MODELO DE BIELAS E TIRANTES GERADOS POR OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA E ELEMENTOS INDUTORES

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1 MODELO DE BIELAS E TIRANTES GERADOS POR OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA E ELEMENTOS INDUTORES João da Costa Pantoja. Luz Eloy Vaz. Luz Frnando Martha. joao_pantoja@hotmal.com loy@trra.com.br lfm@tcgraf.puc-ro.br Pontfíca Unvrsdad Católca do Ro d Janro PUC Ro, Rua Marquês d São Vcnt, 225 Prédo Cardal Lm 3 o andar Gáva Ro d Janro, RJ Brasl CEP Rsumo. Est artgo tm como objtvo utlzar a técnca d otmzação topológca d forma a automatzar a gração d modlos d blas trants aplcados ao projto dtalhamnto d struturas d concrto armado protnddo prmtndo a ntração com o projtsta. O concto d dnsdad artfcal aplcado através da mtodologa SIMP (Sold Isotropc Matral wth Pnalzaton) com otmzação va método MMA (Mthod of Movng Asymptots) conjuntamnt com método dos lmntos fntos, conform proposto por Bndsø & Sgmund (23), é utlzado para ncontrar um ncamnhamnto d cargas ótmo. Assm, o dsnvolvmnto dos modlos d blas trants é tratado como um problma d otmzação topológca m projto d struturas do mo contínuo. Através do modlo aprsntado, o mcansmo d transfrênca d cargas é dalzado dntro da strutura d concrto armado, através da rmoção gradual do matral m rgõs qu têm pouca ftvdad na rsstênca ao carrgamnto aplcado com bas nas dnsdads artfcas d cada lmnto suas corrspondnts snsbldads. A nclusão d lmntos ndutors dntro do modlo do contínuo sua nfluênca nos rsultados obtdos para os ncamnhamntos d carga obtdos pla otmzação topológca é mostrada dscutda. Através dssa técnca, uma ntração maor ntr o projtsta o softwar utlzado pod sr obtda, rsultando numa possívl mlhora do númro dos tpos d ncamnhamntos d cargas. Exmplos d vgas-pard são aprsntados sus rspctvos ncamnhamntos mostrados. Aspctos rlatvos ao rfno das malhas d lmntos a nfluênca da taxa d dnsdad adotada são dscutdos d forma a dmonstrar a valdad ftvdad da técnca como altrnatva raconal confávl para o projto d struturas d concrto armado utlzando o modlo d blas trants. Palavras-Chav: Otmzação Topológca, Blas Trants, Método dos Elmntos Fntos, Concrto Armado.

2 INTRODUÇÃO O projto d struturas spcas bdmnsonas d concrto armado protnddo com a prsnça d rgõs com dscontnudads gométrcas ou d tnsõs, ond a hpóts d Brnoull não pod sr aplcada, é um problma complxo cuja solução anda hoj não stá dfntvamnt rsolvda. Dvrgêncas aprsntadas ntr as quaçõs mpírcas adotadas nos códgos normatvos os rsultados xprmntas mostraram a ncssdad d adoção d uma formulação mas raconal a sr aplcada nss tpo d stuação. O modlo d blas trants proposto por Bay, Franz, Lonhardt Thürlmann, sstmatzado por Schlach & Schafr (1987), é uma altrnatva bastant ntrssant a sr consdrada nsts casos. A modlagm fta plo modlo d blas trants rduz o projto d struturas bdmnsonas d concrto armado ao projto d trlças com barras comprmdas d concrto (blas) barras traconadas d aço (trants). Um dos maors problmas na adoção do modlo d blas trants no projto dst tpo d struturas é a dfnção plo projtsta do mcansmo d transfrênca ou ncamnhamnto d cargas dntro da strutura d concrto m qustão. Um procdmnto usual é a smulação numérca da strutura va método dos lmntos fntos para obtnção d sua dstrbução d tnsõs. Com bas nssa dstrbução o projtsta prcsa concbr um modlo trlçado, statcamnt admssívl, com barras comprmdas (blas) traconadas (trants) ntrlgadas através dos nós. Ess lançamnto strutural pod sr fto d váras manras dfrnts sofr nfluênca drta da xprênca do projtsta rsponsávl plo projto. Dss modo, uma sstmátca qu auxl ao projtsta nsta tarfa pod sr d grand vala. Rcntmnt, os métodos d otmzação têm sdo utlzados como uma altrnatva xtrmamnt atrant na dfnção d varávs d projto para struturas das ndústras automoblístcas arospacal. A otmzação da gomtra topologa no layout dstas struturas têm um grand mpacto no dsmpnho das msmas, uma vz qu possbltam a obtnção d struturas com mnor quantdad d matral possívl, anda assm atndndo os rqustos d stados lmts últmos d srvço. Sndo assm, a xtnsão dsss msmos procdmntos para as struturas cvs s mostra d xtrma rlvânca. Também a obtnção d um ncamnhamnto d cargas va otmzação auxla o projtsta na dfnção do lançamnto da strutura trlçada a sr concbda dmnundo, o tanto quanto possívl, a ncssdad d uma xprênca antror vasta. Est trabalho tm como objtvo prncpal aprsntar uma formulação qu utlza os métodos d otmzação topológca para dfnção do modlo d blas trants a srm consdrados no dmnsonamnto das struturas d concrto armado protnddo. O algortmo SIMP, qu faz uso d dnsdads artfcas, é utlzado como bas para busca d um ncamnhamnto d cargas ótmo statcamnt admssívl. Alguns parâmtros, cuja nfluênca têm rlvânca na dfnção dos ncamnhamntos d carga, são mostrados dscutdos. Exmplos d vgas-pard com sm lmntos ndutors, ants do procsso d otmzação, são dscutdos d forma a dmonstrar a valdad ftvdad da técnca como altrnatva raconal confávl para o projto d struturas d concrto. 1 OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA COMO PROCEDIMENTO DE PROJETO Otmzação topológca pod sr ntndda como um método computaconal capaz d snttzar struturas através da dstrbução d matral m uma dtrmnada rgão do spaço. Para tal la faz uso do método dos lmntos fntos (MEF) d um algortmo d otmzação. Assm, uma rgão do spaço é dscrtzada m lmntos fntos d modo qu s possa

3 analsar su comportamnto, sndo ntão, o matral dstrbuído d forma raconalzada através d algortmos d otmzação. Uma vantagm da otmzação topológca é sua capacdad d forncr o layout ótmo d um componnt strutural ou msmo da própra strutura, para crta aplcação. Assm, ss método pod sr aplcado durant a fas do projto conctual, dfrntmnt dos métodos tradconas d otmzação, como a otmzação d dmnsõs ou d forma, qu só podm sr aplcados após a dfnção do layout da strutura. Dss modo, a otmzação topológca pod sr dfnda como um procsso d sínts strutural. Um problma típco d otmzação topológca é a slção da mlhor confguração possívl para o projto d uma strutura. Na últma década, muta atnção m sdo dada para o dsnvolvmnto dos métodos d otmzação topológca do contínuo. Bndso & Kkuch (1988) propusram um método d otmzação, basado m homognzação, qu trata a otmzação topológca do contínuo como um problma d rdstrbução dos matras. Atualmnt xstm uma sér d técncas utlzadas na rsolução dos problmas d otmzação topológca. A adotada nst trabalho é a formulação SIMP (Sold Isotropc Matral wth Pnalzaton). A formulação va método SIMP surgu como uma opção smpls d ntroduzr o matral com proprdads ntrmdáras smlars às qu s obtêm com o uso d mcrostruturas técncas d homognzação. No ntanto, no caso da mtodologa SIMP, st matral ntrmdáro, normalmnt dfndo na forma d dnsdad artfcal, é usado apnas como artfíco matmátco nquanto na técnca d homognzação o matral ntrmdáro pod corrspondr a um matral composto ou mcrostruturado. A função dnsdad artfcal dfnda plo SIMP é ntão utlzada como varávl d projto, dfnda no domíno Ω, no ntuto d dtrmnar quas rgõs dvm possur matral quas dvm sr vazas. Consdrando a ncssdad d dfnção d rgõs vazas ou não, rprsnta-s o matral sóldo com uma dnsdad artfcal ρ = 1 o vazo com ρ =, varando ρ ntr sss dos lmts. No prsnt contxto, as dnsdads artfcas ntrmdáras não têm nnhum ntrss prátco, logo técncas qu pnalzm sts valors dvm sr utlzadas no ntuto d s vtar a ncdênca dss tpo d rgão no domíno analsado. 2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA VIA MÉTODO SIMP 3.1. Mnmzação da nrga d dformação com aplcação das rstrçõs No problma d otmzação a sr consdrado, a varávl d projto x rprsnta a dnsdad rlatva do matral m cada lmnto, assm ρ = x ρ. A dnsdad ρ é a dnsdad d apnas um lmnto no domíno d projto Ω. Caso o lmnto do domíno sja sóldo trmos x = 1. Podmos rprsntar a rgdz para um lmnto como k = ( x ) k. Sndo é a rgdz ncal. A função objtvo da formulação adotada srá a flxbldad ou nrga d dformação da strutura srá: p C = F T u = u T ku = N N u ku = ( = 1 = 1 x ) p u k u O númro d lmntos srá dnomnado p é um fator d pnaldad. Fazndo o fator d pnaldad gual à undad, lmntos com dnsdads ntrmdáras rão ocorrr

4 com frqüênca. Conform dmonstrado m Bndsø & Sgmund(1999), o fator d pnaldad tomado gual a 3, lva d uma forma consstnt, o projto fnal a contr lmntos qu stão totalmnt prnchdos d matral (sóldo) ou com nnhum matral (vazo). Esta formulação é normalmnt dnomnada como problmas do tpo -1. Consdrando ν como o vtor qu contém os volums d cada lmnto chamando o volum d matral V, podmos ntão dfnr: V = x T v Dnomnarmos V o volum ncal do domíno d projto o vtor das varávs d projto. Podmos ntão partr para formulação d um problma d otmzação ond qurmos mnmzar a flxbldad ou a nrga d dformação da strutura, na forma: Mnmzar: C = F T u Sujto a: f = V /V (Rstrção d volum) F = ku (Rstrção d Equlíbro) < x x x (Rstrçõs Latras) mn max Podmos notar qu x mn x max srão os lmts nfrors suprors da varávl d projto. Nst caso, scolhrmos x max = 1 x mn =.1. A função do lmt nfror é prvnr contra uma possívl sngulardad na matrz d rgdz da strutura. Na formulação SIMP algumas prrrogatvas são ftas d modo qu as caractrístcas do matral, como por xmplo, o módulo d lastcdad, num lmnto dscrto é consdrado constant. S x é a dnsdad ncal do lmnto x é a dnsdad após a otmzação, ntão é prcso mpor ao problma d otmzação uma taxa d rdução no volum d matral xstnt rprsntado pla rlação ntr as dnsdads na forma x = x / x. A rstrção d volum aprsntada no problma d otmzação têm ssa função. As caractrístcas do matral dntro d um lmnto podm sr modfcadas através d uma rlação xponncal na dnsdad do lmnto. S E E, são os módulos d lastcdad do lmnto ants dpos da otmzação, rspctvamnt, ntão val a rlação p ( x ) E E =. S k k, são a rgdz ncal postror à otmzação, rspctvamnt, também a rlação k ( x ) k p = é válda. O parâmtro p têm a função d pnalzar as dnsdads ntrmdáras, d manra a dcrscr o númro d lmntos com ss tpo d dnsdads nduzr qu a maora das dnsdads dos lmntos fqu ntr 1. Uma vz consdradas as pré-condçõs acma, cada lmnto possu apnas uma varávl d projto. Comparado com o método da homognzação, a formulação do método SIMP traz xclnts progrssos na dmnução do númro d varávs d projto. Outra vantagm do método SIMP é qu as caractrístcas do matral após as modfcaçõs são scrtas como uma função xponncal da dnsdad das caractrístcas do matral no nstant ncal da análs. Sndo assm, ssa formulação smplfca muto a solução da otmzação topológca. Um dagrama d fluxo para a formulação d um problma d otmzação topológca va método SIMP é mostrado na Fg. 1.

5 Fgura 1: Dagrama d fluxo Método SIMP 3 RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO 3.1 Método das Assíntotas Móvs - MMA Uma forma d rsolvr o problma d otmzação proposta por Svanbrg (1987) nos lva a uma class d métodos d otmzação com convrgênca global, qu é basado m funçõs aproxmadoras sparadas consrvatvas convxas, dnomnadas CCSA. Os métodos CCSA são aplcados a problmas d programação não-lnar com rstrçõs d dsgualdad, qu podm sr ncarados na forma d problmas d mnmzação com rstrçõs do tpo mnors ou guas. Exstm traçõs xtrnas ntrnas nsts (k ) métodos. Uma tração xtrna nca a partr da tração atual x trmna com uma nova ( k +1) tração x. Em cada tração, ntr uma tração xtrna outra, um subproblma convxo é grado rsolvdo. Nss subproblma, a função objtvo orgnal suas rstrçõs são rprsntadas por crtas funçõs sparadas convxas qu aproxmam a função orgnal

6 (k ) nos arrdors d x. A solução ótma do subproblma pod sr acta ou rjtada. S for ( k +1) acta, torna-s x outra tração xtrna é compltada. S for rjtada, uma nova tração ntrna é fta, com um subproblma modfcado basado m alguma modfcação fta nas funçõs d aproxmação. As traçõs ntrnas srão rptdas até qu as funçõs aproxmadoras da função objtvo das rstrçõs s tornm maors ou guas às funçõs orgnas na solução ótma do subproblma. Quando sso acontc, é dto qu as funçõs d aproxmação são consrvatvas. Isso não mplca qu o conjunto d soluçõs vávs do subproblma stá compltamnt contdo no conjunto d soluçõs vávs orgnas, mas mplca qu a solução ótma do subproblma é uma solução vávl do problma orgnal, com valor da função objtvo mnor do qu a tração antror. Cada nova tração xtrna rqur valors para a função as drvadas d prmra ordm da função objtvo orgnal d suas (k ) rstrçõs, calculados na tração atual x. Cada nova tração ntrna rqur apnas os valors da função não d suas drvadas, calculados a partr da solução ótma do subproblma mas rcnt. Utlzar squmas basados m uma rsolução d uma sqüênca d subproblmas não é uma déa nova. Podmos ctar problmas do tpo SQP (Squntal Quadratc Programmng) ond, m cada tração, um problma d programação quadrátca convxa (QP) é rsolvdo uma busca m lnha é fta va função d mérto. No ntanto, as rstrçõs lnars no subproblma QP não garantm qu os pontos d tração sjam vávs com rspto às rstrçõs orgnas, o qu os torna não consrvatvos conform dfndo antrormnt. Em contraposção aos métodos SQP, os métodos CCSA ntroduzm uma curvatura tanto na função objtvo quanto nas funçõs d rstrção do subproblma. Esta curvatura é atualzada durant as traçõs ntrnas uma vz qu as funçõs aproxmadoras são consrvatvas, não sndo assm ncssára a xcução d nnhuma busca m lnha. Outra class d métodos qu gra pontos d tração vávs são os métodos d pontos ntrors. Mas nsss métodos a vabldad é garantda adconando à função objtvo uma função d barrra logarítmca não usando funçõs aproxmadoras consrvatvas para as funçõs d rstrção conform proposto plos métodos CCSA. Um ponto qu dv sr nfatzado é qu os métodos CCSA podm sr aplcados com sucsso a problmas com númro muto grand d varávs, sm qu as matrzs Hssanas da função objtvo das rstrçõs fqum dnsas. Esta proprdad também pod sr stndda plo uso das funçõs aproxmadoras sparadas. Um dos métodos CCSA adotados nst trabalho é dnomnado Método das Assíntotas Móvs ou MMA, qu têm aplcação no campo da otmzação strutural, ond o cálculo das funçõs objtvo sus gradnts conduzm a um grand consumo d tmpo (nvolvndo um norm númro d cálculo d lmntos fntos). Uma consdração normalmnt mportant aos usuáros, nsss casos, é qu os pontos d cada tração grada, sjam vávs. Isto é garantdo plo método MMA. A formulação m MMA é basada numa xpansão m sér d Taylor d prmra ordm da função objtvo funçõs das rstrçõs. Com ss método, um subproblma convxo xplícto é grado para aproxmar um problma não lnar mplícto. Uma vz qu o problma é sparado convxo, uma formulação dual ou um método d pontos ntrors prmal-dual pod sr utlzado para rsolvê-lo. A solução d uma sqüênca d subproblmas pod convrgr m drção ao problma orgnal. Dssa manra, o problma d otmzação strutural pod sr montado da sgunt manra: Mnmzar: ( ) x f

7 Sujto a: ( x) f f = 1,..., M < x x x = 1,..., N Ond é o númro d rstrçõs é o númro d lmntos. A função f é a função objtvo. As funçõs f rprsntam as rstrçõs os contornos das varávs d projto srão x mn x max. As funçõs mplíctas f são aproxmadas plas funçõs xplíctas ~ f ( k ) qu são caractrzadas por srm sparávs convxas. A scolha dssas funçõs aproxmadoras é basada m cálculos prévos dos valors das funçõs calculadas dos sus gradnts. É assumdo qu tanto a função objtvo quanto as funçõs das rstrçõs podm sr aproxmadas através das funçõs aproxmatvas. Podmos ntão modfcar o problma d otmzação antror para: mn (k ) Mnmzar: f ( x) ~ ( k ) Sujto a: ( ) Sndo k o númro da tração atual o vtor f ~ x mn f max max = 1,..., M < x x x = 1,..., N ( ) ~ f ( k dnsdads rlatvas. Na MMA, cada função aproxmatva ( ) d f ( x) por varávs do tpo 1 /( U ) /( x ) x L x é o ponto d ncal para as ) x é obtda pla lnarzação 1, dpndndo do snal das drvadas ( k ) m x, ond U L são parâmtros dnomnados assíntotas qu dvm satsfazr ( K ) L < x < U. Assm trmos: ~ f K N ( x) = = 1 p U x + x q L + r Ond: f f > < m m f (k ) ( k ) 2 x ntão: p = ( U x ) q = f (k ) ( k ) 2 x ntão: q = ( x L ) p = ~ ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k Obsrv qu r é scolhdo d forma qu f ( x ) = f ( x ). Os valors dos pontos assntótcos U L são normalmnt modfcados ntr as traçõs, por consgunt, sss pontos são também uma função d k.

8 f (x) f (x) f ( x ) f ( x ) (a) ~ f ( x ) x ~ f ( x ) (b) x Fgura 2: Formulação va MMA para varávl d projto (a)assíntota à squrda (b) assíntota à drta. x sndo A Fgura 2 mostra o procdmnto para utlzação da MMA para uma varávl d ~ projto x num spaço undmnsonal. A função f (x) a função f ( x ) é a função aproxmatva. Os pontos assntótcos U L são normalmnt rprsntados por valors fntos. Um procdmnto hurístco pod ntão sr utlzado para atualzar os pontos assntótcos U L. As assíntotas srão movdas para cada vz mas prto uma da outra d modo a obtr tratvamnt o ponto d projto ótmo. Obsrv qu s U + L a aproxmação MMA torna-s, no lmt, gual a uma aproxmação lnar va Programação Lnar Sqüncal (SLP). Nos casos f x a strutura é consdrados a flxbldad ou nrga d dformação é gual a ( ) rstrngda a crta porção do domíno d projto V, assm f 1( x) = fv. A drvada da função objtvo é ncontrada utlzando o qulíbro: ku k F u u + k = = Drvando a função objtvo com rspto à varávl d projto usando a xprssão antror conform aprsntado m Pdrsn & Buhl (1997): p 1 ( x ) u k u C T u T k T u = ku + u u + u k = p A xprssão antror assum qu os carrgamntos são ndpndnts das varávs d F projto, ou sja, =. A drvada das funçõs d rstrção srá ntão: V v =

9 A maor vantagm na utlzação da MMA é qu nla a função ( x) é convxa logo aproxma d manra fchada o comportamnto da função objtvo as funçõs das rstrçõs, conform mostrado na Fg ELEMENTOS INDUTORES Os lmntos ndutors são formados através d arrays nclusos dntro do algortmo d rsolução do método SIMP d modo a garantr qu durant o procsso d otmzação sjam assgurados valors máxmos mínmos d dnsdad para alguns lmntos da malha. Assm um dtrmnado trcho pré-dfndo para um ncamnhamnto d carga possa sr obdcdo d modo a possbltar uma ntração do projtsta com o procsso d otmzação a sr xcutado. Val salntar qu apsar dsso, m função da atualzação das varávs d projto sr fta através da fltragm das dnsdads, conform rcomndado por Bndsø & Sgmund (23), d modo a vtar problmas do tpo nstabldads d tabulro dpndênca da malha, não ncssaramnt o modlo d ncamnhamnto d carga fnal obrgatoramnt possua o trcho ncalmnt pré-dfndo. Blas trants podrão ntão sr dfndos d uma forma mas lvr através dsts arrays modfcando o rsultado da otmzação va novos ncamnhamntos d carga, conform srá mostrado adant nos xmplos aprsntados. Elmntos d naturza smlar com aplcação m outras áras fo proposto por Bndsø & Sgmund (23). Essa técnca possblta ao projtsta dtrmnar uma sér d modlos d blas trants qu cumpram o Torma do Lmt Infror da Tora da Plastcdad rsultando m struturas statcamnt admssívs, sgundo Souza (24). 5 EXEMPLOS A formulação va método SIMP para rsolução d problmas d otmzação topológca é aplcada a dos xmplos nsta sção. Estruturas d concrto armado do tpo vgas pards são otmzadas utlzando o método proposto. A utlzação d lmntos ndutors no ntror das struturas d concrto armado é fta sua nfluênca no procsso d otmzação mostrada. A modlagm dos lmntos ndutors é fta através da fxação das dnsdads dos lmntos. Sndo assm são aprsntados nos xmplos dos tpos d procssos. Procssos sm ndução, ou sja, ond o procsso d otmzação não conta com nnhuma mposção proposta plo projtsta procssos nduzdos ond a prsnça d lmntos ndutors ncssáros ao modlo podm sr pré-dfndos d acordo com o modlo d bla trants magnado plo projtsta. Dvdo a ss fato, uma gama varada d modlos d blas trants pod sr tstada d acordo com a xprênca do projtsta. A fcênca das topologas struturas obtdas plo procsso d otmzação proposto são aprsntadas sus rsultados comparados com modlos clásscos prsnts na ltratura do modlo d blas trants xstnts. ~ f 5.1 Estrutura d Vga Pard VP1 O domíno d projto para uma vga pard com duas cargas concntradas atuants na fac supror dstants dos apoos ¼ do vão é aprsntado na Fg. 3. O domíno d projto é dscrtzado por uma malha d lmntos fntos quadrlátros com quatro nós m um stado plano d tnsõs, cujo númro d lmntos fo varado, d modo a dmonstrar a nfluênca do rfno da malha sobr o procsso d otmzação. As rstrçõs d apoo são aprsntadas através d vínculos d 1 2 gênros cargas concntradas P d 1 KN aplcadas d cada lado

10 ntr o cntro os apoos da vga pard. O módulo d Young o cofcnt d Posson são dfndo como 3 Pa.3 rspctvamnt. Prmramnt o modlo obtdo através da otmzação topológca é fto sm o procsso d ndução, sndo o rsultado mostrado na Fg. 4. Nota-s qu o modlo obtdo é compatívl com os modlos m Souza (24) normalmnt utlzados na prátca. Os parâmtros fxos consdrados no procsso d otmzação sm ndução foram nlx = 8 nly = 8 qu são os númros d lmntos nas drçõs horzontal vrtcal, a fração do volum ncal a sr obtda adotada fo d 1%, fator d pnaldad d gual a 3 o rao d nfluênca para o fltro gual a 2 (fltragm). Para cada tração dntro do procsso d otmzação, o programa gra um rsultado da dstrbução corrnt d dnsdad sobr os lmntos da malha. Fgura 3: Vga pard VP1 com carrgamnto na part supror Fgura 4: Rsultado obtdo va smtra para VP1 num procsso sm ndução

11 Em sguda, um novo procsso d otmzação topológca fo fto com acréscmo do procsso d ndução. Um lmnto ndutor sando d baxo da carga P ndo a mtad da malha fo acrscdo um lmnto ndutor m toda part nfror também fo colocado. Isto conduzu a uma modfcação no modlo obtdo pla otmzação topológca. Através da Fg.5 obsrvam-s as modfcaçõs ocorrdas à mdda qu o rfno da malha d lmntos é aumntado. O rsultado dos modlos plo procsso d otmzação acarrtou numa modfcação nos modlos obtdos. D acordo com os xmplos malhas pouco rfnadas pod lvar a nfcênca num procsso d otmzação com ndução. Durant a modfcação do númro d lmntos na malha fo prcso varar a fração do volum ncal consdrada d modo a garantr a convrgênca do modlo. (a) (b) (c) (d) Fgura 5: Influênca do rfnado da malha no na OT com ndução [(a) 4, (b) 16, (c) 36 (d) 64 lmntos]. Varou-s ntão a fração d volum no problma proposto d modo a vrfcar sua nfluênca na otmzação (Fg. 6). Essa varação também lvou a uma modfcação substancal nos modlos obtdos. Nota-s qu, com o aumnto da fração d volum fnal consdrada o rsultado fnal tnd ao modlo obtdo va procsso sm ndução. O númro d lmntos da malha fo mantdo gual ao modlo sm ndução. Durant o studo numérco fto para dfnção da fração d volum mas adquada ao problma proposto, os valors abaxo d 1% não obtvram convrgênca nquanto valors suprors a st lvam a um aumnto muto grand no númro d traçõs ncssáras tmpo d procssamnto para convrgênca.

12 (a) (b) (c) (d) Fgura 6: Modfcaçõs nos rsultados da OT com ndução dvdo à varação na fração d volum adotada [(a) 1%,(b) 12%,(c) 15% (d) 2%]. Assm, ao aplcar otmzação topológca com procssos d ndução, os parâmtros rfrnts ao númro d lmntos da malha fraçõs d volum a srm consdrados, dvm sr tomados com bastant crtéro. 5.2 Estrutura d Vga Pard VP2 Nst xmplo o domíno d projto consdrado para a vga pard VP2 fo modfcado d forma qu as duas cargas concntradas atuants no mo do vão foram dslocadas para a part nfror da vga pard, conform mostrado na Fg. 7. O domíno d projto é dscrtzado por uma malha d lmntos fntos quadrlátros com quatro nós m um stado plano d tnsõs, cujo númro d lmntos fo d 64 (8x8). As rstrçõs d apoo são mantdas através d vínculos d 1 2 gênros cargas concntradas P d 1 KN são aplcadas. O módulo d Young o cofcnt d Posson são dfndo como 3 Pa.3 rspctvamnt.

13 Fgura 7: Vga pard VP2 com carrgamnto na part nfror Novamnt fo prmramnt obtdo o modlo através da otmzação topológca sm o procsso d ndução, sndo o rsultado mostrado na Fg. 8. O modlo obtdo é compatívl com os modlos consdrados m Lang (25). Os parâmtros fxos consdrados no procsso d otmzação sm ndução foram nlx = 8 nly = 8, qu são os númros d lmntos nas drçõs horzontal vrtcal, fração do volum ncal a sr obtda adotada fo d 8%, o fator d pnaldad gual a 3 o rao d nfluênca para o fltro gual a 2. Fgura 8: Vga pard VP2 com carrgamnto na part nfror

14 Em sguda um novo procsso d otmzação topológca fo fto com acréscmo do procsso d ndução. Um lmnto ndutor fo colocado ntr as duas cargas P qu atuam na strutura ral. Dpos o lmnto ndutor fo nclnado a 45 o graus ncamnhando a carga até o apoo. A função dst lmnto ndutor é smular uma bla d comprssão. Também m toda part nfror fo acrscdo um lmnto ndutor horzontal. O rsultado do modlo nduzdo pod sr vsto na Fg. 9. Fgura 9: Rsultado obtdo da OT com procsso nduzdo Fca dmonstrado assm qu os rsultados obtdos através da otmzação topológca com procssos nduzdos lva a modlos dfrnts do qu obtdos va procssos sm ndução. Isso lva a uma vantagm muto grand do ponto d vsta do ngnhro strutural qu pod utlzar o procsso d ndução para grar um ncamnhamnto d cargas mas adquado ao su crtéro pssoal quando da concpção do modlo d blas trants a sr utlzado. 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS Est trabalho aprsntou a nfluênca da prsnça d lmntos ndutors do tpo armaduras xstnts blas pré-dfndas no procsso d otmzação para obtnção do ncamnhamnto d carga va otmzação topológca. O métodos d otmzação MMA fo utlzado na atualzação das varávs d projto. Exmplos foram aprsntados os rsultados obtdos para vgas pards com sm os procssos d ndução. Modfcaçõs dos parâmtros d rfnamnto d malha fração do volum ncal foram ftas d modo a ntndr sua nfluênca dntro do procsso d otmzação proposto. D acordo com os rsultados obtdos, pod-s conclur qu a otmzação topológca com procssos d ndução é uma altrnatva vávl bastant fcaz na dfnção do ncamnhamnto d cargas plo ngnhro strutural na concpção do modlo das blas trants a sr utlzado. Agradcmntos Agradço ao Profssor Krstr Svanbrg do Royal Insttut of Tchnology d Stockholm Swdn plo forncmnto do códgo do algortmo MMA m lnguagm Matlab ao Eng. Andrson Prra da TcGraf - PUC Ro plas nformaçõs postrors dscussõs durant mus prmros studos m otmzação topológca.

15 REFERÊNCIAS Arora, J. S., 26. Optmzaton of Structural and Mchancal Systms. World Scntfc. Bndsø, M. P. & Kkuch, N., Gnratng optmal topologs n structural dsgn usng a homognzaton mthod. Computr Mthods n Appld Mchancs and Engnrng, 71(2): Bndsø, M. P. & Sgmund, O., Matral ntrpolaton schms n topology optmzaton, Archvs of Appld Mchancs 69(9-1): Bndsø, M. P. & Sgmund, O., 23. Topology Optmzaton: Thory, Mthods and Applcatons. Sprngr Vrlag, Brln Hldlbrg. Cardoso, E. L., 25. Otmzação Topológca d Transdutors Pzlétrcos consdrando Não-Lnardad Gométrca. Ts d doutorado. Unvrsdad Fdral do Ro Grand do Sul URGS. Dpartamnto d Engnhara Mcânca. Porto Algr/RS. Fu, C. C., 21. Th Strut and T Modl of Concrt Structurs. Prsntd to Maryland Stat Hghway Admnstraton. Unvrsty of Maryland. Lang, Q. Q., 25. Prformanc-basd Optmzaton of Structurs: Thory and applcatons. Spon Prss - Taylor & Francs Group. Pdrsn, C. B. W. & Buhl, T., Topology Optmzaton (A on-smstr projct from th fall-smstr of 1997). Wb-pags of Dpartmnt of Sold Mchancs, Tchncal Unvrsty of Dnmark(DTU). Rozvany, G. I. N. & Zhou, M., Th COC algorthm, part I: Cross-scton optmzaton or szng, Computr Mthods n Appld Mchancs and Engnrg, 89: Sgmund, O., 26. Morphology-basd black and wht fltrs for topology optmzaton, Stuctural Multdscplnary Optmzaton, 33: Slva, R. C. & Gongo, J. S., 2. Modlos d Blas Trants Aplcados a Estruturas d Concrto Armado. EESC USP. Souza, R. A., 24. Concrto Estrutural: análs dmnsonamnto d lmntos com dscontnudads. Ts d doutorado. USP Escola Poltécnca da Unvrsdad d São Paulo. Dpartamnto d Engnhara Fundaçõs. São Paulo/SP. Svanbrg, K., Th mthod of movng asymptots - A nw mthod for structural optmzaton. Intrnatonal Journal for Numrcal Mthods n Engnrng, 24: Svanbrg, K., 22. A class of globally convrgnt optmzaton mthods basd on consrvatv convx sparabl approxmatons. SIAM Journal on Optmzaton, 12(2): Zuo, K. T., Chn, L. P., Zhang, Y. Q. & Yang, J., 27. Study of ky algorthms n topology optmzaton. Intrnatonal Journal Adv. Manuf. Tchnol., 32: