Matemática 3. Aula 1. Geometria Plana. A escolha de quem pensa! 1

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1 Matemática Aula 1 Geometria Plana 01. A bandeira do Brasil, hasteada na Praça dos Três Poderes, em Brasília, é uma das maiores bandeiras hasteadas do mundo. A figura abaixo indica as suas medidas de acordo com as normas oficiais. a) Se o retângulo tiver a medida da altura igual a um terço da medida da base, qual é a sua área? b) Se a medida da base do retângulo inscrito for x, obtenha uma expressão da área do retângulo em função de x. c) Calcule a maior área possível desses retângulos inscritos. a) Sabendo-se que o raio do círculo azul da bandeira da Praça dos Três Poderes mede,5 m, quanto mede a área da região amarela visível dessa bandeira? Sugestão: use p =,14. b) Deseja-se construir uma bandeira do Brasil com o lado maior do retângulo medindo m e nas mesmas proporções da bandeira da Praça dos Três Poderes. Qual será a medida da região amarela visível dessa outra bandeira? 04. Um canteiro de flores possui 5 m de área e tem o formato de um triângulo retângulo. Este triângulo foi dividido em cinco partes, por segmentos de reta igualmente espaçados e paralelos a um dos catetos, conforme indica a figura ao lado. Qual é a área do trapézio hachurado indicado na figura? 0. A figura ao lado mostra um quadrado ABCD no qual os segmentos BC e EC medem 4 cm e 1 cm, respectivamente. 05. Um terreno possui o formato de um triângulo cujos catetos medem 60 m e 0 m. O proprietário pretende construir nesse terreno uma casa de planta retangular, de modo que os dois lados do retângulo fiquem sobre os catetos e um vértice do retângulo pertença a hipotenusa, como na figura abaixo. Nessas condições, obtenha: a) Calcule o perímetro do triângulo de vértices A, E e C. b) Calcule o seno e o cosseno do ângulo a. 0. Num triângulo ABC com 18 cm de base e 1 cm de altura, é inscrito um retângulo com a sua base sobre o lado AB, conforme a figura ao lado. a) A área do retângulo cuja base x mede 0 m. b) A expressão que fornece a área do retângulo em função da medida variável x. c) O valor de x para o qual se tem o retângulo de maior área. A escolha de quem pensa! 1

2 06. Considere a figura na qual a curva que contém os pontos A, B, C é uma semicircunferência de raio r e a curva que contém os pontos A, D, C é um arco de circunferência de raio r. Obtenha a expressão da área limitada pelas duas curvas, em função de r. Explique os procedimentos usados. b) Admitindo que o raio da região irrigada seja inversamente proporcional à distância do irrigador até a bomba, calcule o raio da região irrigada quando o irrigador é colocado no centro da região retangular R. 09. O triângulo ABC da figura a seguir tem ângulo reto em B. O segmento BD é a altura relativa a AC. Os segmentos AD e DC medem 1 cm e 4 cm, respectivamente. O ponto E pertence ao lado BC e BC = 4EC. 07. Nesta figura plana, PQR é um triângulo equilátero de lado e, sobre os lados desse triângulo, estão construídos os quadrados ABQP e EFPR: Determine o comprimento do segmento DE. 10. Um disco se desloca no interior de um quadrado, sempre tangenciando pelo menos um dos seus lados. Uma volta completa do disco ao longo dos quatro lados divide o interior do quadrado em duas regiões: a região A dos pontos que foram encobertos pela passagem do disco e a região B dos pontos que não foram encobertos. O raio do disco mede cm e o lado do quadrado mede 10 cm. Considerando essas informações, a) Determine o perímetro do hexágono ABCDEF. b) Determine a área do hexágono ABCDEF. c) Determine o raio da circunferência que passa pelos vértices do hexágono ABCDEF. 08. Para irrigar uma região retangular R de dimensões l l, um irrigador giratório é acoplado a uma bomba hidráulica por meio de um tubo condutor de água. A bomba é instalada em um ponto B. Quando o irrigador é colocado no ponto C, a uma distância l / do ponto B, ele irriga um círculo de centro C e raio l (veja figura). Determine a área da região B. 11. Considere um setor circular AOC, cujo ângulo central è é medido em radianos. A reta que tangencia o círculo no extremo P do diâmetro CP encontra o prolongamento do diâmetro AB em um ponto Q, como ilustra a figura. a) Calcule a área da porção irrigada de R quando o irrigador está no ponto C. Sabendo que o ângulo è satisfaz a igualdade tgè = è, calcule a razão entre a área do setor AOC e a área do triângulo OPQ. A escolha de quem pensa!

3 1. Na figura a seguir, os segmentos AB e CD são paralelos, o ângulo OAB mede 10, AO = e AB =. Sabendo-se ainda que a área do triângulo OCD vale 600, a) calcule a área do triângulo OAB. b) determine OC e CD. 1. A figura representa um trapézio ABCD de bases AB e CD, inscrito em uma circunferência cujo centro O está no interior do trapézio. Sabe-se que AB = 4, CD = e AC =. Gabarito 1. a) 49,515 m b) 0,49515 m. p = ( + ) sen a = 10 e cos a = a) S = 48 cm x b) S(x) = + 1x c) S máx = 54 cm 4. S = 1 m x 5 a) S = 450 m b) S(x) = 0x c) x = 0 m r 6. S = ( 6 π) 6 7 a) ED = a( +1) b) S = a ( +) 4+ c) a 8. a) l ( π+ ) (5 p)cm 11. 1/ 6 b) r = l 5 1. a) b) OC = 60 OD = a) h = b) 5 c) S = 5p a) r = b) AB = 1 AC = 5 c) S = 0 4p 15. a) DO = 5 cm EO = 7 cm FO = 7 cm b) EF = 7 ED = 9 DF = 1 Aula a) Determine a altura do trapézio. b) Calcule o raio da circunferência na qual ele está inscrito. c) Calcule a área da região exterior ao trapézio e delimitada pela circunferência. 14. Em um triângulo com vértices A, B e C, inscrevemos um círculo de raio r. Sabe-se que o ângulo  tem 90 e que o círculo inscrito tangencia o lado BC no ponto P, dividindo esse lado em dois trechos com comprimentos PB = 10 e PC =. a) Determine r. b) Determine AB e AC. c) Determine a área da região que é, ao mesmo tempo, interna ao triângulo e externa ao círculo. 15. Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é tal que AC = 6 cm, AB = 8 cm e BC = 10 cm. Os segmentos AC, AB e BC também são lados de quadrados construídos externamente ao triângulo ABC. Seja O o centro da circunferência que circunscreve o triângulo e sejam D, E e F os centros dos quadrados com lados BC, AC e AB, respectivamente. a) Calcule os comprimentos dos segmentos DO, EO e FO. b) Calcule os comprimentos dos lados do triângulo de vértices D, E e F. Geometria Espacial Uma calha será construída a partir de folhas metálicas em formato retangular, cada uma medindo 1 m por 40 cm. Fazendo-se duas dobras de largura x, paralelas ao lado maior de uma dessas folhas, obtém-se três faces de um bloco retangular, como mostra a figura da direita. a) Obtenha uma expressão para o volume desse bloco retangular em termos de x. b) Para qual valor de x o volume desse bloco retangular será máximo? A escolha de quem pensa!

4 0. Uma caixa de papel em forma de bloco retangular está sendo projetada de modo a ter altura e comprimento de mesma medida e largura cm maior que seu comprimento. Quais as dimensões dessa caixa para que seu volume seja 00 cm? 0. Considere um cubo no qual a aresta tem medida a e cujos vértices são designados por letras, como está indicado na figura abaixo. M é o ponto médio da aresta AB e N é ponto médio da aresta BC. Calcule o volume do sólido MNDE, em função de a. Explique os procedimentos usados. c) Calcule o volume da pirâmide ABCD. 06. Num cubo de aresta a a inscreve-se um hexágono regular, cujos vértices são pontos médios das arestas do cubo. Ache a expressão da área do hexágono em função de a, explicando os procedimentos usados. 07. A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD e ACD são triângulos retângulos cujos catetos medem a. Considere o cubo de volume máximo contido em ABCD tal que um de seus vértices seja o ponto A, como ilustra a figura a seguir. 04. Na figura abaixo, está representada uma pirâmide de base quadrada que tem todas as arestas com o mesmo comprimento. Determine a medida da aresta desse cubo em função de a. 08. Pretende-se fabricar uma caixa com faces retangulares e ângulos retos, aberta em cima, com um volume de 10m (conforme figura a seguir). O comprimento de um dos lados da base deve ser o dobro do comprimento do outro lado. O material para construir a base custa R$10,00 por metro quadrado, ao passo que o material para construir as laterais custa R$6,00 por metro quadrado. a) Sabendo que o perímetro do triângulo DBV é igual a (6 + ), qual é a altura da pirâmide? b) Qual é o volume e a área total da pirâmide? 05. Sejam AB, BC e AC diagonais das faces de um cubo de aresta 10 cm, conforme a figura abaixo. a) Calcule a área do triângulo ABC. b) Calcule a área total da pirâmide ABCD. a) Se o lado p mede metros, quanto vale n? b) Com os valores do item (a), calcule o custo de construção da caixa. c) Encontre o custo de construção da caixa em função de p. 09. Uma pirâmide de base quadrada é seccionada por um plano paralelo à sua base, distante m dela. A área total da pirâmide menor, obtida pela secção, é igual à metade da área total da pirâmide original. a) Calcule a altura da pirâmide original. b) Calcule o volume do tronco de pirâmide obtido pela secção para o caso em que a aresta da base da pirâmide maior mede m. 4 A escolha de quem pensa!

5 10. Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor pretende construir uma cisterna fechada, que acumule toda a água proveniente da chuva que cai sobre o telhado de sua casa, ao longo de um período de um ano. As figuras e o gráfico representam as dimensões do telhado da casa, a forma da cisterna a ser construída e a quantidade média mensal de chuva na região onde o agricultor possui sua casa. Supondo que um trecho de 10 km de estrada deva ser construído, responda às seguintes questões. a) Que volume de brita será gasto com o lastro nesse trecho de ferrovia? b) Se a parte interna da caçamba de um caminhão basculante tem 6 m de comprimento,,5 m de largura e 0,6 m de altura, quantas viagens de caminhão serão necessárias para transportar toda a brita? 1. Um poliedro é construído a partir de um cubo de aresta a > 0, cortando-se em cada um de seus cantos uma pirâmide regular de base triangular equilateral (os três lados da base da pirâmide são iguais). Denote por x, 0 < x a, a aresta lateral das pirâmides cortadas. Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana horizontal de 1 metro quadrado, determine a profundidade (h) da cisterna para que ela comporte todo o volume de água da chuva armazenada durante um ano, acrescido de 10% desse volume. 11. No cubo ABCDEFGH considere o ponto P na aresta AE satisfazendo AP = PE. Sabendo que PG mede cm, calcule o volume do cubo. a) Dê o número de faces do poliedro construído. b) Obtenha o valor de x, 0 < x a, para o qual o volume do poliedro construído fique igual a cinco sextos do volume do cubo original. A altura de cada pirâmide cortada, relativa a base equilateral, é x. 14. Um octaedro é um poliedro regular cujas faces são oito triângulos equiláteros, conforme indicado na figura. 1. Em uma estrada de ferro, os dormentes e os trilhos são assentados sobre uma base composta basicamente por brita. Essa base (ou lastro) tem uma seção trapezoidal, conforme representado na figura a seguir. A base menor do trapézio, que é isósceles, tem m, a base maior tem,8 m e as arestas laterais têm 50 cm de comprimento. Para um octaedro de aresta a: a) Qual é a sua área total? b) Qual é o seu volume? c) Qual é a distância entre duas faces opostas? A escolha de quem pensa! 5

6 15. Considere uma pirâmide regular de base hexagonal, cujo apótema da base mede cm. Secciona-se a pirâmide por um plano paralelo à base, obtendo-se um tronco de volume igual a 1 cm e uma nova pirâmide. Dado que a razão entre as alturas das pirâmides é 1, calcule a altura do tronco. a) Calcule o volume do cilindro. b) Calcule a área total do cilindro. 0. A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na figura. Gabarito 1. a) V = x + 0,4x b) x = 10 cm a) 5 x 5 x 8cm a V = 8 4 a) h = b) V = 9 e S = 9 ( t + 1) 5. a) S = 50 cm b) S T = 50( + )cm c) V = 500 cm 6. a 4 a a) 1,5 m b) R$ 170,00 c) 0p p 9. a) (4 + )m b) V = (9 + )m 10. 7,7 m 11. V = 64 m 1. a) 700 m b) a) 14 b) x = a a 14. a) a b) V= ( ) 15. cm 1 Aula Geometria Espacial - c) a Uma jarra de vidro em forma cilíndrica tem 15 cm de altura e 8 cm de diâmetro. A jarra está com água até quase a borda, faltando 1 cm de sua altura para ficar totalmente cheia. a) Se uma bolinha de gude de cm de diâmetro for colocada dentro dessa jarra, ela deslocará que volume de água? b) Quantas bolinhas de gude de cm de diâmetro serão necessárias para fazer com que a água se desloque até a borda superior da jarra? 0. Um cilindro está inscrito em um cubo, conforme sugere a figura abaixo. Sabe-se que o volume do cubo é 56 cm. a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia? b) Obtenha uma expressão para o volume V de líquido nessa taça, em função da altura x indicada na figura. 04. Considere um trapézio ABCD no qual os ângulos com vértices A e B são retos, a medida do lado AB é x, que é igual a do lado BC e é o triplo da medida do lado AD. Determine, em função de x, a expressão do volume do sólido de revolução obtido quando a região plana limitada pelo trapézio gira em torno do lado BC. 05. Seja um cilindro circular reto de altura h e base de raio r. Considere as duas hipóteses seguintes: 1. O raio r é aumentado de 0 metros e a altura é mantida.. O raio r é mantido e a altura h é multiplicada por 4. Em cada uma das hipóteses há um acréscimo no volume do cilindro. Sabendo que estes acréscimos são iguais, ache o raio r em metros. 06. Um cone circular reto cuja altura forma um ângulo de 0 com a geratriz está inscrito numa esfera de raio R. Ache a expressão do volume do cone em função de R, detalhando os procedimentos usados. 07. Considerando que um cilindro circular reto de altura x seja inscrito em uma esfera oca de 0 cm de raio, obtenha a expressão do volume do cilindro em função de x. 08. O volume de um cone reto é 104pcm. Se a altura, o raio da base e a geratriz desse cone formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então calcule a medida da geratriz, em centímetros, e assinale o valor obtido no cartão-resposta. 09. Uma peça esférica de madeira maciça foi escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a figura a seguir. Observe que, na escavação, retirou-se um cilindro de madeira com duas tampas em formato de calota esférica. 6 A escolha de quem pensa!

7 Sabe-se que uma calota esférica tem volume πh V cal = (R h), em que h é a altura da calota e R é o raio da esfera. Além disso, a área da superfície da calota esférica (excluindo a porção plana da base) é dada por A cal = p Rh. Atenção: não use um valor aproximado para π. a) Supondo que h = R/, determine o volume do anel de madeira, em função de R. b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá uma camada de verniz, tanto na parte externa, como na interna. Supondo, novamente, que h = R/, determine a área sobre a qual o verniz será aplicado. Por outro lado, numa praça de uma certa cidade há uma torneira com um gotejamento que provoca um desperdício de 46,44 litros de água por dia. Considerando a aproximação p =, determine quantos dias de gotejamento são necessários para que a quantidade de água desperdiçada seja igual à usada para 6 banhos, ou seja, encher completamente 6 vezes aquele chuveiro manual. Dado: cm = 1 litro. 1. Na construção de uma estrada retilínea foi necessário escavar um túnel cilíndrico para atravessar um morro. Esse túnel tem seção transversal na forma de um círculo de raio R seccionado pela corda AB e altura máxima h, relativa à corda, conforme figura. 10. Um cilíndro circular reto é inscrito em um cone, de modo que os eixos desses dois sólidos sejam colineares, conforme representado na ilustração a seguir. Sabendo que a extensão do túnel é de 000 m, que AB = 4 m e que R = 6m, determine o volume aproximado de terra, em m, que foi retirado na construção do túnel. Dados: π 1,05 e 1,7. A altura do cone e o diâmetro da sua base medem, cada um, 1 cm. Admita que as medidas, em centímetros, da altura e do raio do cilíndro variem no intervalo ]0;1[ de modo que ele permaneça inscrito nesse cone. Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter para que sua área lateral seja máxima. 11. Numa região muito pobre e com escassez de água, uma família usa para tomar banho um chuveiro manual, cujo reservatório de água tem o formato de um cilindro circular reto de 0 cm de altura e base com 1 cm de raio, seguido de um tronco de cone reto cujas bases sao círculos paralelos, de raios medindo 1 cm e 6 cm, respectivamente, e altura 10 cm, como mostrado na figura. 1. A circunferência inscrita num triângulo equilátero com lados de 6 cm de comprimento é a interseção de uma esfera de raio igual a 4 cm com o plano do triângulo. Determine a distância do centro da esfera aos vértices do triângulo. 14. Num cilíndro circular reto sabe-se que a altura h e o raio da base r são tais que os números p, h e r formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de soma 6p. Calcule a área total do cilíndro. 15. Uma esfera de raio 5 cm é seccionada por um plano a cm do centro. Calcule: a) a área da calota esférica obtida na esfera; b) a área do fuso esférico de 0, contido na esfera; c) o volume da cunha esférica de 45, contida na esfera. A escolha de quem pensa! 7

8 1. a) 4 π cm b) 1 Gabarito. a) V = 64p cm b) S t = 48p cm. a) 16pm b) 4. 5πx V = 9 5. r = 0 cm 6. πr V = 8 πx 1600 x 7. V = ( ) πr a) dias m 1. 5 cm 14. 0p 4 x π 8 b) S = ( + )pr c) Demonstre que a distância de P até B é o dobro da distância de P até N. 0. A projeção esfereográfica é um método de projetar pontos de um círculo sobre uma reta que pode ser utilizado na confecção de mapas (situação em que os círculos são os meridianos do globo terrestre). Suponha que y é o círculo de raio 1 centrado na origem do plano xy, N = (0,1) é um ponto fixado e P = (a,b) é um ponto qualquer do círculo y distinto de N. A projeção esfereográfica do ponto P é a interseção da reta r determinada por N e P com o eixo x, representada pelo ponto Q na figura abaixo. 15. a) Sc = 0p cm b) S = 5 π cm c) Vc = 15 6 π cm Aula 4 Geometria Analítica Um losango do plano cartesiano Oxy tem vértices A(0, 0), B(, 0), C(4, ) e D(1, ). a) Determine a equação da reta que contém a diagonal AC. b) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. c) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD. 0. Seja M o ponto médio do segmento OB e N o ponto médio do segmento OC, sendo B = (0, ) e C = (, 0), conforme figura abaixo. Nessas condições: a) Encontre a projeção Q do ponto P ; b) Encontre as coordenadas do ponto P, pertencente ao círculo, cuja projeção é o ponto Q = (,0). 04. Um sólido de revolução é um objeto obtido a partir da rotação de uma figura plana em torno de um dos eixos coordenados. Por exemplo, rotacionando-se um retângulo em torno do eixo y, pode-se obter um cilindro, como na figura abaixo. a) Encontre a equação da reta r determinada pelos pontos B e N e a equação da reta s determinada pelos pontos C e M. b) Encontre as coordenadas do ponto P de interseção das retas r e s. Considere agora a região R do primeiro quadrante do plano xy delimitada pelas retas r 1 : y = x, r : x = 0 e r : x = 1 e pela circunferência Y: x + (y 4) = 1. a) Utilize os eixos cartesianos abaixo para fazer um esboço da região R e do sólido de revolução obtido pela rotação dessa região em torno do eixo y. 8 A escolha de quem pensa!

9 10. As retas de equações y = ax + b e y = cx são ilustradas na figura a seguir. Sabendo que o coeficiente b é igual à média aritmética dos coeficientes a e c, a) expresse as coordenadas dos pontos P, Q e R em termos dos coeficientes a e b; b) determine a, b e c, sabendo que a área do triângulo OPR é o dobro da área do triângulo ORQ e que o triângulo OPQ tem área 1. b) Encontre o volume do sólido de revolução obtido no item acima. 05. No sistema cartesiano ortogonal Oxy, considere a circunferência de centro C = (4, ) e raio r = 5. a) Encontre a equação cartesiana da circunferência. b) Encontre as coordenadas dos pontos de interseção da circunferência com o eixo Oy. c) Seja P o ponto de interseção da circunferência com o eixo Oy, de ordenada positiva. Encontre a equação da reta que tangencia a circunferência nesse ponto P. 06. Em uma folha de fórmica retangular ABCD com 15 cm de comprimento AB por 10 dm de largura AD um marceneiro traça dois segmentos de reta, AE e BD. No ponto F onde o marceneiro pretende fixar um prego, ocorre a interseção desses segmentos. A figura a seguir representa a folha de fórmica no primeiro quadrante de um sistema de eixos coordenados. 11. Seja dada a reta x y + 6 = 0 no plano xy. a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas retas do plano passam por P e formam um ângulo de 45 com a reta dada acima? b) Para o ponto P com coordenadas (, 5), determine as equações das retas mencionadas no item (a). 1. Considere no plano cartesiano xy o triângulo delimitado pelas retas x = y, x = y e x = y A área desse triângulo mede: 1. Seja o ponto A ( ; ) um dos vértices de um triângulo. Sabendo que o lado oposto a este vértice está situado sobre a reta que contém o ponto P ( ; 4) e é paralelo à reta determinada pelos pontos M (; ) e N (6; 1), calcular a medida da altura do triângulo baixada a partir de A. 14. Calcule e o ângulo agudo formado pelas retas (r)x = t e y = 4t e (s) x + y = Considerando a medida do segmento EC igual a 5 dm determine as coordenadas do ponto F. 15. A secção meridiana de um cone circular reto está representada em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no plano; nessa representação, o vértice do cone é o ponto P (, 1), a reta suporte do diâmetro da base tem equação x + 1 = 0 e a reta suporte de uma das geratrizes tem equação x + 4y 5 = Sejam P = (a, b), Q = (1, ) e R = ( 1, 1) pontos do plano. Se a + b = 7, determine P de modo que P, Q e R sejam colineares. Calcule o valor do quociente V cone. π, sendo V o volume do 08. Dada a reta r : y = x do plano cartesiano xy, determine a equação da reta s, a qual é paralela à r, e está, de r, a uma distância igual a 1 e não intercepta o quarto quadrante do plano cartesiano. 09. Considerando que os pontos A (1; 1), B (; 5) e C (; 8) são vértices de um triângulo ABC. Com relação a esse triângulo, determine: a) A equação da reta suporte da mediana relativa ao lado AB. b) A equação da mediatriz do lado AB. Gabarito 1. a) y = 9 x b) y = x + c) P (; 4 ). a) (r): x + y = 0 (s): x + y = 0 b) P ; 4. a) Q ( + 1; 0) b) P ; a) -- b) V = 8 π 5. a) (x 4) + (y ) = 5 b) (0; 0) e (0; 6) c) (t): 4x y + 18 = 0 A escolha de quem pensa! 9

10 6. F (6; 6) 7. P (;5) 8. s: y = x a) x + 6y 0 = 0 b) x + y 8 = 0 b 10. a) P ;0 a, Q (0; b) e R b b(b a) ; b a b a b) a = 8, b = 4 e c = a) duas retas b) x y + 1 = 0 e x + y 1 = 0 1. S = 15 ua q = arctg Aula 5 Geometria Analítica A figura abaixo mostra uma circunferência tangente ao eixo y, com centro C sobre o eixo x e diâmetro de 10 unidades. uma circunferência de perímetro P e de equação x + y 16x 1y + 6 = 0. P Se P > P 1, calcular o valor de P1 06. Determinar o maior valor inteiro de k a fim de que x + y 6x + 10y + k = 0 seja equação de uma circunferência de raio não nulo. 07. Os vértices de um triângulo são: o centro da circunferência de equação x + y 6x 8y = 0 e os pontos de intersecção dessa circunferência com a reta que passa pela origem e tem coeficiente angular 1/7. Calcule: a) a área do triângulo; b) o perímetro do triângulo; c) classifique o triângulo quanto aos lados. 08. No plano cartesiano, considere o círculo S descrito pela equação cartesiana x + y = 5 e a reta r descrita pela equação cartesiana y = x. Assim, r intersecta S nos pontos A e B. Considerando uma nova reta h, descrita pela equação cartesiana y = x + 1, esta reta intersecta S nos pontos A e C. a) Determine os pontos A, B e C. b) Determine a área de triângulo de vértices A, B e C. 09. Os pontos ( 6, ), (, 1), e ( 5, 5) pertencem a uma circunferência. Determine o raio dessa circunferência. a) Sabendo que A = (8,4) e que r : y + x = 0 é a reta que passa por A e B, calcule a área do triângulo CAB. b) Encontre as coordenadas do ponto D, indicado na figura acima, no qual a reta r intercepta a circunferência. 0. São dados os pontos A = (0,0) e B = (6,8) no plano cartesiano Oxy. a) Escreva a equação reduzida da circunferência a que tem centro no ponto médio do segmento AB e contém os pontos A e B. b) Encontre as coordenadas do ponto P, distinto de A, no qual a circunferência a intercepta o eixo y. 0. Ache a equação da circunferência que passa pelos pontos A (, 1), B (1, 5) e tem centro sobre a reta de equação x + y + 1 = No plano cartesiano, ache a equação da circunferência que tem centro no ponto médio do segmento de extremidades A (6; 4) e B ( ; ) e é tangente à reta que contém os pontos C (; 6) e D ( 1; ). 05. Uma circunferência de perímetro P 1 e centro na origem do sistema de coordenadas, é tangente a 10. No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto A = ( 5, 1) e é tangente à reta t de equação 4x y = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox. Assim: a) Determine as coordenadas do ponto P. b) Escreva uma equação para a circunferência C. c) Calcule a área do triangulo APQ. 11. No plano cartesiano, seja λ a circunferência de centro C = (,5) e raio 4 e seja r a reta de equação y = x + 6. a) Determine todos os valores de x para os quais o ponto P = (x, y) pertence à reta r e está no interior da circunferência λ. b) Encontre a equação cartesiana da circunferência λ 1 oncêntrica à circunferência λ e tangente à reta r. 1. Considerando, no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a circunferência de equação x + y + 6x 1y + 5 = 0 e a reta de equação x + y + 8 = 0, a) obtenha a equação da reta que contém o centro da circunferência e é paralela à reta dada; b) calcule as coordenadas do ponto de intersecção da reta dada com a reta tangente à circunferência no ponto P (1, 4). 10 A escolha de quem pensa!

11 1. Uma circunferência tem centro no ponto (6; 0) do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais e passa pelo ponto de intersecção das retas x + y 7 = 0 e x y = 0. Obtenha a equação da circunferência, explicando os procedimentos usados. 14. Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a equação de uma circunferência é: x + y 6x + y = 0. Calcule a área do triângulo cujos vértices são o centro da circunferência e os pontos de intersecção da reta de equação x + y 10 = 0 com a circunferência. Explique os procedimentos usados. 15. São dados os pontos A = (1, ), B = (4, 1) e C = (6, 4) no plano cartesiano Oxy. a) Usando coeficientes angulares, mostre que a reta r, que contém os pontos A e B, é perpendicular à reta s, que contém os pontos B e C. b) Sabendo que A, B, C e D são vértices de um quadrado, encontre as coordenadas do ponto D. c) Escreva a equação da circunferência que contém os pontos A, B, C e D. Gabarito 1. a) S = 0 b) A (8; 4) D (5; 5). a) (x ) + (y 4) = 5 b) P (0;8 ). (x + ) + (y 1) = 5 4. (x ) + (y + 1) = 9 5. P 4 P = a) S = 5 ua b) p = (10 5 ) uc c) isosceles 8. a) A (1; ) B (1; ) C) ( ; 1) 9. 5 b) S = ua 10. a) P ( 1; ) b) (x + 5) + (y 1) = 5 c) S = 5 4 ua 11. a) - 7 < x < + 7 b) y = 4 x 5 1. a) x + y = 0 b) ; 1. x + y 1x + 11 = S = 5 ua 15. a)-- b) D (; 6) c) x + y = 4 Aula 6 Números Complexos 01. Considere os números complexos z = 1 + i e z = 1 i e sendo i = 1 a unidade imaginária. a) Escreva os números z e z 4 na forma x + iy. b) Sabendo que z, z e são raízes do polinômio P(x) = x + ax + bx + c, calcule os valores de a, b e c. 0. Considere os números complexos z = cos 18 π + isen 18 π a) Mostre que o produto z. w é igual a + i b) Mostre que z 18 é igual a 1. π π 0. Sejam os números complexos z = cos + isen e w = i + i + i. Achar y = z 6 + w Considerando o número complexo z = 1 + i: a) obtenha uma equação polinomial do grau com coeficientes reais da qual z seja uma das raízes; b) calcule o menor número inteiro positivo n para o qual zn é número real; c) calcule o valor de x para que o número x + i seja z imaginário puro. 05. Considere o número complexo z = 5 + 1i onde i = 1. Se x é a parte real de z e y a parte imaginária de z calcule x 4 + y, explicando os procedimentos usados. 06. Calcule as raízes quadradas do número complexo 1 +. i 07. Calcule as raízes cúbicas de um número complexo z, cujo módulo é igual a 8 e seu argumento principal vale π rad. 08. Em 1545, o italiano Girolamo Cardano ( ) publicou o seu mais importante livro A grande arte, e tão orgulhoso ficou que, no final, escreveu a frase: Escrito em cinco anos, pode durar muitos milhares. No livro, um problema aparentemente simples começou a aprofundar a discussão sobre um novo tipo de número, ainda desconhecido na Matemática: Dividir 10 em duas parcelas tais que o seu produto seja 40. a) Determine as duas parcelas e expresse-as na forma a + bi, em que a,b são números reais e i = 1. b) Expresse as duas parcelas do item A na forma de pares ordenados (a,b) e represente-os graficamente no plano cartesiano. c) Calcule, na forma decimal aproximada, a área do triângulo cujos vértices são os dois pares ordenados do item B e a origem. Se precisar, use as aproximações: = 1,7; 5 =,. d) Encontre uma equação polinomial de coeficientes inteiros com o menor grau possível, sendo dadas três de suas raízes: as duas parcelas do item A e o numero complexo i. 09. Os números complexos distintos z e w são tais que z + w = 1 e z. w = 1. a) Calcule z b) Calcule o valor z 4 + w 4 sabendo-se que z está no primeiro quadrante do plano complexo. A escolha de quem pensa! 11

12 10. No jogo Batalha Complexa são dados números complexos z e w, chamados mira e alvo respectivamente. O tiro certeiro de z em w é o número complexo t tal que tz = w. 14. O número complexo z = a + bi é vértice de um triângulo equilátero, como mostra a figura. Sabendo que a área desse triângulo é igual a 6, determine z. Considere a mira z e o alvo w indicados na figura anterior. Determine o tiro certeiro de z em w. 11. Determine o módulo, o argumento e represente graficamente o número complexo z = + ( ) i. 1. No plano de Argand-Gauss (figura), o ponto A é chamado afixo do número complexo z = x + yi, cujo módulo (indicado por z ) é a medida do segmento OA e cujo argumento (indicado por q) é o menor ângulo formado com OA no sentido anti-horário, a partir do eixo Re(z). O número complexo z = i é chamado unidade imaginária. 15. Considere os números complexos w = 4 + i e z = a + 4ai, onde a é um número real positivo e i indica a unidade imaginária. Se, em centímetros, a altura de um triângulo é z e a base é a parte real de z. w, determine a de modo que a área do triângulo seja 90 cm. Gabarito 1. a) z = + i z = 4 b) a = 4; b = 6 e c = 4. a) -- b) --. y = a) x x + = 0 b) n = 4 c) x = R1 = i e R = i 7. R 1 = + i R = + i R = i 8. a) x = i e y = 5 15i ou x = 5 15i e y = i a) Determinar os números reais x tais que z = (x + i) 4 é um número real. b) Se uma das raízes quartas de um número complexo z é o complexo z 0 cujo afixo é o ponto (0, a), a > 0 determine z. b) (5; 15i ) e (5; 15i ) c) S = 18,7 d) 4 9. a) 1 b) t = i 11. z = 4; q = p/ rad 1. x = 0, x= e x = b) a 4 1. a) S = 6 ua b) A (0; ), B ( 6; 0), C (0; ) e D (6; 0) c) i 14. z = i 15. a = cm 1. a) Calcule a área do losango ABCD cujos vértices são os afixos dos números complexos:, 6i e 6i, respectivamente. b) Quais são as coordenadas dos vértices do losango A B C D que se obtém girando 90 o losango ABCD em torno da origem do plano cartesiano, no sentido anti-horário? c) Por qual número devemos multiplicar o número complexo cujo afixo é o ponto B para obter o número complexo cujo afixo é o ponto B? 1 A escolha de quem pensa!