Resolver problemas com amostragem aleatória significa gerar vários números aleatórios (amostras) e repetir operações matemáticas para cada amostra.

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1 Dscplna: SComLMol Numann, Ulam Mtropols ( ) Numann Ulam [945] prcbram qu problmas dtrmnístcos podm sr transormados num análogo probablístco qu pod sr rsolvdo com amostragm alatóra. Els studavam dusão d nêutrons m matral ssonado. Mtropols sugr o nom (númro alatóros ogo Cdad d Mont Carlo) propõ amostragm prrncal. Exprmntalmnt ss método á ra bm conhcdo. (Exmplo: Klvn usou 5000 tratóras alatóras para studar colsõs lástcas d partículas m pards m 90.) Rsolvr problmas com amostragm alatóra sgnca grar város númros alatóros (amostras) rptr opraçõs matmátcas para cada amostra. Isto é aclmnt ralzado por computadors por sso o Método Mont Carlo é tão amplo ganhou tanto dstaqu m váras áras do conhcmnto, sndo consdrado como o método mas podroso comum utlzado para tratar problmas complxos [Rubnstn, 98] Dscplna: SComLMol

2 Cálculo d 0 4( tros na sombrada) (total d tros dsparados ) Ara arco r 4 4 Ara quadr. 4Ara Ara arco quadr. Exprmntal: Dsparar tros unorms na rgão do prmro quadrant. Erro ~ Tórco: Algortmo () grar x alatoramnt ntr 0 ; () grar y alatoramnt ntr 0 ; (3) calcular o rao; (4) tstar: s r ncrmntar um tro na ára sombrada; (5) ncrmntar o númro d tros dsparados; (6) voltar ao passo (). Dscplna: SComLMol 3 Intgração F F x ( x) dx ou x x (x) = unção d dnsdad d probabldad. ( ) ( ) Usando ( x) x x possívl, a unorm. Então: F F ( x ( ) ( ) x ) F Dscplna: SComLMol 4 x ( x) ( x) dx ( x) ond = númro alatóro ntr x x qu satsaz a dstrbução grada por. ( )( x ( x chga-s a dstrbução mas smpls x ) ( x x) ( ) x ) ( )

3 Ess método não é compttvo com outros métodos d ntgração para ntgras d baxa dmnsonaldad, mas para ntgras multdmnsonas (com amostragm prrncal), l é ho o método mas utlzado. H ( r, p) / kt ond Lmbrando qu: ( r ) H H ( r, p) con ( r, p) / kt 3N dpdr dpdr p / m U ( r) cn ( r con U U ) dr ( r) U U dr Sstma d N partículas ntragnts num volum V a uma tmpratura T. Dscplna: SComLMol 5 Algortmo: () grar uma conguração alatóra (3N coordnadas cartsanas alatóras ntr -L/ até L/); () calcular (r) xp(-u(r)/kt) acumular; (5) voltar ao passo (). con ( r) U U Muto ncnt para dstrbução unorm, pos xp(-u(r)/kt) 0 para mutas mutas tntatvas. Para calcular com uma boa prcsão o númro d tntatvas srá computaconalmnt nnto. Dscplna: SComLMol 6 3

4 É ncssáro usar uma amostragm prrncal, ou sa grar mas conguraçõs (3N coordnadas cartsanas) próxmas do U. U (r Prvlgando valors próxmos U ) / kt ( r )( / ) dr / ( / ) dr / U Nss caso smplcara muto s = (Amostragm d Mtropols [953]) ( ) Dscplna: SComLMol 7 Como grar númros alatóros qu satsazm uma dstrbução grada por? Solução: Grar uma cada d Markov d conguraçõs { } qu satsaz uma dstrbução grada por. Formalsmo: Um stado muda para através d uma matrz d probabldad d transção, ond o lmnto rprsnta a probabldad d passar d para. Condçõs: (a) Exst uma dnsdad d probabldad lmt (b) Atngndo ss lmt todas as conguraçõs gradas rão satsazm uma dstrbução d, ond = ( ). lm n Dscplna: SComLMol 8 (c) Todos os stados são acssívs (rgodcdad) (0) n 4

5 Portanto para grar uma Cada Markovana é ncssáro dscobrr uma matrz d probabldad d transção qu satsaz as condçõs: Um truqu muto usado para ncontrar é substtur a prmra condção acma por uma condção muto mas rígda qu é o balancamnto dtalhado: Mtropols co-autors [953] propusram ( s / ) U s Ou sa a probabldad d star m mudar para é a msma qu star m mudar para. 0 U para 0 para Dscplna: SComLMol 9 Na mplmntação dssa amostragm d Mtropols a matrz é dnda plo subconunto d conguraçõs acssívs m uma únca transção. Uma transção = uma tntatva d movmnto d uma partícula num dslocamnto alatóro r max m cada xo. Alln Tldsly, pp 9 Ou sa o númro d conguraçõs acssívs d uma conguração é rduzda no ator d: Vmax N V Dscplna: SComLMol 0 5

6 Uma vz stablcda a partícula o máxmo dslocamnto r max m cada xo, a probabldad d transção srá ou ( U ( U / kt ) / kt ) / Z / Z ( U / kt ) Alln Tldsly, pp 0 Smpr acta Rta Acta U/kT Dscplna: SComLMol Potncas contínuos dscontínuos: O método Mont Carlo com amostragm d Mtropols pod sr usado com qualqur tpo d potncal, uma vz qu não ncssta do cálculo do su gradnt. Escolha do r max : Dslocamntos muto grand provocam colsõs (U>>0) muto pqunos provocam pouca mudança (U 0). Então ss máxmo dslocamnto é auto-austado para mantr uma prcntagm d actação próxmo d 50% (Mas por qu 50%?). CUIDADO com auto-aust para sstmas com alta baxa dnsdad! Rcomndo qu 0.0 Å r max.0å Dscplna: SComLMol 6

7 Príodo longo Unormdad Valor médo: k = /(k + ) para k > 0 Dscplna: SComLMol 3 Corrlação statístca: C( t ) t t MAIS USADO RAN = XOR( -, - ) - = XOR - = 0 0 Dscplna: SComLMol 4 7