Caderno de Apoio 10.º ANO

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1 METAS CURRICULARES PARA O ENSINO SECUNDÁRIO MATEMÁTICA A Cadrno d Apoio 10º ANO António Bivar Carlos Grosso ilip Olivira Luísa Loura Maria Clmntina Timóto

2 INTRODUÇÃO Est Cadrno d Apoio constitui um complmnto ao documnto Mtas Curriculars d Matmática do Ensino Scundário Matmática A Na laboração das Mtas Curriculars utilizou-s um formato prciso sucinto não tndo sido incluídos xmplos ilustrativos dos dscritors Nst documnto aprsntam-s várias sugstõs d xrcícios d problmas comntários rlativos a algumas opçõs tomadas no documnto principal informaçõs complmntars para os profssors Procurou-s ralçar os dscritors qu s rlacionam com contúdos capacidads atualmnt mnos trabalhados no Ensino Scundário mbora s tnham incluído também outros d modo a dar uma corência global às abordagns propostas Estas scolhas não significam porém qu s considrm mnos rlvants os dscritors não contmplados Long d s tratar d uma lista d tarfas a cumprir as atividads propostas têm um carátr indicativo podndo os profssors optar por altrnativas qu conduzam igualmnt ao cumprimnto dos objtivos spcíficos stablcidos nas mtas Aos xmplos aprsntados stão associados três nívis d dsmpnho Os qu não s ncontram assinalados com astriscos corrspondm a um nívl d dsmpnho rgular idntificando-s com um ou dois astriscos os xmplos qu corrspondm a nívis d dsmpnho progrssivamnt mais avançados Para além das sugstõs d xrcícios problmas a propor aos alunos ntndu-s incluir também txtos d apoio para os profssors Dstinam-s a sclarcr qustõs d índol cintífica qu fundamntam os contúdos do Programa qu podrão ajudar à slção das mtodologias mais adquadas à lcionação Cadrno d Apoio 10º ano Introdução Página 1

3 10º ANO Nívis d Dsmpnho Lógica Toria dos Conjuntos LTC10 Dscritor Txto d Apoio Comntário Nos dscritors introduzm-s a quivalência a implicação como opraçõs binárias cada uma dlas transformando um par d proposiçõs numa nova proposição a xmplo do qu noutros dscritors (16 17) sucd com a conjunção a disjunção d modo análogo com a ngação (cf 14) nst caso aplicada apnas a uma proposição ( opração unária ) Todas ssas opraçõs são dfinidas d tal modo qu é smpr possívl dtrminar o valor lógico do rsultado conhcndo o valor lógico dos oprandos; m particular não considrando agora o caso mais trivial da ngação a caractrização d cada uma dlas prmit smpr construir uma tabla d dupla ntrada (caso particular d «tabla d vrdad») com duas linhas duas colunas na qual s pod lr o valor lógico do rsultado d aplicar a opração a um par d proposiçõs m qu o primiro lmnto tm o valor lógico indicado na linha o sgundo o valor lógico indicado na coluna Conjunção Disjunção Equivalência Implicação Utilizando propridads simpls das divrsas opraçõs (cf por xmplo os dscritors ) conclui-s qu qualqur dlas pod sr substituída sm qu s altr o valor lógico do rsultado por aplicação sucssiva d opraçõs d ngação d disjunção ou m altrnativa d ngação d conjunção ou ainda d ngação d implicação; ou sja no qu rspita aos valors lógicos dos rsultados podríamos rstringir as opraçõs apnas à ngação a uma das três opraçõs d conjunção disjunção ou implicação Por xmplo m função da ngação da conjunção dadas proposiçõs é quivalnt a é quivalnt a é quivalnt a ; ica assim patnt qu do ponto d vista stritamnt lógico não havria razão para distinguir as opraçõs d quivalência implicação das rstants no qu diz rspito ao uso dos rsptivos símbolos na linguagm matmática corrnt No ntanto comçando pla quivalência é d notar qu a caractrização dsta opração é particularmnt simpls rsumindo-s a stablcr qu o rsultado é uma proposição vrdadira ou falsa consoant as proposiçõs oprandas tnham ou não o msmo valor lógico; assim afirmar a vracidad d uma quivalência é outro modo d xprimir a idntidad dos valors lógicos das proposiçõs oprandas Como uma afirmação dst tipo ocorr frquntmnt m Matmática torna-s particularmnt útil abrviar a rsptiva scrita; por ss motivo convnciona-s qu a afirmação d qu dtrminada quivalência é vrdadira pod sr xprssa scrvndo muito simplsmnt ssa quivalência quando fiqu claro do modo como a fras stá rdigida qu Cadrno d Apoio LTC10 Página 2

4 não há outra intrprtação possívl Dsta forma é comum dadas proposiçõs scrvrs simplsmnt «para significar qu «a proposição é vrdadira» ou sja qu «têm o msmo valor lógico» xprim-s ss facto dizndo-s qu «é quivalnt a» ou «são quivalnts» O abuso d linguagm consist m substituir uma afirmação acrca d proposiçõs formais ntndidas como objtos matmáticos qu prtndm modlar asptos do nosso discurso (no quadro d uma toria matmática qu pod sr dsignada por Cálculo Proposicional ) ou sja uma afirmação m linguagm corrnt acrca d dtrminados objtos matmáticos (nst caso por xmplo «as proposiçõs têm o msmo valor lógico») por um dsss objtos (nst caso ) porqu ss objto-proposição é intrprtado intuitivamnt como uma afirmação do nosso discurso qu por isso msmo s considra vrdadira ao sr simplsmnt nunciada; por outras palavras: mistura-s linguagm matmática nst caso intrna ao Cálculo Proposicional com mta-linguagm Na rdação dos dscritors por xmplo utilizou-s sta convnção No caso da implicação a caractrização é uma vz mais muito simpls pois uma implicação só é falsa s o antcdnt for vrdadiro o consqunt falso Assim a vracidad d uma implicação significa qu a situação antrior não tm lugar ou sja qu não s tm simultanamnt o antcdnt vrdadiro o consqunt falso Na prática a implicação é muitas vzs utilizada m situaçõs m qu s dsconhcm à partida os valors lógicos do antcdnt do consqunt; nsss casos a informação d qu a implicação é vrdadira prmit prvr qu s stablcrmos a vracidad do antcdnt ficarmos automaticamnt com a crtza da vracidad do consqunt mas a vracidad da implicação m conjunto com a afirmação da falsidad do antcdnt só por si nada prmit dizr acrca do valor lógico do consqunt já qu uma implicação d antcdnt falso tanto é vrdadira s o consqunt for vrdadiro como s for falso Esta dscrição do papl da implicação rvla qu sta opração lógica traduz o qu m linguagm corrnt também s pod xprimir na forma «s ntão» nos rfridos casos m qu não s prssupõ o conhcimnto dos valors lógicos do antcdnt do consqunt Afirmaçõs dst tipo também têm um papl crucial m Matmática o qu vidncia a utilidad d s usar a própria implicação sm mais para intgrada m dtrminado discurso indicar a rsptiva vracidad Trata-s d novo d um abuso d linguagm no sntido já rfrido utilizado por xmplo no dscritor 18 O studo dstas opraçõs é uma oportunidad para rvr a abordagm iniciada no Ensino Básico da noção d condição ncssária condição suficint do uso do símbolo d implicação (cf Programa Mtas Curriculars - Ensino Básico Matmática GM9-15) u Comntário Os rsultados xprssos nst conjunto d dscritors podm sr dmonstrados rcorrndo a técnicas muito smlhants laborando por xmplo tablas d vrdad mbora também s possam utilizar argumntos qu nvolvam apnas dirtamnt as caractrizaçõs aprsntadas das opraçõs ou ainda m crtos casos rcorrndo a propridads já vrificadas prviamnt Não srá pois ncssário trabalhar xaustivamnt as provas associadas a cada um dsts dscritors dvndo-s no ntanto garantir qu os alunos conhcm sts rsultados bm como as técnicas bas qu lvam à rsptiva justificação As tablas d vrdad a utilizar m situaçõs nvolvndo mais do qu duas proposiçõs podrão consistir m quadros com uma coluna para cada proposição m sguida uma coluna para cada uma das opraçõs sucssivamnt a fctuar com as proposiçõs até s chgar à xprssão final qu prtndmos tstar ou até sr possívl por inspção concluir a quivalência m todos os Cadrno d Apoio LTC10 Página 3

5 casos d dtrminadas proposiçõs; tais tablas dvrão tr tantas linhas quantas as ncssárias para contmplar todas as possibilidads d squências d valors lógicos para as proposiçõs oprandas (portanto linhas sndo o númro d proposiçõs oprandas) Por xmplo para stablcr a propridad distributiva da conjunção rlativamnt à disjunção podmos utilizar a sguint tabla: V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V Para prnchr cada coluna rlativa a uma opração limitámo-nos a utilizar o conhcimnto da tabla d vrdad dssa opração os valors lógicos das proposiçõs oprandas constants nssa msma linha das colunas antriors qu lhs corrspondm A idntidad dos valors lógicos rprsntados m cada linha nas quinta oitava colunas rvla qu as proposiçõs têm smpr o msmo valor lógico ou sja são smpr quivalnts Não é assim ncssário compltar a tabla com uma coluna rlativa à proposição ( ) ( ); tal coluna sria vidntmnt intiramnt prnchida com o símbolo «V» ou sja a xprssão a qu s rfr é o qu s chama uma «tautologia» por sr vrdadira indpndntmnt dos valors lógicos das proposiçõs Em lugar d utilizarmos a tabla d vrdad para dmonstrarmos sta propridad podríamos argumntar d modo mais discursivo fazndo notar por xmplo qu a proposição tratando-s d uma conjunção é vrdadira s somnt s form ambas vrdadiras Basta-nos ntão vrificar qu o msmo s passa com a proposição ; ora por um lado sta proposição é obviamnt vrdadira s o form ambas pois nss caso ou é vrdadira portanto também o é ou caso contrário é vrdadira (já qu o é) ntão é vrdadira Assim plo mnos uma das proposiçõs ou tm d sr vrdadira ou sja é vrdadira Rciprocamnt s for vrdadira uma plo mnos das conjunçõs ou é vrdadira; assim m qualqur caso é vrdadira (é opranda d ambas as conjunçõs) uma das proposiçõs ou também tm d o sr (cada uma dlas é opranda numa das conjunçõs) Mas nss caso é vrdadira também a disjunção Assim como prtndíamos a proposição é vrdadira s somnt s o form ambas tal como a proposição ; trata-s assim d proposiçõs quivalnts Considr proposiçõs tais qu é falsa d cada uma das sguints proposiçõs: Cadrno d Apoio LTC10 é vrdadira Indiqu o valor lógico Página 4

6 2 Considr proposiçõs Simplifiqu as sguints xprssõs qu dfinm proposiçõs indiqu smpr qu possívl o rsptivo valor lógico ] 24 * [ ] 25 * [ 3 *Dtrmin o valor lógico das proposiçõs 31 é falsa 32 é vrdadira 4 *Sab-s qu d d d? 21 sabndo qu a proposição: é uma proposição vrdadira Qual o valor lógico Informação Complmntar para o profssor As condiçõs mais primitivas qu prmitm a construção dos conjuntos básicos qu intrvêm nas torias matmáticas nvolvm variávis rprsntadas por ltras qu intuitivamnt rprsntam objtos gnéricos da Matmática os quais não constitum à partida um conjunto Dsta forma nsss casos as variávis podm sr substituídas por quaisqur trmos (xprssõs rprsntando objtos matmáticos) sm qu s limit à partida ssa substituição a lmntos d um conjunto pré-fixado tal substituição conduz smpr a uma xprssão admissívl trat-s ou não d uma proposição vrdadira Por xmplo a condição ngação da condição prmit dfinir o chamado conjunto vazio (no sntido xprsso no dscritor 210) sndo já dados dois conjuntos a condição prmit dfinir o conjunto união d A possibilidad d construir um conjunto através d uma dada condição com uma variávl fica rgulada plos axiomas utilizados para a Toria dos Conjuntos sndo crto qu nm todas as condiçõs admissívis prmitm dfinir um conjunto no sntido acima rfrido (cf o Comntário aos dscritors ) À mdida qu s vão dfinindo conjuntos através d condiçõs progrssivamnt mais laboradas introduzindo as habituais abrviaturas da linguagm matmática é dpois usual utilizar condiçõs m cuja formulação fica xplícito ou implícito qu todos os objtos qu a transformam numa proposição vrdadira por substituição da variávl por um trmo rprsntando um dsss objtos prtncm a dtrminado conjunto já dfinido; uma tal condição pod assim considrar-s associada a dtrminado conjunto qu pod sr dsignado por univrso dssa condição qu s sab a priori contr todos os objtos qu satisfazm a rfrida condição Do msmo modo nas condiçõs utilizadas na linguagm comum habitualmnt considra-s implícita ou xplicitamnt qu a variávl rprsnta um objcto gnérico d dtrminado domínio d variação qu s supõ fixado Comntário Como notaçõs altrnativas para os quantificadors utilizam-s também por xmplo as sguints: Cadrno d Apoio LTC10 Página 5

7 Uma variant também por vzs utilizada dsta última notação consist m colocar o dirtamnt abaixo do símbolo d quantificador m vz d o colocar m índic Quando s utilizam as duas primiras notaçõs é também usual colocar ntr parêntsis a xprssão qu s prtnd quantificar como por xmplo m ou sja não s considra a prioridad das opraçõs lógicas rlativamnt aos quantificadors qu stá implícita na notação utilizada nos dscritors dst objtivo gral O facto d s introduzirm símbolos para os quantificadors não significa vidntmnt qu m txtos d Matmática s abus da utilização dsss símbolos ou dos símbolos das opraçõs lógicas Em muitos casos dvrá utilizar-s a linguagm comum para xprimir da manira mais clara possívl os contúdos matmáticos qu s prtnd transmitir Considr as condiçõs 11 Indiqu as qu são univrsais as qu são possívis as qu são impossívis 12 *Tndo m conta a alína antrior para cada uma das sguints condiçõs indiqu s é possívl impossívl ou univrsal: *Mostr qu a disjunção d qualqur condição com uma condição univrsal é uma condição univrsal qu a disjunção d qualqur condição com uma condição possívl é uma condição possívl qu a conjunção d qualqur condição com uma condição impossívl é uma condição impossívl 2 6 Comntário Nst dscritor indica-s sm à partida s xigir qualqur justificação como s rlacionam os quantificadors univrsal xistncial através da ngação No ntanto stas rlaçõs traduzm propridads intuitivas qu podm sr motivadas pla anális d xmplos concrtos d utilização dos quantificadors na linguagm corrnt (cf xmplos no txto d apoio ao dscritor 29) Qualqur dstas quivalências pod também informalmnt justificar-s intrprtando a proposição qu rsulta d aplicar o quantificador univrsal (rsptivamnt xistncial) a uma condição como o rsultado d s unir por conjunçõs (rsptivamnt disjunçõs) todas as proposiçõs ( um objto arbitrário) notando qu pla comutatividad associatividad da conjunção (rsptivamnt da disjunção) podmos intuitivamnt atribuir significado a stas opraçõs gnralizadas sobr proposiçõs Dst modo as rfridas quivalências podm sr intrprtadas como xtnsõs das primiras Lis d D Morgan a stas conjunçõs disjunçõs gnralizadas Embora tal não sja rqurido é fácil concluir qu uma das propridads pod sr dduzida da outra ou sja admitindo por xmplo qu dada uma condição ( ) ( ( ) podmos provar qu dada uma condição ) ( ) rciprocamnt admitindo sta propridad podmos provar a primira Para provar qu é vrdadira a sgunda quivalência dada uma condição basta aplicar a primira quivalência à condição m sguida o facto d uma quivalência ntr duas proposiçõs sr vrdadira quando apnas quando as proposiçõs têm o msmo valor lógico para além d s utilizar o princípio da dupla ngação Obtmos assim sucssivamnt: Cadrno d Apoio LTC10 Página 6

8 qu é quivalnt a ( ( ) ) portanto a ( ) ( ) também quivalnt obviamnt a ( ( ) como prtndíamos A rcíproca pod sr provada d modo idêntico ) Uma formalização plna do tratamnto dos quantificadors fica fora do âmbito dst studo introdutório da Lógica mas a acitação sm dmonstração d uma das quivalências xprssas nst dscritor corrspond a tomá-la como axioma Comntário O quantificador univrsal é frquntmnt utilizado m Matmática m conjunto com as opraçõs d implicação d quivalência por xmplo a propósito da rsolução d quaçõs inquaçõs Muitas vzs prtnd-s stablcr uma cadia d implicaçõs ou d quivalências ntr condiçõs provando-s qu cada uma dssas implicaçõs ou quivalências é uma condição univrsal m dtrminado conjunto partindo-s da condição qu xprim a quação ou inquação a rsolvr até s chgar a uma qu s considra como suficintmnt simpls para a partir dla s podrm tirar conclusõs acrca das soluçõs da inicial Por xmplo no conjunto cada uma das sguints quivalências é uma condição univrsal: prtndndo-s com sta aprsntação indicar a conjunção d todas as quivalências rprsntadas Pod utilizar-s a msma convnção com conjunçõs d implicaçõs ou msmo d quivalências implicaçõs Em primiro lugar há qu notar qu s s tratar d uma cadia d implicaçõs apnas podrmos concluir qu as soluçõs da quação ou inquação inicial são soluçõs também da última ou sja o conjunto-solução da primira stá contido no conjunto-solução da última (cf o dscritor 215) Est procsso apnas circunscrv o conjunto no qual dvrmos ainda procurar as soluçõs prtndidas tstando-s para o fito por algum procsso (uma a uma por xmplo s s tratar d um conjunto finito) quais são ftivamnt soluçõs da quação ou inquação inicial (é o caso d algumas quaçõs com radicais) S s tratar d uma cadia d quivalências já podrmos garantir qu os conjuntos-solução da primira última condiçõs são iguais (cf o dscritor 211) a última condição é ntão o qu muitas vzs s dsigna por solução da quação ou inquação inicial d acordo com o qu é rqurido para cada tipo d problma Por vzs comt-s o abuso d linguagm qu consist m omitir o quantificador univrsal quando s prtnd xprimir qu uma implicação ou quivalência ntr duas condiçõs é univrsal m dtrminado conjunto o qu é admissívl s não houvr prigo d ambiguidad com st procdimnto Ou sja stando ntndido por xmplo qu stamos a considrar como númro ral scrv-s por vzs apnas: com o significado d: Cadrno d Apoio LTC10 Página 7

9 É d salintar a importância do uso corrto da implicação da quivalência m conjunto com o quantificador univrsal no contxto da rsolução d quaçõs inquaçõs Aprsnta-s m sguida um xmplo qu pod sr utilizado como ilustração 1 Complt com as sguints condiçõs (substituindo as rticências por um dsts símbolos) d modo qu sjam univrsais m : Comntário As propridads das opraçõs d conjunção disjunção rlativas a condiçõs univrsais possívis impossívis rfridas nos dscritors stndm-s mutatis mutandis ao caso d condiçõs univrsais possívis impossívis num dado conjunto (cf txto d apoio ao dscritor 29 xmplos 4 5) Aprsnta-s m sguida um xmplo d aplicação dssas propridads 2 Para cada uma das condiçõs indiqu s é univrsal possívl ou impossívl m o qu daí pod concluir a ss msmo rspito acrca das condiçõs: Escrva afirmaçõs quivalnts à ngação das sguints proposiçõs utilizando as sgundas lis d D Morgan: 11 «Exist um colga na minha turma qu não tm irmãos»; 12 «Todas as pssoas qu stão nsta sala stão a usar um chapéu» { } sja 2 Considr o conjunto a condição é númro primo» a condição «é múltiplo d» 21 Indiqu o valor lógico d cada uma das proposiçõs: 22 Para cada uma das proposiçõs considradas na alína antrior scrva uma proposição comçando com um quantificador quivalnt à rsptiva ngação traduzindo-a também m linguagm corrnt 23 Quanto a cada uma das condiçõs indiqu s é possívl impossívl ou univrsal m 3 Mostr qu as sguints afirmaçõs são falsas aprsntando um contra-xmplo: 31 Todos os quadrilátros do plano têm diagonais iguais 32 Todos os númros ímpars são primos 33 Todos os númros primos formados por dois algarismos têm os algarismos distintos Cadrno d Apoio LTC10 Página 8

10 4 *Dado um conjunto uma proposição scrva na forma d uma implicação quantificada a proposição utiliz as sgundas Lis d D Morgan para dtrminar uma proposição quivalnt à rsptiva ngação scrvndo-a também na forma abrviada 5 *Dado um conjunto uma proposição mostr qu s for uma proposição univrsal m ntão é uma condição impossívl m s for uma proposição impossívl m ntão é uma condição univrsal m 6 **Dado um conjunto mostr qu a disjunção d qualqur condição com uma condição univrsal m é uma condição univrsal m qu a disjunção d qualqur condição com uma condição possívl m é uma condição possívl m qu a conjunção d qualqur condição com uma condição impossívl m é uma condição impossívl m Informação Complmntar para o profssor O dscritor 211 xprim a idia intuitiva d qu dois conjuntos são iguais quando apnas quando têm os msmos lmntos stablcndo assim o princípio ssncial para o uso dos símbolos d igualdad () d prtnça ( qu rprsntam as duas rlaçõs básicas da Matmática; dst modo a notação { } introduzida m 210 fica associada a um conjunto bm dtrminado no sntido m qu s xistir um conjunto tal qu ntão qualqur conjunto tal qu srá igual a A rlação traduz a idia intuitiva d qu os símbolos rprsntam o msmo objto é nss sntido qu podmos dizr qu fica bm dtrminado pla condição (m ) Rsulta dst princípio qu a igualdad d dois conjuntos dfinidos m comprnsão rsptivamnt plas condiçõs significa qu é univrsal a condição No nunciado do dscritor 210 não s prssupõ qu fixada uma condição xista smpr um conjunto com a propridad nl rfrida Com fito mbora não s prtnda aqui dsnvolvr asptos mais dlicados dos fundamntos da Toria do Conjuntos há qu tr m conta qu m formalizaçõs habituais dsta toria surgm condiçõs para as quais não xist nnhum conjunto tal qu ou sja nsss casos não xist o conjunto { }: diz-s nsta situação qu a condição «não é coltivizant» Um xmplo famoso é a condição qu dá origm ao chamado «Paradoxo d Russl» nunciado por Brtrand Russl no início do século XX qu pôs m causa os fundamntos aprsntados por Gottlob rg para a Toria dos Conjuntos; com fito s xistiss um conjunto { } tríamos plo qu tria d sr vrdadira m particular a proposição qu rsulta d substituir por m ou sja tria d sr vrdadira a proposição o qu não é possívl pois uma proposição a rsptiva ngação não podm tr o msmo valor lógico No ntanto m tudo o qu s sgu smpr qu for dfinido um conjunto através d uma condição prssupor-s-á vidntmnt qu tal conjunto xist no sntido m qu numa formalização adquada da Toria dos Conjuntos ssa xistência podria sr provada (ou m particular sria um axioma) 212 Comntário Nst dscritor fixa-s a nomnclatura habitual («é um lmnto do conjunto») para rfrir um objto quando s prtnd indicar qu s vrifica a rlação introduz-s a } ) para rprsntar «m xtnsão» um conjunto cujos notação corrnt ( { Cadrno d Apoio LTC10 Página 9

11 lmntos sjam xatamnt dtrminados objtos ou sja quando pod sr dfinido pla condição É important notar qu dsta dfinição } ao contrário da squência rsulta imdiatamnt qu o conjunto { não dpnd da ordm pla qual os rsptivos lmntos são indicados nm do númro d vzs qu um dado lmnto do conjunto aparc nsta notação; assim por xmplo tmos: { } { Embora vidntmnt as squências distintas } { } sjam duas a duas Informação Complmntar para o profssor No 9º ano abordaram-s algumas noçõs acrca da axiomatização das torias matmáticas qu podm sr rvistas a propósito dsts tópicos do programa do 10º ano (cf Mtas Curriculars do Ensino Básico d Matmática GM9 objtivo gral 1) Introduziram-s nssa altura alguns trmos usuais nss contxto como «torma» «hipóts» «ts» «dmonstração» bm como o símbolo d implicação as noçõs d «condição ncssária» d «condição suficint» Em muitos casos a dmonstração d um torma pod sr ntndida como a vrificação d qu dtrminada implicação é vrdadira ou mais propriamnt qu é uma condição univrsal o qu pod sr traduzido indicando qu dtrminada condição é suficint para uma outra ou qu sta é condição ncssária para a primira; noutros casos trata-s d vrificar qu uma implicação é falsa ou mais propriamnt qu não é uma condição univrsal Nsts dscritors aprsntam-s dtrminadas quivalências nvolvndo implicaçõs quantificadas xploram-s os procssos d dmonstração d crtos tormas qu dlas rsultam introduzindo-s dsignaçõs adquadas para sss procssos Muitas vzs dsigna-s por «dmonstração por absurdo» uma dada dmonstração por contrarcíproco pois podmos vrificar qu provando qu para um gnérico é falsa a proposição (quivalnt à ngação da implicação inicial) por vzs sta conclusão rsulta d s podr dduzir a ngação d algum torma já conhcido supondo qu é vrdadira uma das proposiçõs o qu s traduz dizndo-s qu s chgou a um absurdo Ou sja prssupondo qu crto satisfaz a condição (hipóts do torma) a ngação da condição (ts do torma) o qu é quivalnt à ngação da proposição qu s prtnd dmonstrar chga-s a um absurdo porqu dss prssuposto s dduz uma proposição qu sabmos sr falsa No ntanto m crto sntido st procsso d «dmonstração por absurdo» é formalmnt distinto do método dito d «contrarcíproco» pois d facto consist m considrar a Toria qu s obtém acrscntando a ngação da proposição a dmonstrar aos axiomas da Toria m qu s insr mostrando qu ssa nova toria é contraditória dduzindo da nova axiomática um dtrminado torma a rsptiva ngação 1 Justifiqu qu as sguints proposiçõs são falsas: 11 Qualqur númro natural qu sja múltiplo d 5 é múltiplo d 10; 12 Qualqur quadrilátro qu tnha os quatro lados iguais é um quadrado; 13 Qualqur quadrilátro qu tnha os ângulos iguais também tm os lados iguais 2 Escrva os contra-rcíprocos das proposiçõs indicadas no xrcício antrior 3 Dmonstr por contra-rcíproco qu s o quadrado d um dado númro natural é ímpar Cadrno d Apoio LTC10 Página 10 é ímpar

12 4 Dmonstr por contra-rcíproco qu s m dado plano uma rta é paralla a outras duas rtas ntão são parallas ntr si 5 *Considr condiçõs são quivalnts as proposiçõs ( ) 6 Considr condiçõs Mostr qu são quivalnts as proposiçõs 31 Utilizando as sgundas Lis d D Morgan mostr qu 1 Indiqu o valor lógico das sguints proposiçõs: 11 é um númro primo não é um númro primo; 12 Tanto como são númros irracionais; 13 é múltiplo d d ; 14 é múltiplo d ou d ; 15 é um númro primo ou é múltiplo d 2 Indiqu o valor lógico d cada uma das sguints proposiçõs: 21 é igual a ou a ; 22 é um númro múltiplo d ou d ; é um númro primo par; 25 é um númro irracional maior qu ; 26 ; 3 Considr as proposiçõs : é um númro irracional; : ; : 31 Indiqu o valor lógico d cada uma dlas 32 Traduza m linguagm corrnt sm utilizar a palavra «não» as sguints proposiçõs indiqu o rsptivo valor lógico: Idntifiqu as opraçõs lógicas as proposiçõs lmntars nvolvidas m cada uma das sguints proposiçõs scrva-as m linguagm simbólica (por xmplo «S simbolicamnt por ntão ou ( sndo ) ( ( ) )» pod traduzir-s ( ) é múltiplo d 3 s só s a soma do valor dos algarismos dss númro for um múltiplo d 3 42 *Nm 102 é um númro ímpar nm é um númro racional 43 * Como 3400 trmina por dois zros ntão é múltiplo d d d Cadrno d Apoio LTC10 Página 11

13 5 ** Considr as proposiçõs : «Está a chovr»; : «O Carlos sai d casa»; : «O Carlos tm aulas» Utilizando opraçõs lógicas ntr scrva a sguint proposição m linguagm simbólica: «O Carlos não sai d casa quando stá a chovr a mnos qu tnha aulas» 6 ** Considr uma opração dita «ou xclusivo» ou «disjunção xclusiva» tal qu dadas proposiçõs é vrdadira quando apnas quando têm valors lógicos distintos rsolva as sguints qustõs: 61 Dadas proposiçõs construa uma proposição quivalnt a partindo d utilizando apnas as opraçõs 62 Indiqu justificando s dadas proposiçõs algumas das sguints proposiçõs é smpr vrdadira: a b c d 32 1 Considr as sguints condiçõs dfinidas m : : é um númro primo : é múltiplo d : é divisor d : é infrior a Dfina m xtnsão cada um dos sguints conjuntos: { } { } { } { } 2 Considr os sguints conjuntos d númros rais: { } { } { } Dfina sob a forma d intrvalo ou d união d intrvalos disjuntos os sguints conjuntos considrados como subconjuntos d : Considr os sguints conjuntos: 4 { } 5 { } 6 { }; Dfina m xtnsão os conjuntos Cadrno d Apoio LTC10 Página 12

14 4 Indiqu s para qualqur concrtização das variávis no conjunto s obtêm das sguints condiçõs implicaçõs vrdadiras scrva as rsptivas contra-rcíprocas 41 ( ) 42 ( ) S um triângulo é rtângulo ntão não é quilátro ( é o conjunto dos triângulos d um dado plano) 45 S um triângulo é isóscls ntão não tm ângulos intrnos rtos ( é o conjunto dos triângulos d um dado plano) 46 S um losango tm as diagonais iguais ntão é um quadrado ( é o conjunto dos losangos d um dado plano) 47 Um triângulo tm um ângulo xtrno agudo quando é obtusângulo ( é o conjunto dos triângulos d um dado plano) Dmonstr por contra-rcíproco qu s um númro natural não é divisívl por ntão não é divisívl por Cadrno d Apoio LTC10 Página 13

15 Álgbra ALG10 Dscritor Txto d Apoio 1 Sndo dois númros rais tais qu 11 Prov qu qu 12 *Prov qu s para um dado s tm ntão Obsrvação: O método d indução srá tratado no 11º ano Contudo st tipo d atividad m qu s dmonstra qu a propridad é hrditária pod constituir uma introdução a ss método d raciocínio 2*Sab-s qu dados númros rais tais qu um númro natural s tm Mostr qu s s for ímpar s for par [Sugstão: considr os númros positivos ] 14 1 Sja um númro natural par númros rais positivos tais qu 11 Prov qu 12 *Mostr qu para além d d não xistm outras soluçõs da quação [Sugstão: Comc por obsrvar qu qualqur solução trá o msmo sinal qu uma das duas soluçõs já conhcidas sja la nss caso justifiqu qu não pod sr mnor nm maior do qu ] Comntário Os rconhcimntos pdidos na part final dos dscritors uma vz qu ainda não s dispõ do método d indução podm consistir na obsrvação d qu a propridad quando dá origm a ( ) qu multiplicando ambos os mmbros dsta quação rptidas vzs por vamos obtndo sucssivamnt ( ) ( ) tc Estas obsrvaçõs não consistindo propriamnt numa dmonstração formal prparam a utilização do método d indução matmática qu srá introduzido no 11º ano A xmplo do qu foi sugrido no txto d apoio aos dscritors pod laborar-s um xrcício m qu s pça aos alunos qu dmonstrm qu a propridad qu s prtnd provar é hrditária 111 Comntário Embora o procsso a qu s rfr st dcritor s dsign habitualmnt por racionalização d dnominadors o qu s prtnd mais propriamnt dada uma fração (no sntido gral d rprsntação do quocint d dois númros rais) é transformá-la numa quivalnt com dnominador natural numrador dado plo produto do numrador original por uma soma m qu cada parcla ou é intira ou é dada plo produto d um númro intiro por um produto d raízs d númros intiros Ou sja prtnd xprimir-s a divisão original (plo númro rprsntado no dnominador) d uma forma qu para além da divisão por um númro natural s rduza a multiplicar o numrador original por uma xprssão nvolvndo apnas somas cujas parclas são raízs d númros intiros multiplicadas por númros intiros Esta racionalização d dnominadors facilita m muitos casos obtr mntalmnt valors aproximados adquados d dtrminados númros rais conduzindo portanto a uma forma mais útil d os rprsntar pod tr intrss tórico m situaçõs m qu s prtnd fctuar dtrminado tipo d stimativas Cadrno d Apoio ALG10 Página 14

16 Para além dos casos mais usuais d racionalização d dnominadors (considrados nst dscritor) é possívl considrar mais gralmnt fraçõs com dnominadors da forma ) Podm rduzir-s facilmnt utilizando as ( propridads algébricas das potências raízs ao caso Esss casos podm sr tratados utilizando uma idntidad algébrica qu é só por si intrssant (cf Txto d apoio ao dscritor RVR ond s aprsnta outra aplicação dst rsultado): Esta fórmula gnraliza um dos chamados casos notávis da multiplicação (caso ) pod comçar por sr vrificada para o qu prmit facilmnt conjturar o rsultado gral qu podria sr dmonstrado por indução pod sr justificado analisando as parclas qu rsultam da aplicação da propridad distributiva no sgundo mmbro da igualdad A título d ilustração aprsnta-s o sguint xmplo d aplicação: ( ) ( ) ( ) ( ) ond s utilizou a idntidad acima rfrida com Not-s qu sta igualdad prmit por xmplo obtr facilmnt o nquadramnto qu é à partida pouco vidnt Est cálculo como é sugrido no xrcício sguint corrspond naturalmnt a um nívl d dsmpnho muito lvado não stando contmplado no dscritor 111 mbora possa sr proposto a alunos particularmnt motivados Quando o índic da raiz é uma potência d (como na alína 17 abaixo) o procsso pod simplificar-s bastando utilizar sucssivas vzs o acima rfrido caso notávl da multiplicação (dito difrnça d quadrados ) 1 Racionaliz os dnominadors das sguints fraçõs: 11 ; 12 ; ; 15 * 16 * 18 ** ; 17 ** ; Cadrno d Apoio ALG10 ; Página 15

17 21 Comntário Rconhcr sta propridad é crucial para qu no dscritor sguint s possa dfinir adquadamnt a potência d xpont racional D facto a dfinição para tm só faz sntido s s soubr a s 1 Mostr qu 2 *Prov qu sndo s tm 22 qu para uma outra rprsntação para qualqur númro ral positivo um númro ral positivo númros naturais tais qu 1 Considr um númro não ngativo Prtnd-s dar uma dfinição d potência d bas xpont racional positivo por forma a stndr o concito d potência d bas xpont natural qu prmança válida a propridad ( ) para racionais positivos Admitindo qu tal dfinição pod sr dada d modo cornt ou sja d modo qu o valor obtido sja indpndnt da fração qu rprsnta o númro racional no xpont rsolva as sguints qustõs: 11 Qual dv sr ncssariamnt o valor d? (Sugstão: Calcul utilizando a propridad acima rfrida) 12 Qual dv sr mais gralmnt o valor d: 121? 122 para também qu? [Sugstão: No caso m qu tm d sr um valor não ngativo obsrvando qu a propridad ( ) garant qu quadrado d um númro] pod smpr sr scrito como o 13 Qual dv sr ncssariamnt o valor d? [Sugstão: utiliz 12 a propridad acima rfrida com 14 Qual dv sr mais gralmnt o valor d: é par vrifiqu ]? para? 2 **Justifiqu qu dado um númro ral um númro racional não ngativo ( s ) pod sr dfinido d modo cornt como ond são quaisqur númros intiros tais qu sndo a dfinição também cornt com a já conhcida no caso m qu é ou um númro natural qu sta é a única xtnsão possívl a xponts racionais positivos da dfinição d potência d xpont natural bas não ngativa qu prmit obtr para quaisqur nas condiçõs acima d tal modo qu continu a valr para xponts racionais positivos a propridad 23 1 Sja ( númros naturais) um númro ral positivo Já vimos qu ncontra dfinido d modo cornt como sndo igual a Qual dv sr a dfinição d s s prtndr qu a propridad lugar para todos os racionais? (Sugstão: Considr na igualdad antrior) Cadrno d Apoio ALG10 Página 16 s tnha

18 24 1 Sjam númros rais positivos Mostr utilizando as propridads studadas das opraçõs com radicais a dfinição d potência d xpont racional qu * númros naturais 14 ( ) Simplifiqu as sguints xprssõs: ( ) ( ) ( )( ) 18 ( ) ond 19 * ( ) 2 *Justifiqu cada uma das sguints igualdads: **Escrva cada uma das sguints xprssõs na forma: com **Simplifiqu a xprssão vrificando qu s trata d um númro intiro Cadrno d Apoio ALG10 Página 17

19 5 Escrva na forma d potência d bas a sguint xprssão 31 Aprsntam-s alguns problmas rlacionando radicais com contúdos gométricos studados no nsino básico O profssor podrá utilizar alguns dsts xmplos como ilustração das propridads dos radicais studadas nst domínio d contúdos 1 Um quadrado stá inscrito numa circunfrência d raio unidads Dtrmin a mdida do lado do quadrado aprsnt o rsultado final na forma 2 *Um ttradro rgular stá inscrito num cubo tal como sugr a figura Sabndo qu a arsta do cubo md unidads prov qu a ára d cada fac do ttradro é igual a unidads quadradas 3 ixada uma unidad d comprimnto considr um cubo d arsta d volum 31 Exprima m função d 32 Exprima a mdida da ára da suprfíci do cubo na forma ond é um númro natural um númro racional 4 Considr um prisma quadrangular rgular rto m qu a ára da bas md a altura é igual ao quádruplo da mdida do comprimnto da arsta da bas 41 Exprima a mdida do volum do prisma na forma ond é um númro natural um númro racional 42 Dtrmin o valor d sabndo qu o volum do prisma é igual a 32 5 Uma sfra stá inscrita num cubo d volum Exprima m função d : 51 o raio da sfra 52 o volum da sfra 6 **Um cubo stá inscrito numa suprfíci sférica d volum Exprima m função d a mdida da arsta do cubo 7 *Num trapézio isóscls [ ] a bas mnor é igual aos lados não parallos md Um dos lados não parallos forma com a bas maior um ângulo d d amplitud Prov qu o prímtro do trapézio é igual a a ára igual a 8 Vrifiqu qu os númros: 81 são raízs da quação 82 são soluçõs da quação 9 *Considr dado um númro natural para a xprssão Dtrmin para qu valor d s tm qu indpndntmnt dos valors d d Cadrno d Apoio ALG10 Página 18

20 42 1 Considr os polinómios 11 Dtrmin na forma rduzida o polinómio indicando o rsptivo grau 12 Qual o grau do polinómio s s tivr agora ond? Qual a rlação ntr o grau d o grau d o grau d? 2 *Dados númros intiros não ngativos considr os polinómios com ( ( Ao ftuar o produto d polinómios quantas parclas da forma irão aparcr formalmnt após uma primira aplicação da propridad distributiva? Qual dsts monómios tm maior grau? Justifiqu qu o grau d é igual à soma dos graus d d 45 1 Considr os polinómios ond Vrifiqu qu os polinómios obtidos aplicando a rgra d Ruffini a sts polinómios são d facto o quocint o rsto da divisão intira d por 2 *Considr os polinómios ond Vrifiqu qu os polinómios obtidos aplicando a rgra d Ruffini a sts polinómios são d facto o quocint o rsto da divisão intira d por Considr o polinómio Sabndo qu o polinómio admit as raízs vntualmnt com difrnts ordns d multiplicidad dtrmin o polinómio sm zros tal qu idntificando os valors d 2 *Considr qu os númros rais distintos ntr si são as únicas raízs d um polinómio d sétimo grau Sab-s ainda qu tm multiplicidad tm multiplicidad 21 Justifiqu qu não pod tr multiplicidad suprior a 22 Indiqu justificando qual a multiplicidad d 3 Sja um polinómio d grau 31 **Prov qu admit uma fatorização da forma ond ( ) não tm raízs 32 Justifiqu qu qu os númros são as únicas raízs d 51 1 Utilizando o algoritmo da divisão intira d polinómios dtrmin o quocint o rsto da divisão d por Cadrno d Apoio ALG10 Página 19

21 2 Utilizando a rgra d Ruffini dtrmin o quocint o rsto da divisão d por cada um dos sguints polinómos: ** 3 Dtrmin utilizando o torma do rsto o rsto da divisão d por 4 Dtrmin o polinómio d quarto grau qu admit os zros simpls cujo rsto da divisão por é igual a 5 Sab-s qu é divisívl por Dtrmin as raízs d scrva-o na forma 6 *Dtrmin para qu valors rais d o polinómio é divisívl por o rsto da divisão por é igual a 7 *Prov qu o polinómio é divisívl por s for ímpar 8 Considr o polinómio ond 81 *Prov qu para todo s tm 82 **Prov qu justifiqu qu são zros d calcul o grau d multiplicidad d Considr os polinómios 11 Vrifiqu qu é uma das raízs d 12 Dtrmin as outras raízs d fatoriz st polinómio 13 Rsolva a inquação 14 atoriz o polinómio rsolva a inquação 2 Considr a quação 21 Tndo m conta qu substitua na quação por rsolva a quação do sgundo grau assim obtida 22 Dtrmin os valors d qu satisfazm a quação dada 3 *Rsolva a quação «biquadrada» 4 *Sab-s qu é um polinómio d trciro grau tal qu ] [ Rsolva cada uma das sguints condiçõs: 41 ; 42 ; 43 Cadrno d Apoio ALG10 Página 20

22 Gomtria Analítica GA10 Dscritor Txto d Apoio 12 1 Considr num rfrncial ortonormado do plano os pontos 11 Rprsnt os pontos trac as rtas parallas aos ixos coordnados qu contêm ou por forma a construir um rtângulo do qual [ ] é uma diagonal 12 Dtrmin a distância ntr os pontos utilizando o torma d Pitágoras 2 *Considr num plano munido d um rfrncial ortonormado os pontos 21 Dsign por as projçõs ortogonais no ixo das abcissas rsptivamnt dos pontos Exprima m função d d a mdida da distância ntr 22 Dsign por as projçõs ortogonais no ixo das ordnadas rsptivamnt dos pontos Exprima m função d d a mdida da distância ntr 23 Exprima a mdida da distância ntr m função d d justifiqu qu é igual a 3 **Dmonstr dado um plano munido d um rfrncial ortonormado pontos prtncnts a ss plano qu a mdida da distância ntr é igual a tomando por unidad d comprimnto a unidad comum dos ixos coordnados 13 1 Considr na rta numérica os pontos Prov qu d abcissas rsptivamnt 2 *Considr na rta numérica os pontos d abcissas rsptivamnt 21 Indiqu utilizando uma xprssão da mdida da distância ntr 22 Sja o ponto médio d [ ] Aprsnt utilizando uma xprssão da mdida da distância ntr 23 Aprsnt utilizando uma xprssão para a abcissa d sm rcorrr ao símbolo d valor absoluto Nota: Est sgundo xrcício foi idntificado como tndo um nívl d dsmpnho suprior uma vz qu não prssupõ contrariamnt ao qu é indicado no dscritor o conhcimnto prévio da xprssão da abcissa do ponto médio d [ ] 14 1 Considr num plano munido d um rfrncial cartsiano os pontos d coordnadas 11 Dtrmin as coordnadas do ponto médio do sgmnto d rta [ ] 12 Considr a rta paralla ao ixo das ordnadas qu passa plo ponto a rsptiva intrsção com o sgmnto d rta [ ] Justifiqu utilizando o Torma d Tals qu é o ponto médio d [ ] indiqu a abcissa d 13 Calcul a ordnada d Cadrno d Apoio GA10 Página 21

23 2 *Considr um rfrncial ortonormado m dado y plano três pontos dss plano bm como as rsptivas projçõs ortogonais rsptivamnt no ixo dos no ixo dos 21 Sab-s qu é o ponto médio d [ ] Prov qu os pontos são rsptivamnt os pontos médios dos sgmntos d rta [ ] [ ] 22 Sabndo qu dtrmin as coordnadas d 19 1 Considr num plano munido d um rfrncial ortonormado dado a lips d focos d ixo maior ( ) Sja o ponto d intrsção da lips com o smi-ixo positivo das ordnadas 11 Justifiqu qu 12 Indiqu justificando a mdida comum d 13 Conclua qu x y x 2 *Dada uma lips d focos d ixo maior m dtrminado plano rsolva as sguints qustõs: 21 Prov qu a mdiatriz d [ ] intrsta a lips xatamnt m dois pontos situados m smiplanos opostos d frontira intrsta a rta no ponto médio do sgmnto [ ] qu coincid com o cntro da lips s tm 22 Prov qu tomando ond Considr num plano munido d um rfrncial ortonormado os pontos 11 Qual o valor qu dv tomar o númro ral por forma qu um ponto prtnça à lips d focos smiixo maior quando apnas quando? 12 *Considr qu Mostr qu um ponto prtnc à lips rfrida na alína antrior quando apnas quando 13 Tndo m conta a alína 12 calcul as coordnadas dos pontos m qu a lips intrsta o ixo das abcissas as coordnadas dos pontos m qu a lips intrsta o ixo das ordnadas o ixo mnor é a smidistância 14 Vrifiqu nst xmplo qu ond focal 2 **Considr num plano munido d um rfrncial ortonormado dois númros rais ( ) os pontos 21 Justifiqu qu a quação é a quação da lips d focos d smiixo maior 22 Mostr qu a quação da alína antrior é quivalnt a 23 Escrva a quação da alína antrior utilizando no primiro mmbro apnas as constants ond rprsnta o smiixo mnor da lips Cadrno d Apoio GA10 Página 22

24 Informação Complmntar para o profssor O tratamnto adquado dos smiplanos m Gomtria analítica plana prssupõ como é vidnt qu s dispõ d uma dfinição d smiplano Essa dfinição pod prssupor qu stá fixado um dado plano ainda qu sta hipóts sja dispnsávl no caso da Gomtria a mais d duas dimnsõs Embora nsts dscritors apnas s prtnda um rconhcimnto a nívl lmntar rcorrndo à intuição gométrica dscrv-s m sguida como s podriam justificar as propridads nls xprssas com bas numa possívl dfinição d smiplano Dada uma rta um ponto fora d podmos dfinir o «smiplano abrto d frontira dtrminado plo ponto» como o conjunto constituído por plos pontos do plano qu contém a rta o ponto tais qu o sgmnto d rta [ ] não intrsta o «smiplano fchado d frontira dtrminado plo ponto» como a união com do acima rfrido smiplano abrto Estas dfiniçõs introduzm um critério simpls para vrificar s um dado ponto d um plano stá ou não m crto smiplano (abrto ou fchado) d d frontira dtrminado por um ponto d não prtncnt a Not-s no ntanto qu carc d dmonstração a afirmação sgundo a qual um smiplano (abrto ou fchado) d frontira fica dtrminado por qualqur um dos sus pontos o qu como vrmos rsulta d s podr ncarar os smiplanos abrtos com dada frontira como classs d quivalência; uma vz stablcido ss facto torna-s fácil concluir por procssos análogos qu xistm xatamnt dois smiplanos (abrtos ou fchados) num plano com uma dada frontira Vjamos ntão mais prcisamnt como da dfinição dada s pod dduzir qu xistm xatamnt dois smiplanos abrtos d frontira no plano qu ss smiplanos são disjuntos qu a rsptiva união coincid com ; para o fito podmos comçar por vrificar qu é d quivalência a rlação binária dfinida para pontos d por s coincidirm ou s o sgmnto d rta [ ] não intrstar A rflxividad simtria são imdiatas a transitividad no caso m qu os pontos não são colinars único não trivial pod sr considrada uma das formas do axioma d Pasch pois o qu s prtnd provar é qu s são pontos d não colinars qu não prtncm a [ ] [ ] não intrstam ntão [ ] também não intrsta ; ora o contra-rcíproco dsta propridad é quivalnt à afirmação d qu s a rta intrsta o lado [ ] do triângulo [ ] não intrsta nnhum dos rsptivos vértics ntão tm d intrstar um dos outros dois lados do triângulo o qu é uma das formas mais usuais do axioma d Pasch Est axioma ou outro smlhant é indispnsávl a uma formalização adquada da Gomtria lmntar (uclidiana ou não) o qu só foi dttado por Pasch m finais do século XIX mbora foss implicitamnt admitido até ntão m divrsas dmonstraçõs d Gomtria uclidiana ou msmo não uclidiana sm qu tivss sido ants obsrvada a impossibilidad d sr dduzido dos rstants postulados Sndo rlação d quivalência é agora fácil concluir qu o smiplano abrto d d frontira dtrminado por um ponto d não é mais do qu a class d quivalência d para a rlação ; m particular um dado smiplano d frontira fica dtrminado por Cadrno d Apoio GA10 Página 23

25 qualqur dos sus pontos plo qu podmos dsigná-lo sm ambiguidad por «smiplano (abrto ou fchado) do plano d frontira contndo o ponto» A forma como stá dfinida prmit também concluir qu xistm no máximo duas classs d quivalência pois fixado um ponto m dados dois pontos d qu não são quivalnts a é fácil concluir qu são quivalnts ntr si plo qu no máximo xistirá mais uma class d quivalência para a rlação contndo todos os vntuais pontos não quivalnts a Provmos ntão nsta situação qu ou sja qu não intrsta [ ]; por dfinição d [ ] [ ] intrstam ambas já qu por hipóts não são quivalnts a ; a única situação qu mrc sr analisada é aqula m qu não são colinars já qu a outra é trivial (um ponto não pod star simultanamnt stritamnt situado ntr quaisqur dois d três pontos colinars plo qu não pod também intrstar [ ]) Nss caso intrsta dois dos lados do triângulo [ ] não intrstando os rsptivos vértics plo qu não pod intrstar o trciro (propridad cuja dmonstração também nvolv o axioma d Pasch) o qu significa qu não intrsta [ ] ou sja como prtndíamos provar A xistência d plo mnos dois pontos não -quivalnts portanto xatamnt d dois smiplanos abrtos d frontira rsulta simplsmnt do facto d qu dado um ponto d (qu xist smpr já qu o plano não s rduz a uma rta) um ponto d xist smpr um ponto distinto d tal qu fica situado no sgmnto d rta [ ] ( o sgmnto [ ] pod prolongar-s m qualqur dos sntidos ) Esta propridad rsulta d qualqur axiomática da Gomtria uclidiana garant portanto a xistência d um ponto d não -quivalnt a ou sja fora do smiplano d frontira contndo Como acima foi rfrido o rconhcimnto qu é pdido nst dscritor no sguint pod sr fito a nívl lmntar apnas rcorrndo à intuição gométrica mas corrspondndo a um nívl d dsmpnho lvado podria sr lvado a cabo com bas na dfinição d smiplano acima indicada Para o fito há qu dispor também d um critério claro para idntificar analiticamnt os pontos d um sgmnto d rta [ ] dados distintos num plano munido d um rfrncial ortonormado Sndo já conhcida a quação da rta rsta idntificar o domínio d variação para as abcissas (ou para as ordnadas no caso d uma rta vrtical) qu corrspond aos pontos do sgmnto [ ] Ora não é difícil concluir qu as abcissas dos pontos d [ ] variam ntr as ordnadas ntr ; para o fito basta notar qu as rtas parallas aos ixos qu intrstam o sgmnto [ ] intrstam os ixos a qu não são parallas m pontos dos sgmntos d xtrmos rsptivamnt d abcissas (no ixo rsptivo) Est facto rsulta da sguint propridad gométrica: «dadas duas rtas parallas dois sgmntos d rta cada um dls com uma xtrmidad m cada uma das duas rtas ntão s uma trcira rta é paralla às outras duas intrsta um dos sgmntos d rta tm d intrstar também o outro»; a dmonstração dst rsultado pod sr obtida muito simplsmnt aplicando uma ou duas vzs o axioma d Pasch (consoant os sgmntos partilhm ou não uma das xtrmidads) Dos rsultados xprssos nst dscritor no sguint ou sja da idntificação analítica d dois conjuntos d pontos qu constituindo smiplanos d frontira dada por uma rta da qual s conhc a quação dtrminados por qualqur dos rsptivos pontos rsulta imdiatamnt qu fixada uma rta num dado plano xistm xatamnt dois smiplanos abrtos nss plano com frontira coincidnt com ssa rta para além d qu são Cadrno d Apoio GA10 Página 24

26 obviamnt conjuntos disjuntos com união igual ao complmntar da rta no plano Ou sja o qu acima foi justificado com argumntos gométricos acaba por dduzir-s da caractrização analítica rfrida dsts dscritors É claro qu o axioma d Pasch acima utilizado acaba por star xplícita ou implicitamnt na bas da introdução rigorosa das técnicas d Gomtria analítica d qu aqui s tira partido Aprsntam-s m sguida duas atividads m qu s xploram analiticamnt as propridads gométricas caractrísticas dos smiplanos acima dscritas Embora o xmplo stja rdigido para conduzir à justificação da inquação cartsiana dos smiplanos d acordo com a dfinição gométrica acima aprsntada podm utilizar-s apnas algumas alínas para ilustrar uma ou outra propridad qu s prtnda focar d modo mais informal I Sja a rta d quação os conjuntos { a b c d num dado plano munido d um rfrncial ortonormado Considr } { } Sja Vrifiqu qu qu Calcul as coordnadas do ponto d intrsção das rtas conclua qu o sgmnto d rta [ ] não intrsta Sja Vrifiqu qu qu o sgmnto d rta [ ] intrsta Considr dois pontos ; mostr qu s prtncrm ambos a ou ambos a ] não intrsta mas qu s um dls prtncr a o outro ntão o sgmnto d rta [ ] intrsta dtrmin as coordnadas do ponto d a ntão o sgmnto d rta [ intrsção Considr dois pontos tais qu sja um ponto do ]: sgmnto d rta [ d1 Utilizando a quação da rta ou dirtamnt o torma d Tals mostr qu [ ] para dtrminado d2 Dduza da alína antrior qu para [ ] conclua qu s prtncrm ambos a (rsptivamnt dtrminado ] stá a ) ntão (rsptivamnt ) portanto o sgmnto d rta [ contido m (rsptivamnt m ) logo não intrsta ] intrsta d3utilizando 141 conclua qu s ntão o sgmnto d rta [ dtrminando o valor d corrspondnt ao ponto d intrsção Conclua das alínas antriors qu são xatamnt os smiplanos abrtos d frontira do plano dado II Sja { a b c a rta d quação } Considr os conjuntos { } Dados dois pontos d (ou d ) justifiqu qu o sgmnto d rta [ ] não intrsta a rta Dados dois pontos mostr qu o sgmnto d rta [ ] intrsta r Conclua qu são os dois smiplanos dfinidos pla rta Cadrno d Apoio GA10 Página 25

27 113 1 Considr um plano munido d um rfrncial ortonormado uma circunfrência d raio d cntro Considr ainda um ponto do plano 11 Exprima a mdida da distância m função d 12 Justifiqu qu prtnc à part intrna da circunfrência quando apnas quando 13 Justifiqu qu o círculo d cntro raio s dfin pla condição y x 21 1 Rprsnt gomtricamnt cada um dos conjuntos d pontos do plano dtrminados plas sguints condiçõs 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 * ; 19 * ; 110 ** 2 Idntifiqu as figuras gométricas planas dfinidas plas sguints condiçõs: * 24 * * 27 * Idntifiqu dfina analiticamnt utilizando quaçõs inquaçõs cartsianas os sguints conjuntos d pontos do plano: 31 Pontos qu distam igualmnt dos pontos 32 Pontos cuja distância ao ponto não xcd unidads 33 *Pontos cuja mdida da distância ao ponto é o dobro da mdida da distância ao ponto 34 Pontos cuja soma das mdidas das distâncias aos pontos é igual a 35 Pontos qu distam duas unidads da rta d quação Cadrno d Apoio GA10 Página 26

28 36 *Pontos qu distam igualmnt da origm do rfrncial do ponto qu prtncm à circunfrência cntrada m tangnt aos ixos coordnados 37 Pontos médios dos sgmntos d rta cujos xtrmos são: 371 o ponto cada um dos pontos da circunfrência cntrada m d raio **o ponto cada um dos pontos da rta 4 *Num rfrncial ortonormado do plano os pontos são vértics d um triângulo quilátro Sabndo qu dtrmin a ordnada d sabndo qu a abcissa é 5 Sab-s qu o ponto valor d é quidistant dos pontos Dtrmin o Informação Complmntar para o profssor Divrsas propridads da rlação d quipolência ntr sgmntos orintados d um plano foram introduzidas no 8º ano mas não foi dada uma dfinição formal d rlação binária nm d vtor tndo-s apnas indicado qu um vtor objto indfinido fica associado ao conjunto d todos os sgmntos orintados quipolnts a um dado sgmnto orintado (ou sja com o msmo comprimnto dirção sntido qu ss sgmnto orintado) qu s considravam distintos vtors associados a sgmntos orintados não quipolnts (cf Programa d Matmática do Ensino Básico homologado m 17/7/2013 Mtas Curriculars do Ensino Básico d Matmática NO6-3 GM8-3) Como foi rfrido no Cadrno d Apoio do 3º ciclo é possívl intrprtar a noção d vtor como class d quivalência para a rlação d quipolência ficando assim provada a possibilidad d dfinir um objto matmático com as propridads qu s rquriam aos vtors na introdução fita no 8º ano Para uma rvisão dsts concitos aplicaçõs propridads rsptivas justificaçõs gométricas podm consultar-s as rfridas Mtas curriculars os Cadrnos d Apoio do 2º ciclo NO63 do 3º ciclo GM8-35 a 318 o Txto Complmntar d Gomtria do 3º ciclo 8º ano 31 a 316 Em particular importa tr prsnt o critério d quipolência d sgmntos ][ ] tais orintados d acordo com o qual dois sgmntos orintados não nulos [ ] qu [ ] [ ] não têm a msma rta suport são quipolnts s somnt s [ for um parallogramo No caso d trm a msma rta suport podmos studar a propridad d quipolência utilizando uma msma rta numérica qu os contnha a quipolência traduz-s na igualdad da difrnça ntr as abcissas da xtrmidad da origm dos sgmntos orintados Por outro lado também s associou um vtor a uma translação ntndida como aplicação d um plano m si próprio Entndndo um vtor como class d quivalência é possívl comparar os dois objtos ou sja um vtor a translação por l dfinida Das dfiniçõs conclui-s qu o gráfico d não é mais do qu o conjunto dos pars ordnados tais ou sja tais qu o sgmnto orintado [ ] stá na class d quivalência qu qu constitui o vtor Not-s qu no Ensino Básico também não foi dada uma dfinição formal d sgmnto orintado noção introduzida no 6º ano dizndo-s apnas qu o sgmnto ] fica dfinido quando no sgmnto d rta [ ] s fixa um dos xtrmos para orintado [ origm o outro para xtrmidad ou sja no fundo quando s ordnam os xtrmos; ssa noção foi alargada no 8º ano ao caso m qu coincidm Como é fácil prcbr uma possívl dfinição formal d sgmnto orintado pod consistir muito simplsmnt m Cadrno d Apoio GA10 Página 27

29 idntificar [ ] com o par ordnado uma vz qu os pontos dtrminam o sgmnto d rta qu os tm por xtrmos rciprocamnt um sgmnto d rta dtrmina os rsptivos xtrmos podmos fixar a origm a xtrmidad scolhndo o primiro lmnto do par para origm o sgundo para xtrmidad Com sta dfinição conclui-s ntão qu o gráfico d são xatamnt o msmo objto matmático; s idntificarmos a translação com o rsptivo gráfico o qu é natural para uma aplicação com domínio conjunto d chgada coincidnts com o plano todo podmos ntão também dizr mais simplsmnt qu os vtors são xatamnt as translaçõs No 8º ano (GM8-310 a 317) introduziu-s a soma d vtors num plano as rsptivas propridads básicas gométricas algébricas qu é convnint agora rcordar Comçou-s por dfinir o qu é a soma d um ponto com um vtor : trata-s muito simplsmnt do único ponto do plano tal qu No caso m qu st ponto pod sr construído a partir do ponto d qualqur sgmnto orintado [ ] rprsntant d (ou sja tal qu ) utilizando por xmplo o critério do parallogramo para a quipolência d sgmntos ou sja construindo o vértic dsconhcido do parallogramo [ ]; not-s qu s pod smpr supor sm prda d gnralidad qu o ponto não stá na rta construindo m primiro lugar s ncssário plo msmo procsso um sgmnto orintado quipolnt a [ ] com outra rta suport Dfiniu-s m sguida a translação como a aplicação do plano m si próprio qu associa a cada ponto do plano o ponto inalmnt dfiniu-s a soma d vtors como o vtor tal qu ou sja tal qu para qualqur ponto do plano mostrando-s qu pod sr obtido a partir d através da rgra do triângulo ou no caso d s tratar d vtors não colinars através da rgra do parallogramo; m particular tm-s para quaisqur pontos do plano sndo sta igualdad por vzs rfrida como «idntidad d Chasls» Como tm sido rfrido a propósito d outros contúdos para uma rvisão dsts concitos propridads pod consultar-s para além dos acima rfridos dscritors das Mtas curriculars do 8º ano o Cadrno d Apoio do 3º ciclo GM8-310 a 318 o Txto Complmntar d Gomtria 8º ano 310 a 316 Limitmo-nos aqui a rcordar como fica stablcida a corência da dfinição d soma d vtors através da vrificação d qu a composição d translaçõs é uma translação Da própria dfinição d translação d composição d aplicaçõs rsulta qu s for uma translação trá d sr dtrminada por um vtor qu pod sr obtido d pla rgra do triângulo; com fito fixado um ponto do plano sndo ( ) s for uma translação d crto vtor trá d sr ou sja Rsta ntão apnas provar qu para qualqur ponto do plano o qu pod sr justificado utilizando a construção gométrica ao lado (ilustra-s o caso m qu os vtors não são colinars o ponto não stá na rta ond nm na rta podndo os rstants casos sr tratados d modo análogo) Plo critério do parallogramo para a quipolência d sgmntos orintados sabmos qu [ ] [ ] são parallogramos prtndmos provar qu ou sja qu [ ] também é um parallogramo Cadrno d Apoio GA10 Página 28

30 ][ ] srm parallogramos tm também como consquência Ora o facto d [ portanto [ ] é um parallogramo qu plo qu ] qu é portanto d facto um parallogramo tratando-s do msmo quadrilátro qu [ assim como prtndíamos provar Outro concito básico introduzido no 8º ano (GM8-39) foi o d vtor simétrico d um dado vtor; o simétrico d um vtor é o vtor qu tm o msmo comprimnto dirção qu ) para mas sntido oposto (m particular para quaisqur pontos do plano além das propridads comutativa associativa da adição d vtors também s vrificou qu consquência imdiata d ( ) para quaisqur pontos do plano No prsnt objtivo gral introduzm-s novas opraçõs com vtors nomadamnt o produto d um vtor por um scalar a subtração d vtors Na dfinição d produto d um não nulo por um scalar vtor para além d s dfinir sm qualqur ambiguidad a dirção sntido do vtor produto (dirção igual sntido igual ou oposto ao do vtor consoant é positivo ou ngativo) a rsptiva norma é dada à partida para uma unidad d mdida d comprimnto pré-fixada No ntanto facilmnt s conclui qu o vtor produto não dpnd da unidad d comprimnto scolhida pois a dfinição é dada d tal modo qu é igual ao quocint ntr a norma do vtor produto a norma do vtor ; ora as normas são por dfinição mdidas d comprimnto d sgmntos d rta como o quocint d duas mdidas d comprimnto não dpnd da unidad d mdida comum (cf GM7-72) s um dado vtor produto tivr norma com a propridad nunciada na dfinição para uma dada unidad d mdida (quivalnt ao quocint pla norma d sr igual a ) o msmo s passará para qualqur unidad d mdida Por outras palavras os vtors produto obtidos considrando-s na rsptiva dfinição difrnts unidads d comprimnto qu têm à partida dirção sntido bm dtrminados têm todos também o msmo comprimnto ou sja trata-s smpr do msmo vtor d um vtor Outro modo d justificar a corência da dfinição d produto não nulo por um scalar é comçar por notar qu o vtor produto pod sr matrializado (através d um dos sus rprsntants) na rta numérica tomando para smirrta dos númros não ngativos para unidad d comprimnto; sndo o ponto dssa rta numérica d abcissa é imdiato a partir da dfinição d (para sta unidad d mdida d comprimnto) qu st vtor dv idntificar-s com ixada qualqur outra unidad d comprimnto sndo a mdida do comprimnto do sgmnto [ ] nssa nova unidad uma vz qu o quocint das mdidas d comprimnto d dois dados sgmntos é indpndnt da unidad d mdida comum (cf mais uma vz GM7-72) sabmos qu o comprimnto d [ ] na nova unidad srá igual a ou sja a norma d srá dada por qualqur qu sja a unidad d comprimnto fixada para o cálculo das normas Assim o vtor não dpnd d facto da scolha da unidad d comprimnto A dfinição d produto d um vtor por um scalar no caso d s tratar do scalar conduz obviamnt ao simétrico do vtor já qu por dfinição d produto por um scalar é o vtor com a msma norma dirção mas sntido contrário ao vtor dado o qu é também a dfinição d vtor simétrico Cadrno d Apoio GA10 Página 29

31 A propridad xprssa no dscritor 33 pod sr facilmnt justificada Por um lado é imdiato a partir da dfinição do produto d um vtor por um scalar qu é colinar a Rciprocamnt considrando um vtor colinar a s xistir um númro ral tal qu tmos plo qu considrando o único númro ral d módulo (valor indpndnt da unidad d comprimnto fixada para o cálculo das normas como acima ficou stablcido) qu é positivo s os vtors tivrm o msmo sntido ngativo s tivrm sntidos opostos nulo s for nulo tm-s por dfinição d produto d vtor por scalar st é o único scalar para o qual tm lugar sta igualdad já qu quando não é nulo tm módulo sinal bm dtrminados O scalar pod ainda sr matrializado utilizando sgmntos orintados com xtrmos numa msma rta numérica origns coincidnts com a origm dssa rta numérica qu rprsntm os dois vtors colinars dados Com fito S form colinars ( ) fixmos um ponto arbitrário para origm da rta numérica o ponto para ponto d abcissa ; ntão sndo é um ponto da rta já qu têm a msma dirção ( portanto as rtas não podndo sr rtas parallas distintas têm d coincidir) Então como atrás s concluiu a propósito da corência da dfinição d produto d um vtor por um scalar sndo a abcissa d trmos Quanto à subtração a dfinição do vtor difrnça d dtrminados vtors rproduz a dfinição habitual d difrnça quando m dado conjunto stá dfinida uma opração d adição comutativa Dados vtors é fácil nst caso justificar a xistência d um apnas um vtor tal qu pois a xistir um tal vtor adicionando a ambos os mmbros dsta igualdad obtmos: ( ) Ou sja o único vtor qu pod satisfazr à igualdad rqurida é o vtor é fácil vrificar qu d facto a rsptiva soma com é igual a utilizando mais uma vz a propridad associativa da adição d vtors a propridad algébrica caractrística do simétrico Assim a difrnça d vtors stá smpr bm dfinida é igual à soma do aditivo com o simétrico do subtrativo tal como para númros rais: Para além dsta justificação algébrica podrá aprovitar-s a ocasião para rvr os concitos acima rfridos construindo gomtricamnt a difrnça d vtors m casos concrtos ou num caso gral comparando com a construção da soma d um vtor com o simétrico d outro Aprsntam-s abaixo dois possívis xrcícios com sss objtivos 1 Na ilustração figuram dois sgmntos orintados qu rprsntam vtors 11 Rproduza no cadrno dois sgmntos orintados com a msma origm qu rprsntm rsptivamnt os vtors utilizando a rgra do parallogramo ou a rgra do triângulo construa o vtor tal qu 12 Construa o vtor soma d com justifiqu qu é igual a Cadrno d Apoio GA10 Página 30

32 2 **Dados vtors prov rcorrndo a uma construção gométrica utilizando dirtamnt as dfiniçõs d difrnça d soma d vtors bm como a d simétrico d um vtor qu 35 Esta propridad é trivial s pod sr facilmnt justificada s por xmplo rcorrndo mais uma vz a uma rta numérica d origm qualqur o ponto d abcissa coincidnt com Sabmos ntão (cf txto d apoio ao dscritor 52) qu são rsptivamnt os pontos dssa rta numérica d abcissas ftuando a adição dos vtors aplicando a rgra do triângulo a partir do ponto o ponto qu s obtém para xtrmidad do sgmnto orintado d origm qu rprsnta o vtor soma é xactamnt o qu tm abcissa pla dfinição gométrica conhcida d adição d númros rprsntados numa rta numérica (cf Mtas Curriculars do nsino básico NO6-33 NO8-27) 36 1 *Considr dois vtors não colinars ; prtndmos provar qu Para o fito fixado um ponto do plano sja como s ilustra na figura junta 11 Justifiqu qu 12 Sndo utilizando o Torma d Tals justifiqu qu as rtas são parallas 13 Conclua da alína antrior qu 14 Justifiqu qu as smirrtas têm o msmo sntido conclua utilizando também as alínas antriors qu [Sugstão: para comparar os sntidos das rfridas smirrtas not qu por construção os pontos numa msma smirrta d origm no ponto da rta ] 15 Conclua finalmnt qu stão 2 **Utilizando uma construção idêntica à do xrcício antrior prov qu dados dois vtors não colinars ; fixando um ponto do plano sndo 3 *Considr vtors colinars considr uma rta numérica d origm 31 Justifiqu qu é um ponto da rta 32 Dmonstr a igualdad traduzindo-a numa quação nvolvndo as abcissas dos pontos na rfrida rta numérica númros rais ; prov qu 4 Considr um vtor comparando as normas dircçõs sntidos dos dois vtors a partir da dfinição d produto d um vtor por um scalar Cadrno d Apoio GA10 Página 31

33 Na figura junta rprsnta-s um plano munido d um rfrncial ortonormado d ] origm dois sgmntos orintados [ ] ond [ Considr os pontos os vtors (da bas canónica do spaço vtorial dos vtors do plano) 11 Sndo dtrmin utilizando uma construção gométrica um vtor com a dirção d um vtor com a dirção d tais qu 12 Quantas soluçõs difrnts xistm para a alína antrior? Justifiqu 13 Conclua qu xist um somnt um par ordnado d númros rais tais qu dsignando st par como «coordnadas do vtor» dtrmin-o rsolva uma xrcício idêntico ao das alínas antriors 14 Sndo substituindo por rsolva uma xrcício idêntico ao das alínas 11 a 15 Sndo 13 substituindo por 16 Justifiqu qu as coordnadas dos pontos têm d sr iguais às coordnadas rspctivamnt dos vtors (ditos «vtors posição» dos rfridos pontos) rprsnt sts vtors através d sgmntos orintados d origm 2 *Considr um plano munido d um rfrncial ortonormado d origm os pontos os vtors (da bas canónica do spaço vtorial dos vtors do plano) um vtor dss plano 21 ixado um ponto nss plano sndo mostr utilizando a rgra do triângulo qu xist um somnt um ponto tal qu s for igual à soma d um vtor com a dirção d com um vtor com a dirção d ntão 22 Conclua da alína antrior qu xist um somnt um par ordnado d númros rais tal qu dsignando st par por «coordnadas do vtor» 23 Justifiqu qu as coordnadas do ponto são iguais às coordnadas do vtor (dito «vtor posição» do ponto ) Considr um plano munido d um rfrncial ortonormado vtors um númro ral os pontos os vtors (da bas canónica do spaço vtorial dos vtors do plano) 11 Justifiqu qu qu 12 Utilizando as propridads algébricas conhcidas das opraçõs com vtors conclua qu o vtor (rsptivamnt ) tm coordnadas (rsptivamnt ) qu o vtor tm coordnadas qu o vtor simétrico do vtor tm coordnadas comçando por dtrminar xprssõs para sts vtors como combinaçõs linars dos vtors da bas canónica Cadrno d Apoio GA10 Página 32

34 13 Suponha qu não são nulos justifiqu qu são colinars s somnt s as rsptivas coordndadas form todas não nulas os quocints das coordnadas corrspondnts form iguais ou as primiras ou sgundas coordnadas d ambos os vtors form nulas 2 Considr um plano munido d um rfrncial ortonormado d origm pontos dss plano 21 Justifiqu qu 22 Atndndo à alína antrior ao qu s sab acrca das coordnadas do vtor posição d um ponto das coordnadas da difrnça d dois vtors justifiqu qu o vtor tm coordnadas 23 Dado um vtor utilizando a alína antrior mostr qu o ponto tm coordnadas comçando por dsignar ssas coordnadas por notando qu por dfinição 3 ixado um plano munido d um rfrncial ortonormado dado um vtor tomando por unidad d comprimnto a unidad comum dos ixos coordnados mostr qu utilizando o Torma d Pitágoras 61 1 Considr fixado um plano munido d um rfrncial cartsiano os vtors Dtrmin as coordnadas do vtor tal qu 2 Na figura stá rprsntado um parallogramo [ ] os pontos médios dos lados [ ] [ ] [ ] [ ] rsptivamnt os vtors Sab-s fixado um crto rfrncial ortonormado qu 21 Justifiqu qu indiqu as coordnadas d 22 *Dtrmin as coordnadas dos pontos 23 *Justifiqu qu dtrmin as coordnadas dos vértics do parallogramo [ ] 3 Num plano munido d um rfrncial cartsiano os pontos são vértics conscutivos d um losango o ponto é o ponto d intrsção das rsptivas diagonais Dtrmin as coordnadas dos outros dois vértics 4 *Considr num plano munido d um rfrncial cartsiano três pontos não colinars Sja o ponto médio do sgmnto d rta [ ] Rlmbrando qu o baricntro do triângulo [ ] é o ponto do sgmnto d rta [ ] tal qu vrifiqu qu o baricntro coincid com a intrscção das mdiatrizs do triângulo dtrminando sucssivamnt: 41 as coordnadas d ; 42 as coordnadas d ; 43 as coordnadas d ; 44 as coordnadas d Cadrno d Apoio GA10 Página 33

35 62 1 Num plano munido d um rfrncial cartsiano sab-s qu os pontos são vértics d um parallogramo Dtrmin as possívis coordnadas do quarto vértic do parallogramo 2 Num plano munido d um rfrncial cartsiano dtrmin s xistir um númro ral tal qu os vtors sjam colinars com o msmo sntido 3 Considr um plano munido d um rfrncial ortonormado o vtor Dtrmin as coordnadas do vtor colinar a d sntido contrário d norma 15 4 Num plano munido d um rfrncial ortonormado os pontos são vértics d um trapézio cujas bass são os sgmntos d rta[ ] [ ] 41 *Dtrmin todas as coordnadas possívis do vértic sabndo qu 42 *Considr Prov qu o quadrilátro dfinido plos pontos médios dos lados do trapézio [ ] é um parallogramo 63 1 Considr num plano munido d um rfrncial cartsiano as rtas dfinidas rsptivamnt por { 11 Dtrmin os pontos m qu a rta intrsta os ixos coordnados 12 Dtrmin a ordnada do ponto da rta qu tm abcissa 13 Justifiqu qu o ponto prtnc à rta 14 Indiqu para cada uma das rtas um vtor dirtor 15 Escrva a quação rduzida da rta 16 Indiqu d ntr vntuais pars d rtas parallas 2 Considr num rfrncial cartsiano do plano a rta dfinida por Dtrmin a quação rduzida da rta paralla a qu intrsta o ixo no msmo ponto qu a rta d quação 3 *Dtrmin para qu valors rais d o ponto prtnc à rta d quação 4 **Num rfrncial ortonormado do plano as rtas contêm dois lados iguais d um triângulo qu mdm unidads Dtrmin as possívis coordnadas dos vértics dss triângulo 5 **Considr num plano munido d um rfrncial cartsiano a circunfrência dfinida pla quação o ponto Dtrmin a quação rduzida d cada uma das rtas qu passando por são tangnts à circunfrência Cadrno d Apoio GA10 Página 34

36 6 Considr num plano munido d um rfrncial cartsiano um ponto a circunfrência d cntro dfinida pla quação os pontos d intrsção da circunfrência com o ixo o ponto d intrsção da circunfrência com o ixo d ordnada suprior à do ponto 61 Dtrmin as coordnadas d 62 Dtrmin a quação rduzida da rta ] 63 Calcul a ára do triângulo [ 7 Considr num plano munido d um rfrncial cartsiano a circunfrência qu passa nos pontos tais qu [ ] stá contido na bisstriz dos quadrants ímpars [ ] stá contido na bisstriz dos quadrants pars Sabs ainda qu a ordnada d é igual a da ordnada d 71 *Dtrmin as coordnadas d d sabndo qu a ára do triângulo [ ] é igual a unidads d ára 72 Justifiqu qu [ ] é um diâmtro da circunfrência scrva uma quação dssa circunfrência 73 Escrva uma quação cartsiana da rta 73 Comntário Ao abordar-s a Gomtria Analítica plana no Ensino Básico dfiniram-s rfrnciais cartsianos grais ou sja não ncssariamnt ortogonais nm monométricos (cf Mtas Curriculars para o Ensino Básico OTD5-11); nss contxto cada coordnada d um dado ponto é obtida através da intrsção com um dos ixos da rta paralla ao outro ixo qu passa plo ponto (cf ibid OTD5-12) Vrifica-s facilmnt qu no caso m qu o rfrncial é ortogonal ( apnas nst caso) o msmo rsultado pod sr obtido considrando as projçõs ortogonais do ponto m cada um dos ixos coordnados Na gnralização qu aqui é fita ao spaço da noção d rfrncial cartsiano uma vz qu apnas s considram rfrnciais ortogonais é sta caractrização qu s adota para stndr ao spaço a noção d coordnadas d um ponto rlativamnt a um rfrncial dssa naturza; com fito ssa opção prmit simplificar o studo dsts rfrnciais por facultar uma utilização mais dirta das propridads gométricas conhcidas da noção d prpndicularidad No ntanto para rfrnciais cartsianos no spaço mais grais nomadamnt s os ixos não form dois a dois prpndiculars mas simplsmnt não complanars as cooordnadas d um ponto podriam sr dfinidas analogamnt ao qu foi fito no caso do plano comçando por considrar a intrsção d cada ixo com o plano contndo o ponto parallo ao plano dtrminado plos outros dois ixos; as abcissas dsss pontos no rsptivo Cadrno d Apoio GA10 Página 35

37 ixo sriam xatamnt as coordnadas d nss rfrncial Provar-s-ia dpois facilmnt qu as coordnadas podriam sr obtidas comçando por considrar a intrsção da rta passando por paralla a um dos ixos com o plano dtrminado plos rstants dois ixos; as coordnadas do ponto assim obtido num dos planos coordnados rlativamnt ao rfrncial constituído plos ixos qu dtrminam ss plano sriam xactamnt duas das coordnadas do ponto no rfrncial spacial inicialmnt fixado 75 1 *Considr um rfrncial ortonormado do spaço um trno ordnado d númros rais 11 Justifiqu qu o conjunto dos pontos do spaço cuja projção ortogonal sobr o ixo é um dado ponto é o plano prpndicular a qu passa m 12 Considr o plano prpndicular ao ixo qu contém o ponto o plano prpndicular ao ixo qu contém o ponto Justifiqu qu são prpndiculars caractriz através das abcissas ordnadas os pontos da rsptiva rta intrsção 13 Considr o plano prpndicular ao ixo qu contém o ponto Justifiqu qu o plano intrsta a rta num único ponto qu ss é o único ponto do spaço d coordnadas 76 1 * Considr um rfrncial ortonormado um ponto d projção ortogonal no plano 11 Considr o ponto projção ortogonal do ponto no ixo Justifiqu qu o plano dfinido plos pontos é prpndicular ao ixo 12 Justifiqu qu a rta é prpndicular ao ixo conclua qu a abcissa d é igual a 13 Utilizando um raciocínio análogo ao utilizado m conclua qu a ordnada do ponto é igual a qu as coordnadas d são qu no plano tm coordnadas 83 1 Considr um parallpípdo rtângulo como o qu stá rprsntado na figura tal qu numa dada unidad 11 Dtrmin utilizando o torma d Pitágoras uma xprssão para a mdida d m função d d 12 Justifiqu qu é prpndicular a AC prov qu Cadrno d Apoio GA10 Página 36

38 13 *Dfiniu-s um rfrncial ortonormado do spaço tal qu o ixo o ixo é parallo a o ixo é parallo a Tm-s ainda G tal como rprsnta a figura junta 131 Justifiqu qu: é parallo 132 Conclua qu a distância ntr os pontos é dada por: Informação Complmntar para o profssor A xtnsão ao spaço da dfinição da rlação d quipolência ntr sgmntos orintados não ofrc dificuldad uma vz qu dois sgmntos orintados quipolnts por dfinição stão associados a sgmntos d rta prtncnts a um msmo plano srm quipolnts no spaço significa srm quipolnts no plano dtrminado por sss sgmntos d rta No dscritor 92 xprim-s d modo informal o facto d s idntificar um vtor do spaço com a class d quivalência d um dado sgmnto orintado para a rlação d quipolência analogamnt ao qu foi fito no Ensino Básico para a noção d vtor no plano Para s vrificar qu a rlação d quipolência é d quivalência a única propridad qu carc d nova dmonstração para além do qu já ra conhcido num plano é a transitividad no caso d três sgmntos orintados não complanars Assim basta ] [ ][ ] tais qu são dmonstrar qu s form dados três sgmntos orintados [ ] [ ] ntão também é parallogramo o parallogramos os quadrilátros [ ] Ora qu as rtas quadrilátro [ são parallas rsulta imdiatamnt da transitividad do parallismo já qu por um lado por outro são parallas por hipóts Por outro lado qu são parallas rsulta do parallismo dos planos (são parallos porqu as rtas concorrnts do primiro plano são rsptivamnt parallas às rtas concorrnts do sgundo por hipóts); com fito as rtas são parallas porqu rsultam da intrsção dsss dois planos parallos com o plano já qu os pontos são obviamnt pontos da intrsção dos planos o ponto stá na intrsção do plano com o plano o ponto por um lado stá obviamnt no plano por outro também tm d star no plano já qu prtnc à única paralla à rta qu passa plo ponto Dfinida sta rlação d quivalência ntr sgmntos orintados do spaço é agora fácil stndr ao spaço a noção d vtor simplsmnt idntificando os vtors do spaço com as classs d quivalência para a rlação d quipolência o qu com acima foi rfrido fica xprsso d modo informal no dscritor 92 Cadrno d Apoio GA10 Página 37

39 Também é fácil agora stndr do plano ao spaço a dfinição d norma d um vtor (fixada uma unidad d comprimnto) d adição d um ponto com um vtor d translação d um dado vtor as opraçõs d subtração d dois pontos d adição subtração d vtors d multiplicação d um vtor por um scalar as rsptivas propridads gométricas algébricas Por xmplo a corência da dfinição d soma d dois vtors pod sr justificada xatamnt com os msmos argumntos utilizados para o caso d vtors d um plano no comntário acima aos dscritors 31 a 34 utilizando a msma figura (rproduzida ao lado) ond agora ] [ ] [ ] os sgmntos orintados [ [ ] não são ncssariamnt complanars Considr um rfrncial ortonormado d origm no spaço os pontos os vtors (da bas canónica do spaço vtorial dos vtors do spaço) um vtor 11 *Como xmplificado na figura junta considr um ponto do spaço sja Suponha qu ond tm a dirção d tm a dirção d tm a dirção d Utilizando a rgra do triângulo para a soma d com mostr qu sndo ntão tm um ponto tal qu d prtncr à rta paralla ao ixo qu passa no ponto 12 **Com as notaçõs da alína antrior utilizando a rgra do parallogramo para a soma a rgra do triângulo para a soma d com mostr qu sndo um ponto tal qu ntão stá na intrsção da rta com o plano normal à rta qu passa plo ponto ou sja é a projção ortogonal do ponto no plano parallo ao plano qu passa no ponto 13 *Conclua da alína antrior qu xist um somnt um trno ordnado d númros rais tal qu dsignando st trno por «coordnadas do vtor» 14 Justifiqu qu as coordnadas do ponto são iguais às coordnadas do vtor (dito «vtor posição» do ponto ) ixado um rfrncial ortonormado do spaço os pontos três dos vértics d uma das bass d um prisma quadrangular rgular [ altura 11 Indiqu as coordnadas do ponto quarto vértic da bas Cadrno d Apoio GA10 Página 38 são ] d

40 12 Dfina analiticamnt: 121 O plano qu contém a bas [ ] do prisma 122 O plano mdiador da arsta [ ] 123 A rta sabndo qu o vértic tm a msma abcissa ordnada d 124 O plano mdiador d [ ] 125 A arsta [ ] sabndo qu é a projção ortogonal do vértic no plano 126 O conjunto dos pontos do spaço cuja distância ao ponto é igual a 13 Dtrmin o volum do prisma 2 Considr fixado um rfrncial cartsiano do spaço a suprfíci sférica d quação 21 Indiqu o cntro o raio da suprfíci sférica 22 Dtrmin xprssõs analíticas qu dfinam a intrsção da suprfíci sférica com cada um dos sguints conjuntos d pontos: 221 O ixo 222 O plano d quação 223 O plano d quação 23 Prov qu o ponto prtnc à suprfíci sférica dtrmin a inquação rduzida da sfra d cntro raio 3 Considr fixado um rfrncial cartsiano do spaço os pontos Dtrmin: 31 as coordnadas do ponto tal qu é o ponto médio [ ] 32 a inquação rduzida da sfra d diâmtro [ ] 4 Considr fixado um rfrncial cartsiano do spaço a suprfíci sférica d quação 41 Dtrmin uma xprssão analítica para a intrsção da suprfíci sférica com o plano 42 Dtrmin analiticamnt para qu valors rais d o plano d quação tm intrsção não vazia com a suprfíci sférica 43 *Dtrmin para qu valors rais d a intrsção d com o plano é uma circunfrência d raio 5 *ixado um rfrncial ortonormado do spaço considr os pontos Idntifiqu analiticamnt o conjunto dos pontos do spaço quidistants d Considr fixado um rfrncial ortonormado do spaço os pontos o vtor Dtrmin as coordnadas d: ( ) 15 um vtor colinar a d norma sabndo qu Cadrno d Apoio GA10 Página 39

41 2 Considr fixado um rfrncial cartsiano do spaço um prisma quadrangular rgular [ ] tal qu os vértics prtncm a uma das bass o vértic prtnc à outra bas como ilustra a figura junta 21 Sja o ponto médio da arsta [ ] Dtrmin as coordnadas do vtor 22 *Dtrmin os númros rais tais qu 23 Dtrmin as coordnadas do vtor 24 Escrva as quaçõs paramétricas da rta qu passa m é paralla ao ixo 3 Considr fixado um rfrncial ortonormado do spaço o ponto o vtor 31 Escrva as quaçõs paramétricas da rta qu tm a dirção d passa no ponto 32 Mostr qu o ponto prtnc à rta 33 Utilizando as quaçõs obtida m 31 dtrmin as coordnadas do ponto intrsção da rta com o plano 34 Os pontos são as xtrmidads d um diâmtro d uma sfra d cntro Dtrmin as coordnadas d o raio dssa sfra 35 Indiqu as coordnadas d um ponto qu não sja colinar com 4 ixado um rfrncial ortonormado do spaço considr os pontos ] vértics do cubo [ ilustrado na figura junta ] tm as 41 Justifiqu qu o ttradro [ arstas todas iguais (ou sja qu é um ttradro rgular ) 42 Dtrmin as coordnadas dos rstants vértics do cubo 43 Dtrmin quaçõs paramétricas da rta 44 Dfina analiticamnt o sgmnto d rta [ ] 5 *ixado um rfrncial ortonormado do spaço para um dado valor ral d os vtors são colinars Dtrmin 6 ixado um rfrncial ortonormado do spaço foi rprsntada uma pirâmid quadrangular rgular d vértic bas [ ] Um plano parallo à bas intrsta a pirâmid ] Sab-s ainda qu dfinindo o quadrado [ 61 Dtrmin as coordnadas dos vértics do vtor 62 *Sabndo qu a ára da bas da pirâmid é igual a unidads quadradas dtrmin as coordnadas d do ponto Cadrno d Apoio GA10 Página 40

42 unçõs Rais d Variávl Ral RVR10 Dscritor 11 rr Txto d Apoio Comntário 12 No Ensino Básico introduz-s a noção d função d um dado conjunto m dado conjunto sm s xplicitar d qu objto matmático d facto s trata mas impondo-s qu uma função fica bm dtrminada quando para além dos conjuntos s indica para cada lmnto d qual o lmnto (único) d qu lh fica associado o qual s rprsnta por Introduziram-s algumas noçõs básicas rlativas a st concito m particular a d par ordnado a d gráfico É pois d toda a convniência ftuar a rvisão dsts concitos a propósito dst objtivo gral (cf Mtas Curriculars do Ensino Básico SS7-11 a 17) Rsulta da caractrização dada no nsino básico d função d gráfico qu uma função fica dtrminada plos conjuntos plo rsptivo gráfico qu um conjunto d pars ordnados com (ou sja como agora podmos scrvr ) é gráfico d uma função d m s somnt s para todo o xistir um somnt um lmnto tal qu Assim mbora tal não sja rqurido podríamos idntificar uma função d gráfico como o trno ordnado ( ) o qu staria d acordo com as propridads impostas no Ensino Básico à noção d função Considr a função dfinida por 11 Justifiqu qu é bijtiva aprsnt uma xprssão para 12 Mostr qu para todo o 2 *Considr a função bijtiva Calcul utilizando a dfinição d justifiqu qu qu para 3 *Sjam funçõs: 31 Suponha qu 311 é bijtiva Suponha qu é bijtiva 2 6 ; prov qu: ; prov qu: Comntário Convém rcordar a convnção introduzida no Ensino Básico (Mtas curriculars d Matmática para o Ensino Básico SS7-19) d acordo com a qual s dsigna também apnas por «gráfico d» quando sta dsignação não for ambígua um gráfico cartsiano d uma função ral d variávl ral ou sja o conjunto dos pontos d um plano munido d um rfrncial cartsiano cujas coordnadas são xatamnt os pars ordnados lmntos do gráfico d propriamnt dito ou sja os pars com m Cadrno d Apoio RVR10 Página 41

43 1 Considr a função dfinida m por o rsptivo gráfico rprsntado num plano munido d um rfrncial ortogonal 11 Sja Indiqu as coordnadas dos sguints pontos do gráfico d : - o ponto d abcissa ; - o ponto d abcissa 12 Prov qu o ponto médio d [ ] prtnc ao ixo das ordnadas 13 Justifiqu qu o ixo das ordnadas é prpndicular ao sgmnto d rta [ ] 14 Conclua qu o ixo das ordnadas é ixo d simtria do gráfico d 2 *Considr uma função par dfinida m o rsptivo gráfico rprsntado num plano munido d um rfrncial ortogonal 21 Sja um ponto do gráfico d Indiqu as coordnadas do ponto do gráfico d d abcissa 22 Mostr qu qualqur ponto do ixo das ordnadas é quidistant d d 23 Conclua qu o ixo das ordnadas é ixo d simtria do gráfico d 3 *Considr uma função d variávl ral cujo gráfico num plano munido d um rfrncial ortogonal é simétrico rlativamnt ao ixo das ordnadas Mostr qu é par Considr a função dfinida m por o rsptivo gráfico rprsntado num plano munido d um rfrncial cartsiano 11 Mostr qu é uma função ímpar 12 Mostr qu os pontos do gráfico d d abcissas rsptivamnt iguais a a são simétricos rlativamnt à origm do rfrncial 13 *Mostr qu o gráfico d é simétrico rlativamnt à origm do rfrncial 2 *Considr uma função ímpar dfinida m o rsptivo gráfico rprsntado num rfrncial ortogonal 21 Sja um ponto do gráfico d Indiqu as coordnadas do ponto do gráfico d d abcissa 22 Prov qu o ponto médio d [ ] é o ponto origm do rfrncial 23 Conclua qu a imagm do gráfico d pla rflxão cntral d cntro coincid com o próprio gráfico 3 *Considr uma função d variávl ral cujo gráfico num plano munido d um rfrncial cartsiano é simétrico rlativamnt à origm isto é a imagm d pla rflxão cntral d cntro coincid com Mostr qu é impar Considr a função dfinida por 11 Justifiqu qu é uma função bijtiva dtrmin uma xprssão analítica para Rprsnt num plano munido d um rfrncial ortonormado os gráficos das funçõs 12 Dtrmin a imagm dos pontos do gráfico d d abcissas rsptivamnt iguais a pla rflxão axial d ixo d quação vrifiqu qu s trata d pontos do gráfico d 13 *Mostr qu a imagm do gráfico d gráfico d Cadrno d Apoio RVR10 pla rflxão d ixo d quação Página 42 éo

44 2 **Considr uma função [ bijtiva um ponto ainda a função [ [ [ o ponto do gráfico d abcissa [ [ [ Considr [ invrsa d qu tm por Prov qu qualqur ponto da rta é quidistant d d conclua qu os gráficos d d são simétricos rlativamnt à bisstriz dos quadrants impars 3** ixado um plano munido d um rfrncial cartsiano mostr qu a imagm d um ponto pla rflxão d ixo d quação é o ponto conclua dada uma função bijtiva qu os gráficos d d são simétricos rlativamnt a ss ixo 29 Comntário Esta qustão foi abordada no nsino básico (cf Mtas Curriculars d Matmática para o Ensino Básico SS8-12) plo qu pod consultar-s a st propósito o txto no Cadrno d Apoio ao 3º ciclo rlativo ao rfrido dscritor 1 Considr as funçõs dfinidas m por Considr ainda num plano munido d um rfrncial cartsiano os gráficos dstas duas funçõs o ponto do gráfico d d abcissa 11 Dtrmin as coordnadas do ponto imagm d pla translação d vtor justifiqu qu prtnc ao gráfico d 12 Justifiqu qu a imagm d qualqur ponto do gráfico d pla translação rfrida na alína antrior é um ponto do gráfico d 13 Invrsamnt justifiqu qu todo o ponto do gráfico d é a imagm d um ponto do gráfico d pla translação rfrida na alína 11 2 Considr duas funçõs rais dfinidas m tais qu para todo o ond Considr ainda num plano munido d um rfrncial cartsiano os gráficos dstas duas funçõs o ponto do gráfico d d abcissa 21 Dtrmin as coordnadas do ponto imagm d pla translação d vtor justifiqu qu prtnc ao gráfico d 22 Considr um ponto do gráfico d Prov qu é a imagm d um ponto do gráfico d pla translação d vtor Considr a função dfinida por 11 Qual o domínio da função dfinida pla xprssão? 12 Justifiqu qu o ponto prtnc ao gráfico d Qual a imagm d pla translação d vtor? Mostr qu s trata d um ponto do gráfico d 13 *Mostr qu a imagm do gráfico d pla translação d vtor é o gráfico d Cadrno d Apoio RVR10 Página 43

45 2 *Considr duas funçõs rais dfinidas rsptivamnt m { } ond tais qu para todo o Considr ainda num rfrncial cartsiano os gráficos dstas duas funçõs o ponto do gráfico d d abcissa 21 Dtrmin as coordnadas do ponto imagm d pla translação d vtor justifiqu qu prtnc ao gráfico d 22 Considr um ponto do gráfico d Prov qu é a imagm d um ponto do gráfico d pla translação rfrida na alína antrior Comntário O studo das transformaçõs gométricas d gráficos cartsianos associadas a translaçõs homottias nas variávis dpndnt indpndnt d uma dada função pod sr ilustrado com rcurso à calculadora gráfica ou outros mios tcnológicos para obtr rprsntaçõs gráficas d funçõs Além disso spcialmnt no caso das homottias (cf ) é intrssant rcorrr a funçõs com domínios finitos como no xmplo sguint o qu pod também facilitar a comprnsão do rsultado gral { 1 Sja } o gráfico d uma dada função Rprsnt num rfrncial ortogonal Rprsnt as imagns dos pontos do gráfico cartsiano d pla transformação qu ao ponto do plano associa o ponto } dfinida por por Considr a função d domínio { Rlacion o gráfico cartsiano d com a transformação com o gráfico cartsiano d Rprsnt d novo o gráfico cartsiano d as imagns dos rsptivos pontos pla transformação qu ao ponto do plano associa o ponto 15 Obtnha uma xprssão analítica para função cujo gráfico cartsiano é a imagm do gráfico cartsiano d pla transformação Sja { } o gráfico d uma dada função 11 Rprsnt num rfrncial ortogonal 12 Rprsnt as imagns dos pontos do gráfico cartsiano d pla transformação qu ao ponto 13 Considr a função do plano associa o ponto ( ) d domínio { } dfinida por Rlacion o gráfico cartsiano d com a transformação com o gráfico cartsiano d 14 Rprsnt d novo o gráfico cartsiano d as imagns dos rsptivos pontos pla transformação qu ao ponto do plano associa o ponto 15 Obtnha o domínio uma xprssão analítica para função cujo gráfico cartsiano é a imagm do gráfico cartsiano d pla transformação Cadrno d Apoio RVR10 Página 44

46 46 Informação Complmntar para o profssor A propridad xprssa nst dscritor pod sr dmonstrada considrando três pontos arbitrários do gráfico cartsiano d uma função ral d ( ) variávl ral dfinida num dado intrvalo tais qu notando qu s prtnd studar o sntido da concavidad do gráfico d comparando as ordnadas d do ponto Comcmos ntão por calcular ; ( ) do sgmnto d rta [ ] tal qu atndndo às quaçõs paramétricas do sgmnto d rta [ ] tmos: [ { Mas plo qu à hipóts ] tndo-s d facto [ ] atndndo Então: portanto a dsigualdad é quivalnt a: ou sja dsignando por o dcliv d uma rta : A quivalência qu acabámos d stablcr pod sr xprssa informalmnt dizndo qu partindo d dtrminado ponto do plano prcorrndo da squrda para a dirita uma rta não vrtical quanto maior for o rsptivo dcliv maior srá a ordnada do ponto atingido com dtrminada abcissa pré-fixada rciprocamnt É finalmnt portanto sta última dsigualdad vrificada para quaisqur pontos nas condiçõs acima qu prtndmos provar qu é quivalnt ao gráfico d tr a concavidad virada para cima Ora sta última condição xprim-s através da dsigualdad: ou sja: Provmos ntão qu para quaisqur pontos nas condiçõs inicialmnt stablcidas pod sr scrito como uma média psada d ou dito d outra forma no triângulo [ Para isso basta notar qu: Ond Cadrno d Apoio RVR10 ] ] o dcliv d [ atndndo a qu é uma média psada dos dclivs d Página 45

47 Acabámos ntão d provar qu: ] [) prtndmos dmonstrar a quivalência para quaisqur nas (para crto condiçõs acima ntr o qu é gomtricamnt óbvio (já qu stá smpr no intrvalo d xtrmos ) rsulta imdiatamnt da quação acima: : Para s obtr o rsultado rlativo aos gráficos d funçõs quanto à propridad d trm a concavidad voltada para baixo basta aplicar o rsultado antrior às funçõs 48 1 Considr a função dfinida m pla xprssão 11 Calcul as ordnadas dos pontos do gráfico d sabndo qu as rsptivas abcissas são 12 Compar o dcliv das rtas 13 Rpita o xrcício da alína antrior scolhndo três pontos arbitrários do gráfico d d abcissas rsptivamnt conclua quanto ao sntido da concavidad do gráfico d 2 *Considr a função dfinida m pla xprssão Considr ainda pontos prtncnts ao gráfico d tais qu num rfrncial cartsiano as rsptivas abcissas vrificam a condição: 21 Exprima m função das abcissas d d o dcliv da rta 22 Exprima m função das abcissas d d o dcliv da rta 23 Considr compar os dclivs das rtas 24 Considr compar os dclivs das rtas 25 Conclua qual a rlação ntr o sinal d o sntido da concavidad do gráfico d 61 1 Rprsnt sob a forma d intrvalos ou uniõs d intrvalos os conjuntos-solução das sguints condiçõs m : Cadrno d Apoio RVR10 Página 46

48 2 Para cada valor ral d d a xprssão dfin uma função quadrática 21 Considr dtrmin o contradomínio d 22 *Para qu valors rais d d o contradomínio da função dfinida por é difrnt d [ [? 3 Para cada valor ral d a xprssão dfin uma uma função 31 *Indiqu justificando o valor lógico d cada uma das sguints proposiçõs: (I) (II) S ( ); o contradomínio d é] ]; (III) S ntão ( ) 32 Dtrmin para qu valors rais d a quação é impossívl m 4 *Exist uma única rta paralla à rta d quação qu intrsta a parábola d quação num único ponto Dtrmin as coordnadas dss ponto 5 *Dtrmin para qu valors rais d a rta d quação intrsta a parábola d quação num único ponto para cada valor d dtrmin as coordnadas do ponto d intrsção da rta com a parábola 62 1 Rsolva as sguints quaçõs simplificando tanto quanto possívl as xprssõs qu rprsntam as rsptivas soluçõs: 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 2 Rprsnt sob a forma d intrvalos ou uniõs d intrvalos os conjuntos-solução das sguints condiçõs: 21 ; 22 ; 23 * 63 1 Avrigu s as funçõs dfinidas no maior domínio possívl plas sguints xprssõs são pars ou ímpars ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 2 O gráfico d uma função afim intrsta o ixo m ordnada 21 Dtrmin: 211 a forma canónica d 212 os zros da função dfinida por 213 o contradomínio da função dfinida por 22 Esboc o gráfico da função dfinida por Cadrno d Apoio RVR10 o ixo ; no ponto d ; Página 47

49 3 Considr uma função d domínio d contradomínio [ das funçõs dfinidas plas sguints xprssõs: 31 ; 32 ; 33 ; 34 4 Considr ] Indiqu o contradomínio a função dfinida por rprsntada na figura num rfrncial cartsiano O quadrilátro [ ] é um rtângulo sndo A o ponto intrsção do gráfico d com o ixo um ponto do gráfico d um ponto do ixo 41 Dtrmin as coordnadas dos vértics 42 Dtrmin a ára do rtângulo [ ] 43 Considr a função tal qu 431 Dtrmin o ponto d intrsção do gráfico d g com o ixo dsign-o por ] d forma análoga ao construído na figura 432 Construa o rtângulo [ calcul a rsptiva ára ] [ ] rlacion a 433 Compar as áras dos rtângulos [ conclusão com a contração qu transforma o gráfico d no gráfico d 44 Considr a função tal qu 441 Dtrmin o ponto d intrsção do gráfico d com o ixo dsign-o ] d forma análoga ao construído na por construa o rtângulo [ figura dtrmin a rsptiva ára ][ ] rlacion a conclusão 442 Compar as áras dos rtângulos [ com a contração qu transforma o gráfico d no gráfico d 45 *Considr a função dfinida por ( ) A partir do gráfico d d ] Indiqu a forma análoga ao das alínas antriors construa um rtângulo [ ára do rtângulo idntifiqu as transformaçõs no gráfico d qu justificam o valor obtido para a ára 64 1 Considr as funçõs dfinidas por 11 Dfina as funçõs indicando os rsptivos domínios uma xprssão analítica tanto quanto possívl simplificada para cada uma das funçõs 12 Tndo m conta a alína antrior o qu pod afirmar acrca da comutatividad da composição d funçõs? 2 Diz-s qu duas funçõs são prmutávis quando 21 Mostr qu as funçõs dfinidas m por são prmutávis 22 * Dê xmplo d duas funçõs afins cujos gráficos s intrstm num ponto da bisstriz dos quadrants ímpars Mostr qu são prmutávis Cadrno d Apoio RVR10 Página 48

50 3 *Considr a função afim qu para dados valors rais é dfinida por Dtrmin a xprssão analítica da função invrsa d indiqu m qu condiçõs s tm Intrprt gomtricamnt sta igualdad 4 *Dados considr a função quadrática dfinida por 41 Mostr qu admit um único xtrmo absoluto 42 Prov qu s a função tivr dois zros a abcissa do vértic da parábola (isto é o ponto do gráfico d qu corrspond ao rsptivo xtrmo absoluto) d quação é igual à média aritmética dos zros 5 Um con rto tm altura igual ao triplo do raio da bas volum 51 Dsignando por o raio da bas xprima m função d 52 Dtrmin para qu valor d a ára da bas é igual a 6 *Na figura stá rprsntada num rfrncial ortonormado part do gráfico da função dfinida por qu intrsta o ixo no ponto O ponto prtnc ao gráfico da função é um ponto do ixo tal qu d abcissa suprior à abcissa d Rprsntando a abcissa do ponto por xprima m função d a ára do triângulo [ ] dtrmin para qu valor d a ára do triângulo é igual a 7 Considr a função dfinida por: { 71 Calcul 72 Avrigu s a função tm zros 8 Um projétil é lançado vrticalmnt a rsptiva altura (m mtros acima do solo) é dada m função d (m sgundos após o instant inicial ) por 81 Qual a altura do projétil no instant m qu foi lançado? 82 Qual a altura máxima atingida plo projétil? 83 Quanto tmpo stv o projétil a uma altura suprior a mtros? 84 Ao fim d quanto tmpo o projétil atingiu o solo? Indiqu o rsultado m sgundos arrdondados às décimas 9 Considr as funçõs dfinidas rsptivamnt por m [ [ m 91 Esboc o gráfico das funçõs 92 Dtrmin os zros d 93 Utilizando a calculadora gráfica dtrmin valors aproximados às décimas das soluçõs da quação justificando por qu razão xistm xatamnt duas soluçõs 10 O raio d uma suprfíci sférica d ára é dfinido pla xprssão Utilizando sta xprssão 101 Dtrmin o raio d uma suprfíci sférica d ára igual a Cadrno d Apoio RVR10 Página 49

51 102 Mostr qu o volum da sfra d raio pod sr dfinido pla xprssão 103 Dtrmin para qu valor d rsptiva suprfíci sférica o volum da sfra é igual a mtad da ára da 11 Na figura junta stá rprsntada num plano munido d um rfrncial ortonormado part do gráfico da função dfinida por o ponto d coordnadas Considr a função qu associa a cada a distância ntr o ponto do gráfico d d abcissa 111 Prov qu para todo 112 Sabndo qu xistm xatamnt dois pontos do gráfico d qu distam uma unidad d indiqu o valor xato da abcissa d um dls utiliz a calculadora gráfica para obtr um valor aproximado às décimas da abcissa do outro xplicando o procdimnto utilizado 113 Exist um ponto m qu os gráficos d d s intrstam Dtrmin-o por métodos analíticos intrprt gomtricamnt o rsultado obtido 65 1 Nas figuras stão rprsntadas duas funçõs 11 Indiqu o domínio d cada uma das funçõs 12 Indiqu o domínio da função calcul 13 Indiqu o domínio d calcul 2 Considr as funçõs dfinidas por 21 Dtrmin o domínio d cada uma das funçõs 22 Dtrmin o domínio da função dtrmin os zros d 23 Dtrmin ( ) 3 Considr as funçõs dfinidas por Dtrmin o domínio da função Cadrno d Apoio RVR10 Página 50

52 Estatística EST10 Dscritor Txto d Apoio Comntário A inclusão dsts dscritors como prâmbulo ao bloco d statística do 10º ano tm como objtivo nomadamnt dar agilidad aos alunos na manipulação d somatórios para qu lhs vnha a sr mais fácil dmonstrar as principais propridads da média do dsvio padrão d uma amostra 1 Proponha uma xprssão analítica para o trmo gral da squência ( ) utilizando o símbolo d somatório rprsnt a soma dos rsptivos trmos 2 Sabndo qu xprima m função d d o valor d 21 Comntário Após nov anos d contacto com o tópico d organização tratamnto d dados a classificação d uma variávl statística como sndo d tipo quantitativo ou qualitativo é no 10º ano um conhcimnto qu s considra como adquirido As variávis d tipo quantitativo (d contagm d mdição financiras ou outras) são as qu prmitm um mais lvado nívl d complxidad na modlação anális statística por isso s ddica no programa d 10º ano uma spcial atnção a st tipo d variávis 22 Comntário O rsultado do procsso d rcolha d uma amostra d dimnsão d uma crta população rgisto do valor obsrvado da variávl statística d intrss m cada unidad statística d pod sr formalizado matmaticamnt como um conjunto ond os lmntos são pars ordnados cujas coordnadas são a unidad statística o rsptivo valor da variávl d intrss No ntanto d modo a normalizar uma notação qu prmita aprsntar fórmulas d cálculo para as divrsas caractrísticas amostrais qu irão sr trabalhadas nst tópico da Estatística comça-s por numrar as unidads statísticas (d 1 a ) rprsntando-s m sguida por o valor da variávl no i-ésimo lmnto d Obtém-s assim o conjunto d dados { } qu matmaticamnt s pod idntificar com a squência qu aqui s rprsntará por Dsigna-s ntão por «amostra da variávl statística» ou simplsmnt por «amostra» smpr qu não houvr ambiguidad Comntário Os dscritors têm por objtivo a fixação d notação no qu s rfr à fórmula d cálculo da média No caso d dados organizados m tablas d frquência (dados agrupados) situação comum quando s stá prant dados d contagm o conjunto dos valors qu surgm na amostra é rprsntado por Not-s qu no conjunto dos valors da amostra não surgm lmntos rptidos Por xmplo o conjunto dos valors da amostra é Cadrno d Apoio EST10 Página 51

53 { } Os lmntos d são dnotados por ond é o total d valors da amostra a frquência absoluta d é dnotada por No xmplo dado podrmos scrvr Comntário O dscritor 26 tm por objtivo ilustrar d forma rápida quão pouco rsistnt é a média como statística d localização A intrprtação física da média como o cntro d gravidad d um objto simbólico constituído por um sgmnto da rta ral com psos nas localizaçõs d cada um dos valors distintos da amostra sndo a massa dsss psos igual à frquência d cada um dsss valors prmit criar uma imagm visual da localização da média dar xmplos d como um único valor muito maior (mnor) qu todos os rstants consgu arrastar a média d modo a qu a sta sja suprior (infrior) a todos os valors da amostra mnos um Com sta rprsntação física ilustra-s ainda a sguint propridad: «a média situa-s smpr ntr o máximo o mínimo da amostra não pod sr igual ao mínimo sm sr também igual ao máximo o qu acontc s somnt s a amostra for constant» 1 * Considr a amostra { sja { } } Justifiqu qu qu Conclua qu s tm Mostr qu s ou ntão a amostra é constant Conclua da alína antrior qu s algum valor da amostra for suprior a plo qu só s tm s a amostra for constant 31 ntão Comntário O dsvio d cada valor da amostra rlativamnt à média é lmnto nuclar na dfinição do mais important indicador statístico d disprsão dos valors da amostra o dsvio-padrão A dmonstração d qu é nula a soma dsss dsvios rcorr unicamnt a uma manipulação simpls dos somatórios pod por isso considrar-s como xrcício 32 Comntário Nas ciências xprimntais das áras da biologia da saúd uma das mais utilizadas mtodologias statísticas d comparação d rsultados d xpriências ralizadas m condiçõs d aplicação difrnts é a chamada Anális d Variância ou simplsmnt ANOVA Esta mtodologia foi formalmnt aprsntada pla primira vz por Sir Ronald ishr m 1918 mas só ficou mais largamnt conhcida dpois da publicação m 1925 do su livro Statistical Mthods for Rsarch Workrs Ora a Anális d Variância rcorr Cadrno d Apoio EST10 Página 52

54 fundamntalmnt a propridads das somas dos quadrados dos dsvios m rlação à média plo qu dado qu muitos alunos irão crtamnt utilizá-la ao prossguirm studos no nsino suprior uma vz qu é a partir dssas somas d quadrados qu s dfin a variância incluius st dscritor ond s fixa notação s stablc uma fórmula d cálculo quivalnt d mais fácil manipulação 33 Comntário Est dscritor tm por objtivo dar a conhcr uma important propridad d qu s traduz ssncialmnt m dizr qu somnt das suas parclas são indpndnts pois a parcla rstant fica dtrminada plo facto d sr nula a soma dos dsvios m rlação à média (vr dscritor 31) Not-s qu além disso mnos do qu parclas d não dtrminam o valor das rstants 1 Para uma crta amostra para conhcm-s os dsvios : 11 Dtrmin o valor d 12 Calcul a soma dos quadrados dos dsvios 13 Sabndo qu idntifiqu a amostra calcul o valor da rsptiva média 2 Justifiqu as sucssivas passagns na sguint squência d igualdads: 35 1 Rgistou-s a altura m cm d para mtros Calcul 2 *Dado um númro ral raparigas obtv-s a sguint amostra: Sja a amostra das alturas das 5 raparigas convrtidas vrifiqu qu = considr as amostras Utilizando a fórmula d cálculo d somatórios mostr qu propridads dos 3 Uma crta balança tm um dsvio positivo sistmático d Psaram-s nssa balança laranjas uma d cada vz rgistou-s o su pso m gramas Obtv-s a amostra Sja a amostra dos vrdadiros psos d cada uma das 4 laranjas Calcul mostr qu = 4 *Considr as amostras númro ral Utiliz a fórmula d cálculo d mostrar qu Cadrno d Apoio EST10 ond é um propridads dos somatórios para Página 53

55 Comntário Dado qu a soma dos quadrados dos dsvios m rlação à média é tanto mnor quanto mais próximos da média stivrm os valors da amostra a soma dos quadrados dos dsvios m rlação à média fornc por isso uma mdida da disprsão ou variabilidad da amostra Como propridads da soma dos quadrados dos dsvios m rlação à média dstaca-s o facto d só sr nula s todos os valors da amostra form iguais ntr si não s altrar prant translaçõs altrar-s prant uma mudança d scala ou d unidad d mdida 36 1 Considr a amostra 11 Calcul utilizando a dfinição 12 Organiz os dados numa tabla d frquências vrifiqu qu sndo frquências d cada um dos valors da amostra = 2 Considr uma amostra amostra Justifiqu qu d dimnsão = 39 os as valors da Comntário Como já foi rfrido a soma dos quadrados dos dsvios m rlação à média fornc uma mdida da disprsão da amostra mas por ir aumntando à mdida qu s inclum novos lmntos não é um bom indicador da variabilidad xistnt nos valors da variávl statística d intrss na população d ond s rcolhu a amostra 311 Comntário Indpndntmnt da dimnsão da amostra o par dá uma informação rlvant acrca da distribuição da amostra Mais prcisamnt fornc-nos uma stimativa (por xcsso) da prcntagm d unidads statísticas qu têm valors da variávl d intrss fora d intrvalos fchados cntrados na média da amostra D facto dcorr d um rsultado dvido a Chbychff (1867) qu sndo o númro d unidads statísticas cujos valors da variávl d intrss stão fora do intrvalo [ ] ntão é smpr infrior a statísticas cujos valors da variávl smpr suprior a Cadrno d Apoio EST10 D igual modo sndo prtncm ao intrvalo [ o númro d unidads ] ntão Página 54 é

56 Exmplo: D uma crta população rcolhu-s a amostra d unidads statísticas rgistou-s os valors da variávl d intrss Obtv-s como média da corrspondnt amostra o valor como dsvio padrão azndo no rsultado aprsntado nst dscritor stas duas caractrísticas amostrais prmitm-nos dizr qu não há mais d 25% das unidads statísticas d com valors fora do intrvalo [ ] Assim 25% é uma stimativa por xcsso da prcntagm d unidads statísticas qu têm valors fora do intrvalo [ ] Podmos também dizr qu é igual a 75% uma stimativa por dfito da prcntagm d unidads statísticas d cujos valors prtncm ao intrvalo [ ] Embora não s stud o rfrido torma d Chbychff no xmplo sguint aprsnta-s uma dmonstração dirta do rsultado xprsso nst dscritor 1 ** D uma crta população rcolhu-s a amostra d dimnsão d unidads statísticas rgistou-s os valors da variávl d intrss Sm prda d gnralidad admita qu numra as unidads statísticas d modo a qu sjam atribuídos os númros d a aqulas cujos valors da variávl stão fora do intrvalo [ ] ond é o dsvio padrão da amostra 11 Justifiqu qu para s tm plo qu também 12 Conclua da alína antrior qu 13 Justifiqu qu também s tm ond é a dimnsão da amostra 14 Tndo m conta a fórmula d cálculo da variância conclua qu a dsigualdad antrior é quivalnt a plo qu também s tm ou sja dsd qu não sja nulo 15 Considr agora o intrvalo na forma gral [ ] dduza qu nss caso a última dsigualdad passa a tr a forma 41 Comntário No nsino básico os alunos já tivram d rcorrr à ordnação d conjuntos d dados nomadamnt para calcular as rsptivas mdiana quartis Est dscritor fixa a notação para os trmos d uma amostra ordnada Por xmplo dada a amostra ond por xmplo Cadrno d Apoio EST10 a amostra ordnada Página 55 é

57 42 43 Comntário Tom-s a título d xmplo a amostra rfrnt aos psos m gramas d 5 maçãs Como foi antriormnt rfrido a ordm por qu surgm os valors na squência prssupõ qu d alguma forma foi scolhida uma primira maçã para sr psada rgistado o rsptivo pso m sguida tr-s-á scolhido uma sgunda maçã qu mais uma vz foi psada rgistado o su pso assim sucssivamnt até starm psadas todas as maçãs rgistados todos os psos Ordnando as maçãs plo pso rsptivo obtém-s a amostra d maçãs (unidads statísticas) ordnada d acordo com os valors da variávl d intrss (o pso) Por sua vz no qu rspita à variávl pso a amostra ordnada é D modo a clarificar a noção d prcntil considr-s o caso concrto do prcntil 30 D acordo com a dfinição uma vz qu o prcntil 30 é o valor d ordm [ ] da amostra ordnada ou sja (gramas) Já o prcntil 80 por xmplo uma vz qu (intiro) é dado por gramas Not-s qu o prcntil não tm obrigatoriamnt d sr um dos valors da amostra É no ntanto um valor qu vrifica o sguint: «Dada uma amostra d uma crta população uma variávl statística d intrss a prcntagm d unidads statísticas d qu têm valors infriors ou iguais a é plo mnos a prcntagm d unidads statísticas qu têm valors supriors a é quando muito» No xmplo dado podmos ntão dizr qu plo mnos 80% das maçãs têm psos infriors ou iguais ao prcntil 80 (190 gramas) qu no máximo 20% das maçãs têm psos supriors ao prcntil 80 Como facilmnt s confirma tm-s nst caso xatamnt 80% das maçãs com pso infrior ou igual a 190 gramas (4 maçãs m 5) tmos xatamnt 20% com pso suprior a 190 gramas (1 maçã m 5) No ntanto s analisarmos o caso do prcntil 30 as afirmaçõs sndo vrdadiras stão long d forncr limiars prcisos D facto é vrdad qu plo mnos 30% das maçãs têm pso infrior ou igual a 150 gramas no ntanto a prcntagm das qu vrificam sta condição é 60% (3 maçãs m 5) Também é vrdad qu no máximo 70% das maçãs psam mais do qu 150 gramas mas st caso concrto mostra Cadrno d Apoio EST10 Página 56

58 qu ssa prcntagm é apnas d 40% (2 maçãs m 5) Discrpâncias dsta naturza nos limiars dados plos prcntis ocorrm m amostras ond haja duas ou mais unidads statísticas com valors idênticos por ss motivo a dscrição d uma amostra através d prcntis é spcialmnt apropriada no caso das variávis d naturza contínua (como é o caso da altura pso d bbés ond a rfrência aos prcntis já é d uso comum) 44 A dfinição d prcntil para dados organizados m classs pod tr como suport visual o histograma Rcord-s qu o histograma é um diagrama d áras para o qual há uma rlação d proporcionalidad dirta ntr a ára d cada rtângulo a frquência (absoluta ou rlativa) da rsptiva class Quando uma amostra d dimnsão stá organizada m classs d igual amplitud consgu-s ss objtivo tomando para altura do rtângulo ou a frquência absoluta ou a frquência rlativa Quando as classs têm difrnts amplituds a altura d cada rtângulo tm d sr corrigida adquadamnt dividindo a frquência (absoluta ou rlativa) pla amplitud da rsptiva bas O dscritor 44 aprsnta uma forma d s obtr o prcntil d ordm para dados organizados m classs qu corrspond a dtrminar o ponto do ixo das abcissas para o qual a ára acumulada é igual a da ára total Admit-s apnas o caso d organização m classs d igual amplitud mas a abordagm é facilmnt gnralizávl a casos m qu as classs tnham amplituds difrnts Obsrv-s qu no caso m qu as classs têm igual amplitud m qu s toma como altura d class a frquência absoluta a ára total do histograma é Prtnd-s ntão ncontrar o ponto tal qu a ára do histograma dsd o limit infrior do primiro intrvalo d class até ss ponto sja igual a A figura sguint ilustra a localização do prcntil 70 D facto tndo m conta qu as classs têm igual amplitud qu a ára d cada rtângulo é a assinalada nas tiqutas rsptivas podmos concluir qu a ára total é igual a 40 plo qu a ára corrspondnt ao prcntil 70 é 28 Acumulando sucssivamnt as áras dos rtângulos a partir do primiro vrifica-s qu a soma das áras dos dois primiros rtângulos é stritamnt infrior a 28 mas qu ao adicionar a ára do trciro rtângulo ss valor é xcdido Assim o prcntil 70 localiza-s no intrvalo [ [ mais prcisamnt d modo a vrificar-s a igualdad Rsolvndo sta quação obtém-s ou sja Cadrno d Apoio EST10 Página 57