FLAVIANE C. F. VENDITTI 1, EVANDRO M. ROCCO 1, ANTONIO F. B. A. PRADO 1.

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1 ESTUDO DE PERTURBAÇÕES EM ÓRBITAS AO REDOR DO ASTEROIDE 6 KLEOPATRA UTILIZANDO MODELO DE POLIEDROS FLAVIANE C. F. VENDITTI, EVANDRO M. ROCCO, ANTONIO F. B. A. PRADO.. Insttuto Naconal d Psqusas Espacas, Dvsão d Mcânca Orbtal Control E-mals: lavan.vndtt@gmal.com, vandro@dm.np.br, prado@dm.np.br Abstract Ths wor s a study o orbts around rrgular shapd bods. In th solar systm thr ar many bods orbtng th Sun calld astrods. Ths obcts don t hav a symmtrc dstrbuton o mass, whch mas th gravtatonal ld around thm to act drnt rom orbts around sphrcal bods. Bsds th rrgularty o th shap, astrods hav rotaton, what mas th dynamcs o orbts vn mor prturbd. Svral ntal orbtal lmnts ar covrd or a vhcl orbtng an astrod. Wth th purpos o sarchng or vry clos orbts, on th collson boundary, and vry dstant orbts, on th lmt o scapng th sphr o nlunc o th gravtatonal ld o th astrod, many combnatons o ntal orbtal lmnts ar tstd and analyzd. Kywords orbt dynamcs, astrods, prturbaton. Rsumo Est trabalho é um studo d órbtas ao rdor d corpos com ormas rrgulars. No sstma solar xstm númros corpos ao rdor da órbta do Sol dnomnados astrods. Ests obtos possum dstrbução d massa assmétrca, o qu az com qu o campo gravtaconal ao su rdor atu drnt d órbtas ao rdor d corpos sércos. Além da orma rrgular, os astrods possum rotação, o qu torna a dnâmca da órbta mas prturbada anda. É ralzada uma varrdura dos lmntos orbtas ncas para s colocar um vículo spacal ao rdor d um astrod. Com naldad d azr uma busca por órbtas muto próxmas, no lmt d colsão, órbtas muto dstants, no lmt d scap da sra d nluênca do campo gravtaconal do astrod, uma sér d combnaçõs d lmntos orbtas ncas são tstados analsados. Palavras-chav dnâmca orbtal, astrods, prturbação. Introdução O sstma solar possu uma grand quantdad d corpos com ormas assmétrcas. Esss corpos são os astrods, comtas até msmo satélts naturas d plantas. Grand part dos astrods stá localzada ntr as órbtas d Mart Júptr. Exstm também os astrods troanos, localzados nos pontos Lagranganos d Juptr, os Cntauros, com órbtas nstávs ntr Juptr Ntuno (JPL, NASA). Pqunos corpos com prhélo mnor qu. UA são chamados d Nar Earth Obcts (NEOs), qu nclum astrods comtas. Os NEOs possum órbtas passando próxmas da órbta da Trra, no caso dos astrods, são chamados d Nar Earth Astrods (NEAs). Dntro do grupo dos NEAs xstm os astrods consdrados potncalmnt prgosos, ou PHAs, sgla m nglês. Ests possum dstânca mínma d ntrsção da órbta com a Trra d.5 UA, magntud absoluta, qu sgncara um astrod d plo mnos -4 mtros, dpndndo do su albdo, qu é a taxa d rlxão d luz. Nst trabalho, o astrod é modlado por mo do método dos poldros, qu ornc uma prcsão muto boa da orma rrgular do corpo. Através dss modlo é possívl smular órbtas ao rdor do astrod, assm, obtr um conunto d órbtas possívs, d acordo com o obtvo dsado. Modlagm d corpos não sércos. Método dos Poldros Modlar corpos rrgulars não é uma tara smpls dvdo à complxdad da dstrbução d massa dsts corpos. Exstm abordagns drnts para o studo do potncal gravtaconal dos astrods, dsd o século XIX á s conhcm studos do potncal gravtaconal do parallpípdo (Evrst, 8). Exstm trabalhos sobr a modlagm analítca do potncal gravtaconal, como por xmplo, studos para algumas ormas gométrcas planas dsnvolvdos por Kllogg (99) Brouc (995). Também studos das proprdads das órbtas ao rdor d obtos rtangulars oram dsnvolvdos (Brouc & Prado, 4). Para s aproxmar d modo mas prcso da orma ral do astrod oram dsnvolvdos trabalhos qu tratam do potncal d corpos trdmnsonas por mo do método d poldros (Wrnr, 994). O potncal gravtaconal plo método dos poldros é xprsso como a soma d ntos trmos assocados a acs vértcs. A ormulação analítca para o potncal atração do modlo d poldros pod sr dnda plas quaçõs () (), rspctvamnt d acordo com Wrnr & Schrs (996):

2 U G dg U G dg re r L G E r L G acs acs r F r w F r w O movmnto orbtal nas proxmdads d corpos rrgulars normalmnt é drnt do movmnto d uma órbta plrana, sso dvdo aos () (), ond ρ é a dnsdad do astrod, r o vtor d qualqur ponto da arsta até r, r o vtor d qualqur ponto da ac até r. F E são dndos por () (4) rspctvamnt: Fgura. Fac x-y d Klopatra F n n () E n n ' n' n (4) L é o ator admnsonal qu soma as conxõs das arstas dos poldros: Fgura. Fac x-z d Klopatra r r L ds ln r r r (5), ond r r são as dstâncas do cntro do corpo até a xtrmdad d uma arsta. Para uma ac trangular unda plos vértcs P, P, P, o trmo admnsonal w m cada ac é calculado pla quação (6): w arctan r r r r ( r Mtodologa. Shap Modls utlzado r ) r ( r r ) (6) Através d obsrvaçõs d radar tas plo tlscópo d Arcbo por Ostro l al. () o possívl crar o modlo d poldros para dvrsos astrods consdrando dnsdad constant (Ns, 4). O modlo utlzado para o astrod (6) Klopatra possu 48 vértcs 49 acs trangulars (Ostro t al, 4). A orça prturbadora dvdo à orma do astrod é calculada pla soma das orças d cada ac trangular do modlo. As guras, rprsntam as três vstas do astrod (6) Klopatra usando o modlo com acs trangulars: r r r r ) r ( r. Smulador Fgura. Fac y-z d Klopatra As smulaçõs são ralzadas utlzando o modlo d acs dscrto no tm antror. A orma qu o campo gravtaconal é grado por st corpo srá a soma das orças d cada ac dos trângulos do modlo d poldros. Uma órbta d rrênca não prturbada, com campo gravtaconal cntral qu rsulta m uma órbta plrana, é utlzada para mo d comparação com a órbta prturbada dvdo à assmtra do astrod. O movmnto orbtal pod sr smulado rsolvndo a quação d Kplr para cada passo da smulação. Sndo assm, dado um stado ncal um ntrvalo d tmpo, o stado pod sr transormado m lmntos Kplranos, utlzando a quação d Kplr, os lmntos podm sr propagados para cada ntrvalo d tmpo stpulado. Assm, os novos lmntos Kplranos podm sr convrtdos para o novo stado (Rocco, 6). 4 Rsultados

3 tos d prssão d radação solar, qu ata mas astrods d massa muto pquna (Baoyn, ), gravdad do Sol, orma do corpo, rotação do corpo. Os tos da gravdad rotação do astrod prturbam uma órbta ao su rdor mas ntnsamnt quando próxmo a l. Para órbtas dstants, o to da prssão d radação solar ata mas. D acordo com as condçõs ncas, ssas prturbaçõs podm grar tratóras qu scapam, coldm, ou qu aos poucos tm a órbta altrada até o mpacto no corpo. 4. Órbtas possívs próxmas A dnção da proxmdad máxma qu um vículo podra chgar d um corpo pod sr dnda plo rao médo (Schrs, ). Est é o rao d uma sra d volum gual ao corpo rrgular, sndo st rao a méda gométrca do mnor maor rao do obto. Est rao quvalnt dpnd do volum do astrod, consquntmnt da dnsdad, é dado por: V R (7) 4, sndo V o volum, qu é a razão da massa do astrod por sua dnsdad, podmos scrvr a quação da orma: M R (8) 4 Utlzando para o astrod (6) Klopatra os valors para massa d 4,64±,x g, a dnsdad d,6±,4 g/cm (Dscamps, ), st rao médo, ou rao quvalnt, é d 67,5 m. Dvdo à pculardad da orma dst astrod, a dtrmnação d rao médo aproxmado para órbtas próxmas possívs através da quação (8) não é aplcávl para quasqur condçõs ncas. Como pod sr vsto na gura 4, órbtas próxmas à órbta polar d rao mínmo R são pratcávs, porém para órbtas quatoras st rao mínmo causara colsão com o astrod. rgra gral. No caso do modlo utlzado st rao é d aproxmadamnt 5 m. Fgura 5. Rao mínmo para órbta ao rdor d Klopatra Anda assm st rao mínmo stá suto a alhar dpndndo das condçõs ncas, como por xmplo, para órbtas muto xcêntrcas. Consdrando somnt o to da gravdad rotação do astrod, podmos calcular d orma aproxmada a rgão do rao d órbta síncrona r s (Schrs, 4): r s T 4 (9), ond µ é o parâmtro d massa do astrod, T o príodo d rotação do astrod. Para o astrod Klopatra, qu possu príodo d rotação d 5,85 horas, massa d 4,64±,x g, o valor do rao d órbta síncrona r s é d 4,8m. Dvdo à dstrbução d massa dos astrods, gralmnt sts corpos possum somnt quatro pontos spcícos prto d r s m qu ralmnt o movmnto é síncrono. Para a maora dos astrods conhcdos sss pontos são nstávs, lvando ao mpacto ou scap (Schrs, 996). 4. Órbtas possívs dstants O rao da órbta qu dlmta aond a nluênca gravtaconal do corpo orbtado passa a sr mnor qu a nluênca gravtaconal do Sol, pod sr obtdo plo Rao d Hll, dado por: RHll m a( ) Ms () Fgura 4. Astrod Klopatra rao médo m vrmlho. Para órbtas próxmas vtando rsco d colsão, consdrar o lmt máxmo d aproxmação como sndo o maor rao do astrod pod sr uma, ond a é o sm-xo maor, a xcntrcdad, m a massa do corpo sndo orbtado, Ms a massa do corpo mas massvo. No caso da xcntrcdad sr gual à zro, a quação pod sr usada da orma: RHll a m Ms ()

4 sm-maor axs(m) prg argumnt (dg) rght ascncon o ascndng nod (dg) nclnaton (dg) ccntrcty O rao d Hll pod sr usado como crtéro para dlmtar a sra d nluênca do astrod orbtado. Quando o rao da órbta é maor qu o rao d Hll, pod sr consdrado qu o satélt scapa da órbta do astrod. Para o astrod (6) Klopatra, o rao d Hll calculado é d 8.89,4 m. Ou sa, a aproxmadamnt 9. m, um satélt passara a star prdomnantmnt suto à atração gravtaconal do Sol, não mas a do astrod. 4. Grácos Dvrsas smulaçõs oram ralzadas para tstar o comportamnto d um vículo ao rdor d um astrod. A sgur são mostradas smulaçõs para o astrod (6) Klopatra para órbtas muto próxmas. Fo consdrada rotação no xo z com príodo d 5,85 horas, sm-xo maor ncal d 5m, xcntrcdad, ascnsão rta do nodo ascndnt d 8 o, argumnto do prapsd d 7 o, anomala méda d o, nclnação varando m dos valors: o, 9 o. Os lmntos orbtas ncas são mostrados nos grácos m cor magnta para comparação, m azul a varação dos lmntos ao longo das órbtas. Para a órbta polar, também o to smulaçõs para xcntrcdad gual a,6. A sgur são mostrados grácos para órbta quatoral: Fgura 8. Excntrcdad m órbtas ao rdor d Klopatra no plano quatoral Fgura 9. Inclnação m órbtas ao rdor d Klopatra no plano quatoral Fgura. Ascnsão rta do nodo ascndnt m órbtas ao rdor d Klopatra no plano quatoral Fgura 6. Órbta quatoral próxma ao rdor d Klopatra..57 x Fgura. Argumnto do prapsd m órbtas ao rdor d Klopatra no plano quatoral Fgura 7. Sm-xo maor m órbtas ao rdor d Klopatra no plano quatoral. As guras 7 a mostram, durant órbtas ao rdor d Klopatra, o sm-xo maor, xcntrcdad, nclnação, ascnsão rta do nodo ascndnt argumnto do prapsd. As guras a 7 mostram a varação nos lmntos orbtas ao longo d órbtas para uma órbta polar:

5 rght ascncon o ascndng nod (dg) rght ascncon o ascndng nod (dg) nclnaton (dg) nclnaton (dg) ccntrcty ccntrcty sm-maor axs(m) sm-maor axs(m) prg argumnt (dg) Fgura 7. Argumnto do prapsd m órbtas ao rdor d Klopatra para órbta polar. Fgura. Órbta próxma polar ao rdor d Klopatra..57 x A sgur, são mostrados nas guras d 8 a, os lmntos orbtas para órbta polar, com xcntrcdad gual a,6..5 x Fgura. Sm-xo maor m órbtas ao rdor d Klopatra para órbta polar Fgura 8. Sm-xo maor m órbtas ao rdor d Klopatra para órbta polar com xcntrcdad ncal, Fgura 4. Excntrcdad m órbtas ao rdor d Klopatra para órbta polar..597 Fgura 9. Excntrcdad m órbtas ao rdor d Klopatra para órbta polar com xcntrcdad ncal, Fgura 5. Inclnação m órbtas ao rdor d Klopatra para órbta polar Fgura. Inclnação m órbtas ao rdor d Klopatra para órbta polar com xcntrcdad ncal, Fgura 6. Ascnsão rta do nodo ascndnt m órbtas ao rdor d Klopatra para órbta polar. Fgura. Ascnsão rta do nodo ascndnt m órbtas ao rdor d Klopatra para órbta polar xcntrcdad ncal,6.

6 prg argumnt (dg) Fgura. Argumnto do prapsd m órbtas ao rdor d Klopatra para órbta polar com xcntrcdad ncal,6. 5 Conclusão Fo ralzado um studo da prturbação grada na órbta d um vículo spacal dvdo à rrgulardad do corpo orbtado. Um modlo d poldros do astrod (6) Klopatra o utlzado, sndo qu o modlo é ormado por 48 vértcs 49 acs trangulars, qu rprsnta com boa prcsão a orma dst astrod. As smulaçõs oram tas consdrando órbta próxma quatoral, polar, polar com xcntrcdad drnt d zro. Tsts para órbtas muto dstants (no lmt da sra d nluênca do astrod), órbtas próxmas dsconsdrando rotação, não mostraram varação sgncatva comparada com as smulaçõs aprsntadas. Os grácos grados mostram o dsvo na órbta dvdo à orma rrgular do astrod m azul, sndo a lnha magnta os dados ncas para comparação. Consdrando rotação no xo z, para xcntrcdad gual à zro a órbta polar sor mnor dsvo qu a quatoral na maora dos lmntos orbtas. Em rlação à nclnação, apsar do dsvo sordo sr cíclco, l é maor para órbta polar. Comparando os grácos d órbta polar é possívl notar qu, para xcntrcdad ncal,6, ocorr uma varação muto maor no sm-xo maor (qu tv scala stndda m comparação aos d xcntrcdad zro), xcntrcdad nclnação, do qu quando a xcntrcdad ncal é nula. Enquanto a xcntrcdad sm-xo maor tndm a dmnur para a órbta polar muto xcêntrca, para xcntrcdad nula tnd a aumntar, mas m grau bm mnor. Os rsultados obtdos são mportants para s aplcar no studo d control d órbtas ao rdor d corpos rrgulars. Quando s dsa manobrar um vículo ao rdor d um corpo com orma não sérca é undamntal lvar m consdração os tos qu a dstrbução d massa não unorm rá grar, prncpalmnt m órbtas próxmas ao corpo. Rrêncas Bblográcas Baoyn, H., Lu, X., & Bauvalt, L. (). Analyss o potntal locatons o astrodal moonlts. Monthly Notcs o th Royal Astronomcal Socty. Brouc, R. A. (995). Closd orm xprssons or som gravtatonal potntal: trangl, rctangl, pyramd and polyhdron. In: Spaclght Mchancs Mtng, Albuqurqu. Procdngs San Dgo: AAS/AIAA, (PAPER AAS 95-9). Brouc, R. A. and Prado, A. F. B. A. (4). Orbts Around an Elongatd D-Obct Adv. n th Astronaut. Sc Dscamps, Pascal, t al., (). "Trplcty and physcal charactrstcs o Astrod (6) Klopatra." Icarus. (): -. Evrst, G.; (98). An account o th masurmnt o an arc o th Mrdan btwn th parallls o 8º 4 7. London: [s. n], 7 p. Hamlton, D. P., & Burns, J. A. (99). Orbtal stablty zons about astrods: II. Th dstablzng cts o ccntrc orbts and o solar radaton. Icarus, 96(), Kllog, O.D. (99). Foundatons o potntal thory. Nw Yor: Dovr. Ns, C., Ed. (4). Small Body Radar Shap Modls V.. EAR-A-5-DDR-RADARSHAPE- MODELS-V., NASA Plantary Data Systm. Ostro, S.J., R.S. Hudson, M.C. Nolan, J.-L. Margot, D.J. Schrs, D.B. Campbll, C. Magr, J.D. Gorgn, and D.K. Yomans. (). Radar obsrvatons o astrod 6 Klopatra. Scnc 88, Ostro, S.J., R.S. Hudson, M.C. Nolan, J.-L. Margot, D.J. Schrs, D.B. Campbll, C. Magr, J.D. Gorgn, and D.K. Yomans. (4). 6 KLEOPA- TRA. EAR-A-5-DDR-RADARSHAPE- MODELS V.: RSHAPES-6KLEOPATRA- 45. NASA PDS. Rocco, E. M.; (6) Tools or Analyss and Smulaton o Spaccrat Tractors n Kplran Orbt, Tchncal Rport, Cntr o Appld Spac Tchnology and Mcrogravty-ZARM Unvrsty o Brmn, Grmany. Schrs, D. J. (994). Dynamcs about unormly rotatng traxal llpsods: applcatons to astrods. Icarus, (), 5-8. Schrs, D.J., Ostro, S.J., Hudson, R.S., and Wrnr, R.A., (996). Orbts Clos to Astrod 4769 Castala, Icarus, Vol, pp Schrs, D. J. (4). "Clos Proxmty opratons or mplmntng mtgaton stratgs." Plantary Dns Conrnc: Protctng Earth rom Astrods. Orang County:[sn]. 4. Schrs, D. J., (). Orbtal Moton n Strongly Prturbd Envronmnts, Sprngr Praxs Boos. Wrnr, R. A. (994). Th gravtatonal potntal o a homognous polyhdron or don't cut cornrs, Clstal Mchancs and Dynamcal Astronomy, vol. 59, no., p Wrnr, R. A., & Schrs, D. J. (996). Extror gravtaton o a polyhdron drvd and compard wth harmonc and mascon gravtaton rprsntatons o astrod 4769 Castala. Clstal Mchancs and Dynamcal Astronomy, 65(), -44.

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