Teoria de Mindlin 6.1. Capítulo 6. representado na figura 6.1, o qual é definido de tal modo que o plano Ox 1 x 2 seja

Transcrição

1 ora d ndln 6. apítulo 6 ora d ndln 6. Introdução A ora d ndln urg m conquênca da tênca d placa qu não podm r condrada fna para a qua o fto da tnõ d cort tranvro podm r gnfcatvo. Para t tpo d placa a hpót d Krchhoff condrada válda para a placa fna dam d r admív. No cao do dlocato tranvra rm pquno quando comparado com a pura da placa é poívl modfcar a ora da placa por forma a nclur a pobldad d a pura tr dõ ma lvada modfcando a hpót mplfcatva. O tma d o coordnado a r condrado é o tma O rprntado na fgura 6., o qual é dfndo d tal modo qu o plano O ja concdnt com o plano médo da placa ant da dformação o o O ja normal ao plano médo da placa. A orgm O do tma d o t obr o plano médo da placa. R.. ndln, "Influnc of Rotatory Inrta and Shar on Flural oton of Iotropc, latc Plat", Journal of Appld chanc,8, -8(95).

2 ora d ndln 6. X O X X Fgura 6.: Stma d o d Rfrênca. A hpót d Rnr-ndln qu ão condrada válda para placa pa modradat pa, utlzada para fto d rprntação do campo d dcolato da tnõ m placa com otropa total ubmtda a acçõ norma ao plano médo, ão: () A uprfíc méda é plana ndformávl ou ja a dformaçõ no plano O ão nula: ε ε ε para 6. () O ponto prtncnt à normal ao plano médo da placa ant da dformação prmancm numa drcção lnar ma não ncarat na normal à uprfíc méda flctda, como rprnta na fgura 6.. () A tnão na drcção normal ao plano médo, σ é rrlvant quando comparada com a tnõ σ σ plo qu condra: ε 6. O tnor da tnõ toma nt cao uma forma análoga à condrada na ora láca d Placa qu é a forma gunt:

3 ora d ndln 6. σ σ σ σ j σ σ σ 6. σ σ ndo m conta a hpót () o dlocato u u d um ponto P da placa tuado a uma dtânca do plano médo podm r calculado a partr do valor da rotaçõ da normal qu apó dformação admtu r lnar ma não ncarat normal à uprfíc méda flctda como rprnta na fgura 6.. O vctor d dlocato {u, u, u } no ponto P é tal qu: u u u ( ), 6.4 P P' Fgura 6.: locato no Ponto P no Plano O. A dformaçõ no plano O a uma dtânca do plano médo da placa atndndo à prõ (6.4) (.8) ão para a dformaçõ dvda à flão:

4 ora d ndln 6.4 ε ε ε a dformaçõ d cort ε ε ão: γ γ 6.5 Na uprfíc méda a coordnada portanto é: ε ε ε A dformaçõ d cort tranvra, nta tora, ão condrada contant ao longo da pura ão dfrnt d zro, contrarat ao qu acontca na ora láca da Placa. A dformaçõ ε, ε ε varam lnart ao longo da pura da placa o qu tá d acordo com a hpót d Rnr-ndln atrá rfrda. A l d Hook gnralzada para matra otrópco, tablc uma rlação ntr a tnõ dformaçõ no plano O com a forma gunt: ε ε ε σ σ σ 6.6 uma rlação ntr a tnõ d cort a dformaçõ d cort com a forma gunt: ( ). γ γ σ σ 6.7

5 ora d ndln 6.5 ndo o modulo d Young o cofcnt d Poon. ndo m conta a quaçõ 6.5, é poívl rlaconar a tnõ com o dlocato tranvra do gunt modo: υ σ σ 6.8 ( ) σ ( ) σ ( ) σ A tnõ σ, σ σ varam lnart ao longo do o do como rprnta na fgura 6., ndo nula para, como ra d prar tndo m conta a hpót d Rnr-ndln (). A tnõ d cort ão contant ao longo da pura. t apromação da tnõ d cort contrara o facto da tnõ d cort anularm na raldad para / -/, o qu ugr a pobldad d condrarm tora qu jam d ordm upror. 6. forço Gnralzado urvatura O forço untáro, o moto flctor untáro, o moto toror untáro o forço tranvro untáro ão calculado d modo análogo ao condrado no cao da placa fna. O moto flctor untáro, é o moto

6 ora d ndln 6.6 rultant por undad d comprto da drcção O da tnõ σ ao longo da pura da placa, ou ja: / σ / d 6.9 modo mlhant dfnm moto untáro, qu rultam da tnõ σ σ, ou ja: / σ / d / d / σ 6. modo: O forço tranvro untáro dfnm- a partr da tnõ σ σ do gunt / / σ d / σ / 6. d O σ σ σ Fgura 6.: trbução d tnõ ao longo da pura da placa. Intgrando a prõ 6.8 a 6. para o moto, tndo m conta a quaçõ 6.7 para a tnõ, obtém-:

7 ora d ndln ndo / ( - ), o modulo d rgdz à flão da placa. A drvada da rotaçõ / / /, / ão a curvatura da uprfíc méda flctda a qua podrão r dgnada por, rpctvat. Portanto a quaçõ 6. podm r crta do gunt modo: / 6. m função da curvatura da uprfíc méda flctda. A contrbuçõ da rotaçõ para a dformaçõ d cort podm r dgnada por φ φ dfnda do gunt modo: φ φ 6.4 O forço d cort tomam o gunt valor m função da rotaçõ: ' G φ φ 6.5 ond ( ). / G '

8 ora d ndln 6.8 No cálculo do forço tranvro é por vz uual nclur um factor d corrcção a fm d mlhor rprntar o forço d cort. t factor é condrado a multplcar plo forço acabado d calcular pod tomar o valor d 5/6. B A Fgura 6.4: Rprntação do forço. O forço no plano médo ão,,,, como ndcou tão rprntado no plano médo na fgura 6.4. t forço ão untáro ão análogo ao condrado para fto d qulíbro na tora da placa fna. A dfrnça ncal nt cao rulta do facto da dformação d cort não r nula o qu é gnrcat potvo para a placa pa modradat pa d o forço d cort podrm r calculado a partr da dformaçõ d cort tranvro conduzndo a valor contant da tnão d cort, plo qu condram factor d corrcção para fto d cálculo da tnõ d cort uma vz qu uma dtrbução d tnõ d cort contant ao longo da pura não parc a ma adquada, mbora corrponda a uma mlhora gnfcatva m rlação à tuação vrfcada no cao da ora láca da Placa.

9 ora d ndln rabalho Vrtual nrga d formação Intrna O trabalho vrtual da tnõ σ j para uma dformação vrtual j ε é dfndo do gunt modo: dv j j V ε σ δ 6.6 ndo a ntgração tndda ao volum da placa. ndo m conta a quaçõ qu dfnm a tnõ a dformaçõ m trmo da rotaçõ dlocato, a prão do trabalho vrtual 6.6 toma a forma: ( ) ( ) / / S ( ) ( ) ϖ ( ) d ds ϖ 6.7 ond, ϖ ão dlocato rotaçõ vrtua. Procdndo à ntgração ao longo da pura tndo m conta a prõ 6. a 6.4, obtém-: ds S δ ds S ϖ ϖ 6.8

10 ora d ndln 6. Aplcando o orma d Grn ao ntgra tnddo à uprfíc qu nvolvm prmra drvada do dlocato rotaçõ vrtuautlzando a notação da fgura 6.5, obtém-: δ S ϖ ϖ ds [ co n n co] dl L [ ϖ co ϖ n]dl 6.9 L ond a ltra L tá utlzada para ndcar ntgra tnddo ao contorno da placa é uado para dgnar o ângulo da normal ao contorno com a drcção do contorno, como rprnta na fgura 6.5. ndo m conta qu a rotaçõ gundo gundo rlaconam com a rotaçõ gundo a normal ao contorno n com a rotaçõ gundo a tangnt ao contorno, do gunt modo: n co n n co 6. n qu o moto normal, n, o moto tangnt,, o forço tranvro,, no contorno, rlaconam com o forço,,, do gunt modo: O torma d Grn pod r rprntado analtcat atravé da gunt prão : v u w dv u ( uw) a ds w dv v v

11 ora d ndln 6. ( ) co n n co n t ( ) ( ) n co ( co n ) ( ) co n 6. a quação 6.9 toma a forma: δ S ϖ ϖ ds L [ ] dl ϖ dl 6. n n L j n ontorno O n ontorno Fgura 6.5: Rotaçõ no contorno. O trabalho ralzado pla força tror, no cao da placa tar ujta a uma dtrbução d carga p (, ) normal ao plano médo da placa é, δw, calculado do gunt modo a partr da carga da dformada vrtual: δ W p ϖ d 6. Not- qu o orma do trabalho vrtua obrga a qu ja: δ δ W 6.4

12 ora d ndln 6. ndo m conta a prõ qu dfnm o trabalho vrtual do forço ntrno δ do forço trno δw é poívl obtr trê quaçõ d qulíbro qu ão cofcnt da rotaçõ vrtua do dlocato vrtua no ntgra tnddo à uprfíc da placa a condçõ d contorno rprntada no ntgra tnddo ao contorno da placa. A nrga potncal é dfnda a partr da nrga d dformação ntrna potncal trna, ou ja: Π W ndo portanto dfnda d acordo com a prão: ( ) j j v d d, p dv Π ε σ ou ja m trmo do forço dformaçõ gnralzada: Π ds ( ) ( )ds,, p ds 6.5 ou ja: [ ] Π ds [ ] ( ) ( )ds,, p ds φ φ 6.6

13 ora d ndln 6. A quaçõ d qulíbro também podm r dtrmnada a partr da nrga potncal por mnmzação dta. 6.4 quaçõ d qulíbro A quaçõ d qulíbro ão tablcda m trmo do forço untáro qu rultam da tnõ actuant num lto parallppédco da placa d dõ d, gundo O, d gundo O gundo O ndo uma dão gual à pura da placa, ta quaçõ ão análoga à quaçõ obtda no cao da ora láca d Placa ão a quaçõ rultant do qulíbro do forço qu tomam a forma: p (, ) 6.7 ond p(, ) rprnta a rultant d acçõ trna norma ao plano médo no lto d, d, d ndo d rprntam dua quaçõ d qulíbro d moto uma quação d qulíbro d força gundo o o O. Not- qu ta quaçõ também podam r obtda a partr do orma do rabalho Vrtua como fo rfrdo. A condçõ no contorno qu rultam da aplcação do orma do rabalho Vrtua ão: ou m L n ou n m L 6.7 ou m L

14 ora d ndln 6.4 A condçõ d contorno conjuntat com a quaçõ d qulíbro têm d r vrfcada. Subttundo a quaçõ (6.) (6.4) na quação (6.7), obtém-: G G ( ), p G 6.9 ta ão a quaçõ d qulíbro m trmo do dlocato tranvra da rotaçõ. Nt cao a olução d um problma d placa mplca a dtrmnação d trê grandza qu dvm vrfcar a quaçõ d qulíbro a condçõ d frontra. Uma vz conhcdo o dlocato tranvral a rotaçõ o cálculo do forço, tnõ dformaçõ é fto fazndo uo da prõ , ondçõ d ontorno Para a condçõ d bordo mplt apoado o movto gundo o o do tá mpddo, podndo no ntanto rodar lvrt. A condçõ d contorno mplt apoado ão: aplcado n 6. ndo o dlocato tranvral, a rotação tangnt n o moto qu provoca uma rotação normal no bordo mplt apoado. No cao d tratar d uma placa rctangular d bordo mplt apoado parallo ao o coordnado O O, d dõ a gundo b gundo

15 ora d ndln 6.5 como rprnta na fgura 6.6, a condçõ d contorno ao longo do lado AB qu corrpondm a b ão: u ao longo do lado A B qu corrpondm a a, ão: u O A B Fgura 6.6: Placa mplt apoada. No bordo prftat ncatrado o dlocato a nclnaçõ têm valor nulo, ou ja: n 6. No cao da placa ncatrada rprntada na fgura 6.7, a condçõ d contorno ão: A B Fgura 6.7: Placa com bordo ncatrado.

16 ora d ndln 6.6 ao longo do lado AB qu corrpondm a b, rprntada atravé da gunt gualdad: ao longo do lado A B qu corrpondm a a, traduzm- do gunt modo: S a placa tvr um ou ma lado lvr, m todo o ponto do bordo lvr dvm d r nulo o moto flctor n o forço tranvro. t forço rão não nulo, cao ta algum forço ou moto aplcado no bordo, n cao rão gua a uma função d ou conhcda. No cao d bordo lvr m carga aplcada, r concdnt ou parallo ao o O a condçõ d bordo lvr prmm- do gunt modo: para /ou a 6. for concdnt ou parallo a O a condçõ d bordo lvr prmm- do gunt modo: para /ou b 6. A funçõ condrada para a dformada rotaçõ d uma placa dvm vrfcar a quaçõ d qulíbro a condçõ d contorno. 6.6 Flão d Placa Rctangular Smplt Apoada Uma olução tpo Navr é poívl para Placa mplt apoada ujta a um carrgato arbtráro, ta olução toma a forma d ér dupla d Fourr para a dformada para a rotaçõ, to é: m, n, W nα nβ

17 ora d ndln 6.7 X coα nβ m, n, Y nα coβ m, n, 6.4 ndo α mπ/a β nπ/b. No cao d admtr qu a função d carga pod r rprntada por um dnvolvto m ér dupla d Fourr do gunt modo: p (, y) P nα nβ m, n, 6.5 O cofcnt P tomam a forma: P a b 4 ab mπ ( ) nπ p, n n d d 6.6 a b No cao d tratar d uma carga unformt dtrbuída a função p (, ) é gual a uma contant p, ntndad da carga unformt dtrbuída, ndo o cofcnt P dfndo do gunt modo: 6 p com m n númro ímpar 6.7 π P A ncdad d condrarm m n númro ímpar rulta do ntgra tnt m 6.6 rm nulo no cao d m n rm par, conquntt a ér 6.5 no cao da carga r unformt dtrbuída, é uma ér com m n númro ímpar. Subttundo a prõ contda m 6.4 na quaçõ d qulíbro obtém-: α X G Y α β X β G α ( W X ) X α β Y α β Y G ( W W β X α Y β) P ( W β X ) α 6.8

18 ora d ndln 6.8 Por rolução do tma d quaçõ antror obtém- o cofcnt X, Y W dd qu jam conhcdo o cofcnt P. A t tma d quaçõ pod dar a forma matrcal gunt: X Y W P 6.9 ond: α β G ; β α G ; G ( α β ) ; G ; G ; G ; G 6.4 A olução do tma d quaçõ toma ntão a forma gunt: X Y W P ond rprnta a matrz do cofcnt 6.4 Uma vz conhcdo o cofcnt é poívl calcular o forço qu ão calculado a partr da dfnção fazndo uo da prõ 6., , obtndo- para t forço a prõ gunt: [( X α Y β) nα nβ ] m n [( Y β X α) nα nβ ] m n [( X β Y α) coα coβ ] m n [( W α X ) coα nβ ] G m n [( W β Y ) nα coβ ] G m n 6.4

19 ora d ndln 6.9 No omatóro antror m n ão númro ímpar como rulta do cálculo d P a partr do ntgral duplo 6.6. Uma vz conhcdo o forço, a obtnção da tnõ pod r fta tndo m conta a quaçõ d quvalênca tátca ntr o forço a tnõ. A tnõ também podm r obtda a partr do dlocato gnralzado fazndo uo da quaçõ 6.8, not- qu no cao da placa mplt apoada ujta a uma carga unformt dtrbuída a tnõ máma ocorrm no cntro da placa. 6.7 Flão d Placa Ortotrópca 6.7. quaçõ Fundata O tnor da tnõ tm a componnt rfrda antrort qu ão a componnt pra no tnor 6.5. A componnt do dlocato ão a dfnda por 6.4 a dformaçõ d flão cort ão a dfnda por 6.5. A l d Hook toma a forma qu rulta da condração d ortotropa do matral. qu pod r rcrta, tndo m conta qu σ, com a gunt forma: σ σ σ ε ε ε σ σ γ γ 6.4 ond j ão a contant do matral gundo o o matra da placa qu ão dfnda m trmo do módulo d Young do cofcnt d Poon do gunt modo:

20 ora d ndln 6. ; ; G ; G ; G.44 ndo m conta a quaçõ 6.44 a quaçõ 6.5 admtndo qu há concdênca ntr o o matra o o da placa, a rlaçõ ntr a tnõ o dlocato rotaçõ ão a gunt: σ σ G σ G σ G σ 6.45 O forço gnralzado dfndo d acordo com a prõ 6.8, 6., tndo m conta qu a tnõ ão dfnda d acordo com a quaçõ 6.45, ão: φ φ 6.46 ond:

21 ora d ndln 6. ; ; ( ) ( ) G 44 G 55 G ndo m conta a quaçõ d qulíbro 6.5 a quaçõ qu dfnm o forço 6.46, obtém-: 44 ( ) 55 ( ) 55 p (, ) ta ão a quaçõ d qulíbro para placa ortotrópca, condrando qu t concdênca ntr o o d ortotropa o o d rfrênca da placa, cao contráro tm d procdr- a uma mudança d rfrncal da proprdad matra da placa Flão d Placa Ortotrópca Smplt Apoada O tpo d olução a condrar é anda uma olução tpo Navr à qual corrpondm dnvolvto m ér dupla d Fourr como o qu rprntam na prõ 6.4 admtndo qu a função d carga pod dnvolvr fazndo uo d uma ér dupla d Fourr do tpo da condrada na anál d placa otrópca 6.5, a quaçõ d qulíbro (6.47) tomam a forma: ( ) α β Y β X ( W X ) α X 44 α ( ) α β X β Y α Y ( β W Y ) 44

22 ora d ndln 6. ( α W α X ) 55 ( β W β Y ) 44 P A t tma d quaçõ pod dar- a forma gunt: X Y W P 6.49 ond: ( ) α β ; α α β 44 ; 44 β α 55 ; 55 β ; 44 α 55 β O tma d quaçõ (6.49) é faclt rolúvl uma vz conhcdo o cofcnt X, Y W dtrmnam- o dlocato forço gnralzado fazndo uo da formula gunt: w m, n, W nα nβ X coα nβ m, n, Y nα coβ m, n, [( X α Y β ) nα nβ ] m n [( Y β X α ) nα nβ ] m n [( X β Y α) coα coβ ] m n

23 ora d ndln 6. ( ) [ ] n m 44 n co X W β α α ( ) [ ] n m 55 co n Y W β α β 6.5 A tnõ podm r calculada a partr da prõ (6.45) da prõ do dlocato gnralzado. O cálculo da racçõ d apoo também pod r fto tndo m conta a prõ do forço o modo como rlaconam com a racçõ d apoo. Not- qu no cao d não havr concdênca ntr o o d rfrênca o o matra torna ncáro procdr a uma mudança d tma d o d rfrênca no qu rpta à proprdad do matra, fazndo uo d uma matrz d tranformação a matrz da contant látca pod r convrtda numa matrz d contant no tma d rfrênca. 6.8 étodo d Solução Analítco 6.8. étodo d Lvy. Placa Apoada m o Lado Opoto A quaçõ d qulíbro ão: G G ( ), p G 6.5 tm d acordo com Lvy oluçõ qu ão rprntada por uma ér trgonométrca mpl do tpo:

24 ora d ndln 6.4 (, ) Wm ( ) n β m (, ) X m ( ) n β m (, ) Ym ( ) co β m 6.5 cujo cofcnt ão W m, X m Y m funçõ d dnvolvda m ér mpl da forma: mπ β.a função p( b, ) é (, ) p ( ) n p m β m ndo o cofcnt p m ( ) dtrmnado do gunt modo: p m 6.5 b b ( ) p(, ) n β d ta oluçõ, (6.5), vrfcam a gunt condçõ ao lmt: w, para b ou ja a condçõ d uma placa rctangular mplt apoada ao longo d do lado opoto. A funçõ ( ), X ( ), Y ( ) W podm r calculada d modo a vrfcar m m m a condçõ d contorno ao longo do outro do lado da placa a quaçõ d qulíbro. Subttundo a quaçõ (6.5) na quaçõ d qulíbro W W'' X' β Ym) P ' ( β m m m m / G X'' β Xm β Y' m G W' β X' X m m m Y'' Ym Gβ W m m β m m Y 6.55 A olução dt tma d quaçõ pod r fta tndo m conta qu o rfrdo tma d quaçõ pod tomar a forma:

25 ora d ndln 6.5 Z Z r 6.56 ond Z [ Wm,W m,xm,x m,ym,y m] r [, G',,,,] Ond 7 β [ ], P 6 m 4 G β,,4 7 β G β,8 ( ) 8 G 5 β,5 β,6 A Solução do tma d quaçõ (6.56) toma a forma G, ( ) - ς Z K rdς 6.57 ond rprnta o produto matrcal gunt: λ [ ] [ ] λ. λ6 ndo [] a matrz do vctor própro dtnto da matrz [], [ ] a nvra da matrz λ rprntam o valor própro da matrz [], K rprnta um vctor qu é dtrmnado a partr da condçõ d frontra para o lado ±a/. Para a dfrnt condçõ d apoo a condçõ d frontra ão: Bordo Smplt apoado:, Bordo ncatrado: Bordo Lvr:, Subttundo a quaçõ (6.57) na condçõ d frontra adquada obtém- um tma d quaçõ não homogéno

26 ora d ndln 6.6 []{K}{R} qu pod r rolvdo m ordm a {K} étodo d Rtz O método d Rtz (9) condra a nrga potncal Π, qu tm a forma gunt: [ ] Π ds [ ] ( ) ( )ds,, p ds φ φ.56 ou ja m trmo do dlocato gnralzado: Π ds ds G ( ) ( )ds,, p 6.57 O dlocato gnralzado podm condrar- dfndo fazndo uo d funçõ d N (,, ) d parâmtro a, b, c do gunt modo: ( ) n,, N a w W. Rtz,Gammlt Wrk.; Soc. Su d Phyqu (Gauthr-Vllar, Par, 9).

27 ora d ndln 6.7 (,, ) n b N (,, ) n c N 6.58 A funçõ N (,, ) a condrar para o cálculo do dlocato rotaçõ podm r dtnta para o dlocato rotaçõ ndo m gral colhda por forma a atfazrm a condçõ d frontra podm r do tpo trgonométrco ou polnomal. Uma vz colhda a funçõ d apromação N (,, ), ubttum- o valor d W, dfndo pla prõ 6.58 na prão da nrga potncal 6.57 mnmza- a nrga potncal m rlação ao parâmtro a, b, c, obtndo- por t proco um tma d quaçõ lnar cuja ncógnta ão o parâmtro a, b, c. Π a ; Π b Π c 6.59 Para fto d lutração do étodo d Rtz, condr- uma placa rctangular ncatrada a qual tá ubmtda a uma carga unformt dtrbuída d ntndad p. A condçõ d frontra no cao da placa ncatrada ao longo do contorno ão: para ±a para ±b 6.6 O dlocato rotaçõ podm condrar- apromado atravé da gunt funçõ: a ( a ) ( ) b ( a ) ( ) b b

28 ora d ndln 6.8 ( a ) ( ) c b 6.6 Outra funçõ podam r utlzada para fto d obtnção da olução por vntura ma fcnt qu a funçõ polnoma rfrda, nomadat podam uar- ma funçõ ntrpoladora para fto d rprntação do dlocato rotaçõ. O uo d funçõ trgonométrca também é poívl com fo rfrdo, ndo ta funçõ colhda d modo a vrfcarm a condçõ d frontra. 6.9 étodo Numérco d Solução 6.9. étodo da frnça Fnta O método da dfrnça fnta condrado na anál d placa fna também pod r utlzado para fto da anál d placa d ndln, nt cao o numro d varáv a apromar por dfrnça fnta é trê, um dlocato dua rotaçõ a quaçõ d qulíbro a vrfcar também ão trê obrgando à condração d um maor númro d quaçõ para fto d olução do problma. A fórmula d dfrnça cntra podm r utlzada ou outra fórmula, vntualt a mpoção da condçõ d frontra podrá cauar algun problma na rolução d placa por dfrnça fnta étodo do lto Fnto ondraçõ Gra A olução da quaçõ qu rgm o comportato d placa d ndln é facltada plo uo d método numérco, dntr o método numérco dponív para a olução d quaçõ dfrnca dfnda m domíno arbtráro, o étodo do lto Fnto tm motrado r o ma fcnt. Há váro tpo d modlo d lto fnto dnvolvdo para rm utlzado no contto da tora d placa. t modlo podm agrupar- m trê modlo qu

29 ora d ndln 6.9 ão: modlo baada numa formulação m trmo d dlocato, modlo mto híbrdo modlo d qulíbro. O modlo formulado m trmo do dlocato ão baado no torma do trabalho vrtua ndo a quaçõ corrpondnt formulada m trmo do dlocato. O modlo mto híbrdo ão baado m prncípo varacona mto da tora da placa ndo a tnõ dlocato apromada d forma ndpndnt. O modlo d qulíbro ão baado no prncípo da força vrtua. ntr o modlo rfrdo o qu é ma frquntt utlzado é o modlo baado numa formulação m trmo d dlocato. O modlo aqu rfrdo é um modlo dt tpo. Na formulação do étodo do lto Fnto condra- qu:. O domíno do problma é formado por um conjunto d ubdomíno mpl qu não ntrcptam qu ão chamado lto Fnto. O tma fíco ou rgão matral obr a qual tm d vrfcar- o tma d quaçõ qu rgm o proco é o domíno. A ubdvão do domíno m lto fnto é dgnada por dcrtzação por lto fnto ndo o conjunto d lto fnto dgnado por malha d lto fnto do domíno, ndo poívl para cada domíno a condração d vára malha d lto fnto, cada malha rprnta uma poívl apromação do domíno.. Para cada lto fnto do domíno a olução do tma d quaçõ qu rg o fnóo é apromada por uma combnação lnar d parâmtro dconhcdo funçõ d apromação m gral dgnada por funçõ d forma qu ão na maor part do cao polnómo.. O proco d colocação do lto d forma a rprntarm o todo é dgnado por 'Amblagm' ou Agrupato do lto. Nt proco torna- ncáro compatblzar ntr o ubdomíno por forma a obtr uma apromação contínua no domíno o qu muta vz é fto mpondo a contnudad da olução por lto fnto alguma vz a contnudad da drvada na ntrfac do lto ou nalgun ponto da ntrfac.

30 ora d ndln 6. No cao da função a ntrpolar r um dlocato, por mplo, o dlocato u(), t pod r ntrpolado a partr d valor do dlocato m dtrmnado ponto do lto o chamado nó ou ponto noda, no lto pod condrar- qu é: u ( ) u ( ) u N ( ) j j j 6.6 ond u j rprnta o vctor do dlocato noda N j rprnta o conjunto da funçõ d forma ou ntrpolação do lto qu tá a r condrado. Um do modo d ncarar o método do lto fnto é como uma técnca d produção d funçõ d apromação para rm utlzada m método varacona d apromação, como por mplo o método d Raylgh-Rtz, mínmo quadrado, ubdomíno, tc. A colha da funçõ d apromação é m gral condconada ndo no ntanto poívl tr váro modlo d lto fnto para uma dada quação. No proco d dfnção d funçõ d apromação há uma mtodologa d formulação muto utlzada qu faz uo do concto d lto oparamétrco. t concto vo prmtr a condração d frontra do lto com forma ma compla do qu a uualt prmtda por outro tpo d lto. Um apcto fundatal da formulação por lto fnto cont na colha da funçõ a ntrpolar qu rprntam a varáv a dtrmnar no problma. No cao d tratar d um lto fnto a r condrado no âmbto da ora d ndln d Placa a varáv a ntrpolar no contto d uma formulação m trmo do dlocato ão o dlocato tranvral a rotaçõ qu podm r nrda num prncípo varaconal nomadat podm r nrda no chamado orma do rabalho Vrtua. ta formulação conduz m gral a um tma d quaçõ cuja ncógnta ão o valor da funçõ ntrpolada no chamado ponto noda do lto fnto qu conttum o domíno.

31 ora d ndln crtzação. lto d Placa d ndln O campo d dlocato do lto d placa d ndln [, ] para o lto pod r dfndo a partr do valor do dlocato gnralzado, num conjunto dcrto d ponto, o nó, d dão n, fazndo uo da funçõ d forma N, ou ja:, n u N d 6.6 ond u [,, ], d [ W,, ] N rprnta a matrz da funçõ noda. A matrz da funçõ d forma N é N I ond I é a matrz dntdad d ordm N ão a funçõ d forma para o lto. A funçõ d forma utlzada para fto d ntrpolação do dlocato rotaçõ, para o modlo condrado, ão a mma. ondrando o concto d lto oparamétrco, ntão a funçõ d forma N ão dfnda m coordnada loca ξ η, como rprnta na fgura 6.7 para lto d quatro oto nó a coordnada d um ponto do lto (, y) podm r calculada a partr da coordnada noda (, y ) do gunt modo: n n N y N y 6.64 Not- qu a dõ do lto oparamétrco no tma d o local ão do por do ndo a coordnada do canto do lto (-, -), (, -), (, ) (-, ). No cao do lto d 8 - nó o ponto noda ão colocado no canto do lto a mo do lado como rprnta na fgura 6.7.

32 ora d ndln 6. ξ η ξ η Grau d lbrdad por nó: W,, Fgura 6.7: lto Ioparamétrco d Srndpty. A funçõ d forma para o lto oparamétrco ma uua tão rprntada no quadro 6.. tão rprntado o lto lnar parabólco da famíla d Lagrang Srndpty é fta rfrênca ao lto d Htró. A dformaçõ gnralzada [ ] j,,,, φ φ ε ão dfnda m função do dlocato gnralzado, ndo: j d B ε 6.65 ond B rprnta a matrz da dformaçõ, ou ja: f N N N N N N N N B B B 6.66

33 ora d ndln 6. 4 η lto d quatro nó ξ N ( ξ, η ) 4 (ξξ )(ηη ) com, 4 lto d 8-nó d Srndpty 7 6 η ξ 7 6 η ξ anto N ( ξ,η) (ξξ 4 ) (ηη ) ( ξξ ηη ) com,,5,7 Nó do o do Lado N ξ (ξξ )(η ) η (ηη )(ξ) com,4,6,8 lto d 9-nó d Lagrang Nó canto N 4 (ξ ξξ )(η ηη ) com,,5,7 Nó do o do Lado N η (η ηη )(ξ ) ξ (ξ ξξ )(η ) com,4,6,8 Nó ntral N (ξ )(η ) 7 6 η ξ Htro lt Nó do canto nó do mo do lado a funçõ d forma ão dfnda d acordo com o o lto d 8-nó da famíla Srndpty o nó cntral tm uma função d forma do tpo bolha: N (ξ )(η ) Quadro 6.: Funçõ d Forma.

34 ora d ndln 6.4 O forço gnralzado σ rlaconam- com a dformaçõ gnralzado ε atravé da matrz d latcdad d acordo com a prõ , ou ja: ( ) ( ) ( ) f φ φ φ ε σ 6.67 ndo m conta a prão da nrga potncal (6.6) a prõ (6.66) (6.67), obtém-: W ds ds f Π φ φ 6.68 ndo m conta a quação 6.65 qu dfn a dformação m trmo do dlocato noda dgnando o vctor dlocato noda para o lto por δ, obtém- a nrga potncal para o lto com a gunt forma: [ ] f f f f W d B B d B B Π δ δ 6.69 A nrga potncal total é: N Π Π 6.7 Por mnmzação da nrga potncal total obtém- o tma d quaçõ gunt: j j F K Δ 6.7

35 ora d ndln 6.5 ond K j é a matrz d rgdz da placa obtda por 'amblagm' da matrz d rgdz ltar, Δ j é o vctor do dlocato da placa obtdo a partr do vctor d dlocato ltar F é o vctor da acçõ trna da placa obtdo a partr do vctor da acçõ ltar. t vctor matrz ão dtrmnado a partr do valor para o lto procdndo a um omatóro adquado do lto, a chamada 'amblagm' do lto, ou ja: K j N K j N S B B ds N [ B B ds B B ds ] S f f f S Δ N ε δ N N S [ p N,, ] ds F f 6.7 Not- qu no proco d cálculo da matrz d rgdz ltar ntrvêm a matrz da dformaçõ a qual faz uo da drvada da funçõ d forma m ordm à coordnada globa, y ndo portanto ncáro procdr ao cálculo dta drvada a partr da drvada m coordnada loca, para o é prco dfnr o jacobano da tranformação, ou ja: ξ η J 6.7 y y ξ η [] ndo y dtrmnado d acordo com a tranformação oparamétrca d coordnada ξ, η m, y dfnda pla quação A drvada m ordm a y ão calculada a partr da matrz nvra da Jacobana d acordo com a fórmula gunt:

36 ora d ndln 6.6 N N y [] J N ξ N η 6.74 Por outro lado o ntgra nvolvdo na prõ (6.7) dvm r calculado numrcat, ndo ncáro procdr também à tranformação d coordnada m ξ η. Problma. No cao d condrar uma placa conttuída por dua camada ortotrópca d pura qu tm um comportato qu pod r modlado pla tora d ndln ndo a dõ da placa a gundo b gundo y, dtrmn a prõ qu rprntam: a) A nõ no plano a nõ d ort ranvro. b) O oto flctor oror o forço ranvro. c) A quaçõ d qulíbro da Placa.. ondr uma Placa mplt apoada ao longo do contorno ujta a uma carga unformt dtrbuída dtrmn a Solução d Navr para uma Placa d dõ a gundo b gundo y no cao d r compota por dua camada ortotrópca d pura. ondr qu a placa tm um comportato modlávl pla ora d ndln.. ondr uma placa quadrada ncatrada ao longo do contorno d lado a ujta a uma carga unformt dtrbuída. Admtndo qu a placa tm um comportato d Placa d ndln dtrmn uma prão para a dformada para o dlocato no ponto médo fazndo uo do étodo d Rtz da funçõ gunt:

37 ora d ndln 6.7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a a b a a b a a ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 5 b a b b a b b a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 5 b a c b a c b a c