SIMETRIA E REPETIÇÃO DE PADRÕES EM OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA DE ESTRUTURAS BIDIMENSIONAIS COM GRADAÇÃO FUNCIONAL TÚLIO HONÓRIO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL SIMETRIA E REPETIÇÃO DE PADRÕES EM OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA DE ESTRUTURAS BIDIMENSIONAIS COM GRADAÇÃO FUNCIONAL TÚLIO HONÓRIO GOIÂNIA 21

2 TÚLIO HONÓRIO SIMETRIA E REPETIÇÃO DE PADRÕES EM OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA DE ESTRUTURAS BIDIMENSIONAIS COM GRADAÇÃO FUNCIONAL Monografa aprsntada ao Curso d Graduação m Engnhara Cvl da Unvrsdad Fdral d Goás para obtnção do título d Engnhro Cvl. Orntador: Dra. Sylva Rgna Msquta d Almda GOIÂNIA 21

3 TÚLIO HONÓRIO SIMETRIA E REPETIÇÃO DE PADRÕES EM OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA DE ESTRUTURAS BIDIMENSIONAIS COM GRADAÇÃO FUNCIONAL Monografa aprsntada ao Curso d Graduação m Engnhara Cvl da Unvrsdad Fdral d Goás para obtnção do título d Engnhro Cvl. Aprovada m / /. Prof. Dr. Sylva Rgna Msquta d Almda Unvrsdad Fdral d Goás (Prsdnt) Prof. Dr.Frdrco Martns Alvs da Slva Unvrsdad Fdral d Goás (Examnador) Prof. Dra. Hlna Carask Unvrsdad Fdral d Goás (Examnador) Atsto qu as rvsõs solctadas foram ftas: Orntador Em: / /

4 RESUMO Város trabalhos têm sdo publcados nos últmos anos com o objtvo d tornar as técncas d otmzação d topologa mas capazs d forncr rspostas qu atndam às xpctatvas da ndústra. Uma abordagm ntrssant para produção d pças struturas adquadas m rlação às condçõs d manufatura é a mplmntação d rstrçõs d smtra d rptçõs d padrõs no problma d otmzação d topologa. Outra aplcação d técncas d otmzação d topologa rfr-s ao studo sobr matras com gradação funconal (FGM). Est trabalho tm como objtvo studar a aplcação da técnca d otmzação d topologa utlzando a abordagm d aproxmação contínua da dstrbução d matral o modlo SIMP no projto d struturas com gradação. Estuda-s a nfluênca da gradação no comportamnto mcânco (flxbldad méda) d struturas projtados por mo d otmzação d topologa bm como a nfluênca da nsrção d rstrçõs d smtra d rptçõs d padrõs nssas struturas. Para tanto, rsultados numércos são aprsntados para dfrnts modlos struturas mplmntados. Quanto à nfluênca da gradação, obsrvou-s um aumnto da largura d mmbros struturas nas rgõs d mnor módulo d lastcdad, nquanto qu as rgõs d maor módulo d lastcdad tndm a aprsntar maor númro d mmbros d mnor largura. Também fo consdrada a comptção ntr as scalas caractrístcas d dmnsão d mmbros struturas mpostas pla gradação pla técnca d rgularzação mprgada (sto é, o fltro d Sgmund). Consdraçõs sobr smtra rptção d padrõs podm sr ftas no projto d struturas com FGM adotandos gradação local ou gradação global, sndo qu a prmra aprsnta a vantagm d rsultar m soluçõs smétrcas tanto gomtrcamnt como m rlação à dstrbução d matral. Os rsultados aprsntados mostram qu a formulação utlzada é fcaz para rprsntar as mcrostruturas d matras clulars com gradação são compatívs com os aprsntados por outros autors. Palavras-chav: Otmzação d topologa. Smtra. Padrão. Matral com gradação funconal (FGM). T. Honóro Rsumo

5 LISTA DE SIGLAS CAMD Contnuous Approxmaton of Matral Dstrbuton CO Crtéro d Otmaldad FGM Functonally Gradd Matral FGM-SIMP modlo SIMP aplcado a FGM MEF Métodos dos Elmntos Fntos OT Otmzação d topologa SIMP Sold Isotropc Matral wth Pnalzaton T. Honóro Lsta d sglas

6 LISTA DE SÍMBOLOS Símbolos romanos B c C d - matrz qu rlacona dformaçõs dslocamntos tradconal - flxbldad méda da strutura - a matrz consttutva da fas sólda do matral rfrênca - conjunto d dnsdads nodas d 1 - conjunto d dnsdads nodas prmáras. d 2 - conjunto d dnsdads nodas scundáras formado a partr d d 1 stablcndo uma confguração smétrca. E (x) - o módulo d lastcdad na posção x ; s E - é o valor rfrênca do módulo d lastcdad; f F H K k L - fração d volum corrspondnt à strutura no domíno stnddo - vtor global d forças nodas - a altura da strutura - matrz d rgdz global da strutura - matrz d rgdz do lmnto - comprmnto da strutura N (x) - funçõs d forma do lmnto rlaconado ao nó nas coordnadas x. p - pnaldad a qual é lvado o módulo d lastcdad buscando rduzr as dnsdads ntrmdáras r mn r proj U V - rao mínmo mprgado no fltro d Sgmund - Rao mínmo mprgado na técnca d projção - vtor d dslocamntos globas da strutura - volum d matral (soma das dnsdads no domíno stnddo); X - coordnadas cartsanas do ponto x na drção das abscssas. T. Honóro Lsta d símbolos

7 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com... y Y - varávs d projto podndo sr dnsdads nos lmntos ou dnsdads nodas - são as coordnadas cartsanas do ponto x na drção das ordnadas. Símbolos grgos ρ mn - cofcnt d gradação do matral na drção X do plano cartsano - cofcnts d gradação do matral na drção Y do plano cartsano - dnsdad no lmnto - dnsdad mínma admtda T. Honóro Lsta d símbolos

8 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO OBJETIVOS DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO CONCEITOS BÁSICOS SOBRE OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA MODELO SIMP INSTABILIDADES NUMÉRICAS EM OT ANÁLISE DE SENSIBILIDADE FILTRO DE SENSIBILIDADE PROCEDIMENTO COMPUTACIONAL Análs plo Método dos Elmntos Fntos (MEF) Otmzação por crtéro d otmaldad (CO) OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA APLICADA A MATERIAIS COM GRADAÇÃO FUNCIONAL, COM RESTRIÇÕES DE SIMETRIA E REPETIÇÃO DE PADRÃO MATERIAIS COM GRADAÇÃO FUNCIONAL Aproxmação contínua da dstrbução d matral CAMD Modlo FGM-SIMP SIMETRIA E PADRÕES PARA MATERIAS COM GRADAÇÃO FUNCIONAL EM OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA Gradação local global Formulação d rstrçõs d smtra Formulação d rstrçõs d rptção d padrõs PROCEDIMENTO COMPUTACIONAL Análs plo Método dos Elmntos Fntos Análs d snsbldad Fltro d snsbldad otmzação por CO Outras consdraçõs sobr a mplmntação computaconal RESULTADOS INFLUÊNCIA DA GRADAÇÃO DE MATERIAIS EM OT Exmplo 1: Vga ngastada Exmplo 2: Trlça d Mchll T. Honóro Sumáro

9 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com Imposção d uma scala d dmnsão RESTRIÇÕES DE SIMETRIA Exmplo 3: Vga ngastada Exmplo 4 Vga smplsmnt apoada com carrgamnto assmétrco RESTRIÇÕES DE REPETIÇÃO DE PADRÕES Exmplo 5 - Barra sujta à tração Exmplo 6: Vga ngastada CONCLUSÕES REFERÊNCIAS T. Honóro Sumáro

10 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO A automatzação das frramntas d projto têm sdo uma constant nas últmas décadas. Trabalhos qu vsam aprfçoar as técncas d análs d struturas abrangm város campos da cênca a sua assocação com métodos numércos frramntas computaconas têm sdo uma constant m város campos da ngnhara. Nss âmbto, as técncas d otmzação rprsntam um grand avanço no auxílo ao projtsta d struturas componnts, pos buscam obtr a mlhor solução para um dtrmnado problma atndndo às condçõs d projto. Essas técncas podm sr aplcadas tanto na fas d concpção strutural quanto na fas d dmnsonamnto su studo consttu hoj um dos grands campos abrtos da cênca. A topologa d uma strutura comprnd sua forma bm como sus lmts ntrors xtrors é tradconalmnt scolhda por ntução do projtsta ou por nspração m algo já xstnt. A otmzação d topologa (OT) é o campo da cênca qu procura forncr uma rsposta raconal para a dfnção da topologa d uma strutura. Dfn-s domíno da strutura como a rgão do spaço na qual s ncontram lmntos com função portant domíno stnddo como a rgão do spaço na qual s pod dstrbur matral para a formação da strutura. Assm, para um dado carrgamnto, uma quantdad d matral spcfcada a sr dstrbuída m um domíno stnddo para crtas condçõs d contorno, o procsso d otmzação d topologa rtorna o layout ótmo atndndo a rqustos dfndos plo projtsta. As aplcaçõs m OT têm mostrado grand rlvânca nos últmos anos, conform atsta a ltratura spcalzada, os produtos dssa lnha d psqusa confguram-s como uma frramnta promssora tndo m vsta a crscnt comptção tcnológca as maors xgêncas ambntas por uma utlzação mas raconal d matras. Város trabalhos têm sdo publcados nos últmos anos com o objtvo d tornar as técncas d OT mas capazs d forncr rspostas qu atndam às xpctatvas da ndústra (como a d produção d struturas componnts para Engnhara Cvl, a arospacal, a d produção d matras ltrôncos, tc.). Alguns trabalhos tratam, por xmplo, da mposção d scalas d dmnsõs, sja máxma ou mínma, tanto mmbros struturas rsultants quanto aos furos da strutura (GUEST t al., 24; GUEST, 28; GUEST, 29; ALMEIDA t al., 29). Outra abordagm ntrssant para produção d pças adquadas m T. Honóro Capítulo 1

11 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com... 1 rlação às condçõs d manufatura é a mplmntação d rstrçõs d smtra d rptçõs d padrõs no problma d otmzação d topologa (ALMEIDA t al., 21). Outra aplcação rfr-s ao studo sobr matras com gradação funconal (FGM, do nglês Functonally Gradd Matral), qu são uma class d compóstos avançados qu possum uma varação gradual das proprdads ao longo d uma ou mas drçõs. Esss matras foram ncalmnt concbdos para utlzação na ngnhara arospacal, mas podm sr aplcados m dvrsos outros campos da ngnhara. Sua aplcação mas comum s dá na fabrcação d matras compostos d lgas mtálcas matras crâmcos a fm d s obtr um matral ao msmo tmpo com rsstênca mcânca térmca. No âmbto da ngnhara cvl é possívl s projtar FGMs compostos d concrto com dvrsas adçõs d fbras mtálcas, ntr outras aplcaçõs. A vantagm dsss matras é a possbldad d s projtar fabrcar o gradnt d proprdads d forma a mlhor atndr as ncssdads d projto. Assm, FGMs podm sr concbdos vsando a rdução d tnsõs rsduas, o aumnto da rsstênca d adrênca ou a rdução d concntraçõs d tnsão. Nss sntdo, técncas d otmzação d topologa tm sdo usadas vsando potncalzar as vantagns dsss matras. Dstacam-s os trabalhos d Carbonar t al. (27; 29) d Almda t al. (28) sobr o uso d OT para o projto d struturas com FGM d Almda t al. (21) sobr a utlzação d rstrçõs d smtra d rptçõs d padrõs para o projto d struturas com FGMs OBJETIVOS Est trabalho tm como objtvo studar a aplcação da técnca d otmzação d topologa utlzando a abordagm d aproxmação contínua da dstrbução d matral o modlo SIMP para o projto d struturas com gradação. Estuda-s a nfluênca da gradação no comportamnto mcânco (flxbldad méda) d struturas projtados por mo d otmzação d topologa bm como a nfluênca da nsrção d rstrçõs d smtra d rptçõs d padrõs nssas struturas DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO O trabalho ncontra-s dvddo m 5 (cnco) capítulos. No sgundo capítulo são abordados os conctos báscos d otmzação d topologa aplcada a matras homogênos. O capítulo 3 trata dos matras com gradação funconal, das rstrçõs d smtra d rptção d padrõs como las podm sr mplmntadas no problma d otmzação d T. Honóro Capítulo 1

12 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com topologa através d uma abordagm local-global da gradação das proprdads do matral. Os rsultados numércos são aprsntados no capítulo 4. E por fm, o capítulo 5 aprsnta as conclusõs do trabalho, as sugstõs para trabalhos futuros as consdraçõs fnas. T. Honóro Capítulo 1

13 CAPÍTULO 2 CONCEITOS BÁSICOS SOBRE OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA Otmzação é a part da cênca qu trata da obtnção raconal da mlhor solução para um dtrmnado problma atndndo a dtrmnadas condçõs. A otmzação d topologa consst m procurar a dstrbução ótma d matral m um domíno stnddo, d forma a atndr a crtos crtéros como qulíbro manutnção do volum constant durant o procsso d otmzação. Trata-s d um tma mportant já qu as aplcaçõs ndustras são numrosas as frramntas computaconas dsponívs atualmnt prmtm o studo d confguraçõs cada vz mas complxas. A rlvânca do assunto é vdncada quando s lva m conta qu a scolha d uma topologa aproprada na fas d concpção strutural é gralmnt um fator dcsvo para a fcênca da strutura. Em otmzação strutural, para um problma posto, sua solução consst m dtrmnar valors ótmos das varávs d projto d forma a maxmzar ou mnmzar uma função objtvo, satsfazndo-s as rstrçõs do problma no domíno ond o problma stá dfndo (OLHOFF; TAYLOR, 1983). Por função objtvo ntnd-s o crtéro matmátco qu md a qualdad da solução. O trmo rstrçõs rfr-s às condçõs qu dvm sr atnddas. No caso d otmzação d topologa, tradconalmnt as varávs d projto são as dnsdads d cada lmnto dfndo na dscrtzação do domíno. Em mutos trabalhos utlza-s a flxbldad méda da strutura como função objtvo a sr mnmzada. As aplcaçõs d OT aprsntam smpr rstrçõs m rlação ao volum, mantdo constant, ao campo d ação das varávs d projto às quaçõs d qulíbro. D acordo com o problma, outros casos são consdrados como tamanho mínmo d lmntos ou d furos tc. Quanto às varávs d projto, outra abordagm consst m dfnr como varávs d projto as dnsdads atrbuídas aos nós da malha d lmntos fntos. Nss caso, a dnsdad d um nó partcpara na computação da dnsdad d todos os lmntos lgados a ss nó, rsultando assm numa varação do campo d dnsdads dos lmntos mas suav localmnt. Embora ssas dnsdads nodas não tnham um sgnfcado físco, tal abordagm é útl para a mplmntação d outras técncas, além d alvar algumas das T. H.onóro Capítulo 2

14 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com nstabldads numércas nrnts à formulação do problma d otmzação d topologa (KUMAR; GOSSARD 1, 1996 apud ALMEIDA t al., 21 MATSUI; TERADA, 24). Assm o problma d OT pod sr dscrto pla xprssão (2.1), tanto no caso d s adotarm as dnsdads no cntro dos lmntos como varávs d projto, como no caso d s adotarm as dnsdads nodas. A prmra rstrção do problma (2.1) corrspond ao sstma d quaçõs d qulíbro m forma dscrta, a sgunda à rstrção d volum a trcra rprsnta rstrçõs latras aos valors das varávs d projto. Obtr y qu mnmza c ( y ) U T K U sujto a K U F V ( y ) V f mn y 1 (2.1) Ond: y c U K F V f mn - vtor das varávs d projto, podndo sr dnsdads nos lmntos ou dnsdads nodas; - função objtvo rprsntando a flxbldad méda da strutura; - vtor d dslocamntos globas da strutura; - matrz d rgdz global da strutura; - vtor global d forças nodas; - volum d matral (soma das dnsdads no domíno stnddo); - fração d volum corrspondnt à strutura no domíno stnddo; - dnsdad mínma admtda. A prmra rstrção, rprsntada pla quação (2.2), é chamada d ndrta, ou sja, não é consdrada xplctamnt plo algortmo d otmzação. Em algum momnto do procsso d otmzação rsolv-s o sstma d quaçõs rprsntado por ssa rstrção através d uma análs strutural qu fornça o campo d dslocamntos da strutura. Na maora das vzs sto é fto utlzando-s o Método dos Elmntos Fntos (MEF). As outras 1 KUMAR, A. V.; GOSSARD, D. C. Synthss of optmal shap and topology of structurs. Journal of Mchancal Dsgn, ASME, v. 118, n. 1, p , T. Honóro Capítulo 2

15 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com duas rstrçõs são dtas drtas, pos são consdradas xplctamnt plo algortmo d otmzação. K U F (2.2) Para a análs strutural va MEF é ncssáro obtr a matrz d rgdz da strutura K m função da dstrbução das dnsdads no ntror do lmnto. A solução da quação d qulíbro (2.2) fornc os dslocamntos nodas, os quas sofrm nfluênca da dstrbução d dnsdads nos lmntos no domíno stnddo, calculadas a partr das varávs d projto. Assm m OT, a solução é forncda m trmos d dnsdads dos lmntos, já qu sts são os valors rprsntatvos da rgdz. Elmntos com dnsdad nula consttum os vazos da confguração strutural ótma lmntos com dnsdad untára consttum, por sua vz, as rgõs do domíno m qu xst matral. A formulação do problma dssa forma dscrta com rsposta -1 (vazo-sóldo) não é bm posto, sndo ncssáro, portanto, o mprgo d artfícos para soluconar o problma d otmzação d topologa 2 (STUMP, 26) MODELO SIMP Para a formulação do problma d OT, aplca-s alguma técnca d rlaxação qu consst na utlzação d uma função qu paramtrz o tnsor consttutvo do matral para dnsdads ρ varando d (vazo) a 1 (sóldo). Dntr ssas técncas, dfrnts modlos são propostos, sjam basados m alguma mcrostrutura dfnda, sjam basados m algum tnsor consttutvo conhcdo, mas sm mcrostrutura dfnda. Dsss últmos, o modlo mas mprgado pla ltratura rlaconada a OT é o modlo dnomnado Sold Isotropc Matral wth Pnalty, SIMP, proposto por Bndsø (1989). Nst modlo o comportamnto consttutvo d um matral artfcal é caractrzado dfndo por uma função paramétrca assocada com a dnsdad do matral. Para ss caso, o módulo d lastcdad ftvo é dado por: E p ( ) E S (2.3) Ond: 2 Matmatcamnt, o spaço d soluçõs dfndo pla função qu dtrmna a dnsdad no lmnto plas rstrçõs d volum comumnt adotadas não é convxo quando ssa função da dnsdad é dscrta (dnsdad -1). Para rsolvr sso, o spaço d solução pod sr altrado por mo d uma rlaxação do problma m qu dnsdads ntrmdáras são prmtdas. (STUMP, 26) T. Honóro Capítulo 2

16 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com E S - é o módulo d lastcdad do matral sóldo; ρ p - é a dnsdad volumétrca; - o cofcnt d pnalzação. Para p > 1, as dnsdads ntrmdáras são pnalzadas, pos grands altraçõs na dnsdad provocam pquno ganho d rgdz. Assm, apsar d o problma prmtr uma varação contínua das varávs d projto, os rsultados obtdos ao fnal do procsso d otmzação tndm a uma rsposta do tpo sóldo-vazo INSTABILIDADES NUMÉRICAS EM OT A mplmntação d problmas d OT stá sujta a dfrnts nstabldads numércas orundas da rlaxação da formulação numérca do problma. Nsta sção srão dscutdas os sgunt fnômnos: soluçõs m tabulro d xadrz, formação d lhas dpndênca da malha. O problma d solução m tabulro d xadrz é caractrzado por rgõs, na solução fnal, ond xst altrnânca d lmntos com sm matral, d padrão smlar à um tabulro d xadrz (Fgura 2.1) Tal nstabldad é nrnt à formulação numérca pod sr xplcada pla maor rgdz artfcal da rgão com confguração m tabulro m rlação à uma confguração d dstrbução homogêna d matral (STUMP, 26). Logo, o padrão d tabulro têm prfrênca na solução otmzada m problmas d mnmzação da flxbldad. Outra xplcação para a nstabldad d tabulro d xadrz s basa no fato d qu o problma d OT é varaconal msto, com objtvo d dtrmnar dos campos físcos (dslocamnto dnsdads). Assm, para lmntos d baxa ordm, a rsolução do problma pod s tornar mal-condconada para alguns campos d dslocamnto o qu propca o aparcmnto d nstabldads d tabulro (JOG; HARBER 3, 1996 apud STUMP, 26). Fgura 2.1 Exmplo d solução com rgõs com nstabldad d tabulro 3 JOG, C. S.; HABER, R. B. Stablty of fnt lmnt modls for dstrbutd-paramtr optmzaton and topology dsgn. Computr mthods n Appld Mchancs and Engnrng, v. 13, n. 3-4, p , 1996 T. Honóro Capítulo 2

17 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com Outro fnômno smlhant ao da solução m tabulro é o da formação d lhas, caractrzado pla xstênca d rgõs com matral não conctadas ao rstant da strutura na solução fnal. A Fgura 2.2 aprsnta um xmplo d solução com o fnômno d formação d lhas ou camadas dsconctadas. A orgm dss fnômno stá rlaconada à atrbução d uma dnsdad mínma (ρ mn > ) aos lmntos vazos, qu passam a possur portanto, uma crta rgdz qu pod sr sufcnt para qu o layout rsultant sja actávl pla análs plo MEF. Fgura 2.2 Exmplo d solução com formação d lhas (Font: STUMP, 26) Outra nstabldad numérca ocorrnt na mplmntação d problmas d OT é a dpndênca da malha. Esta é caractrzada plo fato d qu para um msmo problma d OT, um msmo domíno stnddo as msmas condçõs d contorno, dfrnts soluçõs são aprsntadas sgundo a dscrtzação da malha d lmntos fntos. Nss caso, m vz do aumnto da dscrtzação apnas mlhorar a dfnção dos contornos da strutura, o qu s nota é a altração do layout com o aumnto do númro d mmbros da strutura (Fgura 2.3). Fgura 2.3 Exmplo d problma com dpndêca da malha (STUMP, 26) 2.3. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE A snsbldad m rlação às varávs d projto é avalada utlzando o método adjunto. Para o caso m qu as varávs d projto y são as dnsdads nos lmntos obtém-s (BENDSØE, 1989): T. Honóro Capítulo 2

18 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com c T K u u (2.4) Quando são adotadas como varávs d projto y as dnsdads nodas d, a snsbldad é obtda a partr d (2.4) com o uso da rgra da cada: c d c d (2.5) Ond: S - é o conjunto d lmntos qu compartlham o nó ; u - é o vtor d dslocamnto do lmnto ; K - é a matrz d rgdz do lmnto ; d - é a dnsdad do nó do lmnto FILTRO DE SENSIBILIDADE Com o objtvo d vtar ssas nstabldads garantr a solução do problma (2.1), dvrsos métodos têm sdo propostos na ltratura no sntdo d ntroduzr rstrçõs qu lmnm as soluçõs ndsjávs. Entr sss métodos dstacam-s os fltros spacas, cuja déa básca é a substtução d uma possívl função não - rgular por uma rgularzada obtda através da convolução dsta últma com uma função suav (BOURDIN 4, 21 apud STUMP, 26). Um dos fltros spacas propostos na ltratura mas utlzados é o fltro d snsbldad d Sgmund (1994 5, apud SIGMUND, 21), dado por: c y y 1 N f 1 Hˆ f N f 1 Hˆ f y f c y f (2.6) Em qu o oprador d convolução Hˆ (ou fator pso) é dado por: f 4 BOURDIN, B. Fltrs n topology optmzaton. Intrnatonal Journal for Numrcal Mthods n Engnrng, v. 5, n. 9, p , SIGMUND, O. Dsgn of matral structurs usng topology optmzaton Ts (Ph.D.) Dpartmnt of Sold Mchancs, Tchncal Unvrsty of Dnmark, SIGMUND, O. On th dsgn of complant mchansms usng topology optmzaton. Mchancs of Structurs and Machns. v. 25, p , T. Honóro Capítulo 2

19 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com ˆ H f r mn dst (, f ) (2.7) f N dst (, f ) r, 1,..., N com mn Ond: dst (, f ) - é a dstânca ntr o cntro do lmnto o cntro do lmnto f; r - é o rao mínmo qu dscrv a ára do fltro. mn Hˆ - é oprador d convolução qu é zro fora dos lmts da ára do fltro f dcrsc lnarmnt com o acréscmo da dstânca a partr do lmnto f. Embora não tnha sdo provado qu tal fltro garanta a xstênca d soluçõs, numrosas aplcaçõs têm provado sua fcáca nss sntdo na prvnção d nstabldads numércas como a dpndênca d malha a nstabldad do tabulro (SIGMUND, 21). Além dsso, ss fltro d snsbldads promov uma mposção ndrta d uma dmnsão mínma dos mmbros struturas na solução PROCEDIMENTO COMPUTACIONAL Para a mplmntação computaconal do problma proposto d OT, pod-s tomar como ponto d partda o códgo 99 lns d Sgmund (21) para MATLAB 7.. Fgura 2.4 Fluxograma: problma básco d OT (SIGMUND, 21) T. Honóro Capítulo 2

20 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com A Fgura 2.4 aprsnta o fluxo d procdmntos sgundo a proposta do autor ctado para um problma d OT rsolvdo utlzando o crtéro d otmaldad como crtéro d otmzação o fltro d snsbldads d Sgmund como squma d rgularzação. O códgo 99 lns fo adaptado para a solução d problmas com gradação funconal para nclusão d condçõs d smtra d rptção d padrõs, conform dscrto no Capítulo 3. Fo utlzada, m assocação, a técnca d contnuação caractrzada plo uso d fator d pnaldad untáro no níco das traçõs su gradual ncrmnto ao longo do procsso d otmzação. Essa técnca drva do fato d qu o problma d OT é não convxo rplto d mínmos locas, o qu torna o procsso d transposção dsss pontos um dsafo aos algortmos d otmzação. O fator d pnaldad untáro fornc uma solução não factívl dvdo à prsnça d dnsdads ntrmdáras. No ntanto, ssa solução é próxma do mínmo global. Assm, ao ncar o procsso com fator d pnaldad untáro, vta-s a passagm por város mínmos locas ao s ncrmntar gradualmnt o su valor, lmnams as soluçõs com dnsdads ntrmdáras Análs plo Método dos Elmntos Fntos (MEF) Na mplmntação utlzada nst trabalho, o MEF é formulado para lmntos blnars quadrátcos d 4 nós (Q4) adotando-s a numração dos nós o sstma d coordnadas dslocamntos nodas como mostrado na Fgura 2.5. Fgura 2.5 Sstma d coordnadas, numração dos nós dslocamntos nodas Sgundo a formulação tradconal do MEF, rlaconando os dslocamntos no ntror dos lmntos u ( x, y ) na drção X v( x, y ) na drção Y, com os dslocamntos nos nós dos lmntos tm-s: u ( x, y ) c c x c y c x y u (2.8) v( x, y ) c c x c y c x y Ond: T. Honóro Capítulo 2

21 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com... 2 T. Honóro Capítulo c - são cofcnts das funçõs d ntrpolação; x y - são as coordnadas nas drçõs dos xos X Y, rspctvamnt. Establcndo-s as condçõs d contorno para os dslocamntos dos quatro nós do lmnto (Fgura 2.5): y y y y x x x x (2.9) Ond x y são as coordnadas do nó nas drçõs dos xos X Y, rspctvamnt. Pla formulação tradconal do MEF obtém-s, portanto, as funçõs d forma: ) (1 ) ( y x N ) (1 ) ( y x N (2.1) ) (1 ) ( y x N ) (1 ) ( y x N Os dslocamntos no ntror do lmnto u podm ntão sr obtdos m função dos dslocamntos nodas û : ,, v u v u v u v u N N N N N N N N y x v y x u (2.11) Ou m forma matrcal: u N u ˆ (2.12) A rlação d compatbldad ntr as dformaçõs os dslocamntos u no stado plano é dada por:

22 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com T. Honóro Capítulo 2 v u x y y x xy y x (2.13) Ou m forma matrcal: u ε (2.14) Para obtr a matrz B, qu rlacona os dslocamnto nodas com o campo d dformação no ntror do lmnto, substtu-s (2.12) m (2.14) obtém-s. u B ε ˆ (2.15) Ond: N N N N N N N N x y y x N B (2.16) Pla tora da lastcdad tm-s, para o stado plano d tnsõs, a rlação ntr o campo d tnsão o campo d dformação para um matral homogêno sotrópco, dada por: ε C σ (2.17) Ond o tnsor consttutvo é dado por: E C (2.18) Ond: E - é o módulo d lastcdad; - é o cofcnt d Posson. A partr dsss dados, a matrz d rgdz do lmnto k pod sr calculada por: d B C B k T (2.19)

23 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com Ond é o domíno do lmnto. Lvando-s m conta as consdraçõs ftas sobr o modlo SIMP (2.3) as dmnsõs dos lmntos conform (2.9) obtém-s: 1 1 k B C 1 1 T p B dx dy (2.2) Computada a matrz d rgdz dos lmntos, ssa é transportada para a matrz d rgdz da strutura K sgundo a conctvdad dos lmntos a numração dos graus d lbrdad da strutura dfndas. Assm, tndo o vtor d forças quvalnt f dfndo sgundo o carrgamnto na strutura, tm-s qu: K U = F (2.21) Para as condçõs d contorno dfndas, através do sstma lnar d (2.21) dtrmnam-s os dslocamntos nodas qu srão utlzados no cálculo da função objtvo Otmzação por crtéro d otmaldad (CO) O problma d otmzação pod sr rsolvdo mprgando-s dfrnts técncas d otmzação como a programação lnar sqüncal, o método das assíntotas móvs ou anda métodos qu utlzam crtéro d otmaldad. Ess últmo é mplmntado no 99 lns d acordo com a formulação a sgur. Sabndo-s qu o volum d matral V, ou sja, a soma das dnsdads no domíno fxado, é uma função do multplcador d Lagrang qu dcrsc monotonamnt, o valor dss multplcador pod sr ncontrado por um algortmo d bscção (SIGMUND, 21). Um método hurístco para a atualzação dos valors das varávs d projto proposto por Bndsø (1995) utlzando o crtéro d otmaldad é dfndo como sgu: Para: max( y, y m ) s y B max( y, y m ) mn mn y y B s max( y, y m ) y B mn( 1, y m ) (2.22) novo mn mn( 1, y m ) s mn( 1, y m ) y B B c y V y (2.23) T. Honóro Capítulo 2

24 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com Ond: y - é o valor atualzado da varávl d projto; novo y mn - é o valor mínmo prmtdo para a varávl d projto (dfrnt d zro para s m vtar sngulardads); - é um valor postvo usado para vtar a stagnação da solução m mínmos locas; - é um cofcnt numérco d amortcmnto, adotado comumnt como,5; B c y - é dtrmnado pla condção d otmaldad sgundo 2.17 m qu: - é a snsbldad da função objtvo; - é o multplcador d Lagrang ncontrado plo algortmo d bssção; V - é o volum d matral. T. Honóro Capítulo 2

25 CAPÍTULO 3 OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA APLICADA A MATERIAIS COM GRADAÇÃO FUNCIONAL, COM RESTRIÇÕES DE SIMETRIA E REPETIÇÃO DE PADRÃO Est capítulo aprsnta a formulação d OT para matras com gradação funconal, assm como as consdraçõs spcífcas qu dvm sr ftas para mplmntação d rstrçõs d smtra rptçõs d padrão MATERIAIS COM GRADAÇÃO FUNCIONAL Os Matras com Gradação Funconal (FGM, do nglês Functonally Gradd Matral) são uma class d compóstos avançados qu possum uma varação gradual das proprdads ao longo d uma ou mas drçõs. A Fgura 3,1 mostra a rprsntação da varação da mcrostrutura d um matral gradado com duas fass dsgnadas fas (+) fas (-). Nssa rprsntação, três rgõs são dntfcadas: a Rgão A com prdomnânca da fas (-) com nclusõs da fas (+), a Rgão B d transção ntr as fass sm qu haja prdomnânca d nnhuma dssas, a Rgão C d prdomnânca da fas (+) com nclusõs da fas (-). Fgura 3.1 Rprsntação da varação da mcrostrutura m um matral gradado (STUMP, 26) O concto d FGM fo proposto ncalmnt m 1984 por psqusadors japonss com o objtvo d fabrcar matras para barrras térmcas. O gradnt d T. H.onóro Capítulo 3

26 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com proprdad é dvdo à varação contínua da mcrostrutura, da composção químca ou da organzação atômca do matral (KIEBACK; NEUBRAND; RIEDEL 7, 23 apud STUMP, 26). D acordo com os msmo autors, a fabrcação dos FGM comprnd duas tapas: a construção do gradnt a consoldação da strutura com gradnt. A vantagm dos FGMs rsd justamnt na possbldad d s projtar fabrcar o gradnt d proprdads d forma a mlhor atndr as ncssdads d projto. Assm, sss matras podm sr concbdos vsando a rdução d tnsõs rsduas, o aumnto da rsstênca d adrênca ou a rdução d concntraçõs d tnsão. Nss sntdo, técncas d otmzação d topologa tm sdo usadas vsando potncalzar as vantagns dsss matras. Dstacam-s os trabalhos d Carbonar t al. (27; 29) sobr a gradação d proprdads létrcas mcâncas d atuadors pzolétrcos; os d Almda t al. (28, 29, 21) sobr o projto d struturas d FGM, rstrçõs d smtra d rptçõs d padrõs para o projto d struturas com FGMs. Para contmplar as spcfcdads dos FGM num problma d OT, algumas consdraçõs dvm sr ftas mprgando-s uma modlagm modfcada daqula aprsntada no capítulo antror Aproxmação contínua da dstrbução d matral CAMD Basada na abordagm das dnsdads nodas, um técnca comumnt mprgada para a modlagm d struturas com gradação funconal no caso d otmzação d topologa é a Aproxmação Contínua da Dstrbução do Matral (CAMD, do nglês Contnuous Approxmaton of Matral Dstrbuton) proposta por Matsu Trada (24). Nssa técnca o campo d dnsdads dntro dos lmntos é obtdo a partr d sus valors nodas usando as funçõs d forma usadas para ntrpolação d dslocamntos no MEF. Dst modo, para um lmnto Q4, a dnsdad volumétrca passa a sr dfnda por: Ond: 4 ( x) d N ( x) (3.1) 1 d - dsgna a dnsdad nodal do lmnto rfrnt ao nó ; 7 KIEBACK, B.; NEUBRAND, A.; RIEDEL, H. Procssng tchnqus for functonally gradd matrals. Matrals Scnc and Engnrng A, v. 362, n. 1-2, p , 23 T. Honóro Capítulo 3

27 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com N (x) - rprsnta a função d forma do lmnto rlaconado ao nó nas coordnadas x. As varávs d projto são dfndas sobr os nós d canto dos lmntos, prmtndo assm uma varação d dnsdad ao longo do lmnto, consquntmnt, da sua rgdz. A matrz d rgdz do lmnto assum ntão a xprssão: Ond: 4 T K d N ( x) B C B d (3.2) 1 C - é a matrz consttutva da fas sólda do matral; p B - dsgna a matrz qu rlacona dformaçõs m qualqur ponto no domíno do lmnto sus dslocamntos nodas. O CAMD prtnda rsolvr os problmas d nstabldad numérca caractrístcos da técnca d OT aprsntados no tm 2.2. Contudo, a técnca não logrou êxto m su objtvo ncal hoj sua maor aplcação s dá no campo da aplcação d OT a FGMs, uma vz qu sua déa cntral stá no crn do modlo FGM-SIMP Modlo FGM-SIMP A aplcação d técncas d OT a struturas compostas d FGM dmandam consdraçõs spcífcas sobr o modlo d matral sobr a rprsntação do campo d dnsdads. Km Paulno (22) propõm uma abordagm qu consst na xtnsão do concto d lmntos fntos soparamétrcos à rprsntação das proprdads mcâncas do matral dntro do lmnto, crando o concto d lmnto fnto com gradação funconal. A partr dssa abordagm, Paulno Slva (25) dsnvolvram o modlo FGM-SIMP, uma adaptação do modlo SIMP qu prmt a aplcação drta d técncas d otmzação d topologa para struturas com gradação funconal. No modlo FGM-SIMP a gradação d proprdads dos matras pod sr avalada xprmntalmnt, utlzando modlos mcromcâncos ou a partr d funçõs prédfndas. Para o mprgo do modlo m otmzação d topologa, é convnnt o uso d funçõs pré-dfndas para rprsntar a gradação, pos stas possum a vantagm d smplfcar o procsso d obtnção das proprdads dos matras nos pontos dsjados do domíno d projto. Nst trabalho utlza-s uma função xponncal para rprsntar a gradação da proprdad do matral. Assm, para o caso b-dmnsonal tm-s: T. Honóro Capítulo 3

28 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com E s ( ( X Y ) x ) E (3.3) Ond: - são cofcnts qu dfnm a gradação do matral m cada drção do plano cartsano; E S (x) - é o módulo d lastcdad na posção x; E - é o valor rfrênca do módulo d lastcdad; X Y - são as coordnadas cartsanas do ponto x. Obsrva-s qu o nvrso dos cofcnts têm dmnsão [L] -1 funconam como scalas d dmnsão dos mmbros struturas nas drçõs da gradação (ALMEIDA t al., 28, ALMEIDA t al., 21). Os autors rssaltam qu o fto da gradação é ntão nvrso do fto dos squmas d rgularzação. No modlo FGM-SIMP, Paulno Slva (25) adaptam a xprssão orgnal do modlo SIMP, xprssa m (2.3), para nclur a gradação das proprdads. E H ( x) ( X Y ) E ( x), p p > 1 (3.4) A xprssão caractrístca do modlo FGM-SIMP (2.9) dv sr aplcada m assocação ao CAMD (2.7). Logo, a matrz d rgdz dos lmntos é dada por: p 4 ( X Y ) T K d N ( x) B C 1 B d (3.5) 3.2. SIMETRIA E PADRÕES PARA MATERIAS COM GRADAÇÃO FUNCIONAL EM OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA A consdração d rstrçõs d smtra d rptçõs d padrõs m projtos d struturas utlzando otmzação d topologa consttu uma vantagm para as tapas d produção dssas struturas. D fato, ssas formulaçõs podm facltar a montagm d struturas dvddas por um númro dfndo d componnts podm rduzr custos pla fabrcação d um tpo únco d componnt (ALMEIDA t al., 21). Nsta sção, as formulaçõs para a mposção d smtra rptção d padrõs srão consdradas d acordo com as abordagns d gradação local d gradação global. T. Honóro Capítulo 3

29 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com Gradação local global Quando s trata da ncorporação d rstrçõs d smtra no projto d struturas com matras com gradação funconal pod-s consdrar duas abordagns: a gradação global a gradação local. Fgura 3.2 Imposção d smtra: gradação global (a) gradação local (b) (ALMEIDA t al., 21) Gradação global sgnfca qu mbora a gomtra dfnda sja smétrca, a gradação d matral não o é; assm a strutura rsultant não aprsnta smtra com rlação às proprdads dos matras (Fgura 3.2a). No caso d gradação local, a smtra é mposta também na gradação d matral, rsultando assm m uma strutura smétrca também m rlação à dstrbução d matral (Fgura 3.2b). Ao s consdrar rstrçõs d rptção d padrõs na strutura, também pod s lvar m conta gradaçõs global local. Nss caso, para gradação global, xst uma rptção apnas da gomtra do padrão dfndo, mas não da gradação stablcda para o matral (Fgura 3.3a). Já a gradação local nclu a rptção tanto da gradação do matral como dos padrõs ao longo da strutura (Fgura 3.3b). Essa últma possblta procssos d fabrcação mas smpls por trabalhar com lmntos dêntcos do ponto d vsta gométrco d proprdads do matral. Logo, a nclusão d gradação local no projto d uma strutura com rstrçõs d padrõs pod rsultar m mnors custos d produção. T. Honóro Capítulo 3

30 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com Fgura 3.3 Imposção d rptção d padrõs: gradação global (a) gradação local (b) (ALMEIDA t al., 21) Formulação d rstrçõs d smtra Para stablcr uma dstrbução smétrca d matral, um mapamnto das varávs d projto y é ralzado no conjunto d dnsdads nodas d. Ess últmo é dvddo m dos subconjuntos: o d dnsdads nodas prmáras d 1 o d dnsdads nodas scundáras d 2. Ess conjunto scundáro é formado a partr d d 1 stablcndo uma confguração smétrca. Assm as varávs d projto nodas são mapadas para o conjunto d 1. Dpos o conjunto d 2 é ntão formado lvando m consdração a smtra rqurda, sndo qu nós smétrcos rcbm a msma varávl d projto. Para mpor smtra m rlação ao xo X, tm-s qu: S X X j Y H Y ntão d d y (3.6) j j k D forma smlhant, para mpor smtra m rlação ao xo Y: S X L X j Y Y ntão d d y (3.7) j j k Ond: - é o índc qu dntfca os nós do subconjunto d 2 ; j - é o índc qu dntfca os nós do subconjunto d 1 ; k - é o índc qu dntfca as varávs d projto y; X Y - rfrm-s às coordnadas cartsanas dos nós j; T. Honóro Capítulo 3

31 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com... 3 L H - são o comprmnto a altura da strutura, rspctvamnt. Para a mposção smultâna d smtra nas drçõs dos xos X Y ambas as condção aprsntadas acma dvm sr atnddas. Para struturas com gradação, o mapamnto d varávs d projto conduzm à uma confguração gométrca smétrca mas não à uma dstrbução d matral smétrca. Nst caso, dz-s qu a gradação ocorr d manra global. Por outro lado, s a gradação é dfnda localmnt, a strutura rsultant é smétrca, tanto com rlação à gomtra, quanto com rlação à dstrbução d matral. Para mpor uma gradação local, uma transformação smpls dv sr fta na computação das coordnadas X Y na part smétrca da strutura. Assm, para gradação local m rlação ao xo X tm-s: Y * H Y s Y Y m (3.8) E, para gradação local m rlação ao xo Y: X * L X s X X m (3.9) Ond: X Y - rfrm-s às coordnadas cartsanas dos pontos d ntgração d Gauss; X* Y* - dsgnam as coordnadas dos pontos d ntgração no sstma local; X m Y m L H - dsgnam as coordnadas dos xos d smtra corrspondnts; - são o comprmnto a altura da strutura, rspctvamnt Formulação d rstrçõs d rptção d padrõs Para mpor a rptção d padrõs, um mapamnto smlhant ao dscrto para a mposção da smtra é mprgado. O conjunto d dnsdads nodas d é dvddo m dos subconjuntos: o d dnsdads nodas prmáras d 1 o d dnsdads nodas scundáras d 2, ss últmo obtdo a partr d d 1 ao s formar um padrão. Assm as varávs d projto y nodas são mapadas para o conjunto d 1. Dpos o conjunto d 2 é ntão formado lvando m consdração a rptção d padrõs rqurda, sndo qu os nós corrspondnts na confguração d rptção dos padrõs rcbm a msma varávl d projto. Para mpor a rptção d padrõs m rlação ao xo X, tm-s qu: S X X j a Y Y ntão d d y (3.1) j j k T. Honóro Capítulo 3

32 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com D forma smlhant, para mpor a rptção d padrõs m rlação ao xo Y: S X X j Y Y b ntão d d y (3.11) j j k Ond: - é o índc qu dntfca os nós do subconjunto d 2 ; j - é o índc qu dntfca os nós do subconjunto d 1 ; k - é o índc qu dntfca as varávs d projto y; X Y - rfrm-s às coordnadas cartsanas dos nós j; a b - são o comprmnto do padrão nas drçõs dos xo X Y. Para a mposção smultâna d rptção d padrõs nos xos X Y ambas as condçõs aprsntadas dvm sr atnddas. Para struturas com gradação, o mapamnto d varávs d projto conduzm à uma confguração gométrca rptda dêntca mas não à uma dstrbução d matral dêntca m cada padrão. Nst caso, dz-s qu a gradação ocorr d manra global. Por outro lado, s a gradação é dfnda localmnt, a strutura rsultant possurá uma dstrbução d matral dêntca m cada padrão. Para mpor uma gradação local, uma transformação smpls smlhant à aplcada ao caso d mposção d smtra, dv sr fta na computação das coordnadas X Y na part rptda da strutura. Assm para gradação local m rlação ao xo X tm-s: X * X m a s X a (3.12) E, para gradação local m rlação ao xo Y: Y * Y n b s Y b (3.13) Ond: X Y - rfrm-s às coordnadas cartsanas dos pontos d ntgração d Gauss; X* Y* - dsgnam as coordnadas dos pontos d ntgração no sstma local; a b m n - dsgnam a dstânca ntr nós rptdos na drçõs X Y, rspctvamnt; - são o númro d padrõs nas drçõs X Y, rspctvamnt. T. Honóro Capítulo 3

33 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com PROCEDIMENTO COMPUTACIONAL Para a mplmntação d OT no caso d struturas com FGM sujtas a rstrçõs d smtra ou rptção d padrõs, sugr-s o fluxograma sgunt: Fgura 3.4 Fluxo d procdmnto OT para FGM com rstrçõs d smtra d rptção d padrão O mapamnto ctado no fluxograma fo dscrto na sção 3.2 dst capítulo. A formulação do MEF srá dscrta nsta sção. Em sguda srão aprsntadas as modfcaçõs ncssáras para a contmplação do modlo FGM-SIMP na computação das snsbldads, no fltro d snsbldads na otmzação utlzando CO. Basado na varação rlatva da flxbldad méda, uma contnuação é aplcada ao fator d pnalzação p, sto é, s uma varação rlatva ntr flxbldads médas computadas for mnor qu,2% ntão p é ncrmntado por, Análs plo Método dos Elmntos Fntos Para a mplmntação do modlo FGM-SIMP a formulação do MEF é fta através d ntgração numérca por quadratura d Gauss. Nss método, a ntgral dupla pod sr aproxmada plo somatóro: s t f ( s, t ) ds n PG 1 n PG 2 dt w w f ( s, t ) (3.14) 1 j 1 j j T. Honóro Capítulo 3

34 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com Ond: f - é a função a sr ntgrada nos lmts dfndos plos parâmtros s t; n PG1 n PG2 - é o númro d pontos d Gauss nas drçõs dos xos corrspondnts a s t, rspctvamnt; s t j - são os pontos d Gauss nas drçõs X Y, dfndos nos ntrvalos dos domínos d s t, rspctvamnt; w w j - são os psos utlzados na ntgração numérca por quadratura d Gauss. Assm para os lmntos Q4 dscrtos na sção 2.5.1, mprgando-s dos pontos d Gauss por drção (n PG1 = 2 n PG2 = 2) obtém-s a matrz d rgdz do lmnto para a ntgração do produto T B C B no lmnto fnto : 1 1 T k B C B ds dt w w B C B j j 1 T (3.15) Lvando-s m conta o modlo FGM-SIMP conform (3.5) tm-s: p T X Y k w w B N ( s, t ) j j C B (3.16) 1 j 1 1 Ond: w w j - são os psos utlzados na ntgração numérca sndo qu 1 s t - são os pontos d Gauss sndo qu s j 1 = w = w 1 ; 1 t s 1 2 = t Smlarmnt ao dscrto na sção 2.5.1, computada a matrz d rgdz dos lmntos, ssa é transportada para a matrz d rgdz da strutura K. Para as condçõs d contorno dfndas, através do sstma lnar d (2.15) dtrmna-s os dslocamntos nodas qu srão utlzados no cálculo da função objtvo Análs d snsbldad Para o caso d para matras homogênos, sgundo as xprssõs (2.4) (2.5), a drvada da matrz d rgdz m rlação às dnsdads nodas sgundo a CAMD é dado por: K d p N ( x) 4 1 d N ( x) p 1 ( X Y ) B T C B d (3.17) T. Honóro Capítulo 3

35 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com Por sua vz, o cálculo das snsbldads da função objtvo m rlação às dnsdads nodas sgundo o modlo FGM-SIMP é dado por: c d S p N p 1 4 ( X Y ) T T ( ) d N ( x) u ( B C 1 x B ) u d (3.18) Ao s acrscntar mposçõs d smtra d rptção d padrão, dv-s obsrvar qu as varávs d projto y não são drtamnt guas às dnsdads nodas d. Nss caso, cada varávl d projto y corrspond a um conjunto d dnsdads nodas d n d forma qu: c y k n S d c d n (3.19) Ond k S d é o conjunto das dnsdads nodas d corrspondnts ao msmo conjunto d varávs d projto y Fltro d snsbldad otmzação por CO Para o fltro d snsbldad para a rotna d otmzação por CO são utlzadas o conjunto d varávs d projto y. Como dscutdo na sção antror, st conjunto y não corrspond ncssaramnt às dnsdads nodas para os casos d rstrção d smtra ou d rptção d padrõs Outras consdraçõs sobr a mplmntação computaconal Uma vz computados, os mapamntos xgdos na mplmntação das rstrçõs d smtra d rptção d padrõs a computação das coordnadas usadas na gradação não prcsam sr altrados a cada tração. Assm as rotnas corrspondnts a sss procdmntos podm sr xcutadas apnas uma vz ants d ncado o procsso d otmzação propramnt dto. Esta consdração é spcalmnt mportant ao s lvar m conta o custo computaconal qu ssas rotnas nvolvm. Nst trabalho, a gradação m cada drção é normalzada d acordo com as dmnsõs da strutura nssa drção. Assm nss caso, um cofcnt d gradação α = 1 na drção X numa malha com 1 lmntos nssa drção corrspond a um cofcnt não normalzado α =,1. Essa mdda é mportant para garantr soluçõs ndpndnts da dscrtzação adotada. T. Honóro Capítulo 3

36 CAPÍTULO 4 RESULTADOS Est capítulo aprsnta os rsultados da mplmntação computaconal dscutda nos capítulos antrors. Srão nvstgadas a nfluênca da gradação, as rstrçõs d smtra as rstrçõs d rptção d padrão no projto d struturas d FGM. As formulaçõs aprsntadas foram mplmntadas m MATLAB 7. a partr do códgo 99 lns (SIGMUND, 21). A saída gráfca também fo obtda através MATLAB mprgando-s a função colormap (dfnda na scala d cors jt m qu a cor vrmlha scura rprsnta a dnsdad mínma próxma d, a cor azul scura rprsnta a dnsdad máxma prmtda 1).Para todos os casos fo utlzado como valor do módulo d lastcdad E = 1, como cofcnt d Posson ν =,25. Rssalta-s qu os valors das proprdads do matral não nfluncam a topologa ótma, mas apnas o valor da função objtvo para ssa topologa. Por ss motvo, sss valors aprsntados nst capítulo não possum undads. Para a técnca d contnuação, fo utlzada pnalzação varando d 1 a 3 com ncrmnto d,5 (adconado quando ocorrss varaçõs da função objtvo mnors qu,2). Val uma rssalva com rlação aos cofcnts d gradação mprgados. Os produtos d FGM costumam aprsntar na prátca cofcnts d gradação nfrors a 2. Nos rsultados a sgur srão aprsntados casos com cofcnts d gradação suprors a ss valor com objtvo d vdncar a nfluênca da gradação na topologa das struturas studadas INFLUÊNCIA DA GRADAÇÃO DE MATERIAIS EM OT Dos xmplos foram analsados buscando lustrar como a gradação d matras nflunca a topologa ótma da strutura. O prmro trata d uma vga ngastada com carrgamnto dstrbuído também consdrada por Almda t al. (28); o sgundo trata d uma class d trlça d Mchll, rsolvda analtcamnt por Sgmund (2). T. Honóro Capítulo 4

37 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com Exmplo 1: Vga ngastada Fo mplmntado o caso d uma vga ngastada com carrgamnto vrtcal untáro dstrbuído na xtrmdad nfror na fac d dos lmntos (Fgura 4.1). Para tanto mprgou-s uma malha d 5 x 5 lmntos (proporção altura:comprmnto d 1:1), fração d volum d 3% do domíno stnddo, r mn = 2, do fltro d Sgmund. Fgura 4.1 Exmplo 1: Vga ngastada com carrgamnto dstrbuído As Fguras aprsntam, rspctvamnt, os rsultados obtdos para gradação m X m Y soladamnt, nquanto qu a Fgura 4.4 aprsnta os rsultados para gradação smultâna m X m Y. α =. α = 1. β =. α = 2. α = 3. Fgura 4.2 Exmplo 1: Gradação m X. T. Honóro Capítulo 4

38 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com (a) Gradação crscnt d cma para baxo β =. β = 1. α =. β = 2. β = 3. (b) Gradação crscnt d baxo para cma β =. β = 1. α =. β = 2. β = 3. Fgura 4.3 Exmplo 1: Gradação m Y. α =. β =. α = 3. β = 1. α = 1. β = 3. α = 3. β = 3. Fgura 4.4 Exmplo 1: Gradação m X m Y Em todos os casos, nota-s um aumnto da largura d mmbros struturas nas rgõs d mnor módulo d lastcdad, nquanto qu as rgõs d maor módulo d lastcdad tndm a aprsntar maor númro d mmbros d mnor largura. Essas T. Honóro Capítulo 4

39 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com dfrnças são acntuadas com o aumnto do cofcnt d gradação (α ou β) na drção consdrada. Os rsultados obtdos são consstnts com os aprsntados por Almda t al (28). A Fgura 4.5 mostra as scalas d grandza dos cofcnts d gradação mprgados. Para o caso d α = 1, o valor do modo d lastcdad na rgão m qu ssa proprdad é maor é 2,7 vzs o valor do módulo d lastcdad rfrênca E. Já para α = 3 ssa ampltud aumnta, nss caso o módulo d lastcdad rfrênca E é 2,9 vzs maor qu na rgão d mnor módulo d lastcdad. Naturalmnt, o msmo pod sr dto sobr o cofcnt d gradação m outra drção. 25 Fator a sr multplcado plo E α = α = 1 α = 2 α = 3 Drção da Gradação Fgura 4.5 Ampltud da gradação sgundo o cofcnt d gradação Exmplo 2: Trlça d Mchll O sgundo caso scolhdo para nvstgar a nfluênca da gradação fo o da trlça d Mchll (Fgura 4.6), com apoo crcular na xtrmdad squrda carrgamnto untáro vrtcal na fac drta. Para sso mprgou-s uma malha d 1 x 8 lmntos (proporção 5:4), fração d volum d 2% do domíno stnddo, r mn = 1,2 do fltro d Sgmund. Fgura 4.6 Exmplo 2: Trlça d Mchll T. Honóro Capítulo 4

40 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com A solução ótma para ssa confguração d suport carrgamnto fo calculada analtcamnt por Sgmund (2) rsultando m mmbros struturas qu s ntrcptam formando ângulos d 9º ntr s conform a Fgura 4.7a. O rsultado obtdo mprgando-s o fltro d Sgmund ( sm gradação) é aprsntado na Fgura 4.7b ( nos rsultados adant para o caso d cofcnts d gradação α =, β =,). (a) (b) Fgura 4.7 Trlça d Mchll: (a) Solução analítca obtda por Sgmund (2), (b) Solução numérca obtda para dscrtzação 1x8 mprgando-s o fltro d Sgmund A solução numérca obtda aprsnta um númro mnor d mmbros struturas m rlação ao rsultado analítco. Isso pod sr xplcado pla prsnça do fltro d Sgmund ( sua mposção d tamanho mínmo dos mmbros struturas) pla dscrtzação adotada (malhas mas rfnadas um valor mnor do r mn do fltro d Sgmund podm grar rsultados mas próxmos do analítco) 8. Ftas ssas consdraçõs, tal xmplo srv para lustrar o fto da gradação na topologa da strutura. As Fguras mostram as soluçõs para as gradaçõs crscnts m X da squrda para a drta (4.8) da drta para a squrda (4.9). As Fguras 4.1 aprsntam, por sua vz, os rsultados para gradação m Y (crscnt d baxo para cma). Também nss xmplo, nota-s o strtamnto dos mmbros struturas nas zonas d maor módulo d lastcdad um aumnto da largura dos mmbros struturas nas rgõs d mnor módulo d lastcdad. O msmo fto acntuador dssas tndêncas pod sr notado com o aumnto do cofcnt d gradação na drção consdrada. Quanto às duas gradaçõs na drção X, a sabr, crscnt da squrda para a drta crscnt da squrda para a drta, a prmra rsultou m struturas qu não utlzam todo o domíno stnddo (fguras 4.8). Nss caso, quanto maor o cofcnt d 8 Rsultados numércos mas próxmos do analítco foram obtdos por Nguyn t al. (21) qu mprgaram um abordagm com três nívs dfrnts d dscrtzação rsultando m soluçõs com maor rsolução. T. Honóro Capítulo 4

41 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com... 4 gradação, mnor a altura da strutura como um todo. Já com a sgunda gradação (fgura 4.9), foram obtdas struturas qu abrangm maor part do domíno stnddo. Nss caso, quanto maor o cofcnt d gradação maor a altura da strutura como um todo. Val rlmbrar qu m todos sss xmplos o volum das struturas prmanc o msmo, já qu st é dfndo como um dos parâmtros d ntrada na mplmntação computaconal (fração d volum gual a 2% do domíno stnddo no xmplo m qustão). β =. α =, α = 1, α = 2, α = 3, α = 4, Fgura 4.8 Exmplo 2: Gradação m X com o módulo d lastcdad crscnt da squrda para a drta T. Honóro Capítulo 4

42 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com β =. α =, α = 1, α = 2, α = 3, α = 4, Fgura 4.9 Exmplo 2: Gradação m X com o módulo d lastcdad crscnt da drta para a squrda Embora o carrgamnto do xmplo da fgura 4.6 não sja smétrco, a strutura rsultant é smétrca para matras homogênos. O msmo pod sr obsrvado para struturas com gradaçõs apnas ao longo da drção X. Quanto à gradação m Y, fo obsrvada uma qubra da smtra da strutura m rlação ao xo X (Fgura 4.1). Nss caso, a formação d mmbros struturas fo favorcda na rgão d maor módulo d lastcdad. Val rssaltar qu o rsultado para β = 3, não tm aplcação prátca por conta da prsnça d mmbro strutural com dnsdad ntrmdára. T. Honóro Capítulo 4

43 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com α =. β =, β = 1, β = 2, β = 3, β = 3, Fgura 4.1 Exmplo 2: Gradação m Y com o módulo d lastcdad crscnt d cma para baxo Imposção d uma scala d dmnsão Almda t al. (28) chamam atnção para a xstênca d uma dmnsão caractrístca mplícta assocada ao modlo FGM-SIMP. D fato, para uma gradação numa drção x dada por: E x ( x) E (4.1) Consdrando E o módulo d lastcdad m x =, E 1 o módulo d lastcdad m x = w, obtém-s: T. Honóro Capítulo 4

44 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com E w E (4.2) 1 A partr d ond pod sr obtdo: 1 E1 ln w E (4.3) Essa últma xprssão mostra qu o cofcnt d gradação possu dmnsão d nvrso do comprmnto [L] -1. Logo, ss cofcnt atua d forma a rduzr a largura d mmbros struturas. Essa mposção ndrta d dmnsão dos mmbros struturas pod sr prcbda nos xmplos mplmntados nos quas um maor númro d mmbros struturas com mnor largura são ncontrados nas rgõs d maor módulo d lastcdad. Por sua vz, os squmas d rgularzação como a projção d dnsdad utlzada por Almda t al. (28), mpõm uma scala d dmnsão d lmntos struturas qu vara d forma crscnt com o r mn. Essa também é uma caractrístca do fltro d snsbldad d Sgmund, mbora ssa mposção sja ndrta não drta como no caso das projçõs d dnsdads. Essa mposção d dmnsão s contrapõ ao fto da gradação dscutdo antrormnt. r mn α =, α = 1, α = 2, α = 4, α = 8, 1,1 2, 3, 4, Fgura 4.11 Influênca do fltro d Sgmund da gradação T. Honóro Capítulo 4

45 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com A Fgura 4.11 lustra como a comptção ntr ssas scalas d dmnsão atuam na topologa da strutura para o xmplo 1, studado antrormnt (fgura 4.1). Nsss casos obsrva-s mas uma vz a tndênca d aumnto do númro d mmbros struturas d mnor largura nas rgõs d maor módulo d lastcdad com o aumnto do cofcnt d gradação, para um msmo r mn do fltro d Sgmund. Já para um msmo cofcnt d gradação, a tndênca é uma dmnução do númro d mmbros struturas d mnor largura, o qu stá d acordo com o fto d mposção ndrta d uma scala mínma d dmnsão d mmbros struturas promovda plo fltro. Com o aumnto do r mn do fltro, nota-s uma rdução d ntdz nas bordas dos lmntos struturas qu passam a aprsntar rgõs com dnsdads ntrmdáras (ntr 1). Val rssaltar anda qu os rsultados para α = 8, r mn > 1,1 não possum aplcação prátca já qu aprsntam mmbros struturas com dnsdad ntrmdára. O msmo pod sr dto a rspto dos rsultados m qu r mn = 4, o cofcnt d gradação α é maor qu 2,. Para tornar sss últmos rsultados ralzávs, havra a ncssdad d s acrscntar matral nssas rgõs d dnsdad ntrmdára altrando portanto a fração d volum do problma RESTRIÇÕES DE SIMETRIA Para o caso da mplmntação d rstrçõs d smtra foram nvstgados dos xmplos: uma vga ngastada com um carrgamnto na xtrmdad lvr uma vga smplsmnt apoada com carrgamnto assmétrco Exmplo 3: Vga ngastada A Fgura 4.12 mostra a confguração d vínculos d carrgamnto do caso mplmntado. Nst xmplo, fo utlzada malha d 1 x 5 lmntos (proporção 2:1), fração d volum d 5% do domíno stnddo, r mn = 3, do fltro d Sgmund. Fgura 4.12 Exmplo 3: Vga ngastada com um carrgamnto na xtrmdad lvr T. Honóro Capítulo 4

46 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com A Fgura 4.13 aprsnta as soluçõs obtdas para a vga com rlação à aplcação d smtra: (a) sm rstrção d smtra, (b) smtra m rlação ao xo X, (c) smtra m rlação ao xo Y, (d) smtra m rlação ao xo X ao xo Y smultanamnt. Nsss casos foram consdrados matras homogênos. Rsultados obtdos utlzando o fltro d Sgmund r mn = 3, Rsultados obtdos por Almda t al. (21) utlzando a técnca d projção r proj = 4, (a) Sm mposção d smtra (b) Smtra m rlação ao xo X (c) Smtra m rlação ao xo Y (d) Smtra m rlação aos xos X Y Fgura 4.13 Rstrçõs d smtra Gradação global Os rsultados (a), (b) (d) da Fgura 4.13 stão m concordânca com os rsultados ncontrados por Almda t al. (21) utlzando a técnca d projção m vz do T. Honóro Capítulo 4

47 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com fltro d Sgmund. Cab rssaltar qu as cors utlzadas nos rsultados d Almda t al. (21) são o nvrso das mprgadas nst trabalho (vrmlho scuro rprsnta dnsdad 1 azul scuro rprsnta dnsdad ). O rsultado (c) dfr do rsultado ond mprga-s a técnca d projção. Msmo qu o rao utlzado no fltro d Sgmund (3,) sja mnor qu o rao utlzado na técnca d projção (4,) plos autors ctados, na solução da técnca d projção obsrvam-s mmbros struturas qu não xstm na solução do fltro d Sgmund. Os rsultados mostram qu, mbora xsta m mutos casos crta rlação ntr as scalas d dmnsão mpostas por ssas técncas d rgularzação, xstm stuaçõs m qu ssas técncas rtornam rsultados ssncalmnt dfrnts. Quando sso acontc, os rsultados qu mprgam o fltro d Sgmund aprsntam um númro mnor d mmbros struturas fnos m rlação à rsultados corrspondnts qu mprgum a técnca d projção, msmo qu o r mn utlzado no fltro sja mnor qu o rao da projção para o msmo problma Exmplo 4 Vga smplsmnt apoada com carrgamnto assmétrco O outro xmplo consdrado para o caso d rstrçõs d smtra é o lustrado na Fgura Nst xmplo, fo utlzada malha d 24 x 4 lmntos (proporção 6:1), fração d volum d 5% do domíno stnddo, r mn = 4, do fltro d Sgmund. Fgura 4.14 Exmplo 4: Vga smplsmnt apoada com carrgamnto assmétrco drçõs d gradação. A Fgura 4.15 mostra os rsultados para gradaçõs global local m dfrnts T. Honóro Capítulo 4

48 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com (a) Matral homogêno sm rstrçõs d smtra (b) Matral homogêno com smtra m rlação ao xo Y (c) Gradação global da squrda para a drta com smtra m rlação ao xo Y (α =6,) (d) Gradação local da squrda para o cntro com smtra m rlação ao xo Y (α = 6,) () Gradação local da drta para o cntro com smtra m rlação ao xo Y (α = 6,) Fgura 4.15 Rstrçõs d smtra Gradação global local 4.3. RESTRIÇÕES DE REPETIÇÃO DE PADRÕES Dos xmplos foram nvstgados para o caso da mplmntação d rstrçõs d rptção d padrão, a sabr: uma vga ngastada com um carrgamnto contínuo vrtcal na xtrmdad lvr uma vga smplsmnt apoada com carrgamnto assmétrco Exmplo 5 - Barra sujta à tração Para rstrçõs d rptção d padrão, o prmro problma consdrado fo a d uma barra ngastada no topo sujta à tração na fac lvr (Fgura 4.16). Emprgou-s uma malha d 6 x 12 lmntos (proporção 1:2), fração d volum d 3 % do domíno stnddo, r mn = 2 do fltro d Sgmund. A Fgura 4.17 mostra os rsultados para rptçõs d padrão na drção X na drção Y. A Fgura 4.18 aprsnta os rsultados para rptçõs d padrão m X com gradação global m X. T. Honóro Capítulo 4

49 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com Fgura 4.16 Exmplo 5: Barra sujta à tração (b1) rptção d padrão 2 x 1 (b2) rptção d padrão 3 x 1 (b3) rptção d padrão 4 x 1 (a) sm rptção d padrão (1 x 1) (c1) rptção d padrão 1 x 2 (c2) rptção d padrão 1 x 3 Fgura 4.17 Rstrçõs d rptção d padrõs matral homogêno (c3) rptção d padrão 1 x 4 T. Honóro Capítulo 4

50 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com (a1) padrão 1 x 1 β =, (b1) padrão 2 x 1 β =, (c1) padrão 3 x 1 β =, Gradação m Y: (b2) padrão 1 x 1 β = 2, (c2) padrão 2 x 1 β = 2, (c1) padrão 3 x 1 β = 2, (b3) padrão 1 x 1 β = 4, (c3) padrão 2 x 1 β = 4, (c3) padrão 3 x 1 β = 4, Fgura 4.18 Rstrçõs d rptção d padrõs Gradação global m Y T. Honóro Capítulo 4

51 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com Exmplo 6: Vga ngastada Para rstrçõs d rptção d padrão, o sgundo problma consdrado fo a d uma vga ngastada com carrgamnto vrtcal contínuo na fac lvr (Fgura 4.19). Emprgou-s uma malha d 128 x 8 lmntos (proporção 8:5), fração d volum d 3 % do domíno stnddo, r mn do fltro d Sgmund varávl conform ndcado. Fgura 4.19 Exmplo 6: Vga ngastada com um carrgamnto vrtcal dstrbuído na xtrmdad lvr Sm a rptção d padrão, obtém-s para ss xmplo, aplcando-s o fltro d Sgmund com r mn = 9, a strutura da Fgura 4.2. Fgura 4.2 Sm rptção d padrão (ou padrão 1 x 1), r mn = 9 A Fgura 4.21 aprsnta as soluçõs obtdas para a vga ngastada com rlação à aplcação da rptção d padrõs com o mprgo do fltro d Sgmund: (a) padrõs 2 x 1, r mn = 5; (b) padrõs 4 x 1, r mn = 3; (c) padrõs 8 x 1, r mn = 1. Nsss casos a gradação fo global. A msma fgura mostra também os rsultados d Zhang Sun (26) qu usaram o método da homognzação aplcado às struturas clulars. A corrspondênca ntr as soluçõs obtdas nss trabalho as obtdas plos autors ctados dmonstram a valdad da formulação utlzada. T. Honóro Capítulo 4

52 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com Padrõs Rsultados obtdos com o fltro d Sgmund Rsultados obtdos por Zhang Sun (26) (a) Padrõs 2 x 1 r mn = 5 (b) Padrõs 4 x 1 r mn = 3 (c) Padrõs 8 x 1 r mn = 1 Fgura 4.21 Rptção d padrõs matral homogêno. Na Fgura 4.22 são mostrados os rsultados do xmplo consdrado com padrõs 2 x 1 conform dfrnts cofcnts d gradação. A gradação é global na prmra coluna local na sgunda coluna ocorr na drção X da squrda para a drta. O rao do fltro d Sgmund mprgado fo r mn = 4,. Obsrva-s a tndênca d transfrr matral das rgõs com maor módulo d lastcdad para as rgõs com mnor valor dssa proprdad. Os rsultados obtdos são lgramnt dfrnts dos aprsntados por Almda t al (21) usando funçõs d projção. No ntanto, obsrva-s o msmo padrão qualtatvo nos rsultados. T. Honóro Capítulo 4

53 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com Gradação global Gradação local (a) α = 2, (a) α = 4, (c) α = 16, Fgura 4.22 Gradação m X da squrda para a drta, gradação global gradação local. Já na Fgura 4.23 são mostrados os rsultados para gradação m X da drta para a squrda. Salvo a drção da gradação, as msmas consdraçõs dos rsultados antrors são aplcávs aos rsultados sgunts. Também nst caso, obsrva-s a tndênca d transfrr matral das rgõs com maor módulo d lastcdad para as rgõs com mnor valor dssa proprdad. Novamnt, os rsultados obtdos são lgramnt dfrnts dos aprsntados por Almda t al (21) obsrvando-s, no ntanto, o msmo padrão qualtatvo nos rsultados. T. Honóro Capítulo 4

54 Smtra rptção d padrõs m otmzação d topologa d struturas bdmnsonas com Gradação global Gradação local (a) α = 2, (b) α = 4, (c) α = 16, Fgura 5.2 Gradação m X da drta para a squrda, gradação global gradação local. T. Honóro Capítulo 4