UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA CE 071 ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR. Cesar Augusto Taconeli

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA CE 7 ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR Cesar Augusto Taconel Curtba-PR

2 . INTRODUÇÃO Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear Ao se tratar da relação exstente entre duas ou mas varáves, deve-se dstngur se essa relação é funconal ou estatístca. Apresenta-se, na seqüênca, uma breve descrção de cada um desses tpos de relação. Relação funconal: A relação funconal exstente entre duas varáves e Y pode ser representada da segunte forma: Y = f ( ). Assm, para qualquer valor da varável pode-se determnar com exatdão o correspondente valor da varável Y. Exemplo Uma rede de lojas vende um determnado produto por R$,. Seja o número de produtos venddos e Y o valor arrecadado com as vendas desse produto. A relação exstente entre Y e pode ser formulada da segunte manera: Y =. Suponha que os dados apresentados na seqüênca representem as quantdades venddas e o conseqüente faturamento em três lojas da rede: Loja Número de vendas Faturamento 5 (R$) A Fgura representa a relação funconal exstente entre e Y por meo de uma reta. Repare que os três pontos, produzdos pelos resultados avalados em cada uma das três lojas, encontram-se exatamente sobre a reta que descreve a relação. Isso caracterza uma relação funconal. Faturamento (Y) Undades venddas () Fgura Gráfco da relação funconal entre o número de undades venddas e o faturamento das lojas.

3 Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear Exemplo A tarfa cobrada pelos taxstas de uma certa cdade obedece às seguntes regras. Logo no níco do percurso, é cobrada uma taxa de R$4,5. A partr desse momento, a tarfa é aumentada em R$5, a cada qulômetro percorrdo. Consderando Y o valor da tarfa e a dstânca (em metros) percorrda, a segunte relação funconal é estabelecda: Y = 4,5 + 5, Assm, caso um passagero percorra = km, deverá pagar Y = 4,5 + 5,* = 9, 5, enquanto que outro passagero que percorra =, 5km deverá pagar Y = 4,5 + 5,*,5 = 7,. A relação funconal em questão, bem como os percursos e as cobranças referentes aos dos passageros que servem como exemplos, são representados na Fgura. Observe que os resultados relatvos aos dos passageros encontram-se sobre a reta que lustra a relação entre as varáves. Dada a dstânca percorrda pelo passagero, determna-se o valor a ser pago, caracterzando a relação funconal. Valor da corrda (Y) Qulômetros rodados () Fgura Gráfco da relação funconal entre o número de qulômetros rodados e o valor da corrda. Relação estatístca: É comum que a varável Y seja afetada por outras varáves além de. Nessas stuações, não é possível determnar com exatdão o valor de Y com base no valor de. Assm, as observações não concdem exatamente com a função que representa a relação. Isso confgura uma relação estatístca. Exemplo 3 - Um estudo tem por objetvo relaconar o consumo calórco médo semanal ( ) e a perda de peso ( Y ) de pacentes obesos. Os resultados verfcados em uma amostra de pacentes são representados na Fgura 3, ndcando exstênca de relação entre as duas varáves. Também é representada uma reta que lustra a relação entre as duas varáves. Embora as observações encontremse dspersas em torno da reta, elas não concdem com a mesma. A varação dos pontos ao redor da reta não está assocada ao consumo calórco, mas a outros fatores que afetam a perda de peso, como o número de horas de atvdades físcas pratcadas ou a dade dos pacentes, por exemplo. Essa varação é consderada aleatóra e caracterza a relação estatístca entre as varáves. Exemplo 4 Deseja-se estudar a relação entre o número de fos de cabelos e a dade de homens. Suponha que a Fgura 4 lustre esta relação. Pelo gráfco, verfca-se que há relação entre as varáves e que esta relação é estatístca, uma vez que somente a dade não é capaz de explcar completamente o número de fos de cabelos (outros fatores, como efetos genétcos e almentação podem estar relaconados com a quantdade de fos de cabelos). No mas, têm-se ndícos de que a relação verfcada

4 Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear não é lnear, uma vez que a quantdade de fos de cabelos tende a aumentar até uma certa dade e depos passa a dmnur. Uma função quadrátca se ajustara bem ao estudo desta relação. Perda de peso (kg) Consumo calórco (Kcal) Fgura 3 Gráfco da relação estatístca entre o consumo calórco dáro e a perda de peso de pacentes obesos. Número de fos h Idade Fgura 4 Gráfco de dspersão para a quantdade de fos de cabelo segundo a dade. Outros exemplos de relações estatístcas: a) Crescmento da população ou do PNB de um país ( Y ) em função dos anos ( ); b) Varação do preço ( Y ) de um produto no mercado em função da quantdade oferecda ( ); c) Varação da produção ( Y ) obtda numa cultura conforme a quantdade de ntrogêno ( ), fósforo ( ) e potásso ( 3 ) utlzada na adubação; d) Varação da pressão sanguínea de pacentes hpertensos ( Y ) conforme a quantdade de caloras ngerdas ( ) e o número de horas de atvdades físcas ( ) dáras. 3

5 Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear A análse de regressão lnear se aplca ao estudo da relação estatístca de uma varável resposta (dependente) Y e uma ou mas varáves explcatvas (ndependentes) (,,..., p ) por meo de uma função (modelo) lnear, de tal forma que a varável resposta possa ser predta a partr das demas.. Concetos báscos Um modelo de regressão é uma manera formal de expressar dos ngredentes essencas de uma relação estatístca: I. A tendênca da varável dependente Y, que vara conforme as varáves ndependentes de manera sstemátca; II. A dspersão das observações ao redor da curva que representa a relação estatístca. Essas duas característcas são ncorporadas ao modelo de regressão postulando que: I. Na população de observações assocadas ao processo de amostragem, há uma dstrbução de probabldades de Y para cada valor de ; II. A méda desta dstrbução de probabldades vara de manera sstemátca com.. Etapas da construção de um modelo de regressão I. Determnar quas varáves explcatvas são relevantes para explcar a varável resposta. Obs: o número de varáves deve ser lmtado. II. III. IV. Determnar a forma funconal (função de regressão) do modelo (lnear, quadrátca,...); Obs: Determnada a forma funconal do modelo, este modelo deve ser valdado através dos dados. Seleconar as varáves explcatvas que devem, de fato, ser ncluídas no modelo; Determnar quas as regões de varação das varáves explcatvas que foram seleconadas. 4

6 . REGRESSÃO LINEAR SIMPLES Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear. Introdução A regressão lnear smples é a análse aplcada ao estudo da relação estatístca entre duas varáves (uma varável dependente ou resposta, Y, e uma varável ndependente ou explcatva, ) por meo de uma função lnear. A prmera etapa de uma análse de regressão lnear smples é a construção de um gráfco de dspersão, com o objetvo de avalar, de manera prelmnar, se as varáves sob estudo de fato apresentam relação lnear. A Fgura 5 apresenta dferentes tpos de relações entre pares de varáves. Y Y Relação lnear crescente Relação lnear decrescente Y 6 Y Relação não lnear Não há relação Fgura 5 Exemplos de relações estatístcas entre pares de varáves. Modelo de regressão O modelo de regressão lnear smples é expresso da segunte manera: sendo: Y = β + β + ε, Y : valor da varável resposta para o -ésmo ndvíduo; β : coefcentes do modelo; β e : valor da varável ndependente para o -ésmo ndvíduo; ε : é um erro aleatóro =,..., n. As seguntes pressuposções são fetas com relação ao modelo de regressão lnear smples:. A relação entre e Y é lnear;. Os valores de são fxos, sto é, não é uma varável aleatóra; Embora desconhecdos e não mensuráves, algumas pressuposções são fetas com respeto à dstrbução dos erros aleatóros (ε ). A prncpal fnaldade de tas pressuposções é possbltar a obtenção de nferêncas para o modelo de regressão. 5

7 Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear. A méda dos erros é nula, sto é, E( ε ) = ; v. Para um dado valor de, a varânca dos erros é constante (dzemos que os erros são homocedástcos), ou seja, ( ε ) = σ Var. v. Os erros são não-correlaconados, sto é, o valor de um erro não depende do valor de qualquer outro erro, ou seja, Cov(, ε ) = ε. j Combnando as pressuposções menconadas, tem-se que ε ~ N (, σ ) pressuposções, as seguntes propredades são verfcadas para Y :. Com base nessas. O valor observado para o -ésmo elemento ( Y ) é a soma de dos componentes: um termo constante β + β e outro aleatóro ( ε ). Portanto, Y é uma varável aleatóra;. E( Y ) = β + β, ou seja, as médas da dstrbução de Y estão sobre a reta α + β ; 3. O valor observado de Y para o -ésmo elemento ( Y ) excede o correspondente valor da função de regressão por ε ; 4. A varânca da varável resposta Y é Var ( Y ) = σ. Logo, o modelo de regressão lnear smples pressupõe que as dstrbuções de probabldades de Y têm a mesma varânca σ, ndependente do valor da varável ndependente ; 5. Desde que os erros ε e ε j são não-correlaconados, as observações Y e Y j também o são; 6. Resumdamente, as pressuposções assocadas ao modelo de regressão lnear smples mplcam que Y têm méda E( Y ) = β + β e varânca σ, constante para qualquer valor de. Além dsso, Y e Y j são não-correlaconadas, para qualquer j... Sgnfcado dos coefcentes do modelo de regressão lnear smples Os parâmetros β e β, também denomnados coefcentes de regressão, referem-se, respectvamente, ao ntercepto e à nclnação da reta. β ndca a méda de Y para = enquanto β refere-se à alteração na méda de Y ocasonada por um acréscmo de uma undade em. β β Y E(Y) = β + β x x+ Fgura 6 Sgnfcado dos parâmetros de um modelo de regressão lnear 6

8 Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear.. Estmação dos coefcentes do modelo pelo método de mínmos quadrados A estmação dos parâmetros de um modelo de regressão pode ser realzada utlzando dferentes métodos. Destaca-se aqu, ncalmente, o método de mínmos quadrados. Consdere n pares de valores, Y, com =,..., n. Para cada elemento observado (, Y ), consdere seu erro, correspondente ao desvo do valor observado Y com relação ao seu valor esperado segundo o modelo de regressão lnear smples: ( β + β ) = ε Y. O método de mínmos quadrados basea-se na determnação de estmadores para β e β que mnmzem os erros. Para tanto, deve-se consderar a soma dos n erros elevados ao quadrado, quantdade denomnada soma de quadrados dos erros (SQE): SQE = n ( Y β ) = β. Os estmadores de mínmos quadrados de β e β são os valores ˆβ e ˆβ que mnmzam SQE. Pode-se provar, sem maores dfculdades, que os estmadores de mínmos quadrados de β e β são dados por: ˆ β = Y ˆ β sendo e Y as médas amostras de e Y. Y ny ( )( ) ( ) n ( ) ( ) Y Y Y ˆ = = = β Teorema de Gauss-Markov sob as pressuposções do modelo de regressão lnear smples, os estmadores de mínmos quadrados ˆβ e ˆβ são não vcados e têm varânca mínma dentre todos os estmadores lneares não vcados...3 Estmação pontual da resposta méda Consderando ˆβ e ˆβ os estmadores de mínmos quadrados dos coefcentes de regressão, estma-se a méda de Y para um valor h da varável ndependente, pelo modelo de regressão lnear consttuído, da segunte manera: Y = ˆ β + ˆ β. ˆh Para as n observações que consttuem a amostra, denomna-se h, Y ˆ = ˆ β + ˆ β o valor ajustado pela reta de regressão para a -ésma observação. Denomna-se Y como o valor observado para a -ésma observação e a dferença entre o valor observado e o valor ajustado, 7

9 e 4 e 5 Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear e = Y Yˆ = Y ˆ β ˆ β é chamada resíduo, =,,..., n. Os resíduos desempenham mportante função na análse de regressão, sendo utlzados com o objetvo de avalar se as pressuposções estabelecdas para os erros aleatóros são atenddas. A Fgura 7 lustra os valores observados, ajustados e os resíduos de uma regressão lnear smples: e 3 Y e e Valor observado Valor ajustado Fgura 7 Ilustração dos valores observados, ajustados e dos resíduos em uma regressão lnear smples. Exemplo 4 Os dados abaxo fornecem nformações sobre o tempo de uso (em anos) e o número de defetos durante o mês passado para uma amostra de sete máqunas em uma empresa. Tempo de uso Número de defetos Consderando o tempo de uso como varável ndependente e o número de defetos como varável dependente, a) Construa um dagrama de dspersão para o número de defetos e o tempo de uso das máqunas. Comente se o gráfco obtdo fornece ndícos de relação lnear entre as varáves; b) Obtenha a reta de regressão estmada pelo método de mínmos quadrados. Representa-a no gráfco de dspersão apresentado no tem a ; c) Interprete a estmatva obtda para β, o coefcente angular do modelo; d) Estme o número médo de defetos para máqunas com anos de uso; e) Obtenha os valores ajustados pela reta de regressão para cada uma das sete máqunas. Calcule os correspondentes resíduos...4 Estmação da varânca A estmação de σ, a varânca dos erros ( ε ), fornece ndícos da varabldade da dstrbução de probabldades de Y. Além dsso, a determnação de testes de hpóteses e estmatvas ntervalares na análse de regressão requer a estmação de σ. Tome-se, ncalmente, uma stuação mas smples em 8

10 Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear que a amostra é extraída de uma únca população. Consdere a soma dos quadrados dos desvos dos elementos Y em torno da méda Y, ou seja, ( Y ) Y n =. O estmador usual (não vcado) de σ, a varânca amostral ( s ), é obtdo dvdndo essa soma de quadrados pelo respectvo número de graus de lberdade: n ( Y ) Y = s =, n também denomnado quadrado médo. Utlzando o modelo de regressão, a estmação de σ segue a mesma lógca, mas leva-se em consderação que Y, =,,..., n, vêm de dferentes dstrbuções de probabldades, com dferentes médas, conforme o valor de resíduo, dado por:. Então, o desvo de Y em relação à sua méda estmada Y ˆ é o -ésmo Y Yˆ = e, î produzndo a segunte soma de quadrados de desvos (ou de resíduos): n ( ) n ˆ ( ˆ β ˆ β ). SQ = Y Y = Y Res = = Estma-se σ pelo quadrado médo dos resíduos, obtdo dvdndo respectvo número de graus de lberdade: SQ por n, o Res QM Res n ( ) n Y ˆ ( ˆ ˆ ) Y Y β β SQRe s = = = = = n n n. A perda de dos graus de lberdade ocorre pela estmação de β e β. Pode-se demonstrar que QM Res é um estmador não vcado de σ, ou seja, E ( QM Res ) = σ. Desenvolvendo QM Res, chega-se a segunte expressão: QM = Y ˆ β Y ˆ β Y ou anda, pode-se calcular expressão:, Res ì QM Res de manera mas dreta, sem o uso de QM Y Y. n ( ) n ( Y ) n Res = Y ˆ β e ˆβ, utlzando a segunte 9

11 .3 Modelo de regressão com erros normalmente dstrbuídos Consdere novamente o modelo de regressão lnear smples Y = β + β + ε, Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear com as pressuposções anterormente especfcadas para a dstrbução dos erros, além da pressuposção adconal de que os erros têm dstrbução normal. Essa nova pressuposção permte a obtenção de estmatvas ntervalares e testes de hpóteses para os coefcentes de regressão, ntervalos de confança para respostas médas e para predções, além da determnação de estmadores de máxma verossmlhança..3. Estmação dos parâmetros do modelo por máxma verossmlhança A pressuposção de normaldade para ε mplca, juntamente com as pressuposções anterormente defndas, que Y, =,,..., n são ndependentes e normalmente dstrbuídos com méda β + β e varânca σ, ou seja, ( β β σ ) Y ~ N +,. Logo, a função densdade de probabldade para Y é dada por: ( ) ( ) f Y = exp Y β + β πσ σ. Consdere agora uma amostra de n pares de valores, Y. Baseado nas pressuposções menconadas, obtém-se a segunte função de verossmlhança: n n L( β, β, σ ) = f ( Y, Y,..., Yn ) = f ( Y ) = ( πσ ) exp Y ( β + β ) = = = σ n = + σ = n ( πσ ) exp ( ) Y β β Os estmadores de máxma verossmlhança de β, β e (,, ) σ são os valores que maxmzam L β β σ. Demonstra-se faclmente que os estmadores de máxma verossmlhança de β e β são dêntcos aos respectvos estmadores de mínmos quadrados, enquanto para estmador: que é assntotcamente não vcado. ˆ n ( ) n Y ˆ ( ˆ ˆ ) Y Y β β = = σ = = n n, σ tem-se o segunte

12 .4 Testes de hpóteses e estmação ntervalar Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear.4. Análse de varânca Ajustado o modelo, deve-se avalar o quanto da varação orgnal dos dados é explcado pela reta de regressão. È de nteresse verfcar também se essa parcela da varabldade orgnal dos dados explcada pelo modelo é sgnfcatva. Com tas fnaldades, consdere a segunte dentdade: representada geometrcamente na Fgura 8. ( ˆ ) ( ˆ ) Y Y = Y Y + Y Y, ^ Y Y Y ^ Y Y ^ Y Y Y Y Y^ = β + β Repare que a varação total de componentes:. Fgura 8 Representação geométrca da dentdade Y, em torno da méda geral ( ) o desvo do valor ajustado pela reta de regressão ( ˆ ) Y, é decomposta em dos Y com relação à méda;. o desvo do valor observado ( Y ) em relação ao valor ajustado, que é o -esmo resíduo. Quanto maor o valor do prmero componente, em detrmento ao segundo, melhor a explcação fornecda pelo modelo. Elevando ambos os lados da dentdade apresentada ao quadrado, e somando para =,,..., n, obtém-se: ( Y ) ( ˆ ) ( ˆ Y = Y Y + Y Y ) Soma de quadrados Soma de quadrados Soma de quadrados ao redor da méda da regressão de resíduos Assocado a cada soma de quadrados tem-se os respectvos números de graus de lberdade. Dvdndo-se as somas de quadrados por seus graus de lberdade, obtêm-se os quadrados médos. Tas resultados são usualmente expostos em uma tabela de análse de varânca, como a apresentada na seqüênca.

13 Fonte de varação Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear Tabela Análse de varânca para regressão lnear smples Graus de Soma de Quadrados lberdade quadrados médos F (GL) (SQ) (QM) Y ˆ Y SQReg QM Reg = QM Re QM Regressão ( ) Resíduos Total n ( ˆ ) Y Y n ( Y ) Y.4. Teste da sgnfcânca do modelo de regressão QM Res SQ = n O teste de sgnfcânca para o modelo de regressão lnear smples equvale ao teste da hpótese de nuldade de β. Se não há relação lnear entre e Y, a méda de Y não vara lnearmente com relação a, produzndo β =. Caso as varáves sejam lnearmente relaconadas, tem-se β. As seguntes hpóteses são, portanto, estabelecdas: H : β = H : β Retome o quadro da análse de varânca, apresentado na Tabela. Os quadrados médos apresentados na tabela de análse de varânca são funções das varáves aleatóras Y, possundo, portanto, méda, varânca e outros momentos. Um mportante teorema estatístco afrma que se todas as n observações Y são produzdas por uma dstrbução normal com méda µ e varânca σ, e a soma de quadrados total é decomposta em k somas de quadrados SQ, r =,,..., k, cada uma delas com gl r graus de lberdade, então os termos dstrbução χ com gl r graus de lberdade se k SQr r= / Res g Res r σ são varáves aleatóras ndependentes com glr = n. Na análse de regressão lnear smples, a soma de quadrados total é decomposta na soma de quadrados devdo à regressão ( SQ Re g ) e de resíduos ( SQ Re s ), e seus graus de lberdade somam n. Desta forma, se β = tal que todos os Y têm a mesma méda µ β SQRe s / σ e SQRe g / = e a mesma varânca σ são varáves aleatóras ndependentes com dstrbução χ. σ, então Outro teorema estatístco afrma que se U e V são varáves aleatóras ndependentes com dstrbução qu-quadrado, com m e n graus de lberdade, respectvamente, então a varável aleatóra U / m W = V / n tem dstrbução de probabldades F de Snedecor, com m e n graus de lberdade. Com base neste teorema, se β = tem-se que a estatístca F apresentada na seqüênca

14 SQRe g SQRe s QM F = σ σ = n QM Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear tem dstrbução F de Snedecor, com e n graus de lberdade. Utlza-se essa dstrbução como referênca para testar as hpóteses formuladas, devendo-se rejetar H : β = em favor de H : β, para um nível de sgnfcânca α, se F F( ) ( α ).4.3 Coefcente de determnação >., n O coefcente de determnação mede a proporção da varação dos dados, em torno de Y, explcada pela regressão, sendo calculado da segunte manera: A estatístca R Re g Res Re g Re s = SQ SQ SQ = SQ. Total Total R pode assumr valores no ntervalo [, ], sendo que quanto maor o valor de R, maor a parcela da varação de Y explcada pelo modelo de regressão. Exemplo 4 (retomado) Responda aos seguntes tens, referentes ao modelo de regressão lnear smples obtdo no exemplo 4: f) Construa a tabela de análse de varânca; g) Teste a sgnfcânca do modelo de regressão consderando um nível de sgnfcânca de 5%; h) Calcule e nterprete o valor do coefcente de determnação do modelo.4.4 Intervalos de confança e testes de hpóteses para β e β As nferêncas com respeto aos parâmetros do modelo de regressão são fundamentadas na dstrbução de seus estmadores. Para ˆβ, o estmador de mínmos quadrados de β, verfca-se, ncalmente, que ele é não vcado, ou seja, E ˆ β = β, ( ) com varânca dada por: Var ( ˆ ) β = σ ( ). O desvo padrão de ˆβ é a raz quadrada postva da varânca, ou seja, DP ( ˆ ) σ σ β = = ( ) ( ). 3

15 Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear Usualmente, σ é desconhecdo, devendo-se substtuí-lo por sua estmatva produzndo o segunte estmador para o desvo padrão de ˆβ : s = QM Res ^ DP ( ˆ ) β = s ( ) Exercíco - Demonstrar as propredades da dstrbução de ˆβ acma menconadas. Tas propredades são faclmente verfcadas utlzando-se a segunte dentdade (que também deve ser demonstrada): ( )( ) ( ) ( ) ( ) Y Y Y. ˆ = = β Pela representação de ˆ β apresentada no exercíco, verfca-se que ˆβ é uma combnação lnear dos Y, =,,..., n, que, segundo as pressuposções do modelo, são ndependentes e normalmente dstrbuídos. Um mportante teorema estatístco assegura que qualquer combnação lnear de varáves aleatóras ndependentes normalmente dstrbuídas também tem dstrbução normal. Logo, ˆ β tem dstrbução normal, e sua dstrbução pode ser representada da segunte manera: ˆ σ β ~ N β, ( ) Desde que ˆ β é normalmente dstrbuído, a estatístca padronzada ( ˆ β β ) DP( ˆ β ) ^ dstrbução normal com méda zero e varânca gual a. Seja DP( ˆ β ) o estmador de ( ˆ ) estmando σ por QM Res. Pode-se demonstrar que. tem DP β obtdo ( ˆ β β ) ^ DP( ˆ β ) ~ t n. ^ Utlzando a dstrbução da estatístca ( ˆ β β ) DP( ˆ β ) ntervalo com ( α ) % de confança para β : IC t DP. ^ ( β; α ) = ˆ β ± ( /; ) ( ˆ β α n ) Consdere agora o segunte par de hpóteses para β :, obtém-se os seguntes lmtes de um 4

16 Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear Sob H : β = β. H : β β ^ H, a estatístca t ( ˆ β β ) DP( ˆ β ) = tem dstrbução t-student com n graus de lberdade. Com base nsso, deve-se rejetar H, para um nível de sgnfcânca α, caso t > t( α /; n ). Usualmente, consdera-se β =, testando, desta forma, a hpótese H : β =, de ausênca de relação lnear contra H : β, a hpótese de exstênca de relação lnear entre as varáves. Um ntervalo de confança para β pode ser obtdo de manera semelhante à dscutda para β. Pode-se mostrar, ncalmente, que ˆ β é um estmador não vcado de β, ou seja, Pode-se mostrar anda que: ( ˆ ) E β = β. DP ( ˆ ) ( ) n ( ) β = σ = + σ n. Exercíco - Demonstrar as propredades da dstrbução de ˆ β acma menconadas. Substtundo σ por ^ QM Res, obtém-se ( ˆ ) DP β, um estmador para DP( ˆ β ). A normaldade de ˆ β mas uma vez é justfcada pelo fato deste estmador ser uma combnação lnear dos Y. Assm, os lmtes de um ntervalo com ( α )% de confança para β são os seguntes: ^ ( β; α ) = ˆ β ± ( /; ) ( ˆ β α n ) IC t DP Para testar a hpótese H : β = β contra a hpótese H : β β, sendo β um valor especfcado, procede-se com o cálculo da quantdade ( ˆ β β ) ^ DP( ˆ β ) t =, devendo-se rejetar H em favor de H caso t > t( α /; n ). 5

17 .4.5 Estmação ntervalar da resposta méda Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear 6 Consdere novamente a estmação da méda da dstrbução de probabldades de Y. Seja valor de para o qual deseja-se estmar a resposta méda, ( ) h Y ˆh, dado por: Y ˆh = ˆ β + ˆ β. h h o E Y é E Y. O estmador pontual de ( ) Para o modelo de regressão lnear smples com erros normalmente dstrbuídos, Y ˆh é uma combnação lnear dos Y, ndependentes e normalmente dstrbuídos, e, portanto, também tem dstrbução normal. Além dsso, verfca-se faclmente que: ( ) ( ) ˆh = ˆ β + ˆ β = β + β = ( ) h h h E Y E E Y ( ˆ h ) Var Y ( h ) ( ) = + n σ. Pode-se, portanto, representar a dstrbução de Y ˆh da segunte manera: Substtundo ( ) ( ) ˆ h ~ Yh N β + β h, + σ. n σ por QM Res, obtém-se a varânca estmada de Y ˆh, dado por ^ ( ˆ h ) Var Y ( h ) ( ) = + n QM A construção do ntervalo de confança para E ( Y h ) basea-se na estatístca que tem dstrbução t-student com para um ntervalo com ( α ) Yˆ h ^ ( ) E Y h ( ˆ h ) DP Y, Res ^ ^ n graus de lberdade ( DP( Yˆ ) ( ˆ h Var Yh ) % de confança são dados por: IC E Y Y t DP Y. ^ ( ( ); ) ˆ ( /; ) ( ˆ h α = h ± α n h ). = ). Assm, os lmtes h

18 .4.6 Predção de uma nova observação Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear A predção de uma nova observação Y ˆh refere-se à prevsão de um resultado ndvdual de Y para um valor h de. Apesar do predtor pontual ser gual ao estmador da resposta méda Yˆ = Yˆ = β + β ), deve-se ncorporar, na determnação da varânca do predtor, a varabldade das ( h h h respostas em torno da resposta méda. A varânca de Y ˆh 7 pode ser decomposta em dos componentes: a varânca da dstrbução amostral de Y ˆh e a varânca da dstrbução de Y. O estmador usual para esta varânca é dado por: podendo ser expresso da segunte manera: ^ ^ ^ ( ) ( ˆ ) Var Y = Var Y + QM, ( h ) Var Y h h Res ( h ) ( ) = + + n Os lmtes de um ntervalo de predção com ( α ) QM Res % de confança tem os seguntes lmtes: IC Y Y t DP Y. ^ ( ) ˆ, ( /; ) ( ˆ h α = h ± α n h ) Exemplo 4 (retomado) Responda aos seguntes tens, referentes ao modelo de regressão lnear smples ajustado no exemplo 4: ) A empresa que produz as máqunas afrma que em méda, as máqunas apresentam menos de um novo defeto para cada ano a mas de uso. Teste esta afrmatva, a um nível de sgnfcânca de 5%; j) Estme β por meo de um ntervalo com 95% de sgnfcânca. Interprete a estmatva obtda; k) O coefcente lnear da reta ( β ) tem uma nterpretação prátca neste problema? Justfque. l) Estme, por meo de um ntervalo com 99% de confança, o número médo de defetos para máqunas com anos de uso. Interprete; m) Forneça um ntervalo com 99% de confança para o número de defetos em uma máquna com anos de uso. Interprete; n) Compare os ntervalos de confança obtdos nos tens l e m. Qual é mas precso? Por que?.5 Dagnóstco do modelo Uma vez determnado o modelo de regressão, deve-se verfcar se ele é adequado para a explcação da relação estatístca entre as varáves. Deve-se nvestgar, por exemplo, se as varáves de fato são lnearmente relaconadas, se os erros obedecem às pressuposções estabelecdas e se há na amostra coletada observações dscrepantes, que não são bem explcadas pela reta de regressão ou que afetem de manera acentuada seu ajuste. O dagnóstco do modelo é realzado com base na análse dos resíduos, buscando, dentre outras cosas, dentfcar em sua dstrbução se as pressuposções estabelecdas para os erros são verfcadas. A análse dos resíduos é executada por meo de gráfcos ou utlzando testes adequados.

19 Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear O resíduo para a -ésma observação é dado pela dferença de seu valor observado para o respectvo valor ajustado pela reta de regressão, ou seja, e ˆ = Y Yî. Como dscutdo anterormente, a soma dos resíduos é gual a zero, e, por conseqüênca, a méda dos resíduos também é nula, ou seja: e e = =. n Em algumas stuações, utlza-se a versão padronzada dos resíduos, dada por t e =, QM Res que tem méda zero e varânca aproxmadamente untára. As característcas que comprometem a valdade da análse de regressão, e que devem ser nvestgadas por meo da análse de resíduos, são as seguntes:. A relação entre as varáves não é lnear;. Os erros não têm varânca constante; 3. Os erros não são ndependentes; 4. O modelo não ajusta bem uma ou mas observações; 5. Os erros não são normalmente dstrbuídos; 6. Uma ou mas varáves explcatvas mportantes não são consderadas no modelo..5. Análse gráfca dos resíduos Um gráfco de dspersão dos resíduos versus os valores da varável explcatva (ou versus os valores ajustados) pode ser utlzado para dentfcar dversos problemas do modelo de regressão obtdo. Não se utlza gráfcos de dspersão dos resíduos versus os valores de Y pelo fato dos erros e a varável resposta serem correlaconados. A Fgura 9 apresenta gráfcos de dspersão hpotétcos, servndo como lustração do dagnóstco de dferentes modelos: e e ^ Y (a) ^ Y (b) e e ^ Y (c) Fgura 9 Gráfcos de dspersão para os resíduos versus os valores ajustados de Y. ^ Y (d) 8

20 Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear As seguntes consderações podem ser fetas com relação aos gráfcos de dspersão dos resíduos, apresentados na Fgura 9: (a) Os resíduos apresentam-se dspersos aleatoramente, sem qualquer ndcação de heterogenedade de varâncas. Este é o comportamento que se espera da dstrbução dos erros; (b) A dspersão dos resíduos aumenta conforme o valor ajustado de Y, confgurando heterogenedade de varâncas. Esta tendênca é comum quando a varável resposta refere-se a contagens. Soluções: transformar a varável resposta ou utlzar algum modelo lnear generalzado. (c) A dspersão dos resíduos apresenta uma tendênca (no caso, quadrátca). Isso ndca que o ajuste da reta não é adequado. Solução: ncorporar novas varáves explcatvas ao modelo, ou consderar alguma transformação das varáves orgnas, ou anda utlzar algum modelo de regressão não lnear. (d) Novamente, os resíduos são heterocedástcos. A tendênca verfcada é comum quando a varável reposta refere-se a proporções. Além dsso, há uma observação com resíduo muto elevado, ndcando que ela não é bem ajustada pela reta. Soluções: transformar a varável resposta ou consderar algum modelo lnear generalzado. Quanto ao valor dscrepante, deve-se verfcar ncalmente se ele fo coletado e regstrado corretamente. Caso esteja ncorreto, deve-se corrg-lo ou, caso não seja possível, descartá-lo. Caso esteja correto, deve-se consderá-lo na análse, nvestgar o motvo da dscrepânca e avalar de que forma essa observação afeta os resultados da análse. Outro gráfco bastante utlzado no dagnóstco do modelo apresenta a dspersão dos resíduos em relação à ordem de coleta dos dados, possbltando nvestgar se os erros são correlaconados no tempo. Nos casos em que os erros são correlaconados, contrarando a pressuposção de ndependênca, uma solução é a utlzação do método de mínmos quadrados generalzados na execução da análse. Os gráfcos apresentados na Fgura evdencam, cada um a sua manera, que os erros são correlaconados: e e Tempo (a) Tempo (b) Fgura Gráfcos de dspersão dos resíduos versus tempo de coleta. 9

21 Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear A avalação da pressuposção de normaldade dos erros pode ser realzada por meo de um hstograma para os resíduos, buscando detectar se sua dstrbução se assemelha à dstrbução normal de probabldades. Uma análse mas refnada, no entanto, consste na construção de um gráfco do tpo quantl-quantl, que é um gráfco de dspersão em que em um dos exos são representados os quants amostras (no caso, dos resíduos) e no outro os quants teórcos de uma dstrbução normal. Caso os resíduos sejam normalmente dstrbuídos, seus quants são bastante próxmos aos quants da dstrbução normal, e os pontos no gráfco se aproxmam da reta dentdade. Quanto menos a confguração dos pontos no gráfco se aproxma a tal reta, mas comprometda está a pressuposção de normaldade. Deve-se ressaltar que pequenos desvos da pressuposção de normaldade não comprometem a análse. A Fgura apresenta hstograma e gráfco probablístco normal (quantl-quantl normal) para os resíduos de um modelo, que evdencam a normaldade dos mesmos, ao contráro da dstrbução dos resíduos apresentada na Fgura, que se mostra assmétrca, evdencando, assm, que a pressuposção de normaldade é volada. A solução usual para a stuação em que a pressuposção de normaldade é volada é buscar uma transformação para a varável resposta ou utlzar algum modelo lnear generalzado. Frequency 5 5 Sample Quantles e Theoretcal Quantles Fgura Hstograma e gráfco probablístco normal para resíduos normalmente dstrbuídos. Frequency 5 5 Sample Quantles e Theoretcal Quantles Fgura Hstograma e gráfco probablístco normal para resíduos sem dstrbução normal.

22 Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear Embora a análse gráfca dos resíduos possa, em mutos casos, ser sufcente para averguar a valdade das pressuposções da dstrbução dos erros, há testes que podem ser aplcados com objetvo confrmatóro. Recomenda-se fortemente, no entanto, que a aplcação de tas testes não substtua a análse gráfca, mas srvam como complemento, dado que os gráfcos permtem detectar possíves volações, ndcando a natureza dessas volações e soluções para as mesmas. Dentre os testes envolvendo resíduos, destacam-se o de Durbn-Watson, usado para testar a aleatoredade na ordem de coleta, o de Shapro-Wlks, para testar a normaldade e, o de Bartlett, utlzado para checar a homogenedade de varâncas..5. Teste da falta de ajuste A Fgura 3 apresenta o gráfco de dspersão para um conjunto de observações de um par de, Y, as médas amostras de Y calculadas para cada valor observado de e a reta de varáves ( ) regressão ajustada. Y ^ Y j Y j Y j,k j Fgura 3 Gráfco de dspersão com reta de regressão ajustada. O modelo de regressão ajustado às observações contdas no gráfco produz F = 34, atestando um ganho sgnfcatvo da explcação da varabldade orgnal dos dados por meo da relação lnear de e Y, em relação à stuação em que se resume a varabldade de Y a uma smples méda. Observando o gráfco de dspersão, no entanto, verfca-se que embora o modelo de regressão lnear mostre-se sgnfcatvo, ele não fornece um ajuste adequado aos dados, uma vez que a relação entre as duas varáves parece ser quadrátca, e não lnear, confgurando falta de ajuste do modelo lnear. Caso se dsponha de repetdas observações para cada valor de, pode-se testar a lneardade da relação exstente entre e Y por meo de um teste para detectar a falta de ajuste, executado como descrto na seqüênca. Suponha que se tenha n j observações de Y para cada valor j da varável explcatva, j, j =,,..., r, k =,,..., n j. j =,,..., r. Seja Y jk a k-ésma observação da varável resposta em r Há, portanto, n = n observações. O teste para a falta de ajuste basea-se na partção da soma de j= j quadrados dos resíduos nos seguntes dos componentes:

23 SQRes = SQPE + SQLF, Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear sendo SS PE a soma de quadrados devdo ao erro puro (Pure Error PE) e SQ LF a soma de quadrados devdo à falta de ajuste (Lack Of Ft LOF). Essa decomposção é baseada na segunte gualdade: ( ) ( ˆ ) Y Yˆ = Y Y + Y Y, jk j jk j j j sendo Y j a méda das n j observações tomadas em quadrado e somando sobre j e k, tem-se: n j ( Y ˆ ) ( ) ( ˆ jk Yj = Yjk Yj + n j Yj Yj ) r n j r r. j= k = j= k = j= SQRe s SQPE SQLOF j. Elevando ambos os lados da gualdade ao A soma de quadrados devdo ao erro puro é uma medda de varabldade dos erros ndependente do modelo, uma vez que consdera apenas a varação de Y dentro de cada nível de. O r número de graus de lberdade assocado a essa soma de quadrados é dado por ( j ) j= n = n r. Já a soma de quadrados da falta de ajuste é uma soma de quadrados ponderada dos desvos da resposta méda Y j para o valor ajustado Y ˆj para cada nível j, j =,,..., r. Se os valores ajustados são próxmos às médas em cada nível de, tem-se uma forte ndcação de que a função de regressão é lnear, dado a boa qualdade de ajuste da reta. Quanto maores os desvos dos valores ajustados em relação às médas, no entanto, maor evdênca se tem de falta de ajuste. Assocado à SQ LOF tem-se r graus de lberdade. A estatístca teste para falta de ajuste é dada por ( ) ( ) SQLOF / r QM F = = SQ / n r QM PE LOF PE. O valor esperado para QM Res é ( ) E QM LOF σ, enquanto o valor esperado para σ = + r j= ( ) β β n E Y j j j m Se a função de regressão de fato é lnear, então E ( Y ) β β estmador não vcado de que E ( QM ) r, n r Res E QM σ, ou seja, ( Res ) j. j QM LOF é = e, portanto, QM LOF é um = σ. Entretanto, se a regressão não é lnear, tem-se > σ. Adconalmente, se a função de regressão é lnear, F segue a dstrbução F. Portanto, pra testar a falta de ajuste, deve-se calcular o valor da estatístca F e conclur que a função de regressão não é lnear (há falta de ajuste) se F > F,. r n r

24 Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear Exemplo 5 - Os dados apresentados na seqüênca ndcam a quantdade de uma substânca em uma solução aquosa e a letura da turbdez em um colorímetro: Concentração (mg/ml) Turbdez a) Construa um dagrama de dspersão para a turbdez das amostras versus a concentração da substânca; b) Obtenha a reta de regressão pelo método de mínmos quadrados. Represente-a no gráfco de dspersão obtdo em a ; c) Construa a tabela de análse de varânca e teste a sgnfcânca do modelo de regressão obtdo; d) Teste a falta de ajuste do modelo; e) Como você nterpreta os resultados obtdos nos tens c e d?.6 Transformações para lnearzar uma função de regressão Em determnadas stuações, a relação exstente entre e Y não é lnear, o que pode ser verfcado a partr da construção de um dagrama de dspersão para as duas varáves, da análse de resíduos ou de um teste de falta de ajuste. Em alguns casos, no entanto, pode-se expressar uma relação não lnear por meo de uma reta usando uma transformação adequada. Tas modelos não lneares são chamados ntrnscamente lneares. Deve-se tomar cudado ao analsar os resultados da regressão lnear obtda, lembrando que tas resultados não se referem às varáves orgnas, mas sm a transformações delas, e, além dsso, os erros transformados devem, mas uma vez, atender às pressuposções de normaldade, ndependênca e varâncas constantes. Exemplo 7 - Consdere os valores observados de duas varáves e Y, expostos na seqüênca. Y Y A Fgura 4 apresenta o gráfco de dspersão para os valores observados de e Y. A obtenção da curva ajustada representada no gráfco é dscutda na seqüênca. Embora seja evdente que as varáves sejam relaconadas, fca bastante claro que a relação entre elas não é lnear. Uma função que se ajusta bem aos dados, nesse caso, é a função exponencal, que pode ser escrta da segunte manera: Y = βe β. 3

25 por: Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear Um modelo que leva em consderação a função exponencal e que pode ser lnearzado é dado Y = β e ε = n. β,,,..., Consdere a aplcação do logartmo de ambos os lados do modelo proposto. Tem-se: ( ) ( β ) β ( ε ) log Y = log + + log, =,,..., n Nesse caso, tem-se o segunte modelo de regressão lnear: sendo Y log ( Y ), β log ( β ), ε log ( ε ) relacona Y log ( Y ) Y = β + β + ε, = = =. Deve-se, portanto, obter a reta de regressão que = e quadrados, obtém-se ˆ β ˆ,4; β, 35 ˆ ˆ β,4,66 e e. Consderando os dados apresentados e utlzando o método de mínmos = =. Como ˆ β ( ˆ ) log β =, para encontrar ˆ β, calcula-se β = = =. Assm, substtundo as estmatvas encontradas no modelo de regressão não lnear, tem-se o segunte modelo ajustado: ( ) ˆ ˆ ˆ β β β β log Yˆ = + Yˆ = e Yˆ =, 66e. ˆ,35 A Fgura 4 apresenta a curva ajustada, juntamente com os pontos assocados a cada uma das observações. Y Fgura 4 Gráfco de dspersão e curva de regressão ajustada. Procede-se como habtualmente, testando a sgnfcânca e analsando os resíduos do modelo transformado para avalar a valdade das pressuposções necessáras. Para o exemplo proposto, tem-se F = 533 e R =,9, atestando a sgnfcânca do modelo de regressão e seu bom ajuste aos dados. Deve-se tomar cudado com as estmatvas e predções obtdas, aplcando as devdas transformações para apresentá-las na escala orgnal. Assm, caso se deseje estmar a méda de Y para 4

26 Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear = 8, utlzando o modelo ajustado obtém-se ( ) ˆ log Y = β + ˆ β =, 4+, 35*8 =, 47. Logo, ^ ( ) ˆ log Y,47 4,35 ^ Y = e = e =. Da mesma forma, caso se deseje um ntervalo de confança para a resposta méda, obtdos os lmtes do ntervalo para a varável transformada, aplca-se a função nversa (no caso, a função e ) a fm de obter os lmtes de confança na escala orgnal da varável. Neter et al (99) apresentam outras funções lnearzáves, bem como aplcações dos conseqüentes modelos de regressão em stuações prátcas..7 Aplcação de regressão lnear smples usando o software estatístco R Em uma dada regão de Bocana-SP, acredta-se que o gado almentado em um determnado pasto tem um ganho de peso maor que o usual. Estudos de laboratóro detectaram uma substânca no pasto e deseja-se verfcar se ela pode ser utlzada para melhorar o ganho de peso dos bovnos. Foram escolhdos 5 bos de mesma raça e dade e cada anmal recebeu uma determnada concentração da substânca (em mg/l), O ganho de peso após 3 das fo anotado e os dados foram os seguntes: Comandos: Concentração (em mg/l) Ganho de peso (em kg), 9,4,5,4,6,3,7,,,9,5 3,6, 4,,5 6, 3, 6, 3,5 7,7 4, 8,8 4,5 9,9 5,,5 5,5 4,7 6, 3, # Entrada dos dados Conc=c(.,.5,.6,.7,.,.5,.,.5,3.,3.5,4.,4.5,5.,5.5,6.) Peso=c(9.4,.4,.3,.,.9,3.6,4.,6.,6.,7.7,8.8,9.9,.5,4.7,3.) # Gráfco de dspersão plot(conc,peso,pch=,ylm=c(,5),xlab='concentração (mg/l)',ylab='ganho de peso (kg)',cex=.) # Não feche a janela do gráfco! Vamos adconar a ele a reta de regressão. # Ajuste do modelo de regressão lnear smples reg=lm(peso~conc) # Os objetos armazenados em reg são lstados dgtando: names(reg) 5

27 Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear # Pode-se acessá-los da segunte forma: coefcentes=reg$coeffcents coefcentes # Resumo da análse summary(reg) # Quadro da análse de varânca anova(reg) # Adconando a reta ajustada ao gráfco ablne(a=coefcentes[],b=coefcentes[]) # Gráfcos de análse de resíduos resduos=reg$resduals ajustados=reg$ftted.values par(mfrow=c(,)) plot(ajustados,resduos,pch=,cex=.,xlab='valores predtos',ylab='resíduos') qqnorm(resduos) qqlne(resduos) # Intervalos de confança para os parâmetros do modelo confnt(reg) #Estmação da reposta méda e predções para as concentrações de.5,.75 e pesos=data.frame(conc=c(.5,.75,4.5)) predct(reg, pesos,se.ft=t,nterval='confdence') predct(reg, pesos,se.ft=t,nterval='predcton') 6

28 3. REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear 3. Introdução ( ) Suponha que se deseja estudar a relação de uma varável resposta Y com um conjunto de,,..., p. p varáves explcatvas ( ) Exemplo 8 - Em um estudo sobre a redução no peso de pacentes obesos, pode-se consderar como varável Y, em um certo período de tempo, e como varáves resposta a varação no peso dos pacentes ( ) explcatvas o consumo calórco médo ( ) e o número de horas de atvdades físcas dáras ( ). Em uma pesqusa na Agronoma, pode-se querer estudar o efeto da quantdade de ntrogêno Y de uma determnada cultura. ( ), fósforo ( ) e potásso ( ) no solo na produção ( ) 3 A nclusão de um maor número de varáves ndependentes tem por objetvo obter uma explcação mas adequada da varável resposta, estudar a relação desta varável com um maor número de varáves explcatvas e ter um modelo com melhor desempenho predtvo. Por meo de uma análse de regressão lnear múltpla, busca-se exprmr a varável resposta como uma combnação lnear de múltplas varáves explcatvas. Em regressão lnear múltpla, procura-se compreender a natureza e a sgnfcânca da relação entre as varáves ndependentes e a varável dependente. Os seguntes tens devem ser consderados: I. Avalar e quantfcar o efeto das dferentes varáves ndependentes nos resultados da varável dependente; II. Verfcar se é possível retrar qualquer varável ndependente do modelo pela ausênca de efeto sobre a varável dependente; III. Verfcar se alguma varável não ncluída no modelo deve ser consderada para possível nclusão. 3. Modelo de regressão lnear múltpla O modelo de regressão lnear múltpla pode ser representado da segunte manera: sendo: Y = β + β + β β + ε, =,,..., n, p p Y : valor da varável resposta para o -ésmo ndvíduo; β : j-ésmo coefcente do modelo, j =,,,..., p ; j j : valor da j-ésma varável ndependente para o -ésmo ndvíduo; ε : um erro aleatóro. 7 ( ) Assumndo que os erros tem méda zero ( ) E ε =, tem-se:

29 ( ) β β... β p p E Y = + + +, Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear ou seja, num modelo de regressão lnear múltpla a méda da varável resposta Y é uma combnação lnear das p varáves explcatvas,,..., p. O modelo de regressão lnear múltpla representa um hperplano no espaço de dmensão p das varáves explcatvas β j exprme a alteração na méda de Y ocasonada por um acréscmo untáro em valores das demas varáves explcatvas ( k j) k permanecem constantes. j. O coefcente j, quando os O termo lnear está assocado à forma como os parâmetros aparecem no modelo, ndependente da forma da superfíce que ele gera. Assm, um modelo de regressão que relacona uma varável Y a uma combnação lnear de funções não lneares das varáves explcatvas é lnear. Exemplo 9 - São exemplos de modelos de regressão lnear múltpla: Modelo polnomal (nesse exemplo, de ordem 3): Y = β + β + β + β + ε. 3 3 Denotando =, = e 3 3 =, pode-se reescrever o modelo da segunte forma: Y = β + β + β + β + ε 3 3 Modelo com efeto de nteração (nesse exemplo, com duas varáves explcatvas): Y = β + β + β + β + ε. Denotando = 3, pode-se reescrever o modelo como: Y = β + β + β + β + ε Representação matrcal do modelo de regressão lnear múltpla O desenvolvmento da teora de regressão lnear múltpla é facltado ao consderar o modelo em sua forma matrcal: sendo Y = β +ε, Y ( L p ) β ε Y ( p ) β ε L Y = ; = ; ; β = ε = M M M M O M M M Yn L β ε n n n n ( p p ) p n n n p. 8

30 Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear 3.3 Estmação dos coefcentes do modelo pelo método de mínmos quadrados A estmação por mínmos quadrados dos coefcentes de um modelo estatístco qualquer vsa determnar os valores dos coefcentes que mnmzam a soma dos quadrados dos erros. O modelo de regressão lnear múltpla, consderando n observações de uma varável dependente Y e de um conjunto de p varáves explcatvas,,..., p pode ser escrto da segunte manera: Y = β + β + β β + ε = p p p ( ) = β + β + ε, j= produzndo a segunte soma de quadrados dos erros: j j SQE = = Y n n p ε β β j j = = j=. Os estmadores de mínmos quadrados para os coefcentes do modelo são os valores dos que mnmzam SQE, devendo satsfazer: β ' s e n p SQE Y ˆ β ˆ = β = j β = j= n p SQE ˆ ˆ = Y β β j j =, j =,,..., p. β j = j= A soma de quadrados dos erros do modelo de regressão lnear múltpla pode ser representada matrcalmente por: n ε εε = Y - β Y - β = ( ) ( ) SQE = = = = Y Y β Y Y β + β β = = Y Y β Y + β β O vetor de estmadores de mínmos quadrados de β é o vetor ˆβ tal que SQE é mínma. Com alguma álgebra matrcal, tem-se que ( ) - β ˆ = Y. Logo, o estmador de mínmos quadrados para β é dado por β = ( ) ( ) exsta. A matrz ( ) ˆ Y, desde que exste caso nenhuma das colunas de seja combnação lnear das demas. O estmador de mínmos quadrados ˆβ tem as seguntes propredades: 9

31 3 Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear. ˆβ mnmza a soma de quadrados dos erros ndependente de qualquer propredade quanto à dstrbução dos erros;. Os elementos de ˆβ, que são combnações lneares das observações Y, Y,..., Y n, são estmadores não vcados dos elementos de β, tendo varânca mínma dentre os estmadores não vcados que são combnações lneares dos Y s, ndependente das propredades da dstrbução dos erros; 3. Sob as pressuposções de que os erros são ndependentes, normalmente dstrbuídos com méda zero ε ~ N, σ, então ˆβ, além de estmador de mínmos quadrados, é e varânca constante, ou seja, ( ) estmador de máxma verossmlhança de β. Seja ˆβ o vetor de estmadores de mínmos quadrados para os coefcentes do modelo de regressão lnear múltpla. A méda da varável aleatóra Y para um partcular vetor de valores das h =, h, h,..., p h é estmada por: varáves explcatvas ( ) Y = β ˆ. ˆh Seja a matrz do modelo. O vetor de valores ajustados, pelo modelo de regressão obtdo, para os valores da varável resposta Y, é calculado por h Yˆ = β ˆ, sendo o vetor de resíduos obtdo pela dferença do vetor de valores observados de Y para o vetor de valores ajustados, ou seja, ˆ e = Y - Y Assm como na regressão lnear smples, o estmador de σ é fundamentado na soma de quadrados de resíduos: ( ˆ ) n n Res = = SQ = Y Y = e = e e = = ( ) ( ) Y - βˆ Y - β ˆ = Y Y -β ˆ Y A soma de quadrados de resíduos têm n p graus de lberdade assocados a ela, uma vez que p parâmetros são estmados no modelo de regressão. Assm, defne-se como quadrado médo de resíduos: SQRe s QM Res =. n p não vcado de Pode-se demonstrar que o valor de esperado de σ. QM Res é σ, ou seja, QM Res é um estmador

32 Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear Exemplo Uma companha vende um creme para a pele exclusvamente em farmácas. Ela opera em 5 localdades e está nteressada em predzer a venda em cada uma delas. As vendas são tratadas como varável resposta (Y ), e o tamanho da população alvo e a renda per-capta como varáves ndependentes e, respectvamente. Localdade Vendas (lotes) Y População alvo (mlhares de pessoas) Renda per-capta (dólares) O modelo de regressão lnear múltpla proposto, nesse caso, é dado por: Y = β + β + β + ε. a) Obtenha o vetor de estmatvas de mínmos quadrados para os coefcentes do modelo; As operações matrcas necessáras para a obtenção do modelo ajustados são detalhadas na seqüênca: Y = ; = M M M M L = L = M M M L

33 = = ( ) Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear 3 9 9, , , = 3, ,44, , , 645, 9787, L.59 Y = L = M L Obtém-se, assm, o segunte vetor de estmatvas para os coefcentes de regressão: ( ) βˆ = Y = 4, , , , , ,44, , 645, 9787, Logo, ˆ β 3,45 β ˆ = ˆ β, 496 =. ˆ β, 9 A título de exemplo, ˆ β =, 496 ndca que, para localdades com uma renda per-capta fxa qualquer, estma-se que para cada ml habtantes a mas, tem-se um aumento de,496 no número médo de lotes venddos. De forma equvalente, consderando dos ml habtantes a mas, estma-se um aumento aproxmado de um lote no número médo de lotes venddos. O modelo de regressão múltpla ajustado é dado por: Yˆ = 3, 45 +, 496 +, 9. b) Represente o modelo ajustado por meo de um gráfco; 3

34 Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear 4 3 Vendas Renda População alvo Fgura 5 Representação gráfca do modelo de regressão lnear múltpla. c) Obtenha o vetor de valores ajustados e o vetor de resíduos ,45 ˆ ˆ Y = β =, 496 = M M M M, ˆ e = Y - Y = =. M M M d) Forneça uma estmatva pontual para o número médo de lotes venddos em localdades com população alvo de ml pessoas e renda per-capta de 3 dólares. 3.4 Testes de hpóteses e estmação ntervalar Y ˆ = 3, 45 +, 496* +, 9*3 = 39 lotes. Nessa etapa da análse, pressupõe-se, assm como vsto para o modelo de regressão lnear smples, que os erros sejam normalmente dstrbuídos, com méda zero, varânca constante e que sejam ndependentes. Tas pressuposções podem ser representadas matrcalmente da segunte forma: 33

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