Questão 1. Questão 3. Questão 2. alternativa B. alternativa C. alternativa D. Os trabalhadores A e B, trabalhando separadamente,

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1 Questão Os trabalhadores A e B, trabalhando separadamente, levam cada um 9 e 0 horas, respectivamente, para construir um mesmo muro de tijolos Trabalhando juntos no serviço, sabe-se que eles assentam 0 tijolos a menos por hora em relação ao que se esperaria da combinação da velocidade de trabalho de cada um Se juntos os dois trabalhadores constroem o muro em 5 horas, o número de tijolos assentados no serviço é igual a a) 50 d) 550 b) 00 e) 800 alternativa C c) 900 Seja x N o número de tijolos no muro Trabalhando separadamente, as velocidades de A e B são, respectivamente, x 9 e x tijolos por hora 0 Assim, trabalhando juntos, a velocidade é x 9 + x + 0 tijolos por hora e, como juntos constroem 0 um muro em 5 horas, x x x + x O número de tijolos assentados no serviço é, portanto, 900 Questão Em relação a um código de 5 letras, sabe-se que o código CLAVE não possui letras em comum; LUVRA possui uma letra em comum, que está na posição correta; TUVCA possui duas letras em comum, uma na posição correta e a outra não; LUTRE possui duas letras em comum, ambas na posição correta Numerando, da esquerda para a direita, as letras do código com,,, e 5, as informações dadas são suficientes para determinar, no máximo, as letras em a) e d), e b) e e), e c), e O código procurado não possui as letras do código CLAVE O código TUVCA possui letras em comum com o código desconhecido Eliminando as letras V, C e A concluímos que T e U pertencem ao código procurado Se o código LUTRE possui letras comuns, ambas na posição correta e as letras U e T estão nesse código, as demais não pertencem ao código desconhecido Portanto U e T estão, respectivamente, nas posições e do código procurado Questão Uma escola possui 00 alunos que nasceram em anos de 5 dias O número mínimo desses alunos da escola que faz aniversário no mesmo dia (e mês), e que nasceu no mesmo dia da semana é a) b) 8 c) d) e) 5 alternativa D Vamos supor que desejamos minimizar a quantidade de alunos, tal que exista um outro aluno que faça aniversário no mesmo dia e mês, e nasceu no mesmo dia da semana Observe que Se 7 ou menos pessoas fizerem aniversário no mesmo dia e mês, é possível que nenhuma tenha nascido no mesmo dia da semana Assim, com 5 7 alunos, é possível que nenhum faça aniversário no mesmo dia e mês, e tenha nascido no mesmo dia da semana do outro Porém, cobrimos assim todas as possibilidades Assim, é preciso escolher um dia de aniversário e um dia da semana para cada um dos outros 5 alunos restantes Percebemos que, a cada nova data escolhida para um aluno, somamos dois alunos ao total dos que fazem aniversário juntos e nasceram no mesmo dia da semana Em contrapartida, se escolhermos uma data previamente escolhida, somamos apenas um aluno Dessa forma, para minimizar o número de alunos, basta escolhermos a mesma data para todos os 5 alunos, totalizando alunos fazendo aniversário numa mesma data e nascendo no mesmo dia da semana

2 matemática Questão Admita que no lançamento de um dado, não viciado e com seis faces numeradas, possam ocorrer apenas os eventos A, B ou C, cada um com probabilidade P A,P B ep C, respectivamente Sabendo-se que PA + PB + PC e PA (PB + P C), dentre as alternativas a seguir, a única que pode representar o evento A é sair um número a) menor que b) menor ou igual a c) maior que d) maior do que e) diferente de mês com esse trabalho Nessas condições, (x,y) é um par ordenado que necessariamente pertence à região poligonal representada por a) b) alternativa C Como podem ocorrer apenas os eventos A, B e C, e admitindo que são mutuamente exclusivos, temos PA + PB + PC Dessa forma, PA + PB + PC PB + PC PA PA + PB + PC PA + PB PC PA (PB + P C) PA ( P A) PB + PC PA + PB PC PB PC PA Assim, dentre os eventos apresentados nas alternativas, o único cuja probabilidade de ocorrer é PA é o da alternativa C c) Questão 5 d) Uma pessoa trabalha no máximo 0 horas por mês, programando e consertando computadores Sua remuneração pelo trabalho é de R$ 0,00 por hora de programação e R$ 0,00 porhoradeconsertodecomputadorsabe-se também que ela trabalha x horas por mês com programação e y horas com conserto de computadores, ganhando ao menos R$ 5000,00 por

3 matemática e) ver comentário A pessoa pode trabalhar no máximo 0 horas por mês, x horas com programação e y horas com conserto de computadores, ou seja, x + y 0 Em relação à remuneração, ela ganha R$ 0,00 por hora em programação e R$ 0,00 por hora em conserto Sendo a sua remuneração no mínimo de R$ 5000,00 mensais, temos 0x + 0y O número de horas deve ser não negativo, isto é, x 0 e y 0 Logo, devemos atender simultaneamente às seguintes condições: x + y 0 0x + 0y x 0 e y 0 Graficamente, a região poligonal procurada é a intersecção das regiões destacadas, conforme a figura a seguir Questão O montante aplicado de R$ 50000,00 foi dividido em duas partes, x e y, uma tendo rendido % em um mês, e a outra 0% no mesmo período O total dos rendimentos dessa aplicação foi de R$ 000,00 Sendo M, P e Q as x matrizes M y, P 50 e Q 00, 0,, a matriz M pode ser obtida pelo produto a) 000 (P t Q) b) P t Q 000 c) Q P 000 d) 000 (Q t ) P e) (Q ) t P 000 ver comentário De acordo com o enunciado, devemos ter x + y ,0 x + 0, y 000 x 50 0,0 0, y 000 t Q M P 000 t t t (Q ) Q M (Q ) P 000 t I M (Q ) P 000 t t M 000 (Q ) P (Q ) P 000, pois det(q) 0 Assim, as alternativas D e E estão corretas Questão 7 Seja f uma função de IN em Q, dada por x, x < 5 f(x) x +, 5 x Sabendo-se que a função f determina o número de vezes que um equipamento foi utilizado em cada um dos meses de um ano, é correto afirmar que a mediana (estatística) dos registros é igual a a) b),5 c) d) e) 5,5 O par ordenado (x; y) que satisfaz as condições do enunciado necessariamente pertence às regiões poligonais representadas nas alternativas A ed Temos f(), f(), f() 5, f() 7,

4 matemática f(5) 5 + 7, f() +, f(7) 7 + 5, f(8) 8 +, f(9) 9 +, f(0) 0 +, f() +, f() + 0 Ordenando esses valores, obtemos a seqüência (0,,,,,,, 5, 5,, 7, 7), cuja mediana será igual à média aritmética entre o º e o 7º valores, isto é, +,5 Questão 8 Um supermercado, que fica aberto horas por dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada horas Com base nos dados observados, estima-se que o número de clientes possa ser calculado pela função trigonométrica f(x) sen x π, onde f(x) é o número de clientes e x, a hora da observação (x é um inteiro tal que 0 x ) Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o número máximo e o número mínimo de clientes dentro do supermercado, em um dia completo, é igual a a) 00 c) 900 e) 00 b) 800 d) 500 Os vendedores de uma empresa decidiram delimitar a região de atuação de cada um do centro da cidade de São Paulo até, no máximo, um raio de 0 km A divisão foi estabelecida da seguinte forma: Cláudio atuará em todos os locais até a distância de x quilômetros do centro da cidade; Luís atuará em todos os locais cuja distância ao centro da cidade esteja entre x e y quilômetros; a área da cidade que caberá a cada um será a mesma, com y > x 0 Segundo o que foi estabelecido pelos vendedores, o lugar geométrico no plano cartesiano dos pares ordenados (x,y) é a) b) c) d) alternativa E xπ Como 0 x 0 π, temos sen x π sen x π sen x π f(x) 700 Logo a diferença entre o número máximo e o número mínimo de clientes dentro do supermercado, em um dia completo, é Questão 9 e) Supondo o centro da cidade no ponto (0; 0), a área de atuação de Cláudio éocírculodecentro (0; 0) e raio x, e a área de atuação de Luís é a coroa circular determinada pelos círculos de centro (0; 0) e raios x e y, comy> x Como a área de atuação dos dois é a mesma, π (y x ) π x y x y x

5 matemática 5 Além disso, 0 < y 0 0<x 0 0<x 5 Portanto, o lugar geométrico dos pares (x; y) é representado por um segmento de reta, cujas extremidades são (0; 0) aberta e (5 ; 0) fechada Questão 0 A figura indica infinitos triângulos isósceles, cujas bases medem, em centímetros, 8,,,, d AD + DF + FH + (d ) h 5 h 5 h h A área do retângulo de lados h e d é igual a d h 5 Figuras para as questões de números e h 8 Sabendo que as somas das áreas dos infinitos triângulos hachurados na figura é igual a 5, pode-se afirmar que a área do retângulo de lados h e d é igual a a) 8 b) 0 c) d) 5 e) 9 alternativa C Considere a figura a seguir: a A B Questão Como o ABC é isósceles, a altura AA também é a mediana relativa à base BC e então B A BA Assim, AD + DF + FH + d Masd Então a soma das bases dos infinitos triângulos destacados é d Como a soma das áreas dos infinitos triângulos é 5, temos: As figuras A e B indicam, respectivamente, planificações de sólidos em forma de prisma e pirâmide, com todas as medidas sendo dadas em metros Denotando por V e V os volumes do prisma e da pirâmide, respectivamente, conclui-se que V representa de V a) 5% d) 5% b) 5% e) 75% c) 50%

6 O número de maneiras de alocar as 9 cotas entre os 5 investidores, sendo que todos compraram cotas, é igual ao número de soluções inteiras e pomatemática alternativa E Consideremos a partir das planificações as representações do prisma reto e da pirâmide a seguir: alternativa A Consideremos a planificação da pirâmide, em que AH GH, AB CB, CD ED e EF GF Admitindo que a base do prisma é um trapézio retângulo, o volume V é m ( + ) Como VH é perpendicular à base trapezoidal, o volume V da pirâmide é ( + ) m Assim, V V 75% V V Questão O ângulo α, indicado na figura B, é igual a a) arc cos 5 b) arc cos 5 c) arc cos d) arc sen 5 5 e) arc sen A aresta GF da pirâmide mede + 5m, e portanto EF GF 5m No triângulo retângulo FID, temos FD + 5 m Por outro lado, BC AB + m Também pelo teorema de Pitágoras no CBD, CD ED + ( ) m Aplicando a lei dos co-senos ao EFD, ( ) ( 5) + ( 5) ( 5)( 5) cosα cosα cosα 5 α arc cos 5 Questão Um fundo de investimento disponibiliza números inteiros de cotas aos interessados nessa aplicação financeira No primeiro dia de negociação desse fundo, verifica-se que 5 investidores compraram cotas, e que foi vendido um total de 9 cotas Em tais condições, o número de maneiras diferentes de alocação das 9 cotas entre os 5 investidores é igual a a) 5 d) 0 b) 70 e) c) 8

7 matemática 7 sitivas da equação x + x + x + x + x5 9, Sendo g(x) a + b c x e h(x) d + e f x, a soma onde x i representa o número de cotas compradas 8 pelo i-ésimo investidor, isto é, C9,5 a + b + c + d + e + f é igual a a) 0 b) 7 c) 0 d) 8 e) ! alternativa D Questão Sabendo-se que a circunferência x + y x + + y + p 0 possui apenas um ponto em comum com a reta y x, conclui-se que p é igual a a) 9 b) 7 c) 9 d) e) ver comentário Como a circunferência e a reta possuem um único ponto em comum, o sistema x + y x + y + p 0 y x possui uma única solução, isto é, a equação x + (x ) x + (x ) + p 0 x x + (p ) 0 deve ter 0, ou seja, ( ) (p ) 0 p 5 Pelos gráficos, as assíntotas de g(x) e h(x) são, respectivamente, as retas de equações y e y Como g(x) a + b c x eh(x) d + e f x, temos a ed E pelos gráficos, g(0), g 5, h(0) e h 5 Assim: 0 + b c b + b c 5 c 0 + e f e f + e f 5 Logo a + b + c + d + e + f Questão Questão 5 Os gráficos das funções exponenciais g e h são simétricos em relação à reta y 0, como mostra a figura: Uma aplicação financeira rende juros de 0% ao ano, compostos anualmente Utilizando para os cálculos as aproximações fornecidas na tabela, pode-se estimar que uma aplicação de R$ 000,00 seria resgatada no montante de R$ ,00 após x log x 0,0 5 0,70,0 a) mais de século b) século c) 5 de século d) de século e) de século alternativa E Uma aplicação financeira de R$ 000,00 rendendo juros compostos de 0% ao ano, poderá ser

8 matemática 8 resgatada no valor de R$ ,00 depois de um tempo t, em anos, tal que 000( + 0%) t (,) t 000 log (,) t log 000 log 000 t log(,) log 000 log 000 t log t anos log log 0 0 Usando a aproximação dada log,0, t,0 Questão 7 75 anos de século Admita que o centro do plano complexo Argand-Gauss coincida com o centro de um relógio de ponteiros, como indica a figura: Se o determinante da matriz (M + xi) é uma função polinomial na variável x, a soma de suas raízes é igual a a) b) 0 c) d) e) x M + xi 0 + x 0 0 x x Seja fx ( )a função polinomial descrita Temos: x f(x) x f(x) x + x 0 x Pelas relações entre os coeficientes e as raízes, a soma das raízes desta função é 0 0 Questão 9 Sejam f e g funções quadráticas, com f(x) ax + bx + c Sabe-se que o gráfico de g é simétrico ao de f em relação ao eixo y, como mostra a figura Se o ponteiro dos minutos tem unidades de comprimento, às h55min sua ponta estará sobre o número complexo a) + i d) i b) + i e) + i c) i alternativa A Às h55min, a ponta do ponteiro dos minutos representa o número complexo Z de módulo e argumento principal 0 0 o o o o Assim, Z (cos 0 + i sen 0 ) + + i i Questão 8 Seja I a matriz identidade de ordem e M a 0 matriz quadrada Os pontos P e Q localizam-se nos maiores zeros das funções f e g, e o ponto R é o intercepto de f e g com o eixo y Portanto, a área do triângulo PQR, em função dos parâmetros a, b e c da função f, é (a b) c (a + b) c a) b) a b c b c c) d) a c e) a alternativa D Sejam x e x, x < x, as raízes da função f Como o gráfico de g é simétrico ao gráfico de f

9 matemática 9 em relação ao eixo y, as raízes de g são x e x, x < x Como os pontos P e Q localizam-se nos maiores zeros de f e g, que são respectivamente x e x, b PQ x ( x ) x + x Sendo R o a ponto de intersecção de f e g com o eixo y, R (0; f(0)) (0; c) b Logo a área do triângulo PQR é igual a a c bc a Questão 0 A posição de um objeto A num eixo numerado é descrita pela lei ,5t, onde t é o tempo em segundos No mesmo eixo, move-se o objeto B, de acordo com a lei t Os objetos A e B se encontrarão num certo instante t AB O valor de t AB, em segundos, é um divisor de a) 8 b) c) d) e) 0 alternativa C No encontro dos objetos A e B, temos: 7 0,5t t 8 8 0,5t t 7 8 t 0,5t ,5t 0,5t y y 8y + 7y 0 y ou y 8 0,5t 0,5t Logo 8 0,5t t segundos, que é um divisor de Questão A cidade D localiza-se à mesma distância das cidades A e B, e dista 0 km da cidade C Em um mapa rodoviário de escala :00 000, a localização das cidades A, B, C e D mostra que A, B e C não estão alinhadas Nesse mapa, a cidade D está localizada na intersecção entre a) a mediatriz de AB e a circunferência de centro C e raio 0 cm b) a mediatriz de AB e a circunferência de centro C e raio cm c) as circunferências de raio 0 cm e centros A, B e C d) as bissetrizes de CAB e CBA e a circunferência de centro C e raio 0 cm e) as bissetrizes de CAB e CBA e a circunferência de centro C e raio cm alternativa A Como a cidade D é eqüidistante das cidades A e B eestáa0kmdacidadec,destánaintersecção da mediatriz do segmento AB com a circunferência de centro C e raio 0 km, que na escala : será correspondente a km 0 km cm Obs: tal intersecção pode ser em dois pontos A localização da cidade D então não ficaria determinada Questão Na figura, ABC é um triângulo com AC 0 cm, AB 5 cm e BC cm Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do triângulo ABC, o quociente QR AR é igual a a) 0, b) 0,5 c) 0, d) 0,5 e) 0,5 alternativa C Aplicando o teorema da bissetriz interna ao triângulo ABC, obtemos: BQ CQ BQ BQ BQ AB AC 5 0 No triângulo ABQ, BR é bissetriz interna Assim, aplicando novamente o teorema da bissetriz interna: QR BQ A P C AR QR AR AB QR 5 AR 5 0, R B Q

10 matemática 0 Questão Na figura, ABCD é um quadrado, e M, N e P são pontos médios de AD, BC e CD, respectivamente: condições, a média, em metros, das alturas dos jogadores que saíram supera a dos que entraram em a) 0,0 c) 0,0 e) 0, b) 0,0 d) 0,09 A soma das alturas dos jogadores, antes das substituições, é,9,5 m e após,,90,0 m Assim a média das alturas dos jogadores que saíram supera a dos jogadores que,5,0 entraram em 0,0 m Sabendo-se que os segmentos de reta BM, BD e NP dividem o quadrado em polígonos de áreas S, S, S e S, conforme indica a figura, é correto afirmar que a) S S S S b) S S S 5 S c) S S S S d) S S S S e) S S S S alternativa E Na figura, observa-se que os triângulos AMB e MDB têm bases AM e MD, respectivamente, iguais e altura AB Seja então S S S Como P e N são pontos médios de CD e BC, respectivamente, CNP ~ CBD e S S + S CN S BC S + S S S S S Logo S S S S S S Assim S S S S S S S S Questão 5 A tabela indica a seqüência de teclas digitadas em uma calculadora (da esquerda para a direita) e o resultado apresentado no visor após a seqüência: Seqüência de teclas ( ) Resultado no visor Sabendo que X e Y representam dois algarismos de 0 a 9, e que após digitarmos X + Y seguido de 0 vezes a digitação da tecla obtivemos o número 87, é correto afirmar que X + Y é igual a a) b) c) 0 d) 9 e) 8 Questão A média das alturas dos jogadores em quadra de um time de vôlei é,9 m Após substituir jogadores por outros, a média das alturas do time passou para,90 m Nessas Analisando a tabela, concluímos que digitar X + Y seguido de 0 vezes a digitação da tecla, significa adicionar 0 Y a X, ou seja, X + 0 Y 87 X 87 0Y ComoXeYsãoalgarismosde0a9,0 87 0y Y 87 Y Assim, X e X + Y 7 +

11 matemática Questão O sólido da figura foi obtido a partir de duas secções em um cilindro circular reto de altura cm e raio da base 0 cm As secções foram feitas na intersecção do cilindro com um diedro de 0 o, como mostra a figura : A C figura B A, B, C, Sabendo que os pontos A, B, C, A, B e C pertencem às faces do diedro e às circunferências das bases do cilindro, como mostra a figura, a área da superfície BB C C, contida na face lateral do cilindro, em cm², é igual a a) 0 π b) 0 π c) 80 π d) 90 π e) 0 π alternativa E Sejam O o centro da circunferência que contém os pontos A, B e C e O o centro da circunferência que contém os pontos A, B e C Pelo teorema do ângulo inscrito, podemos afirmar que m (C O o o B ) m (COB) 0 0 Assim, como a área da superfície lateral do cilindro é diretamente proporcional ao ângulo do diedro de aresta OO, temos que a área da superfície BB C C é 0 o π 0 0π cm o 0 Questão 7 Sabe-se que o custo por unidade de mercadoria produzida de uma empresa é dado pela função C(x) x + 0, onde C(x) é x o custo por unidade, em R$, e x é o total de unidades produzidas Nas condições dadas, o A, A figura 0 C B C, B, custo total mínimo em que a empresa pode operar, em R$, é igual a a) 00,00 b) 800,00 c) 000,00 d) 00,00 e) 00,00 alternativa A O custo total na produção de x unidades da mercadoria é dado por x C(x) x x + x 0 x 0x reais, cujo valor mínimo é [( 0) 0 000] 00 reais Questão 8 Na figura estão representados dois quadrados de lado d e dois setores circulares de 90 o e raio d: Sabendo que os pontos A, E e C estão alinhados, a soma dos comprimentos do segmento CF e do arco de circunferência AD, em função de d, é igual a a) ( +π ) ( +π) d b) d c) ( π + ) ( +π) d d) d e) ( +π ) d Seja AG d AGE, senθ AG AE alternativa A perpendicular a FD No triângulo d senθ d θ 0 o

12 matemática Para que o sistema seja possível e indeterminado, devemos ter: a + 0 a + log b( a) 0 + logb 0 a b a Logo b ( ) No triângulo CFE, CF d tgθd tg 0 o d O arco AD mede 0 o d d o 0 π π Assim CF + AD d πd ( + π) + d Questão 9 Sabe-se que o sistema linear x y nas variáveis x e y, é x + ay log b( a) possível e indeterminado Nessas condições, b a é igual a a) d) b) c) e) alternativa D x y x y + x + ay log b( a) (a + )y + log b( a) Questão 0 O país A possui renda per capita anual de R dólares e população de P habitantes Sabendo-se que o país B possui renda per capita anual igual a 0% da do país A e o dobro da sua população, é correto dizer que a renda total anual do país B é a) 0% inferior à de A b) 0% inferior à de A c) igual à de A d) 0% superior à de A e) 0% superior à de A alternativa E A renda total anual de um país é o produto da renda per capita pela população A renda total anual do país A é P R, e a do país B, ( P) (0% R), P R, que é 0, 0% superior à de A

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é:

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é: Aluno(a) Nº. Ano: º do Ensino Médio Exercícios para a Recuperação de MATEMÁTICA - Professores: Escossi e Luciano NÚMEROS COMPLEXOS 1) Calculando-se corretamente as raízes da função f(x) = x + 4x + 5, encontram-se

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