Comparação entre Gráficos de Controle para Resíduos de Modelos

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1 Comparação ntr Gráfcos d Control para Rsíduos d Modlos Danlo Cuzzuol Pdrn (PPGEP/UFRGS) danlo@producao.ufrgs.br Carla Schwngbr tn Catn (PPGEP/UFRGS) tncatn@producao.ufrgs.br Rsumo: Os gráfcos d control stão ntr as técncas statístcas mas utlzadas plas ndústras, para sua mplmntação, é ncssáro assumr qu os dados sjam () ndpndnts () dntcamnt dstrbuídos. Quando os dados do procsso são autocorrlaconados, vola-s a prmra suposção, o qu gra um alto númro d alarms falsos. A sgunda suposção pod não sr vrdadra quando as varávs d rsposta form dpndnts das varávs d control stas vararm durant a xcução do procsso, sto faz com qu o modlo d rfrênca do procsso não sja o msmo para todas as amostras provnnts do procsso. No prmro caso, a prátca usual é o ajustamnto d um modlo d sérs tmporas o postror montoramnto dos rsíduos do modlo. No sgundo caso, ajusta-s um modlo d rgrssão tndo as varávs d control como rgrssors da varávl rsposta, a sgur, montora-s os rsíduos do modlo. Dant do qu fo xposto, o prsnt artgo tm como objtvo comparar o dsmpnho dstas abordagns m um msmo conjunto d dados. D forma a orntar a aplcação dstas abordagns, aprsnta-s um fluxograma orntatvo. Palavras-chav: Gráfcos d Control; Rsíduos; Rgrssão; ARIMA. 1. Introdução Os gráfcos d control, sgundo Woodall Montgomry (1999), são o prncpal dstaqu dntr as frramntas do CEP, dvdo prncpalmnt à sua smplcdad opraconal à sua ftvdad na dtcção d problmas no procsso, sndo utlzadas com sucsso no montoramnto do dsmpnho dos mas dvrsos procssos ndustras. Montgomry (2004) rssalta qu, para a utlzação das cartas d control, é ncssáro assumr qu os dados do procsso sjam ndpndnts dntcamnt dstrbuídos. Em mutos casos prátcos stas suposçõs não podm sr consdradas vrdadras, o qu compromt a ftvdad das cartas d control. Por xmplo, a suposção d qu as obsrvaçõs são ndpndnts é volada m procssos autocorrlaconados. A suposção d qu os dados sjam dntcamnt dstrbuídos pod sr volada quando ocorrm altraçõs no ajust das varávs d control do procsso, pos, xstndo dpndênca ntr a caractrístca d qualdad as varávs d control, o modlo assumdo não srá vrdadro para todos os dados provnnts do procsso. Em ambas as stuaçõs dscrtas antrormnt, podm ocorrr o aumnto do númro d alarms falsos, qu são conclusõs rrônas quanto à stabldad do procsso. D acordo com Ca t al. (2002), modlos d rgrssão ou d sérs tmporas podm sr utlzados para modlar procssos qu aprsntm tndêncas, para postrormnt utlzar-s gráfcos d control para os rsíduos dos modlos. D acordo com Montgomry (2004) Lordo at al. (2003), s o conjunto aproprado d varávs d control for nsrdo no modlo d rgrssão, os rsíduos srão não-corrlaconados, msmo qu a varávl rsposta sja corrlaconada. Quando o procsso é autocorrlaconado, a prátca usual, sgundo Woodall Montgomry (1999), é a abordagm basada m modlos, qu consst no ajust d um 1

2 modlo d sérs tmporas, por xmplo um modlo ARIMA, o montoramnto dos rsíduos do modlo através d um gráfco d control, como o gráfco para mddas ndvduas, somas cumulatvas (CUSUM) o gráfco para médas móvs xponncalmnt pondradas (EWMA). Dntro dssa lnha, Alwan Robrts (1988) propusram um gráfco d control para os rsíduos padronzados do modlo. Mandl (1969) Jacob t al. (2002) studaram o gráfco d control d rgrssão, qu consst no ajust d um modlo d rgrssão lnar smpls construção d lmts d control para a rta d rgrssão stmada, utlzando o dsvo-padrão dos rros do modlo como stmatva para o dsvo-padrão do procsso. Para o caso m qu é ncssáro ajustar a varávl d qualdad a mas d uma varávl d control, é ncssára a utlzação d modlos d rgrssão lnar múltpla (MRLM), o qu torna nvávl a utlzação da abordagm proposta por Mandl (1969). Para ssa stuação, Haworth (1996) propõ o gráfco d control d rgrssão múltpla, qu consst na construção d um gráfco d control para os rsíduos padronzados do modlo. Dant dos problmas xpostos antrormnt, o prsnt trabalho tm como objtvos comparar o dsmpnho dssas duas abordagns quando utlzadas sobr um msmo conjunto d dados smulados, qu aprsntam uma strutura d autocorrlação os valors das varávs d control são conhcdos para todas amostras. D forma a facltar a aplcação dssas abordagns m procssos ndustras, o prsnt trabalho também aprsnta um método orntatvo para a laboração dos gráfcos d control para duas stuaçõs: () quando o procsso é autocorrlaconado a varávl d rsposta pod sr ajustada por um modlo ARIMA; () quando a varávl rsposta é dpndnt das varávs d control do procsso pod sr ajustada por um MRLM. 2. Rvsão Bblográfca 2.1 Modlos para Dados Autocorrlaconados Ants da modlagm dos dados, é ncssáro dtctar a strutura d autocorrlação dos dados, qu prmt scolhr o modlo a sr utlzado. Uma altrnatva smpls, sgundo Tolo Mottn (2000) é a utlzação do corrlograma, qu consst na construção dos gráfcos para as funçõs d autocorrlação (ACF) d autocorrlação parcal (PACF). S os valors aprsntarm um comportamnto alatóro dntro dsss ntrvalos, ntão os dados podm sr consdrados ndpndnts, caso contráro, há ndícos d autocorrlação. Box t al. (1994) subdvdm os modlos ARIMA m quatro catgoras: () modlos auto-rgrssvos, dntfcados como modlos AR(p), qu modlam as struturas d autocorrlação da varávl m rlação a valors passados; () modlos d médas móvs, chamados d modlos MA(q), qu nglobam a strutura d autocorrlação rlaconada aos rros d prvsão antrors; () modlos auto-rgrssvos d médas móvs, smbolzados por ARMA(p,q) (v) modlos auto-rgrssvos ntgrados d méda móvl, chamados d modlos ARIMA(p,d,q), qu usam dfrncaçõs para tornar a sér staconára. A rprsntação típca d um modlo ARIMA(p,d,q) é aprsntada quação (1): Φ p (B) d X t = Θ q (B)ε t (1) Ond: Φ p (B) = (1- φ 1 B- φ 2 B φ p B p ) é o oprador autorgrssvo d ordm p; Θ q (B) = (1 θ 1 B- θ 2 B θ q B q ) é o oprador d médas móvs d ordm q; d é o oprador d dfrncação d ordm d; B é o oprador backshft; ε t é o rro alatóro. A scolha dos parâmtros p q dv sr fta com bas na análs dos gráfcos ACF 2

3 PACF, para maors dtalhs rcomnda-s Box t al. (1994) Tolo Mottn (2000). O valor d d ndca quantas vzs a sér tv qu sr dfrncada, para s obtr staconardad da méda varânca dos dados. A scolha do modlo adquado também lva m consdração a mnmzação da soma dos quadrados dos rros (SQR) das statístcas Akak Informaton Crtra (AIC) o Baysan Informaton Crtra (BIC) a sgnfcânca da constant dos cofcnts da quação ajustada. Após o ajust d um modlo ARIMA adquado aos dados, dv-s vrfcar s os rsíduos do modlo são ndpnts, também chamados d ruído branco. 2.2 Dtalhs da formatação O MRLM com k varávs controlávs é rprsntado pla sgunt quação (MONTGOMERY t al., 2001): y = β + β x + β x β x + ε k k = 1, 2,..., n (2) Os cofcnts β 0, β 1,..., β k, chamados d cofcnts d rgrssão, são usualmnt ntrprtados da sgunt forma (MONTGOMERY t al., 2001): a) β 0 é chamado d cofcnt d ntrcpto, sndo ntrprtado como a méda d y quando todas as varávs controlávs são guas a zro; b) β 1,..., β k são a drvada parcal d y m rlação a x k, ou sja, é varação d y causada por uma varação untára m x k dado qu as outras varávs controlávs foram mantdas constants. É mas prátco trabalhar com MRLM quando a quação (2) é xprssa m notação matrcal, já qu ssa notação prmt uma aprsntação mas compacta do modlo, dados rsultados para qualqur númro d varávs (MONTGOMERY t al., 2001): y = Xβ + ε (3) Quando o númro d obsrvaçõs (n) for maor qu o númro d varávs controlávs (k), o método utlzado para stmar a quação d rgrssão é o método d mínmos quadrados ordnáros (MQO), qu vsa mnmzar as somas quadrátcas dos rsíduos da rgrssão. O stmador d mínmos quadrados ordnáros d β é obtdo pla rsolução da quação (4) (MONTGOMERY t al., 2001; NETER t al., 2005): ˆ 1 β = ( X ' X ) X ' y Para utlzar o MQO, é ncssáro supor qu os rsíduos sjam normalmnt dstrbuídos com méda gual a zro com dsvo-padrão dsconhcdo constant. Essa suposção dv sr vrfcada postrormnt, para a valdação do modlo stmado. D poss da stmatva d mínmos quadrados ordnáros dos cofcnts d rgrssão, a stmatva para uma obsrvação m função das varávs d control do procsso é dada pla quação (5). 2.3 Gráfcos d Control para Rsíduos d Modlos (4) ˆ Xβˆ y = (5) Para as duas stuaçõs dscrtas antrormnt, o ajust d um modlo ARIMA ou d um MRLM tm como prncpal objtvo, rspctvamnt, d rmovr a strutura d autocorrlação dos dados ou rmovr a nfluênca das varávs d control do procsso. 3

4 Para procssos autocorrlaconados, a altrnatva mas utlzada é a aplcação dos gráfcos CUSUM para montorar as obsrvaçõs autocorrlaconadas. Dntro dsta abordagm, dstacam-s: Yashchn (1993), VanBrackl Rynolds (1997), Wrnga (1999), Lu Rynolds (2001) Atnza t al. (2002). O montoramnto dos rsíduos d um MRLM através d um gráfco CUSUM também é possívl, mbora não foram ncontrados trabalhos qu fzssm sta aplcação. Outra abordagm comum é o uso dos gráfcos EWMA para o montoramnto dos rsíduos dos modlos. Lu Rynolds (1999) studaram o dsmpnho dos gráfcos EWMA para montorar a méda a varânca d procssos autocorrlaconados. Wrnga (1999), Englsh t al. (2000) Kohlr t al. (2001) studaram o comportamnto dos gráfcos EWMA para rsíduos para obsrvaçõs autocorrlaconadas. Txra (1997) Shu t al. (2004) aplcaram o gráfco EWMA para os rsíduos d um MRLM. Rothshld Roth (1986) aprsntaram o gráfco d control para mddas ndvduas para os valors obsrvados da varávl rsposta, com o dsvo-padrão do procsso sndo stmado pla ampltud móvl dos rsíduos da rgrssão. Outra altrnatva para o montoramnto dos rsíduos padronzados dos modlos ARIMA MRLM é aprsntada por Alwan Robrts (1988) Haworth (1996), rspctvamnt. Dfnndo-s o rsíduo d um modlo como sndo a dfrnça ntr o valor obsrvado da varávl rsposta o valor ajustado plo modlo, conform a quação (6). = y O dsvo-padrão dos rsíduos do modlo é stmado pla raz quadrada do quadrado médo dos rros (QMR), conform a quação (7). ˆ σ Ond: k é o númro d parâmtros do modlo. = yˆ QMR = n =1 2 n k O rsíduo padronzado do modlo é obtdo através da dvsão dos rsíduos plo dsvo padrão dos rsíduos do modlo: z (6) (7) = (8) σˆ É mportant dstacar qu os rsíduos padronzados dos modlos ARIMA MRLM dvm sr normalmnt dstrbuídos, com méda gual a zro dsvo-padrão gual a 1. Dsta forma, os lmts d control aprsntados por Alwan Robrt (1988) Haworth (1996) são: LSC = + k LC = 0 LIC = k Morra (2005) aprsntou uma modfcação no gráfco d control proposto por Alwan Robrts (1988), d forma a montorar as obsrvaçõs orgnas, ao nvés dos rsíduos. Pdrn t al. (2008) ralzaram sta msma modfcação para o gráfco d control d rgrssão múltpla. (9) (10) (11) 4

5 3. Método Proposto O método proposto no prsnt trabalho é aplcávl m duas stuaçõs: () quando o procsso é autocorrlaconado, caso m qu é ncssáro supor qu a sqüênca d obsrvaçõs da varávl rsposta possa sr ajustada por um modlo ARIMA qualqur () quando a varávl rsposta é dpndnt das varávs d control do procsso, ond s supõ qu os dados possam sr ajustados por um MRLM. O squma gral do método proposto é aprsntado na Fgura 1. Fgura 1 Fluxograma do método proposto. O prmro passo do método consst m dtrmnar s há nformação d varávs controlávs dsponívs no banco d dados. S stvrm dsponívs nformaçõs d varávs d control para todas as amostras, dv-s analsar s há rlação d causa--fto ntr as varávs d control a varávl rsposta do procsso. Dssa forma, é possívl stmar um modlo d rgrssão MRLM qu ajust a varávl rsposta às varávs d control. Caso não xsta rlação d causa--fto, dv-s vrfcar a autocorrlação dos dados. Caso stas varávs não stjam dsponívs ou não xsta rlação d causa--fto, é ncssáro analsar os gráfcos ACF PACF dos dados, a fm d dtctar a prsnça d autocorrlação. S a análs da ACF da PACF não rvlar a prsnça d autocorrlação, 5

6 dvm-s construr gráfcos d control clásscos. Caso contráro, é ncssáro stmar o mlhor modlo ARIMA qu modl os dados. Uma vz stmado o modlo qu mlhor ajust os dados, dv-s stmar o dsvopadrão do procsso através do dsvo-padrão dos rsíduos do modlo. Caso s dsj montorar os rsíduos do modlos, ao nvés dos rsíduos padronzados, é possívl modfcar os lmts d control aprsntados nas quaçõs (9) (11). LSC = + k ˆ σ LC = 0 LIC = k ˆ σ Após a stmação dos lmts d control, utlzando as quaçõs (12) (14), dv-s construr o gráfco d control para os rsíduos do modlo. Por fm, após a construção do gráfco d control para os rsíduos dv-s vrfcar s há pontos fora d control. Caso xstam pontos fora d control, dv-s stmar o modlo novamnt, dsconsdrando-s as amostras fora d control. S não xstrm pontos fora d control, os lmts d control calculados podm sr utlzados para o montoramnto do procsso. 4. Aplcação dos Gráfcos d Control 4.1 Aplcação d Gráfcos d Control Clásscos Os dados utlzados para a comparação ntr os gráfcos d control d rsíduos d modlos ARIMA ou d rgrssão lnar são provnnts d Montgomry (2004, p. 337). O banco d dados utlzado para st studo é composto por 80 amostras ndvduas, sndo 40 amostras provnnts d Montgomry (2004) 40 amostras smuladas. Os procsso a sr montorado é composto por uma varávl rsposta nov varávs controlávs (x 1, x 2,... x 9 ). Ants do níco do método, plota-s um gráfco d control para as mddas ndvduas d y, qu é aprsntado na Fgura 2. (12) (13) (14) Fgura 2 Gráfco d Mddas Indvduas para a varávl y. Através da análs da fgura 2, obsrva-s qunz pontos fora d control (ndcados m vrmlho). Dsta forma, utlzando o gráfco d control d mddas ndvduas o procsso sra consdrado como stando fora d control. A sgur, srá aplcado o ajust d um modlo d rgrssão postrormnt um ajust d um modlo ARIMA. 6

7 4.2 Gráfco d Control d Rgrssão Múltpla Como há nformaçõs d varávs d control para todos os dados, srá utlzado um MRLM para a modlagm da varávl d rsposta m função das varávs controlávs. Nst modlo, as varávs d control x 2, x 5, x 6 x 7 as ntraçõs ntr varávs não foram ncluídas no modlo, já qu stas varávs aprsntaram valors-p mnors qu o nívl d sgnfcânca adotado (5%). O modlo stmado é aprsntado na quação (15). y ˆ = ,480x + 1 0,190 x3 0,0732x4 + 3,15 x8 131 O modlo aprsntou um cofcnt d dtrmnação d 87,2% um cofcnt d dtrmnação ajustado d 86,4%. Para valdação do modlo, aprsnta-s na Fgura 3 o gráfco d normaldad dos rsíduos o gráfco d rsíduos vrsus valors stmados do modlo. x 9 (15) Fgura 3 Gráfcos dos Rsíduos. Como é possívl obsrvar na Fgura 3, os rsíduos podm sr consdrados como sndo normalmnt dstrbuídos, já qu aproxmam-s razoavlmnt da rta. O valor-p para o tst d normaldad d Kolmogorov-Smrnov fo d 0,15, qu é maor qu o nívl d sgnfcânca adotado. Através da análs da fgura 3, também é possívl prcbr qu a varânca dos rsíduos pod sr consdrada como constant. Dsta forma, o modlo proposto é váldo a quação (15) pod sr utlzada para stmar a rsposta méda da varávl rsposta dados os valors d todas as varávs d control, assm os rsíduos podm sr stmados através da quação (6). O dsvo-padrão dos rsíduos do modlo, stmado pla quação (7), fo d 0,83. Adotando k = 3, para lmts com 99,73% d confança, os lmts d control para o gráfco d control d rgrssão múltpla são: LSC = + 2,49 LC = 0 LIC = 2,49 D poss dos rsíduos do modlo d rgrssão dos lmts d control, aprsnta-s na Fgura 4 o gráfco d control d rsíduos da rgrssão múltpla. Analsando a Fgura 4, obsrva-s qu a amostra d númro 14 fcou acma do lmt d control supror, logo, o procsso não stá sob control statístco. Esta amostra não hava sdo dtctada gráfco d control para mddas ndvduas da Fgura 3, sndo consdrada uma falha dst gráfco. Os outros qunz pontos fora d control dtctados no gráfco d mddas ndvduas da Fgura 2 não foram dtctados no gráfco d control d rsíduos da rgrssão múltpla, podndo sr (16) (17) (18) 7

8 consdrados como sndo alarms falsos. Fgura 4 Gráfco d Control d Rsíduos da Rgrssão Múltpla. Como o gráfco d control proposto dtctou um ponto fora d control, é ncssáro stmar um novo modlo d rgrssão, dsconsdrando-s a amostra 14, qu stava fora d control. O novo modlo d rgrssão é aprsntado na quação 18. yˆ = ,481x + 1 0,101 x3 0,0794x4 + 3,09x8 133 Os rsíduos do modlo aprsntado na quação 26 aprsntaram um dsvo-padrão d 0,76. Dssa forma, adotando k=3, os lmts d control para a carta d control srão: LSC = + 2,28 LC = 0 LIC = 2, Gráfco d Control para Procssos Autocorrlaconados Embora xstam nformaçõs das varávs d control, também srão utlzados modlos ARIMA. O prmro passo do método proposto consst m construr os gráfcos para o ACF o PACF, d forma a dtctar a strutura d autocorrlação dos dados. Os gráfcos são aprsntados na Fgura 5. x 9 (19) (20) (21) (22) Fgura 5 Gráfcos d corrlograma ACF PACF para a varávl rsposta Y. Através da análs dos corrlogramas ACF PACF da Fgura 6, é possívl notar a 8

9 possbldad d uso d város modlos ARIMA para modlar a varávl rsposta Y. Como a sér não é staconára quanto à méda, é ncssáro utlzar uma dfrncação para stablzar a sér. Os modlos qu aprsntaram trmos d mas alta ordm sgnfcatvos rsíduos brancos são aprsntados na Tabla 1. Tabla 1 Modlos ARIMA crtéros d scolha. Analsando os crtéros d scolha dos modlos aprsntados na Tabla 1, dcd-s por utlzar um modlo ARIMA(2,1,0), qu mnmzou as statístcas AIC QMR, aprsntando também um valor para a statístca BIC muto próxmo ao do modlo qu aprsntou o mnor valor para sta statístca. Na Fgura 6, aprsnta-s os corrlogramas para os rsíduos do modlo ARIMA(2,1,0). Fgura 6 Gráfcos d corrlograma ACF PACF para os rsíduos do modlo ARIMA(2,1,0). Como os rsíduos do modlo scolhdos são do tpo rsíduo branco, o modlo é consdrado adquado para modlar o conjunto d dados. O modlo scolhdo aprsntou uma stmatva d dsvo-padrão d 1,45, adotando um k = 3, os lmts d control para os rsíduos do modlo são: LSC = + 4,35 LC = 0 LIC = 4,35 Tndo as stmatvas dos rsíduos do modlo ARIMA os lmts d control, aprsnta-s na Fgura 7 o gráfco d control para os rsíduos d um procsso autocorrlaconado. Analsando st gráfco, o procsso pod sr consdrado como stando sob control, já qu o gráfco não aprsntou pontos fora d control. (23) (24) (25) 9

10 Fgura 7 Gráfco d control para os rsíduos d um modlo ARIMA(2,1,0). 5. Comparação d Rsultados O procsso smulado aprsntou tndêncas d aumnto dcréscmo da varávl d rsposta analsada. Como é possívl obsrvar na Fgura 2, os gráfcos d control clásscos, como o gráfco d control para mddas ndvduas, não podm sr utlzados nsta stuação, já qu aprsntaram um númro xcssvo d alarms falsos. Dssa forma, conform Ca t al. (2002) Montgomry (2004), o uso modlos ARIMA ou MRLM para modlar dos dados é ncssára. Dntr as abordagns dsponívs, utlzou-s as propostas d Alwan Robrts (1988) d Haworth (1996), qu dfndm o uso do dsvo-padrão dos rsíduos para a stmar o dsvo-padrão do procsso. O gráfco d control para os rsíduos da rgrssão múltpla, aprsntado na Fgura 4, mostrou qu o procsso não stava sob control statístco, já qu a amostra 14 fcou acma do LSC. Esta amostra ralmnt tratava-s d uma causa spcal, fcando crca d 3,5 dsvospadrão acma da méda dos dmas rsíduos. O gráfco d control para os rsíduos do modlo ARIMA, aprsntado na Fgura 7, não aprsntou nnhum ponto fora d control. A amostra 14, qu no gráfco d control dos rsíduos da rgrssão stava fora d control, fcou próxma do LSC o gráfco d control para os rsíduos do modlo ARIMA. Possvlmnt, sto ocorru dvdo à dfrnça na stmatva do dsvo-padrão dos rros, qu fo d 0,83 para o MRLM d 1,45 para o modlo ARIMA. Uma outra dsvantagm provnnt do uso do uso dos modlos ARIMA é a prda d d nformaçõs, rfrnts ao númro d dfrncaçõs ncssáras para stablzar a sér d dados. Caso alguma das d prmras nformaçõs stvrm fora d control as dmas amostras stvrm sob control, sta abordagm pod lvar a conclusõs rrônas sobr o procsso. Por s tratar d um studo com dados smulados, m qu s conhc a dstrbução ral dos dados, a amostra 14 tratava-s ralmnt d um ponto fora d control nduzda durant a smulação dos dados. Dssa forma, o prsnt trabalho aprsntou um xmplo m qu o uso d um MRLM fo mas ftvo para o CEP do qu o uso d modlos ARIMA. 10

11 Rssalta-s qu o modlo d rgrssão prsntou um bom ajust, com um cofcnt d dtrmnação d 87,2%, o qu fz com qu o gráfco d control d rgrssão múltpla aprsnta-s um bom rsultado. É possívl qu ocorra um caso m qu o ajust por modlo d rgrssão sja por qu um ajust por um modlo ARIMA, o qu fara com qu o gráfco d control d rgrssão aprsntass dsmpnho nfror ao do gráfco d control para os rsíduos d um modlo ARIMA. 6. Conclusõs O prsnt trabalho tv como objtvo comparar o dsmpnho do uso d gráfcos d control para rsíduos m duas abordagns, a prmra utlzando MLRM a sgunda utlzando modlos ARIMA. D forma a facltar a aplcação dssas abordagns m procssos ndustras, o prsnt trabalho também aprsnta um método orntatvo para a laboração d gráfcos d control para duas stuaçõs: () quando o procsso é autocorrlaconado () quando quando a varávl rsposta é dpndnt das varávs d control do procsso. Aprsntou-s um fluxograma orntatvo, qu ngloba o uso d MRLM modlos ARIMA, dpndndo da dsponbldad d valors para as varávs d control ou da strutura d autocorrlação dos dados. O fluxograma aprsntado prmt dfnr o tpo d modlagm a sr utlzado, auxlando na stmatva dos lmts d control tntatvos do procsso. Para a comparação dos rsultados, utlzou-s um conjunto d dados smulados a partr d um xmplo d ltratura. O prsnt trabalho aprsntou um xmplo m qu o gráfco d control d rsíduos d rgrssão fo mas ftvo qu os gráfcos d control para rsíduos d modlos ARIMA, já qu st não fo capaz d dtctar uma causa spcal qu fo dtctada no gráfco d control d rgrssão. O uso d modlos ARIMA rsultou m uma stmatva d dsvo-padrão supror à stmatva utlzando o MRLM, o qu pod prjudcar o dsmpnho dos gráfcos d control para rsíduos d modlos ARIMA. Outra dsvantagm do uso d modlos ARIMA é qu caso sja ncssáro dfrncar a sér para sta s tornar staconára, há prda das d prmras nformaçõs da sér d dados, rfrnts às d dfrncaçõs utlzadas. Para st caso, s alguma das nformaçõs prddas stvr fora d control, não há como stmar os rsíduos para o modlo, o qu lvara a conclusõs rrônas sobr a stabldad do procsso. Como sugstõs para trabalhos futuros, rcomnda-s o dsnvolvmnto d métodos qu prmtam o control acompanhamnto da varabldad para os procssos com amostras untáras, com o uso das duas abordagns aprsntadas. Outra rcomndação é a comparação da snsbldad dstas duas abordagns, com o uso d comprmntos médos d sqüênca. Rfrêncas ALWAN, L. C.; ROBERTS, H. V. Tm-Srs Modlng for Statstcal Procss Control. Journal of Busnss & Economc Statstcs, v. 6, n. 1, p , ATIENZA, O. O.; TANG, L. C.; ANG, B. W. A CUSUM Schm for Autocorrlatd Obsrvatons. Journal of Qualty Tchnology, v. 34, n. 2, p , BOX, G.E.P.; JENKINS, G.M. & REINSEL, G.C. (1994). Tm srs analyss forcastng and control, 3ª d. Prntc Hall: Nw Jrsy. CAI, D. Q.; XIE, M.; GOH, T. N.; TANG, X. Y. Economc Dsgn of Control chart for Trndd Procss. Intrnatonal Journal of Producton Economcs, v. 79, p , ENGLISH, J. R.; LEE, S.-C.; MARTIN, T. W.; TILMON, C. Dtctng changs n autorgrssv procsss wth X-bar and EWMA charts. IIE Transactons, v. 32, p ,

12 FALTIN, F. W.; MASTRANGELO, C. M.; RUNGER, G. C.; RYN, T. P. Consdratons n th Montorng of Autocorrlatd and Indpndnt Data. Journal of Qualty Tchnology, v. 29, n. 2, p , HAWORTH, D. A. Rgrsson control chart to manag softwar mantnanc. Softwar Mantnanc: Rsarch and Practc, v. 8, n. 1, p 35-48, JACOBI, L. F.; SOUZA, A. M.; PEREIRA, J. E. S. Gráfco d Control d Rgrssão Aplcado na Montoração d Procssos. Rvsta Produção, v. 12, n. 1, pág , KOEHLER, A. B.; MARKS, N. B.; OCONNELL, R. T. EWMA control charts for autorgrssv procsss. Journal of th Opratonal Rsarch Socty, v. 52, p , LU, C-W.; REYNOLDS, M. R. JR. Cusum Charts for Montorng an Autocorrlatd Procss. Journal of Qualty Tchnology, v. 33, n. 3, p , LU, C-W.; REYNOLDS, M. R. JR., EWMA Control Charts for Montorng th Man of Autocorrlatd Procsss. Journal of Qualty Tchnology, v. 31, n. 1, p , MANDEL, B. J. Th Rgrsson control chart. Journal of Qualty Tchnology, v. 1, n. 1, p. 1-9, LOREDO, E. N.; JERKPAPORN, D.; BORROR, C. M. Modl-basd Control Chart for Autorgrssv and Corrlatd Data. Qualty and Rlablty Engnrng Intrnatonal, v. 18, n. 6, p , MONTGOMERY, D. C. Introdução ao Control Estatístco da Qualdad. 4. Ed. Ro d Janro: Edtora LTC, 2004, 513 p. MONTGOMERY, D. C.; VINING, G. G.; PECK, E. A. Introducton to lnar rgrsson analyss. 3. Ed., Nw York: John Wly & Sons, 2001, 641 p. MOREIRA Jr., F. J. Proposta d um Método para o Control Estatístco d Procsso para Obsrvaçõs Autocorrlaconadas. UFRGS (2005). Dssrtação d mstrado m ngnhara d produção. Unvrsdad Fdral do Ro Grand do Sul, NETER, J. ; KUTNER, M H.; NACHTSHEIM, C. J.; LI, W. Appld Lnar Statstcal Modls. 5. Ed. Nw York: Mc Graw-Hll/Irwn, 2005, 1396 p. PEDRINI, D. C.; CATEN, C. S. Tn; MOREIRA Jr, F. J. Proposal of a Modfcaton of th Control Charts Basd on Rsduals. In: 4 th Intrnatonal Symposum on Busnss and Industral Engnrng, 2008, Praga (Rpúblca Tchca). Book of Abstracts, p. 42, ROTHSCHILD, B. F.; ROTH, S. R. Statstcal Procss Control of Platng Solutons wth Rgrsson Control Charts. Th SAMPE Journal, v. 22, n. 5, p , SHU, L; TSUNG, F; TSUI, K. L. Run-lngth Prfomanc of Rgrsson Control Charts wth Estmatd Paramtrs. Journal of Qualty Tchnology, v. 36, n. 3, p , TEIXEIRA, J. M. G. Análs d Rgrssão Aplcada ao Control Estatístco d Procssos. UFSM: Dssrtação d mstrado m Métodos Quanttatvos. Unvrsdad Fdral d Santa Mara, TOLOI, C. M: C.; MORETTIN, P. A. Prvsão d Sérs Tmporas. São Paulo: Atual Edtora, VANBRACKLE, L. N.; REYNOLDS, M. R. EWMA and CUSUM Charts n th Prsnc of Corrlaton. Communcatons n Statstcs Smulaton and Computaton, v. 26, p , WIERINGA, J. E. Statstcal Procss Control for Srally Corrlatd Data. Zoutkamp, Ts d Doutorado m Economa, Rjksunvrstt Gronngn. WOODAL, W. H.; MONTGOMERY, D.C. Rsarch Issus and Idas n Statstcal Procss Control. Journal of Qualty Tchnology, v. 31, n. 4, p , YASHCHIN, E. Prformanc of CUSUM Control Schms for Srally Corrlatd Obsrvatons. Tchnomtrcs, v. 35, n. 1, p ,