CAPÍTULO 3 TÉCNICAS USADAS NA DISCRETIZAÇÃO. capítulo ver-se-á como obter um sistema digital controlado através de técnicas

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1 3 CAPÍTULO 3 TÉCNICAS USADAS NA DISCRETIZAÇÃO A técnca uada para obtr um tma dgtal controlado nctam, bacamnt, da aplcação d algum método d dcrtação. Matmatcamnt falando, pod- obrvar qu o método d dcrtação ubttum a ntgração ao longo d um ntrvalo d tmpo por um omatóro m um conunto dcrto fnto d ntant. Nt capítulo vr--á como obtr um tma dgtal controlado atravé d técnca aprntada na çõ A últma ção rá tratar da nfluênca da colha do príodo d amotragm para a dcrtação Implmntação dgtal d compnador a tmpo contínuo: Uma prmra técnca para o proto d controlador amotrado é xgr qu o comportamnto do tma controlado plo compnador dgtal C dva r dêntco ou, ao mno, bm aproxmado, ao do tma controlado por um compnador a tmpo contínuo dado C. Nta aproxmação, para obtr o controlador dgtal, dv- prmro protar o controlador a tmpo contínuo vr fgura 3. dpo aplcar obr t algum do método d dcrtação, grando controlador dgta dfrnt, dpndndo do método utlado [5], como motra a fgura 3..

2 33 rt t ut yt C P Fgura 3. - Stma controlado a tmpo contínuo Na fgura 3., a part pontlhada rprnta um controlador amotrado C obtdo atravé da aplcação d algum método d dcrtação aplcado ao controlador a tmpo contínuo C. O convror A/D D/A ão fundamnta para a utlação d C no tma controlado a tmpo contínuo ão ncronado por um rlógo não motrado na fgura 3.. Not- qu o compnador C rcb amotra do nal do rro apna m ntant dcrto no tmpo ntant d amotragm. E, por outro lado, o compnador atuala o nal d control qu rá à planta apna m ntant d amotragm, não rpondndo a nnhum nal qu ocorra ntr t ntant [5]. rt t u t yt A/D C D/A P Fgura 3. - Stma d control dgtal 3. - Planta Dgta Equvalnt: Eta outra mtodologa buca amotrar a planta ntão protar o controlador a tmpo dcrto. Conta do gunt pao para obtr planta dgta quvalnt ncára para formar um tma dgtal controlado: Prmro, tranforma- a planta a tmpo contínuo m uma planta dgtal qu a rprnt d forma aproxmada, dpndndo do método d dcrtação do príodo d

3 34 amotragm utlado. A partr da planta dgtal, prota- um controlador dgtal, uando a mma técnca utlada para protar o controlador a tmpo contínuo, ndo o pólo colhdo dntro do círculo untáro. rlógo rt t ukt y t Fgura A/D Stma C d control P amotrado D/A a partr d uma planta dcrtada. A fgura 3.3 motra um tma controlado por um controlador dgtal protado a partr d uma planta dgtal quvalnt P. A localação do pólo na rgão d tabldad, a colha do método d dcrtação do príodo d amotragm ão fundamnta no proto do controlador dgtal O método d dcrtação: Pod- dtngur o método d dcrtação ntr plo tpo d aproxmação numérca utlada Método d nvarânca ao mpulo: Condr um controlador protado a tmpo contínuo, com uma função d tranfrênca bprópra [3]:

4 35 C c C, 3. ond dnomna- d c d contant bprópra - c C C uma função trtamnt própra. Conform a fgura 3., na ntrada d C tm- um mpulo, aplcando a tranformada d Laplac E, a aída rá: U C. C 3.. A Tranformada Z da amotra da rpota ao mpulo da função d tranfrênca trtamnt própra d C quação 3. rá: C Ζ{L - [C ] tkt } 3.3. ndo k,,,..., o ntant dcrto T o príodo d amotragm. Dmontra-, a partr do Torma d Amotragm d Shannon [3,,6] qu, na rlação ntr a rpota na frqüênca d tma a tmpo contínuo C w a rpota corrpondnt na frqüênca do tma a tmpo dcrto C w, há ntrodução d um fator T, tornando: C c T.Z[C ] 3.4. Portanto, a quação 3.4 rprnta o controlador amotrado atravé do método d nvarânca ao mpulo Método d nvarânca ao dgrau: Et método também é dnomnado d aproxmação ZOH Zro-Ordr-Hold. Dtrmna- o controlador amotrado C, condrando qu a ua rpota ao dgrau é

5 36 gual à amotra da rpota ao dgrau do xt controlador a tmpo contínuo C [3] no ntant d amotragm. xkt Igualando a rpota ao dgrau d ambo o tma no ntant d amotragm, tm-: xk-t k-t kt t. Z C L C t kt Como fo ctado, C C ão funçõ d tranfrênca bprópra, k ndca o ntant dcrto T é o príodo d amotragm. Dt modo, o controlador amotrado C é caractrado por: C- - Z[C/ tkt ] Aproxmação Backward: Condr um compnador protado a tmpo contínuo 5 C [3] xt Axt but yt cxt dut 3.7a 3.7b uma ralação vr ção 4.3. A ntgração da quação 3.7a do ntrvalo d t a t T produ, com t : t T t dx t dt t T x t T x t Ax t dt 3.8. t 5. A varáv qu tão m ngrto ndcam vtor ou matr a outra ão valor calar.

6 37 Fgura Intgração rtangular backward Fgura Intgração trapodal xt xkt Na fgura 3.4, a ntgração for aproxmada pla ára marcada, ntão a quação 3.8 torna: xk-t xt T - xt Axt TT a qual pod r crta como k-t kt t xt T - xt T A dfrncação m 3.7a é aproxmada por: xt T - xt T Ito quval a dtrmnar-, no domíno da tranformada, a gunt Axt. aproxmação backward: 3.9. T. xt Tranformação Blnar: Nt método, também dnomnado d aproxmação trapodal ou, anda, método Tutn [3], a ntgração m 3.8 é aproxmada plo trapéo motrado na fgura 3.5, lvando a:

7 38 Sua tranformada Z é xt T xt.x - X T/.A.[.X X] [T. /].A.X A qual mplca m: xt T - xt/t.-/.x A A.X T A tranforma d Laplac d 3.7a com t é.x A.X. Am, a aproxmação trapodal rá dada por:. 3.. T Mapamnto d pólo ro: Vu- qu a opração d amotragm tm o fto d mapar o pólo da funçõ no domíno S para o domíno Z d acordo com a rlação []: T 3.. ond T é o príodo d amotragm. Dd qu xtam ma pólo qu ro numa função H é dto tr ro no nfnto. Sob a ação do mapamnto, fto m 3., o ro no nfnto rão mapado m -. Et método mapa todo o pólo ro drtamnt. Ecolh- um ganho arbtráro tal qu a rpota na frqüênca no domíno Z rprnt xatamnt a função d tranfrênca no domíno S. Dada uma função d tranfrênca m S na qual ão conhcdo o pólo ro, pod- crvê-la da gunt manra:

8 39 r n m d c b a K H ] [ ] [ β α 3.. Aplcando a quação 3., obtm- a gunt função no domíno Z: c T c T r T n a T a T m T k T d b T K H ] co [ ] co [ ' β α 3.3 ond o índc k é dado por: k p r - n - m; 3.4 K, na quação 3.3, é ncontrado gualando- H a H na quação 3. para SoT, ond C fo convnntmnt colhdo. A colha d dpnd da aplcação, ndo uual colhr o ganho no nfnto:, A colha do príodo d amotragm: A colha d um pquno príodo d amotragm, além d rqurr maor capacdad computaconal, nm mpr rulta numa rpota atfatóra. A colha adquada d um T anda é dcutda amplamnt na ltratura [3,,6]. O Torma da Amotragm [6,7], dnvolvdo por Shannon, dclara qu um nal contínuo amotrado pod r rcontruído a partr d ua amotra, omnt, a maor componnt d frqüênca do nal contínuo ω for mnor qu ω / ω : frqüênca d amotragm. Para vtar cao d falamnto alang, Nyqut ugr lconar ω tal qu: ω >. ω. Inflmnt, no control dcrto d planta a tmpo contínuo, ocorrm atrao no tmpo t dvm r condrado untamnt com o Torma d Shannon. Para

9 4 uma colha prátca da taxa d amotragm baada na caractrítca do rgm trantóro, a rfrênca [6] ugr qu, com o Torma d Shannon, faça- a frqüênca d amotragm /T r colhda crca d d v maor qu a frqüênca d cort da função d tranfrênca d malha fchada. Vê- na fgura 3.6, a planta P -/ 4 condrada m malha fchada, com a rpota m frqüênca dmontrada plo dagrama d Bod. Sndo a frqüênca d cort ω c dada por,5 rad/, aplcando o Torma d Shannon, a frqüênca d amotragm ω dvrá r d, no mínmo, 5 rad/ T, um príodo d amotragm d, no mínmo,,5 f 4h para ta planta. Dta forma, para P P 3 tm-: P 3/ 433, com ω 5 rad/, o T mínmo rá d,4; P 3 3/ 433, com ω 5 rad/, o T mínmo rá d,5. Nt trabalho foram utlado o gunt príodo d amotragm T : T.5, T.,T., T.4, T. T.5 m toda a dcrtaçõ aprntada no capítulo a gur.

10 4 Magntud db - Fa -4 - Frqunca rad/ Frqunca rad/ Fgura Dagrama d Bod da planta P Magntud db -5 Fa - - Frqunca rad/ Frqunca rad/ Fgura Dagrama d Bod da planta P M agntud db - -4 Fa -6 Frqunca rad/ -9-8 Frqunca rad/ Fgura Dagrama d Bod da planta P 3

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