n = η = / 2 = 0, c

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1 PTC4 - TEORIA DA COMUNICAÇÕE II - //5 - PJEJ REOLUÇÃO DA EGUNDA LITA DE EXERCÍCIO QUETÃO Consdr sstmas bnáros om transmssão d ormaçõs quprovávs λ >>. Compar os dsmpnhos om sm odfação dos sstmas a sgur, prnhndo a tabla fornda. Consdr uma odfação por bloos (,) na prsnça d ruído AWGN d méda zro dnsdad sptral d potêna blatral G (f) / V n = η = / Hz, taxa líquda d dados d. bts/s um dsmpnho dsjávl d -5 para a probabldad d rro d uma palavra, odfada ou não (λ λ, rsptvamnt). Modulação-dtção P λ (mw) λ (mw) AK-ornt Q( λ ) AK-não ornt λ / FK ortogonal-ornt Q( λ ) FK ortogonal-não ornt λ / / / PK-ornt Q( λ ) Rsolução A rstrção λ >> fo oloada pos as xprssõs forndas para o AK-não ornt o FK ortogonal-não ornt são váldas apnas nstas ondçõs. Por outro lado, um ódgo (,) orrg rros é prfto t ( n = = 4 = = ). ja nalmnt o aso BPK-ornt. No aso não odfado a probabldad d rro d palavra é dada por P w = -(-P n) P n= Q( λ ). Impondo o msmo dsmpnho d P w= -5 nos dos asos tm-s: -5 = Q( λ ) Q( λ ) =, -6 λ =4,79 λ =,47. Mas, sab- s qu λ =, assm ηf,47 6 = 6 µw. ηf o n No aso odfado a probabldad d rro d palavra é dada por P w= C n n, ( P ) P C n,t+[p ] t+ = C n,t+[ Q( λ ) ] t+, t+ om t=, n= =. Assm: -5 =.55 [P ] 4 [P ]= Q( λ ) =,579 - η o =,7 = 66,5 µw. λ =,55 λ =,7. Mas, nst aso Assm, a potêna rqurda é,7 db ror ao aso não odfado, mas a banda xpand-s por um fator n/=,97 dvdo à odfação (transmt-s mas ormação no msmo ntrvalo d tmpo). ja agora o aso AK não ornt (o rsultado val também para o FK ortogonal-não ornt) gundo o msmo raoíno antror: -5 = λ / / λ / =,667-7 λ = 6,6 ηf 6,6 6 =, 6 mw no aso não odfado. Para o sstma odfado: -5 =.55 [P ] 4 [P ]= λ / / =,579 - λ =,9. E, omo ants: η o =,9 =, mw, rprsntando um ganho d,9 db nst aso. ja agora o aso AK-ornt (o rsultado val também para o FK ortogonal-ornt) λ Q λ =, -6 λ = 4,79 λ =,94 gundo o msmo raoíno antror: -5 = Q ( ) ( ) ηf,94 6 =, mw no aso não odfado. E no sstma odfado: -5 =.55 [P ] 4 [P ]=

2 Q λ =,579 - λ = 6,. E, omo ants: η o = 6, =, 7 ganho d,76 db nst aso. mw, rprsntando um Assm, pod-s ompltar a tabla: Modulação-dtção P λ (mw) λ (mw) AK-ornt Q( λ ),94, 6,,7 AK-não ornt λ / / 6,6,6,9, FK ortogonal-ornt Q( λ ),94, 6,,7 FK ortogonal-não ornt λ / / 6,6,6,9, PK-ornt Q( λ ),47,69,9,7 QUETÃO A matrz gradora d um ódgo d bloo lnar é G = - Exprss-a na forma sstmáta G = [ I M P ] ; - Dtrmn a matrz d vrfação d pardad H T onstrua a tabla d síndroms para st ódgo; - Dtrmn a dstâna mínma para st ódgo; r - Vrfqu qu a palavra ódgo orrspondnt à squêna d ormação d = [] é ortogonal à H T (dntfqu smpr a dmnsão das matrzs). Rsolução Trata-s d um ódgo (7,); not qu na forma dada =d =d =d ; assm para torná-lo sstmáto basta troar as lnhas da matrz G, rsultando: G = assm P= P H T = = Im d dmnsõs n ( 7), m ( 4) n m (7 4), rsptvamnt. A tabla d odfação é dtrmnada plo produto =d G d E vrfa-s por nspção qu o mm d H é gual a satsfazndo o rqurdo d H t+= om t=. Para onstrur a tabla d síndroms obsrva-s nalmnt a apadad d orrção máxma possívl para um ódgo gnéro (7,). Nst aso:

3 t 7 n 4 = = 6 = + 7 +; assm t= o ódgo não é prfto. Esta últma obsrvação nda qu xstm hprsfras, ada uma om pontos ntrnos, totalzando 64 palavras d 7 bts, d um unvrso possívl d ; assm tr-s-à rros dttados (duplos om maor probabldad) mas não orrgívs. Com os rros possívs d s orrgr dtrmna-s uma part da tabla s= H T. A dmnsão das síndroms s é m ( 4) aprsnta, portanto, 6 lmntos: s As síndroms ralçadas orrspondm às soluçõs d rros duplos dttávs (num total d ) alulávs plas soluçõs do sstma d quaçõs s= H T, dntro do prnípo da máxma vrossmlhança. Para a síndrom s=[]: + + 4= = + + 6= + + 7= ujas soluçõs d pso são [], [], []; Para a síndrom s=[] + + 4= = + + 6= + + 7= ujas soluçõs d pso são [], [], []; Para a síndrom s=[] + + 4= = + + 6= + + 7= ujas soluçõs d pso são [], [], []; Para a síndrom s=[] + + 4= = + + 6= + + 7= ujas soluçõs d pso são [], [], []; Para a síndrom s=[] + + 4= = + + 6=

4 + + 7= ujas soluçõs d pso são [], [], []; Para a síndrom s=[] + + 4= = + + 6= + + 7= qu não tm solução d pso. Nst aso, rsultando sta síndrom, pod-s afrmar qu s tm mas d rros dttados. Para a síndrom s=[] + + 4= = + + 6= + + 7= ujas soluçõs d pso são [], [], []; Para a síndrom s=[] + + 4= = + + 6= + + 7= ujas soluçõs d pso são [], [], []; Not ntão qu os rros duplos (não orrgívs) são smpr dttados a partr dstas síndroms. No últmo tm soltado d=[], portanto, =[] H T =[] =[] omo ra d s sprar pos st produto é smpr nulo para uma palavra ódgo válda. As dmnsõs orrspondnts são n ( 7), n m (7 4) m ( 4), para, H T o produto, rsptvamnt QUETÃO Um squma usual para orrção/dtção d rros é lustrado na tabla abaxo. Os dados d ormação (rprsntados na tabla por lmntos ) são ordnados sgundo uma matrz quadrada d j dígtos (no xmplo abaxo rprsntado j=). A ada lnha oluna arsntam-s dígtos d rdundâna p j, totalzando j dígtos d vrfação d pardad. Assm, m ada lnha, oluna, omplta têm-s =, ond dnota uma soma mod (ou xlusvo). Consdr agora o aso j=5. p p p 6 p p p a) st ódgo é do tpo (n,) om qu fêna? b) um ódgo d bloo (n,) podra orrgr até quantos rros quasqur? ) mostr laramnt omo um úno rro é orrgdo; d) st ódgo é apaz d orrgr/dttar quasqur dos rros? Rsolução a) o ódgo aprsntado tm 5 =5 dígtos d ormação 5 = dígtos d pardad. Assm é quvalnt, no qu dz rspto à dmnsão apnas, à um ódgo d bloo (5,5), portanto, om fêna η=5/5=7%

5 b) tvéssmos um ódgo d bloo (5,5) l sra apaz d orrgr até t rros dados pla solução d n- C n,+c n,+...+c n,t. No aso = o próxmo trmo é Assm t= rros. ) No ódgo aprsntado um úno rro é falmnt dttado pos a lnha oluna orrspondnt aprsntarão dsrpâna (Σ ) o ruzamnto dos dos ndará a posção. a dsrpâna aparr apnas numa lnha (ou oluna) o lmnto d pardad daqula lnha (ou oluna) é qu stará rrado. Assm garant-s qu rros smpls podrão sr smpr orrgdos. d) O ódgo dtta, mas não orrg rros duplos. Para vrfar a mpossbldad d orrção basta notar qu os padrõs d rros assnalados por * ** abaxo rprsntados são quvalnts do ponto d vsta d pardad. * ** Σ ** * Σ Σ Σ Assm, apsar da dntfação das lnhas olunas om rros não s pod afrmar s os rros são provnnts dos dos dígtos assnalados por * ou os dos assnalados por ** os dos rros form numa msma lnha: * * Σ = Σ Σ a dntdad da lnha é prdda (análogo para olunas). Assm pod-s afrmar qu dos rros são smpr dttados mas não podm sr orrgdos.