Caderno de Apoio 11.º ANO

Transcrição

1 METAS CURRICULARES PARA O ENSINO SECUNDÁRIO MATEMÁTICA A Cadrno d Apoio 11º ANO António Bivar Carlos Grosso Filip Olivira Luísa Loura Maria Clmntina Timóto

2 INTRODUÇÃO Est Cadrno d Apoio constitui um complmnto ao documnto Mtas Curriculars d Matmática do Ensino Scundário Matmática A Na laboração das Mtas Curriculars utilizou-s um formato prciso sucinto não tndo sido incluídos xmplos ilustrativos dos dscritors Nst documnto aprsntam-s várias sugstõs d xrcícios d problmas comntários rlativos a algumas opçõs tomadas no documnto principal informaçõs complmntars para os profssors Procurou-s ralçar os dscritors qu s rlacionam com contúdos capacidads atualmnt mnos trabalhados no Ensino Scundário mbora s tnham incluído também outros d modo a dar uma corência global às abordagns propostas Estas scolhas não significam porém qu s considrm mnos rlvants os dscritors não contmplados Long d s tratar d uma lista d tarfas a cumprir as atividads propostas têm um carátr indicativo podndo os profssors optar por altrnativas qu conduzam igualmnt ao cumprimnto dos objtivos spcíficos stablcidos nas mtas Aos xmplos aprsntados stão associados três nívis d dsmpnho Os qu não s ncontram assinalados com astriscos corrspondm a um nívl d dsmpnho rgular idntificando-s com um ou dois astriscos os xmplos qu corrspondm a nívis d dsmpnho progrssivamnt mais avançados Para além das sugstõs d xrcícios problmas a propor aos alunos ntndu-s incluir também txtos d apoio para os profssors Dstinam-s a sclarcr qustõs d índol cintífica qu fundamntam os contúdos do Programa qu podrão ajudar à slção das mtodologias mais adquadas à lcionação Cadrno d Apoio 11º ano Introdução Página 1

3 11º ANO Nívis d Dsmpnho Trigonomtria TRI11 Dscritor 11 Txto d Apoio Dado um triângulo acutângulo dsignamos os ângulos intrnos d vértic m xatamnt por ssas ltras por as mdidas d comprimnto dos lados opostos rsptivamnt aos ângulos Sndo qu a mdida da altura rlativa ao vértic C é imdiato vrificar por dfinição do sno dond m particular Not-s qu sta igualdad prmanc válida m triângulos rtângulos obtusângulos m Dsta forma m triângulos acutângulos rptindo o raciocínio rlativamnt a um outro vértic facilmnt s conclui qu 12 Comntário Optou-s nas Mtas Curriculars por solicitar aos alunos o rconhcimnto d qu as dfiniçõs habituais das razõs trigonométricas dos ângulos rtos obtusos são as únicas possívis s s prtndr stndr a triângulos rtângulos obtusângulos a Analogia dos Snos a ângulos intrnos rtos obtusos o Torma d Carnot mantndo-s também a idntidad ntr a tangnt o quocint ntr o sno o cossno No prsnt dscritor aprsnta-s com sta motivação a dfinição do sno d um ângulo rto Dado um triângulo rtângulo m dsignando rsptivamnt por as mdidas d comprimnto os ângulos intrnos d vértic m xatamnt por ssas ltras as quaçõs são quivalnts a uma vz qu Para qu a Li dos snos s possa aplicar a st triângulo dvmos assim atribuir a valor o É pois ss o valor qu s dv tomar para o sno dos ângulos rtos d modo qu a Li dos snos s vrifiqu m triângulos rtângulos Cadrno d Apoio TRI11 Página 2

4 13 1 Considr um triângulo tal qu o ângulo d vértic m é obtuso Dsign rsptivamnt por os ângulos d vértic m xatamnt por ssas ltras sja a projção ortogonal do ponto sobr a rta Justifiqu qu o ponto fica stritamnt situado ntr os pontos supondo qu s ncontra dfinido d tal modo qu concluindo qu justifiqu qu 14 1 Considr um triângulo tal qu os ângulos intrnos d vértic m são agudos d lados d mdida d comprimnto Sja a amplitud do ângulo intrno d vértic m considr a projção ortogonal do ponto sobr sja 11 Justifiqu qu o ponto fica stritamnt situado ntr os pontos mostr aplicando o Torma d Pitágoras aos triângulos 12 Dduza da alína antrior qu 16 qu 1 Considr um triângulo m qu o ângulo intrno m é obtuso Sja o ângulo intrno associado ao vértic a projcção ortogonal do ponto na rta o ângulo xtrno suplmntar d 11 Justifiqu qu o ponto fica stritamnt situado ntr os pontos utilizando o torma d Pitágoras rlativamnt aos triângulos rtângulos justifiqu qu 12 Conclua da sgunda igualdad da alína antrior qu 13 *Plo torma d Carnot sab-s qu num triângulo com as notaçõs habituais s os ângulos intrnos d vértic m form agudos Dduza da alína antrior qu para st rsultado s podr stndr a ângulos intrnos obtusos s dv dfinir para um ângulo obtuso ond é um ângulo agudo suplmntar d 2**Considr um triângulo m qu o ângulo intrno m é obtuso Sja o ângulo intrno d vértic m um ângulo xtrno suplmntar d 21 Utilizando uma construção análoga à utilizada na dmonstração do Torma d Carnot para ângulos intrnos agudos mostr qu 22 Proponha um valor para o cossno do ângulo obtuso d tal modo qu o Torma d Carnot s stnda a ângulos intrnos obtusos Cadrno d Apoio TRI11 Página 3

5 Tndo m conta unicamnt os dados da figura m qu a mdida do comprimnto dos lados stá xprssa numa dada unidad rsolva cada um dos sguints triângulos aprsntando quando ncssário valors aproximados à décima d grau para a amplitud dos ângulos aproximados à décima da unidad para os comprimntos dos lados Informação Complmntar para o profssor No 6º ano cf Mtas Curriculars d Matmática para o Ensino Básico GM6-914 a 920 Cadrno d Apoio do 2º ciclo 918 Txto Complmntar d Gomtria 6º ano 913 a 919 introduziu-s a noção d rotação num plano com dado cntro d um dado ângulo vrificando-s qu s o ângulo não for nulo nm raso nm giro xistm xatamnt duas imagns d um dado ponto por rotaçõs d cntro ângulo Como é óbvio utilizando ssas duas imagns é possívl construir uma infinidad d aplicaçõs do plano m si próprio qu a cada ponto associm uma dssas imagns arbitrariamnt scolhida Com o objtivo d fixado um cntro um ângulo não nulo nm raso nm giro privilgiar duas dssas aplicaçõs cada uma dlas traduzindo a idia intuitiva d rotação do plano d cntro ângulo com dtrminado sntido ou orintação distinguiram-s ntão ssas duas imagns intuitivamnt rcorrndo ao movimnto dos pontiros d um rlógio d modo a podrm associar-s imagns adquadamnt scolhidas dos difrnts pontos a uma msma rotação do plano com dtrminado sntido ou orintação por comparação com o rfrido movimnto Com a dfinição agora dada m 21 d ângulo orintado torna-s possívl fixado um ponto associar a cada ângulo orintado uma rotação do plano bm dtrminada Cadrno d Apoio TRI11 Página 4

6 d cntro utilizando 22 qu traduz xatamnt o rfrido procsso intuitivo introduzido no Ensino Básico É claro qu s o ângulo orintado for raso nada impd qu s atribua também significado a orintação ngativa orintação positiva como é fito m 22 mbora ângulos rasos com orintaçõs opostas dtrminm a msma rotação com dado cntro Do qu prcd conclui-s qu srá convnint rvr os tópicos acima rfridos do Ensino Básico ao abordar-s st objtivo gral do 11º ano Como foi obsrvado no rfrido Txto Complmntar d Gomtria os dois ângulos qu s utilizam para obtr as imagns distintas d um ponto por rotaçõs d um msmo cntro ângulo partilham um lado o qu tm origm no cntro d rotação passa plo ponto do qual s prtnd dtrminar as imagns são adjacnts Assim mbora a orintação d ângulos apnas s abord no Ensino Scundário do modo intuitivo xprsso no dscritor 22 ssa propridad pod srvir d bas a uma dfinição rigorosa d igualdad d orintação d dois ângulos nos quais s distingu um lado origm um lado xtrmidad ou sja d dois ângulos orintados d acordo com a dfinição do dscritor 21 Fica claro qu a dois ângulos orintados adjacnts qu partilhm o lado origm dv atribuir-s orintaçõs opostas consquntmnt s o lado origm d um coincidir com lado xtrmidad do outro dv considrar-s qu têm a msma orintação já qu também s prtnd qu tnham orintaçõs opostas dois ângulos orintados qu s dfinm scolhndo num msmo ângulo difrnts lados origm como é óbvio da idia intuitiva qu s prtnd formalizar Está implícito na conclusão qu acabámos d xtrair qu s prtnd agrupar os ângulos orintados m xatamnt duas classs disjuntas cada uma dlas corrspondnt a uma das duas possívis orintaçõs «opostas uma da outra» qu prtndmos atribuir a sss ângulos; por outras palavras prtndmos qu sja d quivalência a rlação stablcida ntr ângulos orintados através d «tm a msma orintação qu» qu para ssa rlação d quivalência xistam xatamnt duas classs Em particular s dois dados ângulos não tivrm a msma orintação qu um trciro prtndmos qu tnham ambos a msma orintação Estas propridads traduzm d forma rigorosa o qu fica xprsso fazndo aplo à intuição no dscritor 22 ond para dados ângulos orintados s stablc a altrnativa d trm a msma orintação ou orintaçõs opostas por comparação com o movimnto dos pontiros d rlógios Ess procdimnto intuitivo implica como facilmnt s comprnd qu a rlação assim stablcida ntr ângulos orintados dva d facto sr d quivalência com xatamnt duas classs pois por um lado o próprio procsso xprimntal dscrito torna obviamnt uma tal rlação rflxiva simétrica transitiva por outro lado é fácil fixar dois ângulos orintados qu por ss critério tnham orintaçõs opostas por xmplo um qualqur ângulo orintado o qu s obtém dst prmutando os lados origm xtrmidad qualqur ângulo orintado trá d star na class d quivalência d um dsts dois já qu tmos a prcção intuitiva d qu os movimntos dos pontiros d um rlógio s não pudrm dscrvr um ângulo comçando no lado origm trminado no lado xtrmidad ntão podrão crtamnt dscrvê-lo comçando no lado xtrmidad trminando no lado origm Dst modo ficamos já com critérios rigorosos para stablcr a idntidad d orintação no caso d ângulos orintados adjacnts ou d ângulos orintados qu apnas s distingum Cadrno d Apoio TRI11 Página 5

7 pla scolha do lado origm podmos dpois utilizar sts critérios a prtndida transitividad dsta rlação ntr ângulos orintados para guiar as dfiniçõs m outros casos Assim s dois ângulos orintados partilharm um lado mas não form adjacnts ou sja s um dls stivr contido no outro s o lado comum for o lado origm m ambos os casos não é difícil concluir qu s lhs dv atribuir a msma orintação já qu ambos trão orintaçõs opostas a um ângulo qu com ls partilh o lado origm mas sja adjacnt a ambos Naturalmnt agora é imdiato concluir qu s o lado comum for lado origm d um xtrmidad do outro ntão dvrão tr orintaçõs opostas qu s o lado comum for lado xtrmidad d ambos dvrão tr a msma orintação Considrmos agora o caso m qu os dois ângulos orintados comum mas não partilham um dos lados apnas têm o vértic Para stablcrmos s as rsptivas orintaçõs dvm sr dfinidas como coincidnts ou opostas podmos smpr utilizar um ângulo orintado auxiliar por xmplo o qu tnha lado origm coincidnt com o lado origm d o lado xtrmidad coincidnt com o lado origm d qu sja adjacnt a tndo portanto por construção orintação oposta à d podndo vrificar-s dpois s tm orintação coincidnt ou oposta à d já qu com l partilha um dos lados Pla transitividad prtndida o facto d um ângulo orintado tr smpr uma das duas possívis orintaçõs podmos assim concluir s dvm tr a msma orintação ou orintaçõs opostas Finalmnt para comparar as orintaçõs d ângulos com vértics não coincidnts podmos smpr utilizar um par d ângulos orintados ambos convxos ou ambos côncavos cujos lados origm xtrmidad sjam dois a dois dirtamnt parallos considrando qu tais ângulos têm a msma orintação Assim podmos smpr rduzir-nos ao caso d ângulos com vértic comum invocando a transitividad st novo princípio Como é óbvio para lgitimar sta dscrição da rlação assim stablcida ntr ângulos orintados sria ncssário provar xaminando xaustivamnt as difrnts situaçõs possívis qu sta construção é cornt conduz d facto a uma rlação d quivalência com xatamnt duas classs Cadrno d Apoio TRI11 Página 6

8 Não é difícil stablcr a ligação ntr sts critérios rigorosos a idia intuitiva d orintação qu invoca o concito d movimntos d rotação d smirrtas matrializados nos movimntos imaginados dos pontiros d rlógios; com fito por xmplo uma squência d ângulos orintados com a msma amplitud tais qu ângulos sguidos na squência são adjacnts partilham um lado qu é xtrmidad do primiro origm do sgundo traduz d crta manira um movimnto d rotação m dtrminado sntido ftuado num númro finito d passos discrtos S na formulação intuitiva da orintação d ângulos quisrmos prscindir da rfrência a rlógios podmos para comparar a orintação d dois ângulos orintados m altrnativa vrificar s é possívl dscrvr os ângulos fazndo rodar no msmo sntido os lados origm dos dois ângulos até qu coincidam com os lados xtrmidad ou sja s é possívl imaginar obsrvadors situados nos vértics dos ângulos no msmo smispaço dtrminado plo plano qu acompanham com o olhar os movimntos d smirrtas qu comçam por coincidir com os lados origm dscrvm os ângulos até qu coincidam com os corrspondnts lados xtrmidad vrificar s ss movimnto s raliza para ambos os ângulos da squrda para a dirita sntido dos pontiros do rlógio ou sntido rtrógrado ou m ambos os casos da dirita para a squrda sntido contrário ao dos pontiros do rlógio ou sntido dirto É curioso notar qu as dsignaçõs sntido dirto sntido rtrógrado s rlacionam com o modo como um obsrvador pod acompanhar o movimnto diurno aparnt do Sol d sntido invrso ao do movimnto d rotação da Trra; com fito a dsignação sntido dirto prtnd dscrvr o sntido do movimnto d rotação da Trra plo qu o movimnto diurno do Sol sguido por um obsrvador na Trra como tndo sntido invrso a ss movimnto d rotação xcutado pla Trra m torno do rsptivo ixo ou sja o movimnto obsrvado do Sol ao longo d um dia sria no sntido rtrógrado Como consquência o movimnto diurno da sombra d uma vara com a dirção do ixo da Trra projtada num plano horizontal m qu a vara stá implantada m qu s situ o obsrvador xcluindo o caso d pontos no Equador m qu a dirção do ixo da Trra é smpr paralla ao plano horizontal sria também ftuado no sntido rtrógrado tndo sido ss movimnto qu inspirou o movimnto dos pontiros dos rlógios mcânicos qu assim tntaram rproduzir os movimntos das sombras dos gnómons dos rlógios d Sol horizontais Há qu lvar m conta no ntanto qu o movimnto das rfridas sombras fica dtrminado plo movimnto no plano horizontal do ponto intrsção com ss plano da rta com a dirção do raios solars qu passa pla xtrmidad da vara gnómon a qual rta ftua um movimnto d rotação m torno d um ixo no spaço qu s pod considrar como coincidnt com a rta qu a vara dtrmina para fitos práticos coincidnt com o próprio ixo da Trra dadas as xíguas dimnsõs do planta rlativamnt à rsptiva distância ao Sol Assim o movimnto d rotação obsrvado dssas sombras cntrado no ponto d implantação do gnómon tm nss plano horizontal um sntido qu s for afrido plo movimnto dos pontiros d um rlógio ou plo procsso altrnativo acima dscrito dpnd da posição do obsrvador no spaço tridimnsional rlativamnt a ss plano; portanto m dtrminado dia do ano o movimnto da sombra d uma vara nas condiçõs acima dscritas m dtrminado ponto da Trra trá sntido invrso ao qu pod sr obsrvado no msmo dia num ponto situado nos antípodas já qu num caso o obsrvador stará forçosamnt no smispaço dtrminado plo plano horizontal plo polo Nort clst no outro no smispaço dtrminado plo plano horizontal plo polo Sul clst; not-s qu os planos Cadrno d Apoio TRI11 Página 7

9 horizontais podm confundir-s por srm prpndiculars a um msmo diâmtro da Trra porqu mais uma vz as dimnsõs da Trra são dsprzávis rlativamnt à distância da Trra ao Sol Um rlógio cujos pontiros rodam no msmo sntido qu a rfrida sombra obsrvada m dtrminado local s transportado para os antípodas no msmo dia ou mais gralmnt para um ponto situado no hmisfério oposto tria pontiros rodando m sntido contrário à sombra corrspondnt obsrvada nss novo local Os rlógios univrsalmnt adotados atualmnt basiam-s m modlos qu foram construídos d modo qu os rsptivos pontiros rodassm no msmo sntido qu as acima rfridas sombras imitando assim os antigos rlógios d Sol horizontais mas rsultando d obsrvaçõs ftuadas a latituds do hmisfério Nort qu são portanto os locais da Trra m qu ao longo d todo o ano a sombras acima dscritas rodam smpr no sntido dos pontiros do rlógio Em qualqur local do hmisfério Sul o sntido d rotação das rfridas sombras é smpr contrário ao dos pontiros do rlógio é assim com algum abuso d linguagm qu s idntifica nssas rgiõs o movimnto contrário ao dos pontiros do rlógio com o sntido dirto já qu sss movimntos aí obsrvados são vidntmnt ftuados m sntido contrário ao movimnto d rotação da Trra qu coincid com o sntido do movimnto d translação s o movimnto d rotação for projtado no plano da clítica Comntário Nst objtivo gral é fita uma introdução aos ângulos gnralizados Considrando por momntos para fixar as idias o grau como unidad da mdida da amplitud angular o ângulo giro trá ntão mdida os ângulos gométricos não giros studados no Ensino Básico têm amplituds com mdida no intrvalo Fixado um plano munido d um rfrncial dirto os ângulos orintados introduzidos no prsnt domínio do 11º ano admitm como mdidas d amplitud juntamnt com o ângulo nulo xatamnt todos os valors do intrvalo Constrom-s agora ângulos ditos «gnralizados» qu podm tr qualqur mdida d amplitud ral O qu podrá sr por xmplo um ângulo d amplitud? Obsrv-s qu Esta igualdad m qu aparc como a soma d uma mdida d amplitud admissívl d um ângulo orintado com duas vzs a mdida do ângulo giro lva a associar um ângulo d 785 graus a uma rotação d 65 graus d uma smirrta m torno do rsptivo vértic sguida d um movimnto d rotação d duas voltas compltas m torno dss msmo vértic igualmnt no sntido positivo obtndo-s assim uma idia d continuidad m todo o movimnto Fig:1 Tndo m conta qu qualqur númro s scrv d manira única na forma ond é a part intira d stas considraçõs Cadrno d Apoio TRI11 Página 8

10 intuitivas podm stndr-s a qualqur valor d podndo smpr associar-s dst modo a um dado númro positivo ou nulo uma mdida d amplitud não ngativa d ângulo orintado ou nulo bm dtrminada a um númro d voltas também bm dtrminado ftuadas no sntido positivo Ou sja fica associado xatamnt aos ângulos orintados com amplitud d mdida ao númro natural ou nulo D forma análoga s xist um único um único tais qu podndo dsta fita associar-s a um qualqur númro ngativo uma mdida d amplitud ngativa ou nula d ângulo orintado ou nulo bm dtrminada a um númro d voltas ftuadas no sntido ngativo Por xmplo a podrá associar-s um ângulo orintado d mdida d amplitud uma volta no sntido ngativo Fig: 2 No primiro dscritor aprsntam-s stas idias d um modo um pouco mais formalizado: um «ângulo gnralizado» fica dfinido como sndo um ângulo orintado ou nulo a qu s associa um crto númro d voltas rprsntado por um númro intiro cujo sinal coincid com o da amplitud d : o ângulo gnralizado fica idntificado com o par ordnado Por xmplo nas figuras 1 2 stão rprsntados rsptivamnt os ângulos gnralizados Uma rprsntação puramnt gométrica dsts ângulos é possívl rcorrndo à suprfíci dita d Rimann Trata-s d uma suprfíci folhada rprsntada na figura ao lado com folhas qu podm sr indxadas por tornando-s fácil associar o númro d voltas d um ângulo gnralizado à -ésima folha rprsntando-s nssa msma folha o ângulo orintado No dscritor stablc-s simplsmnt qu a mdida d amplitud do ângulo gnralizado é igual ond é a mdida d amplitud do ângulo orintado ou nulo o qu corrspond vidntmnt à construção intuitiva ftuada nst comntário É ainda important rfrir qu sta dfinição dos ângulos gnralizados não impd d forma alguma qu s possa dscrvr do modo habitual um conjunto d mdidas d ângulos gnralizados Por xmplo é totalmnt corrto scrvrm-s as quivalências D facto a xprssão «sndo crto qu:» significa nst contxto qu: } { } { } { } Cadrno d Apoio TRI11 Página 9

11 Ao scrvr-s uma família d mdidas d amplitud na forma não tm d sr a mdida d um ângulo orintado ou nulo msmo qu o sja apnas pod sr intrprtado como o númro d voltas associado a um ângulo gnralizado s tivr o sinal da amplitud d ou s for nulo Informação Complmntar para o profssor D acordo com a intrprtação intuitiva dos ângulos gnralizados é natural idntificar uma rotação d cntro ângulo gnralizado no caso d sr um ângulo nulo como a aplicação idntidad no plano nos rstants casos como a aplicação do plano sobr si próprio qu a cada ponto distinto d associa a imagm dss ponto pla rotação d cntro ângulo orintado naturalmnt qu ao ponto associa o próprio ponto como é rfrido no dscritor 45 No dscritor 46 idntificam-s os ângulos orintados qu fixado o cntro dtrminam uma msma rotação A intrprtação intuitiva do ângulo gnralizado como o rsultado da rotação d uma smirrta m torno da rsptiva origm com dtrminada amplitud não dv induzir o rro qu consistiria m supor qu dois ângulos gnralizados com difrnts mdidas d amplitud não podm dtrminar a msma rotação Com fito para comçar é imdiato pla dfinição qu todos os ângulos gnralizados d mdidas d amplitud iguais a um múltiplo intiro da amplitud d um ângulo giro dtrminam a aplicação idntidad no plano; mais gralmnt s for um ângulo orintado qualqur todos os ângulos gnralizados dtrminam por dfinição a msma rotação d um dado cntro Finalmnt é também possívl fixado o cntro qu dois ângulos orintados distintos dtrminm a msma rotação; com fito s tivrm sntidos contrários os valors absolutos das rsptivas amplituds tivrm soma igual à mdida d um ângulo giro as imagns d um dado ponto por rotaçõs d cntro d cada um dsts dois ângulos são obtidas através d ângulos adjacnts já qu os ângulos orintados qu as dtrminam têm sntidos opostos cuja soma é igual a um ângulo giro plo qu partilham os lados origm xtrmidad o qu tm como consquência imdiata qu as imagns do ponto através da cada uma das rotaçõs prtncm à msma smirrta d origm como também têm d star à msma distância d ncssariamnt coincidm É imdiato agora concluir qu rotaçõs com um dado cntro d ângulos gnralizados apnas podm coincidir s tivrm a msma amplitud ou stivrm na situação altrnativa qu acabámos d xaminar Assim sndo as mdidas d amplitud rsptivamnt d s supusrmos qu da anális gométrica acima fita utilizando a dfinição d rotação é fácil concluir qu s as imagns d uma dado ponto plas rotaçõs d cntro ângulos coincidirm ntão os valors absolutos das rspctivas mdidas d amplitud têm d somar a mdida d um ângulo giro têm d tr sinal contrário 56 Comntário Atndndo ao dscritor 44 s dois ângulos gnralizados tivrm a msma amplitud ntão são ângulos orintados com a msma amplitud ou são ambos nulos Uma vz qu as razõs trigonométricas dos ângulos são dadas rsptivamnt plas razõs trigonométricas d d a justificação pdida rsum-s a argumntar qu ângulos orintados com a msma amplitud partilhando o lado origm coincidm cf 53 Cadrno d Apoio TRI11 Página 10

12 61 Informação Complmntar para o profssor A dfinição d comprimnto d um arco d circunfrência não foi até agora dada com rigor No Ensino Básico GM6-51 introduziu-s a noção d qu o prímtro d um círculo pod sr aproximado plos prímtros d polígonos rgulars inscritos circunscritos ficando implícita a idia d qu ssa aproximação pod sr tão prcisa quanto s dsjar aumntando indfinidamnt o númro d lados dos polígonos considrados D facto a dfinição rigorosa d comprimnto d um arco d circunfrência pod basar-s nsts concitos partindo-s da noção d «linha poligonal inscrita no arco»; s um arco d circunfrência for dtrminado por um ângulo ao cntro d uma dada circunfrência qualqur conjunto finito d pontos dss arco as rsptivas xtrmidads dtrminam uma tal poligonal bastando ordnar os pontos partindo d uma das xtrmidads através da amplitud dos ângulos ao cntro com um dos lados fixo dtrminado por ssa xtrmidad do arco os sgundos lados dtrminados plos pontos qu s fixaram no arco Obtmos assim uma squência d pontos ond são as xtrmidads do arco é crscnt a squência das amplituds dos ângulos sndo o cntro da circunfrência; a rfrida linha poligonal é a squência dos sgmntos d rta com Fixada uma unidad d comprimnto a soma das mdidas dos comprimntos dsts sgmntos mdida do «comprimnto da linha poligonal» pod sr tomada como aproximação da mdida do comprimnto do arco d circunfrência; mais prcisamnt ssa mdida pod sr dfinida rigorosamnt como o suprmo mnor dos majorants das mdidas das poligonais inscritas no arco Da dsigualdad triangular rsulta facilmnt qu s s acrscntarm pontos m númro finito a um dado conjunto finito d pontos do arco a poligonal inscrita qu corrspond ao maior númro d pontos tm mdida d comprimnto suprior à mdida d comprimnto da poligonal inicial plo qu s obtêm progrssivamnt mlhors aproximaçõs do suprmo rfinando os conjuntos d pontos fixados no arco S m duas circunfrências ou numa msma circunfrência fixarmos arcos corrspondnts a dois ângulos ao cntro iguais podmos stablcr uma corrspondência biunívoca ntr as poligonais inscritas num noutro arco através das amplituds dos ângulos ao cntro d mdidas d amplitud progrssivamnt maiors qu dtrminam os vértics sucssivos das duas poligonais qu assim s põm m corrspondência Invocando a smlhança dos triângulos qu os lados corrspondnts das duas poligonais formam com os raios das circunfrências qu passam plos rsptivos vértics critério LAL facilmnt s conclui qu as mdidas dos comprimntos das poligonais inscritas corrspondnts são proporcionais aos raios das circunfrências Sndo assim os suprmos dsss valors qu são as mdidas dos comprimntos dos arcos também são proporcionais aos raios ou sja ângulos ao cntro iguais dtrminam arcos com mdidas d comprimnto proporcionais aos raios das circunfrências A rcíproca é fácil d stablcr pois s o quocint das mdidas d comprimnto d dois arcos d circunfrência for igual ao quocint dos raios das rsptivas circunfrências é fácil concluir qu o ângulo ao cntro qu dtrmina um dos arcos não pod tr maior nm mnor amplitud do qu o ângulo ao cntro qu dtrmina o outro xaminando ssas duas hipótss aumntando ou diminuindo a amplitud do ângulo qu dtrmina um dos arcos d modo a ficar igual ao outro aplicando o rsultado antrior ao novo arco assim obtido; st tria d ficar com o msmo comprimnto qu o inicial mbora corrspondss a uma sua xtnsão ou contração o qu contradiz as propridads do comprimnto d um arco análogas à do comprimnto d um sgmnto nomadamnt a aditividad qu implica a monotonia ou sja um arco stritamnt contido noutro tm comprimnto stritamnt infrior Cadrno d Apoio TRI11 Página 11

13 Ficando stablcido qu dois ângulos ao cntro m duas ou numa msma circunfrência são iguais s somnt s as mdidas dos comprimntos dos arcos qu dtrminam nas rsptivas circunfrências form proporcionais aos raios m particular s os comprimntos d dois arcos d circunfrência form iguais aos raios das rsptivas circunfrências os ângulos ao cntro qu os dtrminam srão iguais plo qu ambos dtrminam através da rsptiva amplitud a msma unidad d mdida d amplitud d ângulos a qual s dsigna por «radiano» O rconhcimnto dsta propridad pod sr fito d modo mais ou mnos intuitivo aprsntando a construção acima sboçada do comprimnto d arco com aplo apnas à intuição gométrica ou procurando um maior suport m propridads já conhcidas nomadamnt a smlhança d triângulos qu prmit comparar os comprimntos d poligonais inscritas corrspondnts a arcos com a msma amplitud 62 1 Considr uma circunfrência d raio um arco d mdida d comprimnto igual a 11 Indiqu a mdida d amplitud do arco m radianos 12 Justifiqu qu a amplitud do ângulo giro é igual a radianos 13 S um arco é tal qu o su comprimnto é igual a cm qual a amplitud do arco? 14 Sab-s qu qu prtnc à circunfrência 141 Exprima m radianos a amplitud do ângulo 142 Dtrmin a ára do stor circular dfinido plo ângulo 2 Nas sguints figuras stão rprsntados quadrilátros assinalados alguns dos sus ângulos intrnos Exprima a amplitud m radianos d todos os ângulos assinalados 21 Trapézio rtângulo 22 Parallogramo 23 Losango 3 Convrta m graus minutos sgundos arrndondados às unidads as sguints mdidas d amplitud xprssas m radianos: Considr as funçõs trigonométricas dfinidas por: 11 Justifiqu utilizando argumntos gométricos qu são bijtivas 12 Dtrmin o domínio o contradomínio das funçõs invrsas dsignando-as por «arcsin» ou «arcsn» «arccos» «arctan» sboc o rsptivo gráfico 13 Dtrmin 14 *Dtrmin o valor da xprssão Cadrno d Apoio TRI11 Página 12

14 91 1 Nas sguints figuras stão rprsntados polígonos rgulars d lado numa dada unidad Dtrmin m cada um dls a mdida assinalada 11 12* 13** 2 ** Na figura stá rprsntado um triângulo isóscls obtusângulo o ponto projção ortogonal d sobr a rta Tm-s ainda qu Sndo sabndo qu prov qu prímtro do triângulo dtrmin o 3 Nas sguints figuras stão rprsntados um triângulo quilátro d lado um triângulo isóscls d bas Em cada um dls foi inscrito um círculo rsptivamnt d cntro Tm-s ainda 31 Dtrmin a mdida d raio do círculo inscrito m 32 *Dtrmin um valor aproximado às cntésimas da mdida d raio do círculo inscrito m 92 1 Tndo m conta as condiçõs da figura m qu prtnc ao lado numa dada unidad rsolva o triângulo 2 *Na figura sguint o triângulo é rtângulo m prtnc ao lado Sab-s ainda qu Dtrmin as mdidas d com aproximação às décimas Cadrno d Apoio TRI11 Página 13

15 3 **Suponha qu num local da Trra situado no quador à longitud d um obsrvador avista um clips da Lua stando sta no zénit ou sja na vrtical do próprio ponto O msmo clips é obsrvado também no quador mas a partir d um ponto à longitud d sndo a Lua avistada no horizont Sabndo qu o raio da Trra md crca d dtrmin aproximadamnt a distância da Trra à Lua distância ntr os rsptivos cntros intrprtando adquadamnt a figura junta m qu as distâncias os ângulos não são rprsntados ralisticamnt à scala para maior clarza do dsnho utiliz uma calculadora cintífica para ftuar os cálculos aproximados qu form ncssários 93 1 Dtrmin caso xistam os valors d ] ] tais qu: ; Rsolva m cada uma das sguints quaçõs 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26 ; 27 ; 28 * ; 29 ; Cadrno d Apoio TRI11 Página 14

16 210 ; 211 ; 212 ; 213 ; 214 ; 215 ; 216 ; 217 ; 218 ; 219 ; 220 * ; 221 * 3 Dtrmin o valor d com aproximação à cntésima d radiano qu vrifica cada uma das sguints condiçõs: 31 [ ]; 32 [ ]; 33 [ ] 4 Considr [ ] tal qu Dtrmin o valor d 5 *Na figura stão rprsntados dois triângulos isóscls O ponto é a projção ortogonal d sobr a rta Tm-s ainda qu é a bisstriz do ângulo Dtrmin sabndo qu 6 Sab-s qu é um ângulo agudo qu Dtrmin 7 Prov as sguints igualdads para tal qu Prov qu as funçõs dfinidas por coincidm no domínio Cadrno d Apoio TRI11 Página 15

17 2 No sguint rfrncial stão rprsntados os gráficos das funçõs dfinidas por no intrvalo P Q 21 *Dtrmin as coordnadas dos pontos d intrsção dos dois gráficos 22 Calcul os zros da função 23 *Os pontos prtncnts rsptivamnt aos gráficos d d têm a msma abcissa distam d uma unidad Dtrmin todos os pars d pontos dsts gráficos qu gozam da msma propridad 24 Rsolva a inquação rprsntando o conjunto-solução na forma d intrvalo ou união d intrvalos 3 Considr as funçõs dfinidas rsptivamnt por 31 Prov qu é uma função priódica d príodo 32 Prov qu é uma função priódica d príodo 33 Tndo m conta qu é um dos zros da função dtrmin o valor d a 34 *Prov qu é uma função priódica indiqu o príodo positivo mínimo 4 Na figura stá rprsntado um rfrncial ortonormado uma circunfrência d cntro d raio qu intrsta o ixo nos pontos d ordnada positiva o smiixo positivo no ponto O ponto prtnc ao arco rprsnta a mdida da amplitud do ângulo m radianos 41 *Prov qu a mdida da distância é dada para cada valor d por 42 Dtrmin um valor xato um valor arrdondado às cntésimas d quando 43 Dtrmin para qu valor d s tm para ss valor obtnha uma xprssão m função d para a ára do triângulo 44 Sabndo qu qu dtrmin o valor d o comprimnto do arco mnor 45 *Sja o ponto d intrsção da rta com o ixo 451 Prov qu a ára do triângulo é dada por 452 Rsolva a quação intrprt gomtricamnt o rsultado obtido Cadrno d Apoio TRI11 Página 16

18 453 Considr dtrmin utilizando uma calculadora gráfica os valors d para os quais a ára do triângulo é igual a sabndo qu não há mais do qu dois para rsultados com aproximação às décimas Aprsnt os Cadrno d Apoio TRI11 Página 17

19 Gomtria Analítica GA11 Dscritor Txto d Apoio Comntário 28 Esta propridad pod sr dmonstrada d forma gométrica: Sjam dois vtors qu formam um ângulo agudo Fixmos um ponto sja ; por dfinição d uma vz qu os vtors têm o msmo sntido ou sja stá na smirrta m particular coincid com a sua própria Sja agora a projção na rta projção ortogonal d na rta ; como o ângulo é agudo também stá na smirrta caso contrário o ponto staria situado ntr o ponto o ponto plo qu o ângulo não sria coincidnt com o ângulo mas ants suplmntar o qu é impossívl já qu nss caso sria obtuso não podria sr ângulo intrno do triângulo rtângulo ; portanto também têm o msmo sntido Então tm-s por dfinição do produto scalar qu: Por uma construção análoga sta igualdad stnd-s facilmnt aos casos m qu para qualqur também aos casos m qu é rto ou obtuso 29 Comntário Comcmos por studar o caso d vtors colinars não nulos Tomando por origm podmos na rta numérica Sjam pontos tais qu scolhr uma unidad um sntido tal qu tnha abcissa Sjam finalmnt d abcissas rsptivamnt ; por dfinição d soma d vtors ou sja É imdiato vrificar por dfinição d produto intrno qu plo qu a idntidad igualdad Sjam agora rsulta simplsmnt da vtors do plano não nulos Fixado um ponto do plano sjam Sjam ainda as projçõs ortogonais rsptivamnt dos pontos na rta Por dfinição d soma d vtors d produto scalar é imdiato vrificar qu Cadrno d Apoio GA11 Página 18

20 Tm-s ainda podndo-s vrificar sta última igualdad considrando o rprsntant d com origm m O quadrilátro é um parallogramo plo qu a rta é prpndicular a é paralla a é a projção ortogonal d m : Finalmnt a igualdad é quivalnt a qu é vrdadira por todos os vtors nvolvidos srm colinars No caso d vtors não nulos do spaço é também possívl rduzirmos o problma a vtors complanars Fixado um ponto do spaço sjam Considrando a projção d no plano uma vz qu a projção ortogonal d na rta coincid com a projção d nssa msma rta vr a st propósito o dscritor GA10-96 o rsptivo txto d apoio Também podmos concluir qu ; com fito sndo por ou sja dfinição d produto intrno ond é a projção ortogonal do ponto no plano por um argumnto idêntico ao qu acabámos d utilizar a propósito do produto intrno ou sja qu Basta-nos ntão justificar qu é um parallogramo Ora por construção é um parallogramo os planos são parallos já qu é paralla a é paralla a são prpndiculars ao msmo plano ; portanto as rtas também são parallas já qu rsultam d intrstar planos parallos plo plano Quanto a são também parallas ntr si por srm ambas parallas a já qu é um parallogramo é um rtângulo Esta última afirmação rsulta da igualdad dos triângulos rtângulos são iguais plo critério ALA pois têm iguais as hipotnusas os ângulos intrnos agudos qu têm lados dois a dois parallos; com fito dssa igualdad d triângulos dduzimos qu os pontos stão no msmo smiplano d frontira pois caso contrário o sgmnto intrstaria a rta portanto o plano o qu não é possívl já qu a rta é paralla a ss plano por sr paralla a Do parallismo dos pars d rtas por um lado por outro rsulta qu é d facto um parallogramo é quivalnt a Assim igualdad sta plo qu rsulta do qu qu apnas nvolv vtors do plano sndo já s provou antriormnt para vtors do plano Cadrno d Apoio GA11 Página 19

21 210 Comntário Tndo-s já vrificado as propridads do produto intrno nunciadas m sta propridad tal como a nunciada no dscritor 213 é d dmonstração imdiata Tomando os vtors da bas vtors comçando por vrificar por aplicação dirta da dfinição d produto intrno qu ntão aplicando as rfridas propridads algébricas do produto intrno a dfinição d coordnadas d um vtor: Fixado um rfrncial ortonormado no spaço considr um ponto não nulo 11 Justifiqu qu xist um único plano prpndicular a qu pass no ponto 12 Sndo um ponto gnérico do spaço justifiqu qu é prpndicular a quando apnas quando 13 Justifiqu qu um vtor Comntário As justificaçõs pdidas nas alínas são consquências imdiatas do dscritor GM967 das Mtas Curriculars do Ensino Básico Uma dmonstração rigorosa dsts factos pod sr ncontrada no rsptivo Cadrno d Apoio nomadamnt no Txto Complmntar d Gomtria 9º ano 67 As justificaçõs pdidas nos dscritors rsultam simplsmnt do rsultado xprsso no dscritor 34 Com fito por um lado dado um plano qualqur um ponto d um ponto distinto d da rta normal a passando por s for o sistma d coordnadas do vtor por 34 uma quação cartsiana d srá: qu é obviamnt quivalnt à quação: qu por sua vz é vidntmnt uma quação da forma com já qu o vtor por construção não pod sr nulo Rciprocamnt dados qu a quação supondo qu por xmplo é quivalnt à quação: Cadrno d Apoio GA11 é imdiato concluir Página 20

22 plo qu o conjunto dos pontos do spaço qu satisfazm a sta quação atndndo mais qu passa plo ponto d uma vz a 34 é o plano d vtor normal com coordnadas coordnadas Mutatis mutandis podmos concluir smpr qu qu é quação d um plano o qu complta a justificação rqurida m é normal a ss plano tal como s afirma no 35 qu o vtor d coordnadas dscritor 36 Ao solicitar-s qu o aluno justifiqu os rsultados nunciados nos dscritors prtnd-s apnas qu o faça basado já no conhcimnto do rsultado xprsso no dscritor 34 O rconhcimnto dst último nvolv rvisõs da Gomtria Euclidiana no spaço studada no Ensino Básico mas uma vz stablcido como rsultado d Gomtria Analítica pod dpois vidntmnt sr utilizado para justificar consquências simpls como as xprssas m Considr vtors tais qu produtos scalars: Calcul os sguints 2 Considr dois vtors não nulos 21 Prov qu = quando apnas quando os vtors + são prpndiculars 22 Considr um quadrilátro m qu S = d qu tipo d quadrilátro s trata? 3 Considr vtors não nulos 31 Prov qu 32 Caso sjam prpndiculars a qu torma s rduz a propridad rfrida m 31? Dtrmin o ângulo 33 Considr vtors tais qu = formado plos vtors 4 Considr num plano munido d um rfrncial ortonormado os pontos Idntifiqu o lugar gométrico dos pontos do plano tais qu 5 *Na figura stá rprsntado um quadrado Os pontos são os pontos médios rsptivamnt dos lados Prov qu são vtors prpndiculars 6 Considr num plano munido d um rfrncial ortonormado os pontos o vtor 61 Dtrmin 62 Dtrmin um valor aproximado à décima d grau da amplitud do ângulo formado plos vtors Cadrno d Apoio GA11 Página 21

23 7 * Num plano munido d um rfrncial ortonormado tm-s qu é o cntro d um quadrado é um dos sus vértics Dtrmin as coordnadas dos outros três vértics 8 Fixado um rfrncial ortonormado no spaço considr os vtors 81 Indiqu as coordnadas d três vtors prpndiculars ao vtor qu não sjam colinars 82 Dtrmin as coordnadas d um vtor não nulo qu sja prpndicular aos vtors 9 Considr fixado um rfrncial ortonormado no spaço os pontos Idntifiqu o lugar gométrico dos pontos do spaço tais qu: ond é o ponto médio d Num plano munido d um rfrncial ortonormado considr a rta d quação 11 Dtrmin a quação rduzida da rta prpndicular a qu passa no ponto 12 Considr a rta d quação vtorial Dtrmin um valor aproximado à décima d radiano da amplitud do ângulo formado plas rtas 2 Num plano munido d um rfrncial ortonormado considr os pontos 21 Dtrmin uma quação da mdiatriz d 22 Considr a circunfrência d cntro qu passa por Dtrmin a quação rduzida da rta tangnt a ssa circunfrência no ponto 3 Na figura stão rprsntadas duas rtas num plano munido d um rfrncial ortonormado A rta tm inclinação d intrsta no ponto é prpndicular à rta num ponto Sab-s ainda qu a rta intrsta o ixo no ponto 31 Dtrmin a quação rduzida da rta 32 Sabndo qu tm abcissa dtrmin a abcissa do ponto 4*Na figura stão rprsntadas num plano munido d um rfrncial ortonormado duas rtas tangnts a uma circunfrência d cntro nos pontos Sabndo qu as rtas têm por quação dtrmin as coordnadas do ponto Cadrno d Apoio GA11 Página 22

24 43 1 Dtrmin uma quação cartsiana do plano qu passa na origm do rfrncial é prpndicular à rta d quaçõs 2 Fixado um rfrncial ortonormado no spaço considr os pontos 21 Dtrmin uma quação cartsiana do plano mdiador d 22 Prov qu os pontos não são colinars dtrmin uma quação do plano por ls dfinido 3 Fixado um rfrncial ortonormado no spaço considr a suprfíci sférica d quação 31 *A intrsção do plano com a suprfíci sférica é uma circunfrência d raio Indiqu três possívis quaçõs para ss plano 32 **Dtrmin uma quação cartsiana d um plano tangnt à suprfíci sférica parallo ao plano 44 1 Fixado um rfrncial ortonormado no spaço considr os pontos 11 Escrva quaçõs paramétricas da rta 12 Escrva uma quação vtorial da rta paralla ao ixo qu passa por 2 Fixado um rfrncial ortonormado no spaço considr a rta d quação vtorial 21 Avrigu s os pontos prtncm à rta 22 Dtrmin o ponto d intrsção da rta com o plano 23 Indiqu uma quação vtorial da rta paralla a qu passa pla origm do rfrncial 24 Indiqu uma quação vtorial da rta prpndicular a qu passa plo ponto 3 Fixado um rfrncial ortonormado no spaço considr uma pirâmid quadrangular rgular d vértic bas Sab-s qu qu a rta é paralla ao ixo 31 Dtrmin as coordnadas dos pontos 32 Escrva quaçõs paramétricas da rta 33 *Dsignando o cntro da bas da pirâmid por dtrmin uma quação vtorial da rta 34 *Dtrmin as coordnadas d sabndo qu a altura da pirâmid md Cadrno d Apoio GA11 Página 23

25 Sucssõs SUC11 Dscritor 33 Txto d Apoio 1 Prov por indução matmática qu as sguints propridads são vrdadiras: Dado a soma dos primiros trmos da sucssão dos númros ímpars é igual a 13 * ond 2 Sja a sucssão dfinida por para todo o 21 Mostr por indução qu 22 Dduza da alína antrior qu é dcrscnt 3 **Mostr qu é para todo o númro natural um múltiplo d 4 **Us o método d indução m é múltiplo d 42 para mostrar qu sndo 1 Considr a sucssão dfinida por Prov utilizando o princípio d indução qu númros naturais para todo o 2 Considr dados númros rais a sucssão dfinida por para todo o 21 Mostr qu 22 Dtrmin justificando uma xprssão para o trmo gral 44 1 Considr a sucssão dfinida por Prov utilizando o princípio d indução qu 2 Considr dados númros rais a sucssão dfinida por para todo o 21 Mostr qu 22 Dtrmin justificando uma xprssão para o trmo gral 52 1 Considr a soma dos primiros trmos da progrssão aritmética d primiro trmo d razão ou sja 11 Form pars com os trmos dsta soma d tal modo qu a soma dos lmntos d cada par sja igual a Quantos pars dst tipo s podm formar? Dduza o valor d 12 Utiliz o método sugrido na alína antrior para dtrminar a soma dos cm primiros númros naturais 2 *Dados númros rais considr a sucssão aritmética d primiro trmo d razão Para proponha tndo m conta o método proposto no xrcício antrior uma xprssão para o valor d Cadrno d Apoio SUC11 Página 24

26 3 *Dados númros rais considr a sucssão aritmética d primiro trmo d razão Prov por indução qu para todo o 53 1 Considr a soma Calcul comçando por utilizar a propridad distributiva o produto dduza o valor d 2 *Dados númros rais considr a sucssão gométrica d primiro trmo d razão Para proponha tndo m conta o método proposto no xrcício antrior uma xprssão para o valor d 3 *Dados númros rais considr a sucssão gométrica d primiro trmo d razão Prov por indução qu para todo o 62 1 Suponha qu uma dada sucssão é convrgnt admit dois limits distintos 11 Calcul m função d d um valor para tal qu as vizinhanças sjam disjuntas 12 Tndo m conta qu justifiqu qu xist no máximo um númro finito d índics tais qu 13 Tir uma conclusão análoga à da alína antrior para a vizinhança conclua qu uma sucssão não pod admitir mais do qu um limit 63 1 Considr uma sucssão convrgnt monótona d limit Mostr qu é limitada xibindo um majorant um minorant dssa sucssão 2 *Considr uma sucssão convrgnt d limit Justifiqu qu: 21 xist apnas um númro finito d trmos da sucssão qu não vrificam a condição 22 O conjunto d trmos qu não vrifica a condição é limitado 23 é limitada indicando como s pod idntificar um majorant um minorant dssa sucssão 68 1 **Considr sucssõs tais qu a primira é limitada a sgunda tm limit nulo 11 Justifiqu a xistência d tal qu para todo o númro natural 12 Dduza da alína antrior qu 13 Justifiqu dado a xistência d uma ordm tal qu para todo o númro natural conclua quanto à convrgência da sucssão d trmo gral Cadrno d Apoio SUC11 Página 25

27 69 1 Prov por dfinição d limit as sguints afirmaçõs: 11 ; 12 ; Comntário Ests dscritors dizm rspito a um conjunto d rsultados rlativos a opraçõs com limits qu os alunos dvm conhcr sabr aplicar convnintmnt Nas Mtas Curriculars foram slcionadas algumas dmonstraçõs qu os alunos dvm também sabr ftuar rlativas às propridads nunciadas nos dscritors qu rsumm algumas das técnicas bas qu prmitm dmonstrar todas as outras O studo xaustivo dstas rstants dmonstraçõs mbora nm smpr sja mais complxo fica ao critério do profssor 1 Considr sucssõs tais qu 11 Sja Justifiqu a xistência d rsptivamnt d tal qu rsptivamnt tal qu 12 Mostr qu a partir d uma crta ordm qu dvrá xplicitar s tm < 13 Conclua qu 2 **Considr sucssõs tais qu qu 21 Mostr qu xist tal qu 22 Comçando por obsrvar para mostr qu 23 Conclua da alína antrior qu 3 Considr sucssõs 4 Considr sucssõs 41 Sja tal qu para todo o númro natural tais qu justifiqu a xistência d 33 Mostr qu tais qu 31 Justifiqu a xistência d 32 Fixado tal qu para todo o númro natural Justifiqu a xistência d tal qu para todo o númro natural justifiqu a xistência d tal qu para todo o númro natural 42 Fixado 43 Mostr qu Cadrno d Apoio SUC11 Página 26

28 Considr as sucssõs d trmos grais rsptivamnt Justifiqu qu qu: d trmos grais rsptivamnt 13 1 Considr as sucssõs Justifiqu qu qu: Considr as sucssõs 11 Justifiqu qu d trmos grais rsptivamnt qu: 12 Considr as sucssõs d trmo gral 121 Mostr qu 122 Calcul Comntário A dsigualdad para pod sr dmonstrada rigorosamnt por indução como é pdido no txto d apoio ao dscritor 33 xmplo 31 D forma um pouco mais informal os alunos podrão obsrvar qu ao dsnvolvr o produto irá formar-s uma parcla igual a parclas iguais a rsultants d multiplicar o prsnt m cada um dos fators pla parcla igual a d cada um dos rstants fators; concluímos ntão qu o produto trá plo mnos uma parcla igual a parclas iguais a cuja soma é igual a Como os rstants trmos são positivos obtém-s assim a dsigualdad prtndida Com st rsultado é possívl vrificar as propridads nunciadas nos dscritors : Cadrno d Apoio SUC11 Página 27

29 1 Sab-s qu s 11 Justifiqu qu s conclua qu 12 Calcul para 2 Fixado para todo o xist um númro ral o limit dduza qu qu 3 Justifiqu qu a sucssão d trmo gral Mostr qu 2 Estud quanto à monotonia a sucssão d trmo gral s tm 1 Considr a sucssão d trmo gral por crscnt 4 *Sab-s acrca d uma sucssão com sugstão: considr O valor do limit mantém-s s? [Sugstão: comc por obsrvar qu para 71 tal qu ] é uma sucssão não é monótona qu 41 O qu pod concluir acrca da monotonia da sucssão? 42 Indiqu o valor lógico da afirmação: é um dos minorants da sucssão 5 Uma sucssão d trmos positivos é tal qu para todo o númro natural Justifiqu qu a sucssão é limitada 6 Considr a sucssão d trmo gral tal qu 7 Considr a sucssão d trmo gral 71 Dtrmin uma ordm tal qu 72 Dtrmin para uma ordm Mostr qu xist um númro ral positivo tal qu 73 **Justifiqu qu é o maior minorant da sucssão d trmo gral diz-s o «ínfimo» da sucssão 72 1 Dtrmin uma xprssão algébrica para o trmo gral d uma progrssão aritmética d razão cujo primiro trmo é 2 Dtrmin uma xprssão do trmo gral da progrssão aritmética qu 3 Prov qu a sucssão d trmo gral rsptiva razão sabndo-s qu é uma progrssão aritmética indiqu a 4 *Prov qu a soma d duas progrssõs aritméticas é ainda uma progrssão aritmética d razão igual à soma das razõs das progrssõs iniciais 5 *Mostr qu as sucssõs dfinidas por um trmo gral da forma são progrssõs aritméticas d razão Cadrno d Apoio SUC11 Página 28

30 6 *Três trmos conscutivos d uma progrssão aritmética são dados para um dtrminado valor d rsptivamnt por 61 Dtrmin sss três trmos 62 Supondo qu o quinto trmo é igual a 4 dtrmin o trmo gral da sucssão 7 *A soma dos primiros trmos d uma progrssão aritmética d razão é igual a sndo o primiro trmo igual a Dtrmin 8 *Calcul a soma dos múltiplos d comprndidos ntr 9 Calcul a soma dos primiros trmos da progrssão 10 *Calcul a soma d todos os númros pars comprndidos ntr inclusiv 11 As três mdidas dos lados d um triângulo rtângulo stão m progrssão aritmética o prímtro do triângulo md Dtrmin a mdida dos lados do triângulo 12 **As mdidas d amplitud dos ângulos intrnos d um pntágono convxo stão m progrssão aritmética Dtrmin a mdida d amplitud do ângulo mdiano 13 Dtrmin uma xprssão algébrica para o trmo gral d uma progrssão gométrica d razão cujo primiro trmo é 14 Dtrmin uma xprssão do trmo gral da progrssão gométrica monótona sabndo-s qu 15 Prov qu a sucssão d trmo gral é uma progrssão gométrica indiqu a razão 16 **Sab-s qu é uma progrssão aritmética d razão Justifiqu qu a sucssão finida por é uma progrssão gométrica indiqu a razão 17 *Prov qu o produto d duas progrssõs gométricas é ainda uma progrssão gométrica d razão igual ao produto das rsptivas razõs 18 *Prov qu as sucssõs dfinidas por um trmo gral do tipo são progrssõs gométricas d razão 19 *Três trmos conscutivos d uma progrssão gométrica são dados para um dtrminado valor ral d rsptivamnt por Dtrmin o trmo gral dssa sucssão 20 *Calcul a soma das potências d comprndidas ntr inclusiv 21 Dtrmin uma xprssão da soma dos primiros trmos da sucssão dfinida por 22 Em a população d uma crta cidad ra d um milhão duzntos mil habitants dsd aí tm crscido à taxa anual d S s mantivr sta taxa d crscimnto qual srá a população m? Cadrno d Apoio SUC11 Página 29

31 23 Na figura sguint stá rprsntado um quadrado unidads Os quadrados qu s construíram a partir dst obtivram-s tal como a figura sugr dividindo cada lado m quatro parts iguais cuja mdida do lado md 231 Indiqu a mdida do lado d cada um dos quadrados dsnhados 232 Considr a sucssão das mdidas dos lados dos quadrados qu s podm formar utilizando st procsso rptidamnt a Prov qu sta sucssão é uma progrssão gométrica indiqu a rsptiva razão b *Prov qu para todo o númro natural 233 *Avrigu s xist um quadrado com lado 234 *Considr a sucssão das áras dsts quadrados Justifiqu qu s trata d uma progrssão gométrica indicando a razão scrvndo uma xprssão para o trmo gral 24 *Considr uma squência Mostr qu para todo númro natural d tal qu trmos m progrssão gométrica 73 1 Calcul o limit das sucssõs cujo trmo gral s indica idntificando as indtrminaçõs ncontradas * * ** 74 1 Considr a sucssão dfinida por { 11 Justifiqu qu s trata d uma progrssão gométrica indiqu a rsptiva razão 12 Para dtrmin uma xprssão algébrica para a soma dos primiros trmos dsta succssão 13 Dtrmin intrprt o valor obtido 2 Dtrmin o limit da sucssão d trmo gral : Cadrno d Apoio SUC11 Página 30

32 3 Na figura stão rprsntados dois sgmntos Com origm m dsnhou-s uma linha poligonal m qu os sgmntos são altrnadamnt prpndiculars a a Sab-s qu as mdidas rsptivamnt do primiro do sgundo dsss sgmntos são numa dada unidad 1 31 Justifiqu qu os triângulos são smlhants indiqu a rsptiva razão d smlhança 32 *Justifiqu qu a sucssão dos comprimntos dos sgmntos dsta linha poligonal é uma progrssão gométrica dtrmin o comprimnto da linha poligonal caso sta tnha sgmntos 33 *Dtrmin o limit quando tnd para da mdida d comprimnto da linha poligonal constituída por sgmntos d rta assim obtidos intrprt-o gomtricamnt 4 Considr a sucssão dfinida por rcorrência { 41 Prov qu: 411 stá bm dfinida mostrando m particular por indução matmática qu 412 é monótona dcrscnt 42 Justifiqu qu é convrgnt calcul 5 **Considr a sucssão d primiro trmo tal qu para todo o númro natural 51 Mostr qu xist um valor d para o qual a sucssão é constant 52 Considr qu Dtrmin tal qu a sucssão d trmo gral sja gométrica 53 Calcul uma xprssão algébrica para o trmo gral das sucssõs 54 Calcul para os rsptivos limits quando tnd para 6 Considr a sucssão dfinida por para todo 61 *Considr a sucssão d trmo gral Mostr qu para todo o 62** Calcul utiliz o rsultado da alína antrior para provar qu 63 Dtrmin uma xprssão algébrica para o trmo gral d 64 Calcul os limits das sucssõs Cadrno d Apoio SUC11 Página 31

33 Funçõs Rais d Variávl Ral FRVR11 Dscritor Txto d Apoio Comntário São ssncialmnt duas as opçõs qu classicamnt s considram para a dfinição d limit num ponto ral no qu diz rspito ao domínio m qu s tomam as sucssõs a tndr para para o fito d tstar a xistência do rfrido limit A opção privilgiada dsd há bastant tmpo no nsino scundário m Portugal tm sido a qu consist m considrar d ntr as squências no domínio da função apnas aqulas qu nunca tomam o valor Ou sja tm-s optado plo qu vulgarmnt s dsigna por limit por valors difrnts d No prsnt programa optou-s pla vrsão altrnativa qu consist m admitir com o msmo objtivo sucssõs podndo tomar o valor ; considra-s com fito qu sta opção aprsnta divrsas vantagns Em primiro lugar por sr mais simpls d formular prmitir também uma formulação mais simpls da noção d continuidad m sgundo porqu a própria noção d limit por valors difrnts como outras afins como a d limit à squrda à dirita passa a podr sr ncarada como limit da rstrição da função inicial a dtrminado conjunto É d notar também qu sta é a abordagm sguida m grand númro d cursos manuais univrsitários qu a dfinição até agora mais usual no nsino scundário obriga a cuidados suplmntars para qu s vitm rros no nunciado d dtrminadas propridads os quais por vzs s podm dttar msmo m boas obras d rfrência 29 Comntário A justificação da continuidad das funçõs trigonométricas mbora não sja rqurida podrá sr abordada invocando propridads gométricas como é sugrido no Cadrno d Apoio ao 12º ano a propósito da difrnciabilidad dstas msmas funçõs TRI Comntário Atndndo à dfinição d limit d função contínua st rsultado é uma consquência imdiata do dscritor Dtrmin os zros stud o sinal d cada uma das funçõs cuja xprssão analítica s indica: Três torniras podm sr utilizadas para nchr dtrminado rcipint Com uma dlas consgu-s nchr o rcipint m horas com uma sgunda m horas com a trcira m horas 21 *S a três torniras funcionarm simultanamnt prov qu a xprssão do númro d horas ncssárias para qu o rcipint fiqu chio é dado por 22 Dtrmin d modo qu o tmpo ncssário ao nchimnto do rcipint sja d Cadrno d Apoio FRVR11 Página 32

34 42 1 Calcul os sguints limits comçando por idntificar caso xista o tipo d indtrminação * * 114 * 2 Calcul os sguints limits comçando por idntificar caso xista o tipo d indtrminação Cadrno d Apoio FRVR11 Página 33

35 * Dtrmin o valor d { 2 Avrigú s a função ral d variávl ral dfinida por sja contínua m dfinida por { 3 Mostr qu a função d modo qu a função é contínua m dfinida por { é contínua m Comntário O método d cálculo d limits por vzs dsignado por «mudança d variávl» é na vrdad uma aplicação dirta do rsultado nunciado no dscritor 111 Est rsultado tm como caso particular a continuidad da composta d funçõs contínuas como foi obsrvado a propósito do dscritor Calcul rcorrndo a uma mudança d variávl 5 Justifiqu a continuidad da função 44 1 Dtrmin caso xistam as assíntotas ao gráfico das funçõs dfinidas por cada uma das xprssõs sguints: 11 Cadrno d Apoio FRVR Página 34

36 2 O gráfico junto rprsnta uma função do tipo racional Sab-s qu as rtas são assíntotas do gráfico qu st intrsta o ixo no ponto 21 Dtrmin os valors d 22 Dtrmina as coordnadas do ponto B 45 1 Dtrmin caso xistam as assíntotas ao gráfico das funçõs dfinidas por cada uma das xprssõs sguints: * 16 2 *Acrca d uma função * ral d variávl ral sab-s qu é contínua no su domínio qu ; ; Idntifiqu as assíntotas ao gráfico d 710 Comntário O rsultado xprsso no dscritor 710 podria dmonstrar-s utilizando o binómio d Nwton No ntanto para provar o rsultado xprsso nst dscritor bastará obsrvar um rsultado um pouco mnos prciso: dado ond é um polinómio Esta dcomposição pod sr justificada d forma intuitiva simpls utilizando a propridad distributiva pois uma das parclas da forma rduzida do polinómio é sm dúvida produto da todas as parclas iguais a dos fators para cada um dos factors havrá uma parcla obtida plo produto da parcla dss fator plas parclas iguais a nos rstants fators obtndo-s para soma dstas parclas iguais as rstants parclas da forma rduzida têm todas um fator qu pod assim sr posto m vidência Assim: Cadrno d Apoio FRVR11 Página 35

37 é óbvio qu a função d no último mmbro dsta cadia d igualdads tnd para plo qu por dfinição a função é difrnciávl m todos os pontos tm drivada O caso pod obtr-s aplicando a rgra d drivação da função composta à composição d com uma função potência d xpont natural 711 Comntário A dmonstração da fórmula para a drivação da função raiz d índic é muitas vzs aprsntada como consquência do torma d drivação d uma função invrsa No ntanto é possívl justificar a rfrida fórmula utilizando uma idntidad algébrica já invocada a propósito da racionalização d dnominadors cf Txto d apoio ao dscritor ALG qu nst nívl d scolaridad já podria sr dmonstrada por indução matmática: Tmos assim tomando : cujo limit quando 713 tnd para é obviamnt igual a 1 Dtrmin a xprssão da função drivada d cada uma das funçõs dfinidas plas sguints xprssõs: * 2 Considr as funçõs Dtrmin 21 dfinidas m tais qu 22 m função d d Cadrno d Apoio FRVR11 Página 36

38 3 *Considr as funçõs dfinidas m tais qu Dtrmin d duas formas distintas utilizando ou não a fórmula d difrnciação da função composta uma xprssão analítica da função drivada d: Informação Complmntar para o Profssor O Torma d Lagrang no caso m qu também conhcido por «Torma d Roll» pod facilmnt sr dmonstrado a partir do rsultado nunciado no dscritor 81 Com fito sja uma função difrnciávl num intrvalo contínua m tal qu S for constant ntão a rsptiva drivada anula-s m qualqur ponto d S não for constant atndndo a qu ou o máximo ou o mínimo absoluto d qu xist plo torma d Wirstrass vr dscritor FRVR12-22 é atingido num ponto d sndo portanto a drivada d nula nss ponto Para dmonstrar o Torma d Lagrang na sua gnralidad basta aplicar st rsultado à função qu s obtém d subtraindo-lh a função cujo gráfico é a rta qu passa plos pontos Embora stas dmonstraçõs não sjam rquridas aos alunos sts dvrão conhcr sts rsultados a rsptiva intrprtação gométrica: xist um ponto d tal qu a rta tangnt ao gráfico d nss ponto é paralla a O xmplo sguint ilustra sta situação: 1 Considr a função dfinida por 11 Dtrmin o dcliv da rta scant ao gráfico d nos pontos d abcissa rsptivamnt 12 Vrifiqu a xistência d plo mnos um ponto do gráfico d com abcissa comprndida ntr m qu a rta tangnt tm dcliv igual ao da rta dtrminando a abcissa d 91 1 Considr as funçõs dfinidas por 11 Dtrmin a quação rduzida da rta tangnt ao gráfico d no ponto d abcissa 12 A rta é tangnt ao gráfico d paralla à bisstriz dos quadrants ímpars Dtrmin uma quação d 13 *Dtrmin para qu valor d os gráficos d s intrstam num ponto do primiro quadrant m qu as rtas tangnts aos gráficos são prpndiculars 92 1 Um ponto mov-s numa rta d tal forma qu m cada instant m sgundos a distância m cm à origm é dada pla xprssão 11 No instant inicial qual a distância do ponto à origm? 12 Dtrmin a vlocidad média do ponto nos três primiros sgundos 13 Dtrmin a vlocidad no instant indiqu a distância à origm nss instant 14 Dtrmin a xprssão da vlocidad m cada instant indiqu m qu instant a vlocidad é nula Cadrno d Apoio FRVR11 Página 37

39 2 Um projétil foi lançado vrticalmnt a rsptiva altura mdida m mtros da altura do projétil acima do solo é dada m função d mdida m sgundos do tmpo dcorrido após o instant inicial por 21 Qual a altura do projétil no instant m qu foi lançado? 22 Dtrmin a vlocidad média nos dois primiros sgundos 23 Dtrmin a vlocidad no instant 24 Qual a altura máxima atingida plo projétil? 93 1 Dtrmin os intrvalos d monotonia d cada uma das sguints funçõs idntifiqu os xtrmos rlativos absolutos caso xistam 11 m 12 m 13 m m m m 2 D todos os rtângulos d prímtro máxima dtrmin as dimnsõs do qu tm ára 3 Prtnd-s construir um rcipint cilíndrico com a capacidad d litros gastando a mnor quantidad possívl d um dado matrial Considrando dsprzávl a spssura do matrial dtrmin qual dvrá sr a mdida do raio da bas do rcipint 4 *Considr os rtângulos qu s podm inscrvr numa circunfrência com diâmtro Dtrmin qual dsss rtângulos tm ára máxima Cadrno d Apoio FRVR11 Página 38