsõs ao logo da spssura da plaa, é obtda através d um modlo stratfado, od s mpõ qu a força ormal rsultat o orto armado dv sr ula. Para o orto, srão osdrados dos modlos bdmsoas: o modlo d dao d MAZARS (984) o modlo lastoplásto om ruamto sótropo gatvo, usado o rtéro d Vo-Mss, od srá osdrado qu o orto tm rsstêa somt à omprssão. Para a armadura srá osdrado um modlo lastoplásto udmsoal om ruamto sótropo postvo. A tgração uméra srá fta através da fórmula da quadratura d Gauss, od srá usada a téa d sub-lmtos, a fm d s obtr uma mlhor prsão os rsultados. Os lmtos do otoro srão lars, sdo qu os dsloamtos sforços os msmos srão aproxmados por uma fução polomal do sgudo grau. Os momtos as o otoro o domío da plaa srão aproxmados por fuçõs lars dfdas m élulas tras. Est trabalho rprsta o ío d um programa mas omplto para a aáls d pavmto d dfíos, tabulro d pots outros, sdo suft para tal a mposção d odçõs tras ao lmto d plaa a assoação do msmo a outros lmtos struturas através do aoplamto om o Método dos Elmtos Ftos. TEORIA DE PLACAS DEGADAS. Rlaçõs básas da Tora d Krhhoff Plaa é um lmto strutural aratrzado por aprstar duas das três dmsõs muto grads m omparação om a trra ujo arrgamto é trasvrsal à sua suprfí. Assm, a rprstação gométra adotada para a plaa é bdmsoal, sdo os xos artsaos x x dfdos m sua suprfí méda. A plaa é osdrada sujta à flxão smpls, sto é, la ão suporta forças ormas, sdo submtda apas à argas trasvrsas, ou sja, parallas à x. As hpótss d Krhhoff prmtm dsprzar as dformaçõs d salhamto trasvrsal, γ γ, a tsão ormal σ. Portato, olu-s qu as ompots d tsão τ τ são ulas a dformação ε ão srá osdrada a formulação do problma, pos omo a ompot d tsão σ é dsprzada, o produto σ. ε, qu apar a quação (4) srá smpr ulo. Quado o poto prt à suprfí méda da plaa, tm-s qu u = u = u = w, sdo qu o dsloamto u é domado d flha w. Os dsloamtos u u, d um poto d ota x, o tsor d dformaçõs são dados por: u ε = x w, ( =,) () = x w, (, j =,) () Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos,v. 7,., p. 9-6, 5

3 O método dos lmtos d otoro aplado à aáls ão-lar d plaas Tm-s um aso d stado plao d tsão o qual, osdrado-s a l d Hook, é dado por: σ Ex ( ν ) [ νw δ + ( ν) w ] = kk,, (, j, k =,) () od ν é o oft d Posso do matral, E é o módulo d lastdad logtudal do matral δ o dlta d krokr. Itgrado-s as tsõs ao logo da spssura x, obtêm-s os momtos por udad d omprmto: [ ν, δ ( ν), ] M = D w + w (, j, k =,) (4) kk Et od D =, rprsta a rgdz à flxão da plaa, sdo t a spssura da ( ν ) plaa. As urvaturas são dadas por: w, w, w, = ν M ν M t E ( + ν) M (5) Cosdrado-s um arrgamto dstrbuído g fazdo-s o qulíbro das forças vrtas dos momtos m toro d x x, obtêm-s duas rlaçõs d qulíbro: Q, + g= ( =,) (6) M, Q = (, j =, ) (7) j Drvado-s a quação (4), obtém-s o sforço ortat osdrado-s as quaçõs (6) (7), obtém-s a quação dfral d plaas m fução dos momtos: Qj = M, = Dw, kkj (, j, k =,) (8) M, + g = (, j =,) (9) Drvado-s a quação (8) osdrado-s a quação (9), obtém-s a quação dfral d plaas m fução dos dsloamtos trasvrsas: g w, kkll = () D Nos problmas d plaas, as ógtas do otoro são aluladas sgudo o sstma d oordadas (,s), sdo a drção ormal ao otoro s a drção tagal ao msmo. Assm, o momto fltor M, o momto volvt M s o sforço ortat Q são dados por: Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos, v. 7,., p. 9-6, 5

4 Gabrla Rzd Frads & Wlso Sérgo Vtur M M Q = M (, j =, ) () j = M s () s j = Q () Nos problmas usuas d plaas, têm-s o varávs: o dsloamto trasvrsal w da suprfí méda, a sua drvada w / aos sforços M, M s, Q dos potos do otoro da plaa. Como a quação dfral é d quarta ordm, pods tr apas quatro varávs, das quas duas dvm sr dadas omo odção d otoro, sto é, dvm tr sus valors prsrtos. Assm, a fm d lmar uma varávl, KIRCHHOFF (85) dmostrou qu as odçõs d otoro rlatvas à força ortat Q ao momto M s podm sr agrupadas m uma úa odção, rlatva a um sforço V, qu é domado força ortat quvalt é dado por: M s V = Q + (4) s Nos atos da plaa apar uma rsultat ão ula dvdo às raçõs d apoo orrspodts a ada lado, domada ração d ato é dada por: R = M M + s s (5) + od M s ato. M s são, rsptvamt, os momtos volvts postror atror ao. Equação dfral sforços m oordadas polars Ess srá o sstma d oordadas usado a formulação do problma, pos é o mas ovt para s obtr rspostas dvdo a argas potuas, qu orrspod ao aso do arrgamto fudamtal. Assm, um poto P d oordadas ( x, x ) pod sr dfdo m fução d r θ, qu são rsptvamt, a dstâa dst poto à orgm do sstma d oordadas ( x, x ) o âgulo tr o sgmto OP o xo Ox (vr fgura ). r t X r s r t r β α r P r R Cotoro da plaa θ X Fgura - Vtors s o Poto P do Cotoro da Plaa Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos,v. 7,., p. 9-6, 5

5 O método dos lmtos d otoro aplado à aáls ão-lar d plaas od =osα, =sα; s = -sα, s = osα; R é o rao da urvatura do otoro o poto P t é o vrsor prpdular à drção d r, ujos ossos drtors são dados por: t = r, = sθ (6.a) t = r, = osθ (6.b) A quação dfral m oordadas polars é dada por: 4 w = dw dw dw dw = dr r dr r dr r dr g D (7) Os sforços as drçõs x x são dados por: dw [ δ ν ( ν)( r r )] δ ν ( ν)( tt) [ ] M D dw = +,, j + + j dr r dr (8) dw dw dw Qj = Dr, j + dr r dr r dr (9) Os sforços m rlação ao sstma d oordadas (, s) são: dw [ ν ( ν)( r ) ] ν ( ν)( r s ) [ ] M D dw = +, + +, dr r dr () dw dw M D( s = ν )( r, )( r, j sj ) dr r dr () dw dw dw Q = D( r, ) + dr r dr r dr () d w d w dw V D( = )( r ) ( sjr j) + dr r dr ν,, + ν r dr ( ) + 4 sr j, j dw dw r dr r dr D( ν) dw dw + [ ( sr, ) ] R dr r dr () EQUAÇÕES INTEGRAIS PARA FLEXÃO DE PLACAS SUJEITAS À CARREGAMENTOS TRANSVERSAIS As quaçõs tgras qu dfm o problma srão obtdas a partr do prmro Torma d BETTI (87), qu rlaoa dos stados dsttos d tsão dformação xstts um sóldo (plaa) d domío fto, ausados por dos arrgamtos ão smultâos. O msmo é dado pla sgut xprssão: Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos, v. 7,., p. 9-6, 5

6 4 Gabrla Rzd Frads & Wlso Sérgo Vtur σ ε dv = σ ε dv (, j, =,, ) (4) v v Assm, solhdo-s omo stado aqul rlaoado ao problma fudamtal, ada a sr obtdo, omo stado aqul rlaoado ao problma ral fazdo-s a tgração das tsõs ao logo da spssura, o torma pod sr srto m fução d tgras sobr o domío da sgut forma: M w, dω = Mw, dω (5) Ω Ω Dss modo, osdr uma plaa sótropa qualqur d otoro domío Ω, a qual stá otda m outra, d domío fto Ω otoro oform a fgura (). Df-s omo problma fudamtal, o aso d uma arga trasvrsal utára g aplada m um poto géro q do domío fto Ω, domado domío fudamtal, qu provoará, m um poto p qualqur da msma, um dsloamto trasvrsal w, um stado d tsão σ um stado d dformação ε. O poto q é domado poto d arrgamto ou poto fot o poto p poto d dsloamto ou poto ampo. O tro do sstma d oordadas polars (vr fgura ) od om o poto q. Assm, a dstâa tr os potos q p é dada por: [ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ] r = x p x q + x p x q (6) Ω x x x Ω g Ω δ( qp) Fgura - Plaa d Dmsõs Ftas, Cotda m uma Plaa Ifta A arga g é dfda através da dstrbução dlta d Dra, dotada por,, ujas proprdads são: g = δ ( q, p) = para p q para p q (7) ( p) ( q, p) dω ( q) φ δ = φ (8) Ω Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos,v. 7,., p. 9-6, 5

7 O método dos lmtos d otoro aplado à aáls ão-lar d plaas 5 sdo Φ uma fução otíua qualqur. Obsrvado-s as proprdads, dadas plas quaçõs (7) (8), olu-s qu a rsultat do arrgamto dfdo por δ( qp, ) sobr o domío fudamtal é uma força utára aplada o poto q, ou sja: ( ) δ qpd, Ω = (9) Ω O problma ral é aqul rlatvo a um arrgamto g qualqur dstrbuído m uma ára d domío Ω g, otda o domío Ω da plaa fta. Do msmo modo, o arrgamto g provoará m p um dsloamto trasvrsal w, um stado d tsão σ um stado d dformação ε. Itgrado-s por parts duas vzs a quação (5) osdrado-s a quação ( 8), obtém-s a quação tgral do dsloamto trasvrsal d um poto do domío da plaa: wq ( ) V( qpwp ) M ( qp) w N + ( ) P d P, ( ), ( ) + ( ) ( ) R q, P w P = = ( ) ( ) ( ) + V P w q P M P w qp d P, ( ), ( ) + ( gpw ( ) ( qp, )) dω g ( p) Ω g = N R P w q P + = ( ) (, ) Os dsloamtos sforços rlatvos ao problma fudamtal são fuçõs do poto q d aplação da arga do poto p d dsloamto do domío; s ss últmo stvr o otoro da plaa, é rprstado por P. Já aquls rlatvos ao problma ral são fuçõs apas do poto p, pos a posção dst arrgamto é fxa. A solução fudamtal orrspod ao dsloamto w d um poto p, qu é ausado por uma arga utára trasvrsal aplada m q. É obtda, substtudo-s g pla dstrbução dlta d Dra m (7). Nss trabalho adota-s a msma solução fudamtal utlzada por CHUEIRI (994), qu é dada pla sgut sprssão: () w = D r 8π lr () Para obtr-s a xprssão da rotação fudamtal para um poto p, basta drvar a xprssão () m rlação a. Drvado-s (.5), a partr d (), () (), pod-s obtr as xprssõs dos sforços fudamtas, sgudo um sstma d oordadas (, s) qualqur (Fgura ). Assm, a rotação os sforços fudamtas são: w r = l ( ) πd rr, 4 () M [( ) r ( = + ν l + ν)( r, ) + ν 4π ] () M ( s = ν )( r, )( r, j sj ) (4) 4π Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos, v. 7,., p. 9-6, 5

8 6 Gabrla Rzd Frads & Wlso Sérgo Vtur r, V = + 4πr + ν 4πR [ ] ( ν)( r, s ) ν ( r, s ) j j (5) od ( p) ( ) ( ) r x p x q r, = = r r, r é dado por (9), s stão dfdos a fgura (). Para o aso m qu o otoro da plaa é aproxmado por lmtos rtos, a urvatura R m qualqur poto do otoro td ao fto. Nss aso, a xprssão d V passa a sr: V r = ν + ν (6) 4πr, ( )( r, j sj) A ração d ato, rfrt ao problma fudamtal, é dada por: R = M M ( + ) ( ) s s (7) No aso do poto prtr ao otoro, o msmo srá dotado por Q. Assm, a fm d srvr-s a quação () para o poto Q, tora-s o msmo tror ao domío plo arésmo d um otoro rular ξ, trado m Q, om rao ξ, pla rtrada da parla do otoro, omo é dado a fgura (). O ovo otoro srá dado por + ξ o poto Q srá do otoro quado o rao ξ o otoro tdrm à zro. Portato, o dsloamto w(q) do poto Q srá alulado a partr da quação (), fazdo-s = + ξ os lmts d ξ tdrm à zro. x x Q d ξ = ξdφ ξ r = ξ r = r β C dφ φ Q r s Ω s Fgura - Cotoro Crular Arsdo a um poto Q d um Cato da Plaa Dss modo, obtém-s a quação tgral d um poto do otoro, dada a sgur: Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos,v. 7,., p. 9-6, 5

9 O método dos lmtos d otoro aplado à aáls ão-lar d plaas 7 KQwQ ( ) V( QPwP ) M ( QP) w ( ) ( ) P + d P, ( ), ( ) + N + R Q P w P = (, ) ( ) N + R ( P) w( Q, P) + = = ( ) ( ) ( ) + V P w Q P M P w QP d P, ( ), ( ) ( gpw ( ) ( Qp, )) dω g ( p) Ω g (8) od: KQ ( )= β π π KQ ( ) = = π s o poto Q od om um ato, s o poto Q ão od om um ato. Para a aplação do Método dos Elmtos d Cotoro é ovt trasformar as tgras d domío qu aparm as quaçõs () (8), orrspodts às fluêas do arrgamto dstrbuído a ára Ω g, m tgras sobr o otoro g, od a msma stá dstrbuída. Assm, utlzado-s a rlação d trasformação d oordadas dada por d rdr r, Ωg = R d g, admtdo-s qu a arga g(p) var larmt a rgão Ω g fazdo-s a tgração m rlação a r, obtém-s: Ωg ( ) Ω ( ) gpw ( ) Qpd, p gq ( ) D R R = l r, d + π 4 g g g ( θ+ θ) 4πD R l R A os B s r, d g g (9) od R é o valor d r para um poto qualqur do otoro g gq ( ) = Ax( q) + Bx ( q) + C, orrspodt ao valor d g o poto q. 4 MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO APLICADO A PROBLEMAS DE PLACAS SUJEITAS A CARGAS TRANSVERSAIS O Método dos Elmtos d Cotoro osst a dvsão do otoro da plaa m sgmtos, domados lmtos d otoro, sobr os quas as varávs w, w/, V M são aproxmadas por fuçõs trpoladoras, dfdas m fução d potos prvamt solhdos m ada lmto, dtos ós ou potos odas. Assm, as quaçõs tgras trasformam-s m quaçõs algébras, qu são srtas m fução dos valors das varávs os ós do otoro, portato, são domados d valors odas. Nss trabalho, a gomtra dos lmtos srá rprstada por uma fução lar, sto é os lmtos srão rtos, omo stá dado a fgura (4): Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos, v. 7,., p. 9-6, 5

10 8 Gabrla Rzd Frads & Wlso Sérgo Vtur X ξ=+ ξ=- ξ= P j l X Fgura 4 - Gomtra do Elmto od é o ó al do lmto ao qual P prt, é o ó fal do lmto, l é o omprmto do lmto, ξ, l l. =ξ l (4.a) l d =d ξ (4.b) Da fgura (4), têm-s qu as oordadas do poto P são dadas por: X X ( P) ( P) = φ ( P) φ ( P) g g X X g( P) g( P) φ φ X X (4) od : φ g são as fuçõs trpoladoras qu são dadas por: φg ( P ) = ( ξ), (4.a) φg ( p ) = ( ξ) +, (4.b) X N é a oordada a drção do ó N, ξ é a oordada homogêa do poto P, N T { } X X X X X = é o vtor dos valors odas das oordadas. As varávs são aproxmadas por fuçõs polomas quadrátas, portato são ssáros três potos odas m ada lmto, qu são dfdos omo stá dado a fgura (5). Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos,v. 7,., p. 9-6, 5

11 O método dos lmtos d otoro aplado à aáls ão-lar d plaas 9 Fução quadráta ξ = φ φ φ U ou P U ou P U P P ou P ξ P ξ = x ξ = x l l P U ou P x x Fgura 5 - Fuçõs d Forma m Aproxmação Quadráta das Varávs Dss modo, pod-s xprssar os vtors d dsloamtos u d um poto P qualqur do lmto, da sgut forma: d sforços p T N up ( ) =φ ( PU ) (4) T N pp ( ) =φ ( PP ) (44) ou, xpltamt: U U u P P P P U up ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = φ u ( P) φ φ ( P) ( P) ( P) φ φ φ U U U P P p ( P) ( P) ( P) ( P) P pp ( ) = = φ p ( P) φ φ ( P) ( P) ( P) φ φ φ P P P (45) (46) od: U N P N são os dsloamtos sforços a drção do ó N, u = w =flha, u = w = rotação, p = V = ortat quvalt, p = M =momto a drção ormal ao otoro, φ são as fuçõs trpoladoras quadrátas, dadas por: Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos, v. 7,., p. 9-6, 5

12 4 Gabrla Rzd Frads & Wlso Sérgo Vtur φ( P ) = ξ( ξ), (47.a) φ ( P ) = ξ, (47.b) φ ( P ) = ξ( + ξ), (47.) Para rprstar a dsotudad das varávs, qu oorr m stuaçõs od há varação rpta das odçõs d otoro tr dos lmtos osutvos, omo oorr os atos, dfm-s ós duplos, qu são dos ós dfdos om as msmas oordadas. Cotudo, para sr possívl rprstar a dsotudad, dv-s srvr duas quaçõs dpdts para o poto od há dsotudad. Uma das maras para s obtr sso é mudado o poto d oloação d lugar, sto é, as oordadas do ó duplo são raluladas, d tal forma qu l s tor tro ao lmto ão mas odt om sua xtrmdad, tão, srv-s a quação para ss ovo poto. Dss modo, o lmto qu possur um ó duplo srá um lmto dsotíuo. Fazdo-s a dsrtzação do otoro m N lmtos, substtudo-s as varávs por suas aproxmaçõs m ada lmto dadas por (4) (44), a quação (8) fa: od: ( ) N j KQwQ ( ) + h( QU ) N j= N j N + R ( Q, P) w ( P) = = j N = g ( Q) Pj + R ( P) w ( Q, P) + t(q) (48) j= N = j T h ( Q) = p( Q, P) φ ( P) d, (49) j T g ( Q) = u ( Q, P) φ ( P) d (5) tq ( ) = gpw ( ) ( Qpd, ) Ω g ( p) Ω g p ( Q, P) = V ( Q, P) M ( Q, P) { } u ( Q, P) = w ( Q, P) ( QP, ) w, (5) Cosdrado-s o poto d oloação m Q, soma-s as fluêas h j ( Q) g j ( Q) d todos os lmtos, agrupado-s os ofts multplatvos d um msmo valor odal, para todos os ós do otoro. Assm, pod-s srvr a quação (48) matralmt: od: ^ KQwQ ( ) ( ) + HQU ( ) + H( Qw ) = GQP ( ) + G( QR ) + TQ ( ) (5) Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos,v. 7,., p. 9-6, 5

13 O método dos lmtos d otoro aplado à aáls ão-lar d plaas 4 T w w N w U = w... w... w é o vtor dos valors odas dos dsloamtos do otoro da plaa, T N N P = V M... V M... V M é o vtor dos valors odas { } dos sforços do otoro da plaa, T w = w... w... w { N} T R = { R... R... R } ^ HQ ( ), GQ ( ), são vtors d dmsão x N, N N é o vtor dos dsloamtos os atos, é o vtor das raçõs d ato, H ( Q ) G ( Q ) são vtors d dmsão x N, N, o úmro d ós do otoro da plaa, N,o úmro d atos. Dv-s obsrvar qu o dsloamto w(q) pod sr srto m fução dos dsloamtos odas U N j do lmto ao qual prt. Cosdrado-s qu para todo ato, df-s três potos odas ( ós duplos um ó d ato), o poto do otoro Q trá agulosdad somt s for um ó d ato. Assm, s o ó ão for ^ duplo ão for um ó d ato, tm-s qu somar KQ ( ) = 5. ao trmo HQ (, Q ) do sstma d quaçõs, qu é o trmo rfrt ao dsloamto w do ó Q, sdo Q o úmro do ó o otoro. No aso d Q sr um ó duplo, l é lvado para dtro do lmto o dsloamto do msmo é srto m fução dos valors odas do lmto, através da quação (4). Nss aso, tm-s também qu KQ ( ) = 5. ^ portato, dv-s somar 5. φ ao trmo HQ (, NO ), qu é o trmo rfrt ao dsloamto w do ó, od =,, ; No é o ó do lmto ao qual Q prt (vr fgura 6) φ são as fuçõs d forma dadas por (47). Logo a quação (5) fa: HQ ( ) U+ H( Q) w = GQ ( ) P+ G( Q) R + TQ ( ) (5) S Q é um ó d ato, a quação d dsloamto é dada por: ^ KQw ( ) ( Q) + HQ ( ) U+ H ( Q) w = GQ ( ) P+ G ( Q) R + T( Q) (54) ^ od os vtors HQ ( ), H ( Q), GQ ( ) G Q ( ) o oft T ( Q)são alulados, ^ rsptvamt, d mara aáloga a HQ ( ), H ( Q ), GQ ( ), G ( Q ) TQ ( ), dados a quação (5). Nss aso também, pod-s somar a ostat KQ ( ) = β / π ao oft ^ H ^ ( Q, Q) da matrz H ( Q), qu é o oft qu multpla o dsloamto w do ato osdrado. Portato, a quação (54) fa: Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos, v. 7,., p. 9-6, 5

14 4 Gabrla Rzd Frads & Wlso Sérgo Vtur HQU ( ) + H( Q) w = GQP ( ) + G( QR ) + T( Q) (55) a b l j Q Nó d ato A Nó smpls Nós duplos d Nó d ato A A d d Fgura 6 - Potos d Coloação od: d = alm (56) sdo l m a méda dos omprmtos dos lmtos oorrts o ó, ou, s o ó for tro ao lmto, é gual ao omprmto do msmo;. a. 5 para vtar problmas uméros l j é o omprmto do lmto j. Têm-s duas ógtas odas m ada poto do otoro uma m ada ato, portato é ssáro srvr duas quaçõs para ada ó do otoro uma para ada ato, para qu sja possívl s obtr a solução do problma. O sstma d quaçõs podrá sr obtdo d duas maras (vr fgura 6): o aso a srá srto a quação d w m ada poto do otoro Q m su rsptvo poto xtro A o aso b, a msma srá srta m dos potos xtros A A. A tgração uméra, m ambos os asos, srá fta usado a téa d sub-lmtos. Assm, para ada ó smpls ou duplo do otoro, tm-s dos potos d oloação para ada ó d ato, tm-s um poto d oloação. Em ada ato são dfdos três potos odas ( ós duplos um ó d ato), o qu rsulta m 5 potos d oloação, omo stá dado a fgura (6). Para s obtr a solução ão-lar do problma ou a solução lar osdrados momtos as, é ssáro qu o domío sja dsrtzado m élulas, as quas o ampo d momtos as srá aproxmado. Como ss trabalho a tgração uméra das élulas ão fo fta osdrado-s a téa d sub-lmtos, o lmt fror d a (quação 56) dv sr.. Ao srvr a quação (8) para um poto xtro, o su prmro trmo srá ulo, dvdo à proprdad da fução dlta d Dra, dada por (7), qu mpla m: δ( APwPd, ) ( ) Ω( P) =, (57) Ω pos, m Ω tm-s qu δ(, ) AP =. Assm, a quação matral do dsloamto para um poto xtro, é aáloga à quação (5), osdrado-s K(A)=. Dss modo, srvdo-s a quação d dsloamto para todos os potos d oloação, rfrts aos ós smpls, duplos d ato, obtém-s o sgut sstma d quaçõs: Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos,v. 7,., p. 9-6, 5

15 O método dos lmtos d otoro aplado à aáls ão-lar d plaas 4 H H H H U G w G = G G P T R T + (58) od: H G são submatrzs d dmsão N x N smpls duplos orrspodts às varávs odas; H T G smpls duplos orrspodts às varávs dos atos; H rfrts às quaçõs dos ós são submatrzs d dmsão N x N, rfrts às quaçõs dos ós é o subvtor d dmsão N x, rfrts às quaçõs dos ós smpls duplos;, G, H G são submatrzs rfrts às quaçõs srtas os atos da T G têm dmsão N x N H G são quadradas d ordm N ; é o subvtor d dmsão N x, rfrt às quaçõs srtas os atos da plaa. H plaa. Após a mposção das odçõs d otoro, o sstma (58) pod sr rsolvdo, obtdo-s, tão, os dsloamtos sforços ógtos os ós do otoro atos da plaa. Após a dtrmação dos dsloamtos sforços o otoro da plaa, é ssára a obtção dsts valors para os potos do su tror. O dsloamto w(q) d um poto tro é dado pla quação (). Assm, srvdo-s a msma para N potos tros fazdo-s a dsrtzação do otoro a aproxmação das varávs, d forma smlhat ao qu fo fto para obtr a quação (5), os dsloamtos w dos potos tros são dados pla quação matral: od: o vtor wq w( q) + H ( q) U+ H ( q) w = G ( q) P+ G ( q) R + T ( q) (59) ( ) otém os valors dos dsloamtos w dos potos tros tm dmsão N x, os vtors {U}, {w }, {P} {R } são os vtors d dsloamtos sforços dos ós atos do otoro, já alulados, as matrzs [H ] [G ] têm dmsõs N x N sus ofts são obtdos por (49) (5),rsptvamt, as matrzs [ H ] (5), o vtor T [ G ], têm dmsõs N x N são smlhats às da quação ( q) tm dmsão N x, é smlhat ao da quação (5). O álulo dos momtos M para um poto tro é fto a partr da quação (4), a qual as urvaturas w, são obtdas drvado-s a quação () do dsloamto w(q) m rlação às drçõs x x. Assm, a quação das urvaturas, a forma matral, é dada por: Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos, v. 7,., p. 9-6, 5

16 44 Gabrla Rzd Frads & Wlso Sérgo Vtur ( ) w, q + p( q, P) u( P) d( P) + p q, P w P = N = ( ) ( ) = u ( q, P ) p ( P ) d ( P ) + R P u q, P + N = ( ) ( ) T wq ( ) wq ( ) wq ( ) od: w, ( q) = V V p( q, P) = V Ω g M ( qp, ) ( qp, ) M ( qp, ) ( qp, ) x M ( qp, ) ( qp, ) ( ) Ω ( ) gp ( ) w qpd, p g g (6) (6) (6) T w u ( P) = { u ( P) u ( P} = w( P) ( P ) R q P R q P R q P T p q P = (, ) (, ) (, ) (, ) w w ( qp, ) ( qp, ) x x x x w w u( q, P) = ( qp, ) ( qp, ) w w ( qp, ) ( qp, ) x x x x { } { } (6) (64) (65) T p ( P) = p( P) p ( P) = V( P) M( P) (66) u w w w w ( q, P) = ( qp, ) ( qp, ) ( qp, ) w w w ( q, P) = ( qp, ) ( qp, ) ( qp, ) T T g od os sforços fudamtas stão dadas as quaçõs () a (7). Após a dsrtzação do otoro a aproxmação das varávs, as urvaturas m N potos tros são aluladas através da quação matral: U P w, ( q) + H'( q) H' ( q) w G'( q) G' ( q) R T'( q) = + (69) od: w, ( q) é o vtor qu otém as urvaturas os potos tros, (67) (68) Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos,v. 7,., p. 9-6, 5

17 O método dos lmtos d otoro aplado à aáls ão-lar d plaas 45 as matrzs [H ] [G ] têm dmsõs N x N [H ], [G ] têm dmsõs N x N. Os ofts d [H ] [G ] são provts das tgras sobr os lmtos do otoro dsrtzado xprssas m (49) (5), porém om p( q, P) u( q, P) dfdos m (6) (65). A força ortat Q j é alulada a partr da quação (8), od a quação d w, kkj, é obtda drvado-s a quação (6) das urvaturas. Assm, após a dsrtzação do otoro a aproxmação das varávs, os valors d w, kkj m N potos tros são aluladas através da quação: U P w, kkj ( q) + H'( q) H' ( q) w G'( q) G' ( q) R T'( q) = + + (7) od as matrzs H ' G' têm dmsõs N xn H' G' têm dmsõs N xn. Os momtos m um poto do otoro Q srão alulados m fução dos valors odas d dsloamtos sforços do lmto ao qual prt. Assm, sja o sstma loal d oordadas ( x, x) d um lmto qualqur do otoro, od x od om a drção ormal x om a drção tagal s. Os valors odas d M M já foram obtdos através da solução do sstma d quaçõs (58). Logo, = dv-s dtrmar as ompots dos momtos M M m rlação ao sstma loal, tão, através da rotação do sstma d oordadas, obtrm-s sts valors m rlação ao sstma global (X, X ). A partr da quação (9), pod-s obtr o momto M m fução da drvada, m rlação à x, da rotação w/ = w/ M m fução da drvada sguda da flha w m rlação à x. Assm, fazdo-s as drvadas ssáras das fuçõs trpoladoras dadas plas quaçõs (47), hga-s à: M M D( ν) ( ξ ξ) w ( ξ ξ ξ) w ( ξ ξ) + + l ξ ( ) ξ ξ ξξ ξ( ξ ξ) ( ν ) l ξ ( ξ ξ ) ξξ ξ ( ξ ξ ) = D = w (7) w w w M + ν (7) od ξ =- ξ =+ são as oordadas homogêas dos ós, rsptvamt (vr fgura 5) ξ é a oordada admsoal do poto P. A trasformação do vtor d momtos o sstma loal ( x, x) para o sstma global (X, X ), qu é dada por: M M M s α s αos α os α M = sαosα os α + s α sαosα M os α s αos α s α M (7) Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos, v. 7,., p. 9-6, 5

18 46 Gabrla Rzd Frads & Wlso Sérgo Vtur Fazdo-s M = M substtudo-s os valors d M M, dados por (7) (7), rsptvamt, a quação (7) obtêm-s os momtos o poto Q m fução dos dsloamtos sforços odas do lmto j ao qual prt. Após aoplar todos os lmtos qu ompõ o otoro, hga-s à quação matral d momtos para N potos do otoro, qu é dada por: U P M+ H''( q) H'' ( q) w G''( q) G'' ( q) R T''( q) = + + (74) od: as matrzs [H ] [G ] têm dmsõs N x N, [H ], [G ], têm dmsõs N x N, mas são matrzs ulas. Na motagm dstas matrzs para os ós omus a dos lmtos dsttos, qu ão sjam ós duplos, adota-s a méda tr os ofts rlatvos a ada um dos lmtos. Para os asos m qu o poto d arrgamto ou poto d oloação ão prt ao lmto a sr tgrado, as tgras sobr os lmtos podm sr aluladas umramt. Como o aso d uma quação rlatva a um poto tro, qur sja a d dsloamto (59), a d urvaturas (69) ou a da drvada das urvaturas (7), o poto d arrgamto tro q ão prt a hum lmto do otoro, as tgras sobr os lmtos qu aparm as msmas podrão smpr sr ftas umramt. O msmo oorr om a quação d dsloamto srta para um poto d arrgamto xtro A. Cotudo, quado o poto d arrgamto é um poto do otoro Q, as tgras somt podrão sr ftas umramt, s o msmo ão prtr ao lmto osdrado. A tgração uméra é fta pla fórmula d quadratura d Gauss, qu é dada pla sgut xprssão: Ng f( ξ) dξ = f( ξ ) W = (75) od f( ξ ) é a fução a sr tgrada, srta m rlação à oordada ξ, N g é o úmro d potos d tgração, ξ é a oordada admsoal do poto d tgração, dfda m fução do N g, W é o fator podrador, também dfdo m fução d N g. Os trmos do vtor d argas T, qu são obtdos a partr d (5), através da tgração sobr os sgmtos lars m qu o otoro g do arrgamto é dvddo, também podm sr ftas umramt, através da quação (75). Para s tr uma boa prsão o álulo, a dstâa tr o poto d oloação o poto médo do lmto ão pod sr muto grad quato mor ssa dstâa, maor dv sr o úmro d potos d Gauss usados a tgração. Com sso, a tgração uméra é fta osdrado-s a téa d sub-lmtos, qu osst m dvdr o lmto osdrado a tgração, m sub-lmtos, d modo qu a dstâa tr o poto d oloação o poto médo do msmo ão sja mor qu o su omprmto, omo é mostrado a fgura (7). Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos,v. 7,., p. 9-6, 5

19 O método dos lmtos d otoro aplado à aáls ão-lar d plaas 47 lj a d d d ϕ rs d d A Fgura 7 - Dvsão d um Elmto m Sub-lmtos od rs é a dstâa ao ó al do sub-lmto, a é o omprmto do sublmto, lj é o omprmto do lmto j, ϕ é o âgulo tr rs o lmto j. S ϕ 6 o, o omprmto do sub-lmto srá tal qu form um trâgulo sósls tr o su ó al, su ó fal A (Fgura 7), portato srá dado por d= rs/ osϕ. S ϕ>6 o, o omprmto do sub-lmto srá gual à dstâa tr A o ó fal do sub-lmto atror (Fgura 7). O sub-lmto trá um sstma d oordadas homogêas quvalt ao utlzado para o lmto (Fgura 4), od a oordada admsoal srá dada por η. O úmro d potos d Gauss usado a tgração d ada sub-lmto srá dfdo m fução da dstâa rs (vr fgura 7) do omprmto do sub-lmto a do sgut modo: s rs a NG = 8, s a < rs a NG = 4 s rs > a NG =. As oordadas artsaas dos potos d Gauss são aluladas a partr das oordadas artsaas dos ós do sub-lmto d η, omo da a quação (4). Etão, a partr das oordadas artsaas, dtrma-s a oordada ξ IG do poto d Gauss m osdração, sdo ξ a oordada admsoal rlatva ao sstma loal do lmto. Com ξ IG dtrma-s o valor das fuçõs d forma φ, φ φ, dadas plas quaçõs (47), falmt faz-s o álulo do tgrado. Logo, a fução é alulada da sgut mara: l/ l/ a / Nsub Nsub Nsub g a a Fφdj = Fφd = Fφdη= ξ φ ξ = a / = = IG= N ( F( ) ( )) IG W IG (76) A téa d sub-lmtos é mprgada as tgras sobr os lmtos sobr o otoro do arrgamto, qu aparm a quação d dsloamto d um poto tro, d um poto xtro ou d um poto do otoro, também as quaçõs das urvaturas drvadas das urvaturas d potos tros. Quado o poto d oloação Q prt ao lmto a sr tgrado, as fuçõs fudamtas volvdas as tgraçõs aprstam sgulardads. Nsss asos, as tgras dvm sr ftas aaltamt. Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos, v. 7,., p. 9-6, 5

20 48 Gabrla Rzd Frads & Wlso Sérgo Vtur 5 PROBLEMA DE PLACAS COM CAMPO DE MOMENTOS INICIAIS Até aqu, dsvolvu-s o quaoamto da solução lar do problma d plaas dvdo a um arrgamto géro trasvrsal. Cotudo, dtro da solução lar, dv-s osdrar também a possbldad d oorrr momtos as dorrts d ampos d dformaçõs as, tas omo o fto d tmpratura ou rtração. Além dsso, os momtos as dvm sr osdrados para a obtção da solução ão-lar do problma, omo srá vsto adat. 5. Equaçõs tgras om ampo d momtos as Supodo-s qu xsta, além do arrgamto trasvrsal, um ampo d dformaçõs as, o tsor d dformaçõs pod sr srto omo: ε = ε + ε (77) od: ε é o ampo d dformação total, ε é a ompot lásta dvdo ao arrgamto ε é o ampo d dformaçõs as. Cosdrado-s qu as dformaçõs stão rlaoadas às urvaturas w,, através da quação (), obtém a xprssão das tsõs m fução das urvaturas. Fazdo-s tão, a tgração dstas tsõs ao logo da spssura da plaa, obtém-s o ampo d momtos qu atua a plaa, qu é dado por: M = M M (, j =, ) (78) od: M são os momtos lástos dvdo às tsõs totas, é dado por: [ ν, ( ) kk δ ν, ] M = D w + w (79) M é o ampo d momtos as, dado por: M t/ = σ t/ x dx (8) A partr da quação d qulíbro (7), podm-s obtr os sforços ortats, drvado-s a quação (78). Assm, tm-s: Q = M = Dw, M (, j, k =, ) (8) j, kkj, Drvado-s a quação (8) substtudo a quação d qulíbro (6), hgas à quação dfral d plaas, volvdo os momtos as: ( M ) kkll w, = D g, As quaçõs tgras podm sr obtdas a partr do torma d rprodad d Btt (quação 4), d forma aáloga ao qu fo fto o tm (). Dss modo, tm-s: (8) Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos,v. 7,., p. 9-6, 5

21 O método dos lmtos d otoro aplado à aáls ão-lar d plaas 49 Ω (, ) Ω = (, ) M w d M w dω Ω (, j =, ) (8) Dsvolvdo-s os dos mmbros dsta quação, através d tgração por parts, smlhat ao qu fo fto o tm (), obtém-s a quação tgral do dsloamto d um poto q do domío da plaa: wq ( ) V( qpwp ) M ( qp) w N + ( ) P d P, ( ), ( ) + R q, P w P = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) + V P w q P M P w N qp d P, ( ), ( ) R ( P) w ( q, P) + = + gpw ( ) qp, dω p M ( p) w, ( q, p) d Ω ( p) (84) ( ( )) g ( ) Ω g Ω ( ) D forma aáloga ao tm (), pod-s obtr a quação tgral d dsloamto para um poto Q do otoro, qu é dada por: KQwQ ( ) V( QPwP ) M ( QP) w N ( ) ( ) P d P +, ( ), ( ) + R( Q, P) w( P) = = ( ) ( ) ( ) + V P w Q P M P w N QP d P, ( ), ( ) R ( P) w ( Q, P) + + ( gpw ( ) ( Qp, )) dω g ( p) Ω g ( ) = M ( p) w, ( Q, p) d Ω ( p) Ω As quaçõs (84) (85) são guas, rsptvamt, às quaçõs () (8), a mos do trmo qu volv os momtos as M. O álulo dos momtos M para um poto tro é fto a partr da quação (78), od as urvaturas w,, qu aparm a xprssão d M, são obtdas drvado-s a quação (84) do dsloamto w(q) m rlação as drçõs x x. Assm, a quação das urvaturas, é dada por: = = (85) ( ) wq ( ) ( kl kl ) wq = j j j Ω M ( p) w, ( q, p) dω( p) (86) ( ) wq od: é a solução sm osdrar momtos as, dada por (6). j O trmo da quação (86) qu volv os momtos as aprsta sgulardads. A fm d lmar tas sgulardads, a msma srá alulada osdrado o prodmto aprstado por MIKHLIN (96), o qual também fo adotado por BUI (978), TELLES & BREBBIA (979), RIBEIRO (99) CHUEIRI (994). Dss modo, a quação das urvaturas pod sr srta da sgut mara: Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos, v. 7,., p. 9-6, 5

22 5 Gabrla Rzd Frads & Wlso Sérgo Vtur ( ) wq ( ) wq = j j q p M p d p g q M, q kl (, ) kl ( ) Ω( ) ( ) kl kl ( ) Ω (87) od:, kl ( q, p) = w, kl ( q, p) (88) g q = kl ( δ kδ lj + δ lδ kj + δ klδ ) 8D (89) A força ortat Q β, m rlação a uma drção x β (β =, ), é alulada a partr da quação (8), od o valor d w, kk β, é alulado drvado-s a quação (87) das urvaturas d um poto tro. Nss aso, também, a tgral qu volv os momtos as aprsta sgulardads. Assm, utlzado-s o msmo prodmto tado atrormt, a quação das drvadas das urvaturas pod sr srta omo: ( ) wq ( ) wq β( q) = β( q) k k k k ( ) βkl ( qpm, ) kl ( pd ) Ω( p) q ( β q ) (9) Ω wq od β ( q) k rprsta a solução sm osdrar momtos as, k q ( β q )= ( ) D x q M ( q ) + M ( q ) (9) β ( ) βkl ( q, p)= w, mmkl qp β ( q) (, ) (9) 5. Equaçõs algébras D mara aáloga ao qu fo fto o apítulo (4), pod-s trasformar as quaçõs tgras obtdas o tm (5.) m quaçõs algébras, através da dsrtzação do otoro m lmtos do domío m élulas, as quas srá aproxmado o ampo d momtos as por fuçõs trpoladoras lars Ψ(p). Obtêm-s, assm, as tgras das fuçõs volvdas sobr ada lmto d ára. Nst trabalho, adotam-s élulas d forma tragular (Fgura 8), qu são dfdas, d modo a volvr todos os potos do otoro tros. Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos,v. 7,., p. 9-6, 5

23 O método dos lmtos d otoro aplado à aáls ão-lar d plaas 5 Célula Ω m x Ω m k ( M k ) k ( M k ) x k k k k ( M k ) Fgura 8 - Dvsão do Domío da Plaa m Células Tragulars a Varação dos Momtos Ias m uma Célula A gomtra da élula é aproxmada por uma fução d trpolação lar ψ g, qu é fução d oordadas homogêas. O ampo d momtos as M sobr ada élula srá aproxmado por uma fução d trpolação lar ψ. Na tgração uméra das élulas adota-s um squma sm-aalíto d tgração (vr fgura 9), utlzado por TELLES & BREBBIA (979) VENTURINI (98). x x ξ ξ = k R (θ) R (θ) θ ξ = k k ξ θ r θ p ξ = q θ od R j ( θ) = são dados por: sdo: Fgura 9 - Sstma d Coordadas Clídras Aξ q α α α ( b os θ + a s θ) Dss modo, os momtos as M T ( N) sdo j =, para α = j =, para α =,. ( p), m um poto p qualqur da élula, M ( p) =Ψ ( p) M (9) T M ( p) { M ( p) M ( p) M ( p) } o poto p, = o vtor qu otém os momtos as Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos, v. 7,., p. 9-6, 5

24 5 Gabrla Rzd Frads & Wlso Sérgo Vtur T Ψ ξ ξ ξ, (94) p p p p p p = ξ ξ ξ p p p ξ ξ ξ p = q + r α + a α α α ξ ξ ( θ θ) A b α α α ξ α ( ) q = + p + p os s (95) A A b X a X, a k j = X X k X j = A j k k j = X X X X A é a ára do trâgulo, qu é dada por: A = ( b a b a ) T on ( ) ( k) ( k) ( k) M = M M M k, k ) da élula a qual o poto p prt. o vtor dos momtos as os ós (k, Assm, utlzado-s ss squma, as tgras sobr as élulas são aluladas umramt m rlação a θ, mprgado-s a fórmula d quadratura d Gauss. Dsrtzado-s o otoro da plaa m N lmtos aproxmado-s os valors dos dsloamtos sforços os msmos, omo fo mostrado o tm (4), dvddo-s o domío m N élulas aproxmado-s os momtos as as msmas, obtém-s: [ ] ( ) ( ) KQwQ ( ) = KQwQ ( ) [ ] od: KQwQ ( ) N m= Ω m T k Q P P d p ( N) (, ) Ψ ( ) Ωm ( ) M (96) m ( ) orrspod à quação d w(q) do problma sm osdrar momtos as, dada por (48) w w w k( Q, p) = ( Qp, ) ( Qp, ) ( Qp, ) Após fazr a tgração uméra sobr todos os lmtos todas as élulas, agrupado-s os ofts multplatvos d um msmo valor odal, srvdo o dsloamto w(q) m fução dos dsloamtos do lmto ao qual prt, omo é mostrado o tm (4), pod-s srvr a quação (96), rfrt ao dsloamto d um poto do otoro, m sua forma matral da sgut mara: HQ ( ) U+ H( Q) w = GQ ( ) P+ G( Q) R + TQ ( ) + EQ ( ) M od: () T () M = M ()... M... =... M... é o vtor dos momtos as () M os ós do otoro do domío tm dmsão (N t ) x, od N t é o úmro d potos do otoro N mas o úmro d potos tros N, (97) Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos,v. 7,., p. 9-6, 5

25 O método dos lmtos d otoro aplado à aáls ão-lar d plaas 5 EQ ( ) rprsta a fuêa do ampo d momtos as sobr o valor do dsloamto w(q) do poto do otoro. Proddo-s d mara aáloga pod-s obtr as quaçõs algébras das urvaturas, das drvadas das urvaturas do dsloamto os potos tros. Como fo vsto o tm (4), o sstma d quaçõs pod sr obtdo d duas maras dfrts. Assm, srvdo-s duas quaçõs do dsloamto trasvrsal w orrspodts a ada ó do otoro uma para ada ato, obtém-s o sstma d quaçõs: H H H H U W G G = G G P T E R T E M + + (98) od M é o vtor dos momtos as, d dmsão N t x, E é uma sub-matrz d dmsão N x N t, assoada às duas quaçõs d ada ó do otoro, E é uma sub-matrz d dmsão N x N t, assoada às quaçõs dos atos Com a rsolução do sstma (98) obtém-s as ógtas do otoro. O momtos lásto o otoro a drção x é dado por M = M + M as ompots M M são dadas rsptvamt por (7) (7). Dss modo, srvdo-s M m fução dos momtos as o sstma global d oordadas (X, X ) fazdo-s a trasformação d oordadas dada por (7), obtêm-s os momtos do otoro o sstma (X, X ). Para s obtr um prodmto uméro mas ovt para a aáls ão lar, são ftas opraçõs matras sobr as quaçõs, vsado-s dxar os trmos rfrts aos momtos as solados. Dss modo, as ógtas do otoro são dadas por: X = L+ RM (99) od R L rprsta a fluêa dos momtos as os dsloamtos do otoro rprsta a rsposta lásta, sm osdrar os momtos as. Pod-s srvr a quação dos momtos lástos do otoro a quação dos momtos lástos os potos tros m uma msma quação matral. Assm, os dsloamtos os potos tros, os momtos lástos m todos os potos da plaa as drvadas das urvaturas os potos tros são dados por: wq ( ) = L + R M M = N+ SM w, kk β = N+ SM () () () Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos, v. 7,., p. 9-6, 5

26 54 Gabrla Rzd Frads & Wlso Sérgo Vtur 6 SOLUÇÃO NÃO-LINEAR DE PLACAS SUJEITAS A CARGAS TRANSVERSAIS A solução d um problma ão-lar é rmtal-tratva dpd da hstóra do arrgamto. É rmtal, pos o álulo é dvddo m város rmtos d arga, para prmtr a aproxmação larzada do fômo. É tratva, porqu m um rmto d arga, a solução ão-lar é obtda após traçõs, quado o qulíbro da strutura tha sdo vrfado, om um rro atávl. S o prosso ão ovrgr dtro d um lmt máxmo d traçõs prstabldo, osdra-s qu a strutura ão é mas apaz d otrar um stado d qulíbro, sto é, a arga lmt fo ultrapassada. No trabalho d OWEN& HINTON (98) stá dtalhada a abordagm uméra qu fo mprgada o prst trabalho. 6. Modlo stratfado Admt-s qu a plaa é dvdda m amadas, as quas podm tr spssuras proprdads dfrts, osdrado-s, porém, ostats as proprdads sobr ada amada, omo é mostrado o trabalho d FIGUEIRAS (98). O álulo m amadas é mportat uma aáls ão-lar, pos prmt rprstar a dstrbução ão-lar das tsõs ao logo da spssura é ssal a aáls d plaas ompostas d matras dfrts, omo é o aso da plaa m orto armado. Matral modlos osttuvos dsttos podm sr admtdos para ada amada Para ada amada, atrbus um valor d tsão assoado a sua suprfí méda osdra-s qu as ompots d tsão são ostats ao logo da spssura t da amada (vr fgura ). Camadas d orto Camadas d armaduras C( ) σ t x S( ) σ ξ ξ = - ξ ξ = + Fgura - Modlo Estratfado para o Corto Armado Os potos d Gauss, dfdos ao logo da spssura m fução da oordada homogêa ξ, rprstarão as amadas d orto, omo é mostrado a fgura (), as armaduras srão dstrbuídas m potos adoas, ujas posçõs são prvamt stabldas. A partr dssa aproxmação, os momtos rsultats a sção são obtdos pla tgração das rsptvas ompots d tsão ao logo da spssura, ou sja: M = t/ σ t/ C Ns + = x dx σ S ( ) δ A S ( ) S x (, j =, ) () Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos,v. 7,., p. 9-6, 5

27 O método dos lmtos d otoro aplado à aáls ão-lar d plaas 55 od: σ C é a tsão a plaa d orto, Ns é o úmro d armaduras, x é a posção S S( ) da armadura osdrada, σ é a tsão a armadura, A S( ) é a ára da armadura. Fazdo-s a tgração uméra das tsõs ao logo da spssura: M = t 4 Ng CIG σ ( ) ξigwig + σ IG= Ns = S ( ) δ A S ( ) S x (4) O valor do momto tro rsultat, dado pla quação (4), é rfrt a uma plaa omposta d somt um matral, qu tha omportamto smétro m tração omprssão. Nss aso, o momto tro é alulado osdrado-s qu a lha utra, a sção osdrada, passa plo su poto médo (x =), sto é, admt-s qu a dstrbução d tsõs é smétra m tração omprssão. Cotudo, dv-s lvar m osdração, qu o omportamto do orto ão é gual m tração omprssão além dsso, é usual qu as armaduras ão sjam smtramt dstrbuídas. Com sso, a lha utra ão od mas om a suprfí méda da plaa. Como o aso d flxão smpls, qu é o aso osdrado ss trabalho, a plaa ão pod sr submtda à forças ormas, somt à argas trasvrsas, dv-s prourar a ova posção da lha utra para qu s tha a força ormal rsultat ula, a fm d s otuar a tr um aso d flxão smpls. A stmatva da ova posção Z da lha utra, m uma drção, é fta por trpolação lar, usado-s os valors das ormas N N prvamt alulados, rsptvamt, para as posçõs Z Z da lha utra. Assm, a ova posção Z é dada por: Z ( ) N Z Z = Z + N N (5) A ada ova stmatva da lha utra, dv-s alular o rmto d dformaçõs ε LN d tsõs σ LN, dvdo à mudaça da msma. Somado-s ε LN ao rmto d dformaçõs lásto ε dvdo ao arrgamto ao vtor d dformaçõs vrdadras da tração atror ε, obtém-s o vtor d dformaçõs totas ε. No aso do modlo lasto-plásto, soma-s σ LN aos ( ) rmtos lástos d tsão dvdo ao arrgamto σ da tração m V( osdração às tsõs vrdadras da tração atror σ ), obtdo-s uma ova dstrbução d tsão σ a sção. No aso do modlo d dao, alula-s um stado d tsão lásto σ ( ), através do stado d dformação total ε. Vrfa-s, tão, o modlo osttutvo para todos os potos ao logo da spssura alula-s a ova ormal rsultat. Para o orto srão osdrados dos modlos osttutvos bdmsoas: um modlo lasto-plásto om ruamto sótropo gatvo, sdo qu o rtéro d plastfação utlzado é o d Vo Mss, od osdra-s qu o orto tm rsstêa somt à omprssão o modlo d dao d MAZARS (984). Para a Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos, v. 7,., p. 9-6, 5

28 56 Gabrla Rzd Frads & Wlso Sérgo Vtur armadura srá osdrado um modlo lasto-plásto blar uaxal om ruamto sótropo postvo. 6. Prodmto d álulo No ío d ada tração, tm-s um stado d tsão a strutura, qu é statamt admssívl, pos vrfa as odçõs d qulíbro da strutura. Dv-s, tão vrfar s m toda a strutura o modlo osttutvo é obddo. Assm, para uma tração d um rmto, tm-s um rmto d momtos lástos { M }, para ada poto do otoro do domío, qu é dtrmado da sgut mara: { M } { N} { M } = [ S]{ M } =β s =, (6.a) s (6.b) sdo qu {N} [S] são dados por (), β é o oft d multplação do arrgamto M é o rmto d momto plásto alulado a tração atror. Assm, osdrado-s um dtrmado poto do otoro ou do domío, dv-s prodr da sgut mara: Com { M }, através da rlação lásta (5) alula-s o rmto d urvaturas, tão, para ada poto ao logo da spssura, dtrma-s o rmto d dformaçõs dvdo ao arrgamto, através da quação (). Somado-s sss valors àquls obtdos a tração atror, obtêm-s os stados d dformação urvatura totas da tração. No aso do modlo lasto-plásto, alula-s também o rmto d tsõs, dvdo ao arrgamto. Soma-s ss últmo ao stado d tsão vrdadro da tração atror tra-s a tração os potos d Gauss. Para o modlo lástas { σ } d dao, alula-s as tsõs lástas { σ } modlo osttutvo, obtdo-s o vtor d tsão vrdadro { σ v }. o rmto d tsão vrdadro { σ v } a partr d { ε }. Vrfa-s o para o poto m qustão. Proddo-s, da msma forma, para todos os potos d Gauss armaduras, obtém-s uma ova dstrbução d tsão ao logo da spssura. Vrfa-s, tão, a ormal rsultat as três drçõs. S alguma ão for ula, stma-s a ova posção da lha utra, vrfa-s d ovo os modlos osttutvos m todos os potos alula-s a ovas ormas rsultat. Ess prosso otua até qu as ormas sjam ulas as três drçõs. Dss modo, obtém-s a vrdadra dstrbução d tsõs ao logo da spssura. Com a quação (4), obtêm-s o vtor d momtos vrdadros { M v }, o vtor d rmto d momtos vrdadros { M v }. Calula-s, tão, o vtor d momtos rsduas ou vtor dos momtos plástos: + { M } = { Ψ} = { M } - { M } v (7) Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos,v. 7,., p. 9-6, 5

29 O método dos lmtos d otoro aplado à aáls ão-lar d plaas 57 Sgu-s o msmo prodmto para todos os potos do otoro do domío. S o rtéro d ovrgêa ão for vrfado, para algum poto, qur dzr qu o stado d tsão a strutura é tal qu vrfa o modlo osttutvo m todos os potos, mas ão é mas statamt admssívl. Assm, apla-s { Ψ} ao sstma omo um ampo d momtos as, obtém-s um ovo rmto d momtos lástos através da quação (6.b) passa-s à tração sgut. Caso o rtéro d ovrgêa sja vrfado, passa-s ao rmto sgut. Ao fal d um rmto, alula-s as ógtas do otoro os ortats através das quaçõs () (), od M é o vtor d momtos plástos aumulados. Os momtos são os momtos vrdadros obtdos a últma tração. 7 EXEMPLO NUMÉRICO Nss xmplo, srão osdrados dos modlos osttutvos para o orto: o lasto-plásto o d dao. A plaa dada a fgura () é apoada os quatro lados, tm dmsão a = 6 spssura t = 5,5. A arga aplada o su tro é dstrbuída sobr uma ára d x, rsultado uma arga dstrbuída g = 8ps. No álulo od osdrou-s o modlo lasto-plásto para o orto, foram utlzadas duas malhas: uma prmra, o otoro da plaa fo dsrtzado m 8 lmtos su domío m élulas, o qu rqur potos odas o otoro 5 o domío, omo stá dado a fgura () outra od o otoro fo dsrtzado m 6 lmtos o domío m 8 élulas, rsultado m 6 potos odas o otoro 49 potos tros. No aso do modlo d dao, fo osdrado apas a malha d 8 lmtos élulas. P a a P a a Fgura - Plaa Apoada om Carga Cotrada a dsrtzação da Plaa Têm-s armaduras dêtas as drçõs x x, as quas têm módulo d lastdad E s = ps, módulo d ruamto K S ulo, ára trasvrsal A s =,4455 /, tsão d plastfação F y = 44 ps posção x =,75. O orto tm módulo d lastdad E C = 4 ps, tsão d plastfação f C = 69 ps, oft d posso υ =,5 módulo d ruamto gatvo K C = ps. A aáls fo fta osdrado-s dos potos d oloação xtros, sdo qu as posçõs dos msmos foram dfdas por a =, a =,5; a tolrâa adotada para o rtéro d ovrgêa fo d,%. Foram utlzados 8 potos d Gauss ao logo da spssura. Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos, v. 7,., p. 9-6, 5

30 58 Gabrla Rzd Frads & Wlso Sérgo Vtur Carga Total (P) (Kps) ,,,,4,5,6,7,8 Flha (w) () xprmtal 6 lmtos 8 lmtos Fgura - Curva Carga-Dsloamto o Poto Ctral (Modlo Elasto-plásto) Carga Total (P) (Kps) ,,4,6,8 Flha (w) () xprmtal DANO(,9) dao (,85) dao(,8) Fgura - Curva Carga-Dsloamto o Poto Ctral (Modlo d Dao) Na fgura () stá dada a urva arga-dsloamto do poto tral, obtda osdrado-s o modlo lasto-plásto para o orto, para as duas malhas osdradas. No aso da malha d 8 lmtos, a arga total d 8 Kps fo aplada m 8 rmtos, sdo qu a plastfação a armadura do poto tral fo obsrvada o sgudo rmto, para a arga d 45,6Kps. Para a arga d 77Kps, qu orrspod à arga lmt obsrvada xprmtalmt, ão obsrvou-s huma plastfação o orto o álulo ovrgu. No aso da malha d 6 lmtos, o álulo fo fto osdrado-s 7 rmtos, sdo qu os últmos 5, o oft β fo gual a,. A plastfação oorru para β =,44, o qu orrspod a P=5,Kps. A armadura atgu a dformação lmt d,, o poto tral, para a arga P=69,4Kps, od o orto ão stava plastfado. Pod-s obsrvar qu a dfrça tr as duas rspostas é muto grad. A fgura () mostra algumas urvas arga-dsloamto do poto tral obtdas osdrado-s o modlo d dao para o orto, od lmtou-s o valor da varávl d dao D m,9;,85,8. O álulo fo fto osdrado-s 48 rmtos, sdo qu os últmos 7 rmtos o oft β ra gual a,. No aso od lmtou-s o dao m,8, obsrvou-s plastfação a armadura do poto tral para P=46Kps o orto atgu a dformação máxma prmtda d,, o poto tral, para P=76,4Kps. Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos,v. 7,., p. 9-6, 5

31 O método dos lmtos d otoro aplado à aáls ão-lar d plaas 59 8 CONCLUSÕES O mprgo da téa d sub-lmtos, aumtou sgfamt a prsão do álulo, possbltado a obtção d bos rsultados, msmo osdrado-s uma dsrtzação pobr do otoro. Para a solha da posção dos potos d oloação, foram osdrados três squmas: um qu osdra um poto o otoro outro fora, outro od s osdra dos potos d oloação fora do domío, ada, um trro, od adota-s os dos potos o otoro. Obtv-s bos rsultados, para o prmro o sgudo squmas, porém, obsrvou-s qu o sstma d quaçõs obtdo om o trro ra sgular. Tal sgulardad podra sr rmovda, ao osdrar um poto d oloação fora do otoro. Ambos os modlos osttutvos utlzados, apsar d srm smpls, mostrarams sr stávs, pos ram apazs d otrar a arga lmt ovrgam para a solução xata om o rfamto da malha ou o aumto do úmro d potos d Gauss osdrado a tgração uméra das tsõs. Costatou-s qu os rsultados obtdos para 8 poto d Gauss ram bastat razoávs. 9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BETTI, E. (87). Tora dll lastta. Il Nuovo Cmto, p.7-. BUI, H. D. (978). Som rmarks about th formulato of thr-dmsoal thrmolast problms by tgral quatos. It. J. Solds Struturs, v.4, p CHUEIRI, L. H. M. (994). Formulação do método dos lmtos d otoro para aáls lastoplásta d plaas. São Carlos. 9p. Ts (Doutorado) - Esola d Eghara d São Carlos - Uvrsdad d São Paulo. FERNANDES, G. R. (998). O método dos lmtos d otoro aplado à aáls ão lar d plaas. São Carlos. Dssrtação (Mstrado) - Esola d Eghara d São Carlos - Uvrsdad d São Paulo. FIGUEIRAS, J. A. (98). Ultmat load aalyss of asotrop ad rford ort plats ad shlls. Swasa. Ts (Doutorado) - Uvrsty Collg of Swasa. KIRCHHOFF, G. (85). Ubr das glhgwht ud d bwgug r lastsh slb. J. Math.,.4, p MAZARS, J. (984). Applato d la méaqu d l dommagmt au omportmt o léar t à la ruptur du béto d strutur. Pars, 984. Thès (Dotorat d tat) - Uvrsté Pars 6. MIKHLIN, S. G. (96). Sgular tgral quato. Amra Math. So. Tras. Srs,., p Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos, v. 7,., p. 9-6, 5

32 6 Gabrla Rzd Frads & Wlso Sérgo Vtur OWEN, D. R. J.; HINTON, E. (98). Ft lmts plastty: thory ad prat. Swasa, U. K.: Prdg Prss Lmtd. RIBEIRO, G. O. (99). Sobr a formulação do método dos lmtos d otoro d plaas usado as hpótss d Rssr. São Carlos. 66p. Ts (Doutorado) - Esola d Eghara d São Carlos - Uvrsdad d São Paulo. TELLES, J. C. F.; BREBBIA, C. A. (979). O th applato of th boudary lmt mthod to plastty. Appl. Math. Modllg,., p VENTURINI, W. S. (98). Applato of th boudary lmt formulato to solv gomhaal problms. Southampto. Thss (Ph.D.) - Uvrsty of Southampto. Cadros d Eghara d Estruturas, São Carlos,v. 7,., p. 9-6, 5