MODELOS DE REGRESSÃO PARA DADOS BINÁRIOS

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1 MODELOS DE REGRESSÃO PARA DADOS BINÁRIOS

2 Introdução Intrss m modlar algum fnômno alatóro com dos dsfchos possívs ( sucsso ou fracasso ) m função d uma ou mas covarávs. Assoca-s ao rsultado do fnômno uma varávl alatóra bnára, assumndo valor zro ou um, conform o dsfcho obsrvado. A dstrbução bnomal (, como caso partcular, a dstrbução d Brnoull) surg como prncpal altrnatva para a modlagm d dados bnáros. Grand quantdad vardad d potncas aplcaçõs.

3 Emplos d motvação Prognóstco d pacnts (cura ou não cura) m função d varávs clíncas, gnétcas comportamntas; Pagamnto ou não d mpréstmos, por part d clnts d uma nsttução fnancra, m função d varávs sóco-conômcas, nrnts à modaldad d mpréstmo, ao comportamnto do clnt m mpréstmos passados; Prognóstco d partdas d basqut (dgamos, vtóra ou drrota do tm mandant) m função d varávs rfrnts ao dsmpnho das qups, ao hstórco d confrontos, às crcunstâncas da partda...; Prsnça ou não d crta spéc vgtal m pqunas áras d uma tnsa florsta m função d varávs ambntas clmátcas. 3

4 Dstrbução d Brnoull Uma varávl alatóra Y tm dstrbução d Brnoull s sua função d probabldads for dada por: y y ( = y) = ( ), y =,; < < P Y. D forma quvalnt, pod-s prssá-la por: Sja Y ~ Brnoull ( ). Então: ( = y) P Y, y = =., y = E ( ) ; ( Y ) = ( ) µ = Y = Var. A dstrbução d Brnoull prtnc à famíla ponncal d dstrbuçõs, tndo função d varânca ( µ ) = µ ( µ ) V parâmtro d dsprsão φ =. 4

5 Dstrbução bnomal A dstrbução d Brnoull é um caso partcular da dstrbução bnomal. Uma varávl alatóra Y tm dstrbução bnomal com parâmtros n s sua função d probabldads é dada por: n = y y n y ( = y) ( ), y =,,,..., n ; < < P Y. Sja Y ~ Bnomal ( n, ). Então: E ( Y ) = n ; Var ( Y ) = n ( ) Nota - A função d probabldad da dstrbução bnomal acma partcularza para a dstrbução d Brnoull quando n =. 5

6 A dstrbução bnomal, também prtncnt à famíla ponncal, tm função d varânca ( µ ) = µ ( µ ) V parâmtro d dsprsão φ =. Nota S ~ Bnomal ( n, ) X X n Y =, ntão E ( Y ) = Var( Y ) ( ) n =. 6

7 Modlos lnars gnralzados para dados bnáros No contto d modlos lnars gnralzados, vamos consdrar ndpndnts, com Y bnomal (, ) m tmos um conjunto d varávs d Brnoull. Y,...,, Y Yn varávs alatóras ~, =,,..., n. Rpar qu s tomarmos m =, para todo, Adconalmnt, sjam = (,..., ) cada obsrvação na amostra., =,,..., n, vtors d covarávs corrspondnts a, p Um modlo lnar gnralzado fcara spcfcado da sgunt forma: g Y ~ bnomal m (, ) ( ) = η = = (... ). p p 7

8 A scolha da função d lgação para um MLG para dados bnáros Qustão como dfnr uma função d lgação adquada? Dntr os rqustos a srm consdrados para a scolha d uma função d lgação aproprada, alguns aspctos podm (ou dvm) dvm sr consdrados: o Qu sja contínua, dfrncavl monótona; o Capaz d mapar os valors d no ntrvalo (;); o Capaz d lnarzar a rlação ntr a parts alatóra a part sstmátca do modlo; o Qu proporcon ntrprtaçõs smpls. 8

9 Boa part dos rqustos rlaconados pod sr atndda ao dfnr: ( ) = F ( ) = g, ou, d forma quvalnt, ( ) = F( ) = F η, sndo F ( ) a função d dstrbução acumulada d alguma varávl alatóra contínua com suport no conjunto dos ras. Embora qualqur função dstrbução acumulada d varávl alatóra contínua confgur uma possívl função d lgação, na squênca são aprsntadas algumas frquntmnt utlzadas. 9

10 ) Função d lgação logto: obtda a partr da dstrbução logístca: g ( ) = ln = = ; Nota A função d lgação logto é amplamnt utlzada, dntr outros motvos, por: Propcar uma ntrprtação smpls dos rsultados m função da chanc (odds) d rsposta, dfnda por: chanc =, corrspondndo, portanto, à razão da probabldad d rsposta pla probabldad d não rsposta; Garantr a concavdad da função d vrossmlhança; Sr adquada para a análs d dados coltados rtrospctvamnt.

11 ) Função d lgação probto: obtda a partr da dstrbução Normal: ( ) = φ ( ) = = φ ( ) g, sndo φ ( z) = P( Z z) a função d dstrbução acumulada d ~ Normal(,) Z. A lgação probto é bastant utlzada m dtrmnadas áras como, por mplo, na Entomologa. Na prátca, as funçõs probto logto têm comportamnto bastant smlhants, sobrtudo no ntrvalo (,;,9 ).

12 3) Função d lgação complmnto log-log: basada na dstrbução Gumbl (também chamada dstrbução do valor trmo): ( ) = ln( ln( )) = = p( p( ) ) g. Dntr as três funçõs d lgação aprsntadas, a função complmnto log-log é a únca qu não é smétrca m torno d =, 5. Para as lgaçõs logto probto, tmos: ( ) = g( ) g.

13 ..8 Logístca Normal Gumbl.6 F() Fgura Ilustração das funçõs d dstrbução acumuladas para as dstrbuçõs Normal, Logístca Gumbl (nos três casos fo fado µ = σ ). X X = 3

14 Lgação d Aranda-Ordaz: corrspond a uma famíla d funçõs d lgação qu podm sr prssas na forma: ( ) α g ( ) = ln, α m qu α é um parâmtro dsconhcdo. É fácl vrfcar qu quando α = tmos a lgação logto quando α tm-s a lgação complmnto log-log. Emplo Mortaldad d mbrõs. Vamos ao R! 4

15 Rgrssão logístca O modlo d rgrssão logístca aplca-s à análs d dados bnáros, no contto m qu s dspõ d Y,...,, =,,..., n, Y Yn varávs alatóras ndpndnts, com Y ~ bnomal ( m, ) (novamnt, tomando m = para todo, tm-s um conjunto d varávs bnáras, com dstrbução d Brnoull). O qu spcfca o modlo d rgrssão logístca é a função d lgação logto: g ( ) = ln = η = =... pp, sndo η o prdtor lnar, confgurando a part sstmátca do modlo. 5

16 6 Podmos scrvr o modlo drtamnt na scala da probabldad d rsposta: ( ) = = = p p p p g, Ou na scala da chanc d rsposta: p p odds = = =....

17 O dsvo para o modlo d rgrssão logístca lnar fca dado por: ( y ) ( ) n y D( y ; ˆ ) = = y ( ) log y log ˆ, ˆ = g η ˆ η = ˆ, uma vz qu sua log-vrossmlhança é dada por: sndo ˆ µ ( ˆ ) = n l ( ˆ;y) y ln ln( ) =. 7

18 Intrprtação dos parâmtros d um modlo d rgrssão logístca lnar Suponhamos qu o prdtor lnar contmpl apnas uma varávl numérca: ln = =. Consdr dos ndvíduos para os quas = k = k, rspctvamnt. A razão d chancs para st par d ndvíduos fca dada por: Odds rato ( ) ( ) ( k ) = = = = k. Assm, corrspond à razão d chancs dcorrnt do acréscmo d uma undad m. D forma quvalnt, o acréscmo d uma undad m multplca a chanc d rsposta m. 8

19 Adconalmnt, corrspond à razão d chancs dcorrnt do acréscmo d undads m : chanc = k ) / chanc( = ). ( k Suponhamos qu o prdtor lnar contmpl apnas uma varávl dcotômca, ndcadora d alguma varávl catgórca: ln = =, ond =, s o ésmo ndvíduo prtnc a uma catgora A, =, s o ésmo ndvíduo prtnc a uma catgora B. A razão d chancs para ndvíduos da catgora B m rlação a ndvíduos da catgora A fca dada por: B A ( B ) B A = = = ( A ) B A. 9

20 Assm, corrspond à razão d chancs para ndvíduos da catgora B m rlação a ndvíduos da catgora A. S tvéssmos anda uma catgora C, ntão dfnríamos, por mplo:, s ndv tpo B =, caso contráro ;, sndv tpo C =, caso contráro, confgurando: ln = =.

21 Logo, as razõs d chanc fcaram dadas por: A: m rlação a B ( ) ( ) A A B B = = ; A: m rlação a C ( ) ( ) A A C C = = ; B : C m rlação a ( ) ( ) ( ) = = B B C C. Caso o prdtor lnar contnha múltplas varávs, as ntrprtaçõs são dêntcas, dvndos rssaltar, no ntanto, qu a ntrprtação da razão d chancs calculada para uma partcular varávl, é válda consdrando fos os valors das dmas varávs. Emplo Psqusa d ntnção d votos. Vamos ao R!