Comparação de Desempenho entre FKE e Filtro de Partículas usando Modelos Não-Lineares

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1 Comparação d Dsmpnho ntr FKE Fltro d Partículas usando Modlos Não-Lnars Luz Hnrqu Montro Frrra Insttuto cnológco d Aornáutca Praça Marchal Eduardo Goms 5 Vla das Acácas CEP São José dos Campos SP Brasl Rsumo Cada z mas é mprscndíl nsrr modlos nãolnars à aplcaçõs afm d s obtr rsultados mas prcsos confás. A mdda qu a ncsdad d procssamnto m tmpo ral armaznamnto aumntam os sstmas dm s adaptar rapdamnt as noas caractrístca do snal. Est artgo aprsnta uma rsão dos métodos d tmação tradconas fltro d Kalman FKE Fltro d Kalman Etnddo as araçõs dos fltros d partículas SIS Squntal Importanc Samplng SIR Samplng Importanc Rsamplng ao fnal compara o dsmpnho dos fltros FKE SIR aplcados a um sstma não-lnar com statístcas gaussanas. Palaras-chas Estmação basana fltro d partículas métodos d Mont Carlo. I. INRODUÇÃO Mutos campos da cênca rqurm a stmação d stado d sstmas dnâmcos sm dúda o modlo d spaço d stado é o mas mprgado st artgo trata dst modlo m tmpo dscrto. A modlagm d spaço d stado concntras no tor d stados st por sua z comtém todas as nformaçõs rlants para dscrr o sstma dsjado no ntanto somnt o tor d stado não é sufcnt para ralzar-s uma boa stmação ntão surgu a fgura o tor d obsração qu gralmnt tm uma dmnsão mnor do qu a do tor d stados porqu nm todos os parâmtros do tor d stados são obsrás contudo dl são tradas as nformaçõs ras qu podm sr mddas atraés dos snsors. Por mplo um fogut é lançado dsja-s dtrmnar com prcsão a sua trajtóra para tal é ncssáro o conhcmnto das caractrístcas cnmátcas do fogut. O tor d stado é o mas ndcado para contr tas nformaçõs no ntanto para uma boa stmação da sua trajtóra dm ntrar m cna snsors capazs d atuar como tors d obsração tas como um sstma Radar ou um tlêmtro a Lasr. Portanto afm d analsar fazr nfrêncas sobr sstmas dnâmcos são ncssáros no mínmo dos modlos prmramnt um modlo qu dscr a olução do sstma alongo do tmpo sgundo um modlo rlaconado com a mdda do stado. Para st artgo assum-s conhcr todos os modlos probablístco assocados à dnâmca do sstma sta formulação é fundamntal na abordagm basana na qual s basam o fltro d Kalman d partículas alos dss trabalho. L. H. Montro Frrra lhmf@ta.br l A formulção ncal do problma d stmação srá aprsntada na prmra sção nas sçõs subsqünts os fltros d Kalman FKE bm como os fltros d partículas SIS SIR por fm a comparação ntr os fltros FKE SIR mprgando um sstma não-lnar d statístcas gaussanas. II. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA Para s dfnr o problma d rastramnto não-lnar [2] d-s consdrar a olução da sqüênca d stados tal qu f n n n ond f : é função do stado antror a função f pod sr não-lnar é um procsso rudoso d ndpndnt ndntcall dstrbutd n n são as dmnsõs dos tors d stado do procsso rudoso rspctamnt rprsnta o conjunto dos númros naturas. O objto do rastramnto é stmar o stado atraés do modlo d obsração dado por h n 2 n nn nz ond : pod sr uma função não-lnar n é uma sqüênca d n z n n são as dmnsõs dos tors d obsração do ruído rpctamnt. Para s ralzar uma mlhor stmação d a abordagm basana procura stmar rcursamnt basando-s no conjunto d todas as mddas... dsponís até o nstant. III. MÉODOS ÓIMOS : 2 O fltro d Kalman é um algortmo qu calcula rcursamnt as arás d stado d um sstma rprsntado por quaçõs d stado lnars [3]. El aprsnta condçõs spcas d aplcação por mplo o sstma tm d sr prturbado por ruídos brancos gaussanos d forma qu os stados possam sr tratados como arás alatóras gaussanas. Ddo a ssas rstrçõs algumas rlaçõs dm sr stablcdas para o mprgo do fltro d Kalman são las: n têm dnsdads d probabldad gaussanas d com parâmtros conhcdos méda coarânca;

2 f é conhcda lnar d parâmtros ; h n é lnar com parâmtros n ; Dsta forma pod-s scrr o conjunto d quaçõs qu snttzam o stmador usando as condçõs ctadas acma mas 2 como ond F F 3 H n 4 H são matrzs conhcdas dfnndo as funçõs n têm coarâncas guas a Q R lnars rspctamnt. Com o propósto d s dtrmnar a solução MMSE Mnmum Man Squar Estmaton pod-s consdrar as médas d n nulas ntão constró-s um algortmo para o cálculo rcurso d ˆ E : dddo m passo d prdção atualzação [3]. O passo d prdção consst m calcular ˆ P a partr d ˆ P plas prssõs ˆ F ˆ 5 P Q F P F. 6 Para o passo d atualzação dsja-s dtrmnar ˆ P a partr d ˆ P procssando a obsração atual ; ˆ ˆ K H ˆ 7 P P K H P 8 ond K é conhcdo como ganho d Kalman pod sr calculado por K P H H P H R. 9 Para ncalzar st algortmo a méda a coarânca d dm sr conhcdas além d todas as funçõs dnsdad d probabldad srm gaussanas. III. MÉODOS SUBÓIMOS Nst tópco srão aprsntados os dos prncpas métodos hoj mprgados na stmação não-lnar cuja comparação são o objto dst artgo são os sgunts: a fltro d Kalman tnddo FKE; b fltro d partículas SIS SIR. A. Fltro d Kalman Etnddo EKF Caso f h m 2 sjam funçõs não-lnars uma lnarzação local das quaçõs pod sr sufcnt para dscrr totalmnt a não-lnardad. O fltro tnddo d Kalman basa-s na apromação d prmra ordm das funçõs f h d manra qu os passos d prdção atualzação são dados por ond ˆ f ˆ ˆ ˆ P Q F P F ˆ ˆ K [ h ˆ ] 2 P P K Hˆ P 3 ˆ f F 4 Hˆ h ˆ ˆ K P Hˆ Hˆ P Hˆ R 5. 6 No ntanto d-s fcar claro qu para s aplcar o FKE as funçõs dnsdads d probabldad dm sr gaussanas nclus as pdf condconas s não o fltro FKE não obtrá bons rsultados. B. Fltro d Partículas O algortmo SIS Squntal Importanc Samplng é um método MC Mont Carlo qu forma a bas para a maora dos fltros MC aqul é uma técnca para mplmntação d um fltro basano rcurso atraés d smulaçõs MC []- [4]. A déa prncpal é rprsntar a pdf probablt dnst functon a postror rqurda por um conjunto d amostras alatóras com os sus rspctos psos assocados calcular as stmatas basadas nssas amostras psos. Quando o númro d amostra torna-s muto grand sta caractrzação MC torna-s uma rprsntação qualnt da pdf a postror dsjada ntão o fltro SIS aproma-s da stmata ótma basana []-[7]. N Afm d dscrr o algortmo dfnm-s : s como mddas alatóras qu caractrzam a pdf a postror p : : ond :... Ns é um conjunto d pontos com psos assocados... Ns sndo aqul o conjunto d todos os stados assocados até o tmpo. Os psos são normalzados tal qu. Então a função dnsdad a postror m pod sr apromada como : : : :. 7 p Dsta forma tm-s uma apromação dscrta para a pdf d acordo com cada pso ond os psos são scolhdos atraés do prncípo da amostragm por mportânca [4]. Suponha qu p é uma dnsdad d probabldad da qual é dfícl obtr-s amostras mas qu para sto pod sr fto sm maors problmas ntão amostra-s q... da função q chamada d dnsdad

3 d mportânca. m sguda aproma-s a dnsdad d probabldad p por p p 24 q ond p 8 9 q é o pso normalzado da -ésma partícula. Portanto s as amostras : form rtradas d uma dsnsdad d mportânca q : : ntão os psos m 7 são dfndos por 9 tornando-s p z. 2 : : q : z: Para o caso squncal a cada tração podra tr amostras consttundo uma apromação d p : : qurr apromar p : : com um conjunto d amostras. S a dnsdad d mportânca é scolhda d forma fatorada como s sgu q q q 2 : : : : : : ntão pod-s amostrar : q : : por adção d amostras stnts : q : : com o noo stado q. Para drar o pso da quação : : atualzada d-s scrr p : : m função d p : : p p como sgu p p p p : : : : p : p p p : :. 22 Por substtução d 2 22 m 2 a quação do pso atualzado pod ntão sr mostrada como a pdf a postror p : é dada por : p 25 ond os psos são dfndos m 24. Pod-s mostrar qu quando N a apromação 25 tnd para a rdadra s dnsdad a postror p : [6]. Uma dsantagm do fltro SIS é qu a arânca dos psos d mportânca crsc à mdda qu aumnta grando um fto conhcdo como dgnração ou dgnrscênca d partículas sgundo o qual após algumas traçõs apnas um pquno númro d amostras têm psos normalzados sgnfcatos prómos a nquanto a maora das amostras tm psos nglgncados prómos a zro [5]. Ess fnômno é o qualnt a rdução do númro fto d partículas na população amostral gndo qu s us um númro muto grand d amostras para garantr a conrgênca da apromação da stmata MMSE. Uma tntata d controlar a arãnca dos psos d mportânca é ntroduzr um passo d slção d partículas tal qu a cada nstant cada partícula gra um númro N d cópas d s msma tal qu E N N p ond N p é o númro total d partículas. Em outras palaras o passo d slção qual a substtur o conjunto orgnal d partículas por um noo conjunto formado por cópas das antrors ond o númro d cópas por partículas é proporconal ao su pso d mportânca d modo qu partículas d alto pso são multplcadas partículas d bao pso são dscartadas [5]. Na prátca st procsso d ramostragm não é rptdo para todas as traçõs do algortmo ao nés dsso calcula-s um ndcador d dgnração ntroduzdo por [8] Nˆ ff p p p : : q : : q : : p p 23. q : : Para o caso q : : : q a dnsdad d mportânca torna-s dpndnt apnas d. Est modo m partcular é útl quando a stmata d p : é rqurda a cada passo. Assumndo st cnáro somnt prcsa sr armaznada consqüntmnt a trajtóra : pod sr dscartada o hstórco das obsraçõs também. O pso modfcado torna-s : E s Nˆ ff N p normalmnt é gual a 6 ou 7 ntão ftua-s um passo d ramostragm modfcam-s os psos para do contráro não s amostram as partículas N p são mantdos os psos orgnas. III. ESES E RESULADOS Com o objto d comparar os dsmpnhos dos fltros FKE SIR modlou-s um sstma fctíco plas quaçõs a sgur: 25 8cos

4 2 n 28 2 ond nula arâncas rspctamnt n são arás alatóras gaussanas d méda gaussana d méda nula arânca. Afm d quantfcar as prformancs dos fltros FKE SIR scolhu-s como crtéro básco o dso padrão dos rsultados m rlação aos alors ras. Os alors ras obsrados são aprsntados pla Fg. corrspondndo a um total d cm amostras no tmpo no ntanto dfrntmnt do tor d stado o tor d obsração aprsntou na maora das suas amostras alors não-nulos ddo a 28 a pquna arânca d n. X X FP a-sqüênca Oculta Fg. 3. Rsultados ras alors obtdos plo fltro SIR. X Para dscrr mlhor quanttatamnt a rlação ntr os dsmpnhos dos fltros fo construída a abla I ond são aprsntados rsultados para os fltros FKE SIR no caso dst últmo mprgando-o com 3 partículas. Y b-sqüênca Obsrada ABELA I. DESVIOS PADRÕES Fltro N o d Partículas Dso Padrão FKE SIR SIR Fg.. Fgura dos alors ras d obsrados. A lnarzação local ralzada plo fltro FKE não aprsntou bom rsultado para o modlo dscrto por sto pod sr constatado pla Fg. 2 qu m alguns pontos obtdos plo fltro rfrdo mostrou rsultados bastant dstorcdos na forma d pcos sso ocorru ddo a caractrístcas altamnt não-lnars do sstma. No ntanto para o caso do fltro SIR foram mprgados partículas qu aprsntaram rsultados mlhors quando comparados ao FKE como pod sr sto na Fg. 3. IV. OBSERVAÇÕES FINAIS Para a utlzação do FKE para modlos não-lnars é ncssáro s dtrmnar pramnt sua rgão d atuação do contráro ocorrrá pontos ond a apromação da prmra drada s tornará nconsstnt. A apromação dos fltros d partículas mostrou rsultados mlhors comparados com aquls obtdos plo FKE porém os fltros d partículas são snsís quanto ao númro d partículas aprsntam dfculdad tra d projto pos para cada aplcação spcífca d-s scolhr uma função d mportânca adquada. REFERÊNCIAS 2 X FKE [] A. Douct N. d Frtas N. Gordon Squantal Mont Carlo n Practc Sprngr-Vrlag 2. [2] S. Arulampalam S. Masll N. J. Gordon and. Clapp A utoral on Partcl Fltrs for On-ln Non-lnar/Non-Gaussan Basan racng IEEE ransactons of Sgnal Procssng Vol. 5 pags Fbruar 22. X [3] A. H. Jazns Stochastc Procsss and Fltrng hor. N Yor: Acadmc 97. [4] A. Douct On squntal Mont Carlo mthods for Basan fltrng Dpt. Eng. Un. Cambrdg UK ch. Rp [5] J. Carpntr P. Clfford P. Farnhad Improd partcl fltr for nonlnar problms Proc. Inst. Elct. Eng. Radar Sonar Nag Fg. 2. Valors ras d stmados plo FKE. [6] P. Dl Moral Masur alud procsss and ntractng partcl sstms. Applcaton to nonlnar fltrng problms Ann. Appl. Probab. ol. 8 no. 2 pp

5 [7] A. Douct S. Godsll C. Andru On squntal Mont Carlo samplng mthods for Basan fltrng Statst. Comput. ol. no. 3 pp [8] J. S. Lu R. Chn Squntal Mont Carlo mthods for dnamcal sstms J. Amr. Statst. Assoc. ol. 93 pp