Matemática 3. Aula 1. Geometria Plana. A escolha de quem pensa! 1

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Matemática 3. Aula 1. Geometria Plana. A escolha de quem pensa! 1"

Transcrição

1 Matemática Aula 1 Geometria Plana 01. A bandeira do Brasil, hasteada na Praça dos Três Poderes, em Brasília, é uma das maiores bandeiras hasteadas do mundo. A figura abaixo indica as suas medidas de acordo com as normas oficiais. a) Se o retângulo tiver a medida da altura igual a um terço da medida da base, qual é a sua área? b) Se a medida da base do retângulo inscrito for x, obtenha uma expressão da área do retângulo em função de x. c) Calcule a maior área possível desses retângulos inscritos. a) Sabendo-se que o raio do círculo azul da bandeira da Praça dos Três Poderes mede,5 m, quanto mede a área da região amarela visível dessa bandeira? Sugestão: use p =,14. b) Deseja-se construir uma bandeira do Brasil com o lado maior do retângulo medindo m e nas mesmas proporções da bandeira da Praça dos Três Poderes. Qual será a medida da região amarela visível dessa outra bandeira? 04. Um canteiro de flores possui 5 m de área e tem o formato de um triângulo retângulo. Este triângulo foi dividido em cinco partes, por segmentos de reta igualmente espaçados e paralelos a um dos catetos, conforme indica a figura ao lado. Qual é a área do trapézio hachurado indicado na figura? 0. A figura ao lado mostra um quadrado ABCD no qual os segmentos BC e EC medem 4 cm e 1 cm, respectivamente. 05. Um terreno possui o formato de um triângulo cujos catetos medem 60 m e 0 m. O proprietário pretende construir nesse terreno uma casa de planta retangular, de modo que os dois lados do retângulo fiquem sobre os catetos e um vértice do retângulo pertença a hipotenusa, como na figura abaixo. Nessas condições, obtenha: a) Calcule o perímetro do triângulo de vértices A, E e C. b) Calcule o seno e o cosseno do ângulo a. 0. Num triângulo ABC com 18 cm de base e 1 cm de altura, é inscrito um retângulo com a sua base sobre o lado AB, conforme a figura ao lado. a) A área do retângulo cuja base x mede 0 m. b) A expressão que fornece a área do retângulo em função da medida variável x. c) O valor de x para o qual se tem o retângulo de maior área. A escolha de quem pensa! 1

2 06. Considere a figura na qual a curva que contém os pontos A, B, C é uma semicircunferência de raio r e a curva que contém os pontos A, D, C é um arco de circunferência de raio r. Obtenha a expressão da área limitada pelas duas curvas, em função de r. Explique os procedimentos usados. b) Admitindo que o raio da região irrigada seja inversamente proporcional à distância do irrigador até a bomba, calcule o raio da região irrigada quando o irrigador é colocado no centro da região retangular R. 09. O triângulo ABC da figura a seguir tem ângulo reto em B. O segmento BD é a altura relativa a AC. Os segmentos AD e DC medem 1 cm e 4 cm, respectivamente. O ponto E pertence ao lado BC e BC = 4EC. 07. Nesta figura plana, PQR é um triângulo equilátero de lado e, sobre os lados desse triângulo, estão construídos os quadrados ABQP e EFPR: Determine o comprimento do segmento DE. 10. Um disco se desloca no interior de um quadrado, sempre tangenciando pelo menos um dos seus lados. Uma volta completa do disco ao longo dos quatro lados divide o interior do quadrado em duas regiões: a região A dos pontos que foram encobertos pela passagem do disco e a região B dos pontos que não foram encobertos. O raio do disco mede cm e o lado do quadrado mede 10 cm. Considerando essas informações, a) Determine o perímetro do hexágono ABCDEF. b) Determine a área do hexágono ABCDEF. c) Determine o raio da circunferência que passa pelos vértices do hexágono ABCDEF. 08. Para irrigar uma região retangular R de dimensões l l, um irrigador giratório é acoplado a uma bomba hidráulica por meio de um tubo condutor de água. A bomba é instalada em um ponto B. Quando o irrigador é colocado no ponto C, a uma distância l / do ponto B, ele irriga um círculo de centro C e raio l (veja figura). Determine a área da região B. 11. Considere um setor circular AOC, cujo ângulo central è é medido em radianos. A reta que tangencia o círculo no extremo P do diâmetro CP encontra o prolongamento do diâmetro AB em um ponto Q, como ilustra a figura. a) Calcule a área da porção irrigada de R quando o irrigador está no ponto C. Sabendo que o ângulo è satisfaz a igualdade tgè = è, calcule a razão entre a área do setor AOC e a área do triângulo OPQ. A escolha de quem pensa!

3 1. Na figura a seguir, os segmentos AB e CD são paralelos, o ângulo OAB mede 10, AO = e AB =. Sabendo-se ainda que a área do triângulo OCD vale 600, a) calcule a área do triângulo OAB. b) determine OC e CD. 1. A figura representa um trapézio ABCD de bases AB e CD, inscrito em uma circunferência cujo centro O está no interior do trapézio. Sabe-se que AB = 4, CD = e AC =. Gabarito 1. a) 49,515 m b) 0,49515 m. p = ( + ) sen a = 10 e cos a = a) S = 48 cm x b) S(x) = + 1x c) S máx = 54 cm 4. S = 1 m x 5 a) S = 450 m b) S(x) = 0x c) x = 0 m r 6. S = ( 6 π) 6 7 a) ED = a( +1) b) S = a ( +) 4+ c) a 8. a) l ( π+ ) (5 p)cm 11. 1/ 6 b) r = l 5 1. a) b) OC = 60 OD = a) h = b) 5 c) S = 5p a) r = b) AB = 1 AC = 5 c) S = 0 4p 15. a) DO = 5 cm EO = 7 cm FO = 7 cm b) EF = 7 ED = 9 DF = 1 Aula a) Determine a altura do trapézio. b) Calcule o raio da circunferência na qual ele está inscrito. c) Calcule a área da região exterior ao trapézio e delimitada pela circunferência. 14. Em um triângulo com vértices A, B e C, inscrevemos um círculo de raio r. Sabe-se que o ângulo  tem 90 e que o círculo inscrito tangencia o lado BC no ponto P, dividindo esse lado em dois trechos com comprimentos PB = 10 e PC =. a) Determine r. b) Determine AB e AC. c) Determine a área da região que é, ao mesmo tempo, interna ao triângulo e externa ao círculo. 15. Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é tal que AC = 6 cm, AB = 8 cm e BC = 10 cm. Os segmentos AC, AB e BC também são lados de quadrados construídos externamente ao triângulo ABC. Seja O o centro da circunferência que circunscreve o triângulo e sejam D, E e F os centros dos quadrados com lados BC, AC e AB, respectivamente. a) Calcule os comprimentos dos segmentos DO, EO e FO. b) Calcule os comprimentos dos lados do triângulo de vértices D, E e F. Geometria Espacial Uma calha será construída a partir de folhas metálicas em formato retangular, cada uma medindo 1 m por 40 cm. Fazendo-se duas dobras de largura x, paralelas ao lado maior de uma dessas folhas, obtém-se três faces de um bloco retangular, como mostra a figura da direita. a) Obtenha uma expressão para o volume desse bloco retangular em termos de x. b) Para qual valor de x o volume desse bloco retangular será máximo? A escolha de quem pensa!

4 0. Uma caixa de papel em forma de bloco retangular está sendo projetada de modo a ter altura e comprimento de mesma medida e largura cm maior que seu comprimento. Quais as dimensões dessa caixa para que seu volume seja 00 cm? 0. Considere um cubo no qual a aresta tem medida a e cujos vértices são designados por letras, como está indicado na figura abaixo. M é o ponto médio da aresta AB e N é ponto médio da aresta BC. Calcule o volume do sólido MNDE, em função de a. Explique os procedimentos usados. c) Calcule o volume da pirâmide ABCD. 06. Num cubo de aresta a a inscreve-se um hexágono regular, cujos vértices são pontos médios das arestas do cubo. Ache a expressão da área do hexágono em função de a, explicando os procedimentos usados. 07. A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD e ACD são triângulos retângulos cujos catetos medem a. Considere o cubo de volume máximo contido em ABCD tal que um de seus vértices seja o ponto A, como ilustra a figura a seguir. 04. Na figura abaixo, está representada uma pirâmide de base quadrada que tem todas as arestas com o mesmo comprimento. Determine a medida da aresta desse cubo em função de a. 08. Pretende-se fabricar uma caixa com faces retangulares e ângulos retos, aberta em cima, com um volume de 10m (conforme figura a seguir). O comprimento de um dos lados da base deve ser o dobro do comprimento do outro lado. O material para construir a base custa R$10,00 por metro quadrado, ao passo que o material para construir as laterais custa R$6,00 por metro quadrado. a) Sabendo que o perímetro do triângulo DBV é igual a (6 + ), qual é a altura da pirâmide? b) Qual é o volume e a área total da pirâmide? 05. Sejam AB, BC e AC diagonais das faces de um cubo de aresta 10 cm, conforme a figura abaixo. a) Calcule a área do triângulo ABC. b) Calcule a área total da pirâmide ABCD. a) Se o lado p mede metros, quanto vale n? b) Com os valores do item (a), calcule o custo de construção da caixa. c) Encontre o custo de construção da caixa em função de p. 09. Uma pirâmide de base quadrada é seccionada por um plano paralelo à sua base, distante m dela. A área total da pirâmide menor, obtida pela secção, é igual à metade da área total da pirâmide original. a) Calcule a altura da pirâmide original. b) Calcule o volume do tronco de pirâmide obtido pela secção para o caso em que a aresta da base da pirâmide maior mede m. 4 A escolha de quem pensa!

5 10. Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor pretende construir uma cisterna fechada, que acumule toda a água proveniente da chuva que cai sobre o telhado de sua casa, ao longo de um período de um ano. As figuras e o gráfico representam as dimensões do telhado da casa, a forma da cisterna a ser construída e a quantidade média mensal de chuva na região onde o agricultor possui sua casa. Supondo que um trecho de 10 km de estrada deva ser construído, responda às seguintes questões. a) Que volume de brita será gasto com o lastro nesse trecho de ferrovia? b) Se a parte interna da caçamba de um caminhão basculante tem 6 m de comprimento,,5 m de largura e 0,6 m de altura, quantas viagens de caminhão serão necessárias para transportar toda a brita? 1. Um poliedro é construído a partir de um cubo de aresta a > 0, cortando-se em cada um de seus cantos uma pirâmide regular de base triangular equilateral (os três lados da base da pirâmide são iguais). Denote por x, 0 < x a, a aresta lateral das pirâmides cortadas. Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana horizontal de 1 metro quadrado, determine a profundidade (h) da cisterna para que ela comporte todo o volume de água da chuva armazenada durante um ano, acrescido de 10% desse volume. 11. No cubo ABCDEFGH considere o ponto P na aresta AE satisfazendo AP = PE. Sabendo que PG mede cm, calcule o volume do cubo. a) Dê o número de faces do poliedro construído. b) Obtenha o valor de x, 0 < x a, para o qual o volume do poliedro construído fique igual a cinco sextos do volume do cubo original. A altura de cada pirâmide cortada, relativa a base equilateral, é x. 14. Um octaedro é um poliedro regular cujas faces são oito triângulos equiláteros, conforme indicado na figura. 1. Em uma estrada de ferro, os dormentes e os trilhos são assentados sobre uma base composta basicamente por brita. Essa base (ou lastro) tem uma seção trapezoidal, conforme representado na figura a seguir. A base menor do trapézio, que é isósceles, tem m, a base maior tem,8 m e as arestas laterais têm 50 cm de comprimento. Para um octaedro de aresta a: a) Qual é a sua área total? b) Qual é o seu volume? c) Qual é a distância entre duas faces opostas? A escolha de quem pensa! 5

6 15. Considere uma pirâmide regular de base hexagonal, cujo apótema da base mede cm. Secciona-se a pirâmide por um plano paralelo à base, obtendo-se um tronco de volume igual a 1 cm e uma nova pirâmide. Dado que a razão entre as alturas das pirâmides é 1, calcule a altura do tronco. a) Calcule o volume do cilindro. b) Calcule a área total do cilindro. 0. A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na figura. Gabarito 1. a) V = x + 0,4x b) x = 10 cm a) 5 x 5 x 8cm a V = 8 4 a) h = b) V = 9 e S = 9 ( t + 1) 5. a) S = 50 cm b) S T = 50( + )cm c) V = 500 cm 6. a 4 a a) 1,5 m b) R$ 170,00 c) 0p p 9. a) (4 + )m b) V = (9 + )m 10. 7,7 m 11. V = 64 m 1. a) 700 m b) a) 14 b) x = a a 14. a) a b) V= ( ) 15. cm 1 Aula Geometria Espacial - c) a Uma jarra de vidro em forma cilíndrica tem 15 cm de altura e 8 cm de diâmetro. A jarra está com água até quase a borda, faltando 1 cm de sua altura para ficar totalmente cheia. a) Se uma bolinha de gude de cm de diâmetro for colocada dentro dessa jarra, ela deslocará que volume de água? b) Quantas bolinhas de gude de cm de diâmetro serão necessárias para fazer com que a água se desloque até a borda superior da jarra? 0. Um cilindro está inscrito em um cubo, conforme sugere a figura abaixo. Sabe-se que o volume do cubo é 56 cm. a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia? b) Obtenha uma expressão para o volume V de líquido nessa taça, em função da altura x indicada na figura. 04. Considere um trapézio ABCD no qual os ângulos com vértices A e B são retos, a medida do lado AB é x, que é igual a do lado BC e é o triplo da medida do lado AD. Determine, em função de x, a expressão do volume do sólido de revolução obtido quando a região plana limitada pelo trapézio gira em torno do lado BC. 05. Seja um cilindro circular reto de altura h e base de raio r. Considere as duas hipóteses seguintes: 1. O raio r é aumentado de 0 metros e a altura é mantida.. O raio r é mantido e a altura h é multiplicada por 4. Em cada uma das hipóteses há um acréscimo no volume do cilindro. Sabendo que estes acréscimos são iguais, ache o raio r em metros. 06. Um cone circular reto cuja altura forma um ângulo de 0 com a geratriz está inscrito numa esfera de raio R. Ache a expressão do volume do cone em função de R, detalhando os procedimentos usados. 07. Considerando que um cilindro circular reto de altura x seja inscrito em uma esfera oca de 0 cm de raio, obtenha a expressão do volume do cilindro em função de x. 08. O volume de um cone reto é 104pcm. Se a altura, o raio da base e a geratriz desse cone formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então calcule a medida da geratriz, em centímetros, e assinale o valor obtido no cartão-resposta. 09. Uma peça esférica de madeira maciça foi escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a figura a seguir. Observe que, na escavação, retirou-se um cilindro de madeira com duas tampas em formato de calota esférica. 6 A escolha de quem pensa!

7 Sabe-se que uma calota esférica tem volume πh V cal = (R h), em que h é a altura da calota e R é o raio da esfera. Além disso, a área da superfície da calota esférica (excluindo a porção plana da base) é dada por A cal = p Rh. Atenção: não use um valor aproximado para π. a) Supondo que h = R/, determine o volume do anel de madeira, em função de R. b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá uma camada de verniz, tanto na parte externa, como na interna. Supondo, novamente, que h = R/, determine a área sobre a qual o verniz será aplicado. Por outro lado, numa praça de uma certa cidade há uma torneira com um gotejamento que provoca um desperdício de 46,44 litros de água por dia. Considerando a aproximação p =, determine quantos dias de gotejamento são necessários para que a quantidade de água desperdiçada seja igual à usada para 6 banhos, ou seja, encher completamente 6 vezes aquele chuveiro manual. Dado: cm = 1 litro. 1. Na construção de uma estrada retilínea foi necessário escavar um túnel cilíndrico para atravessar um morro. Esse túnel tem seção transversal na forma de um círculo de raio R seccionado pela corda AB e altura máxima h, relativa à corda, conforme figura. 10. Um cilíndro circular reto é inscrito em um cone, de modo que os eixos desses dois sólidos sejam colineares, conforme representado na ilustração a seguir. Sabendo que a extensão do túnel é de 000 m, que AB = 4 m e que R = 6m, determine o volume aproximado de terra, em m, que foi retirado na construção do túnel. Dados: π 1,05 e 1,7. A altura do cone e o diâmetro da sua base medem, cada um, 1 cm. Admita que as medidas, em centímetros, da altura e do raio do cilíndro variem no intervalo ]0;1[ de modo que ele permaneça inscrito nesse cone. Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter para que sua área lateral seja máxima. 11. Numa região muito pobre e com escassez de água, uma família usa para tomar banho um chuveiro manual, cujo reservatório de água tem o formato de um cilindro circular reto de 0 cm de altura e base com 1 cm de raio, seguido de um tronco de cone reto cujas bases sao círculos paralelos, de raios medindo 1 cm e 6 cm, respectivamente, e altura 10 cm, como mostrado na figura. 1. A circunferência inscrita num triângulo equilátero com lados de 6 cm de comprimento é a interseção de uma esfera de raio igual a 4 cm com o plano do triângulo. Determine a distância do centro da esfera aos vértices do triângulo. 14. Num cilíndro circular reto sabe-se que a altura h e o raio da base r são tais que os números p, h e r formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de soma 6p. Calcule a área total do cilíndro. 15. Uma esfera de raio 5 cm é seccionada por um plano a cm do centro. Calcule: a) a área da calota esférica obtida na esfera; b) a área do fuso esférico de 0, contido na esfera; c) o volume da cunha esférica de 45, contida na esfera. A escolha de quem pensa! 7

8 1. a) 4 π cm b) 1 Gabarito. a) V = 64p cm b) S t = 48p cm. a) 16pm b) 4. 5πx V = 9 5. r = 0 cm 6. πr V = 8 πx 1600 x 7. V = ( ) πr a) dias m 1. 5 cm 14. 0p 4 x π 8 b) S = ( + )pr c) Demonstre que a distância de P até B é o dobro da distância de P até N. 0. A projeção esfereográfica é um método de projetar pontos de um círculo sobre uma reta que pode ser utilizado na confecção de mapas (situação em que os círculos são os meridianos do globo terrestre). Suponha que y é o círculo de raio 1 centrado na origem do plano xy, N = (0,1) é um ponto fixado e P = (a,b) é um ponto qualquer do círculo y distinto de N. A projeção esfereográfica do ponto P é a interseção da reta r determinada por N e P com o eixo x, representada pelo ponto Q na figura abaixo. 15. a) Sc = 0p cm b) S = 5 π cm c) Vc = 15 6 π cm Aula 4 Geometria Analítica Um losango do plano cartesiano Oxy tem vértices A(0, 0), B(, 0), C(4, ) e D(1, ). a) Determine a equação da reta que contém a diagonal AC. b) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. c) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD. 0. Seja M o ponto médio do segmento OB e N o ponto médio do segmento OC, sendo B = (0, ) e C = (, 0), conforme figura abaixo. Nessas condições: a) Encontre a projeção Q do ponto P ; b) Encontre as coordenadas do ponto P, pertencente ao círculo, cuja projeção é o ponto Q = (,0). 04. Um sólido de revolução é um objeto obtido a partir da rotação de uma figura plana em torno de um dos eixos coordenados. Por exemplo, rotacionando-se um retângulo em torno do eixo y, pode-se obter um cilindro, como na figura abaixo. a) Encontre a equação da reta r determinada pelos pontos B e N e a equação da reta s determinada pelos pontos C e M. b) Encontre as coordenadas do ponto P de interseção das retas r e s. Considere agora a região R do primeiro quadrante do plano xy delimitada pelas retas r 1 : y = x, r : x = 0 e r : x = 1 e pela circunferência Y: x + (y 4) = 1. a) Utilize os eixos cartesianos abaixo para fazer um esboço da região R e do sólido de revolução obtido pela rotação dessa região em torno do eixo y. 8 A escolha de quem pensa!

9 10. As retas de equações y = ax + b e y = cx são ilustradas na figura a seguir. Sabendo que o coeficiente b é igual à média aritmética dos coeficientes a e c, a) expresse as coordenadas dos pontos P, Q e R em termos dos coeficientes a e b; b) determine a, b e c, sabendo que a área do triângulo OPR é o dobro da área do triângulo ORQ e que o triângulo OPQ tem área 1. b) Encontre o volume do sólido de revolução obtido no item acima. 05. No sistema cartesiano ortogonal Oxy, considere a circunferência de centro C = (4, ) e raio r = 5. a) Encontre a equação cartesiana da circunferência. b) Encontre as coordenadas dos pontos de interseção da circunferência com o eixo Oy. c) Seja P o ponto de interseção da circunferência com o eixo Oy, de ordenada positiva. Encontre a equação da reta que tangencia a circunferência nesse ponto P. 06. Em uma folha de fórmica retangular ABCD com 15 cm de comprimento AB por 10 dm de largura AD um marceneiro traça dois segmentos de reta, AE e BD. No ponto F onde o marceneiro pretende fixar um prego, ocorre a interseção desses segmentos. A figura a seguir representa a folha de fórmica no primeiro quadrante de um sistema de eixos coordenados. 11. Seja dada a reta x y + 6 = 0 no plano xy. a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas retas do plano passam por P e formam um ângulo de 45 com a reta dada acima? b) Para o ponto P com coordenadas (, 5), determine as equações das retas mencionadas no item (a). 1. Considere no plano cartesiano xy o triângulo delimitado pelas retas x = y, x = y e x = y A área desse triângulo mede: 1. Seja o ponto A ( ; ) um dos vértices de um triângulo. Sabendo que o lado oposto a este vértice está situado sobre a reta que contém o ponto P ( ; 4) e é paralelo à reta determinada pelos pontos M (; ) e N (6; 1), calcular a medida da altura do triângulo baixada a partir de A. 14. Calcule e o ângulo agudo formado pelas retas (r)x = t e y = 4t e (s) x + y = Considerando a medida do segmento EC igual a 5 dm determine as coordenadas do ponto F. 15. A secção meridiana de um cone circular reto está representada em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no plano; nessa representação, o vértice do cone é o ponto P (, 1), a reta suporte do diâmetro da base tem equação x + 1 = 0 e a reta suporte de uma das geratrizes tem equação x + 4y 5 = Sejam P = (a, b), Q = (1, ) e R = ( 1, 1) pontos do plano. Se a + b = 7, determine P de modo que P, Q e R sejam colineares. Calcule o valor do quociente V cone. π, sendo V o volume do 08. Dada a reta r : y = x do plano cartesiano xy, determine a equação da reta s, a qual é paralela à r, e está, de r, a uma distância igual a 1 e não intercepta o quarto quadrante do plano cartesiano. 09. Considerando que os pontos A (1; 1), B (; 5) e C (; 8) são vértices de um triângulo ABC. Com relação a esse triângulo, determine: a) A equação da reta suporte da mediana relativa ao lado AB. b) A equação da mediatriz do lado AB. Gabarito 1. a) y = 9 x b) y = x + c) P (; 4 ). a) (r): x + y = 0 (s): x + y = 0 b) P ; 4. a) Q ( + 1; 0) b) P ; a) -- b) V = 8 π 5. a) (x 4) + (y ) = 5 b) (0; 0) e (0; 6) c) (t): 4x y + 18 = 0 A escolha de quem pensa! 9

10 6. F (6; 6) 7. P (;5) 8. s: y = x a) x + 6y 0 = 0 b) x + y 8 = 0 b 10. a) P ;0 a, Q (0; b) e R b b(b a) ; b a b a b) a = 8, b = 4 e c = a) duas retas b) x y + 1 = 0 e x + y 1 = 0 1. S = 15 ua q = arctg Aula 5 Geometria Analítica A figura abaixo mostra uma circunferência tangente ao eixo y, com centro C sobre o eixo x e diâmetro de 10 unidades. uma circunferência de perímetro P e de equação x + y 16x 1y + 6 = 0. P Se P > P 1, calcular o valor de P1 06. Determinar o maior valor inteiro de k a fim de que x + y 6x + 10y + k = 0 seja equação de uma circunferência de raio não nulo. 07. Os vértices de um triângulo são: o centro da circunferência de equação x + y 6x 8y = 0 e os pontos de intersecção dessa circunferência com a reta que passa pela origem e tem coeficiente angular 1/7. Calcule: a) a área do triângulo; b) o perímetro do triângulo; c) classifique o triângulo quanto aos lados. 08. No plano cartesiano, considere o círculo S descrito pela equação cartesiana x + y = 5 e a reta r descrita pela equação cartesiana y = x. Assim, r intersecta S nos pontos A e B. Considerando uma nova reta h, descrita pela equação cartesiana y = x + 1, esta reta intersecta S nos pontos A e C. a) Determine os pontos A, B e C. b) Determine a área de triângulo de vértices A, B e C. 09. Os pontos ( 6, ), (, 1), e ( 5, 5) pertencem a uma circunferência. Determine o raio dessa circunferência. a) Sabendo que A = (8,4) e que r : y + x = 0 é a reta que passa por A e B, calcule a área do triângulo CAB. b) Encontre as coordenadas do ponto D, indicado na figura acima, no qual a reta r intercepta a circunferência. 0. São dados os pontos A = (0,0) e B = (6,8) no plano cartesiano Oxy. a) Escreva a equação reduzida da circunferência a que tem centro no ponto médio do segmento AB e contém os pontos A e B. b) Encontre as coordenadas do ponto P, distinto de A, no qual a circunferência a intercepta o eixo y. 0. Ache a equação da circunferência que passa pelos pontos A (, 1), B (1, 5) e tem centro sobre a reta de equação x + y + 1 = No plano cartesiano, ache a equação da circunferência que tem centro no ponto médio do segmento de extremidades A (6; 4) e B ( ; ) e é tangente à reta que contém os pontos C (; 6) e D ( 1; ). 05. Uma circunferência de perímetro P 1 e centro na origem do sistema de coordenadas, é tangente a 10. No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto A = ( 5, 1) e é tangente à reta t de equação 4x y = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox. Assim: a) Determine as coordenadas do ponto P. b) Escreva uma equação para a circunferência C. c) Calcule a área do triangulo APQ. 11. No plano cartesiano, seja λ a circunferência de centro C = (,5) e raio 4 e seja r a reta de equação y = x + 6. a) Determine todos os valores de x para os quais o ponto P = (x, y) pertence à reta r e está no interior da circunferência λ. b) Encontre a equação cartesiana da circunferência λ 1 oncêntrica à circunferência λ e tangente à reta r. 1. Considerando, no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a circunferência de equação x + y + 6x 1y + 5 = 0 e a reta de equação x + y + 8 = 0, a) obtenha a equação da reta que contém o centro da circunferência e é paralela à reta dada; b) calcule as coordenadas do ponto de intersecção da reta dada com a reta tangente à circunferência no ponto P (1, 4). 10 A escolha de quem pensa!

11 1. Uma circunferência tem centro no ponto (6; 0) do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais e passa pelo ponto de intersecção das retas x + y 7 = 0 e x y = 0. Obtenha a equação da circunferência, explicando os procedimentos usados. 14. Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a equação de uma circunferência é: x + y 6x + y = 0. Calcule a área do triângulo cujos vértices são o centro da circunferência e os pontos de intersecção da reta de equação x + y 10 = 0 com a circunferência. Explique os procedimentos usados. 15. São dados os pontos A = (1, ), B = (4, 1) e C = (6, 4) no plano cartesiano Oxy. a) Usando coeficientes angulares, mostre que a reta r, que contém os pontos A e B, é perpendicular à reta s, que contém os pontos B e C. b) Sabendo que A, B, C e D são vértices de um quadrado, encontre as coordenadas do ponto D. c) Escreva a equação da circunferência que contém os pontos A, B, C e D. Gabarito 1. a) S = 0 b) A (8; 4) D (5; 5). a) (x ) + (y 4) = 5 b) P (0;8 ). (x + ) + (y 1) = 5 4. (x ) + (y + 1) = 9 5. P 4 P = a) S = 5 ua b) p = (10 5 ) uc c) isosceles 8. a) A (1; ) B (1; ) C) ( ; 1) 9. 5 b) S = ua 10. a) P ( 1; ) b) (x + 5) + (y 1) = 5 c) S = 5 4 ua 11. a) - 7 < x < + 7 b) y = 4 x 5 1. a) x + y = 0 b) ; 1. x + y 1x + 11 = S = 5 ua 15. a)-- b) D (; 6) c) x + y = 4 Aula 6 Números Complexos 01. Considere os números complexos z = 1 + i e z = 1 i e sendo i = 1 a unidade imaginária. a) Escreva os números z e z 4 na forma x + iy. b) Sabendo que z, z e são raízes do polinômio P(x) = x + ax + bx + c, calcule os valores de a, b e c. 0. Considere os números complexos z = cos 18 π + isen 18 π a) Mostre que o produto z. w é igual a + i b) Mostre que z 18 é igual a 1. π π 0. Sejam os números complexos z = cos + isen e w = i + i + i. Achar y = z 6 + w Considerando o número complexo z = 1 + i: a) obtenha uma equação polinomial do grau com coeficientes reais da qual z seja uma das raízes; b) calcule o menor número inteiro positivo n para o qual zn é número real; c) calcule o valor de x para que o número x + i seja z imaginário puro. 05. Considere o número complexo z = 5 + 1i onde i = 1. Se x é a parte real de z e y a parte imaginária de z calcule x 4 + y, explicando os procedimentos usados. 06. Calcule as raízes quadradas do número complexo 1 +. i 07. Calcule as raízes cúbicas de um número complexo z, cujo módulo é igual a 8 e seu argumento principal vale π rad. 08. Em 1545, o italiano Girolamo Cardano ( ) publicou o seu mais importante livro A grande arte, e tão orgulhoso ficou que, no final, escreveu a frase: Escrito em cinco anos, pode durar muitos milhares. No livro, um problema aparentemente simples começou a aprofundar a discussão sobre um novo tipo de número, ainda desconhecido na Matemática: Dividir 10 em duas parcelas tais que o seu produto seja 40. a) Determine as duas parcelas e expresse-as na forma a + bi, em que a,b são números reais e i = 1. b) Expresse as duas parcelas do item A na forma de pares ordenados (a,b) e represente-os graficamente no plano cartesiano. c) Calcule, na forma decimal aproximada, a área do triângulo cujos vértices são os dois pares ordenados do item B e a origem. Se precisar, use as aproximações: = 1,7; 5 =,. d) Encontre uma equação polinomial de coeficientes inteiros com o menor grau possível, sendo dadas três de suas raízes: as duas parcelas do item A e o numero complexo i. 09. Os números complexos distintos z e w são tais que z + w = 1 e z. w = 1. a) Calcule z b) Calcule o valor z 4 + w 4 sabendo-se que z está no primeiro quadrante do plano complexo. A escolha de quem pensa! 11

12 10. No jogo Batalha Complexa são dados números complexos z e w, chamados mira e alvo respectivamente. O tiro certeiro de z em w é o número complexo t tal que tz = w. 14. O número complexo z = a + bi é vértice de um triângulo equilátero, como mostra a figura. Sabendo que a área desse triângulo é igual a 6, determine z. Considere a mira z e o alvo w indicados na figura anterior. Determine o tiro certeiro de z em w. 11. Determine o módulo, o argumento e represente graficamente o número complexo z = + ( ) i. 1. No plano de Argand-Gauss (figura), o ponto A é chamado afixo do número complexo z = x + yi, cujo módulo (indicado por z ) é a medida do segmento OA e cujo argumento (indicado por q) é o menor ângulo formado com OA no sentido anti-horário, a partir do eixo Re(z). O número complexo z = i é chamado unidade imaginária. 15. Considere os números complexos w = 4 + i e z = a + 4ai, onde a é um número real positivo e i indica a unidade imaginária. Se, em centímetros, a altura de um triângulo é z e a base é a parte real de z. w, determine a de modo que a área do triângulo seja 90 cm. Gabarito 1. a) z = + i z = 4 b) a = 4; b = 6 e c = 4. a) -- b) --. y = a) x x + = 0 b) n = 4 c) x = R1 = i e R = i 7. R 1 = + i R = + i R = i 8. a) x = i e y = 5 15i ou x = 5 15i e y = i a) Determinar os números reais x tais que z = (x + i) 4 é um número real. b) Se uma das raízes quartas de um número complexo z é o complexo z 0 cujo afixo é o ponto (0, a), a > 0 determine z. b) (5; 15i ) e (5; 15i ) c) S = 18,7 d) 4 9. a) 1 b) t = i 11. z = 4; q = p/ rad 1. x = 0, x= e x = b) a 4 1. a) S = 6 ua b) A (0; ), B ( 6; 0), C (0; ) e D (6; 0) c) i 14. z = i 15. a = cm 1. a) Calcule a área do losango ABCD cujos vértices são os afixos dos números complexos:, 6i e 6i, respectivamente. b) Quais são as coordenadas dos vértices do losango A B C D que se obtém girando 90 o losango ABCD em torno da origem do plano cartesiano, no sentido anti-horário? c) Por qual número devemos multiplicar o número complexo cujo afixo é o ponto B para obter o número complexo cujo afixo é o ponto B? 1 A escolha de quem pensa!

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Probabilidade 10 (0,95%)

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Probabilidade 10 (0,95%) Distribuição das.08 Questões do I T A 9 (8,97%) 0 (9,9%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais (, 0 (9,6%) Geo. Analítica Conjuntos (,96%) Geo. Espacial Funções Binômio de Newton

Leia mais

Colégio Anglo de Sete Lagoas Professor: Luiz Daniel (31) 2106-1750

Colégio Anglo de Sete Lagoas Professor: Luiz Daniel (31) 2106-1750 Lista de exercícios de Geometria Espacial PRISMAS 1) Calcular a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo de dimensões 10 cm, 8 cm e 6 cm 10 2 cm 2) Determine a capacidade em dm 3 de um paralelepípedo

Leia mais

Geometria Métrica Espacial. Geometria Métrica Espacial

Geometria Métrica Espacial. Geometria Métrica Espacial UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 1. Prismas Geometria Métrica

Leia mais

REVISÃO Lista 07 Áreas, Polígonos e Circunferência. h, onde b representa a base e h representa a altura.

REVISÃO Lista 07 Áreas, Polígonos e Circunferência. h, onde b representa a base e h representa a altura. NOME: ANO: º Nº: POFESSO(A): Ana Luiza Ozores DATA: Algumas definições Áreas: Quadrado: EVISÃO Lista 07 Áreas, Polígonos e Circunferência A, onde representa o lado etângulo: A b h, onde b representa a

Leia mais

Exercícios de Matemática Geometria Analítica - Circunferência

Exercícios de Matemática Geometria Analítica - Circunferência Exercícios de Matemática Geometria Analítica - Circunferência ) (Unicamp-000) Sejam A e B os pontos de intersecção da parábola y = x com a circunferência de centro na origem e raio. a) Quais as coordenadas

Leia mais

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é:

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é: Aluno(a) Nº. Ano: º do Ensino Médio Exercícios para a Recuperação de MATEMÁTICA - Professores: Escossi e Luciano NÚMEROS COMPLEXOS 1) Calculando-se corretamente as raízes da função f(x) = x + 4x + 5, encontram-se

Leia mais

COLÉGIO PEDRO II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIDADE ESCOLAR HUMAITÁ II. Notas de aula de Matemática. 3º ano/ensino Médio. Prof.

COLÉGIO PEDRO II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIDADE ESCOLAR HUMAITÁ II. Notas de aula de Matemática. 3º ano/ensino Médio. Prof. COLÉGIO PEDRO II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIDADE ESCOLAR HUMAITÁ II Notas de aula de Matemática 3º ano/ensino Médio Prof. Andrezinho NOÇÕES DE GEOMETRIA ESPACIAL Notas de aula de Matemática Prof. André

Leia mais

Centro Federal de Educação Tecnológica Departamento Acadêmico da Construção Civil Curso Técnico de Geomensura Disciplina: Matemática Aplicada

Centro Federal de Educação Tecnológica Departamento Acadêmico da Construção Civil Curso Técnico de Geomensura Disciplina: Matemática Aplicada Centro Federal de Educação Tecnológica Departamento Acadêmico da Construção Civil Curso Técnico de Geomensura Disciplina: Matemática Aplicada MATEMÁTICA APLICADA 1. SISTEMA ANGULAR INTERNACIONAL...2 2.

Leia mais

Se ele optar pelo pagamento em duas vezes, pode aplicar o restante à taxa de 25% ao mês (30 dias), então. tem-se

Se ele optar pelo pagamento em duas vezes, pode aplicar o restante à taxa de 25% ao mês (30 dias), então. tem-se "Gigante pela própria natureza, És belo, és forte, impávido colosso, E o teu futuro espelha essa grandeza Terra adorada." 01. Um consumidor necessita comprar um determinado produto. Na loja, o vendedor

Leia mais

TRABALHO DE DEPENDÊNCIA TURMA: 2ª SÉRIE CONTEÚDOS RELATIVOS AO 1º E 2º BIMESTRE MATEMÁTICA 2 PROFESSOR ROGERIO

TRABALHO DE DEPENDÊNCIA TURMA: 2ª SÉRIE CONTEÚDOS RELATIVOS AO 1º E 2º BIMESTRE MATEMÁTICA 2 PROFESSOR ROGERIO TRABALHO DE DEPENDÊNCIA TURMA: 2ª SÉRIE CONTEÚDOS RELATIVOS AO 1º E 2º BIMESTRE MATEMÁTICA 2 PROFESSOR ROGERIO OBSERVAÇÕES: 1) AS QUESTÕES OBRIGATORIAMENTE DEVEM SER ENTREGUES EM UMA FOLHA A PARTE COM

Leia mais

NOTAÇÕES. +... + a n. , sendo n inteiro não negativo k =1. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

NOTAÇÕES. +... + a n. , sendo n inteiro não negativo k =1. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares. MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i: unidade imaginária, i = z: módulo do número z Re(z): parte real do número z Im(z): parte imaginária do número z det

Leia mais

Matemática 2. 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um. 02. Abaixo temos uma ilustração da Victoria Falls Bridge.

Matemática 2. 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um. 02. Abaixo temos uma ilustração da Victoria Falls Bridge. Matemática 2 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um paralelepípedo retângulo acoplado a um prisma triangular. 1,6m 1m 1,4m Calcule o volume da estrutura, em dm 3, e indique

Leia mais

RESOLUÇÀO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA FUVEST_2007_ 2A FASE. RESOLUÇÃO PELA PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA

RESOLUÇÀO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA FUVEST_2007_ 2A FASE. RESOLUÇÃO PELA PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA RESOLUÇÀO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA FUVEST_007_ A FASE RESOLUÇÃO PELA PROFA MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA Questão Se Amélia der R$3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia Se Maria

Leia mais

1. Sendo (x+2, 2y-4) = (8x, 3y-10), determine o valor de x e de y. 2. Dado A x B = { (1,0); (1,1); (1,2) } determine os conjuntos A e B. 3. (Fuvest) Sejam A=(1, 2) e B=(3, 2) dois pontos do plano cartesiano.

Leia mais

a = 6 m + = a + 6 3 3a + m = 18 3 a m 3a 2m = 0 = 2 3 = 18 a = 6 m = 36 3a 2m = 0 a = 24 m = 36

a = 6 m + = a + 6 3 3a + m = 18 3 a m 3a 2m = 0 = 2 3 = 18 a = 6 m = 36 3a 2m = 0 a = 24 m = 36 MATEMÁTICA Se Amélia der R$ 3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$ 6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade

Leia mais

A Matemática no Vestibular do ITA. Material Complementar: Prova 2014. c 2014, Sergio Lima Netto sergioln@smt.ufrj.br

A Matemática no Vestibular do ITA. Material Complementar: Prova 2014. c 2014, Sergio Lima Netto sergioln@smt.ufrj.br A Matemática no Vestibular do ITA Material Complementar: Prova 01 c 01, Sergio Lima Netto sergioln@smtufrjbr 11 Vestibular 01 Questão 01: Das afirmações: I Se x, y R Q, com y x, então x + y R Q; II Se

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 2013 - FGV CURSO DE ECONOMIA RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia C. Gouveia

PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 2013 - FGV CURSO DE ECONOMIA RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia C. Gouveia PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 0 - FGV CURSO DE ECONOMIA Profa. Maria Antônia C. Gouveia QUESTÃO 0 Laura caminha pelo menos km por dia. Rita também caminha todos os dias, e a soma das distâncias diárias

Leia mais

Aula 12 Áreas de Superfícies Planas

Aula 12 Áreas de Superfícies Planas MODULO 1 - AULA 1 Aula 1 Áreas de Superfícies Planas Superfície de um polígono é a reunião do polígono com o seu interior. A figura mostra uma superfície retangular. Área de uma superfície é um número

Leia mais

Aula 10 Triângulo Retângulo

Aula 10 Triângulo Retângulo Aula 10 Triângulo Retângulo Projeção ortogonal Em um plano, consideremos um ponto e uma reta. Chama-se projeção ortogonal desse ponto sobre essa reta o pé da perpendicular traçada do ponto à reta. Na figura,

Leia mais

Lista 1. Sistema cartesiano ortogonal. 1. Observe a figura e determine os pontos, ou seja, dê suas coordenadas: a) A b) B c) C d) D e) E

Lista 1. Sistema cartesiano ortogonal. 1. Observe a figura e determine os pontos, ou seja, dê suas coordenadas: a) A b) B c) C d) D e) E Sistema cartesiano ortogonal Lista. Observe a figura e determine os pontos, ou seja, dê suas coordenadas: a) A b) B c) C d) D e) E. Marque num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os pontos: a)

Leia mais

RETÂNGULO ÁREAS DE FIGURAS PLANAS PARALELOGRAMO. Exemplo: Calcule a área de um terreno retangular cuja basemede 3meaaltura 45m.

RETÂNGULO ÁREAS DE FIGURAS PLANAS PARALELOGRAMO. Exemplo: Calcule a área de um terreno retangular cuja basemede 3meaaltura 45m. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS RETÂNGULO PARALELOGRAMO Exemplo: Calcule a área de um paralelogramo que tem,4 cmdebasee1,3cmdealtura. Resposta: A= B h A=,4x1,3 A=3,1 cm² 01. Calcule a área do paralelogramo, sabendo-se

Leia mais

RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA 2 o ANO DO ENSINO MÉDIO DATA: 16/06/12 PROFESSOR: MALTEZ

RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA 2 o ANO DO ENSINO MÉDIO DATA: 16/06/12 PROFESSOR: MALTEZ RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA o ANO DO ENSINO MÉDIO DATA: 6/06/ PROFESSOR: MALTEZ Uma pirâmide quadrangular regular possui área da base igual a 6 e altura igual a. A área total da pirâmide é igual

Leia mais

Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas

Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números complexos : conjunto dos números racionais : conjunto dos números reais : conjunto dos números inteiros = {0,,, 3,...} * = {,, 3,...} Ø: conjunto vazio A\B =

Leia mais

GEOMETRIA GRÁFICA TIPO A GEOMETRIA GRÁFICA TIPO B

GEOMETRIA GRÁFICA TIPO A GEOMETRIA GRÁFICA TIPO B 1 GEOMETRIA GRÁFICA TIPO A GEOMETRIA GRÁFICA 1. Considere um quadrilátero RSTU, satisfazendo RS = ST = TU = UR, como o exemplo ilustrado abaixo. Considerando esses dados, podemos afirmar que: 0-0) SU é

Leia mais

01- Assunto: Matrizes. Dadas as matrizes A = e B =, calcule AB + A t.

01- Assunto: Matrizes. Dadas as matrizes A = e B =, calcule AB + A t. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES - MATEMÁTICA - ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO ============================================================================================== - Assunto: Matrizes 5 Dadas as matrizes A

Leia mais

ESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICA COLETÂNEA DE PROVAS DE MATEMÁTICA DO EXAME DE ADMISSÃO AO CURSO DE FORMAÇÃO DE SARGENTOS.

ESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICA COLETÂNEA DE PROVAS DE MATEMÁTICA DO EXAME DE ADMISSÃO AO CURSO DE FORMAÇÃO DE SARGENTOS. ESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICA COLETÂNEA DE PROVAS DE MATEMÁTICA DO EXAME DE ADMISSÃO AO CURSO DE FORMAÇÃO DE SARGENTOS ÁLGEBRA I: 003 a 013 Funções: definição de função; funções definidas por

Leia mais

QUESTÕES de 01 a 08 INSTRUÇÃO: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque o resultado na Folha de Respostas.

QUESTÕES de 01 a 08 INSTRUÇÃO: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque o resultado na Folha de Respostas. Resolução por Maria Antônia Conceição Gouveia da Prova de Matemática _ Vestibular 5 da Ufba _ 1ª fase QUESTÕES de 1 a 8 INSTRUÇÃO: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados

Leia mais

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 4. Questão 2. Questão 3. alternativa D. alternativa A. alternativa D. alternativa C

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 4. Questão 2. Questão 3. alternativa D. alternativa A. alternativa D. alternativa C Questão TIPO DE PROVA: A Se a circunferência de um círculo tiver o seu comprimento aumentado de 00%, a área do círculo ficará aumentada de: a) 00% d) 00% b) 400% e) 00% c) 50% Aumentando o comprimento

Leia mais

Geometria Espacial Elementos de Geometria Espacial Prof. Fabiano

Geometria Espacial Elementos de Geometria Espacial Prof. Fabiano Geometria Espacial Elementos de Geometria Espacial Prof. Fabiano A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo

Leia mais

ITA - 2005 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR

ITA - 2005 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR ITA - 2005 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR Matemática Questão 01 Considere os conjuntos S = {0,2,4,6}, T = {1,3,5} e U = {0,1} e as afirmações: I. {0} S e S U. II. {2} S\U e S T U={0,1}.

Leia mais

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%)

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Distribuição das 1.048 Questões do I T A 94 (8,97%) 104 (9,92%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais 23 (2, 101 (9,64%) Geo. Espacial Geo. Analítica Funções Conjuntos 31 (2,96%)

Leia mais

Assinale as proposições verdadeiras, some os valores obtidos e marque os resultados na Folha de Respostas.

Assinale as proposições verdadeiras, some os valores obtidos e marque os resultados na Folha de Respostas. PROVA APLICADA ÀS TURMAS DO O ANO DO ENSINO MÉDIO DO COLÉGIO ANCHIETA EM MARÇO DE 009. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA QUESTÕES DE 0 A 08.

Leia mais

TRIÂNGULO RETÂNGULO. Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:

TRIÂNGULO RETÂNGULO. Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são: TRIÂNGULO RETÂNGULO Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são: a: hipotenusa b e c: catetos h: altura relativa a hipotenusa m e

Leia mais

PRISMAS Prisma é um poliedro com duas bases paralelas formadas por polígonos iguais e faces laterais que são paralelogramos.

PRISMAS Prisma é um poliedro com duas bases paralelas formadas por polígonos iguais e faces laterais que são paralelogramos. GEOMETRIA ESPACIAL Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço tridimensional (as 3 dimensões são: largura, comprimento e profundidade). Essas figuras recebem o nome de sólidos geométricos ou

Leia mais

Questão 1. Questão 2. Resposta

Questão 1. Questão 2. Resposta Instruções: Indique claramente as respostas dos itens de cada questão, fornecendo as unidades, se for o caso. Apresente de forma clara e ordenada os passos utilizados na resolução das questões. Expressões

Leia mais

Áreas e Aplicações em Geometria

Áreas e Aplicações em Geometria 1. Introdução Áreas e Aplicações em Geometria Davi Lopes Olimpíada Brasileira de Matemática 18ª Semana Olímpica São José do Rio Preto, SP Nesse breve material, veremos uma rápida revisão sobre áreas das

Leia mais

MAT 240- Lista de Exercícios. 1. Dado o ABC, seja G o baricentro deste triângulo e M o ponto médio do lado BC. Prove que AG = 2GM.

MAT 240- Lista de Exercícios. 1. Dado o ABC, seja G o baricentro deste triângulo e M o ponto médio do lado BC. Prove que AG = 2GM. 1 MAT 240- Lista de Exercícios 1. Dado o ABC, seja G o baricentro deste triângulo e M o ponto médio do lado BC. Prove que AG = 2GM. 2. Seja G o baricentro e O o circuncentro do ABC. Na reta que contém

Leia mais

CAP/UERJ 2ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO PROF. ILYDIO SÁ

CAP/UERJ 2ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO PROF. ILYDIO SÁ CP/URJ ª SÉRI DO NSINO MÉDIO PROF. ILYDIO SÁ 1 LUNO () : Nº GOMTRI SPCIL PRISMS XRCÍCIOS 01) Qual o volume de um cubo de área 54 cm? 0) diagonal de uma face de um cubo tem medida 5 cm. Qual a área do cubo?

Leia mais

Teste Intermédio Matemática. 9.º Ano de Escolaridade. Versão 1. Duração do Teste: 30 min (Caderno 1) + 60 min (Caderno 2) 21.03.

Teste Intermédio Matemática. 9.º Ano de Escolaridade. Versão 1. Duração do Teste: 30 min (Caderno 1) + 60 min (Caderno 2) 21.03. Teste Intermédio Matemática Versão 1 Duração do Teste: 30 min (Caderno 1) + 60 min (Caderno 2) 21.03.2014 9.º Ano de Escolaridade Indica de forma legível a versão do teste. O teste é constituído por dois

Leia mais

Atividade 01 Ponto, reta e segmento 01

Atividade 01 Ponto, reta e segmento 01 Atividade 01 Ponto, reta e segmento 01 1. Crie dois pontos livres. Movimente-os. 2. Construa uma reta passando por estes dois pontos. 3. Construa mais dois pontos livres em qualquer lugar da tela, e o

Leia mais

1 B 1 Dado z = ( 1 + 3 i), então z n é igual a

1 B 1 Dado z = ( 1 + 3 i), então z n é igual a MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números naturais : conjunto dos números inteiros : conjunto dos números racionais : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i: unidade imaginária:

Leia mais

Escola da Imaculada. Estudo da Pirâmide. Aluno (a): Professora: Jucélia 2º ano ensino médio

Escola da Imaculada. Estudo da Pirâmide. Aluno (a): Professora: Jucélia 2º ano ensino médio Escola da Imaculada Estudo da Pirâmide Aluno (a): Professora: Jucélia 2º ano ensino médio Estudo da Pirâmide 1- Definição As pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal e as faces laterais

Leia mais

MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II

MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II 1 MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II Fonte: http://www.migmeg.com.br/ MÓDULO II Estudaremos neste módulo geometria espacial e volume dos principais sólidos geométricos. Mas antes de começar a aula, segue uma

Leia mais

FUVEST 2008 2 a Fase Matemática RESOLUÇÃO: Professora Maria Antônia Gouveia.

FUVEST 2008 2 a Fase Matemática RESOLUÇÃO: Professora Maria Antônia Gouveia. FUVEST 008 a Fase Matemática Professora Maria Antônia Gouveia Q0 João entrou na lanchonete BOG e pediu hambúrgueres, suco de laranja e cocadas, gastando R$,0 Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8

Leia mais

ÁREAS. 01 (UFMG) Um terreno tem a forma da figura abaixo. Se AB AD, BC CD, AB = 10 m, BC = 70 m, CD = 40 m e AD = 80 m, então a área do terreno é

ÁREAS. 01 (UFMG) Um terreno tem a forma da figura abaixo. Se AB AD, BC CD, AB = 10 m, BC = 70 m, CD = 40 m e AD = 80 m, então a área do terreno é ÁRES 01 (UFMG) Um terreno tem a forma da figura abaixo. Se,, = 10 m, = 70 m, = 40 m e = 80 m, então a área do terreno é a) 1 500 m b) 1 600 m c) 1 700 m d) 1 800 m 0 (FMMG) - Observe a figura. Nessa figura,

Leia mais

PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-2011 DA MACKENZIE RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. 13 / 12 / 2010

PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-2011 DA MACKENZIE RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. 13 / 12 / 2010 PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-0 DA MACKENZIE Profa. Maria Antônia Gouveia. / / 00 QUESTÃO N o 9 Dadas as funções reais definidas por f(x) x x e g(x) x x, considere I, II, III e IV abaixo. I) Ambas

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFPE. VESTIBULAR 2013 2 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFPE. VESTIBULAR 2013 2 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA UFPE VESTIBULAR 0 a Fase Profa. Maria Antônia Gouveia. 0. A ilustração a seguir é de um cubo com aresta medindo 6cm. A, B, C e D são os vértices indicados do cubo, E é o centro da

Leia mais

LISTA de RECUPERAÇÃO MATEMÁTICA

LISTA de RECUPERAÇÃO MATEMÁTICA LISTA de RECUPERAÇÃO Professor: ARGENTINO Recuperação: O ANO DATA: 0 / 06 / 015 MATEMÁTICA 1. A figura representa duas raias de uma pista de atletismo plana. Fábio (F) e André (A) vão apostar uma corrida

Leia mais

(M120397A8) Observe a reta numérica abaixo. O número 0,20 está representado pelo ponto A) A. B) B. C) C. D) D. E) E.

(M120397A8) Observe a reta numérica abaixo. O número 0,20 está representado pelo ponto A) A. B) B. C) C. D) D. E) E. (M120397A8) Observe a reta numérica abaixo. O número 0,20 está representado pelo ponto A) A. B) B. C) C. D) D. E) E. (M050280A8) A professora Clotilde pediu que seus alunos escrevessem um número que representasse

Leia mais

Quinta lista de exercícios.

Quinta lista de exercícios. MA092 Geometria plana e analítica Segundo semestre de 2015 Quinta lista de exercícios. Triângulos retângulos. Polígonos regulares. Áreas de superfícies planas. 1. Qual deve ser o comprimento de uma escada

Leia mais

Questão 1. Questão 2. Questão 3. Resposta. Resposta

Questão 1. Questão 2. Questão 3. Resposta. Resposta Questão Carlos, Luís e Sílvio tinham, juntos, 00 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma aplicação que rendia 5% ao ano. Luís, uma que rendia 0% ao ano. Sílvio aplicou metade de seu dinheiro

Leia mais

MATEMÁTICA II EXERCÍCIOS DE REVISÃO GEOMETRIA SÓLIDA

MATEMÁTICA II EXERCÍCIOS DE REVISÃO GEOMETRIA SÓLIDA 1 MATEMÁTICA II EXERCÍCIOS DE REVISÃO GEOMETRIA SÓLIDA ===================================================== 1) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são dadas por números inteiros em P.A. de razão

Leia mais

Problemas de volumes

Problemas de volumes Problemas de volumes A UUL AL A Nesta aula, vamos resolver problemas de volumes. Com isso, teremos oportunidade de recordar os principais sólidos: o prisma, o cilindro, a pirâmide, o cone e a esfera. Introdução

Leia mais

Circunferência e Círculos

Circunferência e Círculos Circunferência e Círculos 1. (Unifor 2014) Os pneus de uma bicicleta têm raio R e seus centros distam R. Além disso, a reta t passa por P e é tangente à circunferência do pneu, formando um ângulo α com

Leia mais

Produtos. 4.1 Produtos escalares

Produtos. 4.1 Produtos escalares Capítulo 4 Produtos 4.1 Produtos escalares Neste tópico iremos estudar um novo tipo de operação entre vetores do plano e do espaço. Vamos fazer inicialmente uma consideração geométrica, como segue. Seja

Leia mais

UFRGS 2005 - MATEMÁTICA. 01) Considere as desigualdades abaixo. 2 2 3 3. 1 1 3 3. III) 3 2. II) Quais são verdadeiras?

UFRGS 2005 - MATEMÁTICA. 01) Considere as desigualdades abaixo. 2 2 3 3. 1 1 3 3. III) 3 2. II) Quais são verdadeiras? UFRGS 005 - MATEMÁTICA 0) Considere as desigualdades abaixo. I) 000 3000 3. II) 3 3. III) 3 3. Quais são verdadeiras? a) Apenas I. b) Apenas II. Apenas I e II. d) Apenas I e III e) Apenas II e III 0) Observe

Leia mais

Lista de Exercícios de Recuperação de MATEMÁTICA 2

Lista de Exercícios de Recuperação de MATEMÁTICA 2 Lista de Exercícios de Recuperação de MATEMÁTICA NOME Nº SÉRIE: DATA BIMESTRE PROFESSOR : Denis Rocha DISCIPLINA : Matemática EM 1) Dê as equações das elipses desenhadas a seguir: a.) 6 b.) -8 8-6 ) Determinar

Leia mais

MATEMÁTICA TIPO C. 01. A função tem como domínio e contradomínio o conjunto dos números reais e é definida por ( ). Analise a

MATEMÁTICA TIPO C. 01. A função tem como domínio e contradomínio o conjunto dos números reais e é definida por ( ). Analise a 1 MATEMÁTICA TIPO C 01. A função tem como domínio e contradomínio o conjunto dos números reais e é definida por ( ). Analise a veracidade das afirmações seguintes sobre, cujo gráfico está esboçado a seguir.

Leia mais

1. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra

1. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra GEOMETRIA PLANA: SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 2 1. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra a figura. A rodovia AC tem 40km, a rodovia AB tem 50km, os ângulos

Leia mais

www.exatas.clic3.net

www.exatas.clic3.net www.exatas.clic.net 8)5*6±0$7(0È7,&$± (67$59$6(5 87,/,=$'66 6(*8,7(66Ì0%/6(6,*,),&$'6 i: unidade imaginária número complexo : a +bi; a, b números reais log x: logaritmo de x na base 0 cos x: cosseno de

Leia mais

XXXI Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas

XXXI Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas Gabarito da Prova da Primeira Fase Nível Alfa 1 Questão 1 0 pontos Na Tabela 1 temos a progressão mensal para o Imposto de Renda Pessoa Física 014 01. Tabela 1: Imposto de Renda Pessoa Física 014 01. Base

Leia mais

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul Resolução da Prova da Escola Naval 29. Matemática Prova Azul GABARITO D A 2 E 2 E B C 4 D 4 C 5 D 5 A 6 E 6 C 7 B 7 B 8 D 8 E 9 A 9 A C 2 B. Os 6 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova

Leia mais

Questão 1. Questão 3. Questão 2. alternativa B. alternativa C. alternativa D. Os trabalhadores A e B, trabalhando separadamente,

Questão 1. Questão 3. Questão 2. alternativa B. alternativa C. alternativa D. Os trabalhadores A e B, trabalhando separadamente, Questão Os trabalhadores A e B, trabalhando separadamente, levam cada um 9 e 0 horas, respectivamente, para construir um mesmo muro de tijolos Trabalhando juntos no serviço, sabe-se que eles assentam 0

Leia mais

EXERCÍCIOS 3º ANO ENS. MÉDIO NÚMEROS BINOMIAIS e POLINÔMIOS.

EXERCÍCIOS 3º ANO ENS. MÉDIO NÚMEROS BINOMIAIS e POLINÔMIOS. EXERCÍCIOS º ANO ENS. MÉDIO NÚMEROS BINOMIAIS e POLINÔMIOS. 0 1. Dado o número binomial, temos: 18 a)190 b)180 c)80 d)0 e)n.d.a. 1. Dado o binômio x, determine o polinômio que representa sua solução:.

Leia mais

Exercícios de Números Complexos com Gabarito

Exercícios de Números Complexos com Gabarito Exercícios de Números Complexos com Gabarito ) (UNIFESP-007) Quatro números complexos representam, no plano complexo, vértices de um paralelogramo. Três dos números são z = i, z = e z = + ( 5 )i. O quarto

Leia mais

Troncos de Cone e de Pirâmide

Troncos de Cone e de Pirâmide Troncos de Cone e de Pirâmide 1. (Uerj 015) Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe água na razão constante de 1 cm s. A altura do cone mede 4 cm, e o raio de sua base

Leia mais

Geometria Analítica. Katia Frensel - Jorge Delgado. NEAD - Núcleo de Educação a Distância. Curso de Licenciatura em Matemática UFMA

Geometria Analítica. Katia Frensel - Jorge Delgado. NEAD - Núcleo de Educação a Distância. Curso de Licenciatura em Matemática UFMA Geometria Analítica NEAD - Núcleo de Educação a Distância Curso de Licenciatura em Matemática UFMA Katia Frensel - Jorge Delgado Março, 011 ii Geometria Analítica Conteúdo Prefácio ix 1 Coordenadas na

Leia mais

Matemática. Subtraindo a primeira equação da terceira obtemos x = 1. Substituindo x = 1 na primeira e na segunda equação obtém-se o sistema

Matemática. Subtraindo a primeira equação da terceira obtemos x = 1. Substituindo x = 1 na primeira e na segunda equação obtém-se o sistema Matemática 01. A ilustração a seguir é de um cubo com aresta medindo 6 cm. A, B, C e D são os vértices indicados do cubo, E é o centro da face contendo C e D, e F é o pé da perpendicular a BD traçada a

Leia mais

(c) 30% (d) 25% aprovados. é a quantidade de: Em uma indústria é fabricado um produto ao custo de

(c) 30% (d) 25% aprovados. é a quantidade de: Em uma indústria é fabricado um produto ao custo de QUESTÃO - EFOMM 0 QUESTÃO - EFOMM 0 Se tgx sec x, o valor de senx cos x vale: ( 7 ( ( ( ( O lucro obtido pela venda de cada peça de roupa é de, sendo o preço da venda e 0 o preço do custo quantidade vendida

Leia mais

Geometria Espacial - Troncos

Geometria Espacial - Troncos Geometria Espacial - Troncos ) (SpeedSoft) ) (Fuvest) A altura de um cone circular reto é H. Seja α um plano que é paralelo à base e que divide o cone em dois sólidos de mesmo volume. Calcule a distância

Leia mais

b) 2. c) 4. d) 8. e) 3 π. 5. (Ita 2014) Uma pirâmide de altura h= 1cm e

b) 2. c) 4. d) 8. e) 3 π. 5. (Ita 2014) Uma pirâmide de altura h= 1cm e Geometria Espacial 1. (Uerj 015) Um funil, com a forma de cone circular reto, é utilizado na passagem de óleo para um recipiente com a forma de cilindro circular reto. O funil e o recipiente possuem a

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA UEFS VESTIBULAR 2012 2. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA UEFS VESTIBULAR 2012 2. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA UEFS VESTIBULAR 0 Profa. Maria Antônia Gouveia. Questão Em um grupo de 0 casas, sabe-se que 8 são brancas, 9 possuem jardim e possuem piscina. Considerando-se essa infomação e as

Leia mais

935 MATEMÁTICA Prova escrita

935 MATEMÁTICA Prova escrita 935 MATEMÁTICA Prova escrita PROVA DE EQUIVALÊNCIA À FREQUÊNCIA Duração: 120 minutos Ano: 2014 2ª fase - julho 11º e 12º anos Identifique claramente os grupos e os itens a que responde e apresente o seu

Leia mais

CIRCUNFERÊNCIA E POLÍGONOS. ROTAÇÕES

CIRCUNFERÊNCIA E POLÍGONOS. ROTAÇÕES B3 CIRCUNFERÊNCIA E POLÍGONOS. ROTAÇÕES Circunferência Circunferência é um conjunto de pontos do plano situados à mesma distância de um ponto fixo (centro). Corda é um segmento de recta cujos extremos

Leia mais

Curso Wellington Matemática Trigonometria Lei dos Senos e Cossenos Prof Hilton Franco

Curso Wellington Matemática Trigonometria Lei dos Senos e Cossenos Prof Hilton Franco 1. A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua

Leia mais

Pirâmide. P e R pertencem, respectivamente, às faces ABCD e EFGH; Q pertence à aresta EH; T é baricentro do triângulo ERQ e pertence à diagonal EG RF

Pirâmide. P e R pertencem, respectivamente, às faces ABCD e EFGH; Q pertence à aresta EH; T é baricentro do triângulo ERQ e pertence à diagonal EG RF Pirâmide 1. (Unifesp 01) Na figura, ABCDEFGH é um paralelepípedo reto-retângulo, e PQRE é um tetraedro regular de lado 6cm, conforme indica a figura. Sabe-se ainda que: P e R pertencem, respectivamente,

Leia mais

Módulo de Geometria Anaĺıtica Parte 2. Distância entre Ponto e Reta. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis

Módulo de Geometria Anaĺıtica Parte 2. Distância entre Ponto e Reta. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Módulo de Geometria Anaĺıtica Parte Distância entre Ponto e Reta a série E.M. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Geometria Analítica Parte Distância entre Ponto e Reta 1 Exercícios Introdutórios

Leia mais

Prova Final de Matemática

Prova Final de Matemática PROVA FINAL DO 3.º CICLO do Ensino BÁSICO Decreto-Lei n.º 139/01, de 5 de julho Prova Final de Matemática 3.º Ciclo do Ensino Básico Prova 9/1.ª Chamada 8 Páginas Duração da Prova: 90 minutos. Tolerância:

Leia mais

MATEMÁTICA. 01. Considere a função f, com domínio e contradomínio o conjunto dos números

MATEMÁTICA. 01. Considere a função f, com domínio e contradomínio o conjunto dos números MATEMÁTICA 01. Considere a função f, com domínio e contradomínio o conjunto dos números reais, dada por f(x) = 3 cos x sen x, que tem parte de seu gráfico esboçado a seguir. Analise a veracidade das afirmações

Leia mais

Objetivas 2012. Qual dos números abaixo é o mais próximo de 0,7? A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4 D) 4/5 E) 5/7 *

Objetivas 2012. Qual dos números abaixo é o mais próximo de 0,7? A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4 D) 4/5 E) 5/7 * Objetivas 01 1 Qual dos números abaixo é o mais próximo de 0,7? A) 1/ B) /3 C) 3/4 D) 4/5 E) 5/7 * Considere três números, a, b e c. A média aritmética entre a e b é 17 e a média aritmética entre a, b

Leia mais

Considere um triângulo eqüilátero T 1

Considere um triângulo eqüilátero T 1 Considere um triângulo eqüilátero T de área 6 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo eqüilátero T, que tem os pontos médios dos lados de T como vértices.

Leia mais

CADERNO DE ATIVIDADES / MATEMÁTICA TECNOLOGIAS

CADERNO DE ATIVIDADES / MATEMÁTICA TECNOLOGIAS VSTIULR VILS 0. alcule x na figura: x + 0º x + 0º RNO TIVIS / MTMÁTI TNOLOGIS 0. Na figura, é o lado de um quadrado inscrito e é o lado do decágono regular. Qual a medida de x? x 0. Na figura a seguir,

Leia mais

FUVEST 2008 1 a Fase Matemática RESOLUÇÃO: Professora Maria Antônia Gouveia.

FUVEST 2008 1 a Fase Matemática RESOLUÇÃO: Professora Maria Antônia Gouveia. FUVEST 008 a Fase Matemática Professora Maria Antônia Gouveia..0. Sabendo que os anos bissextos são os múltiplos de 4 e que o primeiro dia de 007 foi segunda-feira, o próximo ano a começar também em uma

Leia mais

MATEMÁTICA Geometria Analítica 3º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO. Aluno(a): Número: Turma:

MATEMÁTICA Geometria Analítica 3º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO. Aluno(a): Número: Turma: Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Geometria Analítica 3º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Professor: Hermes Jardim Disciplina: Matemática Lista 1 1º Bimestre/013 Aluno(a): Número: Turma: 1) Determine

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M20 Geometria Analítica: Circunferência

Matemática. Resolução das atividades complementares. M20 Geometria Analítica: Circunferência Resolução das atividades complementares Matemática M Geometria Analítica: ircunferência p. (Uneb-A) A condição para que a equação 6 m 9 represente uma circunferência é: a), m, ou, m, c) < m < e), m, ou,

Leia mais

Escola Secundária de Lousada. Matemática do 8º ano FT nº15 Data: / / 2013 Assunto: Preparação para o 1º teste de avaliação Lição nº e

Escola Secundária de Lousada. Matemática do 8º ano FT nº15 Data: / / 2013 Assunto: Preparação para o 1º teste de avaliação Lição nº e Escola Secundária de Lousada Matemática do 8º ano FT nº15 Data: / / 013 Assunto: Preparação para o 1º teste de avaliação Lição nº e Apresentação dos Conteúdos e Objetivos para o 3º Teste de Avaliação de

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS DE PRISMAS PROF.: ARI

LISTA DE EXERCÍCIOS DE PRISMAS PROF.: ARI 01.: (Acafe SC) Num paralelepípedo reto, as arestas da base medem 8 dm e 6dm, e a altura mede 4dm. Calcule a área da figura determinada pela diagonal do paralelepípedo com a diagonal da base e a aresta

Leia mais

GEOMETRIA ESPACIAL. Escola SESC de Ensino Médio PRISMAS/CILINDROS MÓDULO VIII. Prismas e cilindros. 01. O volume de uma caixa cúbica é 216 litros.

GEOMETRIA ESPACIAL. Escola SESC de Ensino Médio PRISMAS/CILINDROS MÓDULO VIII. Prismas e cilindros. 01. O volume de uma caixa cúbica é 216 litros. GEOMETRIA ESPACIAL PRISMAS/CILINDROS PROFESSORES: CONES/TRONCOS EDU/VICENTE ESFERAS TURMA: A MELHOR 2302 MÓDULO VIII Prismas e cilindros 01. O volume de uma caixa cúbica é 216 litros. A medida de sua diagonal,

Leia mais

LISTÃO DE EXERCÍCIOS DE REVISÃO IFMA PROFESSOR: ARI

LISTÃO DE EXERCÍCIOS DE REVISÃO IFMA PROFESSOR: ARI 01.: A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. comprimento dessa escada é de: a) 12 m. b) 30 m. c) 15 m. d) 17 m. e) 20 m.

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2014 DA FUVEST-FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2014 DA FUVEST-FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 014 DA FUVEST-FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Q ) Um apostador ganhou um premio de R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor

Leia mais

Exercícios Triângulos (1)

Exercícios Triângulos (1) Exercícios Triângulos (1) 1. Na figura dada, sabe-se que r // s. Calcule x. 2. Nas figuras abaixo, calcule o valor de x. 5. (PUC-SP) Na figura seguinte, as retas r e s são paralelas. Encontre os ângulos

Leia mais

115% x + 120% + (100 + p)% = 93 2 2. 120% y + 120% + (100 + p)% = 106 2 2 x + y + z = 100

115% x + 120% + (100 + p)% = 93 2 2. 120% y + 120% + (100 + p)% = 106 2 2 x + y + z = 100 MATEMÁTICA Carlos, Luís e Sílvio tinham, juntos, 00 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma aplicação que rendia 5% ao ano. Luís, uma que rendia 0% ao ano. Sílvio aplicou metade de seu

Leia mais

MATEMÁTICA. Prova resolvida. Material de uso exclusivo dos alunos do Universitário

MATEMÁTICA. Prova resolvida. Material de uso exclusivo dos alunos do Universitário Prova resolvida Material de uso exclusivo dos alunos do Universitário Prova de Matemática - UFRGS/00 0. Durante os jogos Pan-Americanos de Santo Domingo, os rasileiros perderam o ouro para os cuanos por

Leia mais

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar GAAL - 201/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar SOLUÇÕES Exercício 1: Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M = (5, 0, 2), N = (, 1, ) e P = (4,

Leia mais

Vestibular 2ª Fase Resolução das Questões Discursivas

Vestibular 2ª Fase Resolução das Questões Discursivas COMISSÃO PERMANENTE DE SELEÇÃO COPESE PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO PROGRAD CONCURSO VESTIBULAR 010 Prova de Matemática Vestibular ª Fase Resolução das Questões Discursivas São apresentadas abaixo possíveis

Leia mais

Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano. 3 a série E.M.

Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano. 3 a série E.M. Módulo de Geometria Anaĺıtica 1 Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano a série EM Geometria Analítica 1 Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano 1 Exercícios

Leia mais

UFPR_VESTIBULAR _2004 COMENTÁRIO E RESOLUÇÃO POR PROFA. MARIA ANTONIA GOUVEIA

UFPR_VESTIBULAR _2004 COMENTÁRIO E RESOLUÇÃO POR PROFA. MARIA ANTONIA GOUVEIA UFR_VESTIBULAR _004 COMENTÁRIO E RESOLUÇÃO OR ROFA. MARIA ANTONIA GOUVEIA QUESTÃO Um grupo de estudantes decidiu viajar de ônibus para participar de um encontro nacional. Ao fazerem uma pesquisa de preços,

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M1 Geometria Métrica Plana

Matemática. Resolução das atividades complementares. M1 Geometria Métrica Plana Resolução das atividades complementares Matemática M Geometria Métrica Plana p. 0 Na figura a seguir tem-se r // s // t e y. diferença y é igual a: a) c) 6 e) b) d) 0 8 ( I) y 6 y (II) plicando a propriedade

Leia mais

TRIÂNGULO RETÂNGULO. Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes:

TRIÂNGULO RETÂNGULO. Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes: TRIÂNGULO RETÂNGULO Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares, aqueles que formam um ângulo de 90º, são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90º recebe o nome de hipotenusa. O teorema

Leia mais

Questão 2. Questão 1. Questão 3. Resposta. Resposta

Questão 2. Questão 1. Questão 3. Resposta. Resposta Instruções: Indique claramente as respostas dos itens de cada questão, fornecendo as unidades, caso existam. Apresente de forma clara e ordenada os passos utilizados na resolução das questões. Expressões

Leia mais