Análise de regressão

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1 Análs d rgrssão Slvana Lags Rbro Garca FDV Hlo Garca Lt UFV Um dos usos da análs d rgrssão é vrfcar s, como, uma ou mas varávs ndpndnts nfluncam o comportamnto d outra varávl dpndnt Y. As varávs ndpndnts podm sr fxas, como no caso d tratamntos quanttatvos por xmplo: doss d adubo, nívs d protína, dad d plantas ou alatóras, como por xmplo, dâmtro d árvors, pso d anmas, bomassa sca d plantas. Do ponto d vsta statístco, fazr uma análs d rgrssão consst m stablcr uma rlação funconal ntr a varávl dpndnt Y as varávl s ndpndnts, ou sja, Y f,,,, sndo p o númro d varávs ndpndnts obtr tstar p as stmatvas dos parâmtros dssa rlação. Modlo statístco da rgrssão A rlação ntr a varávl dpndnt Y as varávls ndpndnts é dnomnada modlo, podndo-s aprsntar d duas manras: modlo lnar ou modlo nãolnar. Nst documnto, apnas os modlos lnars srão abordados. Modlo lnar Dada uma varávl dpndnt Y, com,,, n obsrvaçõs p varávs ndpndnts, também com,,, n obsrvaçõs, o modlo d rgrssão lnar na forma algébrca é: Y m qu Y é a varávl dpndnt, obtda na obsrvação.,,,, p são os parâmtros da rgrssão.,,, p são as varávs ndpndnts, na obsrvação. é o rro assocado à obsrvação Y. Na forma matrcal, o modlo lnar pod sr aprsntado como: Y + ε m qu Y é o vtor d obsrvaçõs. é a matrz d varávs ndpndnts. é o vtor d parâmtros. ε é o vtor d rros. Sndo: x x x p Y x x x p xn xn x pn p n n n p p p+ p+ ε n n

2 Prssuposçõs do modlo lnar. A varávl dpndnt Y é função lnar das varávls ndpndnts.. Os valors das varávls ndpndnts são fxos, sto é, não é uma varávl alatóra. D acordo com Lt 99, pod-s dmonstrar qu sob dtrmnadas prssuposçõs, s for uma varávl alatóra, os rsultados obtdos contnuam váldos, s prssupõ-s qu os valors d são fxos.. A méda dos rros é nula, sto é, E ou E ε φ. Essa prssuposção xclu a xstênca d rros sstmátcos na mnsuração da varávl dpndnt Y Lt, 99. As prssuposçõs, são ncssáras para dmonstrar qu os stmadors d mínmos quadrados são não-tndncosos, ou sja, E ˆ. 4. A varânca do rro ou varânca rsdual é smpr gual à σ, ou sja, V σ, qu mplca m rros homocdástcos. Quando não é razoávl supor qu os rros são homocdástcos, dv-s utlzar um método pondrado para obtr as stmatvas do vtor, ou sja, o método dos mínmos quadrados pondrados Lt, 99.. Os rros são ndpndnts, ou sja, E,, para. Isso sgnfca qu cov,, ou sja, os rros são não-corrlaconados. Sgundo Lt 99, ssa prssuposção, m gral, não é atndda quando s trabalha com sérs cronológcas d dados, sndo ndcado para a obtnção das stmatvas do vtor, o método dos mínmos quadrados gnralzados. As prssuposçõs,,, 4 prmtm dmonstrar qu os stmadors d mínmos quadrados são lnars, não-tndncosos d varânca mínma Lt, Os rros sgum a Dstrbução Normal, ou sja, ~ N, σ ou ε ~ N φ, Iσ, ond N sgnfca normalmnt dstrbuído I é a matrz dntdad. Essa prssuposção é ncssára para a construção d tsts d ntrvalos d confança para os parâmtros do modlo admtdo. Problmas da análs d rgrssão D acordo com Lt 99, o problma básco da tora d rgrssão consst m:. Estmar os parâmtros do modlo admtdo.. Construr tsts d sgnfcânca para sss parâmtros.. Construr ntrvalos d confança para sss parâmtros, com bas na quação obtda. Estmadors dos parâmtros do modlo d rgrssão A stmatva dos parâmtros do modlo d rgrssão pod sr fta por mo d métodos como: método dos mínmos quadrados ordnáros MMQO, método dos mínmos quadrados m dos stágos MMQS, método dos mínmos quadrados pondrados MMQP método dos mínmos quadrados gnralzados MMQG. A scolha d um ou outro método dpndrá do atndmnto das prssuposçõs antrormnt ctadas. O MMQS é usado quando há ntrss m ajustar um sstma d quaçõs smultânas. Nst documnto, srá abordado o método dos mínmos quadrados ordnáros, qu s aplca à maora dos casos ncontrados.

3 Método dos mínmos quadrados ordnáros Consdrando o modlo d rgrssão lnar, m sua forma matrcal Y + ε, o rro é dado por: ε Y. A soma d quadrados dos rros SQE pod sr obtda por: SQE ε ε Y Y ε ε Y Y ε ε Y Y Y Y + Como as matrzs Y Y têm dmnsõs x são mutuamnt transpostas, pod-s scrvr qu Y Y. Dsta forma, a soma d quadrados dos rros pod sr scrta como: ε ε Y Y Y + Sab-s qu, para obtr o ponto d mínmo da soma d quadrados dos rros, é ncssáro fazr a dfrncal δ d ε ε m rlação a, gualando o rsultado a zro φ. Assm, pod-s scrvr: δ ε ε δ Y Y Y + δ δ δ ε ε δ Y + δ + δ Como δ δ têm dmnsõs x são mutuamnt transpostas, têm-s δ δ a dfrncal da soma d quadrados dos rros pod sr scrta como: δ ε ε δ Y + δ δ ε ε δ Y Sndo δ arbtráro, s a soma d quadrados dos rros for gualada a zro φ, tms: δ ε ε φ ˆ Y φ, ˆ Y, qu é o sstma d quaçõs normas, sndo ˆ o vtor dos stmadors dos parâmtros do modlo d rgrssão admtdo. Para rsolvr ss sstma d quaçõs, ou sja, para obtr o stmador ˆ, s é uma matrz não-sngular dtrmnant dfrnt d zro ntão a matrz nvrsa comum pod sr pré-multplcada a ambos os mmbros do sstma d quaçõs normas, da sgunt forma: ˆ Y pré-multplcar a matrz ˆ Y sndo I, matrz dntdad ˆ Y é o stmador d mínmos quadrados, qu torna mínma a soma d quadrados dos rros. Ao s obtr as stmatvas por mo do stmador ˆ, stá s obtndo os cofcnts da quação d rgrssão plo método dos mínmos quadrados ordnáros. Análs d varânca da rgrssão tst F Toda análs d varânca consst no dsdobramnto da varação total m parts dvdas a fonts d varação ntnconal não-controlada. Na análs d varânca da

4 rgrssão sgu-s o msmo procdmnto, obtndo-s as somas d quadrados total, dvdo à rgrssão ndpndnt da rgrssão. Hpótss: H : os cofcnts d rgrssão são guas a zro. p H : não H xst plo mnos um cofcnt d rgrssão dfrnt d zro. Soma d quadrados total A soma d quadrados total é dada por: SQtotal Y Y C a com GLtotal n graus d lbrdad quando o modlo nclu a constant. b com GLtotal n quando o modlo não nclu a constant. sndo C a corrção obtda por: C n n Soma d quadrados da rgrssão A soma d quadrados da rgrssão, também dnomnada soma d quadrados dvda à rgrssão, é dada por: SQrg Y C, com GLrg p graus d lbrdad, sndo p o númro d varávs ndpndnts no modlo. Soma d quadrados do rsíduo da rgrssão: A soma d quadrados do rsíduo da rgrssão, também dnomnada soma d quadrados dos dsvos da rgrssão ou soma d quadrados ndpndnt da rgrssão, ou soma d quadrados dos rros da rgrssão, conform já vsto, é dada por: SQRrg ε ε Y Y ε ε Y Y ε ε Y Y Y Y + Como as matrzs Y Y têm dmnsõs x são mutuamnt transpostas, pod-s scrvr qu Y Y. Dsta forma, a soma d quadrados dos rros pod sr scrta como: SQRrg Y Y Y + Como ˆ Y, tm-s: SQRrg Y Y ˆ Y + ˆ Y Logo, SQRrg Y Y ˆ Y, a com GLRrg n p graus d lbrdad quando o modlo nclu a constant. b com GLRrg n p quando o modlo não nclu a constant. Na prátca, a SQRrg é obtda pla dfrnça ntr a soma d quadrados total a soma d quadrados da rgrssão, ou sja: SQRrg SQtotal SQrg Quadrado médo da rgrssão O quadrado médo da rgrssão é obtdo pla razão ntr a soma d quadrados os graus d lbrdad da rgrssão, ou sja: 4

5 SQrg SQrg QMrg GLrg p Quadrado médo do rsíduo da rgrssão O quadrado médo do rsíduo da rgrssão é obtdo pla razão ntr a soma d quadrados d rsíduos os graus d lbrdad do rsíduo da rgrssão, ou sja: SQRrg QMRrg, sndo GLRrg n p ou GLRrg n p GLRrg F calculado O valor d F calculado é obtdo pla razão ntr o quadrado médo da rgrssão o quadrado médo do rsíduo da rgrssão, ou sja: QMrg F cal QMRrg F tablado: F GLrg; GLRrg F tab α, m qu α é o nívl d sgnfcânca, GLrg é o númro d graus d lbrdad da rgrssão GLRrg é o númro d graus d lbrdad do rsíduo da rgrssão Tablas 8 9. A análs d varânca da rgrssão pod sr aprsntada como no Quadro. Quadro Análs d varânca da rgrssão FV GL SQ QM F Rgrssão P SQrg QMrg F cal Rsíduo n- p ou n p SQRrg QMRrg Total n ou n SQtotal Rgra d dcsão S Fcal Ftab, a rgrssão é sgnfcatva, ou sja, xst plo mnos um cofcnt d rgrssão statstcamnt dfrnt d zro, consdrando o nívl α d sgnfcânca. S F cal < Ftab, a rgrssão é não-sgnfcatva, ou sja, todos os cofcnts d rgrssão são statstcamnt nulos, consdrando o nívl α d sgnfcânca. Tsts d sgnfcânca para os parâmtros d rgrssão: Os parâmtros do modlo d rgrssão, sja aprsntado na forma algébrca, Y p p ou matrcal, Y + ε, podm sr tstados. Para sso, é ncssáro conhcr as varâncas as covarâncas dos parâmtros. A stmatva da matrz d varâncas covarâncas dos parâmtros d modlo d rgrssão, dnotada por c ôv ˆ é dada por:

6 côv ˆ S Vˆ ˆ côv ˆ ˆ, côv ˆ, ˆ ˆ ˆ côv, p cov ˆ ˆ, Vˆ ˆ côv ˆ, ˆ côv ˆ, ˆ p côv ˆ ˆ, côv ˆ, ˆ Vˆ ˆ côv ˆ, ˆ m qu S é o quadrado médo do rsíduo da rgrssão p côv ˆ ˆ, p côv ˆ ˆ, p côv ˆ, ˆ p ˆ Vˆ p QMRrg, dnomnado varânca rsdual. Vˆ ˆ é a stmatva da varânca do parâmtro. c ôv ˆ, ˆ é a stmatva da covarânca ntr os parâmtros, para. Os rros-padrão das stmatvas dos parâmtros d rgrssão são obtdos xtrando-s a raz quadrada das varâncas, dspostas na dagonal prncpal da matrz d varâncas covarâncas, sndo utlzados nos tsts d sgnfcânca dos parâmtros. O tst mas utlzado para vrfcar a sgnfcânca dos parâmtros da rgrssão é o tst t, dscrto a sgur: Hpótss: H : ou sja, o cofcnt d rgrssão é statstcamnt nulo H :. o cofcnt d rgrssão é dfrnt d zro. Dfrnça mínma sgnfcatva DMS: A dfrnça mínma sgnfcatva DMS do tst t é obtdo m função do nívl d sgnfcânca α do tst do númro d graus d lbrdad do rsíduo da rgrssão GLRrg, ou sja: t tab tα GLRrg tα n p para modlos qu nclum Tabla. t tab tα GLRrg tα n p para modlos qu não nclum Tabla. Estmatva do t a sr tstado: ˆ tcal S ˆ Na maora dos casos, por hpóts,. Assm, o t calculado é xprsso por: ˆ tcal S ˆ m qu t é a stmatva do t calculado. cal ˆ é a stmatva do parâmtro a sr tstado. ˆ S é o rro-padrão da stmatva do parâmtro d rgrssão. Rgra d dcsão: - S t cal ttab, rjta-s H, ou sja, o cofcnt d rgrssão é statstcamnt dfrnt d zro, ao nívl α d probabldad. - S t cal < ttab, não s rjta H, ou sja, o cofcnt d rgrssão é statstcamnt nulo, ao nívl α d probabldad. Obsrvaçõs: - A hpóts a sr tstada não ncssaramnt tm qu sr nula. - Algumas vzs pod sr d ntrss tstar a constant d rgrssão. - É mportantíssmo qu os cofcnts d rgrssão sjam sgnfcatvos. 6

7 - Intrvalos d confança para as stmatvas dos parâmtros podm sr obtdos por: IC ˆ : ˆ ± S ˆ t. α Qualdad do ajust da quação d rgrssão: Uma vz ajustada a quação d rgrssão, sja plo método matrcal, com o uso da xprssão ˆ Y ou por mo d somatóros não aprsntados nst documnto, vrfcado o tst F da análs d varânca tstadas as sgnfcâncas dos cofcnts, a qualdad do ajust dv sr vrfcada. O cofcnt d dtrmnação, o rro-padrão o cofcnt d varação da rgrssão podm sr utlzados com ss propósto, além da análs gráfca dos rsíduos da rgrssão. É mportant também analsar os snas dos cofcnts da quação fazr as dvdas ntrprtaçõs.. Cofcnt d dtrmnação O cofcnt d dtrmnação R é dfndo como a part da varação total da caractrístca studada qu pod sr xplcada pla quação d rgrssão. A proporção da varávl dpndnt Y qu stá sndo xplcada plas varávls ndpndnts também dfn o cofcnt d dtrmnação, qu é dado por: SQrg R SQtotal m qu R é o cofcnt d dtrmnação. SQrg é a soma d quadrados da rgrssão. SQtotal é a soma d quadrados total. A ampltud do cofcnt d dtrmnação é R, ou, xprssa m porcntagm, R %, ndcando qu quanto mas próxmo d um ou d %, mlhor srá a qualdad do ajust.. Cofcnt d dtrmnação corrgdo Quando o númro d obsrvaçõs é gual a dos pontos, ntr ls só é possívl ajustar a quação d uma únca rta, com cofcnt d dtrmnação máxmo, gual a. Nst caso, os dsvos da rgrssão são nulos. Pod-s dzr ntão, qu o cofcnt d dtrmnação R é dpndnt do númro d obsrvaçõs n da amostra tnd a aumntar quando n dmnu. Para contornar ss problma é utlzado o cofcnt d dtrmnação corrgdo R, também chamado cofcnt d dtrmnação corrgdo ou ajustado para os graus d lbrdad xprsso por: R R R n m qu R é o cofcnt d dtrmnação corrgdo. R é o cofcnt d dtrmnação. n é o númro d obsrvaçõs. Obsrvaçõs: - R R, xcto quando R 7

8 - O R pod sr ngatvo. - Na prátca, quando o modlo d rgrssão é lnar smpls, com forma algébrca: Y + +, o cofcnt d dtrmnação, nclusv o corrgdo, é dnotado por ltra mnúscula, ou sja, é scrto como. Erro-padrão da rgrssão r ou r. O rro-padrão da rgrssão S md a varação das obsrvaçõs m torno da curva x grada pla quação, ou sja, md os dsvos da rgrssão é dado por: S x QMRrg O ntrvalo da dsprsão das obsrvaçõs pod sr dfndo, s for assocada uma dstrbução d probabldad ao rro-padrão da rgrssão, consdrando um nívl d sgnfcânca α. Por xmplo, s for utlzada a dstrbução t o nívl d sgnfcânca α, m α das vzs m qu for ajustado o modlo d rgrssão, a stmatva do rro-padrão stará no ntrvalo ± S x t. α 4. Cofcnt d varação da rgrssão Outra mdda da qualdad do ajust d uma quação é o cofcnt d varação da rgrssão, xprsso m porcntagm da méda da varávl dpndnt. Esta mdda é dada por: QMRrg CV. Y m qu CV é o cofcnt d varação. QMRrg é o quadrado médo do rsíduo da rgrssão. Y é a méda dos valors obsrvados da varávl dpndnt Y.. Análs gráfca dos rsíduos: Em qualqur análs d rgrssão, dsd qu o númro d obsrvaçõs não sja muto rduzdo n, é mportant ftuar análss gráfcas dos rsíduos. Estas análss rsultam m uma vsão clara da qualdad do ajust, da possívl ocorrênca d tndêncas ndsjávs suprstmação ou substmação da prsnça d dados dscrpants qu às vzs podm sr caractrzados como outlrs lmnados procdndo-s um novo ajust do modlo. Prmtm anda dntfcar o uso d um modlo nadquado a volação d prssuposçõs da análs d varânca. Os rsíduos da rgrssão são dfndos como as dfrnças ntr os valors stmados pla quação os valors obsrvados da varávl dpndnt Y, ou sja, ˆ Y ˆ Y. Exstm váras formas d s fazr a análs gráfca dos rsíduos da rgrssão, ntr las: a Gráfco d Y Ŷ vrsus ; b Gráfco d Ŷ stmatva da varávl dpndnt vrsus Y varávl dpndnt obsrvada; c Dstrbução d frqüênca dos dsvos da rgrssão; d Gráfco d dsvos prcntuas. 8

9 Y obsrvado Y stmado Y stmado a x b Y obsrvado Frquênca Dsvos % Dsvos % c d Y obsrvado Exmplo : Em um planto d soja, num sstma agroflorstal, foram amostradas plantas, alatoramnt, durant um príodo d oto das após a aplcação d um dtrmnado hrbcda. A bomassa sca da part aéra, m g/planta, com o objtvo d studar su crscmnto. Os dados mnsurados são aprsntados no Quadro. Quadro Bomassa sca d soja, m g/planta Planta Tmpo das Bomassa Para studar a rlação funconal ntr o tmpo a bomassa dv-s fazr ncalmnt um gráfco d dsprsão a fm d vrfcarmos a prsnça d outlrs analsar o comportamnto dos dados. 9

10 Tmpo das Bomassa g/planta Fgura 4 Bomassa sca obsrvada da part aéra d plantas d soja. Nsta dsprsão não foram dtctados outlrs obsrvou-s qu a bomassa aumnta lnarmnt com o aumnto do tmpo, sugrndo qu o modlo lnar smpls pod sr adquado para dscrvr a rlação funconal. Cab lmbrar qu m gral ss tpo d dado aprsnta comportamnto com tndênca sgmodal ou xponncal; aqu, para smplfcação, fo utlzado apnas um pquno sgmnto d dados com tndênca lnar.. O modlo statístco na forma algébrca é: Y + + O modlo statístco na forma matrcal é: ε + Y m qu Y ε Ajust da quação d rgrssão: Obtnção da matrz :

11 Dtrmnant da matrz : dt Como é uma matrz não-sngular ou sja, com dtrmnant dfrnt d zro, xst a matrz nvrsa comum, dada por: [ cof ] dt sndo [ cof ] a transposta da matrz d cofators d. Matrz d cofators d + c cof c 99 : [ ] [ 99] [ ] [ ] [ ] c dt + c dt + c dt + c dt Transposta da matrz d cofators também chamada d matrz adjunta: 99 [ cof ] Matrz nvrsa comum : 99,,977 dt 6,977, Matrz Y : Y Estmatva do vtor d parâmtros da rgrssão: ˆ ˆ,, ,86 Y,977, ,49 ˆ Equação ajustada: Y ˆ 4, ,49 Análs d varânca da rgrssão: Soma d quadrados total: SQtotal Y Y C c c [ cof ]

12 Y Y [ ] 66.86, n.6 Corrção: C 68.98, 7 n SQtotal Y Y C 66.86, 68.98, , com GLtotal n g.l. Soma d quadrados da rgrssão: SQrg ˆ Y C.6 SQrg [ 4,86 44,49] 68.98, SQrg 66.8, ,7 9.48,, com GLrg p g.l. Soma d quadrados do rsíduo da rgrssão: SQRrg Y Y ˆ Y SQRrg 66.86, 66.8,76 6,4, com GLRrg n p g.l. Quadro 4 Análs d varânca da rgrssão FV GL SQ / QM / F Rgrssão 9.48, 9.48, 7,44 ** Rsíduo 6,4,64 Total 9.884, ** F sgnfcatvo a % d probabldad. F tablado: F α GLrg; GLRrg F α p; n p F % ;, 4 Tabla 9. F tab Rgra d dcsão: Como F cal > Ftab, rjta-s H, ou sja, xst plo mnos um cofcnt d rgrssão statstcamnt dfrnt d zro, a % d probabldad. Nst caso, como o únco cofcnt d rgrssão é o, o tst F é conclusvo. O tst t para o cofcnt d rgrssão é dspnsávl, uma vz qu é válda a rlação t F. Apsar dsso, a sgnfcânca do cofcnt srá tstada para fto ddátco.

13 Tst d sgnfcânca para os parâmtros: Hpótss: H : ou sja, o cofcnt d rgrssão é statstcamnt nulo H :. o cofcnt d rgrssão é dfrnt d zro. Dfrnça mínma sgnfcatva DMS: t tab t α GLRrg t α n p t % t%, t %,7 Tabla. ˆ ˆ ˆ Vˆ côv, Matrz d varâncas covarâncas: côv ˆ S ˆ ˆ ˆ côv, Vˆ,,977 7,877,8 côv ˆ,64,977,,8,76 Estmatva do t a sr tstado: ˆ 44,49 tcal,48 S ˆ,76 Rgra d dcsão: Como t cal > ttab, rjta-s H, ou sja, o cofcnt d rgrssão é statstcamnt dfrnt d zro, a % d probabldad, plo tst t. Qualdad do ajust: SQrg 9.48,. Cofcnt d dtrmnação: r, 9964 SQtotal 9.884, ou sja, 99,64% da varação na bomassa pod sr xplcada pla varação do tmpo.. Erro-padrão: QMRrg,64, 7986 S x ou sja, a dsprsão dos dados m torno da rgrssão ajustada é d, 7986 g/planta. QMRrg,649. Cofcnt d varação: CV..,66% Y 7,7 ou sja, a dsprsão dos dados m torno da rgrssão ajustada, m rlação à méda é gual a,66%. 4. Análs gráfca dos rsíduos, d Y Yˆ vrsus d gráfco d dsvos prcntuas Bomassa g/planta Tmpo das Bomassa stmada g/planta Bomassa obsrvada g/planta Dsvos % Bomassa obsrvada g/planta Exmplo : Em um planto d mlho do msmo sstma agroflorstal da qustão antror, foram amostradas parclas, alatoramnt, nas quas foram avalados a altura da prmra spga, o tor d protína a produção por hctar Y. Para avalar o fto da altura da

14 prmra spga do tor d protína sobr a produção, pod-s ajustar um modlo d rgrssão qu dscrva tas rlaçõs. Os dados mnsurados são aprsntados no Quadro. Quadro Altura da prmra vagm, tor d protína produção d mlho Parcla Altura cm Protína mg Produção kg/ha Y,6 8,, 6,, 6 8,4 4, 86,,8 4, 6, 99 7, 7, 98, 8, 9 76, 9,6 94,7,68 6 4,8,7 9 84,,86 4 7,, 7 6,9 4,78 88,6,9 6,7 6, 6 99,9 7, 4 78, 8,6 7,4 9, 4,7, 8,,44 9,, 6 86,, 6, 4,6 7 8,8,77, Para studar a rlação funconal ntr a altura da prmra spga do tor d protína com a produção, dv-s ncalmnt fazr um gráfco d dsprsão para a produção m função da altura da prmra spga outro, da produção m função do tor d protína, conform a sgur. 4 4 Produção kg/ha Produção kg/ha,,,,, Altura da prmra spga cm Tor d protína mg Nstas dsprsõs não foram dtctados outlrs obsrvou-s qu a produção d mlho aumnta à mdda qu tanto a altura da prmra spga Fgura como o tor d protína Fgura 6 aumntam. As Fguras sugrm qu xst uma rlação funconal da varávl dpndnt, d fto lnar smpls com ambas as varávs ndpndnts. Nst caso, o modlo lnar múltplo a sr studado é: Y modlo statístco na forma algébrca 4

15 ou m qu Y 4 Y + ε modlo statístco na forma matrcal,, 8,4 8,8,,6,,,6, Y 4 Ajust da quação d rgrssão: Obtnção da matrz :,6,,, ,77,6,,,6, ,,7.88,,7 8,47.,7.88,., , Dtrmnant da matrz : O dtrmnant da matrz pod sr calculado pla rgra d Sarrus.,,7.88,,,7,7 8,47.,7,7 8,47.88,., ,.88,.,7 dt, 8, , +,7.,7.88, +.88,,7.,7,7,794.44,,.,7.,7.88,8,47.88, dt.7.,4 Como é uma matrz não-sngular ou sja, com dtrmnant dfrnt d zro, xst a matrz nvrsa comum, dada por: [ cof ] dt sndo [ cof ] a transposta da matrz d cofators d Matrz d cofators d : c c c ,6 87.4,9 [ cof ] c c c 87.4, , c c c., ,9 + 8,47.,7 c dt ,6., , +,7.,7 c dt 87.4,9.88, 94.44, +,7 8,47 c dt.,74.88,.,7., ,9 78,

16 6 87.4, ,.,7.88,,7 dt + c.966.6, 94.44,.88,.88,, dt + c 9.874,9.,7.88,,7, dt + c.,74.,7 8,47.88,,7 dt + c 9.874,9.,7,7.88,, dt + c 78, 8,47,7,7, dt + c Transposta da matrz d cofators também chamada d matrz adjunta: [ ] 78, 9.874,9., , , 87.4,9.,7 87.4, ,6 cof Matrz nvrsa comum : [ ] dt cof 78, 9.874,9., , , 87.4,9.,7 87.4, ,6.7.,4,,47,,47,87,87,,87,77 Matrz Y : 6.88,4 4.8, 4.,6, 8,8 8,4,, ,77,6,,,6 Y Estmatva do vtor d parâmtros da rgrssão: 6.88,4 4.8, 4.,6,,47,,47,87,87,,87,77 ˆ Y ˆ ˆ ˆ,64,7,9 ˆ Y

17 Equação ajustada: Y ˆ,9 +,7 +,64 Análs d varânca da rgrssão: Soma d quadrados total: Y Y SQtotal Y Y C,, 8,4 8,8, [,, 8,4 8,8,] , 9 n 4.,6 Corrção: C 7.8, 7 n SQtotal Y Y C ,9 7.8,7 7.8, com GLtotal n 4 g.l. Soma d quadrados da rgrssão: SQrg ˆ Y C 4.,6 SQrg [,9,7,64] 4.8, 7.8, ,4 SQrg 89.89,4 7.8,7 7.,86, com GLrg p g.l. Soma d quadrados do rsíduo da rgrssão: SQRrg Y Y ˆ Y SQRrg , ,4,47, com GLRrg n p g.l. Quadro 6 Análs d varânca da rgrssão FV GL SQ QM F Rgrssão 7.,86.676,4.94,84 ** Rsíduo,47,486 Total 4 7.8, ** F sgnfcatvo a % d probabldad. F tablado: F α GLrg; GLRrg F α p; n p F ;, 7 Tabla 9. F tab % Rgra d dcsão: Como F cal > Ftab, rjta-s H, ou sja, xst plo mnos um cofcnt d rgrssão statstcamnt dfrnt d zro, a % d probabldad. Nst caso, pod sr qu a sgnfcânca aprsntada no tst F sja dvda apnas ao cofcnt, ao cofcnt, ou a ambos. É ncssáro tstar sss cofcnts por mo do tst t. 7

18 Tst d sgnfcânca para os parâmtros: Matrz d varâncas covarâncas: côv ˆ V ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ côv, côv, côv ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ côv, Vˆ côv, côv ˆ, ˆ côv ˆ, ˆ ˆ V,77,87, côv ˆ,87,87,47,486,,47,,9,99,7 côv ˆ,99,66,,7,,9 Tst t para o cofcnt : Hpótss: H : ou sja, o cofcnt d rgrssão é statstcamnt nulo H : o cofcnt d rgrssão é dfrnt d zro. Dfrnça mínma sgnfcatva DMS: t tab t α GLRrg t α n p t % t%,7 t %,8 Tabla. S Estmatva do t a sr tstado: ˆ ˆ t cal S ˆ Vˆ ˆ,7,,66 Rgra d dcsão: Como t cal > ttab, rjta-s H, ou sja, o cofcnt d rgrssão é statstcamnt dfrnt d zro, a % d probabldad, plo tst t. Tst t para o cofcnt : Hpótss: H : ou sja, o cofcnt d rgrssão é statstcamnt nulo H : o cofcnt d rgrssão é dfrnt d zro. Dfrnça mínma sgnfcatva DMS: t tab t α GLRrg t α n p t % t%,7 t %,8 Tabla. Estmatva do t a sr tstado: ˆ ˆ t cal S ˆ Vˆ ˆ,64,9,47 8

19 Rgra d dcsão: Como t cal > ttab, rjta-s H, ou sja, o cofcnt d rgrssão é statstcamnt dfrnt d zro, a % d probabldad, plo tst t. Qualdad do ajust: SQrg 7.,86 Cofcnt d dtrmnação: r, 9999 SQtotal 7.8, ou sja, 99,99% da varação na produção d mlho pod sr xplcada pla varação da altura da prmra spga do tor d protína. Erro-padrão: QMRrg,486, 4986 S x ou sja, a dsprsão dos dados m torno da rgrssão ajustada é d, 4986 kg/ha. QMRrg,486 Cofcnt d varação: CV..,% Y 68,8 ou sja, a dsprsão dos dados m torno da rgrssão ajustada, m rlação à méda é gual a,%. Análs gráfca dos rsíduos: Produção stmada kg/ha 4 4 Produção obsrvada kg/ha Dsvos %,,, -, -, 4 Produção obsrvada kg/ha Produção kg/ha 4,,8,4 Altura cm 4 Prot. mg 9