UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO TECNOLÓGICO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA CARLOS ALEXANDRE SANTÓRIO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO TECNOLÓGICO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA CARLOS ALEANDRE SANTÓRIO Um Novo Prfl Intrpolant Aplcado ao Método d Volums Fntos m Stuaçõs Un Bdmnsonas Vtóra (ES) 00

2 CARLOS ALEANDRE SANTÓRIO Um Novo Prfl Intrpolant Aplcado ao Método d Volums Fntos m Stuaçõs Un Bdmnsonas Dssrtação aprsntada ao Programa d Pós-Graduação m Engnhara Mcânca do Cntro Tcnológco da Unvrsdad Fdral do Espírto Santo como rqusto parcal para obtnção do grau d Mstr m Engnhara Mcânca. Orntador: Prof. Dr. Paulo César Olvra. Vtóra (ES) 00

3 Dados Intrnaconas d Catalogação-na-publcação (CIP) (Bblotca Cntral da Unvrsdad Fdral do Espírto Santo, ES, Brasl) S37n Santóro, Carlos Alxandr, 970- Um novo prfl ntrpolant aplcado ao método d volums fntos m stuaçõs un bdmnsonas / Carlos Alxandr Santóro f. : l. Orntador: Paulo César Olvra. Dssrtação (mstrado) Unvrsdad Fdral do Espírto Santo, Cntro Tcnológco.. Método dos volums fntos.. Análs numérca. 3. Spln, Tora do. I. Olvra, Paulo César. II. Unvrsdad Fdral do Espírto Santo. Cntro Tcnológco. III. Título. CDU: 6

4 Um Novo Prfl Intrpolant Aplcado ao Método d Volums Fntos m Stuaçõs Un Bdmnsonas CARLOS ALEANDRE SANTÓRIO Dssrtação submtda ao Programa d Pós-Graduação da Unvrsdad Fdral do Espírto Santo como rqusto parcal para obtnção do título d Mstr m Engnhara Mcânca. Aprovada por: Prof. Dr. Paulo César Olvra (Orntador) Prof. Dr. Carlos Frdrch Lofflr Nto Prof. Dr. Wb Mansur Vtóra (ES), 7 d dzmbro d 00.

5 DEDICATÓRIA Ddco st trabalho n mmoram do mu rmão CHRISTIANO SABADINI IACOMINI.

6 AGRADECIMENTOS Prmramnt a Dus a Nossa Snhora da Pnha pla saúd a protção dvna, pos sm las nada sra possívl. À mnha famíla plo apoo comprnsão para a conclusão dst trabalho, prncpalmnt à mnha sposa Marcln aos mus flhos, Flp Caroln. Ao Prof. Paulo César Olvra pla mpcávl orntação, pla amzad plo constant apoo força nos momntos d dsntusasmos. Aos colgas, profssors funconáros do PPGEM pla colaboração obtda nsss anos d studos.

7 RESUMO Nst trabalho, um novo squma d dscrtzação, para o método d volums fntos, dnomnado FLE, fo proposto para a smulação d problmas govrnados por quaçõs dfrncas do tpo líptco hprbólco. Su dsmpnho fo avalado através d problmas tsts orundos da ltratura d métodos numércos por tsts construídos ao longo do trabalho. O novo squma mostrou caractrístcas d convrgênca stabldad compatívs comparávs aos squmas tradconas d Dfrnça Cntral, Powr Law Flux-Spln. Sua prcsão mostrou-s dpndr do tpo d problma físco. Problmas físcos govrnados por quaçõs dfrncas parcas líptcas nvolvndo convcção-dfusão, qu possum uma dstrbução da varávl fluxo, smlar àqula proposta plo squma FLE, aprsntaram uma solução com um nívl d rro mnor, m comparação com os squmas rstants. No caso d problmas tradconas dsta class, ond não haa a prsnça d tal caractrístca spcífca, os rsultados s mostraram ntrmdáros. Para problmas hprbólcos, msmo com uma pobr dscrtzação m trmos d dfrnça fnta para o trmo transnt, o novo squma mostrou caractrístcas ntrssants para a smulação dst tpo d fnômno, no sntdo d, msmo para malhas não rfnadas, convrgr para a solução d rfrênca numa taxa maor qu os dos outros squmas aqu mnconados usados na comparação.

8 ABSTRACT In ths rport, a nw schm of dscrtzaton for th mthod of fnt bulks, calld FLE whch was proposd for a smulaton of problms ruld by dffrntal quatons as typ of llptc and hyprbolc. Its prformanc was apprasd through tsts from th ltratur of numrc mthods and through tsts dvlopd for all th rport. Th nw schm showd faturs of convrgnc and compatbl and comparabl stablts to th tradtonal schms of Cntral Dffrnc, Powr Law and Flux-Spln. Its accuracy appard to dpnd on th typ d physcal problm. Physcal problms ruld by dffrntal partal llptc quatons mpld convctondffuson whch owns a dstrbuton of th varabl flux lk on purpos by th FLE schm whch showd a soluton wth th lvl of th rror mnor, n comparson wth th rmanng schms. In th tradtonal problms cas of ths class, whr thr sn t th prsnc wth ths spcfc faturng th rsults provd to b ntrmdars. To hyprbolc problms vn wth a poor dscrtzaton wthn lmts of fnt dffrnc to th transnt trm th nw schm appard ntrstng faturs for a smulaton of ths knd of phnomna n th sam sns to non-rfnd mals to convrg to th soluton of rfrnc n th rat gratr than th othrs two schms whch wr mntond hr and usd n th comparson.

9 NOMENCLATURA Ltras Latnas A função ral d argumnto ral prsnt no prfl ntrpolant. AP AIP AIM cofcnts da quação d dscrtzação. AJP AJM BJ CJ cofcnts da quação d dscrtzação do fluxo total J. DJ BJ CJ cofcnts da quação d dscrtzação do fluxo total Jx. DJ BJY CJY cofcnts da quação d dscrtzação do fluxo total Jy. DJY COM trmo font da quação d dscrtzação. G função ral d argumnto ral prsnt no prfl ntrpolant. J fluxo total (convctvo dfusvo) da varávl dpndnt. Jx fluxo total na drção. Jy fluxo total na drção Y. P prssão ou númro d Péclt. Px númro d Péclt basado no fluxo mássco ρu na drção. Py númro d Péclt basado no fluxo mássco ρv na drção Y. Q função ral d argumnto ral do squma FLE. S trmo font rsponsávl pla movmntação do fludo. Sc part constant do trmo font S. Sp part do trmo font S função da varávl dpndnt. U componnt na drção do vtor vlocdad. V componnt na drção Y do vtor vlocdad.

10 , Y coordnadas cartsanas admnsonas. a cofcnt na quação d dscrtzação. b part constant ou lnarzada da quação d dscrtzação. T tmpratura. Ltras Grgas comprmnto do volum d control na drção. Y comprmnto do volum d control na drção Y. varávl dpndnt transportada. cofcnt d dfusão. ρ dnsdad absoluta do fludo. ε rro prcntual absoluto. Suprscrtos o valor da varávl na tração antror. ndca uma quantdad à drta ou acma da colocação da varávl dpndnt no volum d control. ndca uma quantdad à squrda ou abaxo da colocação da varávl dpndnt no volum d control. Subscrtos posção dscrta m. posção dscrta m Y. max ndca o valor máxmo dntro do domíno. mn ndca o valor mínmo dntro do domíno. Abrvação P númro d Péclt

11 LISTA DE FIGURAS Fgura. A tarfa do método numérco: (a) quação dfrncal condçõs d contorno, (b) sstma d quaçõs algébrcas. Fgura. Um típco volum d control undmnsonal mostrando as posçõs d J. Fgura. Volum d control bdmnsonal sus parâmtros. Fgura.3 Volums d Control para cálculo d convcção-dfusão. Fgura.4 Dstrbução d J ρu ao longo do domíno. Fgura.5 Comportamnto das funçõs A(P) Q(P). Fgura.6 Volum d control bdmnsonal sus parâmtros. Fgura 3. Gráfco trdmnsonal da solução analítca do problma tst. Fgura 3. Gráfco do rro prcntual para = /6, = /3 = /64. Fgura 3.3 Rgão quadrada na casca clíndrca. Fgura 3.4 Gráfcos: (a) trdmnsonal (b) bdmnsonal (so-lnhas), da solução analítca. Fgura 3.5 Gráfco do rro prcntual para = /5, = /0, = /5 = /0. Fgura 3.6 Gráfco do rro prcntual para = /5. Fgura 3.7 Transport d um pulso m numa rgão d vlocdad constant. Fgura 3.8 Transport convctvo d um pulso m : prfl na lnha cntral ( = 4,5) para: (a) Yc = 4,5 (θ = 0,00º) (b) Yc = 3,5 (θ =,53º). Fgura 3.9 Transport convctvo d um pulso m : prfl na lnha cntral ( = 4,5) para: (a) Yc =,5 (θ = 3,96º) (b) Yc =,5 (θ = 33,69º). Fgura 3.0 Transport convctvo d um pulso m : prfl na lnha cntral ( = 4,5) para: (a) Yc = 0,5 (θ = 4,63º) (b) Yc = 0,0 (θ = 45,00º). Fgura 3. Gráfco trdmnsonal d um pulso m para Yc = 4,5 (θ = 0,00º): (a) POWER LAW, (b) FLU-SPLINE (c) FLE. Fgura 3. Gráfco trdmnsonal d um pulso m para Yc = 3,5 (θ =,53º): (a) POWER LAW, (b) FLU-SPLINE (c) FLE. Fgura 3.3 Gráfco trdmnsonal d um pulso m para Yc =,5 (θ = 3,96º): (a) POWER LAW, (b) FLU-SPLINE (c) FLE. Fgura 3.4 Gráfco trdmnsonal d um pulso m para Yc =,5 (θ = 33,69º): (a) POWER LAW, (b) FLU-SPLINE (c) FLE. Fgura 3.5 Gráfco trdmnsonal d um pulso m para Yc = 0,5 (θ = 4,63º): (a) POWER LAW, (b) FLU-SPLINE (c) FLE. Fgura 3.6 Gráfco trdmnsonal d um pulso m para Yc = 0,0 (θ = 45,00º): (a) POWER LAW, (b) FLU-SPLINE (c) FLE. Fgura 3.7 Caractrístcas da barra undmnsonal.

12 Fgura 3.8 Dslocamnto da onda (ponto A), com t = /400, = /9. Fgura 3.9 Dslocamnto da onda (ponto A), com t = /400, = /7. Fgura 3.0 Caractrístcas do problma bdmnsonal. Fgura 3. Dslocamnto da placa plana sob malha d 3 x3 volums d control usando o método d DIF. CENTRAL. Fgura 3. Lnhas d dslocamnto constant da placa plana sob malha d 3 x 3 volums d control usando o método d DIF. CENTRAL. Fgura 3.3 Dslocamnto da onda para 3 x 3 volums d control (rfrênca: DIF. CENTRAL): (a) ao longo d na lnha BB (b) ao longo do tmpo (ponto A). Fgura 3.4 Dslocamnto da onda para 6 x 6 volums d control (rfrênca: DIF. CENTRAL): (a) ao longo d na lnha BB (b) ao longo do tmpo (ponto A). Fgura 3.5 Dslocamnto da onda para x volums d control (rfrênca: DIF. CENTRAL): (a) ao longo d na lnha BB (b) ao longo do tmpo (ponto A). Fgura 3.6 Trmo font m função do tmpo. Fgura 3.7 Caractrístcas do problma bdmnsonal. Fgura 3.8 Dslocamnto da onda na placa plana sob malha d 43 x43 volums d control usando o método d DIF. CENTRAL. Fgura 3.9 Dslocamnto da onda ao longo da lnha cntral (Y = 0,5), para malha d 7 x 7 volums d control. Fgura 3.30 Dslocamnto da onda ao longo da lnha cntral (Y = 0,5), para malha d 8 x 8 volums d control.

13 SUMÁRIO. INTRODUÇÃO CONSIDERAÇÕES INICIAIS MOTIVAÇÃO OBJETIVOS REVISÃO BIBLIOGRÁFICA DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO DESENVOLVIMENTO NUMÉRICO DO ESQUEMA FLE MÉTODO DE VOLUMES FINITOS Método d solução para dfusão pura Dfusão undmnsonal Dfusão bdmnsonal Método d solução para convcção-dfusão Convcção-dfusão undmnsonal Convcção-dfusão bdmnsonal APLICAÇÃO DO ESQUEMA FLE REGIME PERMANENTE Dfusão Pura Problma Tst Problma Tst Convcção-Dfusão Problma Tst Problma Tst Conclusõs sobr Rgm Prmannt REGIME TRANSIENTE Dfusão Pura... 6 Problma Tst Problma Tst Problma Tst CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES CONCLUSÕES SUGESTÕES PARA CONTINUIDADE REFERÊNCIAS... 79

14 CAPÍTULO INTRODUÇÃO

15 4. INTRODUÇÃO.. CONSIDERAÇÕES INICIAIS A smulação numérca d problmas d ntrss conômco m Mcânca dos Fludos, Transfrênca d Calor Massa Propagação d Ondas, tv um dsnvolvmnto mprssonant nos últmos 0 anos. Incalmnt, como uma frramnta para análs d problmas físcos m nívl d nvstgação cntífca, atualmnt, como uma frramnta podrosa para a solução d mportants problmas aplcados na ngnhara. O uso d técncas numércas para a solução d complxos problmas da ngnhara da físca é, ho, uma raldad, graças ao dsnvolvmnto d computadors d alta vlocdad d grand capacdad d armaznamnto. Em função dssa dsponbldad computaconal, o dsnvolvmnto d algortmos para a solução dos mas dvrsos problmas tm rcbdo norm atnção dos analstas numércos. A tarfa do método numérco é rsolvr uma ou mas quaçõs dfrncas parcas, substtundo as drvadas xstnts na quação por xprssõs algébrcas qu nvolvam a função ncógnta. Um método analítco qu tvss a habldad d rsolvr tas quaçõs nos dara a solução m uma forma fchada sra possívl, ntão, calcular os valors das varávs dpndnts m nívl nfntsmal, sto é, para um númro nfnto d pontos. Por outro lado, quando dcdmos fazr uma aproxmação numérca da quação dfrncal, actamos tr a solução para um númro dscrto d pontos, sprando qu, quanto maor for st númro d pontos, mas próxmo da solução xata srá nossa solução aproxmada (ou numérca). É fácl ntndr ntão qu, s dcdrmos calcular 00 valors da varávl no domíno, trmos 00 ncógntas, sndo ncssáras 00 quaçõs algébrcas para o fchamnto, formando um sstma d 00 quaçõs a 00 ncógntas. S qusrmos tornar mas prcsos nossos cálculos, aumntando o númro d ncógntas, o sstma d quaçõs a sr rsolvdo também va aumntando, proporconalmnt. O sforço computaconal também crsc, pos s o problma é não lnar tmos nvtavlmnt um procdmnto tratvo nvolvdo. A fgura. xmplfca a tarfa do método numérco, na qual uma quação dfrncal scrta m nívl nfntsmal dfnda para o domíno D é transformada m um sstma d quaçõs algébrcas. Para sto, as drvadas da função xstnts na quação dfrncal dvm sr substtuídas plos valors dscrtos da função. A manra d obtr ssas quaçõs algébrcas é qu caractrza o tpo do método numérco.

16 5 Nosso studo nst trabalho srá apnas com o método d volums fntos. D Método Numérco (a) (b) Fgura. A tarfa do método numérco: (a) quação dfrncal condçõs d contorno, (b) sstma d quaçõs algébrcas... MOTIVAÇÃO A smulação numérca nvolv quaçõs d consrvação contndo trmos dscrvndo a dpndênca do tmpo, transport plo campo d vlocdads (convcção), transport por gradnts (dfusão) fonts da proprdad qu stá sndo transportada. A solução numérca dssas quaçõs rqur o uso d ntrpolação ntr pontos dscrtos no cálculo do domíno. Na tora, um método numérco produz uma solução xata d um modlo matmátco quando o spaçamnto da malha s aproxma d zro. No ntanto, o spaçamnto da malha não pod sr nfntsmal, dvdo à capacdad d armaznamnto (mmóra) do computador. Além dsso, o númro d traçõs ncssáras, no caso d problmas não lnars, para atngr a convrgênca da solução numérca aumnta com a dmnução do tamanho da malha. Isso é mas pronuncado m problmas não lnars como scoamnto forçado convcção natural, mbora sta prsnt m todos dsta class. Assm, msmo qu malhas nfntsmas pudssm sr usadas, a quantdad d cálculo computaconal sra muto grand, tornando o tmpo computaconal também muto grand.

17 Por ssas razõs, xst a ncssdad d s studar métodos numércos mas sofstcados, qu fornçam prcsão sufcnt, msmo para um númro mnor d pontos da malha OBJETIVOS Est trabalho fo dsnvolvdo com o obtvo d aprsntar a aplcação d um novo squma d dscrtzação para volums fntos, dnomnado FLE. A fm d rduzr o sforço computaconal, ss novo squma admt uma varação do tpo xponncal, do fluxo da varávl dpndnt transportada dntro d cada volum d control. Pqunas modfcaçõs aparcm no squma FLE, m rlação ao squma FLU- SPLINE, cuos cálculos não possum qualqur dfculdad. Ess novo squma fo tstado para város problmas tsts comparado com os squmas d DIFERENÇA CENTRAL FLU-SPLINE..4. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA VAREJÃO (979) m su trabalho d ts, a fm d rduzr sforço computaconal, dmonstrou qu uma varação lnar do fluxo total dntro do volum d control, promov soluçõs mas próxmas daqulas tomadas como rfrênca, sob malhas mnos rfnadas. Sob ssa varação lnar, o valor do fluxo total é armaznado na fac do volum d control, nquanto qu a varávl dpndnt é armaznada nos pontos da malha. O nom dado a ss squma é FLU-SPLINE. Num squma ntrpolant SPLINE, um prfl polnomal é assumdo para a varávl dpndnt. No squma FLU-SPLINE um prfl lnar é assumdo para o fluxo total, mas o prfl da varávl dpndnt é dtrmnado d acordo com o fnômno nvolvdo, pla rsolução d da quação dfrncal qu un a dfnção d fluxo com a hpóts d varação lnar dntro do volum d control. O método FLU-SPLINE fo tstado m város problmas tst para dfusão pura, convcção-dfusão scoamntos, smpr aprsntando rsultados suprors quando comparado com o squma d DIF. CENTRAL POWER LAW (PATANKAR (980)).

18 7 PATANKAR (980) m su lvro, mostra a ddução complta das formulaçõs para volums fntos, dos squmas DIFERENÇA CENTRAL para dfusão pura suas lmtaçõs no caso d convcção-dfusão m trmos d só funconar para baxos númros d Pclt, traz a dfnção do squma POWER LAW como uma smplfcação do squma xponncal, para problmas d convcção-dfusão promov sua aplcação m problmas d scoamnto para a solução das quaçõs d Navr-Stoks. Não há, ao longo do lvro, uma procupação m s buscar um prfl mas adquado a cada fnômno no sntdo d maor fcênca, mas sm m tr-s um squma, qu funcon sob qualqur malha ou campo d vlocdad. NIECKELE (985) dsnvolvu um squma dnomnado FLU-SPLINE CÚBICO (FLU33) assumndo qu o fluxo d massa total, varam d forma cúbca dntro do volum d control. O prfl da varávl dpndnt é obtdo pla rsolução da quação dfrncal qu un a dfnção d fluxo à hpóts d prfl cúbco. Para stuaçõs d dfusão pura, o prfl da varávl dpndnt torna-s d quarta ordm, para stuaçõs d convcção-dfusão rsulta m uma soma d trmos xponncas mas um polnômo d trcra ordm. Em su trabalho, foram tstados dzsss squmas d dscrtzação dsta forma, stablcu através d comparação drta m trmos d rro, com rlação a uma solução analítca ou m casos ond sta não xst, m rlação a uma solução d rfrênca, obtda por mo d uma malha xtrmamnt rfnada, o sforço computaconal d su squma m rlação aos dmas. Plos rsultados obtdos plo squma FLU33, o msmo s mostrou supror na maora dos casos, quando comparado com sss dzsss squmas (nclundo os squmas DIFERENÇA CENTRAL, POWER LAW FLU-SPLINE). Val dzr, qu para um dtrmnado rro, st squma produz soluçõs sob malhas mnos rfnadas o qu acarrta obtr-s a solução convrgda m mnos tmpo qu os dmas. Por sua complxdad dfícl xtnsão a problmas d scoamnto, não srá mprgado nst trabalho. OLIVEIRA (997) utlzou o squma FLU-SPLINE para obtr a solução d scoamntos m cavdads abrtas aconadas por convcção natural, ond as condçõs d contorno ram d sgunda spéc (Numann), ou sa, s conhca apnas os fluxos m algumas frontras. Su algortmo d solução proposto fo smplfcado m rlação ao usado no trabalho orgnal d VAREJÃO (979) plo fato do problma nvolvr a solução d um sstma d quatro quaçõs dfrncas parcas não lnars acopladas plo campo d vlocdads tmpratura. Abordou também, a utlzação do squma m problmas tst da ltratura, ond s fazam prsnts rgõs com altos gradnts ao lado d outras sm nnhuma prturbação, mostrando a suprordad do squma quando comparado aos squmas DIFERENÇA CENTRAL, QUICK POWER LAW.

19 8.5. DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO O dsnvolvmnto dst trabalho stá dstrbuído na sqüênca dos capítulos, 3 4 qu s sgum. No capítulo são aprsntadas as formulaçõs do método volums fntos para o squma d dscrtzação dnomnado FLE. No capítulo 3 a aplcação do squma s du para problmas d dfusão pura convcção-dfusão m stuaçõs un bdmnsonas m problmas líptcos m stuaçõs un bdmnsonas m problmas hprbólcos (propagação d ondas). São aprsntados smulados st problmas tst para dfusão pura convcção-dfusão. Esss problmas tst foram xtraídos dos autors lstados na rfrênca bblográfca rprsntam as dfculdads prsnts m grand part dos problmas físcos a srm smulados m trabalhos d ngnhara. No capítulo 4, são aprsntadas as conclusõs basadas na obsrvação dos rsultados dscrtos através d gráfcos rcomndaçõs para futuros trabalhos no sntdo d aumntar o dsmpnho do squma aqu proposto.

20 CAPÍTULO DESENVOLVIMENTO NUMÉRICO DO ESQUEMA FLE

21 0. DESENVOLVIMENTO NUMÉRICO DO ESQUEMA FLE O obtvo dst capítulo é aprsntar o dsnvolvmnto d um novo squma d dscrtzação para volums fntos, com o obtvo d mnmzar sforço computaconal m problmas qu nvolvam váras dmnsõs /ou dpndênca com o tmpo. Tal squma srá dnomnado FLE. Admt-s qu o ltor sta famlarzado com o método d volums fntos, sndo, portanto omtdos alguns passos não ssncas ao longo da drvação do squma... MÉTODO DE VOLUMES FINITOS A obtnção da solução da smagadora maora dos problmas físcos dscrtos por quaçõs dfrncas, rqur habldad d cração do modlo numérco corrspondnt. Est dv sr tal qu, os rsultados obtdos, à mdda qu s aumnta o númro d ncógntas (rfnamnto da malha) do sstma d quaçõs algébrcas gradas plo método numérco, haa uma mlhor rprsntação do fnômno físco sob studo. A tarfa d um método numérco é transformar uma ou mas quaçõs dfrncas, substtundo as drvadas xstnts na quação por xprssõs algébrcas qu nvolvm a função ncógnta. As quaçõs d consrvação (massa, quantdad d movmnto, nrga, tc.) podm sr scrtas, no sstma cartsano d coordnadas, para um campo scalar gral, nst caso xpandndo os trmos, como: ( ρ) ( ρu) ( ρv) ( ρw) = t x y z x x y y z z S (.) A quação (.) rprsnta a consrvação da massa, quando S for gual a zro =. As quaçõs do movmnto nas três drçõs são obtdas fazndo-s gual aos componnts do vtor vlocdad, u, v w, com o aproprado trmo font, qu, nst caso, nclu o gradnt d prssão. A quação da nrga é obtda fazndo-s = T, também com o trmo font aproprado. rprsnta-s o produto da dfusvdad pla massa spcífca da proprdad

22 transportada m consdração. Para as quaçõs d Navr-Stoks, = µ para a quação da nrga, = k/c p, quando o scoamnto é lamnar, é gual a µ ftvo (k/c p ) ftvo, quando o scoamnto for turbulnto. O prmro trmo do lado squrdo da quação (.) é o trmo transnt rprsnta a dpndênca da varávl dpndnt m rlação ao tmpo. Os outros trmos, anda do lado squrdo da quação, rprsntam o balanço convctvo da varávl. Os prmros trmos do lado drto rprsntam o balanço dos fluxos dfusvos, nquanto qu o trmo font é rsponsávl por acomodar todos aquls trmos qu não s ncaxam na forma aprsntada na quação (.). O trmo font contém o gradnt d prssão, quando for as componnts do vtor vlocdad. A quação (.) pod também sr scrta na forma: t r ( ρ) dv( ρv) = dv( grad) S (.) ou anda, t r ρ (.3) ( ) dv( J ) = S ond, r J = ρv r grad rprsnta o fluxo total (convctvo mas dfusvo) da varávl. A formulação do método FLE é construída a partr d stuaçõs undmnsonas m rgm prmannt postrormnt stndda a stuaçõs bdmnsonas transnts ou não.... Método d solução para dfusão pura... Dfusão undmnsonal é: A quação d govrno para procssos d dfusão undmnsonal m rgm prmannt dj = S d (.4)

23 ond, J é o fluxo dado por: d J = (.5) d A forma dscrta da quação d govrno é obtda pla ntgração da quação (.) sobr um volum d control adotando-s a hpóts d qu os fluxos são constants m cada fac do volum d control. Obsrvando a fgura., a quação d dscrtzação para o volum d control ao rdor do ponto pod sr scrta como, J J = S (.6) J J J Fgura. Um típco volum d control undmnsonal mostrando as posçõs d J. A quação (.6) nvolv os fluxos nas facs do volum d control. Para obtr uma quação nvolvndo a varávl dpndnt, os fluxos prcsam sr xprssos m trmos dos valors d nos pontos da malha. S admtrmos qu o fluxo ao longo d um volum d control pod sr rprsntado por: J = A B (.7) ond, é a varávl ndpndnt local varando d 0, sndo,

24 3 J J A = J B = Uma xprssão para pod sr obtda pla combnação das quaçõs (.5) (.7): B A = d d (.8) Esta é a quação dfrncal ordnára qu srá a gratrz do prfl ntrpolant para o novo squma d dscrtzação. Sua solução para constant no volum d control é: ( ) C B A = (.9) Adotando qu o ponto da malha ncontra-s no cntro do volum d control, para = = a quação (.9) torna-s: ( ) = B A (.0) Adotando o msmo procdmnto para o volum d control ( ), obtém-s com um rfrncal no sntdo contráro d, conform pod sr vsto na fgura.: ( ) = B A (.) ond, é a varávl ndpndnt local varando d 0, sndo,

25 4 J J A = J B = As quaçõs (.0) (.) rprsntam a varação d dntro d um volum d control. Essas quaçõs na ntrfac ntr os volums d control tornam-s: ( ) J J 0 = = (.), ( ) J J 0 = = (.3) Para dos volums d control adacnts, os prfs d são tas qu ls possum o msmo fluxo na ntrfac comum. Além dsso, prcsam também possur um únco valor d na ntrfac comum. Essa condção d contnudad d, ou sa, ( ) ( ) 0 0 = = =, pod sr xprssa usando (.) (.3) como: ( ) ( ) ( ) J J J J J = (.4) E assm a xprssão para os fluxos J pod sr arranada como: ( ) DJ Jhat J = (.5) ond, ( ) ( ) J J CJ J J BJ Jhat = (.6)

26 5 sndo, DJ = (.7a) BJ = DJ (.7b) CJ = DJ (.7c) A quação d dscrtzação para é obtda pla substtução dos fluxos na quação (.6) pla xprssão tal como a quação (.5). Portanto, [ Jhat DJ ( ) ] [ Jhat DJ ( )] = S (.8) O trmo font S é lnarzado como sgu. S = Sc Sp (.9) Ond Sc é a part constant Sp a part função da varávl. As quaçõs (.8) (.9) podm sr combnadas rscrtas para formarm a sgunt quação d dscrtzação para : AP = AIP CON (.0) AIM ond, AIP = DJ (.a)

27 6 AIM = DJ (.b) AP = AIP AIM Sp (.c) CON ( Jhat Jhat ) Sc = (.d) Equaçõs d frontras As quaçõs (.) (.3) quando aplcadas nos volums d control das frontras forncm rlaçõs ntr os valors d dos fluxos J nsss volums d control. Assm, da = =, ntão: quação (.), para =, ( ) 0 = ( J J 3 ) (.) = = 0 da quação (.3), para = n, ( ) n, logo: n n =n ( J n J n ) (.3) n ond, n dnotam as frontras à squrda à drta, rspctvamnt. Tratamnto das condçõs d contorno na dfusão pura Condção d contorno d ª spéc (Drchlt) Esta condção d contorno é mprgada quando s conhc a varávl nas frontras não aprsnta dfculdads na sua mplmntação. Condção d contorno d ª spéc (Numann) S o fluxo no contorno é conhcdo, o valor da varávl dpndnt pod sr calculado. A forma d s dtrmnar o valor d na frontra, como sugr Olvra (997), é:

28 7 Admtr ncalmnt a condção d Drchlt, adotando valors arbtráros no contorno; Ao fnal d cada tração, corrgr a frontra com as nformaçõs obtdas do ntror do domíno usando para tal as quaçõs (.) (.3). S, por xmplo, conhcmos o fluxo J m = 0, " J = q ntão a quação (.) torna-s: " o ( q ) o = J3 ond o o J 3 são orundos da tração antror. O msmo tratamnto pod sr fto para obtr o valor o valor d na frontra drta. Condção d contorno d 3ª spéc (Robn) S a rlação ntr a varávl dpndnt su fluxo, como na condção d contorno convctva, é conhcda no contorno, sta rlação consttu uma quação auxlar qu untamnt com as quaçõs (.) /ou (.3) qu possblta o cálculo d J naqul contorno. O procdmnto d cálculo é smlhant ao proposto para a condção d Numann. Solução das quaçõs algébrcas A quação (.0) é uma quação algébrca válda para um ponto da malha do domíno d cálculo. É convnnt scrvr sta quação numa forma dfrnt para sclarcr o algortmo usado na solução dsta. S os pontos da malha no domíno d cálculo são numrados d,, 3,..., n m qu os pontos n dnotam os contornos, a quação (.0) pod sr scrta como: a = b d (.4) c para =,, 3,..., n.

29 8 Nas frontras, os trmos c b n são guas a zro. Assm, para =, a (.5) = b d Essa condção mplca qu é conhcda m função d. A quação para = é uma rlação ntr, 3. Mas, uma vz qu pod sr xprsso m trmos d, ssa rlação s rduz à rlação ntr 3. Ess procsso d substtução pod sr contnuado até n. Isso nos prmt ncar o procsso d rtro-substtução na qual n- é obtdo d n, n- d n-,..., d 3 d. Ess procsso d lmnação é chamado d TDMA (Tr-Dagonal-Matrx- Algorthm). Em gral, P Q (.6) = ond, P Q podm sr ncontrados pla substtução da quação (.6), pla substtução d por dntro da quação (.4). P = (.7) a b c P Q d c Q = (.8) a c P Para =, os valors d P Q são dados por b P = a d Q = (.9) a Para = n, com b n = 0, nos lva a P n = 0, da quação (.6) tmos: n = Q n

30 9 Algortmo. Calcul P Q da quação (.9);. Us as rlaçõs (.7) (.8) para obtr P Q para =,,..., n; 3. Faça n = Q n ; 4. Us a quação (.6) para = n, n,..., 3,,. Para stuação undmnsonal com proprdads constants, o procdmnto TDMA rsolv o conunto d quaçõs algébrcas lnars d uma só vz. Para quaçõs não lnars, sto é, = (), uma solução tratva tm qu sr usada.... Dfusão bdmnsonal Uma stuação bdmnsonal sob rgm prmannt é dscrta na fgura.. A forma dfrncal da quação d govrno é: Jx Jy = S Y (.30) ond, Jx = Jy = Y Intgrando-s a quação (.30) sobr o volum d control m torno do ponto (, ) obtém-s: ( Jx Jx ) Y ( Jy Jy ),,,, = Sc Sp,, Y Y, (.3)

31 30 Os fluxos na quação (.3) são dados por xprssõs smlars àqula dfnda pla quação (.), scrtas para as drçõs coordnadas apropradas. A quação d dscrtzação rsultant é: AP,, = AIP AJP,,,, AIM AJM,,,, CON, (.3) ond os cofcnts são dfndos como sgu: AIP, = DJx Y (.33a), AIM, = DJx Y (.33b), AJP, = DJy (.33c), AJM, = DJy (.33d), AP, = AIP AIM AJP AJM Sp Y (.33),,,,, CON, = ( Jhatx, Jhatx, ) y ( Jhaty Jhaty ) Sc Y,,, (.33f) As dfnçõs das váras quantdads nas quaçõs (.33a)-(.33f) são smlars àqulas dadas nas quaçõs (.0), (.a)-(.d) para uma stuação undmnsonal, xcto qu os subscrtos x y foram adconados para ndcar a drção coordnada aproprada.

32 3, Jy,, Jx,, Jx,, Y Y Jy,, Fgura. Volum d control bdmnsonal sus parâmtros. Solução do método Uma stuação bdmnsonal é dfnda plas três varávs,, Jx, Jy,. Essas varávs são govrnadas plo sgunt conunto d quaçõs: Equação d consrvação para Condção d contnudad Spln na drção x Condção d contnudad Spln na drção y Ess conunto d quaçõs acopladas é rsolvdo tratvamnt. Incalmnt, os trmos são chutados os trmos Jhat são stablcdos guas a zro. O rsultado da quação d nst ponto é dêntco ao rsultado da formulação d dfrnça cntral pod sr faclmnt rsolvdo. Essa dstrbução d é ntão usada para calcular os fluxos J Jhat. Alguns problmas tsts foram utlzados para vrfcar a prcsão do método FLE comparados com os rsultados do método d Dfrnças Cntras do método Flux-Spln. Esss problmas podm sr vstos no Capítulo 4.

33 3... Método d solução para convcção-dfusão... Convcção-dfusão undmnsonal A forma undmnsonal, sob rgm prmannt, da quação d convcção-dfusão é: dj = S d (.34) ond o fluxo total J da varávl dpndnt é dado por: J = ρu (.35) Os fluxos másscos ρu, assm como os fluxos totas J, srão posconados nas facs do volum d control, assumndo-s valors médos ao longo das msmas. Para obtr a varação d dntro d um volum d control, uma suposção para J é ncssára. Os métodos d baxa ordm, tal como o squma xponncal (POWER-LAW), assumm qu o fluxo total é constant ntr dos pontos da malha. Tal suposção nos lva a um prfl lnar d m problmas d dfusão pura a um prfl xponncal m problmas d convcção-dfusão. Novamnt, assumndo-s qu o fluxo J pod varar xponncalmnt dntro d um volum d control, J = A B (.36) ond, 0, sndo, A J J = B = J Uma xprssão para pod sr obtda pla combnação das quaçõs (.35) (.36):

34 33 d ρ u = A B (.37) d O cofcnt d dfusão é comumnt assumdo para sr constant sobr o volum d control. O trmo ρu, rsponsávl plo transport convctvo, pod varar dntro do volum d control, mas sso lva à soluçõs para nvolvndo funçõs rro, sérs nfntas, tc. Por convnênca algébrca, ρu fo consdrado como constant na solução da quação (.37). A fgura.3 mostra os parâmtros J, ρu m cada volum d control. J ρu J J ρu ρu Fgura.3 Volums d Control para cálculo d convcção-dfusão. A fgura.4 mostra como fcam as dstrbuçõs d J ρu ao longo dos volums d control numa dtrmnada drção. J ρ u ρu J J J J ρu ρu J Fgura.4 Dstrbução d J ρu ao longo do domíno.

35 34 Dsta manra, a quação (.37) pod sr colocada na forma: B A = ρ u d d (.38) Com a condção d contorno = = a solução analítca dfrncal lnar d ª ordm não homogêna (.38) é: = P P B A u u u ρ δ δ δ δ ρ ρ δ δ δ δ (.39) ond, 0. Adotando o msmo procdmnto para o volum d control ( ), obtém-s com um rfrncal no sntdo contráro d, conform pos sr vsto na fgura.3: = P P B A u u u ρ δ δ δ δ ρ ρ δ δ δ δ (.40) ond, 0, sndo, = ρu δ = u ρ δ

36 35 As quaçõs (.39) (.40) forncm a varação d dntro d um volum d control como uma função d x. Essas quaçõs na ntrfac ntr os volums d control tornam-s: ( ) ( ) ( ) ( ) m P J J G P J P A 0 = = (.4), ( ) ( ) ( ) ( ) m P J J G P J A P 0 = = (.4) ond, u P = ρ (.43) P = u ρ (.44) m P = u ρ (.45) m P = u ρ (.46) P A(P) P = (.47)

37 36 P (P ) G(P) = (.48) P Assm: O produto das funçõs A(P) G(P) fornc a função qu Hsu (98) chama d Q(P). Q(P) = A(P). G(P) P (P ) Q(P) = (.49) P P ( ) qu possu as proprdads: Q( P) = Q(P) Q(P) P = A(P) P = 0 Q(P) P = 0 A(P) P = Q(P) P 0 = ½ A(P) P 0 = D agora m dant srão usadas as funçõs A(P) Q(P). Para stuaçõs bdmnsonas convctvas é ncssáro prmtr qu o fluxo d massa var no volum d control. Para corrgr a hpóts d fluxo constant, um trmo xtra srá adconado nas quaçõs (.40) (.4). A scolha da forma do trmo adconal é tal qu a quação d govrno srá satsfta para o caso ond é constant ρu vara lnarmnt. Então, as quaçõs calbradas tornam-s:, ( = 0) = P A ( P ) ( Q Pm ) A( P ) m J {( J J ) ( ρu ρu ) } (.50)

38 37 P = ( = 0) A P ( ) ( Q Pm ) A( P ) m J {( J J ) ( ρu ρu ) } (.5) A fgura (.5) aprsnta o comportamnto das funçõs A(P) Q(P) Q(P) A(P) Fgura.5 Comportamnto das funçõs A(P) Q(P). Para dos volums d control adacnts, os prfs d são tas qu ls possum o msmo fluxo na ntrfac comum. Além dsso, prcsam também possur um únco valor d na ntrfac comum. Impondo-s a condção d contnudad d, ou sa ( = 0) = ( 0), obtém-s a xprssão para os fluxos J: = J = Jhat DJ P P (.5) ond,

39 38 Jhat = BJ CJ {(J J ) ( ρu ρu ) } (J J ) ( ρu ρu ) { } (.53), DJ A( P ) A(P ) = (.54a) BJ = Q(P A(P m m ) DJ ) (.54b) CJ = Q(P A(P m m ) DJ ) (.54c) Intgrando a quação d consrvação (.34) sobr o volum d control m torno d, como mostrado na fgura.3, usando um trmo font lnarzado, obtém-s: ( J J ) = Sc Sp (.55) A quação d dscrtzação para é obtda pla substtução dos fluxos dados pla quação (.5) na quação (.55). Dsta forma obtém-s: [ DJ ( )] [ Jhat DJ ( )] = Sc Sp Jhat (.56) para : A quação (.56) pod sr rscrta para forncr a sgunt quação d dscrtzação AP = AIP CON (.57) AIM ond, AIP = DJ xp( P ) (.58a)

40 39 AIM = DJ xp(p ) (.58b) AP = AIP AIM Sp (.58c) CON = Sc (Jhat Jhat ) (.58d) O domíno d valdad da quação algébrca para J para podm sr stnddas usando o msmo artfíco aplcado para dfusão pura, sto é, magnando um volum d control d dmnsão nula no contorno.... Convcção-dfusão bdmnsonal A xpansão do squma para uma stuação bdmnsonal s fará como na dfusão pura. Os parâmtros gométrcos são dfndos d forma smlhant à convcção undmnsonal. Os valors dos fluxos Jx, Jy, ρu ρv são armaznados ao longo das facs dos volums d control, como mostrado na fgura.6, sndo as xprssõs para Jx Jy gradas a partr daqula dduzda para o caso undmnsonal. Assm, para a drção, obtém-s: Jx, = Jhatx, DJx, Px, Px,,, (.59) ond, Jhatx, = BJx CJx,, {(Jx, Jx, ) ( ρu, ρu, ), } (Jx Jx ) ( ρu ρu ) { },,,,, (.60), DJx, = (.6a) A( Px,), A(Px,),

41 40 BJx, =, Q(Px A(Px m, m, ) DJx ), (.6b) CJx, = Q(Px m, ) DJx, (.6c), A(Px m,), ρ v, Jy, Jx, Jx, Y Y, Y ρu, ρv,, Jy, ρ u,, Y, Fgura.6 Volum d control bdmnsonal sus parâmtros. sndo, Px, = ρ u, (.6),

42 4,,, Px = u ρ (.63),,, m Px = u ρ (.64),, m. Px = u ρ (.65) Na drção Y, obtém-s: =,, Py, Py,,,, DJy Jhaty Jy (.66) ond, ( ) { } ( ) { },,,,,,,,,,,, ) Jy (Jy CJy ) Jy (Jy BJy Jhaty = ρ ρ ρ ρ v v v v (.67),,,,,, Y ) A(P Y ) P A( DJy = (.68a), m, m,,, DJ ) A(P ) Q(P Y Y Y BJy = (.68b), m, m,,, DJ ) A(P ) Q(P Y Y Y CJy = (.68c)

43 4 Para uma stuação bdmnsonal m rgm prmannt, como mostrado na fgura.6, a quação d consrvação ntgrada para o volum d control m torno do ponto (, ) é: (Jx, Jx,) Y (Jy, Jy, ) = Sc Sp,, Y Y, (.69) A xprssão fnal para é: AP,, = AIP AJP,,,, AIM AJM,,,, CON, (.70) ond, AIP, = DJx Px,, Y (.7a) AIM, = DJx, Px, Y (.7b) AJP, = DJy Py,, (.7c) AJM, = DJy, Py, (.7d) AP, = AIP AIM AJP AJM Sp Y (.7),,,,, CON, = (Jhatx (Jhaty,, Jhatx Jhaty,, ) Y ) Sc, Y (.7f)

44 43 O tratamnto das condçõs d contorno o método d solução são aquls usados na dfusão bdmnsonal, forncndo-s a mas, os novos parâmtros gométrcos o campo d vlocdads. Alguns problmas tsts foram aplcados para vrfcar a prcsão do método FLE comparando-o com o squma xponncal (POWER-LAW). Esss problmas podm sr vstos no CAPÍTULO 3.

45 CAPÍTULO 3 APLICAÇÃO DO ESQUEMA FLE

46 45 3. APLICAÇÃO DO ESQUEMA FLE Nst Capítulo alguns problmas tsts foram utlzados para vrfcar a prcsão do squma d dscrtzação FLE quando comparado com os rsultados dos squmas d DIFERENÇAS CENTRAIS (na Dfusão pura) ou POWER-LAW (na convcção-dfusão) FLU-SPLINE (convção-dfusão). 3.. REGIME PERMANENTE 3... DIFUSÃO PURA Problma Tst R.E. Phllps F.W. Schmdt (984) propusram um problma tst d dfusão pura qu tm solução analítca conhcda contém uma rgão com grands gradnts. O fnômno é govrnado pla quação: = S(, Y) Y Y A solução analítca para st caso é dada por: 50 ( ) [(, Y 500 ) Y = ] 00( Y) ond, 0 0 Y. O trmo font corrspondnt para gual a é: ( ) { 50[ ( Y ) Y = ]} 00 ( ) S, { [ Y ] } As condçõs d contorno são: 50 ( ) ( Y 0,Y = 500 ) ( ) (,0 = ) 50Y (,Y ) = 00( Y) ( ) [( ), = 500 ]

47 46 O problma fo rsolvdo utlzando-s malhas rgulars com 6 x 6, 3 x 3 64 x 64 volums d control, ou sa, = /6, = /3 = /64. A dstrbução da varávl dpndnt, provnnt da solução analítca, é aprsntada no gráfco da fgura 3.. Fgura 3. Gráfco trdmnsonal da solução analítca do problma tst. A fgura 3. aprsnta o gráfco do rro prcntual m função da malha, fazndo um comparatvo dos squmas d dscrtzação DIF. CENTRAL, FLU-SPLINE FLE. O rro com rlação à solução analítca é dfndo plos autors do trabalho como: Erro prcntual ( ε) = 00 calc xato xato Como podmos obsrvar na fgura 3., o squma FLE forncu nívs d rros nfrors aos squmas d DIF. CENTRAL FLU-SPLINE. Essa suprordad do squma FLE s dv ao fato qu os fluxos Jx Jy, obtdos pla drvação da quação qu dfn a solução analítca para, possum um prfl smlar àqul proposto nst squma d dscrtzação, ou sa, do msmo tpo qu a quação.7.

48 DIF. CENTRAL FLU-SPLINE FLE Erro Prcntual (%) Malha Rgular Fgura 3. Gráfco do rro prcntual para = /6, = /3 = /64. Problma Tst Varão (979) tstou st problma undmnsonal transformado m um problma bdmnsonal plo uso d coordnadas não apropradas. O problma undmnsonal trata da condução radal numa casca clíndrca, mas s uma rgão quadrada, como mostra a fgura 3.3, for scolhda como o domíno d cálculo, o cálculo ntão é fto para o sstma d coordnadas (x, y) assm, o problma torna-s bdmnsonal. O fnômno é govrnado, para o problma bdmnsonal, para =, pla quação: Y Y = S(, Y) A solução analítca para st problma é: (,Y) Ln = Ln ( R) ( )

49 48 sndo, R = Y ond, R é o rao da casca clíndrca, conform a fgura 3.3. Y T o R = T 45º R o = Fgura 3.3 Rgão quadrada na casca clíndrca. O problma fo rsolvdo utlzando malhas rgulars d 5 x 5, 0 x 0, 5 x 5 0 x 0 volums d control, ou sa, = /5, = /0, = /5 = /0. A dstrbução da varávl dpndnt, solução analítca, é aprsntada nos gráfcos da fgura 3.4. (a)

50 49 Y (b) Fgura 3.4 Gráfcos: (a) trdmnsonal (b) bdmnsonal (so-lnhas), da solução analítca. A fgura 3.5 aprsnta o gráfco do rro prcntual m função da malha, fazndo um comparatvo dos squmas d dscrtzação DIF. CENTRAL, FLU-SPLINE FLE. O rro com rlação à solução analítca é dfndo plos autors como: Erro prcntual ( ε ) = 00 calc xatomax xato xatomn Através da fgura 3.5, obsrvamos qu o squma FLU-SPLINE s mostrou supror ao squma FLE ao squma d DIF. CENTRAL. Isso mostra qu para os casos ond a varávl dpndnt suas drvadas prmras, no caso os fluxos, não s comportam como no prfl proposto, o squma FLU-SPLINE mostra um dsmpnho supror aos outros dos squmas.

51 50 E- Erro Prcntual (%) E- DIF. CENTRAL FLU-SPLINE FLE E E- E- E0 Malha Rgular Fgura 3.5 Gráfco do rro prcntual para = /5, = /0, = /5 = / CONVECÇÃO-DIFUSÃO Problma Tst 3 Varão (979) tstou st problma cuo campo d vlocdad é tal qu produz um fluxo rcrculant dntro d um domíno quadrado. A quação d govrno para st problma é: T ( ρ UT) ( ρvt) = Y T Y Y S A solução analítca para st problma é: T (,Y) = B ( ) ( Y), as componnts das vlocdads são dadas por:

52 5 U = A V = A 3 4 ( Y Y ) ( ) 3 4 ( ) ( Y Y ) ond, Y são as coordnadas com orgm no cntro do quadrado. Y varam d a. As proprdads ρ são constants guas a as condçõs d contorno para T são T = 0 m todos os contornos. O parâmtro A é dtrmnado plo númro d Péclt o parâmtro B, qu controla o valor máxmo d T, fo gualado a, assm o valor máxmo d T é gual a. O trmo font corrspondnt é: S = [( ) ( Y Y )] A fgura 3.6 aprsnta uma comparação do rro prcntual para os squmas d POWER LAW, FLU-SPLINE FLE, como uma função do númro d Péclt, para uma malha rgular d 5 x 5 volums d control, ou sa, = /5. O rro com rlação à solução analítca é dfndo plos autors como: Erro prcntual ( ε ) = 00 calc xatomax xato xatomn A fgura 3.6 nos mostra qu o método FLE aprsntou valors dos nívs d rros ntrmdáros quando comparados aos métodos FLU-SPLINE DIF. CENTRAL. Problma Tst 4 Est problma trata do transport d um pulso m num campo d vlocdad unform. Est tst fo protado para avalar a falsa dfusão d squmas numércos m problmas d convcção-dfusão, como dscrto por Rathby (976), dvdo à varação do ângulo qu o vtor vlocdad faz com a malha.

53 Erro Prcntual (%) E- E0 E E E3 Númro d PECLET Fgura 3.6 Gráfco do rro prcntual para = /5. A quação d govrno para st problma sob as coordnadas, S na drção do scoamnto N prpndcular ao scoamnto, é: ( ρ VS) = 0 S S S N N Utlzando-s o sstma d coordnadas x y como mostrado na fgura 3.7, a quação d govrno é: ( ρ U) ( ρv) = Y Y Y As condçõs d contorno são mostradas na fgura 3.7, ond θ é o ângulo d nclnação do vtor vlocdad com rlação ao xo x. Obsrv qu nas frontras, acma da lnha qu passa plo ponto cntral do domíno, formando o ângulo θ com a horzontal, = abaxo = 0. Rathby (976) sugr qu o númro d Péclt (P), para st problma, sa gual a 450.

54 53 Os rsultados são aprsntados nas fguras 3.8 a 3.0, d forma qu rprsntm a dstrbução d ao longo da lnha vrtcal ( = 4,5) mostrada na fgura 3.7. Nas fguras 3.8 a 3.0, pod sr vsto o fto da Falsa Dfusão para os três squmas d dscrtzação FLE, FLU-SPLINE POWER LAW. Quando o vtor vlocdad é alnhado com a lnha da malha horzontal, Yc = 4,5, θ = 0º, a fgura 3.8 (a), os squmas não aprsntam o fto da Falsa Dfusão vsto qu plo fato d trm sdo grados assumndo prfs xponncas para a varávl. 9 = 4,5 V r V r θ = 0 Yc 0 4,5 9 Fgura 3.7 Transport d um pulso m numa rgão d vlocdad constant. O problma fo rsolvdo usando uma malha rgular x para dfrnts valors do parâmtro Yc, sto é, para dfrnts ângulos d ataqu (θ) da vlocdad V r. A rlação ntr Yc θ é: ( θ) Yc = 4,5 tan

55 Y (a) Y POWER LAW FLU-SPLINE FLE Fgura 3.8 Transport convctvo d um pulso m : prfl na lnha cntral ( = 4,5) para: (a) Yc = 4,5 (θ = 0º) (b) Yc = 3,5 (θ =,53º). (b) Y (a) Y POWER LAW FLU-SPLINE FLE Fgura 3.9 Transport convctvo d um pulso m : prfl na lnha cntral ( = 4,5) para: (a) Yc =,5 (θ = 3,96º) (b) Yc =,5 (θ = 33,69º). (b)

56 Y (a) Y POWER LAW FLU-SPLINE FLE (b) Fgura 3.0 Transport convctvo d um pulso m : prfl na lnha cntral ( = 4,5) para: (a) Yc = 0,5 (θ = 4,63º) (b) Yc = 0,0 (θ = 45º). Nas fguras 3.8 a 3.0, pod sr vsto o fto da Falsa Dfusão para os métodos FLE, FLU-SPLINE DIF. CENTRAL. Quando o vtor vlocdad é alnhado com a lnha da malha horzontal, Yc = 4,5, θ = 0º, a fgura 3.8 (a), todos os métodos não aprsntam o fto da Falsa Dfusão. Com o aumnto do ângulo θ, ambos os métodos FLE DIF. CENTRAL vão porando, sndo pors com Yc = 0, θ = 45º, fgura 3.0 (b), ou sa, sss métodos são aftados pla Falsa Dfusão. Já o método FLU-SPLINE aprsnta alguns snas da Falsa Dfusão, dando o por rsultado para Yc =,5, θ = 3,96º, fgura 3.9 (a), não aprsntando sss fto para Yc = 0, θ = 45º, fgura 3.0 (b). Os ftos da Falsa Dfusão m todo o domíno do studo podm sr vstos nos gráfcos trdmnsonas nas fguras 3. a 3.6.

57 56 (a) (b) (c) Fgura 3. Gráfco trdmnsonal d um pulso m para Yc = 4,5 (θ = 0º): (a) POWER LAW, (b) FLU-SPLINE (c) FLE. 56

58 57 (a) (b) (c) Fgura 3. Gráfco trdmnsonal d um pulso m para Yc = 3,5 (θ =,53º): (a) POWER LAW, (b) FLU-SPLINE (c) FLE. 57

59 58 (a) (b) (c) Fgura 3.3 Gráfco trdmnsonal d um pulso m para Yc =,5 (θ = 3,96º): (a) POWER LAW, (b) FLU-SPLINE (c) FLE. 58

60 59 (a) (b) (c) Fgura 3.4 Gráfco trdmnsonal d um pulso m para Yc =,5 (θ = 33,69º): (a) POWER LAW, (b) FLU-SPLINE (c) FLE. 59

61 60 (a) (b) (c) Fgura 3.5 Gráfco trdmnsonal d um pulso m para Yc = 0,5 (θ = 4,63º): (a) POWER LAW, (b) FLU-SPLINE (c) FLE. 60

62 6 (a) (b) (c) Fgura 3.6 Gráfco trdmnsonal d um pulso m para Yc = 0,0 (θ = 45º): (a) POWER LAW, (b) FLU-SPLINE (c) FLE. 6

63 CONCLUSÕES SOBRE REGIME PERMANENTE Como fo obsrvado nos quatro problmas aprsntados acma, o método FLE só aprsntou rsultados mlhors para um problma d dfusão pura cua drvada do prfl ntrpolant sa smlhant ao prfl dos fluxos J proposto. No dmas, o método FLU-SPLINE contnua dando rsultados mlhors. O método d DIF. CENTRAL s mostrou nfror aos outros dos métodos á ctados. 3.. REGIME TRANSIENTE 3... DIFUSÃO PURA Problma Tst 5 O problma aqu smulado é o da propagação d uma onda scalar undmnsonal m uma barra d sção rta proprdads constants, ngastada m uma xtrmdad submtda na outra a um carrgamnto constant, mostrada na fgura 3.7. A q = L =.0 Fgura 3.7 Caractrístcas da barra undmnsonal. Utlzou-s o squma d Dfrnças Fntas para a dscrtzação do trmo transnt da quação d govrno, na sua forma mas smpls. O obtvo é avalação do dslocamnto no cntro da barra (ponto A) ao longo do tmpo admnsonal. A quação dfrncal parcal admnsonal, qu govrna a propagação da onda na barra é, no caso d proprdads do mo assumdas como constants: θ τ θ = 0 As condçõs ncas d contorno são:

64 63 (, τ = 0) θ θ (, τ = 0) = = 0 τ θ ( = 0, τ > 0) = 0 θ ( =, τ > 0) = Os rsultados para o dslocamnto da sção cntral da barra ao longo do tmpo admnsonal, são plotados para os três squmas nas fguras para malhas com 9 ( = /9) 7 ( = /7) volums d control, rspctvamnt 400 passos no tmpo (t = /400) m comparação com uma solução d rfrênca obtda por dfrnça cntral com 43 volums d control. Podmos obsrvar qu ants do dgrau, o squma FLE é o mas próxmo da solução d rfrênca nas duas malhas utlzadas. Valors abaxo dsta solução, undrshoot, só aparcm no squma FLU-SPLINE os msmos prsstm na malha d 7 volums d control. Dpos do dgrau, nota-s qu as osclaçõs stão prsnts m todos os squmas, com undrshoot ovrshoot mas pronuncados para o squma d dfrnça cntral, sndo qu o squma FLE aprsnta valors ntrmdáros. Problma Tst 6 Passarmos agora ao problma da quação scalar da onda no bdmnsonal. A quação dfrncal d govrno contém o dvrgnt do vtor fluxo d forma gral pod sr scrta como: τ = 0 Y Y O comportamnto dos squmas srá afrdo através da smulação da propagação d uma onda m uma placa plana. As condçõs ncas são como no caso antror: (, Y, τ = 0) (, Y, τ = 0) = = 0 τ

65 64.4 Dslocamnto (admnsonal).3 Malha: 9 VC. Rfrênca - 43 VC. Df. Cntral.0 Flux-Spln 0.9 Esquma Novo Tmpo (admnsonal) Fgura 3.8 Dslocamnto da onda (ponto A), com t = /400, = / Dslocamnto (admnsonal). Malha: 7 VC. Rfrênca - 43 VC Df. Cntral.0 Flux-Spln 0.9 Esquma Novo Tmpo (admnsonal) Fgura 3.9 Dslocamnto da onda (ponto A), com t = /400, = /7.

66 65 As condçõs d contorno são mpostas na fac ost (=0), d modo a grar uma onda smétrca m rlação ao xo qu s propaga a partr d um qunto dsta suprfíc pla placa quadrada. Assm tmos: 3 = 0, Y, 0 < τ τ max = nquanto nos contornos rstants mpõ-s (,Y, τ ) = 0, conform mostra a fgura 3.0. Y B A B 0 Fgura 3.0 Caractrístcas do problma bdmnsonal. Para τ max τ τmax = todo o contorno é submtdo ao dslocamnto nulo nquanto o fnômno prossgu através da placa. Aprsntarmos a sgur, na fgura 3., um rsultado obtdo por uma malha d 30 x 30 volums d control 800 passos no tmpo, para τ = max sob o squma d 3 Dfrnça Cntral, qu srá usado como rfrênca para os dmas rsultados com malhas mnos rfnadas dfrnts squmas.

67 66 Fgura 3. Dslocamnto da placa plana sob malha d 3 x 3 volums d control usando o método d DIF. CENTRAL. Pod-s vr m toda magntud a naturza d uma onda grando grands gradnts por ond passa, nquanto qu o spaço à usant stá m rpouso. As lnhas d dslocamnto constant são mostradas na fgura Y Fgura 3. Lnhas d dslocamnto constant da placa plana sob malha d 3 x 3 volums d control usando o método d DIF. CENTRAL.

68 67 A onda s concntra numa pquna ára da placa, o qu dsta forma dfculta a smulação, tndo m vsta os grands gradnts qu al s formam. Os rsultados para o problma da onda scalar bdmnsonal são mostrados nas fguras 3.3 a 3.5, com malhas d 3 x 3, 6 x 6 x volums d control. Pod-s obsrvar qu o squma FLU-SPLINE tm com caractrístca a gração d prturbaçõs à usant da onda. Essa caractrístca não é dsávl, pos cra um snal, no caso um ruído, ond nada xst, pos a onda anda não atngu ssa rgão. No squma DIF. CENTRAL obsrva-s claramnt o achatamnto da onda, muto mas pronuncado qu aqul produzdo plos squmas FLU-SPLINE FLE. Ess achatamnto mostra a dfculdad qu ss squma sofr na prsnça d grands gradnts como os qu ocorrm nst tpo d fnômno. Esta caractrístca á hava sdo apontada na dfusão pura m rgm prmannt. Prcb-s qu st squma não produz prturbaçõs à usant da onda. Para o squma FLE, nota-s qu m nnhuma das malhas é grado ruído a usant da onda, o qu o coloca nst qusto, ao lado do squma d dfrnça cntral, é um avanço m rlação ao squma FLU-SPLINE. Problma Tst 7 O problma a sr smulado a propagação d uma onda sísmca num caso bdmnsonal. A quação dfrncal d govrno contém o dvrgnt do vtor fluxo d forma gral pod sr scrta como: τ Y Y = S O comportamnto dos squmas srá novamnt afrdo através da smulação da propagação d uma onda m uma placa plana. Para grar uma onda sísmca, é ncssáro, para qu haa uma prturbação s propagando através do mo, a ntrodução d um trmo font. Nst caso srá usada a xprssão abaxo: S = π ( πf ) [ ( ) ] c t π π f d c t d

69 MALHA: 3 x 3 VC Rfrênca: 3 x 3 VC Dslocamnto (admnsonal) Dslocamnto (admnsonal) DIF. CENTRAL FLU-SPLINE FLE (admnsonal) (a) Tmpo (admnsonal) (b) Fgura 3.3 Dslocamnto da onda para 3 x 3 volums d control (rfrênca: DIF. CENTRAL): (a) ao longo d na lnha BB (b) ao longo do tmpo (ponto A). 68

70 MALHA: 6 x 6 VC Rfrênca: 3 x 3 VC 0 40 DIF. CENTRAL FLU-SPLINE Dslocamnto (admnsonal) 0 0 Dslocamnto (admnsonal) 0 0 FLE (admnsonal) (a) Tmpo (admnsonal) (b) Fgura 3.4 Dslocamnto da onda para 6 x 6 volums d control (rfrênca: DIF. CENTRAL): (a) ao longo d na lnha BB (b) ao longo do tmpo (ponto A). 69

71 Dslocamnto (admnsonal) Dslocamnto (admnsonal) MALHA: x VC Rfrênca: 3 x 3 VC DIF. CENTRAL FLU-SPLINE FLE (admnsonal) (a) Tmpo (admnsonal) (b) Fgura 3.5 Dslocamnto da onda para x volums d control (rfrênca: DIF. CENTRAL): (a) ao longo d na lnha BB (b) ao longo do tmpo (ponto A). 70

72 7 ond, t é o tmpo; t d é o tmpo dfasado, computando crta translação tmporal para o cálculo do trmo font, d acordo com: t d π = t ; f c f c é um parâmtro rlaconado com a frqüênca d cort da font sísmca, ond: f 3 f π. cort = c A fgura 3.6 mostra o gráfco do trmo font m função do tmpo Ampltudd (admnsonal) Tmpo (admnsonal) Fgura 3.6 Trmo font m função do tmpo. O carrgamnto s dá através do trmo font, aplcado no cntro (ponto A) do domíno, conform mostra a fgura 3.7. As condçõs ncas d contorno são: (, Y, τ = 0) (, Y, τ = 0) = = 0 τ Nos contornos da placas mpõ-s (,Y, τ ) = 0, conform mostra a fgura 3.7.

73 7 Y A 0 Fgura 3.7 Caractrístcas do problma bdmnsonal. Aprsntarmos a sgur, na fgura 3.8, o rsultado obtdo por uma malha d 43 x 43 volums d control, 800 passos no tmpo sob o squma d Dfrnça Cntral, qu srá usado como rfrênca para os dmas rsultados com malhas mnos rfnadas dfrnts squmas. Fgura 3.8 Dslocamnto da onda na placa plana sob malha d 43 x 43 volums d control usando o método d DIF. CENTRAL. Os rsultados para o dslocamnto da onda na lnha cntral (Y = 0,5) da barra ao longo do tmpo admnsonal são plotados na fgura 3.9 na fgura 3.30 para malhas com 7 ( = /7) 8 ( = /8) volums d control, rspctvamnt 800 passos no tmpo