Pág Circunferência: ( ) ( ) 5.4. Circunferência: ( ) ( ) A reta r passa nos pontos de coordenadas (0, 1) e (2, 2).

Transcrição

1 Númros complxos Atvdad d dagnóstco AB AB ( ) ( ) ( ) A, ; B, ; P x, y Pág AP BP x+ y x + y + x + x + + y x + x x + + y + x + yx y x A bsstr dos quadrants ímpars é a mdatr d [AB] B(, ) ; C(, ) ; P( x, y ) BP CP ( x ) ( y ) ( x ) ( y ) x x + + y + y + x x + 9+ y y + 9 8y x+ y x+ y x A quação rduda da mdatr d [BC] é y x + 8 ( x ) ( y ) Cntro: (, ) ; rao: r Por xmplo, o ponto d coordnadas (, ) prtnc à crcunfrênca C x + y Rta vrtcal: x Rtas horontas: y ; y Rtas oblíquas: y mx+ b (, ); (, ) 9 m s : y x 9 + b b b r : y x + r // s m 9 Condção: y x x y x + x x + y y r Crcunfrênca: Cntro :, Rao : r Rtas vrtcas: x ; x + ( x ) ( y ) Rtas horontas: y ; y Cálculo auxlar x y + y ± ( ) ( y ( x ) + ( y ) ) Condção: x y ( x ) + ( y ) x x + y y r Crcunfrênca: Cntro :, ( x ) + ( y ) rao : r Rta : y mx y x (, ); (, ) x + y < y x Condção: x x + y y r Crcunfrênca: Pág 7 Cntro :, ( x ) + ( y ) Rao : r Rtas: y mx + b A rta r passa nos pontos d coordnadas (, ) (, ) b r : y x + m A rta s passa nos pontos d coordnadas (, ) (, ) m s : y x + b b Condção: ( x ) + ( y) y x+ y x (( x ) ( y ) x y ) +,,, BC C B,,, AB+ BC, +,, AB CB AB+ BC, +, a) AB B A b) c) d) 9 (, ) +,, Os vtors AB BC não são colnars, porqu a ordnada d BC é nula nquanto qu a ordnada d AB é não nula 7 OA (, ) 7 OB (, ) 7 C A+ u (, ) (, ) + (, ) (, ) OC(, ) 8 A(, ) ; C (, ) AC C A AC 8 B( x, ) (, ) (, ) (, ) + 9+ BC C B (, ) ( x, ) ( x, ) BC x + x x x x x 7 Como o ponto B prtnc ao º quadrant, a sua abcssa é

2 Atvdad ncal é solução da quação p ; q D x x + 7 q p D + 7 q q x + D + D C + C + + C + C 8+ + ( ) + ( ) 8+ + ( ) C C C + C 8+ ( ) + ( ) ( ) 8 + ( ± ) ± Pág ( ) ( ) Pág ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( + ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( + )( + ) ( 9 ) ( ) ( ) ( ) + + ( + ) ( )( ) + + ( + )( + ) ( )( ) 9 9+ k k + S é a soma dos prmros trmos d uma progrssão gométrca d raão trmo é S + + ( )( ) ( ) + + ( )( + ) ( ) ( ) R 8 ; Im é um númro ral Pág cujo prmro + Pág ( ) ( ) ( + )( + ) ( )( ) ( )( + ) ( ) ( ) R ; Im é um númro ral ( ) ( + ) ( + + ) + + ( ) ( ) R ; Im ( )( + ) + 7 ( ) ( ) R 7 ; Im é um númro ral

3 ( x ) ( y ) x x ( y ) + ( x ) ( x y ) + + ( ) ( ) R x x x Im x y + x y y x y R( ) x x Im( ) x y+ ww x x y+ y+ x x y y x y ou x y ( x ) ( x y ) x x y+ x y x ( x y ) ( x y ) x y ou x y Sndo N o afxo d, o afxo d g() é a magm d N pla rflxão d xo ral, sguda da rflxão cntral d cntro O pla translação d vtor (, ) 7 Transformaçõs por f : A (, ) + (, ) (, ) B (, ) + (, ) (, ) C (, ) + (, ) (, ) Transformaçõs por g : A (, ) + (, ) (, ) + (, ) (, ) B (, ) + (, ) (, ) + (, ) (, ) C (, ) + (, ) (, ) + (, ) (, ) ( + ) ( )( + ) ( ) ( + ) Pág Pág C + C + C + C + + ( + ) ( + ) + ( ) f Sndo M o afxo d m C, ntão o afxo d f () é a magm d M na translação d vtor (, ) A (, ) + (, ) (, ) B (, ) + (, ) (, ) C (, ) + (, ) (, ) 7 f ( ) ( ) + + ( + ) Pág 7 Pág Sndo M o afxo d, o afxo d f () é a magm d M pla rflxão d xo ral sguda da translação d vtor (, ) g ,+, +, + 8, AB + B A + + BC C B AC C A Pág

4 Como AB AC, o trângulo [ABC] é sóscls ( ) o trângulo [ABC] é rtângulo Portanto, o trângulo [ABC] é rtângulo sóscls O cntro da crcunfrênca é o ponto médo d [BC] ( ) ( ) ( ) BC r B(, ); C(, 9) M + 9, + (, ) A quação da crcunfrênca pdda é: (x ) + (y ) M + B + C M uv + uv uv + u v é um númro ral uv + uv uv + uv uv + uv R( uv) uv u v ( uv)( uv) ( u v)( u v) ( uv)( uv) ( u v)( u v) uv uv+ uv uv uu + uv + uv vv + uu vv u v + u v u v ( u ) v ( u ) ( u )( v ) ( ) ( ) 9 8 ( ) ( )( ) + ( ) Pág Pág + ( )( + ) ( ) + ( + ) + ( ) ( ) ( ) ( ) + ( + )( + ) ( )( ) ( )( + ) ( ) ( + ) x x 8 + x x x x x x x x x x + x x x x± 9 Como são soluçõs d x x, ntão x x ( 8+ )( ) w w ( )( ) ( x y )( x y ) x xy x+ xy + y + y x+ y+ x y x y y x é um númro ral Im ( ) y+ x y x E é a rta d quação y x Como é um magnáro puro: x y x y y x + y x+ y ( x x+ ) + y + y+ ( x ) + y+ Cálculo auxlar Pág Pág 7 Pág 8

5 y+ x y x Intrsção da crcunfrênca com a rta: x x + + x x+ + x x+ x 8x+ + x x+ x x x x x x Portanto, é um magnáro puro s os afxos d prtncrm à crcunfrênca d cntro, rao, com xcção dos afxos d abcssas, ou sja, os pontos (, ) (, ) não é um númro complxo untáro 7 é um númro complxo untáro é um númro complxo untáro 7 não é um númro complxo untáro por não sr da forma cos θ + sn θ 8 cos sn Pág 9 Pág cos + sn é untáro por sr da forma cos θ + sn θ, nst caso com θ 8 cos + sn, logo Arg 9 sn sn cos sn cos 8 8 sn + sn cos sn sn 8 sn sn + sn sn + cos cos sn + sn 8 8 cos + sn cos sn cos cos é um númro complxo da forma cos θ + sn θ, cosθ + sn θ, com θ, plo qu é um númro complxo untáro 9 cos + sn, logo Arg( ) + + Sja θ um argumnto d + Pág (, ) º Q Sja θ um argumnto d + é um argumnto d + é um argumnto d + (, ) ºQ + + Sja θ um argumnto tan( θ) (, ) ºQ + + Sja θ um argumnto d + (, ) º Q Sja θ um argumnto d + é um argumnto d é um argumnto d + é um argumnto d + (, ) º Q + + Sja θ um argumnto d + + é um argumnto d, ºQ Sja θ um argumnto d (, º Q ) + é um argumnto d +

6 8 7+ Sja θ um argumnto d, ºQ + é um argumnto d + ( + )( + ) Sja θ um argumnto d é um argumnto d (,) ºQ + ( ) ( ) ( ) Sja θ um argumnto d é um argumnto d (, ) º Q Pág cos + sn + + Pág cos + sn cos + sn + + cos + sn cos + sn cos + sn cos + sn + + cos + sn Pág Arg( ) Arg( ) Como Arg () Arg (), ntão

7 Arg( ) 8 8 Arg( ) + + Como Arg () Arg (), ntão 8 ; Arg ( ) ; ( ) 7 Arg Como Arg () Arg (), ntão Arg () + ; Arg () Como Arg () Arg (), ntão + Arg( ) + + Arg( ) + Como Arg() Arg(), Arg( ) (º Q) Arg( ) (º Q) Como Arg () Arg (), ntão Arg ( ) ; ( ) Arg Como Arg() Arg(), ntão Arg ( ) ; ( ) Arg Como Arg() Arg(), ntão Arg() + ; Arg() Como Arg() Arg(), Como, ntão + ; ; ; + ; ; Pág ; ; ; 8 Sja + Pág 8 tan( Arg( ) ) é um argumnto d (, ) º Q Portanto, Assm: ( + ) ( + ) 8 Sja tan( Arg( ) ) é um argumnto d (, ) ºQ 7 Sja w Sja + + tan( Arg( ) ) (,) ºQ é um argumnto d Sja + tan( Arg( ) ) (, ) º Q Portanto, é um argumnto d + +

8 9 + ; + tan Arg (,) ºQ ( ( ) ) é um argumnto d Pág Sja + tan( Arg( ) ) é um argumnto d (, ) ºQ ( ) ( ) 9 + cos + sn ( + ) ( ) ( ) Sja + tan( Arg) é um argumnto d (, ) º Q ( ) ( + ) cos + sn ( ) (, ) ºQ tan Arg + é um argumnto d cos + sn ºQ tan( Arg) é um argumnto d (,) º Q Sja + 8 ( ( ) ) ( ) tan Arg é um argumnto d, º Q 8 Assm: cos + sn Pág tan( arg( ) ) é um argumnto d (,) º Q + ; + 8 tan( Arg( ) ) é um argumnto d (, ) ºQ

9 Arg( ) tan( Arg( ) ) 9 é um argumnto d, ºQ + + ; Arg ( ) + θ θ Sja cosθ + snθ θ( θ) θ cosθ snθ cos( θ) + sn( θ ) tan( Arg( ) ) θ+ θ θ + é um argumnto d θ θ (, ) º Q cosθ + snθ cosθ + snθ ( cosθ snθ) cos( θ) + sn( θ ) Sja + 9+ θ θ θ ( θ+ θ) ( θ) θ tan( Arg( ) ) ( cos( θ) sn( θ) ) ( θ) + é um argumnto d (, ) ºQ cos θ + sn θ snθ cosθ θ + cos sn θ θ θ + θ θθ θ snθ + + cos sn cosθ θ + θ snθ cosθ snθ cos θ θ θ ( θ+ θ) θ θ cos( θ) + sn( θ) Portanto, Arg( ) Arg() θ Pág ( ) ( + ) 8 θ n n + ( ) ( ) + + θ + ; Arg( ) ; tan( Arg( ) ) é um argumnto d (, ) ºQ Arg( ) + + cos + sn (, ) º Q + é um argumnto d é um argumnto d (,) º Q θ ; + ; + é um argumnto d (,) ºQ n n n n n R k, k Z k, k Z ; n n b com b R + k, k Z n + k, k Z ; n θ θ θ cos sn n n θ θ θ θ cos + sn sn cos θ θ θ θ sn + sn sn cos θ θ θ θ θ θ sn sn cos sn sn cos

10 θ θ θ sn cos sn sn Como θ,, snθ > θ < < θ θ Assm, sn Arg( ) cos + sn + cos sn + sn cos cos + sn cos cos cos + sn Cálculo auxlar cos 8 8 cos cos cos θ θ + 8 cos cos sn cos + cos + cos cos + sn + cos sn + sn cos cos + sn cos cos cos + sn Cálculo auxlar + cos cos sn cos + cos + cos + cos cos + k θ cos cos w, k,, k, w k, w k, w k k + + w, k,, k, w + k, w k, w k k , k,, k, w + k, w k, w Pág 8 w ; w tan( Argw) + é argumnto d w (, ) ºQ w 8 k k + + w 8 8, k,, k, w + k, w + k, w k k w, k,,, k w, k, w k w, k, w k k w, k,,, k, w k, w 8 8 k, w k, w k + w com k,,, k, w k, w k, w 7 k, w + w ; tan( Argw), ºQ k k + + w + + é um argumnto d w w k k + + w k,,, k +,

11 k, w k, w k, w k, w k + w, k,,,,, k, w k, w k, w k, w 7 k, w k, w k k + + w, k,,,,, k, w + k, w k, w + k, w P 7 + k, w 7 + k, w 8 k + 8 w 8 8 k,,,,,, k, w 8 k k, w k, w k, w k, w k, w k k + + w, k,,,,, 8 8, k, w k, w k, w k, w k, w 7 k, w 7 k + k,,,,, k, k, k, k, 7 k, ; k + k, Os afxos das raís quartas d são vértcs d um quadrado d cntro na orgm cos + sn ( ºQ ) + cos + sn , Pág cos + sn ( ºQ ) cos + sn cos + sn 8 8 ( º Q )

12 k k 7, k,, 8 k, k, Pág k, S,, As magns gométrcas das soluçõs da quação dfnm, no plano complxo, um trângulo qulátro nscrto numa crcunfrênca d rao O trângulo qulátro é composto por três trângulo sóscls, cada um com dos lados d mdda qu formam um ângulo d rad h cos h cos h h b sn b sn b b Ára do trângulo []: 7 A A ára do trângulo é gual a 7 ua Para qu os afxos d sjam vértcs d um hxágono, Arg( ) Arg( ) + ; + tan( Arg) é um argumnto d (, ) º Q Arg( ) Arg( ) Arg( ) + o polígono é um hxágono Os argumntos dos afxos qu são vértcs conscutvos do hxágono dfrm ntr s ; rad + + cos + sn cos + sn As coordnadas dos vértcs do hxágono são: (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) (, ) Por xmplo, a quação, sndo um númro complxo, é um xmplo d quação pdda ( ) k Pág, k,, S,,, θ θ ( r ) ( r ) θ θ r r r r θ θ + k, k Z r r r ( r ) k θ k, k Z θ, k Z S,,,,,, Sja w w + ( ) tan( Arg( w) ) é um argumnto d w (, ) º Q w w k +, k,, 8k +, k,, ; ; S,, Sja r θ θ θ r r r r r r r r θ θ + k, k Z θ k, k Z θ

13 r r r r r k k θ, k Z θ, k Z r r k k θ, k Z θ, k Z ; ; ; ; S,,,,,,,, { } + ; + tan( Arg( ) ) é um argumnto d (, ) º Q Assm, tm-s: k + 8, k,,, 8k + 8, k,,, Logo: ; ; ; S ; ; ; ; + tan( Arg) é um argumnto d, ºQ Assm, arg( ) k +, k,,, k +, k,,, ; ; ; As raís quartas d são:,, Pág ± ± 7 ± S {, } ± + + ± ± ± S {, + } 8± ± 8± ± S, ( + ) + ± ± S {,, } ( + + ) ± + + ± ± ± + S,, + { } ± + ± S {,, } Pág 8 8 As raís quadradas d são as soluçõs da quação Sja x + y (x + y) x y + xy x x y x xy y x 9 x x 9 x x x wwwwww wwww ± + ± x x 8 8 wwww wwww ± x x Rx x R 8 8 wwww www x x y y y As raís quadradas d são + 8 As raís quadradas d são as soluçõs da quação Sja x+ y

14 + + x y x y xy x x y x x xy y x ± 9+ x x x R x 8 wwwww www x x x x ww y x As raís quadradas d são + 8 As raís quadradas d são as soluçõs da quação Sja x + y (x + y) x y + xy 9 x x y x R x xy y x ± + x x x wwwww wwwww x R x 9 x x ww y y As raís quadradas d são + ± ± S, ( ) + ± + + ± ± + S {, + } ( + ) ± + + S, + + ( ) + ± ± ± + + ± S { +, + } + + ( ) ( ) ( ) ± ± S {, + } ( ) ( ) ± ± S {, + } ± 9 ± 7 ± + ( ) ( ) + Pág S { ; + ; ; + } ± 8 + ± ± ( ) + ± + ± + ( ) ( ) S { +,,, + } ( ) ( ) + 9 ( ) + ( ) ( ) +

15 ± ± ± ± ± S {,,, } ± ± ± ± ± ± S {,,, } ± + S ± ± ± ± {,,, } ± + + ± ± + k k + +, k, + k + k, k, S,,, A + + Como A : A( ) ( )( + ) A( ) ( )( ) + + ± + 8 ± S {,, } é solução da quação dada ± + ± + {,, } S S { } ( )( ) Pág S { +, + } Sja x+ y x y x y x y + xy+ x y+ x y + x+ www xy y y( x ) x + x+ y + + y x x+ R R y x x y y x y y y x x + S {,+, } ( )( ) x y x y x y x + y + x y + x+ y + x + y + x + x + y y y y x x x + ; S {,+ } cosα ± cos α cosα + S ( α) cosα ± cos cosα ± cos α cosα ± sn α cosα ± snα cosα + snα cosα snα α α cos α + sn α α α {, } 7 α

16 7 ' θ Pág + θ θ ( + )( ) θ θ θ + k, º Q θ + k, k Z 8 + ; A B θ θ ' + A A + A (, ) B B + cos + sn + + ( ) B ', ( ) O' O, A',, B ', 8 Ára d [OAB]: (,) A ; O (, ) B (, ) OB abcssa d A A[ OAB] Como r : A[ ' ' '] A[ ] r O A B OAB ua 9 f f O afxo d f ( ) é a magm do afxo d por uma rotação d cntro O ângulo + k, k Z f + f Pág (º Q) Pág O afxo d f ( ) é a magm do afxo d pla translação d vtor (, ) f f 9 O afxo d f ( ) é a magm do afxo d por uma homotta d cntro O raão 9 f + f ( ) f ( ) f ( ) + f O afxo d f ( ) é a magm do afxo d por uma rotação d cntro na orgm O ampltud composta com uma homotta d cntro O raão 9 f ( ) + O afxo d f ( ) é a magm do afxo d por uma smtra d xo ral sguda d uma rflxão cntral d cntro O uma translação d vtor (, ) Trata-s d uma rflxão dslant d xo magnáro vtor (, ) + ( ) C(, ) r + + C(, ), r C(, ), r r Pág dfn uma crcunfrênca d cntro na orgm rao Como a mdda do su prímtro é 8, tmos: 8 r cos + sn + + Pág Frontras: Crcunfrênca d cntro na orgm qu passa m A(, ): r CA + + Crcunfrênca d cntro A(, ) rao : + + Mdatr do sgmnto [BC] com B(, ) C(, ): r Condção: + + θ r + θ º Q um valor d θ é θ arctan

17 + ( ) ( ) + + A(,) B(, ) ( ) ( ) ( ) + A(, ), r B(, ), C(, ) + ( ) R + C(, ), r ( ) R ( y ) ( x ( y ) ) R + R + x x ( + ) Im < ( + ) Im < ( x y ) Im + < ( y ) Im x+ + < y < y + > y > ( ) + + R ( + ) ( ) A(, ), B(, ) ( ) R + ( ( x y ) ) R + + ( x y ) R + y+ y Por xmplo: ( + ) ( ) < Arg( ) < Arg( ( + ) ) Pág Pág 7 É uma lps o su ntror: F (, ), F (, ) c a a b + c a b b b + F (, ), F (, ) 7 c b b c + a b 9+ a a a + y + x+ y+ x + y ( ) x + y+ ( x, y ) (, ) y y x y y ( x, y ) (, ) x y 8y x, y, ( ) x y y x, y, ( ) x y y 9 9 x, y, (, ) (, ) x + y+ x y 7 Arg( ) Arg( ) Arg( ) Atvdads complmntars ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8 ) ( ) 8 ( ) ( ) 8 ( 7 ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) 9 ( a ) ( ) + b + 8 a a 8 + b a a 8 b a b a b 7 ( a) + ( a+ ) a a a ( a ) + + a a + a + ( a ) + ( a ) é um númro ral s Im( ) a a é um númro ral s a Pág 7 + +

18 7 ( a ) + ( a) é um númro magnáro puro s R( ) Im( ) a a a a a ± a a é um magnáro puro s a 7 ( a ) + ( a) 7 a + a a a a a a ± a a s a + ; ( + ) ( ) ( )( ) f ( ) O afxo d f ( ) é a magm do afxo d pla translação d vtor v (, ) g( ) + ( + ) O afxo d g( ) é a magm do afxo d pla rflxão d xo ral sguda d translação d vtor v(, ), ou sja, pla rflxão dslant d xo ral vtor v, ( + ) h O afxo d h( ) é a magm do afxo d pla rflxão d xo ral, sguda da rflxão cntral d cntro O pla v,, ou sja, pla rflxão translação d vtor dslant d xo magnáro vtor v (,) 7 Sja: A(, ) o afxo d B (,) o afxo d O (, ) o afxo d f ( ) f ( ) + + f ( ) + Consdrando A f o afxo d f ( ) O f o afxo d ( ) f, B f o afxo d f, a magm por f do trângulo [ABO] é o trângulo AfBfOf, sndo,,, O, A B f f g( ) ( + ) g( ) ( + ) g( ) ( + ) f Consdrando O g o afxo d o trângulo A B O g (, ) O A g o afxo d g( ), B g o afxo d, a magm por g do trângulo [ ] g g g, sndo A (, ), (, ) g Bg h( ) ( + ) + ( ) + + h( ) ( + ) + ( ) + + h( ) ( + ) + ABO é Consdrando Ah o afxo d h(), Bh o afxo d h(n) Oh o afxo d, a magm por h do trângulo [ ABO ] é o trângulo [ AhBhO h], sndo Ah (, ), Bh (, ) Oh (, ), ou sja, pla rflxão dslant d xo magnáro vtor v (, ) Como BC + CD BD, pos +, os pontos A, B C são colnars 7 Já vmos qu BC AB AC Como AC BC, o trângulo [ABC] é sóscls AB AC + BC + + Como AB AC + BC, o trângulo [ABC] é rtângulo m C, uma v qu o ângulo ACB s opõ ao lado [AB], o lado d maor comprmnto 7 Tndo m conta o squma ao lado, dado qu o trângulo [ABC] é rtângulo m C o lado [AB] é um dâmtro da crcunfrênca qu passa nos pontos A, B C a crcunfrênca qu contém os pontos A, B C tm cntro no ponto M, ponto médo d [AB], rao AB r

19 r M Uma quação da crcunfrênca pdda é: A (, ) B(, ) ;, (,) ( y ) x + 7 w ( + )( + ) w w ( )( ) ( )( ) 7 ( 7 ) ( 7 ) + ( 7 ) ( ) ( ) ( ) ( 7) ( + 7) ( ) ( + ) ( ) + ( )( + ) ( ) ( ) ( + ) ( )( + ) + ( ) 7 ( ) ( + )( + ) ( ) ( )( + ) Sja x + y ( x + y )( x y ) + y w x + y x + y x y x x xy x+ + y + xy y + y + y ( x ) ( x ) x x+ y y + + y x x+ y + y x + y x + y w é um númro ral s Im (w) y y w é um númro ral s y x x+ y + y 77 w x + y x + y Pág w é um númro magnáro puro s R(w) Im(w) x x+ y + y x x y y x + y y w é um númro magnáro puro s os afxos d w prtncrm à crcunfrênca d cntro no ponto d coordnadas (, ) rao xcto os pontos d coordnadas (, ) (, ) 78 Sja x + y + ( x+ y ) + w + x+ y + ( y+ + x )( x ( y+ ) ) ( x+ ( y+ ) )( x ( y + )) xy + y + y + x y + + x + xy + x x + + ( y ) x+ x + y x x + y + x + y+ x + y+ x + y+ w é um númro ral s Im (w) + y x + y w é um númro ral s os afxos d w prtncrm à crcunfrênca d cntro na orgm do rfrncal rao, xcto o ponto d coordnadas (, ) R w Im w 78 w é um númro magnáro puro s x x y + x y x y x y y + w é um númro magnáro puro s a abcssa dos afxos d w for nula a ordnada dfrnt d, ou sja, é o xo magnáro xcto os pontos d coordnadas (, ) (, )

20 + ; Sja θ um argumnto d θ é um argumnto d (, ) ºQ Sja θ um argumnto d θ é um argumnto (, ) ºQ é um argumnto, ºQ d 79 ; + 8 Sja θ um argumnto d é um argumnto d (, ) º Q Sja θ um argumnto d + é um argumnto, ºQ d 7 ; + k k k Z d Como +, tmos + ; k 7+ k, k Z k, k Z k Z Como 7 +, tmos w ( + )( + ) w + + w + Sja θ um argumnto d θ é um argumnto d (, ) ºQ Sja θ um argumnto d w θ é um argumnto d w (, ) º Q θ Arg ; θ Arg 7 θ θ + Arg w w 7 Arg w cos + sn w cos sn cos sn 7 7 cos sn + w cos + sn θ θ θ cos θ sn θ cosθ + snθ ( cosθ snθ)( cosθ + snθ) cosθ + snθ ( cosθ) + ( snθ) cosθ + snθ cos + cos + sn θ θ θ cosθ snθ + cosθ cosθ R( w) cosθ cosθ cosθ cosθ

21 8 Im snθ w cosθ 8 R( w) Im( w) cosθ snθ cosθ cosθ snθ cosθ snθ + cosθ snθ + cosθ snθ cos + sn cosθ sn + sn + sn θ θ θ + + k θ + + k, k Z 7 θ + k θ + k, k Z 7 Como θ ], [, θ θ 7 θ, + é um argumnto d, ºQ um argumnto d é tanα é um argumnto d, º Q θ θ+ ( θ + ) 8 Como é um argumnto d : θ + + k, k Z θ + k, k Z k θ +, k Z 7 S k, θ + S k, θ + Como θ,, + θ cos + sn ; + ( ) θ, º Q tan n n n ( ) n n n é um argumnto d é um númro ral postvo s: n k, k Z n N n k, k Z n N ; n n 8 n é um númro ral ngatvo s: n + k, k Z n N n + k, k Z n N n 8 é um númro magnáro puro s: n + k, k Z n N n + k, k Z n N O mnor valor d n é n (para k ) θ Arg, < θ 8 Sja 87 θ + + cosθ + snθ + θ θ θ θ cos sn + sn cos + θ θ θ θ cos + cos + sn cos cos θ + sn θ cos θ θ θ θ cos cos + sn θ θ cos θ θ Como <, cos θ Arg( ) Arg( + ) 8 8 k +, k,,, + 8k, k,,, k, ; k, k, ; k, 7 As raís índc d são:,, Cálculos auxlars ( 8 ) ( 8 ) ( ) 7 θ θ sn cos , 8 º Q é um argumnto d,

22 87 Os afxos das raís quartas d são vértcs d um quadrado nscrto numa crcunfrênca d cntro na orgm do rfrncal rao As dagonas do quadrado mdm Sja l a mdda do lado do quadrado 88 l + l l l 8 A mdda da ára do quadrado é gual a 8 ua + + ; S ( + ) ; S ± + 7 ± ± + S, + 88 ( ) ± ± + S {,,+} ± + 8 ± ± ± S {,,, } 88 ( ) Pág + θ (, ) º Q k + 8,,,, k k + 8, k,,, 8 k,, k,,, 7 8 k, 8 k, 8 k, S,,,, 887 Sja x+ y + y x + y x y x y S 888 Sja x + y ( x y ) ( x y ) x + y + x + xy y x + y + xy x + y xy x y x y y x y ± x ± S {,,, } P + + P( ) P( ) P a) P( ) P + + ( ) ( )( ) + + ( ) é uma solução da quação P() b) P ( ) + Pla proprdad d 89: c) ( ) ( ) ( + ) P P P + também é solução da quação P() ± ± S {, +,, } ( ) ( )( ) + ( )( )

23 n n 9 (, ) ; é um argumnto d º Q 9 Arg Arg + n Os afxo d são vértcs d um hxágono rgular nscrto na crcunfrênca cntrada na orgm d rao Além d, as rstants raís índc d são: 7,, 9 Por xmplo: 9, A ; B ; C Sjam ', ' ' os A B C númros complxos cujos afxos são A, B C, rsptvamnt 7 + A A 7 7 cos + sn + B B cos + sn + 7 C C A, ; B, C, 9 Sjam A, B C os númros complxos cujos afxos são A, B C, rsptvamnt A A cos + sn B B cos sn + C C A (, ) ; B (, ) (, ) C 9 B cos + sn + ; b h A Como os pontos A C têm abcssa b h A [ ABC ] ua O trângulo [A B C ] é a magm do trângulo [ABC] por uma rotação Como s trata d uma somtra, têm as msmas áras A [ ABC ] ua O trângulo [A B C ] é a magm do trângulo [ABC] por uma rotação composta com uma homotta d rao, logo os dos trângulos são smlhants, sndo a raão das áras da amplação gual a Assm, A [ ] ua A B C 9 O ponto B é o afxo d cos + sn + + ( ) B + +, 9 ( ) ( ) ( + )( ) ( ) A quação pdda é, por xmplo, 9 OA + h cos h h b sn b b b h A[ ] AOB A [ ] ABC 9 < < 9 + < < 9 x+ y + x y < < x< < < x< C x+ y

24 + 9 Arg( ) C(, ), r C(, ), r V(, ) Arg Arg( ) Arg Arg + + Arg( + ) Arg( + ) Arg( + ) Arg( + ) + R + > 9 ( ) ( ) x y ( x y ) ( x y x y) x y R R + + R y x+ + > + > C,, r Pág 9 S [OABC] é um parallogramo, ntão w + ( ) α α w + ( ) cosα + snα cos α + sn α cosα + snα cosα snα cosα + snα cosα + snα snα snα Como α,, sn α >, dado qu w snα, ntão w snα α 9 α α + R + α k, k Z α + k, Z k α +, k Z Como α,, vm α (para k ) α Assm, cos + sn + 9 Arg() θ ; Arg(w) α cosθ + snθ + + cosθ + snθ θ θ θ θ + cos sn + sn cos θ θ θ θ sn + cos + sn cos θ θ θ θ cos + cos + sn cos θ θ θ cos + sn cos θ θ θ θ θ cos cos + sn cos 9 Sja Arg w α, < α α w cosα + snα, < α cos θ θ +, < θ (9) θ θ α + + w + w cos θ θ cos θ ( +α) cos θ + α + k, k Z θ cos θ + α + k, k Z θ + α + k, k Z θ α + k, k Z θ α S < θ, θ < < α

25 Para além d w, s Arg, Arg Argw, podmos conclur qu os afxos d, w são vértcs d um trângulo qulátro nscrto numa crcunfrênca d cntro O rao α α θ 9 w w P ; Q 9 OQ OP h snθ h snθ OP h snθ A[ ] snθ OPQ α α θ 9 w ; α+ θ 97 ( α+ θ) α ( αθ) α w w ( α+ θα) ( α θ+ α) θ θ ( θ θ ) cosθ + snθ ( cos( θ ) + sn( θ )) ( cosθ snθ cosθ sn( θ) ) snθ ( snθ) A + + snθ 97 Arg( ) ( ) θ ; Arg( ) θ + ( α θ) ; Arg α θ 97 OA OB 97 θ ; ; Arg( ) α Arg( ) ( ) α θ ( + ) θ α θ α ; ( α) Arg( ) Arg( ) porqu um hxágono rgular d cntro na orgm tm, no máxmo, dos vértcs no prmro quadrant plo qu A B são vértcs conscutvos Arg θ α θ θ θ Arg θ θ θ θ θ θ é um magnáro puro 98 OA OB OC Dado qu C é o afxo d + w, vm OC OA+ OB, como [OACB] é um parallogramo, AC OB BC OA AC OB BC OA plo qu os trângulos [OAC] [OCB] são qulátros AOC COB plo qu AOB + θ 98 w r ; r ; 98 Avalação w r θ+ θ + ( θ + ) ( θ) w r r θ θ + r, w r θ ( r ) θ θ θ ( θ) w + w r + r + r r + + ( θ) r + cos + sn + cos + sn ( θ) ( θ) r + r - + Rsposta: (A) cosθ + + snθ snθ + cosθ cos + θ+ sn + θ Rsposta: (A) + θ + + Rsposta: (C) Sja α um argumnto d Im( ) tanα é um argumnto d (, ) ºQ Um argumnto d é θ + Pág Um argumnto d é ( θ + ) + θ + + θ + θ Rsposta: (B) Sja θ um argumnto d + é um argumnto d + (, ) ºQ B O C A R( )

26 Um argumnto d ( + ) n é n, n N Como ( + ) n é um númro ral ngatvo: n, 8, + k k Z n + k k Z Para k 7, n Rsposta: (A) ( )( ) ( )( ) 7 8 Rsposta: (C) cos + sn cos sn cos +sn Rsposta: (D) Pág k { }, k,,,, S,,,, ( + ) ( + ) + ( )( + ) 9+ + S 9 Sja x + y x y x y x y + xy + x + y 8x + y + xy xy x y 8x + y y 8x y ± x ± x y,, são soluçõs da quação S,,, 9 Sjam A, B, C D os afxos dos númros complxos,,, rsptvamnt A,, B,, C (, ) D (, ) AC + CB ( ) BD + AD + + Como os lados do quadrlátro [ABCD] têm o msmo comprmnto, os afxo das soluçõs da quação dada são vértcs d um losango θ θ θ θ θ ( cosθ snθ) ( cos( θ) sn( θ) ) cosθ + snθ + cosθ sn( θ) cosθ R + w + w + w w + + w w w w w w w w w w ww w w+ w w+ w + + R porqu u + u R ( w) R + R Crcunfrênca d cntro na orgm rao x y x+ y ( x + y ) x+ y x y + xy x + y + y x xy x + y + y y( y+ ) x + x( y) x y y y x x x y cos ± cos cos + cos ± sn cos ± sn cos + sn cos sn Progrssão gométrca d raão

27 S, P P ( ) Como P( ) P( ) P : ( ) ( ) ( + ) P P P + é outro ro d P() P + + ( ) ( )( ) + ( ) Como P( ) P( ) ( ) ( ) ( + ) P P P + é outro ro d P() P + + P P + P, tmos: ± ± {,,,+} S a) ( ( )) Arg( ) º Q tan Arg k ; 8 Como o afxo d é do º quadrant, 8 w + r θ r + +, ºQ w b) + é um argumnto d w ( ) ( )( ) + c) Da fórmula d rcorrênca: n+ n+ + n, n N +, n N n n+ n n é uma progrssão gométrca n Então, r n n n n Arg Arg + 8 ( n) Arg( ) n + k, k Z n N n k, k Z n N n + k, k Z n N r n ( n) n é um númro natural da forma n + k, com k N Avalação global ;, ºQ ; Im( ) < cos + sn Im( ) > O afxo d é do º quadrant Arg arctan arctan Como >, Arg( ) ( ) + (, ) ºQ Rsposta: (C) +, + (, ) º Q, Arg arctan Pág +

28 n n n n w w é um númro ral s n k, k Z n k, k Z Como n é um múltplo d, n 8 Rsposta: (C) ( + ) + é um númro magnáro puro w w w ( + ) w± ( + ) w ± ( + ) w w + A quação w tm duas soluçõs n n n n n é um númro ral ngatvo s n + k, k Z n + k, k Z n é um númro natural qu é trmo da sucssão u + k, k N k Portanto: n + k, k N k k, k N k quando k + Rsposta: (D) ± + ± 8 ± + P(, ) ; Q(, ), O (, ) OP (, ), OQ (, ) OP OQ (, ) (, ) M + + [ ], (, PQ ) M prtnc ao xo ral PQ é a rta d quação x a rta PQ é paralla ao xo magnáro Rsposta: (A) Como (, ) ºQ, não é um argumnto d + ( + ) Sja θ um argumnto d + k é um argumnto d + (, ) ºQ ( ) ( )( + ) + Como, º Q, o argumnto d dfrnt d Rsposta: (B) sn α snα tan α + tanα + cos α cosα 7 8 cos sn sn cos α α α α + cos α cos α cos ( α) + sn( α) cos α cos α Rsposta: (C) ( α) ± 8 + é Pág 7 ± Sja θ um argumnto d é um argumnto d ºQ (, ) S, cos + sn + O, ; A, ; B, OA(, ), OB, 8 ( ) ; +

29 9 os vtors OA OB são colnars, portanto, os pontos O, A B são colnars n9 + ( ) + cos + sn AC 9+ Sja h a mdda do lado do quadrado l + l AC l ( ) l l A ára do quadrado [ABCD] é l, ou sja, é gual a ua é o smétrco d ( + ) F(, ) é o afxo d F(, ) é o afxo d Por dfnção d lps, + α, sndo um númro complxo cujo afxo é P, um ponto qualqur da lps, a a mdda do comprmnto do xo maor a PF + PF a condção qu dfn a rgão sombrada da fgura Im R é OA + 9 OB AB Como OA AB Por outro lado, o trângulo [OAB] é sóscls ( 8) ( 9) + ( 9) trângulo é rtângulo a proposção é vrdadra + + n9 n 9 9+, plo qu o A condção dfn a mdatr do sgmnto d rta cujos xtrmos são os pontos d coordnadas (, ) (, ), ou sja, a rta d quação y, a qual é paralla ao xo ral a proposção é vrdadra + Por xmplo S + + não é magnáro puro a proposção é falsa Arg, ntão y com y > + + y ( + y) + y + y + y porqu y > + porqu y A proposção é vrdadra ; θ y ( θ) θ θ + + ( θ) + cos θ + sn θ + cos θ + sn θ ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) cos + sn + cos sn cos( θ ) R A proposção é vrdadra +, + Sja θ um argumnto d Arg( ), ºQ + cos + sn cos + sn cos sn +