MODELOS DE REGRESSÃO PARA DADOS DE CONTAGEM. O modelo log-linear de Poisson

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1 MODELOS DE REGRESSÃO PARA DADOS DE CONTAGEM O modlo log-lnar d Posson

2 Intrss m modlar a dstrbução d uma varávl rfrnt a algum tpo d contagm m função d covarávs. A stratéga mas comum para modlagm nssas stuaçõs (mas não ncssaramnt a mas aproprada, como vrmos adant), é o uso da dstrbução d Posson com função d lgação logarítmca (canônca). Como para a dstrbução d Posson tmos >, a lgação logarítmca garantrá valors postvos para quasqur qu sjam os valors das varávs xplcatvas.

3 Alguns xmplos ond s tm ntrss m modlar uma varávl d contagm Númro d casos d dngu m dfrnts quadras d um muncípo m função d varávs gográfcas dmográfcas rfrnts às localdads; Númro d acdnts m trchos d uma rodova m função d varávs rfrnts à condção da psta, ao tráfgo d vículos, à dstânca a grands muncípos...; Númro d gols marcados por tms d futbol nas partdas d um camponato m função d varávs rfrnts ao dsmpnho das qups m comptçõs antrors, ao nvstmnto m jogadors, às vrbas orgnadas por patrocnadors...; Abundânca d crta spéc anmal m quadrants d uma xtnsa florsta m função d varávs ambntas clmátcas... 3

4 Dstrbução d Posson O modlo d Posson confgura uma dstrbução d probabldads dscrta, dduzda: o Como aproxmação à dstrbução bnomal quando constant; n d tal forma qu np prmança o Quando a probabldad d ocorrênca d um vnto m dado ntrvalo d tmpo (ou spaço) é proporconal ao tamanho do ntrvalo ndpndnt da ocorrênca d outros vntos; o Quando os tmpos ntr ocorrêncas d vntos são ndpndnts dntcamnt dstrbuídos sgundo uma dstrbução xponncal. 4

5 Uma varávl alatóra Y tm dstrbução d Posson s sua função d probabldads for dada por: λ y λ y! ( = y) =, y =,,,... ; λ >. P Y Sja Y ~ Posson ( λ). Então: E ( ) λ ; Var ( Y ) = λ. = Y = A dstrbução d Posson prtnc à famíla xponncal d dstrbuçõs, tndo função d varânca ( ) = V parâmtro d dsprsão φ =. 5

6 Modlo d rgrssão log-lnar No contxto d modlos lnars gnralzados, vamos consdrar ndpndnts, com Y Posson ( ) ~, =,,..., n. Y,...,, Y Yn varávs alatóras Adconalmnt, sjam = ( x x,..., x ) cada obsrvação na amostra. x, =,,..., n, vtors d covarávs corrspondnts a, p Usando a função d lgação logarítmca, o modlo lnar gnralzado fcara spcfcado da sgunt forma: ( ) Y x ~ Posson ( ) = ln( ) = x x pxp η = g.... 6

7 Na scala da méda da dstrbução, tmos: g η x x x... p xp ( η ) = = = =. O dsvo para o modlo d Posson fca dado por: ( ) = n y D y ; ˆ y ln ( ˆ y ) =, ˆ = g η ˆ η = x ˆ, uma vz qu sua log-vrossmlhança é dada por: sndo ˆ ( ˆ ) { ˆ y ln( ˆ ) ln( y! )} l ( ˆ;y). = n = 7

8 Intrprtação dos parâmtros no modlo log-lnar Dvdo ao uso da função d lgação logarítmca, os parâmtros m um modlo d rgrssão d Posson rfltm os ftos multplcatvos das covarávs. Suponhamos qu o prdtor lnar contmpl apnas uma varávl numérca: ln x ( ) x = =. Consdr ndvíduos para os quas x = k x = k, rspctvamnt. A razão das médas (rspostas spradas) para ndvíduos como sts fca dada por: ( k ) = = k. 8

9 Assm, corrspond à razão ntr as médas (valors sprados) para ndvíduos com x = k x = k. Ou anda, a méda d y é multplcada mdant acréscmo d uma undad m x. Adconalmnt, corrspond à razão ntr as médas para ndvíduos com x = k x = k. Suponhamos qu o prdtor lnar contmpl apnas uma varávl dcotômca, ndcadora d alguma varávl catgórca: ln x ( ) x = =, ond x = s o ésmo ndvíduo prtnc a uma catgora A, x = s o ésmo ndvíduo prtnc a uma catgora B. 9

10 A razão das médas para ndvíduos da catgora B m rlação a ndvíduos da catgora A fca dada por: B = = A. Assm, corrspond à razão das médas (valors sprados) para ndvíduos da catgora B m rlação à méda para ndvíduos da catgora A.

11 S tvéssmos anda uma catgora C, ntão dfnríamos, por xmplo: = caso contráro B s ndv tpo x,, ; = caso contráro sndv tpo C x,,, confgurando: ( ) ln x x x x = =. Logo, as razõs ntr as médas fcaram dadas por: A: m rlação a B A B = = ; A: m rlação a C A C = = ; B : C m rlação a ( ) = = B C.

12 Caso o prdtor lnar contnha múltplas varávs, as ntrprtaçõs são dêntcas, dvndos rssaltar, no ntanto, qu a razão d médas calculada para uma partcular varávl consdra qu mantmos fxos os valors das dmas varávs.

13 Modlo d Posson com tmpos d acompanhamnto dfrnts Na análs d dados d contagns, é comum qu os lmntos prsnts na amostra aprsntm dfrnts xposçõs (tmpos d acompanhamnto ou dfrnts xtnsõs d ára, volum...); Em stuaçõs dss tpo, é ncssáro ncorporar ssa nformação ao modlo, d manra a modlarmos a taxa d ocorrênca por undad d tmpo (ou spaço). Sjam Y,...,, Y Yn varávs alatóras ndpndnts, com Y Posson ( ) ~, =,,..., n, sjam t, t,..., t n os rspctvos tmpos d acompanhamnto, d tal forma qu = λt. Nss caso, tmos: ( ) Y ~ Posson, = = λt λ. t 3

14 Consdrando a função d lgação logarítmca: ln t ( λ ) = ln = x x... pxp. Assm: ( ) = x x... x ln( t ), ln p p d tal forma qu ln ( t ) dv sr ncorporado ao prdtor lnar como um trmo (constant) conhcdo (sm qualqur parâmtro assocado) a fm d ajustar a rsposta plos dfrnts nívs d xposção. Em stuaçõs como ssa, nos rfrmos ao trmo m qustão como trmo offst. 4