ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALCÁCER DO SAL. 11º Ano. MATEMÁTICA Exercícios de Exames e Testes Intermédios. Ano Letivo de 2012/2013

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALCÁCER DO SAL MATEMÁTICA Exrcícios d Exams Tsts Intrmédios 11º Ano Ano Ltivo d 2012/2013 Trigonomtria 1 Na figura stá rprsntado o quadrado é a amplitud m radianos do ângulo Mostr qu a ára da rgião sombrada é dada m função d por Exam Matmática A ª Fas 2 Na figura stá rprsntado um trapézio rtângulo Sab-s qu: é a amplitud m radianos do ângulo Mostr qu o prímtro do trapézio é dado m função d por Exam Matmática A ª Fas 3 Rlativamnt à figura 2 sab-s qu: o sgmnto d rta o sgmnto d rta o arco d circunfrência é médio d Admita qu um ponto com tm comprimnto é prpndicular a tm cntro m s dsloca ao longo do arco qu um ponto nunca coincidindo com s dsloca ao longo do sgmnto d rta nm d tal forma qu é smpr prpndicular a Para cada posição d a ára do triângulo sja a amplitud m radianos do ângulo sja Mostr qu Tst Intrmédio 12º ano Página 1 d 16

2 4 Sja um númro ral Sab-s qu é uma solução da quação Qual das xprssõs sguints dsigna uma solução da quação Tst Intrmédio 11º ano Considr o triângulo rprsntado na figura Sab-s qu: Sja Qual das xprssõs sguints rprsnta m função d Tst Intrmédio 11º ano Na figura stá rprsntado num rfrncial on Sab-s qu: o círculo trigonométrico tm coordnadas tm coordnadas Considr qu um ponto s mov sobr a circunfrência Para cada posição d sja sja a amplitud m radianos do ângulo orintado cujo lado origm é o smiixo positivo cujo lado xtrmidad é a smirrta Rsolva os itns sguints sm rcorrr à calculadora 61 Mostr qu Sugstão: Exprima as coordnadas d m função d utiliz a fórmula da distância ntr dois pontos 62 Rsolva os dois itns sguints tndo m conta qu 621 Dtrmin os valors d 622 Para um crto valor d para os quais prtncnt ao intrvalo tm-s Dtrmin para ss valor d Tst Intrmédio 11º ano Dtrmin o valor d sabndo qu qu Rsolva st itm sm rcorrr à calculadora Tst Intrmédio 11º ano Página 2 d 16

3 8 Na figura stão rprsntados num rfrncial on uma circunfrência o triângulo Sab-s qu: é a origm do rfrncial; a circunfrência tm cntro n raio é d coordnadas prtnc à circunfrência tm ordnada ngativa; o ângulo tm amplitud igual a Qual é a ára do triângulo radianos Exam Matmática A 2011 Época Espcial 9 Na figura stá rprsntado num rfrncial on o círculo trigonométrico Sab-s qu: é d coordnadas os pontos prtncm ao ixo é um diâmtro do círculo trigonométrico as rtas são parallas ao ixo é a amplitud do ângulo Qual das xprssõs sguints dá o prímtro da rgião sombrada na figura Exam Matmática A ª Fas 10 Na figura stá rprsntado o círculo trigonométrico Sab-s qu: Sja a rta é tangnt à circunfrência n a rta passa na origm do rfrncial intrscta a rta n cuja ordnada é situado no trciro quadrant prtnc à rta a amplitud m radianos do ângulo orintado assinalado na figura qu tm por lado origm o smiixo positivo por lado xtrmidad a smirrta Qual é o valor d arrdondado às cntésimas Tst Intrmédio 11º ano Página 3 d 16

4 11 Na figura stá rprsntada uma circunfrência d cntro n raio Sab-s qu: prtnc à circunfrência; os pontos stá ntr dsloca-s ao longo da smirrta são colinars; é a distância d para cada posição d nunca coincidindo com a é um ponto da circunfrência tal qu a rta é tangnt à circunfrência; Sja é a amplitud m radianos do ângulo a função d domínio dfinida por Sm rcorrr à calculadora mostr qu Tst Intrmédio 12º ano Considr m a quação trigonométrica Em qual dos intrvalos sguints sta quação não tm solução Tst Intrmédio 11º ano Sjam três númros rais Sab-s qu: Qual das xprssõs sguints é quivalnt a Tst Intrmédio 11º ano Considr num rfrncial on Para um crto valor d a suprfíci sférica prtncnt ao intrvalo d quação d coordnadas prtnc à suprfíci sférica Dtrmin os valors numéricos das coordnadas d Tst Intrmédio 11º ano Página 4 d 16

5 15 Na figura stá rprsntada m rfrncial on a circunfrência d cntro m raio Os pontos são os pontos d intrscção da circunfrência com os smiixos positivos rsptivamnt Considr qu um ponto s dsloca ao longo do arco nunca coincidindo com Para cada posição d nm com sab-s qu: é do ixo tal qu a rta é a mdiatriz do sgmnto é d intrscção da rta com o ixo Sja é a amplitud m radianos do ângulo a função d domínio dfinida por Rsolva os itns sguints sm rcorrr à calculadora 151 Mostr qu a ára do triângulo é dada por 152 Dtrmin o valor d prtncnt ao intrvalo para o qual s tm 153 Sja um númro ral prtncnt ao intrvalo tal qu Dtrmin o valor d Tst Intrmédio 11º ano Na figura stão rprsntados num rfrncial on uma circunfrência o triângulo Sab-s qu: a circunfrência tm diâmtro o vértic tm coordnadas do triângulo ; ; coincid com a origm do rfrncial; dsloca-s ao longo da smicircunfrência suprior Para cada posição d sja a amplitud do ângulo com Rcorrndo a métodos xclusivamnt analíticos mostr qu o prímtro do triângulo é dado m função d por Exam Matmática A ª Fas Página 5 d 16

6 17 Um dpósito d combustívl tm a forma d uma sfra As figuras rprsntam dois corts do msmo dpósito com alturas d combustívl distintas Os corts são fitos por um plano vrtical qu passa plo cntro da sfra Sab-s qu: é o cntro da sfra; a sfra tm mtros d diâmtro; a amplitud m radianos do arco é igual à amplitud do ângulo ao cntro corrspondnt A altura m mtros do combustívl xistnt no dpósito m função d por d domínio Rsolva os itns sguints rcorrndo a métodos xclusivamnt analíticos 171 Mostr qu para qualqur 172 Rsolva a condição Intrprt o rsultado obtido no contxto da situação aprsntada Exam Matmática A ª Fas 18 Na figura stá rprsntado um triângulo rtângulo cujos cattos mdm unidads Considr qu um ponto coincidindo com s dsloca sobr o catto nunca nm com Para cada posição d do ângulo sja a amplitud m radianos Sja a função qu a cada valor d faz corrspondr o prímtro do triângulo Usando xclusivamnt métodos analíticos mostr qu Tst Intrmédio 12º ano Em cada uma das figuras sguints stá rprsntado no círculo trigonométrico a traço grosso o lado xtrmidad d um ângulo cujo lado origm é o smiixo positivo Em qual das figuras ss ângulo pod tr radianos d amplitud Tst Intrmédio 11º ano Página 6 d 16

7 20 Considr a quação trigonométrica Em qual dos intrvalos sguints sta quação não tm solução Tst Intrmédio 11º ano Na figura stá rprsntado o quadrado Considr qu um ponto s dsloca ao longo do lado nunca coincidindo com Para cada posição d ângulo d lado nm com sja a amplitud m radianos do Rsolva os três itns sguints sm rcorrr à calculadora a não sr para ftuar vntuais cálculos numéricos 211 Mostr qu a ára da rgião sombrada é dada por 212 Dtrmin o valor d para o qual a ára da rgião sombrada é 213 Para um crto valor d sab-s qu Dtrmin para ss valor d a ára da rgião sombrada Tst Intrmédio 11º ano Na figura stá rprsntado um triângulo inscrito numa circunfrência d cntro raio igual a Um dos lados do triângulo é um diâmtro da circunfrência Qual das xprssõs sguints rprsnta m função d a ára da part sombrada Exam Matmática A ª Fas 23 Na figura stá rprsntado m rfrncial on o círculo trigonométrico Os pontos paralla ao ixo tm prtncm à circunfrência sndo a rta O ponto prtnc ao ixo O ângulo d amplitud Qual é o prímtro do triângulo (valor aproximado às décimas) Tst Intrmédio 11º ano Página 7 d 16

8 24 A Inês olhou para o su rlógio quando st marcava 10 h 45 min Passado algum tmpo ao vr novamnt as horas a Inês concluiu qu o pontiro dos minutos tinha rodado radianos Qu horas marcava o rlógio da Inês nst último instant 11 h 15 min 11 h 45 min 12 h 15 min 13 h 45 min Tst Intrmédio 11º ano Considr a quação trigonométrica Num dos intrvalos sguints sta quação tm apnas uma solução Em qual dls Tst Intrmédio 11º ano Na figura stão rprsntados m rfrncial on o círculo trigonométrico o raio o arco d circunfrência dst círculo d cntro n Tal como a figura sugr quadrant os pontos prtnc ao primiro prtncm ao ixo a rta é prpndicular a st ixo Sja a amplitud do ângulo Qual é a abcissa d Tst Intrmédio 11º ano Rlativamnt à figura junta sab-s qu: o triângulo é rtângulo prtnc ao catto dsigna a amplitud m radianos do ângulo 271 Mostr qu a ára do triângulo é dada por 272 Dtrmin o valor d para o qual a ára do triângulo 273 Sabndo qu qu é igual a dtrmin o valor d Tst Intrmédio 11º ano Página 8 d 16

9 28 Na figura stá rprsntado m rfrncial on circunfrência um arco d d cntro na origm do rfrncial raio igual a A rta tm quação O ponto Sja prtnc ao arco a amplitud do ângulo Qual das xprssõs sguints dá a distância d à rta Tst Intrmédio 11º ano Sja Qual das xprssõs sguints dsigna um númro positivo Tst Intrmédio 11º ano Na figura stá rprsntado o círculo trigonométrico Tal como a figura sugr prtnc à circunfrência é a origm do rfrncial é d coordnadas é d coordnadas A amplitud m radianos do ângulo é Qual é o valor arrdondado às cntésimas da ára do triângulo Tst Intrmédio 12º ano Na figura stá rprsntado um triângulo com dois ângulos d amplitud um ângulo d amplitud Qual das igualdads sguints é vrdadira para qualqur triângulo nstas condiçõs Tst Intrmédio 11º ano Sja um valor prtncnt ao intrvalo Qual das xprssõs sguints dsigna um númro ral positivo Tst Intrmédio 11º ano Página 9 d 16

10 33 Considr a quação Qual dos sguints valors é solução dsta quação Tst Intrmédio 11º ano Na figura stão rprsntadas m rfrncial o n uma rta uma circunfrência com cntro na origm raio igual a Os pontos O ponto prtncm à circunfrência também prtnc ao ixo das abcissas Admita agora qu s dsloca ao longo da circunfrência no primiro quadrant Para cada posição d sja a amplitud do ângulo orintado cujo lado origm é o smiixo positivo cujo lado xtrmidad é a smi-rta Sja o comprimnto do sgmnto 341 Mostr qu 342 Para uma crta posição d tm-s Sm rcorrr à calculadora dtrmin para st caso o valor d Tst Intrmédio 11º ano Indiqu as soluçõs da quação qu prtncm ao intrvalo Tst Intrmédio 11º ano Na figura junta stão rprsntados m rfrncial o n : o círculo trigonométrico a rta d quação o ângulo d amplitud qu tm por lado origm o smiixo positivo por lado xtrmidad a smi-rta intrscção do prolongamnto da smi-rta com a rta Como a figura sugr a ordnada d é Sm rcorrr à calculadora dtrmin o valor d Tst Intrmédio 11º ano Página 10 d 16

11 37 Na figura stá rprsntado m rfrncial on um arco qu stá contido na circunfrência d quação O ponto prtnc ao ixo o sgmnto d rta é prpndicular a st ixo é a amplitud m radianos do ângulo Qual é a xprssão qu dá o prímtro da rgião sombrada m função d Exam Matmática A ª Fas 38 Na figura stá rprsntado o círculo trigonométrico um triângulo O ponto dsloca-s ao longo da circunfrência no primiro quadrant O ponto dsloca-s ao longo do ixo modo qu o triângulo Sndo d tal é smpr isóscls a amplitud m radianos do ângulo qual das xprssõs sguints dá a ára do triângulo m função d Tst Intrmédio 11º ano Da amplitud d um crto ângulo orintado sab-s qu Qual das xprssõs sguints dá o valor d Tst Intrmédio 11º ano Sab-s qu é uma solução da quação Qual das xprssõs sguints dsigna uma solução da quação Tst Intrmédio 11º ano Página 11 d 16

12 41 Na figura stá rprsntado um trapézio rtângulo cujas bass têm unidads d comprimnto Considra qu um ponto s dsloca sobr o lado Para cada posição d sja Prtnd-s dtrminar o valor d a amplitud m radianos do ângulo para o qual o sgmnto divid o trapézio m duas figuras com a msma ára Qual das quaçõs sguints traduz st problma Exam Matmática A Fas 42 Na figura stá rprsntado a sombrado um polígono Tm-s qu: é um quadrado d lado é um arco d circunfrência d cntro m ponto mov-s ao longo dss arco; m consquência sgmnto ;o dsloca-s sobr o d tal forma qu s tm smpr dsigna a amplitud m radianos do ângulo 421 Mostr qu a ára do polígono é dada m função d por Sugstão: pod sr-lh útil considrar o trapézio 422 Dtrmin Intrprt gomtricamnt cada um dos valors obtidos 423 Rcorra à calculadora para dtrminar graficamnt as soluçõs da quação qu lh prmit rsolvr o sguint problma: Quais são os valors d para os quais a ára do polígono é Aprsnt todos os lmntos rcolhidos na utilização da calculadora nomadamnt o gráfico ou gráficos obtido(s) bm como coordnadas rlvants d alguns pontos Aprsnt os valors pdidos na forma d dízima arrdondados às décimas Exam Matmática A ª Fas 1ª Chamada Página 12 d 16

13 43 Considr uma circunfrência Um ponto raio tangnt a uma rta comça a dslocar-s sobr a circunfrência no sntido indicado pla figura Inicialmnt ncontra-s à distância d unidads da rta Sja a distância d a após uma rotação d amplitud Qual das igualdads sguints é vrdadira para qualqur númro ral positivo Exam Matmática A ª Fas 44 Na figura stão rprsntados m rfrncial o n trigonométrico um triângulo Os pontos O sgmnto o círculo prtncm à circunfrência é prpndicular ao smiixo positivo O ponto é d intrsção da circunfrência com o smiixo positivo Sja a amplitud do ângulo Qual das xprssõs sguints dá a ára do triângulo m função d Exam Matmática A ª Fas 2ª Chamada 45 Na figura stá rprsntada um quadrado O ponto lado dsloca-s sobr o lado d lado dsloca-s sobr o d tal forma qu s tm smpr Para cada posição d sja a amplitud do ângulo Rcorrndo a métodos xclusivamnt analíticos mostr qu o do prímtro quadrilátro é dado m função d por Exam Matmática A ª Fas 1ª Chamada 46 Na figura stá rprsntado um triângulo rtângulo hipotnusa md Qual das xprssõs sguints dá a ára (m ) do triângulo m função da amplitud do ângulo cuja Exam Matmática 2000 Prova para Militars Página 13 d 16

14 47 Na figura stá rprsntado um lago artificial d forma rtangular Prtnd-s construir uma pont ligando duas margns do lago ntr os pontos tal como a figura ilustra A pont tm um ponto d apoio margns a Sja situado a d uma das da outra a amplitud do ângulo 471 Mostr qu o comprimnto da pont m mtros é dado por 472 Considrando qu a localização d pod variar dtrmin o comprimnto da pont para o qual s tm Aprsnt o rsultado m mtros arrdondado às décimas Exam Matmática A 2001 Época Espcial 48 Na figura stão rprsntado m rfrncial on : um quarto d círculo d cntro na origm raio uma smirrta paralla ao ixo um ponto um ângulo d amplitud cujo lado origm é o smiixo positivo com origm n prtncnt a sta smirrta cujo lado xtrmidad é a smirrta Qual das xprssõs sguints dá a ára da rgião sombrada m função d Exam Matmática A ª Fas 2ª Chamada 49 Na figura stá rprsntada uma pirâmid quadrangular rgular Sab-s qu: A bas da pirâmid tm cntro é médio da arsta dsigna a amplitud do ângulo lado Mostr qu a ára total da pirâmid é dada m função d por Exam Matmática A ª Fas 1ª Chamada Página 14 d 16

15 50 Considr a função dfinida por é um trapézio isóscls; os lados são parallos Tm-s qu: Sja a amplitud do ângulo do ângulo 501 Mostr qu para cada 502 Dtrmin a ára do trapézio é igual a intrprt gomtricamnt o rsultado obtido caractrizando o quadrilátro qu s obtém para Exam Matmática 1999 Prova Modlo 51 Na figura o triângulo é isóscls é um rtângulo dsigna a amplitud do ângulo Mostr qu a ára do triângulo é dada m função d por (Nota: Pod sr-lh útil rparar qu ) Exam Matmática ª Fas 52 A figura rprsnta um cantiro d forma circular com d raio O cantiro tm uma zona rtangular qu s dstina à plantação d flors uma zona rlvada assinalada a sombrado na figura Os vértics do rtângulo prtncm à circunfrência qu limita o cantiro Na figura também stão assinalados: dois diâmtros da circunfrência qu contêm os pontos médios dos lados do rtângulo o cntro o ângulo da circunfrência Mostr qu a ára (m d amplitud ) da zona rlvada é dada m função por Exam Matmática ª Fas 2ª Chamada Página 15 d 16

16 53 Duas povoaçõs distanciadas uma da outra stão a igual distância d uma font d abastcimnto d água localizada m Prtnd-s construir uma canalização ligando a font às duas povoaçõs como s indica na figura A canalização é formada por três canos: um qu vai da font dois qu partm d d um para até um ponto outro para O ponto stá a igual distância d Tm-s ainda qu: ponto médio d dista d é a amplitud do ângulo 531 Tomando para unidad o quilómtro mostr qu o comprimnto total da canalização é dado por (Sugstão: Comc por mostrar qu 532 Calcul qu ) intrprt o rsultado obtido rfrindo a forma da canalização consqunt comprimnto Exam Matmática ª Fas 1ª Chamada 54 Considr a função dfinida m Mostr qu para qualqur ára d um triângulo por éa m qu é a amplitud do ângulo ; ; é a altura rlativa ao vértic ; Exam Matmática 1998 Prova Modlo Página 16 d 16