O Modelo Logístico Aplicado a Estudos Epidemiológicos

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1 O Modlo Logístco Aplcado a studos pdmológcos Aluíso J D Barros uclyds Custódo d Lma Flho 99 / 994. Dfçõs báscas.. O studo prospctvo O studo prospctvo também chamado d studo d coorts ou follow-up é um dsho m qu s cohc o stado d xposção aos fators m studo d cada um dos dvíduos o íco do príodo d obsrvação. sts dvíduos são tão acompahados por um dtrmado príodo d tmpo, quado a ocorrêca d um ou mas tpos d doças srá aotada. Na população a sr obsrvada starão apas pssoas qu rcohcdamt ão aprstam o agravo d trss, sto é, qu podm vr a adocr (sr casos) durat a obsrvação []. Um studo prospctvo pod sr strtamt prospctvo, hstórco ou msto. O prmro caso é o prospctvo típco, od as coorts (grupos d pssoas a srm acompahadas) são motadas obsrvadas a partr dst momto, o prst. é o studo qu mas s assmlha a um xprmto. No prospctvo hstórco, todas as formaçõs são obtdas através d rgstros, vtos qu ocorrram o passado. Pod ocorrr também uma mstura, od as coorts são formadas com formaçõs prgrssas alguma obsrvação ada é fta as pssoas rmascts. xstm duas qualdads mportats st tpo d studo. A prmra é a qustão da tmporaldad. Cohc-s a xposção d íco s obsrva m qu momto ocorr a doça. Isto prmt cohcr a volução atural da doça. Pod-s sabr ão apas quatas pssoas adocram durat os aos d obsrvação, mas d qu forma, sto é, s as morts ocorrram rapdamt, o íco do príodo, s gradualmt ou s muto ltamt, ao fal da obsrvação. O stablcmto dsta sqüêca tmporal é muto mportat para a dfção d uma tologa. A outra qualdad rsd o fato d qu as dsdads d cdêca para cada ívl d xposção, assm como as cdêcas cumulatvas, são drtamt stmávs [9]. Os studos prospctvos, por outro lado, são sabdamt fcts quado a doça m studo é rara. Nst caso, para qu sja obsrvado um úmro mímo d casos, o studo dvrá cotar com grads coorts ou s stdr por um logo príodo d tmpo. st prologamto do studo acaba por causar outros problmas. O maor stá o sgumto dos dvíduos, qu tdm, com o passar do tmpo, a sar do studo dvdo a mort por outras causas, mgração, mudaça d drço ou smplsmt rcusa d s aprstar para xam.

2 2 AJD Barros & C Lma Flho Outra qustão é, para coorts fxas, o vlhcmto dstas, o qu provoca ftos dfícs d srm stmados ou cotrolados..2. O studo trasvrsal studos trasvrsas são xcutados a partr da scolha d apas uma amostra da população alvo. Os dvíduos scolhdos são submtdos a quérto, d forma a s cohcr sua codção m rlação à doça m rlação aos fators m studo. Como toda a população é usada o studo, cludo pssoas dots saudávs, a formação obtda s rfr a um momto (um cort) o tmpo, a proporção d dots obtda é a prvalêca. Por sso st studo também é chamado d studo d prvalêca. Uma caractrístca mportat do studo trasvrsal é qu tato o fator ou fators m studo como a stuação m rlação à doça d trss são alatóros. No procsso d amostragm ão s fxou huma caractrístca para drgr o procsso d amostragm, qu fo fto d apas uma população, dfrt do qu ocorr o prospctvo o rtrospctvo, od plo mos 2 subpopulaçõs são amostradas. sta partculardad cofr algumas proprdads statístcas aos studos trasvrsas, como a possbldad d s mdr corrlação tr o fator a doça. st tpo d studo é frqütmt utlzado para s stablcr ovas hpótss tológcas []..3. O studo rtrospctvo O studo rtrospctvo, também chamado d studo d caso-cotrol, part da classfcação dos dvíduos d acordo com sua stuação m rlação à doça m studo. Os dvíduos são classfcados como dots (casos) ou ão dots (cotrols), poddo havr mas d um grupo d cotrols. A partr dsto, a codção d xposção ao fator m studo srá dtrmada rtrospctvamt. Os studos d caso-cotrol são, m gral, mas fács mas baratos d srm ralzados do qu os prospctvos. Isso s dv, m grad part, ao fato d qu podm sr ftos com dados já coltados, rgstrados m arquvos como protuáros médcos ou atstados d óbto. Além dsto, o príodo d studo costuma sr mor ão há, d rgra, obsrvação ou sgumto d pacts. A maor dsvatagm dst tpo d vstgação stá a ausêca d tmporaldad, qu dfculta o stablcmto d uma rlação causal. A stmação d mddas d frqüêca também aprsta dfculdads. A prmra formação qu s tm é m rlação à codção do dvíduo m rlação à doça, ou sja, dot ou ão dot. A partr dsso, a formação sobr xposção é psqusada. Portato, a proporção stmávl é a d xpostos para as populaçõs d casos cotrols, ou sja a probabldad d xposção, dada a codção d doça. Sm huma formação adcoal é mpossívl stmar a probabldad d adocr codcoal à xposção. S a cdêca cumulatva da doça a população gral é cohcda, s tora possívl d stmar sta probabldad usado proprdads da probabldad codcoal. Nst caso, m trmos da stmação da cdêca cumulatva, os studos prospctvo d caso-cotrol s quvalm. Outra grad dfculdad do caso-cotrol é qu casos cotrols provêm d populaçõs dfrts. Cab, tão, ao psqusador assgurar a comparabldad dsts 2 grupos m rlação a fators d rsco xtríscos (varávs d cofudmto) a outras fots d

3 O modlo logístco aplcado a studos pdmológcos 3 dstorção. sta tarfa é complxa mutas vzs polêmca. A déa qu orta a scolha do grupo d rfrêca é a qu l sja o mas próxmo possívl da população d casos, ão havdo cssdad qu st grupo sja rprstatvo da população gral [9]..4. Itração cofudmto sts dos coctos são usados muto frqütmt os txtos pdmológcos, rvstdos d grad mportâca. Não obstat, ada são alvos d cotrovérsa, spcalmt o d cofudmto. Itração é um cocto statístco clássco é usado m pdmologa m sua forma orgal. Supoha qu 2 fators, A B, flucm o aparcmto d dtrmada doça. Por smplcdad, admtamos qu tmos 2 ívs d cada fator, d forma qu tmos 4 grupos com dfrts ívs xposção: ão xposto aos 2 fators (grupo ), xposto somt ao prmro (grupo ), xposto somt ao sgudo (grupo ) duplamt xposto (grupo ). S, para cada ívl do fator B, o fto da xposção ao fator A for dfrt, dz-s qu há tração. O cocto d tração é fortmt dpdt do modlo adotado []. Assm, dpddo d qual sja a mdda d fto scolhda, tração trá uma trprtação um pouco dfrt. S a mdda d fto d trss é o rsco rlatvo, tão ocorrrá tração quado os rscos rlatvos para o fator A m cada ívl d B form dfrts. Ou, ao cotráro, s sts rscos rlatvos form guas, dz-s qu ão há tração. S chamamos d a probabldad d adocr o grupo, a hpóts d ão tração srá qu é quvalt à xprssão () (2) qu rprsta um modlo multplcatvo. Isto é, a ausêca d tração, o rsco rlatvo da dupla xposção é gual ao produto dos rscos rlatvos das xposçõs smpls. S a mdda d fto scolhda é a dfrça d rscos, tração é dfda como rscos atrbuívs dfrts para o fator A m cada ívl d B, o qu lva à xprssão (3) para dfr a hpóts d ão tração. sta xprssão é quvalt a ( ) + ( ) (4) qu corrspod a um modlo adtvo, ou sja, o rsco atrbuívl à dupla xposção é gual à soma dos rscos atrbuívs às xposçõs smpls a ausêca d tração. O cocto d cofudmto ada é alvo d alguma cotrovérsa. Uma dfção smpls, útl para um tdmto prlmar do cocto é dada por Klbaum t al []. la dz qu cofudmto corrspod à ocorrêca d tdêca a stmatva da rlação tr xposção doça, qu pod acotcr quado st fto stá msturado com o fto d

4 4 AJD Barros & C Lma Flho varávs xtríscas ao problma. Dpddo do tpo d assocação tr as varávs d cofudmto xposção doça, a assocação tr stas duas últmas pod sr supr ou substmada [3]. Um fator, para sr cosdrado como d cofudmto, prcsa prchr dtrmados rqustos. Prmramt, o fator dv sr prdtvo da doça tr os ão xpostos, sto é, dv havr assocação tr fator d cofudmto doça tr os ão xpostos. Além dsso, dv havr assocação tr o fator d cofudmto xposção, assm como tr o fator a doça, codcoalmt ao cotrol d todos os outros fators sdo studados [3]. Dsta forma, uma varávl d cofudmto dv sr, por s só, prdtora da doça, dpdtmt da xposção m studo. S, rtrado o fto da xposção, a assocação tr fator d cofudmto doça dsaparc, sto sgfca qu sta assocação dpd tramt daqula tr xposção doça, ão caractrzado st fator como d cofudmto. 2. Modlagm dos studos pdmológcos Uma das prcpas procupaçõs m pdmologa é a dtrmação do rsco d adocr para um dvíduo m dtrmadas sub-populaçõs a comparação dsts rscos. Num studo prospctvo o stado d xposção d cada dvíduo uma população a ou mas fators d trss é cohcdo. Tm-s também formação sobr outras varávs qu s qur cotrolar, como fators d cofudmto. O vtor qu cotém as formaçõs sobr a codção d xposção sobr stas outras varávs d trss, domados d forma gral como fators m studo, para o -ésmo dvíduo, srá domado X. Domarmos por Y a varávl alatóra bára qu dcará s o -ésmo dvíduo adoc ou ão durat a obsrvação. sta varávl assum o valor s o -ésmo dvíduo ão adoc s o -ésmo dvíduo adoc. Por covção, trmos dvíduos obsrvados p fators m studo. Assm, podmos dfr o rsco d adocr d um dvíduo como sdo P( Y X ). (5) O qu s prtd é modlar a probabldad d adocr m fução dos fators cohcdos. A forma mas smpls d s stablcr sta rlação é usado um modlo lar: P( Y X ) β + X β + X β + K + X β (6) 2 2 p p od os β 's são os parâmtros do modlo os X j são valors cohcdos da xposção do -ésmo dvíduo ao j-ésmo fator m studo. Apsar d sr smpls, st modlo aprsta algumas dfculdads. A mas séra [5] s rfr ao fato d sr uma probabldad star rstrto ao trvalo (, ). É possívl qu s cotrm valors ajustados para fora dst trvalo, quado são calculados a partr dos stmadors d quadrados mímos. Outro problma a sr cosdrado é qu a varâca dos Y, além d ão sr costat, dpd d, qu é a spraça d Y. Vja qu Y, Y 2 Y portato, 2 2 Var( Y ) ( Y ) ( Y ) ( ) (7)

5 O modlo logístco aplcado a studos pdmológcos 5 Além dsso, aalsado a própra ssêca dos fômos m studo, ão é razoávl supor qu a probabldad d adocr var d a larmt uma dtrmada faxa d xposção. Uma varação d acordo com uma curva sgmód, do tpo d uma curva dos-rsposta, parc bm mas vrossíml. D acordo com sta curva, a probabldad d adocr crsc ltamt com a xposção até um dtrmado valor, a partr do qual há um crscmto rápdo, voltado a sr lto coform a probabldad s aproxma d. 2.. O modlo logístco O modlo qu tm s mostrado mas adquado para a modlagm qu s prtd é o Modlo Logístco. O om vm da trasformação qu s faz da probabldad d adocr : logto( ) log, (8) sdo, ao logo dst trabalho, log(.) o logartmo atural. O modlo logístco é lar o logto d, sdo scrto como para, 2, K,. λ log β + Vamos dfr algumas matrzs d forma qu os sja possívl utlzar uma otação mas smpls. p s X s β s (9) β β M β p [ ( p+ ) ] ( ) λ log M log X + [ ( p ) ] x L x p x2 L x2 p M M O M x L xp () Usado a otação matrcal, o modlo logístco dfdo m (9) é scrto como od X é um vtor qu cotém a -ésma lha d X. log λ X β, ()

6 6 AJD Barros & C Lma Flho scrvdo a xprssão acma m fução d, ( ) xp X β ( X xp( X xp ( + xp( X ) xp( X ( X ( X xp P( Y X ), 2, K,. (2) + xp 2.2. A trasformação logístca Para dar uma déa mlhor do qu stá acotcdo com os parâmtros st modlo, farmos um rápdo studo da trasformação logístca. Para sto, usarmos sua forma gral λ log, < <. sta fução é também cohcda como o logto d. Su domío é o trvalo (,) sua magm é a rta ral. sta fução é buívoca, vsto qu sua drvada dλ d ( ), (3) é smpr postva para (, ), o qu caractrza uma fução strtamt crsct. Isto sgfca qu cada poto do trvalo (, ) é lvado a apas um poto do trvalo ( +, ) pla fução logto. Plo xposto, fca claro qu sta trasformação rsolv o prcpal problma do modlo lar comum. O parâmtro λ vara m todo o R, ão aprstado mas os,. problmas d stmação qu ofrca por star rstrto ao trvalo ( ) 2.3. Aplcação do modlo aos studos pdmológcos O modlo logístco é muto vrsátl, prmtdo qu pratcamt todas as stuaçõs d trss do psqusador possam sr modladas. Nst trabalho os rstrgrmos a studar o modlo com uma varávl rsposta bára. Na ltratura, algus autors aprstam a xtsão do modlo logístco para rspostas poltômcas (.g. Prtc Pyk, 979 [7]). Mostrarmos a sgur como pod sr costruído st modlo para uma vardad d stuaçõs, dsd a mas smpls, com apas uma varávl d xposção bára, até casos m qu s clum o modlo varávs d stratfcação, tração cofudmto. Icalmt starmos assumdo qu tmos um studo prospctvo para aalsar, od os parâmtros d trss, cludo os rscos rlatvos, são drtamt stmávs. m sguda stdrmos sts rsultados também aos studos d caso-cotrol.

7 O modlo logístco aplcado a studos pdmológcos 7 xposção Doça sm ão sm d d ão d d Total Tabla Dados rfrts a uma rsposta uma xposção báras a forma d uma tabla As dfrts paramtrzaçõs do modlo O caso 2 2 st é o caso mas smpls, od tmos uma varávl rsposta bára, qu dca s o -ésmo dvíduo adocu (Y ) ou ão (Y ) apas uma varávl d xposção, também bára, qu dca s o -ésmo dvíduo faz part do grupo xposto ( X ) ou do ão xposto ( X ). sta stuação gra como rsultado uma tabla d cotgêca 2 2, xmplfcada a Tabla. Nst caso tmos dvíduos xpostos dvíduos ão xpostos, d dvíduos adocram tr os xpostos d adocram tr os ão xpostos. Assummos qu o vto d um dvíduo adocr ou ão durat o príodo d obsrvação, rprstado pla varávl alatóra Y, rprsta um sao d Broull com probabldad d sucsso (s stvéssmos cosdrado um studo d caso-cotrol a varávl qu tra carátr alatóro sra a qu dca o ívl d xposção). Supomos também qu a probabldad d adocr é gual para os dvíduos dtro d cada um dos grupos d xposção. Como st caso tmos apas 2 grupos, trmos apas 2 probabldads dfrts d adocr: ( X ) P Y (4) ( X ) O modlo logístco st caso é scrto da sgut forma: P Y (5) [ ( )] o qu para X smplfca para a xprssão logto P Y X β + β X [ ( Y X )] logto( ) λ logto P β (6)

8 8 AJD Barros & C Lma Flho para X, [ ( Y X )] logto( ) λ logto P β + β Colocado as xprssõs acma m fução dos parâmtros do modlo, tmos qu β ( ) logto log - (7) qu β ( ) ( ) logto logto log - β log log - - β log ( - ) ( - ). (8) Isto é, o parâmtro β corrspod ao log da razão d odds das probabldads d adocr tr os xpostos os ão xpostos. O parâmtro β corrspod smplsmt ao logto da probabldad d adocr tr os ão xpostos. Tstar a ausêca d assocação tr xposção doça sgfca tstar qu a probabldad d adocr tr os xpostos é a msma qu aqula tr os ão xpostos, ou sja,, o qu o modlo logístco corrspod a tstar qu β, qu é quvalt a tstar qu a razão d odds m (8) é gual a. Df-s como odds d uma probabldad o quoct tr sta probabldad su complmtar: p odds ( p) (9) p Chamarmos d razão d odds o quoct tr o odds da probabldad d adocr para um dtrmado grupo xposto o odds da probabldad d adocr para o grupo d rfrêca (ão xposto). Assm, a razão d odds da xposção é ( ) RO ( ) ( ) ( ). (2) No caso d ausêca d fto da xposção, a razão d odds é gual a. Valors maors qu a udad dcam rsco mors, protção. Város autors ttam comparar a razão d odds ao rsco rlatvo (RR), ttado trprtá-la como uma aproxmação dst. Mostra-s faclmt a partr d (2) qu RO RR (2)

9 O modlo logístco aplcado a studos pdmológcos 9 Portato, quado s trabalha com doças raras, a fração m (2) s aproxma d a razão d odds é uma boa aproxmação do rsco rlatvo. Idpdtmt d aproxmar ou ão o rsco rlatvo, a razão d odds é uma mdda d fto qu smpr cocorda com l m rlação à drção do fto. Ou sja, smpr qu o rsco rlatvo dcar um aumto do rsco d adocr ou uma dmução dst rsco, a razão d odds apotará a msma drção, mbora a ampltud do fto dcada plas 2 mddas possa sr dfrt. Dos fators d xposção báros Nst caso studamos dos fators d xposção, X X 2, qu podm assumr valors ou, coform o dvíduo stja ou ão xposto ao rspctvo fator. Da msma forma qu o caso atror, supomos qu a probabldad d adocr m cada um dos grupos d xposção sja gual para todos os sus dvíduos. Dfmos ( ) j P Y X, X 2 j (22) RO j j ( ) ( j ) d forma qu é a probabldad d adocr d um dvíduo ão xposto aos dos fators, portato prtct ao grupo cosdrado basal m trmos da xposção. O modlo logístco para st caso pod sr scrto como λ β + X β + X β 2 2 (23) No tato, o maor trss st caso stá m studar a tração tr os dos fators, qu m (23) ão fo cosdrada. Há váras formas d s modlar tração. A mas smpls qu coduz a um modlo d tração multplcatvo d fácl trprtação é usada o modlo a sgur: λ β + X β + X β + X X β (24) Agora a prguta qu s faz é s a tração é dfrt d zro, o qu quval a tstar β 3. Calculado os parâmtros do modlo d forma smlar ao caso atror, cotramos qu β logto ( ) β log( RO ) β 2 log( RO ) RO log RO RO β 3 d mara qu tstar β 3 quval a tstar RO RO RO. sta xprssão rvla qu o modlo logístco é um modlo multplcatvo, ou sja, os ftos s combam d forma multplcatva a ausêca d tração a prsça dsta é sal d um afastamto da stuação d multplcação dos ftos. (25)

10 AJD Barros & C Lma Flho O modlo logístco m studos d caso-cotrol Nos studos d caso-cotrol as probabldads d adocr ão são drtamt stmávs, como já mostramos atrormt. Dsta forma, ão é mdato supor qu o modlo logístco, qu propõ um modlo para uma fução do rsco d adocr, sja aplcávl a st tpo d studo. Prtc Pyk [7] mostraram qu ão só o modlo logístco pod sr aplcado aos studos d caso-cotrol, como, do poto d vsta dst modlo, ls são quvalts aos studos prospctvos. Prmramt, otmos qu, mbora os rscos ão sjam stmávs o caso-cotrol, xst uma mdda d fto qu é: a razão d odds. No caso-cotrol, stma-s a probabldad d s obsrvar o vtor d xposção X, dada a prsça ou ausêca d doça: P X Y. A razão d odds tr uma dtrmada xposção X a xposção basal X é ( ) scrta como RO X [ ] [ ] ( Y X) ( Y X) ( Y X ) ( Y X) P P P P qu, usado a rlação da probabldad codcoal pod sr rscrta como ( Y X x) ( X x Y ) ( Y ) P( X x) P P P RO X ( X Y ) ( X Y ) ( X Y ) ( X Y ) P P P P sdo qu todas stas probabldads são stmávs um studo caso-cotrol. Lmbrado qu os parâmtros do modlo logístco são razõs d odds ou fuçõs dlas, já s pod tr uma psta da aplcabldad do modlo aos studos d caso-cotrol. Dpos d mostrar sta quvalêca, Prtc Pyk [7] dduzm o modlo duzdo plo modlo logístco para um studo prospctvo quado os dados provêm d um studo rtrospctvo mostram qu st modlo também é da forma logístca. m sguda, calculam a quação d vrossmlhaça para os 2 modlos, d forma a podr compará-las. A vrossmlhaça obtda para o modlo com dados prospctvos é L p xp( β + ) X β [ + xp( β + X ] para o modlo com dados rtrospctvos tmos L r xp * ( β + X * ( β X [ + xp + ] P ( X ) (26) (27) (28) (29). (3) O rsultado acma é mostrado sta forma por Klbaum t al [9]. l é fudamtal, pos, daí s dprd qu as vrossmlhaças são proporcoas, sto é, a razão tr as 2 quaçõs d vrossmlhaça é uma costat, ão dpd dos parâmtros. Isto sgfca qu,

11 O modlo logístco aplcado a studos pdmológcos sscalmt, a formação cotda um studo prospctvo um caso-cotrol do poto d vsta do modlo logístco é a msma. No procsso d stmação por Máxma Vrossmlhaça a fução d vrossmlhaça é maxmzada m rlação aos parâmtros, usado-s os dados da amostra obtda. Os valors cotrados st procsso srão usados como stmatva dos parâmtros d trss. Assm, a fução d vrossmlhaça é o úco lo d lgação tr a amostra (spaço amostral) os parâmtros (spaço paramétrco). Cosdramos um xprmto statístco como a ralzação d um sao qu clu um dtrmado procdmto d amostragm. S ocorr qu 2 xprmtos statístcos dfrts aprstam fuçõs d vrossmlhaça guas ou proporcoas, sto sgfca qu a formação qu cada xprmto traz sobr os parâmtros é quvalt à do outro. Ou sja, qualqur dos xprmtos traz a msma formação sobr os parâmtros d trss. Prtc Pyk [7] mostram ada qu os stmadors dos parâmtros da matrz d varâca covarâca são os msmos m ambos os modlos, como sprado. sts rsultados os prmtm, d forma dftva, usar o modlo logístco tato para os studos prospctvos quato para os rtrospctvos ada afrmam qu sts studos são quvalts quado aalsados por st modlo. Por ssa razão, o modlo logístco é uma frramta muto podrosa a aáls pdmológca, rforçado a mportâca dos studos d caso-cotrol facltado sua aáls. Por outro lado, s sts 2 tpos d studos são quvalts, pod-s qustoar od stá a rfrda suprordad dos studos prospctvos. Obsrvmos qu o modlo logístco ão lva m cota a tmporaldad, sto é, o momto d ocorrêca dos vtos d trss. st é um dado qu stá dspoívl os studos prospctvos é o qu dfrca sts dos studos d caso-cotrol. A formação d como os dvíduos adocm o dcorrr da obsrvação ão é lvada m cota o modlo logístco, assm, s a maora dos dvíduos adoc logo o íco da obsrvação ou só o fm do príodo, sto ão altra o problma do poto d vsta dst modlo. Portato, fca claro qu é cssáro um outro tpo d aáls qu lv m cota o tmpo d obsrvação até adocr para qu toda a formação cotda um studo prospctvo sja utlzada. As 2 quaçõs acma trazm uma pqua modfcação da otação qu stamos usado, X β para fatzar qu st parâmtro ão é sparado o parâmtro β da xprssão ( ) xatamt gual os studos prospctvo caso-cotrol. Já vmos qu, o prospctvo, β é o logto da probabldad d adocr tr os ão xpostos. No caso-cotrol, st parâmtro stá cofuddo com outras quatdads qu dpdm da fração amostral [3]. Dvdo a st fômo, st parâmtro prd sua trprtabldad st caso.

12 2 AJD Barros & C Lma Flho 3. stmação tsts d hpótss 3.. A fução d vrossmlhaça 3... Vrossmlhaça ão codcoal Para cotrar os stmadors dos parâmtros do modlo logístco vamos studar sua fução d vrossmlhaça, buscado statístcas sufcts. A fução d vrossmlhaça é a fução d probabldad da dstrbução vsta como uma fução dos parâmtros para rspostas fxadas []. A fução d vrossmlhaça do studo m qustão é ( ) ( ) { Y } { Y } ( ) L β, y P Y X P Y X : : (3) L ( β, y) { } ( X ( X { } + + : Y : Y ( X ( X + + ( X ( X y ( X { } y ( X β ) ( X { + } + xp y { } { y ( ) X β } ( X + { } y y. (32) S stablcrmos qu os casos (Y ) são os prmros dvíduos, podmos smplfcar a quação atror para L ( β,y) ( X ( X { + } od X β são os dfdos m () X é o vtor qu cotém a -ésma lha d X. sta quação é a msma daqula aprstada m (29) com pquas altraçõs d otação. Cotuado a buscar as statístcas sufcts rtomamos a quação (32) scrvmos (33) L ( β,y) ( X Y ( X ) { } β +

13 O modlo logístco aplcado a studos pdmológcos 3 od β X Y ( X ( X { + } + T [( p ) ] β T { } (34) X Y ( ) X Y + M, (35) X p Y ( ) Ts X ( s) Y XsY ( s,, K, p) (36) od X ( j ) é o vtor qu cotém a j-ésma colua d X. Plo torma da fatoração d Nyma, as T s são statístcas sufcts a partr dlas podrmos cotrar as statístcas ótmas. S comparamos o modlo logístco com o modlo d rgrssão lar, vrmos qu as statístcas sufcts para st modlo volvm statístcas dêtcas às T s ada a soma d quadrado do rsíduo. Isso dca qu o modlo logístco tm mas smlhaças com o modlo d rgrssão lar sob tora ormal do qu podra parcr à prmra vsta [5]. cotradas a fução d vrossmlhaça as statístcas sufcts, cotrar os stmadors do vtor d parâmtros β é um problma d cálculo. A dfculdad aprstada plo modlo logístco fca clara com a quação (34): la ão é lar os parâmtros. Porsso ão é possívl uma solução xplícta para os parâmtros, a ão sr m casos spcas muto smpls. m gral, ls têm qu sr cotrados através d métodos umércos tratvos, como o método d Nwto-Raphso, por xmplo. Não os dtrmos st dtalh da stmação. Os stmadors d Máxma Vrossmlhaça a tabla 2 2 O modlo logístco o caso m qu tmos uma rsposta bára uma xposção bára, qu rsulta uma tabla 2 2, stá dscrto a sção 2.3., a partr da pága 6. Nsta sção mostrarmos os stmadors d Máxma Vrossmlhaça dos parâmtros dduzdos as quaçõs (7) (8). As matrzs utlzadas para dscrvr o modlo são: X ( 2 ) M M ( ) λ β M β λ β λ M X,, 2, K, ( ) X, +, K, As statístcas sufcts para st caso são: T s X ( s) Y ( s, 2) (37)

14 4 AJD Barros & C Lma Flho portato, T Y T Y 2 + (38) Para cotrar os stmadors d Máxma Vrossmlhaça dos parâmtros, gualarmos as statístcas sufcts às rspctvas spraças []. T β β T $ $ + + Agora ot qu T d + d (Tabla ) qu T2 d. Daí podmos scrvr $ $ $ $ + $ $ d β + β β+ β β β $ $ $ + β+ β β d + d d $β (39) (4) (4) $ d β log d (42) Substtudo m (4), d + d d d d ( d ) ( ) d d d $β ( d ) ( ) $ d log d d β (43) (44) É trssat otar qu os stmadors d Máxma Vrossmlhaça dos parâmtros dscrtos as quaçõs (7) (8) são smplsmt a substtução dos stmadors d Máxma Vrossmlhaça d as rspctvas xprssõs Qualdad d ajust scolha do modlo Uma vz obtdos os stmadors d Máxma Vrossmlhaça, o passo sgut é usá-los para fazr frêcas statístcas sobr as rlaçõs tr xposção doça m studo. Nss

15 O modlo logístco aplcado a studos pdmológcos 5 momto, há ada 2 tarfas qu o psqusador dv ralzar. m prmro lugar, dv-s scolhr um dtrmado modlo tr todos os possívs. m gral, part-s do modlo complto, ou saturado, qu cotém todos os ftos prcpas traçõs tta-s smplfcá-lo ao máxmo, lmado os parâmtros rsposávs plas traçõs ftos qu ão s mostrarm mportats. Pod-s também partr d um modlo mímo r-s adcoado fators até qu os rstats ão sjam rlvats, ou msmo usar uma técca qu mstur sts dos procdmtos. Qualqur qu sja o método scolhdo, a mara d s dcdr s um parâmtro fca ou ão o modlo fal é smlhat. Para tal, é cssáro qu façam tsts d hpóts, m gral sqücas, sobr os parâmtros. xstm város procdmtos para ralzar sts tsts. Dscutrmos a sgur a statístca d Wald, a statístca dos scors fcts a statístca da razão d vrossmlhaça. Supohamos qu o vtor d p + parâmtros do modlo stá partcoado m dos sub- β β, β 2 qu tmos vtors com q r parâmtros rspctvamt, d forma qu ( ) trss m tstar a hpóts H :β 2. Dotarmos por β $ o vtor com os stmadors d Máxma Vrossmlhaça dos parâmtros do modlo sm rstrçõs β $ H o vtor d stmadors d Máxma Vrossmlhaça dos parâmtros do modlo sob H. O vtor dos scors fcts é dfdo como o vtor qu cotém as drvadas prmras da fução d vrossmlhaça m rlação aos parâmtros, U ( L( log (45) β od L ( β ) é a fução d vrossmlhaça para um modlo com vtor d parâmtros β. A matrz d formação d Fshr é dfda como I( U( V ( β $ ) β (46) od V ( β $ ) é a matrz d varâca covarâca d β $. Dotarmos por I( β $ ) a matrz d formação obsrvada, sto é, quado β β $. m sguda aprstamos as statístcas qu são usadas para tstar a hpóts H :β A statístca d Wald A statístca d Wald é dfda como od $ V $ 22 ( ) ( ) $ $ β β $ β $ 2 V 22 2 (47) β é a porção da matrz d varâca covarâca corrspodt aos r parâmtros qu stão sdo tstados. sta statístca tm uma dstrbução asstótca χ 2 com r graus d lbrdad sob H.

16 6 AJD Barros & C Lma Flho A statístca dos scors fcts sta statístca é dfda como $ ( β H ) ( $ H ) ( β H ) U I U (48) qu também tm dstrbução asstótca χ 2 com r graus d lbrdad sob H A statístca da razão d vrossmlhaça sta statístca é a mas utlzada das 3, sdo dfda como ( ) ( ) L H 2 G 2log ( β H ) L. (49) sta statístca também tm dstrbução asstótca χ 2 com r graus d lbrdad sob H. la é aprstada por Prgbo [6] com o om d dsvo (dvac, D). Quado s ajustam modlos m sqüêca, spcfcamt modlos hrárqucos mbutdos, as dfrças tr as statístcas G 2 dos modlos também têm dstrbução χ 2, d forma qu stas dfrças podm sr usadas para a scolha do mlhor modlo para um dtrmado problma. Modlos hrárqucos são aquls qu cotêm todos os trmos d mor ordm rlacoados com um d ordm supror prst o modlo. Por xmplo, s a tração X X 2 stá prst, obrgatoramt os fators X X 2 starão. Ou, s a tração XX2 X 3 stvr prst, também starão as traçõs XX2, XX 3, X2 X3 os rspctvos ftos prcpas. sts modlos são quas smpr utlzados a aáls d dados por qustõs d trprtação, pos, s as traçõs form aalsadas m trmos d cotrasts, las volvrão smpr cotrasts dos ftos prcpas [6]. Modlos hrárqucos mbutdos são cojutos d modlos cotdos um o outro, sqücalmt. Por xmplo, ( ) λ β + X β + X β + X X β ( 2) λ β + X β + X β ( 3) λ β + X β 2 2 são modlos hrárqucos mbutdos. Nst caso, a dfrça G com grau d lbrdad. G (5) 2 G tm dstrbução χ 2 2 ( 3) ( 2) 2 G tm dstrbução χ 2 com 2 graus d lbrdad. 2 ( 3) ( ) Agora obsrvmos qu a statístca G 2 do modlo (3) é scrta como 2 L( 3) G( 3) 2log (5) L( )

17 O modlo logístco aplcado a studos pdmológcos 7 qu a statístca G 2 d (2) é scrta como 2 L( 2) G( 2) 2log (52) L( ) qu a dfrça tr stas statístcas é ou sja, 2 2 L( 3) L( 2) G( 3) G( 2) 2 log 2 log L( ) L( ) 2log L( 3) 2log L ( 2). (53) Isto sgfca qu a dfrça tr as statístcas da razão d vrossmlhaça para 2 modlos mbutdos é gual à dfrça tr sus logartmos da vrossmlhaça do modlo. O log da vrossmlhaça ão tm uma dstrbução dtrmada, mas, as dfrças, como já vmos, têm. 4. Rfrêcas bblográfcas [] BICKL PJ DOKSUM KA. Mathmatcal Statstcs. Sa Fracsco, Hold-Day Ic., 977. [2] BISHOP YMM, FINBRG S HOLLAND PW. Dscrt Multvarat Aalyss: Thory ad Practc. Cambrdg, Th MIT Prss, 975. [3] BRSLOW N DAY N. Statstcal Mthods Cacr Rsarch. Vol.. Lyo, Itratoal Agcy for Rsarch o Cacr, 98. [4] CORNLL RG. Bostatstcs ad pdmology. Commucatos Statstcs A. Thory ad Mthods 982; : [5] COX DR. Th aalyss of bary data. Lodo, Mthu & Co, 97. [6] FINBRG S. Th Aalyss of Cross-classfd Catgorcal Data. Cambrdg (MA), Th MIT Prss, 977. [7] GRIZZL J; STARMR CF KOCH GG. Aalyss of catgorcal data by lar modls. Bomtrcs 969; 25: [8] KAY R LITTL S. Assssg th ft of th logstc modl: a cas study of chldr wth hamoltc aamc sydrom. Appld Statstcs 986; 35:6 3. [9] KLINBAUM DG; KUPPR LL CHAMBLSS L. Logstc rgrsso aalyss of pdmologc data: thory ad practc. Commucatos Statstcs A 982; : [] KLINBAUM DG; KUPPR LL MORGNSTRN H. pdmologc Rsarch. Blmot, Lftm Larg Publcatos, 982. [] LANDWHR JM; PRGIBON D SHOMAKR AC. Graphcal mthods for assssg logstc rgrsso modls. JASA 984; 79:6 83. [2] MITTINN O. stmablty ad stmato cas-rfrt studs. Amrca Joural of pdmology 976; 3: [3] MITTINN O COOK F. Cofoudg: ssc ad dtcto. Amrca Joural of pdmology 98; 4: [4] MORGNSTRN H; KLINBAUM DG KUPPR LL. Masurs of dsas cdc usd pdmologc rsarch. Itratoal Joural of pdmology 98; 9:97 4. [5] MORRISON AS. Squtal pathogc compots of rats. Amrca Joural of pdmology 979; 9: [6] PRGIBON D. Logstc rgrsso dagostcs. Th Aals of Statstcs 98; 9:

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