COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS PARA PREDIÇÃO DO NITROGÊNIO MINERALIZADO: UMA ABORDAGEM BAYESIANA JANSER MOURA PEREIRA

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1 COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS PARA PREDIÇÃO DO NITROGÊNIO MINERALIZADO: UMA ABORDAGEM BAYESIANA JANSER MOURA PEREIRA 6

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3 JANSER MOURA PEREIRA COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS PARA PREDIÇÃO DO NITROGÊNIO MINERALIZADO: UMA ABORDAGEM BAYESIANA Ts aprsntada à Unvrsdad Fdral d Lavras como part das xgêncas do Programa d Pós- Graduação m Agronoma, ára d concntração m Estatístca Exprmntação Agropcuára, para a obtnção do título d Doutor. Orntador Prof. Dr. Jol Augusto Munz Co-orntadora: Profa Dra Thlma Sáfad LAVRAS MINAS GERAIS BRASIL 6

4 Fcha Catalográfca Prparada pla Dvsão d Procssos Técncos da Bblotca Cntral da UFLA Prra, Jansr Moura Comparação ntr modlos para prdção do ntrogêno mnralzado: uma abordagm baysana / Jansr Moura Prra. Lavras: UFLA, p. : l. Orntador: Jol Augusto Munz. Ts (Doutorado) UFLA. Bblografa.. Infrênca baysana.. Modlos não lnars. 3. Amostrador d Gbbs. 4. Mtropols Hastngs. 5. Fator d Bays. 6. Crtéro d Informação Baysano. I. Unvrsdad Fdral d Lavras. II. Título. CDD-59.54

5 JANSER MOURA PEREIRA COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS PARA PREDIÇÃO DO NITROGÊNIO MINERALIZADO: UMA ABORDAGEM BAYESIANA Ts aprsntada à Unvrsdad Fdral d Lavras como part das xgêncas do Programa d Pós- Graduação m Agronoma, ára d concntração m Estatístca Exprmntação Agropcuára, para a obtnção do título d Doutor. APROVADA m 5 d dzmbro d 6. Prof. Dr. Marclo Tavars Profa Dra Thlma Sáfad Prof. Dr. Carlos Albrto Slva Prof. Dr. Rnato Rbro d Lma UFU UFLA UFLA UFLA Prof. Dr. Jol Augusto Munz UFLA (Orntador) LAVRAS MINAS GERAIS BRASIL

6 Aos mus pas, Alaor Alvs d Moura Cluza Hlna Prra, plo amor ncntvo. À mnha sposa, Andréa Cléla, plo su carnho, amzad amor m todos os momntos. Aos mus rmãos, Jandr Antôno Tatana Anslma, pla amzad carnho. DEDICO

7 AGRADECIMENTOS A DEUS, por tudo. À Unvrsdad Fdral d Lavras (UFLA), ao Programa d Pós- Graduação m Estatístca Exprmntação Agropcuára ao Dpartamnto d Cêncas Exatas (DEX), pla oportundad confança no mu trabalho. Ao profssor Jol Augusto Munz à profssora Thlma Sáfad, pla orntação, atnção amzad. Aos profssors mmbros da banca xamnadora, plas sugstõs colaboração. Aos profssors do Dpartamnto d Cêncas Exatas da UFLA, pla amzad plos nsnamntos. Aos funconáros do Dpartamnto d Cêncas Exatas da UFLA, pla assstênca fcênca com qu nos atndram. Aos colgas d curso pós-graduação, plo ncntvo, companhrsmo fratrndad, m spcal aos amgos Dnsmar José Waldmar. À Coordnação d Aprfçoamnto d Pssoal d Nívl Supror (Caps), pla concssão da bolsa d studos. A todos qu, drta ou ndrtamnt, contrbuíram para a ralzação dst trabalho.

8 SUMÁRIO LISTA DE TABELAS... Págna LISTA DE FIGURAS... RESUMO... ABSTRACT... v INTRODUÇÃO... REFERENCIAL TEÓRICO Comportamnto do fnômno: mnralzação do ntrogêno Modlos não lnars Modlos não lnars adotados Infrênca baysana Obtnção das dstrbuçõs postrors condconas compltas.3. Pror não nformatva Intrvalo d crdbldad Intrvalo d máxma dnsdad a postror ou ntrvalo HPD Erro d Mont Carlo MATERIAL E MÉTODOS Matral Métodos Métodos d ramostragm... 6

9 3... Método da rjção Método d ramostragm pondrada Método d Mont Carlo va cadas d Markov (MCMC) Amostrador d Gbbs Algortmo d Mtropols-Hastngs Dagnóstcos d convrgênca Crtéro d Raftry & Lws Crtéro d Gwk Comparação dos modlos não lnars Fator d Bays (FB) Crtéro d Informação Baysano (BIC) Postror conjunta Postror conjunta para o modlo não lnar d Stanford & Smth Postror conjunta para o modlo não lnar d Maron Postror conjunta para o modlo não lnar d Cabrra RESULTADOS E DISCUSSÃO Obtnção das postrors condconas compltas para o modlo d Stanford & Smth Obtnção das postrors condconas compltas para o modlo d Maron Obtnção das postrors condconas compltas para o modlo d Cabrra Análs dos dados CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXO

10 LISTA DE TABELAS TABELA TABELA TABELA TABELA 3 TABELA 4 Págna Fator d dpndênca do crtéro d Raftry & Lws (FD) p-valor do crtéro d Gwk dos modlos (.), (.) (.3) Méda dsvo padrão a postror dos parâmtros dos modlos (.), (.) (.3), com sus rspctvos ntrvalos HPD 95%, rro d Mont Carlo (Erro MC) Fator d Bays (FB) dos modlos (.), (.) (.3) Crtéro d Informação Baysano (BIC) dos modlos (.), (.) (.3)... 44

11 LISTA DE FIGURAS FIGURA Págna FIGURA N potncalmnt mnralzávl ( N ), com bas nas quantdads acumuladas d N mnralzado durant a ncubação sucssva... 3 FIGURA Trajtóras traços das cadas dos parâmtros N, k τ do modlo d Stanford & Smth... 4 FIGURA 3 Trajtóras traços das cadas dos parâmtros N, k, b τ do modlo d Maron... 4 FIGURA 4 Trajtóras traços das cadas dos parâmtros N, k, k τ do modlo d Cabrra... 4 FIGURA 5 Dnsdads hstogramas dos parâmtros N, k τ do modlo d Stanford & Smth FIGURA 6 Dnsdads hstogramas dos parâmtros N, k, b τ do modlo d Maron FIGURA 7 Dnsdads hstogramas dos parâmtros N, k, k τ do modlo d Cabrra... 47

12 RESUMO PEREIRA, Jansr Moura. Comparação ntr modlos para prdção do ntrogêno mnralzado: uma abordagm baysana p. Ts (Doutorado m Estatístca xprmntação Agropcuára) Unvrsdad Fdral d Lavras, Lavras, MG. * Estudos rcnts utlzam a nfrênca baysana nas mas dvrsas áras. Portanto, propõ-s nst trabalho dsnvolvr uma abordagm baysana para prdzr as quantdads d ntrogêno mnralzados por ntrmédo d modlos não lnars, ou sja, ajustar um modlo d probabldad para um grupo d dados snttzar o rsultado por mo d uma dstrbução d probabldad para os parâmtros dos modlos. Os modlos não lnars consdrados para avalar a dnâmca da mnralzação do ntrogêno para lustrar o procdmnto baysano foram: modlo d Stanford & Smth, modlo d Maron modlo d Cabrra. A comparação dos modlos ocorru por mo do Fator d Bays (FB) do Crtéro d Informação Baysano (BIC). Nst trabalho, foram utlzados o amostrador d Gbbs o Mtropols Hastngs, para nfrênca dos parâmtros. Implmntou-s um algortmo no softwar R para ralzar a amostragm d Gbbs das dstrbuçõs postrors dos parâmtros dos modlos. A convrgênca das cadas foram montoradas por mo d análs gráfca plos crtéros d Gwk Raftry & Lws qu stão mplmntados no pacot BOA, xcutávl no softwar R. O modlo d Cabrra fo o qu proporconou mlhor qualdad d ajust ao conjunto d dados d mnralzação d ntrogêno, sgudo plo modlo d Stanford & Smth, por últmo, o d Maron. Em vrtud dos rsultados aprsntados, pod-s atstar qu a mtodologa baysana aprsntou bons rsultados na stmação dos parâmtros dos modlos, ou sja, o ajust d modlos por mo d dstrbuçõs postror condconas compltas consttu uma mtodologa confávl bastant prcsa. Palavras Chavs: nfrênca baysana, modlos não lnars, amostrador d Gbbs, Mtropols Hastngs, fator d Bays, crtéro d nformação baysano. * Comtê Orntador: Prof. Dr. Jol Augusto Munz UFLA (Orntador) Profa Dra Thlma Sáfad UFLA (Co-orntadora)

13 ABSTRACT PEREIRA, Jansr Moura. Comparson of th modls for prdcton of th mnralzd ntrogn: a baysan boardng p. Thss (Doctorat n Statstcs and Agrcultural Exprmntaton) Fdral Unvrsty of Lavras, Lavras, Mnas Gras, Brazl. * Rcnt studs us th Baysan Infrnc n th most svral aras. Thrfor, ntnds n ths work to dvlop a Baysan boardng to prdct of th ntrogn mnralzd through nonlnar modls, that s, to adjust a modl of probablty for a group of data and to synthsz th rsult through a dstrbuton of probablty for th paramtrs of modls. Th nonlnar modls consdrd to valuat th mnralzaton of organc ntrogn and to llustrat th baysan procdur thy wr: modl of Stanford & Smth, modl of Maron and modl of Cabrra. Th comparson of th modls was promotd through th Bays Factor (FB) and Bays Informaton Crtron (BIC). In ths work w had usd Gbbs Samplng and Mtropols Hastngs to accomplsh nfrnc of th paramtrs. A Gbbs Samplng algorthm was mplmntd on R to gt th postror dstrbutons of th modls paramtrs. Th convrgnc of th chans was montord through graphc analyss, and for th crtra of Gwk and Raftry & Lws, mplmntd n th BOA packag, xcutabl n th frwar R. Th modl that provdd bttr adjustmnt qualty to th group of data was th modl of Cabrra, bng followd by th modl of Stanford & Smth and last th on of Maron. Bcaus of th prsntd rsults, t can b attstd that th Baysan mthodology prsntd good rsults n th stmat of th paramtrs of th modls, n othr words, th adjustmnt of modls through dstrbutons complt condtonal postror consttuts a rlabl mthodology and accuracy. Ky Words: baysan nfrnc, nonlnar modls, Gbbs Samplng, Mtropols Hastngs, Bays Factor, Baysan Informaton Crtron. * Gudanc Commtt: Prof. DSc. Jol Augusto Munz UFLA (Advsr) and Prof. DSc. Thlma Sáfad - UFLA. v

14 INTRODUÇÃO O N potncalmnt mnralzávl do solo é uma mdda da quantdad d N mnralzado sob condçõs ótmas d umdad tmpratura, podndo sr mprgado para stmar o ntrogêno (N) qu srá dsponblzado durant o cclo d uma cultura. Durant o príodo d crscmnto das plantas, xst varação nas quantdads d N norgânco, prncpalmnt - N-NO 3 (ntrato) também na capacdad qu o solo tm d forncr N às plantas, por mo da mnralzação. A contrbução rlatva dos rsíduos formas orgâncas vara d acordo com tpo d solo o sstma d manjo (Stanford & Smth, 976). Entr os fators qu contrbum para o ncrmnto da produtvdad das culturas, a dsponbldad d N é um dos mas mportants, pos xrc fto mas pronuncado na produção. Apsar dsso, o manjo da adubação ntrognada é dfícl, por sr o N um lmnto qu aprsnta dnâmca complxa m vrtud do fato da adubação ntrognada não aprsntar fto rsdual (Raj, 99). Comprndr as transformaçõs do N no solo consttu um fator mportant para a maxmzação d su uso plas plantas também para uma maor fcênca na adubação ntrognada. Isso porqu o ntrogêno é ssncal ao crscmnto à produção das culturas, consttundo, na maora dos casos, o lmnto qu mas lmta o crscmnto dsnvolvmnto das plantas (Slva t al., 994). Na agrcultura comrcal modrna, grand quantdad d ntrogêno é adconada ao solo, consttundo-s font potncal d polução ambntal. A contamnação dos manancas com rsíduos d - N-NO 3 (ntrato) + N-NH 4 (amôna) tm causado séras procupaçõs, uma vz qu, m xcsso (acma d, mgl - ), ssas formas d ntrogêno podm causar danos à saúd dos homns dos anmas. Embora tal contamnação sja provnnt d váras

15 fonts, como rsíduos muncpas ndustras, as prátcas agrícolas, m spcal a adubação do solo com ntrogêno, qu têm aumntado abusvamnt nos últmos anos, têm sdo consdradas as prncpas (Frguson t al., 99). Em algumas lavouras, doss lvadas d frtlzants ntrognados, quas smpr, xcdm os rqurmntos culturas, acarrtando utrofzação lxvação das formas d ntrogêno para o lnçol frátco ou scoamnto suprfcal das msmas m drção aos manancas (Sanju t al., 999). Para qu st problma dcrsça, é ncssáro qu os agrcultors usm adubos ntrognados orgâncos m quantdads adquadas qu, ao msmo tmpo, aumntm a produtvdad das culturas dmnuam, ao mínmo possívl, - + os tors d N-NO 3 N-NH 4 no solo (Unlu t al., 999). D prfrênca, é prcso sncronzar mlhor a lbração d N plos rsíduos com as fass d maor rqurmnto nutrconal das culturas. A prdção com maor prcsão (acuráca) do N mnralzado possblta a maor fcênca d uso do nutrnt. Assm, propõ-s, nst trabalho, dsnvolvr uma abordagm baysana para prdzr as quantdads d N mnralzados por ntrmédo dos modlos não lnars, ou sja, ajustar um modlo d probabldad para um grupo d dados snttzar o rsultado por mo d uma dstrbução d probabldad para os parâmtros dos modlos. Utlzaram-s dados xprmntas (dados ras) assocados à mnralzação d N m Latossolo do Sul d Mnas Gras, sob fto da calagm, dscrtos m Slva t al. (994) (sção 3.). Na sção (3.5) srão aprsntadas as postrors conjuntas dos modlos d Cabrra (993), Maron t al. (98) Stanford & Smth (97). A comparação dos modlos fo fta por mo do Fator d Bays do Crtéro d Informação Baysano (BIC).

16 REFERENCIAL TEÓRICO. Comportamnto do fnômno: mnralzação do ntrogêno Sgundo Stanford & Smth (97), a mnralzação d N m solo pod sr dscrta por uma quação xponncal smpls qu rlacona o N mnralzado, orundo d um únco compartmnto ( pool ) d N potncalmnt mnralzávl, com o tmpo d ncubação. Gupta & Ruszr (967) Chw t al. (976) afrmam qu a mnralzação da matéra orgânca é maor nos prmros príodos d ncubação, dvdo à prsnça d compostos orgâncos d fácl dcomposção. Black (968) afrma qu fators, como o manuso do solo, a scagm, o conglamnto a moagm, podm aclrar a dcomposção da matéra orgânca. Com bas nssas afrmaçõs d acordo com Stanford & Smth (97), qu avalaram o ntrogêno potncalmnt mnralzávl do solo ( ) por mo d ncubação aróbca, a mnralzação potncal do N orgânco do solo ( ) tm o comportamnto conform dscrto na Fgura. N N FIGURA : N potncalmnt mnralzávl ( N ) com bas nas quantdads acumuladas d N mnralzado durant a ncubação sucssva. 3

17 Nota-s, no comportamnto dos dados mostrados no gráfco, qu, nos prmros príodos d ncubação, a mnralzação do ntrogêno é maor, à mdda qu o tmpo dcorr, a mnralzação da matéra orgânca va dmnundo, ou sja, a curva assntótca tnd-s a stablzar. Isso ocorr m razão d prvalcrm no solo compostos orgâncos qu aprsntam taxas d dcomposção dfrncadas. D fato, são ncontrados no solo compostos orgâncos ntrognados faclmnt dcomponívs como protínas, amnoácdos, açúcars smpls, ntr outros, compostos mas rsstnts à dcomposção, como é o caso do N assocado às substâncas húmcos, açúcars complxos, tc. Assm, as maors taxas d dcomposção obsrvadas no níco da ncubação s xplcam m função dos ataqus mcrobanos às moléculas d maor bodsponbldad. À mdda qu avança o tmpo d ncubação, dmnu a concntração no solo d moléculas faclmnt dcomponívs aumnta a d compostos rcalctants, mnos susctívs à dcomposção. Isso xplca o carátr não lnar da mnralzação do ntrogêno m função do tmpo d ncubação, o qu justfca a adoção d modlos não lnars para o studo do fnômno mnralzação do ntrogêno.. Modlos não lnars Os modlos são classfcados como: lnars, não lnars lnarzávs. Nos modlos não lnars, não é possívl ncontrar uma forma analítca para a stmação dos parâmtros, sto é, as xprssõs dos stmadors não aprsntam uma solução xplícta, xgndo o uso d métodos numércos tratvos. A vantagm d s trabalhar com modlos não lnars é qu sus parâmtros possum uma ntrprtação bológca, m mutas stuaçõs, 4

18 ncsstam-s d mnos parâmtros nos modlos não lnars, o qu smplfca faclta a ntrprtação. Drapr & Smth (998) classfcam os modlos como: a) modlos lnars: aquls qu são lnars m rlação aos parâmtros, ou sja, para =,,, p j =,,, n; β g ( X, β ) = h( X) j m qu p é o númro d parâmtros do modlo n é o númro d obsrvaçõs. Como lustração, é aprsntado o sgunt modlo: Y = + X + X + β β β ε m qu ε é o rro d carátr adtvo β, β β são os parâmtros a srm stmados. O cálculo das drvadas parcas: Y Y Y =, = X = X β β β mostra qu nnhuma dlas dpnd d algum parâmtro do modlo, portanto, o modlo é dto lnar; b) modlos lnarzávs: são modlos não lnars qu, por mo d alguma transformação, s tornam lnars. Sja o modlo, Y = X β ε m qu β é o parâmtro a sr stmado ε é o rro d carátr multplcatvo. Utlzando-s a transformação logarítmca, ou sja, aplcando-s o logartmo m ambos os lados da quação, têm-s: log X ( Y ) = log ( β ε) ( Y) = X ( β ) + ( ε ) log log log., 5

19 Fazndo g log ( Y) ; c log ( β ); log( ε ) = = =, a quação pod sr scrta como g = cx +, sndo lnar, pos g = X = h X c ( ) qu ndpnd do parâmtro c, mostrando qu o modlo orgnal é lnarzávl. c) modlos não lnars: são modlos m qu plo mnos uma das drvadas parcas dpnd d algum parâmtro do modlo. Sja o modlo, Y = β X + β + ε X m qu β β são os parâmtros a srm stmados. O cálculo das drvadas parcas d Y: Y Y = X = Xβ β β X, mostra qu a sgunda dlas dpnd do parâmtro β, ndcando qu o modlo m qustão é não lnar... Modlos não lnars adotados D acordo com Camargo t al. () Prra t al. (5), xstm oto modlos não lnars utlzados para dscrvr prdzr as rlaçõs na dnâmca da mnralzação do ntrogêno no solo. Os oto modlos não lnars são classfcados como: xponncal smpls (Cabrra, 993; Jons, 984; Maron t al., 98 Stanford & Smth, 97), xponncal duplo (Inobush t al., 985; Molna t al., 98), parabólco (Broadbnt, 986) hprbólco (Juma t al., 984). D forma gral, os modlos xponncas smpls consdram somnt uma forma d N potncalmnt mnralzávl, dcomposto a uma taxa proporconal à sua concntração. Enquanto os modlos xponncas duplos 6

20 consdram a xstênca d dos pools, ou sja, xstm duas taxas ocorrndo no procsso, sndo uma mas stávl, caractrístca d compostos mas rsstnt, concomtantmnt a outra mnos stávl. A mas stávl rlaconada com o N é dfclmnt mnralzávl, a mnos stávl ao N é faclmnt mnralzávl (Prra, 4). Três dos modlos statístcos utlzados são dfndos por: () modlo xponncal smpls d Stanford & Smth (97): y xp( ) = N kt + (.) () modlo xponncal smpls d Maron t al. (98): ( ) xp b y = N kt + () modlo xponncal smpls d Cabrra (993): m qu, ( ) y = N xp kt + k t + y é o ntrogêno mnralzado até o tmpo t ; t é o tmpo d ncubação, com =,..., n; N é o ntrogêno potncalmnt mnralzávl; N é o ntrogêno faclmnt mnralzávl; k, k k são taxas ou constants d mnralzação; (.) (.3) b é um parâmtro qu não tm ntrprtação bológca (constant qualqur); é um vtor d rros com dstrbução normal com méda zro varânca. Maron t al. (98) propusram um modlo não lnar smlar ao modlo dscrto por Stanford & Smth (97) ntroduzndo um xpont ( ao tmpo. Cabrra (993) propôs um modlo não lnar qu dscrv a xstênca d dos pools, ou sja, duas taxas nvolvdas no procsso, sndo k σ b) a taxa ou 7

21 constant d mnralzação do pool mas stávl k a taxa do pool mnos stávl..3 Infrênca baysana A nfrênca baysana nas últmas décadas tm ganhado mutos adptos dvdo ao avanço computaconal, ou sja, às técncas d smulação rlatvamnt smpls, mas xtrmamnt podrosas, qu pudram sr mplmntadas graças ao avanço dos rcursos computaconas. Para Glman t al. (3), a nfrênca baysana é o procsso d ajustar um modlo d probabldad para um grupo d dados rsumr o rsultado por uma dstrbução d probabldad nos parâmtros do modlo m quantdads não obsrvávs como prdção para novas obsrvaçõs. A statístca é fundamntada m nformaçõs a rspto d uma dtrmnada quantdad d ntrss θ a toda nformação rlacona-s um grau p d ncrtza rfrnt a θ. Um dos objtvos da nfrênca baysana é mnmzar o grau d ncrtza, ou sja, rduzr ao mínmo o grau d ncrtza a rspto d θ (quantdad d ntrss). Porém, a ncrtza a rspto d θ pod assumr dfrnts graus, qu podm sr rprsntados por mo d modlos probablístcos para θ. Consqüntmnt, é natural qu dfrnts psqusadors aprsntm modlos dstntos, pos os msmos podm aprsntar dfrnts graus d ncrtza sobr θ (Ehlrs, 3). O grau d ncrtza, ou a nformação qu s tm a rspto d rprsntado probablstcamnt por mo d θ, é p( θ ). A nformação sobr θ pod sr aumntada obsrvando-s uma quantdad alatóra Y rlaconada com θ, na qual a dstrbução amostral p( y θ) dfn sta rlação. Uma vz obsrvada Y = y, a quantdad d nformação sobr θ aumnta o torma d Bays é a 8

22 rgra d atualzação utlzada para mnsurar st aumnto d nformação (Ehlrs, 3), p ( θ y) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p θ, y p y θ p θ p y θ p = = = p y p y p y d ( ) ( θ). (.4) ( θ, ) θ Obsrv qu, m (.4), p( y ) dsmpnha o papl d uma constant normalzadora d p( y) θ, pos não dpnd d θ. Para um valor fxo d y, a função p( y θ ) fornc a vrossmlhança d cada um dos possívs valors d θ ( ) (, ou sja, p y θ = L θ; y), nquanto p( θ ) é chamada d dstrbução a pror d θ. Essas duas fonts d nformação, pror vrossmlhança, são combnadas, lvando à dstrbução a postror d θ, p( θ y ). Portanto, a forma usual do torma d Bays é: ( θ ) ( θ; ) x ( θ ) (.5) p y L y p É mportant rssaltar qu ssa forma smplfcada do torma d Bays dada m (.5) é útl para a rsolução d problmas qu nvolvam stmação d parâmtros, já qu o dnomnador é apnas uma constant normalzadora. Porém, m outras stuaçõs, como slção d modlos, st trmo tm um papl crucal (Ehlrs, 3). As nfrêncas sobr a dstrbução a postror conjunta consstm na vrdad m ncontrar uma dstrbução para um parâmtro spcífco, θ. A forma d ncontrar tal dstrbução, chamada dstrbução margnal d θ, é ntgrando a dstrbução postror conjunta m rlação aos outros parâmtros do modlo, ou sja, ( θ) = ( θ, θ ) θ (.6) f f d 9

23 ( ) m qu θ = θ,, θ, θ+,, θ j é o conjunto complmntar d parâmtros para θ (Rosa, 998). Porém, muta das vzs, a forma analítca da margnal (.6) é complxa multdmnsonal ou, até msmo, mpossívl d sr calculada analtcamnt, ou sja, a nfrênca xata somnt srá possívl s stas ntgras pudrm sr calculadas analtcamnt, caso contráro dvm-s usar aproxmaçõs. Nss caso, métodos numércos tratvos, como método d Mont Carlo va cadas d Markov (MCMC) são utlzados para grar valors d uma dstrbução condconal a postror para cada parâmtro (Sornsn, 996). Dntr os métodos d smulação qu fazm o uso d cadas d Markov dstacam-s o amostrador d Gbbs o Mtropols Hastngs (Hastngs, 97). O amostrador d Gbbs é uma altrnatva para a obtnção d (.6), método ncalmnt utlzado por Glfand & Smth (99), na statístca, o qual fo laborado por Gman & Gman (984). Gamrman (997) também utlza o método MCMC para amostragm da dnsdad a postror, para os casos m qu não xstm formas spcífcas para as dstrbuçõs condconas compltas, a amostragm Gbbs pod sr mplmntada com o auxílo do algortmo Mtropols & Hastngs (Hastngs, 97; Mtropols t al., 953), para ralzar o sorto na condconal complta da amostragm Gbbs. A motvação para o uso da amostragm Gbbs é qu a ral dstrbução pod sr aproxmada por uma dstrbução mpírca d n valors, d tal forma qu n sja grand o sufcnt para qu a amostragm Gbbs atnja a convrgênca (Zgr & Karn, 99). Glfand & Smth (99) utlzam a msma déa lustrando a nfrênca baysana m um conjunto d dados normas, usando o amostrador d Gbbs. Caslla & Gorg (99) utlzam o amostrador d Gbbs para lustrar o fato d qu as condconas compltas, quando n, dtrmnam as margnas, sto é, quando s tm uma amostra sufcntmnt

24 grand d um dtrmnado parâmtro, dados os dmas, obtém-s uma dstrbução mpírca qu s aproxma sufcntmnt da dstrbução margnal..3. Obtnção das dstrbuçõs postrors condconas compltas Em gral, cada uma das componnts θ pod sr un ou multdmnsonal, a dstrbução condconal complta é a dstrbução da - ésma componnt d θ condconada m todas as outras componnts. A condconal complta pod sr obtda a partr da dstrbução conjunta da sgunt forma: p ( θ θ ) = ( θ) ( θ) p p dθ (.7) = ( ) ( ) m qu θ θ,, θ, θ+,, θj, θ θ,,,, θ θj = ( ) p θ é a dstrbução conjunta, sndo j o númro d parâmtros do modlo. Assm, para s obtr a dstrbução condconal complta d θ, basta pgar os trmos da dstrbução conjunta qu não dpndm d θ (Sornsn, 996 Ehlrs, 3)..3. Pror não nformatva A pror é caractrzada como não nformatva quando a vrossmlhança é domnant ou quando s dsja rprsntar o dsconhcmnto sobr θ. A prmra déa é pnsar m todos os possívs valors para θ como gualmnt provávs, sto é, p ( ) θ v, com v sndo uma constant θ lmtado m um ntrvalo ral. Mutas vzs, a pror, é a forma d s quantfcar a ncrtza sobr o parâmtro, porém, a pror não-nformatva não rprsnta ncssaramnt o dsconhcmnto do psqusador sobr o parâmtro, mas

25 dv sr usada também d forma a vablzar a nfrênca a postror (Box & Tao, 99)..3.3 Intrvalo d crdbldad Na nfrênca baysana, toda nformação probablístca qu s tm a rspto d um dtrmnado parâmtro é rprsntada por mo d sua dstrbução a postror. A partr d tal dstrbução, stmam-s parâmtros como méda, mdana moda a postror, basando-s nos valors obsrvados da dstrbução a postror d θ. θ No ntanto, ssa nformação rstrng-s a um únco valor, ou sja, toda nformação prsnt na dstrbução a postror d é condnsada m uma stmação pontual. Portanto, fca vdnt a ncssdad d assocarmos uma mdda da prcsão d tal stmatva (méda, mdana ou moda). Para sso, é ncssáro ncorporar o concto d ntrvalo d crdbldad qu prmt mnsurar a prcsão com qu st númro fo stmado. Dfn-s C [ a, b] = como ntrvalo d crdbldad d α %, α) θ P[ θ C] ou nívl d crdbldad (, para s θ ( ) α. Not qu a dfnção xprssa, d forma probablístca, a prtnênca ou não d θ ao ntrvalo. Assm, quanto mnor for o tamanho do ntrvalo, mas concntrada é a dstrbução do parâmtro, ou sja, o tamanho do ntrvalo nforma sobr a dsprsão do parâmtro θ (Ehlrs, 3) Intrvalo d máxma dnsdad a postror ou ntrvalo HPD A sgla HPD corrspond à abrvação da xprssão Hghst Postror Dnsty, ou sja, rgão d alta ou máxma dnsdad a postror. A stmação d ntrvalo d dnsdad d probabldad máxma (HPD) é um mo d grar

26 ntrvalos postrors baysanos. Paulno t al. (3) afrmam qu xst uma nfndad d rgõs d crdbldad com o msmo grau d crdbldad. Portanto, o ntrvalo HPD é um ntrvalo d crdbldad d comprmnto mínmo, obtdo a partr dos valors d θ com maor dnsdad a postror. No pacot BOA, xcutávl no frwar R, utlza-s o algortmo dscrto por Chn & Shao (999) para stmar os ntrvalos HPD, sob a suposção d dstrbuçõs postrors margnas unmodal..3.4 Erro d Mont Carlo No contxto d nfrênca baysana, o método d Mont Carlo é utlzado para o cálculo d ntgras dfndas, utlzando-s aproxmaçõs. D acordo com Ehlrs (3), o stmador d Mont Carlo é dado por: n ˆ I = g X, n = ( ) m qu Î é uma aproxmação para a ntgral qu s dsja calcular, portanto, prcsamos studar o rro Î I. Uma vz qu as graçõs são ndpndnts, ntão, pla L Fort dos Grands Númros, sgu qu crtamnt para I, sto é, Î convrg quas n n n g( X ) E g( X). = Além dsso, dfnndo σ = Var g( X ) assumndo qu sta varânca xst o rro padrão d Mont Carlo é uma stmatva consstnt d σ, dada por: n σˆ = n g( x ) g, = 3

27 sto é, a aproxmação pod sr tão acurada quanto s dsj, bastando aumntar o valor d n (númro d traçõs). Est método consst m grar város númros alatóros unformmnt dstrbuídos no ntrvalo d ntrss, avalando-s o valor da função a sr ntgrada m cada um dsts pontos, fnalmnt, calculando-s a méda dsss valors obtdos para s obtr a aproxmação da ntgral dfnda. Como o método d Mont Carlo é uma aproxmação, não s pod afrmar qu o valor ncontrado por l é o valor xato da ntgral. Entrtanto, quanto mas pontos form grados, maor srá a confabldad na aproxmação obtda. 4

28 3 MATERIAL E MÉTODOS 3. Matral Para lustração do studo dos três modlos, utlzaram-s dados xprmntas assocados à mnralzação d N m Latossolo do Sul d Mnas Gras sob fto da calagm, dscrtos m Prra t al. (5) Slva t al. (994). Assm, foram consdradas as quantdads acumuladas d N mnralzado durant onz tmpos d ncubação (,, 3, 4, 6, 8,,, 4, 8 smanas). A acdz do solo fo corrgda vsando-s lvar a saturação por bass a 6%, com o ph m água do solo atngndo valors na faxa d 6,-6,. A xtração do N mnral (ntrato + amôno) formado durant a ncubação fo fta pla lavagm pródca do solo com solução d CaCl (Clorto d Cálco), mol L -. A quantfcação do N mnralzado fo fta m dstlador d arrast d vapors, sndo o N-amôno quantfcado após a adção d MgO (Óxdo d Magnéso) no xtrato d CaCl o ntrato, após o uso d lga d Dvarda no xtrato rmanscnt. As amostras d solo foram ncubadas m condçõs ambntas do Laboratóro d Rlação Solo-Planta do DCS/UFLA (Dpartamnto d Cêncas do Solo da Unvrsdad Fdral d Lavras), com a tmpratura ambnt osclando ntr o C 8 o C. O dlnamnto xprmntal utlzado fo o ntramnt ao acaso, com três rptçõs. 3. Métodos Para ralzar a nfrênca sobr os parâmtros é ncssáro dtrmnar as margnas a postror. D poss das margnas, utlza-s o método MCMC para ralzar amostragm das dnsdads a postrors, para os casos m qu não 5

29 xstm formas spcífcas para as dstrbuçõs condconas compltas, a amostragm Gbbs é mplmntada por ntrmédo do algortmo Mtropols Hastngs. Srão aprsntados alguns métodos d ramostragm com o ntuto d facltar a comprnsão do amostrador d Gbbs a amostragm por rjção com algortmo Mtropols Hastngs. 3.. Métodos d ramostragm A déa dos métodos d ramostragm é grar valors m duas tapas. Na prmra tapa, gram-s valors d uma dstrbução auxlar conhcda no sntdo d aproxmar-s da dstrbução d ntrss, ou sja, da postror. Na sgunda tapa, utlza-s um mcansmo d corrção a fm d qu os valors amostrados da dstrbução auxlar sjam rprsntatvos (ao mnos aproxmadamnt) da dstrbução a postror. O mcansmo d corrção não ncssaramnt é stocástco. A dnsdad d ntrss srá dnotada por p ( x) θ a dnsdad auxlar é dnotada por q θ (Gamrman, 997). () 3... Método da rjção Consdr uma dnsdad auxlar amostras. A déa é utlzar q( θ), da qual sabmos grar q( θ ) para fazr gração d p( θ x). A únca rstrção matmátca sobr q θ é qu xsta uma constant A <, tal qu p( θ x) < Aq( θ), para todo θ. O método gra valors da dnsdad proporconal a p( ( ) θ x), s apnas o núclo d p( x) A q( θ ) srva como nvlop, cobrndo todo o gráfco d p( x) da scala utlzada (Gamrman, 997). θ é conhcdo. Basta qu θ, ndpndnt 6

30 q( θ) probabldad O método consst m grar um valor d uma dstrbução auxlar actar st valor como sndo da dstrbução a postror com ( θ ) ( θ) p x Aq * θ *. Caso contráro, θ não é acto como um valor grado da postror o procsso é rptdo até qu um valor sja acto. O método também funcona s m vz da postror, dsconhcda, utlzarmos a sua vrsão não normalzada, ou sja, (Ehlrs, 3). p( θ x), qu, m gral, é ( θ) p( θ) Em algumas stuaçõs, toma-s a pror p( θ ) como sndo a dnsdad auxlar, ou sja, ( ) q ( θ ) = p( θ) p x, ntão, a constant A dv sr tal qu p x θ < A. Esta dsgualdad só pod sr satsfta s tomarmos A como sndo o valor máxmo da função d vrossmlhança, sto é, qu θ ), m é o stmador d máxma vrossmlhança d θ. Então, a probabldad d actação d gual a. A= p( x θ * θ s smplfca m p( x θ) p( x θ ), qu é smpr mnor ou Pod-s utlzar o sgunt algortmo para grar valors da postror: θ ( ) * ) grar um valor da dstrbução auxlar q θ (conhcda); ( ) ) grar u U, ; θ u p( θ x) Aq( * 3) actar como valor da postror s * rjtar θ rtornar ao tm. ) < θ, caso contráro Um problma técnco assocado ao método é a ncssdad d s maxmzar a função d vrossmlhança, o qu pod não sr uma tarfa smpls m modlos mas complxos. S st for o caso, ntão, o método d rjção prd o su prncpal atratvo, qu é a smplcdad (Gamrman, 997). 7

31 3... Método d ramostragm pondrada O método d ramostragm pondrada tm o msmo prncípo do método da rjção, ou sja, part d valors grados d uma dstrbução auxlar q( θ) fácl d sr amostrada, mas com a vantagm d qu la não prcsa sr um nvlop para p ( θ x), sto é, não há ncssdad d maxmzação da vrossmlhança. A dsvantagm do método é a d qu l fornc valors apnas aproxmadamnt dstrbuídos sgundo a postror (Gamrman, 997). Suponha qu tmos uma amostra ( ) θ,, θn grada d uma dstrbução auxlar q θ, a partr dla, construímos psos w com =,, n, m qu w = n j= ( θ ) ( θ ) p x q ( θj ) ( θj) p x q O método consst m tomar uma sgunda amostra (ramostra) d tamanho m da dstrbução dscrta m. θ,, θn, com probabldads w,, wn. Aqu, também, não é ncssáro qu s conhça compltamnt a postror, mas apnas o produto da pror pla vrossmlhança (vrsão não normalzada), já qu, nst caso, os psos não s altram (Ehlrs, 3). Tomando novamnt a pror como dnsdad auxlar, sto é, q( θ ) = p( θ), os psos s smplfcam para: w = n j= ( θ ) p x ( θ j ) p x, =,, n. O algortmo para grar valors (aproxmadamnt) da postror é: ) grar valors θ,, θn d uma dstrbução auxlar q θ (conhcda); ( ) 8

32 ) calcular os psos w, =,, n. 3) ramostrar valors com probabldads w,, wn. 3.. Método d Mont Carlo va cadas d Markov (MCMC) Todos os métodos d smulação aprsntados até agora gram os valors d forma ndpndnt (não-markovanos), sto é, as obsrvaçõs sucssvas são statstcamnt ndpndnts. O método d Mont Carlo va cadas d Markov (MCMC) consst d smulaçõs tratvas, basadas m cadas d Markov, consqüntmnt, os valors grados não srão mas ndpndnts (Gamrman, 997). Os métodos MCMC mas utlzados são o amostrador d Gbbs o algortmo d Mtropols-Hastngs Amostrador d Gbbs No amostrador d Gbbs, a cada rá smpr s movr para um novo valor, sto é, não xst mcansmo d actação-rjção. As transçõs d um stado para outro são ftas d acordo com as dstrbuçõs condconas compltas ( ) ( ) p θ θ, m qu θ = θ,, θ, θ+,, θ j, sndo j o númro d parâmtros do modlo (Ehlrs, 3). O amostrador d Gbbs é um procsso Markovano, por sustntar uma mmóra curta, sndo a varávl grada dpndnt apnas da varávl grada antrormnt. O algortmo d Gbbs fornc uma forma altrnatva para grar sucssvos valors d uma dstrbução condconal complta. Sgundo Gamrman (997), o amostrador d Gbbs pod sr dscrto da sgunt forma: ) nc o contador d traçõs da cada l = scolha valors ncas ( ) ( ) θ = ( θ,, θj ) ; 9

33 () l () l () l ( l ) ) obtnha um novo valor θ = ( θ,, θ j ), a partr d θ, por mo d sucssvas graçõs d valors ( ) l (,,, j ) ( l) ( l ) ( l ) ( l ) p, 3,, j θ θ θ θ θ () l () l ( l ) ( ) p 3 θ θ θ θ θ ( ) () l () l () l () l j p j,,, j θ θ θ θ θ 3) mud o contador l para l + rtorn ao passo, até atngr a convrgênca Algortmo d Mtropols-Hastngs Em alguns casos, a forma da dstrbução condconal complta não é rconhcda, o qu nvablza sua amostragm plos métodos convnconas. Alguns métodos adconas podm sr utlzados, como, por xmplo, amostragm por rjção com o algortmo d Mtropols-Hastngs. O algortmo d Mtropols-Hastngs utlza a msma déa dos métodos d rjção vstos antrormnt, ou sja, um valor é grado da dstrbução auxlar acto com uma dada probabldad. Ess mcansmo d corrção garant a convrgênca da cada para a dstrbução d qulíbro (Ehlrs, 3). Suponha qu a cada stja no stado θ um valor dstrbução auxlar proposta q (. θ) * θ é grado d uma. Not qu a dstrbução auxlar proposta pod dpndr do stado atual da cada. O novo valor sgunt probabldad: * * ( θ x) q( θ θ ) * ( θ x) q( θ θ) p * αθθ (, ) = mn, p * θ é acto com a (3.) m qu p é a dstrbução d ntrss.

34 É notóro qu a cada pod prmancr no msmo stado por mutas traçõs, na prátca, costuma-s montorar sso calculando-s a porcntagm méda d traçõs para as quas novos valors são actos. O algortmo d Mtropols-Hastngs pod sr dscrto da sgunt forma: ) nc o contador d traçõs da cada t = scolha valors ncas θ ; θ ( ) * ) gr um novo valor da dstrbução q. θ ; * 3) calcul a probabldad d actação (, ) u U (,); αθθ por mo d (3.) gr ( t ) * 4) s u α ntão acta-s o novo valor faça θ + = θ, caso contráro, ( ) ( ) t t rjt faça θ + = θ ; 5) ncrmnt o contador d t para t + volt ao passo. Maors dtalhs sobr st algortmo podm sr ncontradas m Chb & Grnbrg (995), Gamrman (997) Hastngs (97). 3.3 Dagnóstcos d convrgênca Uma qustão d ordm prátca é como os valors ncas nfluncam o comportamnto da cada. Consdr uma longa ralzação da cada com comprmnto (númro d traçõs) t = l + gm, m qu l é o númro ncal d traçõs ncssáras para qu a cada atnja o stado d qulíbro, m é o númro das traçõs qu srão utlzadas na aplcação do método d Mont Carlo g o spaçamnto (pulo) ntr traçõs sucssvas, dlnado para lmnar a autocorrlação ntr as conscutvas traçõs. O príodo consttuído plas l prmras traçõs costuma dsgnar-s por príodo d aqucmnto (burn-n). Est príodo pod sr mas ou mnos longo, para contornar st problma, há métodos d dagnóstco para vrfcar s a cada s ncontra ou não no stado d qulíbro (Paulno t al., 3).

35 Conform o númro d traçõs aumnta, a cada gradualmnt squc os valors ncas, vntualmnt, convrg para uma dstrbução d qulíbro. Assm, m aplcaçõs prátcas, é comum qu as traçõs ncas sjam dscartadas, como s formassm uma amostra d aqucmnto. Os métodos ou crtéros utlzados para dagnostcar, ou sja, para montorar a convrgênca, podm sr classfcados como nformas formas. Os métodos nformas foram ncalmnt propostos por Glfand & Smth (99). Esss autors sugrram técncas gráfcas para a vrfcação da convrgênca, como, por xmplo, a técnca gráfca qu consst m obsrvar a trajtóra da cada ao longo das traçõs. S o gráfco, após um príodo ncal, aprsnta rptdamnt o msmo comportamnto qualtatvo quanttatvo, ntão, pods conclur pla convrgênca da cada (Gamrman, 997). Dntr os métodos formas, podm-s ctar os sgunts crtéros d convrgênca: Glman & Rubn (99), Gwk (99), Hdlbrgr & Wlch (983), Raftry & Lws (99) outros mas. Esss métodos outros foram comparados no trabalho d Cowls & Carln (996), qu concluíram qu não s pod afrmar qual dls é o mas fcnt. No prsnt trabalho, a montoração da convrgênca das cadas fo ralzada por mo d análs gráfca, crtéro d Gwk (99) crtéro d Raftry & Lws (99). Os crtéros d Glman & Rubn, Raftry & Lws, Gwk, Hdlbrgr & Wlch outros stão mplmntados no pacot BOA, xcutávl no frwar R, conform R Dvlopmnt Cor Tam (4) Crtéro d Raftry & Lws O crtéro proposto por Raftry & Lws (99) é um método qu stma quantas traçõs são ncssáras para qu o amostrador d Gbbs aprsnt convrgênca à dstrbução staconára, propondo quantdads ncssáras para

36 sso. O método fornc as stmatvas do burn-n, qu é o númro d traçõs qu dvm sr dscartadas, o númro d traçõs qu dvm sr computadas N (Total) a dstânca mínma d uma tração à outra, para s obtr a subamostra aproxmadamnt ndpndnt ( thn ). Ou sja, o método fornc o tamanho do dscart qu dv sr dado para xtrar o fto dos valors ncas o salto d uma tração para a outra, para rtrar o fto d dpndênca ntr os valors amostrados. A rgra d dcsão do crtéro d Raftry & Lws é basada no fator d dpndênca. O fator d dpndênca é rsponsávl plo acréscmo multplcatvo ao númro d traçõs ncssáras para s alcançar a convrgênca, dvdo à autocorrlação dntro da sqüênca. D acordo com Raftry & Lws (99), s o fator d dpndênca for maor qu 5, pod-s conclur qu a cada não atngu convrgênca Crtéro d Gwk O crtéro proposto por Gwk (99) consst m ndcar a convrgênca da méda a postror da quantdad amostrada, g ( θ ), m uma únca cada, sto é, os valors ( ) ( ) g θ são calculados a cada tração da smulação, formando uma sér tmporal. A partr da cada, a varânca assntótca ( ) S da mdda d g ( θ ) pod sr stmada. g O crtéro d Gwk consst nos sgunts passos: Passo : dvd-s a cada d tamanho N m duas sqüêncas. A prmra sqüênca possu N prmras traçõs a sgunda N rstants traçõs. a Gwk (99) sugr qu as médas dvm sr stmadas após o dscart d algumas traçõs ncas qu sjam consdrados b N =, N N =,5N. a b 3

37 Passo : stmam-s as médas gˆ gˆ as varâncas assntótcas ( ) ˆ ( ) Sˆ S, rspctvamnt. As varâncas são dtrmnadas pla ga gb stmação da dnsdad spctral. Pod-s mostrar qu, s as razõs ntão: Sˆ gˆ a gˆ b a ( ) Sˆ ( ) ga gb N a + N b b N N N N são fxas N, a (,) b N. Portanto, um tst pod sr construído s a dfrnça padronzada ntr as médas for muto grand, xst ndcação d ausênca d convrgênca. A rgra d dcsão do crtéro d Gwk é basada na stmatva do p-valor. D acordo com Gwk (99), s o p-valor for mnor qu um nívl d sgnfcânca adotado plo psqusador, conclu-s qu a cada não atngu convrgênca. 3.4 Comparação dos modlos não lnars A comparação dos modlos fo ralzada por ntrmédo do Fator d Bays do Crtéro d Informação Baysano (BIC) Fator d Bays (FB) Suponha dos modlos M M. Sgundo Brkhof t al. (3), Han & Carln () Paulno t al. (3), o Fator d Bays stá formalmnt dfndo como a razão ntr as postrors as prors, ou sja, FB ( ) ( ) pm ( ) pm ( ) pm x pm x p x M = = p x M ( ) ( ) 4

38 m qu p( M ) é a probabldad a pror p( M x) = p( M) p( x M) p( x) é a probabldad a postror do modlo prors form guas, ntão M com =,. Obsrv qu s as FB é maor qu s M aprsntar uma probabldad postror maor, ou sja, o modlo é mas plausívl ou vrossíml do qu o modlo, ntão, opta-s por scolhr o modlo para prdzr o fnômno m qustão Crtéro d Informação d Baysano (BIC) D acordo com Carln & Lous (), o Crtéro d Informação Baysano (BIC) pod sr dfndo da sgunt forma: { ( θ ) } ( ), BIC = E ln L x, M pln n m qu n é o tamanho da amostra. A rgra d dcsão basada no BIC consst na scolha do modlo qu aprsntar maor valor d BIC. 3.5 Postror conjunta 3.5. Postror conjunta para o modlo não lnar d Stanford & Smth Para a obtnção da postror conjunta (3.5) do modlo não lnar d Stanford & Smth (.), foram stablcdas: ) uma pror não nformatva (sção.3.) para os parâmtros N k, ou sja, p ( N, k ) w. (3.) Enquanto qu, para a prcsão, τ = σ, assum-s como pror: τ ( ) ) uma dstrbução Gama com parâmtros ( α, β ), p α ( τ α, β ) τ xp{ β τ }. (3.3) 5

39 Supondo qu (, ) d N τ, ntão, a vrossmlhança para o modlo (.) pod sr scrta da sgunt forma: n L y N k H τ y N kt { } (,, τ, ) = xp xp( ) = πσ n τ L( y N, k, τ, H) = τ xp y N xp( kt ) π = n τ L( y N, k, τ, H) τ xp { y N xp( kt) } = { } n L y N k H τ y N kt = { } n (,, τ, ) τ xp xp( ) (3.4) m qu =,..., n, {,,, } y y y y H são os hprparâmtros: α β. = n Agora d poss da vrossmlhança (3.4), das prors (3.) (3.3) por ntrmédo do torma d Bays (.5) a dstrbução postror conjunta do modlo (.) pod sr dscrta da sgunt forma: (,, τ, ) (,, τ, ) (,, τ ) (,, τ, ) (,, τ, ) (, ) ( τ ) p N k y H L y N k H p N k H p N k y H L y N k H p N k p H n p N k y H τ y N kt x w x τ xp n (,, τ, ) τ xp xp( ) (,, τ, ) p N k y H { } = τ n + α - x { β τ } α x n τ x xp β + { y N xp( kt) }. (3.5) = 3.5. Postror conjunta para o modlo não lnar d Maron D modo análogo, para a obtnção da postror conjunta (3.9) do modlo não lnar d Maron (.), fo stablcda: 6

40 ) uma pror não nformatva para os parâmtros N, k b, p ( N, k, b ) v. (3.6) Enquanto qu, para a prcsão, τ = σ, assum-s como pror: τ ( ) ) uma dstrbução Gama com parâmtros ( α, β ), p Dado qu α ( τ α, β ) τ xp{ β τ }. (3.7) d N(, τ ), ntão, a vrossmlhança para o modlo (.) pod sr scrta da sgunt forma: n τ L y N k b H y N kt = πσ { } b (,,, τ, ) = xp xp( ) n τ b L( y N, k, b, τ, H) = τ xp y N xp( kt ) π = n τ b L( y N, k, b, τ, H) τ xp { y N xp( kt ) } = { } n n τ ( ) { ( )} b L y N, k, b, τ, H τ xp y N xp kt. (3.8) = m qu =,..., n, {,,, } y y y y H são os hprparâmtros: α β. = n D poss da vrossmlhança (3.8), das prors (3.6) (3.7) por ntrmédo do torma d Bays (.5), a dstrbução postror conjunta do modlo (.) pod sr dscrta da sgunt forma: (,,, τ, ) (,,, τ, ) (,,, τ ) (,,, τ, ) (,,, τ, ) (,, ) ( τ ) p N k b y H L y N k b H p N k b H p N k b y H L y N k b H p N k b p H n τ p N k b y H y N kt = x v x τ xp { } n b (,,, τ, ) τ xp xp( ) { β τ } α x 7

41 (,,, τ, ) p N k b y H n + α τ x n τ b (3.9) x xp β + { y N xp ( kt ) }. = Postror conjunta para o modlo não lnar d Cabrra Analogamnt, para a obtnção da postror conjunta (3.3) do modlo não lnar d Cabrra (.3), foram stablcdas: ) uma pror não nformatva para os parâmtros N, k k, (,, ) p N k k z. (3.) Para a prcsão, τ = σ, assum-s como pror: τ ( ) ) uma dstrbução Gama com parâmtros ( α, β ), p α ( τ α, β ) τ xp{ β τ }. (3.) Uma vz qu d N(, τ ), ntão, a vrossmlhança para o modlo (.3) pod sr scrta da sgunt forma: n τ L( y N, k, k, τ, H) = xp y N xp( kt ) k t { } = πσ n τ L( y N, k, k, τ, H) = τ xp y N xp( kt ) kt π = n τ L( y N, k, k, τ, H) τ xp { y N xp( kt ) = kt } { } n n τ ( ) { ( ) } L y N, k, k, τ, H τ xp y N xp kt kt. (3.) = m qu =,..., n, {,,, } y y y y H são os hprparâmtros: α β. = n 8

42 D poss da vrossmlhança (3.), das prors (3.) (3.) por ntrmédo do torma d Bays (.5), a dstrbução postror conjunta do modlo (.3) pod sr dscrta como: ( τ ) ( τ ) ( ( τ ) ( τ ) ( ) p N, k, k, y, H L y N, k, k,, H p N, k, k, τ H) p N, k, k, y, H L y N, k, k,, H p N, k, k p τ H ( ) n n τ p( N, k, k, τ y, H) τ xp y N xp( kt ) k t x z x τ xp { } = (,,, τ yh, ) pn k k n + α { β τ } α x τ x n τ (3.3) x xp β + { y N xp ( kt ) kt }. = A stmação dos parâmtros fo fta por mo d rotnas laboradas no frwar R, para o procdmnto d amostragm, utlzou-s o amostrador d Gbbs o Mtropols Hastngs. No procsso, foram gradas 45. traçõs, consdrando-s um burn-n d 5., sto é, as 5. prmras traçõs foram dscartadas, um thn a cada traçõs para assgurar a ndpndênca da amostra. Os modlos não lnars (.), (.) (.3) foram comparados por ntrmédo do Fator d Bays do BIC (Paulno t al., 3). Dssa forma, obtv-s uma amostra d tamanho 4. para cada cada (parâmtro). O pacot Baysan Output Analyss (BOA) do Sstma Computaconal Estatístco R, conform R Dvlopmnt Cor Tam (4), fo utlzado para ralzar nfrêncas sobr os parâmtros dos modlos (.), (.) (.3). 9

43 4 RESULTADOS E DISCUSSÃO 4. Obtnção das postrors condconas compltas para o modlo d Stanford & Smth D acordo com a quação (.7), na sção (.3.), a postror condconal complta para o parâmtro N do modlo (.), sgundo a sua postror conjunta (3.5), é dada por: (, τ,, ) p N k y H = (,, τ, ) (,, τ, ) p N k y H p N k y H dn n τ ( ) { ( )} p N k, τ, y, H xp y N xp kt. = (4.) Consdrando-s a = xp( kt ) a como vtor dos lmntos para o tmpo, com como: =,,, n y= { y, y,, y n } pod-s dfnr (4.) τ ( ) ( )( ' p N k, τ, y, H xp y Na y Na) τ xp [ ' ' ' yy yna ' an ' y+ an ' Na ] τ xp yy ' yna ' any ' + Naa ' τ ' xp N ( a' a) a' y ( a' a) N ( a' a) a' y qu é o núclo d uma dstrbução normal. Portanto, a postror condconal complta para N é uma normal, ou sja, ( τ ) ( N k τ y H) N ( a a) a y ( a a),,, ' ', ', (4.) a 3

44 m qu ' = xp( ) aa kt ( aa ' ) ay ' = Logo, a postror condconal complta para forma: ( τ ) N xp xp ( kt ) ( kt ) y. pod sr rscrta da sgunt xp( kt) y τ N k,, y, H N,. (4.3) xp( kt) xp( kt) Portanto, nst caso, utlza-s o amostrador d Gbbs, pos a dstrbução (4.3) possu uma forma fchada, ou sja, a dstrbução a postror condconal (4.3) é conhcda. Agora, a postror condconal complta para o parâmtro (.) sgundo a sua postror conjunta (3.5) com bas na quação (.7), é: parâmtro (, τ, yh, ) pk N = (,, τ, ) (,, τ, ) p N k y H p N k y H dk n τ ( ) { ( )} pk N, τ, yh, xp y N xp kt. = k do modlo (4.4) A dstrbução (4.4) não possu uma forma fchada, ntão, para o k, não é possívl chgar a uma dstrbução postror condconal conhcda, portanto, é ncssáro s utlzar o algortmo d Mtropols- Hastngs para s amostrar dsta dstrbução. Analogamnt, basando-s na quação (.7), a condconal complta para o parâmtro τ do modlo (.), sgundo a sua postror conjunta (3.5), é: ( τ,,, ) p N k y H (,, τ, ) (,, τ, ) p N k y H = p N k y H dτ 3

45 ( τ,,, ) p N k y H τ n + α x n τ (4.5) xxp β + { y N xp ( kt) }. = Por nspção comparação com a dstrbução Gama, tm-s: α * n n * = + α β { ( )} = β + y N xp kt. = Logo, a dstrbução a postror condconal complta para τ é uma Gama, ou sja, n * n * ( ) { ( )} τ N, k, y, H G α = + α, β = β + y N xp kt. (4.6) Portanto, nst caso, utlza-s o amostrador d Gbbs, pos a dstrbução (4.6) possu uma forma fchada, ou sja, a dstrbução a postror condconal (4.6) é conhcda. = 4. Obtnção das postrors condconas compltas para o modlo d Maron Utlzando a msma lnha d racocíno aprsntada antrormnt para o modlo (.), a postror condconal complta para o parâmtro do modlo (.), sgundo a sua postror conjunta (3.9), basado na quação (.7), é dada por: (,, τ,, ) p N k b y H = (,,, τ, ) (,,, τ, ) p N k b y H p N k b y H dn n τ ( ) { ( )} b p N k, b, τ, y, H xp y N xp kt. (4.7) = N 3

46 b Consdrando-s c = xp( kt ) c como vtor dos lmntos c para o tmpo, com =,,, n y= { y, y,, y n }, pod-s dfnr (4.7) como: τ ( ) ( )( ' p N k, b, τ, y, H xp y Nc y Nc) τ xp [ yy ' yn ' ' c cny ' + cn ' Nc ] τ xp yy ' yn ' c cny ' + Ncc ' τ ' xp N ( cc ' ) cy ' ( cc ' ) N ( cc ' ) cy ' qu é o núclo d uma dstrbução normal. Portanto, a postror condconal complta para N é uma normal, ou sja, ( N kb yh) N( cc) cy ( cc),,,, ' τ ', τ ' m qu ( ), (4.8) ' b cc= xp( ) kt ( cc ' ) cy ' = xp xp b ( kt ) b ( kt ) y. Assm, a dstrbução postror condconal complta para do modlo (.) é uma normal, ou sja, b xp( kt ) y τ N k, b,, y, H N,. (4.9) b b xp( kt ) xp( kt ) ( τ ) Portanto, nst caso utlza-s o amostrador d Gbbs, pos a dstrbução (4.9) possu uma forma fchada, ou sja, a dstrbução a postror condconal (4.9) é conhcda. N 33

47 As postrors condconas compltas dos parâmtros k b do modlo (.), sgundo a sua postror conjunta (3.9) por mo da quação (.7), são, rspctvamnt: (,, τ,, ) pk N b yh = (,,, τ, ) (,,, τ, ) p N k b y H p N k b y H dk n τ ( ) { ( )} b pk N, b, τ, yh, xp y N xp kt, (4.) = (,, τ,, ) pb N k yh = (,,, τ, ) (,,, τ, ) p N k b y H p N k b y H db n τ ( ) { ( )} b pb N, k, τ, yh, xp y N xp kt. (4.) t= As dstrbuçõs (4.) (4.) não possum formas fchadas ntão não é possívl chgar a uma dstrbução condconal conhcda para os parâmtros k b, portanto, é ncssáro utlzar o algortmo d Mtropols-Hastngs para s amostrar dstas dstrbuçõs. Novamnt, por ntrmédo da quação (.7), a postror condconal complta para o parâmtro τ do modlo (.), sgundo a sua postror conjunta (3.9), é: ( τ,,,, ) p N k b y H = (,,, τ, ) (,,, τ, ) p N k b y H p N k b y H dτ ( τ,,,, ) p N k b y H τ n + α x n τ b x xp β + { y N xp ( kt ) }. = Por nspção comparação com a dstrbução Gama, tm-s: α ** n { }. n ** b = + α β = β + y N xp( kt ) = (4.) 34

48 Sndo assm, a dstrbução postror condconal complta para τ é uma Gama, ou sja, n n { }.(4.3) ** ** b ( τ N, k, b, y, H) G α = + α, β = β + y N xp( kt ) Portanto, nst caso, utlza-s o amostrador d Gbbs, pos a dstrbução (4.3) possu uma forma fchada, ou sja, a dstrbução a postror condconal (4.3) é conhcda. = 4.3 Obtnção das postrors condconas compltas para o modlo d Cabrra parâmtro Por mo da quação (.7), a postror condconal complta para o N do modlo (.3), sgundo a sua postror conjunta (3.3), é dada por: (,, τ,, ) p N k k y H = (,,, τ y, H) (,,, τ, ) p N k k p N k k y H dn n p N k k y H τ y N kt k t = { } (,, τ,, ) xp xp ( ). (4.4) y y y y, y* = y k t, y * como vtor dos Consdrando-s {,,, } = n lmntos *, d = xp( kt ) d como vtor dos lmntos para o y d tmpo, com =,,, n pod-s dfnr (4.4) como: τ * * ( ) ( )( ' p N k, k, τ, y, H xp y N d y Nd) τ *' * xp y y y* ' N ' * ' ' d d Ny + d N Nd τ *' * * * xp y y y ' N ' ' d d Ny + Nd d 35

49 τ ' * * p( N k, k,,, ) xp ( ' ) ' ( ' ) ( ' ) ' τ y H N d d d y d d N d d d y qu é o núclo d uma dstrbução normal. Portanto, a postror condconal complta para N é uma normal, ou sja, * ( N k, k, τ, y, H) N ( d d) d y, ( d d) m qu para ( τ ) ' ' ', (4.5) dd ' = xp( kt ) ( dd ' ) N dy ' * = ( kt) ( y kt ). ( kt ) xp xp D acordo com (4.5), a dstrbução postror condconal complta do modlo (.3) pod sr rscrta como: xp( kt )( y kt ) τ ( N k, k, τ, y, H) N,. (4.6) xp( kt ) xp( kt ) Portanto, nst caso, utlza-s o amostrador d Gbbs, pos a dstrbução (4.6) possu uma forma fchada, ou sja, a dstrbução a postror condconal (4.6) é conhcda. Basando-s, novamnt, na quação (.7), a postror condconal complta para o parâmtro k do modlo (.3), sgundo a sua postror conjunta (3.3), é dada por: (,, τ,, ) pk N k yh = (,,, τ y, H) (,,, τ, ) p N k k p N k k y H dk n τ ( ) { ( ) } pk N, k, τ, yh, xp y N xp kt kt. (4.7) = A dstrbução (4.7) não possu uma forma fchada, ntão, para o parâmtro k não é possívl chgar a uma dstrbução condconal conhcda, 36

50 portanto, é ncssáro s utlzar o algortmo d Mtropols-Hastngs para s amostrar dsta dstrbução. Analogamnt, com bas na quação (.7), a postror condconal complta para o parâmtro k do modlo (.3), sgundo a sua postror conjunta (3.3), é dada por: (,, τ,, ) pk N k yh = (,,, τ y, H) (,,, τ, ) p N k k p N k k y H dk n τ ( ) { ( ) } pk N, k, τ, yh, xp y N xp kt kt. (4.8) t= Consdrando-s y= { y, y,, y n }, y** = y xp( ) N kt, y ** como vtor dos lmntos (4.8) como: y** t como um vtor dos tmpos, pod-s dfnr τ ** ** ( ) ( )( ' pk N, k, τ, yh, xp y kt y kt ) τ xp **' ** ** ' ' ** ' ' y y y kt t ky + t k kt. τ **' ** ** ** xp y y y ' k ' ' t t ky + ktt τ ' xp k ** ( t' t) t' y t ( ' ) ( ' ) t k ' ** t t t y qu é o núclo d uma dstrbução normal. Portanto, a postror condconal complta para k é uma normal, ou sja, ** ( k k, N, τ,, ) (( ' ) ', ' y H N t t t y τ ( t t) ) m qu tt ' = t ( tt ' ) ty ' ** =, (4.9) { xp( ) } t y N kt t. 37

51 Logo, a dstrbução postror condconal complta para k pod sr rscrta como: ( τ ) { xp( ) } t y N kt k N, k,, y, H τ N, t t. (4.) Portanto, nst caso utlza-s o amostrador d Gbbs, pos a dstrbução (4.) possu uma forma fchada, ou sja, a dstrbução a postror condconal (4.) é conhcda. Analogamnt, com bas na quação (.7), a condconal complta para o parâmtro τ do modlo (.3), sgundo a sua postror conjunta (3.3), é: ( τ,,,, ) p N k k y H = (,,, τ y, H) (,,, τ, ) p N k k p N k k y H dτ ( τ,,,, ) p N k k y H τ n + α x n τ x xp β + { y N xp ( kt ) kt }. = Por nspção comparação com a dstrbução Gama tm-s: α *** n n *** = + α β { ( ) } = β + y N xp kt k t. = (4.) Gama, ou sja, Logo, a dstrbução postror condconal complta para τ é uma n *** n *** ( ) { ( ) } τ N, k, k, y, H G α = + α, β = β + y N xp kt kt. (4.) Portanto, nst caso, utlza-s o amostrador d Gbbs, pos a dstrbução (4.) possu uma forma fchada, ou sja, a dstrbução a postror condconal (4.) é conhcda. = 38

52 4.4 Análs dos dados No prsnt trabalho, a montoração da convrgênca das cadas fo ralzada por mo d métodos formas nformas (sção 3.3). A montoração formal fo ralzada por mo do crtéro d Gwk do crtéro d Raftry & Lws. Para o crtéro d Gwk, xstrão vdêncas contra a convrgênca da cada, s o p-valor stmado for mnor qu um nívl d sgnfcânca pré-fxado plo psqusador, nquanto qu, no crtéro d Raftry & Lws, caractrzam como não convrgênca da cada s o fator d dpndênca (FD) aprsntar valor maor qu cnco. Com bas na Tabla, pod-s vrfcar qu o crtéro d Gwk não aprsntou nnhuma vdênca contra a convrgênca dos parâmtros dos modlos, a 5%, com rlação ao crtéro d Raftry & Lws obsrva-s qu os fators d dpndênca para cada parâmtro dos modlos são nfrors a cnco, o qu caractrza a convrgênca das cadas. Portanto, os modlos (.). (.) (.3) convrgram. TABELA Fator d dpndênca do crtéro d Raftry & Lws (FD) p- valor do crtéro d Gwk dos modlos (.), (.) (.3). Modlo Parâmtro FD Gwk p-valor Stanford & Smth N,9,636 k,534,9899 τ,997,998 Maron N,9,9565 k,556,995 b,3,9845 τ,997,9834 Cabrra N,439,8953 k,974,999 k,9,955 39

53 τ,3,994 A montoração nformal da convrgênca da cada d cada parâmtro dos modlos (.), (.) (.3) s ralzou por mo d técncas gráfcas basadas nas trajtóras (Runnng Man) traços das cadas. Analsando-s as Fguras, 3 4, vrfca-s qu todas as cadas convrgram, pos, ao obsrvars a trajtóra das cadas ao longo das traçõs, vrfca-s qu os gráfcos, após um príodo ncal, aprsntam, rptdamnt, o msmo comportamnto qualtatvo quanttatvo. Nas Fguras, 3 4, por ntrmédo do traço, obsrvas qu as cadas s ncontram num stado d qulíbro, ou sja, as cadas convrgram. Portanto, os modlos (.). (.) (.3) atngram a convrgênca. Trajtóra da cada do parâmtro Traço da cada do parâmtro N k τ 4

54 FIGURA : Trajtóras traços das cadas dos parâmtros modlo d Stanford & Smth. Trajtóra da cada do parâmtro N, k τ do Traço da cada do parâmtro N k b τ FIGURA 3: Trajtóras traços das cadas dos parâmtros N, k, b τ do 4

55 modlo d Maron. Trajtóra da cada do parâmtro Traço da cada do parâmtro N k k τ 4