Investigação da condução de calor unidimensional e bidimensional em regime permanente

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1 Invstgação da condução d calor undmnsonal bdmnsonal m rgm prmannt Julano Evádo Baumr, Vvana Cocco Maran Graduação m Engnhara Mcânca Pós-Graduação m Engnhara Mcânca PPGEM Pontfíca Unvrsdad Católca do Paraná - PUCPR Rua Imaculada Concção, 55, , Curtba, PR E-mal: julano.baumr@trra.com.br, vvana.maran@pucpr.br Rsumo. O prsnt trabalho nvstga o procsso d transfrênca d calor por condução m algumas gomtras. Prmro nvstga-s a condução d calor m uma pard plana, m rgm prmannt. Após studa-s a condução m uma pard plana sm gração d nrga com gração d nrga unform no su ntror. Outro problma nvstgado é a condução m uma placa bdmnsonal d largura (L) altura (W) xplorando dfrnts condçõs d contorno. Quando possívl obtém-s a solução analítca através da ntgração das uaçõs ou através do método d sparação d varávs. Os métodos numércos d dfrnças fntas volums fntos são utlzados para rsolvr as uaçõs dfrncas os rsultados comparados ntr s com a solução analítca.. Introdução Ao ouvr falar no trmo transfrênca d calor, mutas vzs as pssoas não s dão conta d u st assunto stá muto prsnt m suas vdas. Sja tomando um banho d sol na praa, ou suntando uma chalra d água sobr o fogão. Pod sr num da fro d nvrno, ond o calor do ntror da casa é transfrdo prddo para o xtror, através das pards. Em todas ssas stuaçõs mutas outras o calor é o prsonagm prncpal u pod sr transfrdo por três modos: condução, convcção /ou radação. A abordagm dst projto stá na condução, u ncssta d um mo sóldo, ludo ou gasoso para s propagar []. Os problmas studados vsam às condçõs d rgm prmannt (o tmpo não nflu na transfrênca d calor), m coordnadas cartsanas (x, y, z). Anda, abordou-s no prsnt trabalho a condução m uma duas dmnsõs. Ests problmas são modlados por uaçõs dfrncas, u podm sr rsolvdas na forma analítca /ou numérca. Postrormnt, a solução dssas uaçõs fo mplmntada no Matlab no Ansys, d modo a obtr a rprsntação gráfca para a solução. Ests gráfcos mostram a forma como s dá a dstrbução do calor no problma m ustão. Por fm, compara-s a solução analítca com a numérca d cada problma, vrfcando-s nos métodos numércos o númro d traçõs ncssáro para a convrgênca, a stmatva d rro adotada o rfno d malha.. Euaçõs Govrnants A uação dfrncal ordnára d sgunda ordm u xprssa a condução d calor m coordnadas cartsanas é: k x x ond + x na drção x, k k y + y z z = c p t Na uação () prcb-s a prsnça do trmo α, chamado d dfusvdad térmca. Quanto maor o valor d α mas rapdamnt o calor rá s dfundr através do matral. D poss da uação dfrncal da condução d calor partu-s para a análs das smplfcaçõs u podm sr adotadas m cada problma. S a condução for m rgm prmannt tm-s t = 0, uando for m um domíno undmnsonal, por xmplo, com a tmpratura varando apnas na drção x tm-s y = z = 0, uando o domíno é bdmnsonal, por xmplo, com a tmpratura varando nas drçõs x y tm-s z = 0. + ρ () é a componnt do gradnt d tmpratura tmpratura na drção y, y é a componnt do gradnt d z é a componnt do gradnt d tmpratura na drção z, t é a taxa d varação da tmpratura com o tmpo, c p é o calor spcífco [J/kgºC], ρ é a massa spcífca [kg/m 3 ], k é a condutvdad térmca [W/mºC] é a taxa d gração d nrga [W/m 3 ] []. Anda pod-s tr uma xprssão smplfcada uando a condutvdad térmca é constant, scrta na forma d drvadas parcas d sgunda ordm, como: x y z k =. () α t 3. Pards Planas Os problmas studados no prsnt trabalho rfrms a pards planas, com sm gração d nrga no su ntror, a placas bdmnsonas d spssura dsprzívl. Prmramnt as pards planas srão nvstgadas analtcamnt numrcamnt sus rsultados aprsntados. Na Fgura é aprsntada uma pard plana, sm gração d nrga ntrna, sndo composta d um únco Bolssta d Incação Cntífca PIBIC/PUCPR

2 matral. Est é um problma u pod sr rsolvdo pla uação da condução d calor undmnsonal xprssa por: d = + + (5) x = 0 (3) Nst problma, a pard possu uma tmpratura a mas baxa m x = 0, mas alta, b, m x = L. Sndo assm, ssas são consdradas as condçõs d contorno dst problma. Substtundo a uação (5) na uação (3) smplfcando obtém-s: = + + A solução através do Método dos Volums Fntos srá omtda para st problma. S a pard plana possu gração d nrga a uação (3) fca: (6) a b x = / k, (7) cuja solução analítca é, L Fgura : Pard plana unform A solução analítca é obtda ntgrando-s duas vzs a uação (3) usando as condçõs d contorno: x ( x ) = + Cx + C (8) k Para obtr as constants d ntgração da uação (8) pod-s nvstgar uatro condçõs d contorno, conform lustrado na Fgura 3. b a ( x) = x + a (4) L A solução numérca fo obtda va Método da Dfrnças Fntas (MDF). Para sso xpandu-s a tmpratura nos pontos + - m torno do ponto va sér d aylor, usando dscrtzação struturada, conform aprsntado na Fgura [], - + Fgura : Dscrtzação undmnsonal para o MDF. d d + = + + +! d d = + +! Assm a partr das duas uaçõs antrors obtém-s: Fgura 3: Aspcto da dstrbução da tmpratura ao longo d pards com gração ntrna d calor. 3. Condçõs d Contorno Assmétrcas Utlzando as condçõs d contorno assmétrcas aprsntadas na Fgura 3a a solução analítca é: + L k ( x) = + ( L x) x a (9)

3 ond = b a. A uação (7), para as msmas condçõs d contorno, srá rsolvda a sgur plo método d dfrnças fntas usando como lustração uma malha formada por 6 pontos nodas, conform aprsntado na Fgura 4 [3]. sts dos volums os rsponsávs nst problma plo transport das condçõs d contorno para o ntror do domíno. A dscrtzação plo MVF é aprsntada a sgur para os pontos nodas ntrnos ao domíno. Intgrando a uação (7) no volum d control P, dtalhado na Fgura 6, tm-s, A B - W P + E Fgura 4: Malha usada m Dfrnças Fntas. Através do MDF a dscrtzação para os pontos nodas ntrnos ao domíno fornc os sgunts valors para os cofcnts nodas para o trmo font: A = k/ (cofcnt nodal na fac lst) A = k/ (cofcnt nodal na fac ost) A p = A + A (cofcnt nodal cntral) S =. (trmo font) Logo a uação dscrta plo MDF para n-, é: ( A + A S )/ Ap = + + (0) O Método dos Volums Fntos (MVF) também fo utlzado para obtr a solução numérca. Exstm duas manras d s obtr as uaçõs aproxmadas va MVF. A prmra forma é a ralzação d balanços da proprdad m ustão nos volums lmntars ou volums fntos, a sgunda forma é, partndo-s da uação dfrncal na forma consrvatva ntgrá-la sobr o volum lmntar, no spaço no tmpo (s o rgm for transnt). Ambos procssos são uvalnts ([4], [5]). Usando a malha struturada aprsntada na Fgura 4 o armaznamnto va MVF srá fta d forma dfrncada conform aprsntado na Fgura 5. A / Fgura 5: Malha usada m Volums Fntos. Usando o MVF dv-s obsrvar na Fgura 5 u a dstânca do ponto nodal cntral a fac ost do ponto nodal 5 até a fac lst é a mtad do spaçamnto da malha. Assm, os volums 5 trão cofcnts A A rspctvamnt dfrncados, bm como o trmo font srá dfrnt dos pontos nodas ntrnos na malha. São B Fgura 6: Dtalh d um volum ntrno, P. d d k = d k d k d k = = Usando a ntrpolação Dfrnça Cntral para obtr os fluxos dfusvos nas facs lst ost consdrando a condutvdad térmca constant tm-s: E k P P k W = Assm arrumando a uação os cofcnts fcam, S p = 0 (part do trmo font) S u =. (part do trmo font) A = k/ (cofcnt nodal na fac lst) A = k/ (cofcnt nodal na fac ost) A p = A + A - S p (cofcnt nodal cntral) a uação dscrta forncda plo MVF para os volums d control ond n-, é: ( A + + A Su )/ Ap + () = Já para o volum d control, aprsntado na Fgura 5, tm-s: A = k/ A = 0 S p = -k/; A p = A + A - S p S u =. + k A / = A + + S / A () ( u ) p Para o volum d control 5, aprsntado na Fgura 5, tm-s: A = 0 A = k/ S p = -k/;

4 A p = A + A - S p S u =. + k B/ = A + S / A (3) ( u ) p 3. Condçõs d Contorno Smétrcas Utlzando as condçõs d contorno smétrcas aprsntadas na Fgura 3b a solução analítca é: + k ( x) = ( Lx x ) a (4) A Fgura 3c aprsnta apnas a mtad do domíno d cálculo da Fgura 3b rprsntando assm o msmo problma d condução d calor. Nsta fgura tm-s uma pard ond o plano mdano é adabátco, ou sja, não ocorr troca d calor nsta fac. As condçõs d contorno são x) x= 0 = 0 (L) = a a solução analítca srá, + k ( x) = ( L x ) a (5) Doravant srá aprsntada a solução numérca tanto m dfrnças fntas como m volums fntos apnas para as condçõs d contorno da Fgura 3c, conform sgu, para a malha numérca aprsntada nas Fguras 4 5, rspctvamnt. Para o ponto nodal da Fgura 4, va MDF tm-s: A = k/ A p = A S =. A = 0 = (A + + S)/A p (6) Para os dmas pontos nodas xcto para n tm-s: A = k/ A = k/ A p = A + A S =. = (A + + A - + S)/A p (7) = n = a Usando o MVF na Fgura 5 tm-s para o volum d control, A = k/ A = 0 S p = 0 A p = A + A - S p S u =. = (A + + S u )/A p (8) Para o volum d control 5 tm-s: A = 0 A = k/ S p = -k/ A p = A + A - S p S u = + k a / = (A - + S u )/A p (9) Já para os dmas volums d control tm-s: A = k/ A = k/ S p = 0 S u =. A p = A + A - S p = (A + + A - + S u )/A p (0) 3.3 Condçõs d Contorno d Convcção Utlzando as condçõs d contorno: adabátca d convcção, nas facs surda drta, rspctvamnt, conform lustrado na Fgura 3d, a solução analítca fca: L + k h ( x) = ( L x ) + nf () Rsolvndo a uação (7) para as condçõs d contorno aprsntadas na Fgura 3d tm-s através do MDF a sgunt solução para o ponto nodal, A = k/ A = 0 S u =. A P = A = (A + + S)/A p () O ponto nodal 6 srá o rsponsávl pla transfrênca d calor por convcção através do domíno,tndo: A = 0 A = A p = + h/k S = h.. nf /k = (A - + S)/A p (3) Para o ponto nodal 5 tm-s A = 0 A = k/ Ap = A S =. - h( n - nf ) = (A + + A - + S)/A p (4) Para os dmas pontos nodas tm-s: A = k/ A = k/ A p = A + A S =. = (A + + A - + S)/A p (5) 4. Placas Bdmnsonas O outro problma nvstgado no prsnt trabalho rfr-s à condução d calor m placas bdmnsonas. Prmro fxou-s a tmpratura m cada um dos uatro lados, conform lustrado na Fgura 7. Consdrando rgm prmannt, placa unform (condutvdad térmca constant), sm gração ntrna d nrga, a uação () fca:

5 d d + dy = 0 (6) Fgura 7: Placa bdmnsonal. A solução analítca do problma lustrado na Fgura 7 é mas smpls através da admnsonalzação, θ =. Assm, as condçõs d contorno são θ ( 0, y) = 0; θ ( L, y) = 0; θ ( x, y) = 0; θ ( x, ) = a uação (6) s transforma com a admnsonalzação na uação (7), d θ d θ + = 0 dy (7) Usando o método analítco da sparação d varávs, tm-s a solução parcal para as duas uaçõs dfrncas ordnáras: Y X λy λy ( y) = C + C ( x) C cos( x) C sn( λx) (8) = (9) 3 λ + 4 Aplcando as condçõs d contorno, nas uaçõs (8) (9) tm-s a solução analítca: ( x, y) ( ) = n = ( ) n+ + nπx nπy sn snh + nπ nπw L L snh L 5. Rsultados Analítcos Numércos As soluçõs analítcas numércas obtdas são aprsntadas nsta sção. A Fg. 8 mostra u a tmpratura vara lnarmnt com x uando o problma d condução d calor undmnsonal m rgm prmannt m uma pard plana sm gração d calor com condutvdad térmca constant é rsolvdo. Nota-s u para uma malha numérca pouco rfnada, formada apnas por 6 pontos nodas (MDF) 5 volums d control (MVF) a solução numérca é gual à solução analítca. Fgura 8: Dstrbução d tmpratura analítca numérca m uma pard plana sm gração d calor. Na Fg. 9 lustra-s o comportamnto da dstrbução d tmpratura m uma pard placa com gração unform d nrga térmca por undad d volum, = 500 W/m 3, as suprfícs stão mantdas as tmpraturas A = 00 K B = 00 K. Nota-s nsta fgura u ao usar a pard plana d chumbo, ond a condutvdad térmca é 35,3 W/m.K, a tmpratura tm um acntuado aumnto no ntror da pard s comparado com uma pard d alumíno puro, ond a condutvdad térmca é 37 W/m.K, sto ocorr poru a tmpratura obtda é nvrsamnt proporconal a condutvdad térmca, conform uação (0), assm como a condutvdad térmca do chumbo é mnor tms st comportamnto. A Fg. 0 aprsnta a dstrbução d tmpratura para as msmas condçõs da Fg. 9, xcto u nsta fgura usou-s apnas 6 pontos nodas 5 volums d control a solução numérca é concdnt com a analítca. Nsta fgura fo utlzada a condutvdad térmca do alumíno. A Fg. lustra a dstrbução d tmpratura m uma pard plana com gração unform d calor com suprfíc adabátca no plano ntrmdáro, conform aprsntado na Fg. (3c). A tmpratura na fac drta é fxada m 00 K. Nota-s u a solução numérca acompanhou o rsultado obtdo pla solução analítca. A Fgura aprsnta o prfl d tmpratura analítco numérco usando como condçõs d contorno = 50 W/m 3, h = 000 W/m K = 300 K. Prcb-s nsta fgura u há um aumnto da tmpratura ntrna da pard dvdo a nrga térmca no ntror d toda a placa, obsrva-s também u com o plano adabátco o prfl d tmpratura forma um ângulo rto, caractrístca dsta condção d contorno. Na Fgura 3 fo xplorado o fto do cofcnt d transfrênca d calor por convcção, h, na dstrbução d tmpratura, usou-s h = W/m K u são valors rprsntatvos para o rsframnto com ar com um líudo, rspctvamnt []. Nota-s na fgura u com h = 00 W/m K xst um aumnto sgnfcatvo na tmpratura ao longo d toda a pard plana, o u ocorr dvdo a tmpratura sr nvrsamnt proporconal a st cofcnt. A Fgura 4 aprsnta as sotrmas para a placa bdmnsonal da Fgura 7.

6 problmas d dfusão d massa, ond o procsso é smlhant a transfrênca d calor por condução nvstgar novas abordagns do MDF MVF. Fgura 9: Dstrbução d tmpratura m uma pard plana com gração d calor condçõs d contorno assmétrcas. Fgura : Dstrbução d tmpratura m uma pard plana com gração d calor condçõs d contorno: adabátcas com convcção. Fgura 0: Dstrbução d tmpratura analítca numérca m uma pard plana com gração d calor condçõs d contorno assmétrcas. Fgura 3: Dstrbução d tmpratura varando h. Fgura : Dstrbução d tmpratura analítca numérca m uma pard plana com gração d calor condçõs d contorno smétrcas. 6. Conclusõs Nst trabalho nvstgamos problmas nvolvndo transfrênca d calor através da condução. Notou-s u na prsnça d um gradnt d tmpratura, a transfrênca d nrga por condução, ocorr no sntdo da dmnução d tmpratura, além da proprdad do matral nfluncar sgnfcatvamnt na transfrênca d nrga. As uaçõs foram rsolvdas numrcamnt analtcamnt obtndo bom dsmpnho m todos os problmas nvstgados. Como süênca a st trabalho, propomos rsolvr numrcamnt analtcamnt, uando possívl, Fgura 4: Isotrmas na condução d calor m uma placa bdmnsonal. Rfrêncas [l] F. P. Incropra, D. P. DWtt, Fundamntos d ransfrênca d Calor d Massa, LC, Ro d Janro, 998. [] G. D. Smth, Numrcal Soluton of Partal Dffrntal Euatons Fnt Dffrnc Mthods, 3 a d., Oxford, 003. [3] J. H.Frzgr, M. Prc, Computatonal Mthods for Flud Dynamcs, 3 a d., Sprngr, 00. [4] C. R. Malska, ransfrênca d Calor Mcânca dos Fludos Computaconal, LC, Ro d Janro, 005. [5] H. K. Vrstg, W. Malalaskra, An Introducton to Computatonal Flud Dynamcs, Longman Scntfc & chncal, 995.