INTRODUÇÃO A MECÂNICA DO CONTÍNUO: Uma Abordagem Moderna,

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SEOR DE ECNOLOGIA/SEOR DE CIÊNCIAS EXAAS DEPARAMENO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARAMENO DE MAEMÁICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA INRODUÇÃO A MECÂNICA DO CONÍNUO: Uma Abordagm Modrna, por Lucas Máxmo Alvs CURIIBA PARANÁ MARÇO 007

2 LUCAS MÁXIMOALVES INRODUÇÃO A MECÂNICA DO CONÍNUO: Uma Abordagm Modrna, CURIIBA PARANÁ MARÇO 007

3 LUCAS MÁXIMOALVES INRODUÇÃO A MECÂNICA DO CONÍNUO: Uma Abordagm Modrna, Apostla organzada como rsultado do studo das aulas para obtnção d crédtos da Dscplna d INRODUÇÃO A MECÂNICA DO CONÍNUO do curso d Doutorado do Programa d Pós-Graduação m Métodos Numércos do Stor d cnologa/stor d Cêncas Exatas, Dpartamnto d Engnhara Cvl/Dpartamnto d Matmátca da Unvrsdad Fdral do Paraná Orntador: Prof. Dr. Adrano Scrmn Orntador: Prof. Dr. CURIIBA PARANÁ MARÇO 007

4 Ddcatóra Ddco, 4

5 Agradcmntos Agradço a Dus plo su mnso amor msrcórda rvlado nas oportundads qu a vda m troux. Quro também agradcr: À mnha Famíla plo apoo moconal sprtual, ao mu orntador o Prof. Dr...., ao mu Co-Orntador o Prof. Dr...., a Marstla Bradl pla amzad ddcação com qu nos atnd, aos amgos,...,......,..., toda a galra do CESEC. 5

6 Epígraf vda é um algo multdmnsonal cua mprvsívl curvatura tmporal só é conhcda quando s xprmnta os fatos a cada da, msmo assm, não s consgu prvr com xatdão a curvatura tmporal dos fatos sgunts, msmo qu s xpanda sta (a curvatura futura) numa vznhança m torno do fato no nstant prsnt (Lucas M. Alvs) 6

7 Sumáro Aprsntação...8 Capítulo I...9 INRODUÇÃO A EORIA DO CONÍNUO...9. Obtvos do capítulo...9. Introdução a ora do Contínuo...9. Contúdos da Mcânca do Contínuo...0 Capítulo II... ENSORES Obtvos do capítulo.... Introdução Part A: A Notação Indcal Part B: nsors Part C: Cálculo nsoral Part D: Coordnadas Curvlnas ormas Intgras Exmplos Aplcaçõs Exrcícos Problmas...6 Capítulo III...6 CINEMÁICA DO CONÍNUO Obtvos do capítulo Introdução...6. O Movmnto Dscrção do Movmnto d um Mo Contínuo Dscrção Matral Dscrção Espacal Drvada Matral Aclração da Partícula m um Mo Contínuo O Campo d Dslocamnto Equação Cnmátca do Movmnto d Corpo Rígdo Exmplos Aplcaçõs Exrcícos Problmas...80 Capítulo IV...8 DEFORMAÇÃO NO CONÍNUO Obtvos do capítulo Introdução Gradnt d Dformaçõs Dformaçõs Dformaçõs Infntsmas Sgnfcado Gométrco d E Dformaçõs Prncpas Dlatação nsor Rotação Infntsmal axa d Varação d um Elmnto Matral nsor axa d Dformação axa d Varação Volumétrca d um Elmnto Matral nsor d Rotação Vlocdad Angular Equaçõs d Consrvação da Massa...0 7

8 4. 5 Condção d Compatbldad para o nsor E Condção d Compatbldad para o nsor d Dformação O Gradnt d Dformação Dslocamnto d Corpo Rígdo Dformação Fnta orma da Dcomposção Polar Cálculo do nsor d Estramnto a partr do Gradnt d Dformação O nsor Drto d Dformação d Cauchy-Grn O nsor Lagrangano d Dformação O nsor Esqurdo d Dformação d Cauchy-Grn O nsor d Dformação d Eulr Condção d Compatbldad para as Componnts do nsor d Dformação Fnto Varação d Ára dvdo a Dformação Varação d Volum dvdo a Dformação Exmplos Aplcaçõs Exrcícos Problmas...48 Capítulo V...49 ENSÃO NO CONÍNUO Obtvos do Capítulo Introdução Vtor nsão d Cauchy Componnts do nsor d nsão d Cauchy Smtra do nsor d nsão d Cauchy nsão Prncpas Máxma nsão d Csalhamnto Equação d Movmnto d um Mo Contínuo Suto a Um Campo d nsão nsor d nsão d Pola-Krchoff Equação d Movmnto scrto na Confguração d Rfrênca Potênca d nsão axa d Fluxo d Calor por Condução Equação da ª L da rmodnâmca Dsgualdad d Entropa Exmplos Aplcaçõs Exrcícos Problmas...90 Capítulo VI...9 O SÓLIDO ELÁSICO Obtvos do capítulo Introdução A ora da Elastcdad Proprdads Mcâncas O Sóldo Elástco Lnar Equação da ora da Elastcdad Infntsmal Prncípo da Suprposção Onda Plana Irrotaconal Onda Plana Equvolumal Extnsão Smpls Exmplos Aplcaçõs Exrcícos Problmas...46 Capítulo VII

9 O FLUIDO VISCOSO NEWONIANO Obtvos do capítulo Introdução Exmplos Aplcaçõs Exrcícos Problmas...49 Capítulo VIII...50 FORMULAÇÃO INEGRAL DE PRINCÍPIOS GERAIS Obtvos do capítulo Introdução ormas Intgras orma d Gauss orma d Stoks Exmplos Aplcaçõs Exrcícos Problmas...55 Capítulo IX...56 FLUIDO NÃO-NEWONIANO Obtvos do capítulo Introdução Exmplos Aplcaçõs Exrcícos Problmas...58 Capítulo X...59 A EORIA DA PLASICIDADE Obtvos do capítulo Introdução Plastcdad Exmplos Aplcaçõs Exrcícos Problmas...7 Capítulo XI...74 INRODUÇÃO AOS PROBLEMAS NÃO LINEARES Obtvos do capítulo Introdução Alguns Problmas Não-Lnars Problmas Estruturas Não-Lnars Exmplos Aplcaçõs Exrcícos Problmas...84 Bblografa

10 Lsta d Fguras Fgura Fgura Fgura -.. a) bas ortonormal b) rgra da mão drta para o produto vtoral...5 Fgura -.. Fgura Fgura Fgura -.. a) bas ortonormal b) rgra da mão drta para o produto vtoral...5 Fgura -.. ransformação Lnar Vtoral d um vtor a m c Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura -.. Função potncal o su gradnt Fgura -.. Função potncal o su gradnt....0 Fgura -.. Isotrmas d um campo scalar Fgura Isotrmas d um campo scalar Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Erro! Indcador não dfndo. Fgura Fgura Fgura Fgura Erro! Indcador não dfndo. Fgura Fgura Fgura Fgura

11 Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura -.. a) ruptura lástca b) pollastcdad c) lastcdad não-lnar d) plastcdad...76 Fgura -.. Flambagm m hast dlgada com xcntrcdad nula...76 Fgura -.. Flambagm m hast dlgada com xcntrcdad não nula...77 Fgura Flambagm m artculaçõs com nvrsão do stado rcupração d stabldad...77 Fgura Flambagm m suprfícs com nvrsão do stado...77 Fgura Flambagm multmodal m artculaçõs...78 Fgura Flambagm localzada m hast struturas...78 Fgura Flambagm m suprfícs sutas a um carrgamnto...78 Fgura Grands dslocamntos m a) vgas ngastadas b) m cabos áros sutos ao próro pso Fgura Problma d grands dslocamntos com lpszação do dâmtro tubos m tubulação aéra Fgura -.. Grands dslocamntos m artculaçõs d gundasts robôs...79 Fgura -.. Plastdad com Hstrs Dspatva...80 Fgura -.. Vscolastcdad com dformação não lnar...80 Fgura Matras com não lnardad consttutva a) rvstmnto d aronavs b) matrz óssa...8 Fgura Fratura plastcdad na ponta da trnca Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Erro! Indcador não dfndo. Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura

12 Fgura Fgura Fgura Fgura Fgura

13 Lsta d ablas

14 Lsta d Sglas 4

15 Lsta d Símbolos 5

16 Rsumo 6

17 Abstract 7

18 Aprsntação Esta apostla d Introdução a Mcânca do Contínuo é rsultado da dgtação das aulas do curso mnstrado plo profssor Dr. Adrano Scrmn d studos pssoas do studant d doutorado M. Sc. Lucas Máxmo Alvs, do Programa d Pós-Graduação d Métodos Numércos para a Engnhara-PPGMNE da Unvrsdad Fdral do Paraná. 8

19 Capítulo I INRODUÇÃO A EORIA DO CONÍNUO RESUMO Nst capítulo srá dada uma vsão gral da tora do contínuo suas aplcaçõs. Em partcular a dfnção d um mo contínuo dntro do contxto matmátco físco, no qu dz rspto a consttução atômca da matéra. Nst últmo contxto os lmts d scala nfror supror são stablcdos como uma forma d prsrvar o concto matmátco abstrato.. Obtvos do capítulo ) Entndr a dfnção d um mo contínuo ) Rconhcr os dfrnts contxtos áras da cênca ond o concto d contínuo s aplca. ) Sabr formular a déa do contínuo para dfrnts stuaçõs d ntrss.. Introdução a ora do Contínuo A matéra na raldad é formada d moléculas, átomos partículas subatômcas, portanto não é contínua, ou sa, é dscrta. Contudo xstm mutas stuaçõs da xprênca dára qu a tora fnomnológca do comportamnto dos matras utlzada não consdra a strutura atômca ou molcular da matéra. A tora qu ao dscrvr rlaçõs ntr fnômnos , dsprzando a strutura da matéra m uma pquna scala, é conhcda como a tora do contínuo. A tora do contínuo consdra a matéra como ndfndamnt dvsívl. Nsta 9

20 tora, acta-s a déa d um volum nfntsmal d matéra rfrnt a uma partícula no contínuo, m toda vznhança d uma partícula xstm smpr partículas vznhas. A tora do contínuo é ustfcada ou não dpndndo da stuação. A aproxmação do contínuo dscrv adquadamnt o comportamnto d matras ras m mutas crcunstâncas. Ela fornc rsultados qu stão d acordo com as obsrvaçõs xprmntas na propagação d ondas d comprmnto d onda xtrmmamnt pqunas. Por outro lado, um gás prfto pod sr adquadamnt dscrto por um contínuo m crtas crcuntâncas. Em todo o caso é corrto ustfcar a abordagm do contínuo com bas no númro d moléculas m um dado volum. Além do qu m um volum nfntsmal no lmt não contém moléclas no su ntror. ambém não é ncssáro nfrr qu quantdads qu ocorrm na tora do contínuo dvm sr ntrprtadas como crtas médas statítcas partculars. Nsta stuação consdra-s o lmt trmodnâmco para as médas statístcas m torno d 5 0 partculas (átomos, moléculas, tc). D fato, sab-s qu a msma quação contínua pod sr obtda por dfrnts hpótss a rspto da strutura molcular por dfnçõs d varávs... Enquanto qu a tora statístca molcular, s dsponívl, não mlhora o ntndmnto da tora do contínuo. O ponto a sr pnsado é smplsmnt qu s a tora do contínuo é ustfcada m uma dada stuação, sto é, um assunto do tst xprmntal não d flosofa. É sufcnt dzr qu mas do qu cm anos d xprênca tm ustfcado tal tora m uma larga vardad d stuaçõs.. Contúdos da Mcânca do Contínuo A mcânca do contínuo studa a rsposta dos matras a dfrnts condçõs d carrgamnto. Sm assunto pod sr dvddo m duas parts: () Prncípos gras comuns a todos os mos () Equaçõs consttutvas qu dfnm matras dalzados. Os prncípos gras são axomas consdrados srm auto-vdnts a partr d nossa xprênca como o mundo físco, tas como: - Consrvação da Massa - Balanço do Momntum Lnar (Consrvação da Quantdad d Movmnto) - Balanço d Momnto Angular (Momnto d Momntum) - Balanço da Enrga (Consrvação Enrga) 0

21 - L da Ingualdad da Entropa (ª L da rmodnâmca). Matmatcamnt xstm duas formas dos prncípos gras: () Forma Intgral, formulada para um volum fnto d matéra no contínuo. () As quaçõs d campo para um volum dfrncal d matéra (partícula) m todo ponto do campo d ntrss. Equaçõs d campo são frquntmnt drvadas a partr da forma ntgral. Elas podm sr também drvadas drtamnt a partr do corpo lvr d um volum dfrncal. Esta últma abordagm é adquada para ncants. Nst lvro-txto as abordagns são aprsntadas, com a forma ntgral dada na drção do fm do txto. As quaçõs d campo são mportants s as varaçõs das varávs no campo são também d ntrss por las msmas ou são ncssáras para s obtr as nformaçõs dsadas. Por outro lado, as formas ntgras das ls d consrvação las msmas... prontamnt a crtas soluçõs aproxmadas. A sgunda maor part da tora da mcânca do contínuo concrnnt a quaçõs consttutvas as quas são usadas para dfnr o matral dalzado. Matras dalzados rprsntam crtos aspctos do comportamnto dos matras naturas. Por xmplo, para mutos matras sob condçõs rstrtas, a dformação causada pla aplcação d cargas dsaparc com a rmoção das cargas. Est aspcto do comportamnto do matral é rprsntado pla quação consttutva d um corpo lástco. Sob condçõs mas rstrtas, o stado d tnsão m um ponto dpnd lnarmnt das varaçõs dos comprmntos dos ângulos (mútuos) sofrdas plos lmntos d volum no ponto mddo a partr do stado ond as forças xtrnas ntrnas s dsvancm. A xprssão acma dfn um sóldo lnarmnt lástco. Um outro xmplo, é forncdo pla dfnção clássca d vscosdad a qual é basada na suprposção qu o stado d tnsão dpnd lnarmnt das taxas nstantânas d varação dos comprmntos ângulos mútuos do lmnto d volum. al quação consttuva dfn um fludo lnarmnt vscoso. O comportamnto mcânco dos matras ras vara não somnt d matral para matral para matral, mas também com dfrnts condçõs d carrgamnto para um dado matral. Est lva a formulação d mutas quaçõs consttutvas qu dfnm os mutos dfrnts aspctos do comportamnto matral.

22 Nst txto, nós aprsntarmos quatro modlos dalzados studarmos o comportamnto qu ls rprsntam por mo d algumas soluçõs d smpls problmas d valor d contorno. Os matras dalzados scolhdos são: () O sóldo lástco lnar sotrópco ansotrópco () O sóldo lástco não-lnar sotrópco ncomprssívl () O fludo lnarmnt vscoso nclundo o fludo não-vscoso (4) O fludo não-nwtonano ncomprssívl Um mportant rqurmnto qu dv sr satsfto para todos as quantdads usadas na formulação d uma l físca é qu las são coordnadas nvarants. No capítulo sgunt, nós dscutrmos tas quantdads. Fgura -..

23 Capítulo II ENSORES RESUMO Nst capítulo srá vsto a álgbra o cálculo tnsoral. As proprdads fundamntas dos tnsors srão dmonstradas prparando o studant para a sua aplcação na tora da lastcdad, na mcânca dos sóldos na tora da vscosdad.. - Obtvos do capítulo ) Entndr o concto gral d tnsor suas proprdads. ) Sabr rconhcr um tnsor. ) Sabr xprssar um vtor /ou um tnsor m dfrnts sstmas d coordnadas. v) Sabr ralzar cálculos vtoras tnsoras.. Introdução Como fo mnconado na ntrodução, todas as ls da mcânca do contínuo dv sr formulada m trmos d quantdads qu são ndpndnts das coordnadas. Esta é a proposta dst capítulo, ntroduzr tas ntdads matmátcas. Nós comçarmos pla ntrodução d uma notação abrvada nxuta, a notação ndcal. Na part A dst capítulo, qu srá sguda plo concto d tnsor ntroduzdo como uma transformação lnar na part B. O campo básco d opraçõs ncssáras para fomulaçõs do contínuo são aprsntadas na part C suas rprsntaçõs m coordnadas curvlnas na part D.

24 . - Part A: A Notação Indcal.A Convnção d Soma Somatóro os Índcs Mudos ou Fctícos Consdr a soma abaxo (qu pod sr a forma d um produto scalar d dos vtors a b. cua rprsntação m trmos das suas componnts a x é rspctvamnt) s ax ax ax... a n x n (A. ) Nós podmos scrvr a quação (A. ) d uma forma compacta usando o snal d somatóro: n s a x ; n (A. ) É obvo qu as sgunts quaçõs possum xatamnt o msmo sgnfcado qu a Eq.(A. ) n s a x (,,..., n) (A. ) n s a m m x m ( m,,..., n) (A. 4) tc. O índc na quação (A. ), ou na quação (A. ), ou m n quação (A. 4) é um índc mudo no snso d qu a soma é ndpndnt da ltra usada. Nós podmos anda smplfcar a scrta da quação (A. ) s nós adotarmos a sgunt convnção: Quando acontcr d um índc aparcr rptdo uma vz, st é um índc mudo qu ndca qu a somatóro com o índc prcorr os valors ntros d,,..., n. Esta convnção é conhcda como convnção d soma d Enstn. Usando a convnção a quação (A. ) s ncurta para a notação 4

25 s a ;,, x índcs mudos ou fctíctos (A. 5) Nós também notamos qu: a x a x a x... (A. 6) m m Portanto, na notação ndcal d Enstn nós podmos smplsmnt scrvr: n (A. 7) s a x s a,,... x índc mudo qu pod rprsntado a dcomposção d um vtor s com componnt a, dcomposto m trmos dos vtors d uma bas x, ou o produto scalar d dos vtors a x xprsso m trmos d suas componnts a x. Dv-s nfatzar qu as xprssõs tas como a b x não são dfndas dntro dsta convnção. Isto é, um índc nunca dv sr rptdo mas do qu uma vz, quando a convnção d soma d Enstn é usada. Portanto, uma xprssão da forma: n ( ) s a b x a b x forma rrada (A. 8) stara rrado portanto dv-s rtr su snal d somatóro. A forma corrta d s scrvr sta soma sra: n s a b x a b x a b x b x b x a b x b x b x a b x b x b x a b x b x b x (A. 9) D agora m dant nós dvmos smpr tomar n gual a tal qu, por xmplo, a x a a a a m mm a x a m a a x a a a a x a x (A. 0) A convnção d soma d Enstn obvamnt pod sr usada para xprssar uma dupla soma, uma soma trpla, tc. Por xmplo, nós podmos scrvr: 5

26 S a x x 9 trmos (A. ) Smplsmnt como S a x x (A. ) Expandndo totalmnt, a xprssão (A. ) da uma soma d nov trmos,.., a a a a x x x x x a x x x a a a x x x x x a x x x a x x a a x x x a x x x x x (A. ) Para ncants, st é provavlmnt mlhor xcutar a xpansão acma m duas tapas, prmro, a soma sobr ntão a soma sobr (ou vc-vrsa), sto é, ond a x x a xx a xx a x x (A. 4) a x a a a x x x x a x x x x a a a x x x x x a x x x a a a x x x x x a x x x x (A. 5) Smlarmnt, a soma trpla S ak x x xk k 7 trmos (A. 6) Smplsmnt srá scrta como S a x x x (A. 7) k k A xprssão (A. 5) rprsnta a soma d 7 trmos. Nós nfatzamos novamnt qu as xprssõs tas como a x x x x não são dfndas na convnção d soma d Enstn, logo las não rprsntam k k as sgunts xprssõs: 6 a x x x or

27 7 ou k k k x x x x a x x x a (A. 8) A - Índcs Lvrs Consdr a sgunt sstma d três quaçõs / ' / ' / ' p x a x a x a x p x a x a x a x p x a x a x a x (A. ) Usando a convnção d soma a quação (A. ) pod sr scrta como: / ' / ' / ' p x a x p x a x p x a x m m m m m m (A. ) A qual pod sr rduzda para,,, ' x a x m m lvrs índcs (A. ) rprsntando um sstma d quaçõs lnars qu matrcalmnt fca: ' ' ' x x x a a a a a a a a a x x x (A. 4) Um índc qu aparc somnt uma vz m cada trmo d uma quação tal como o índc na quação (A. ) é chamado d um índc lvr. Um índc lvr toma valors sobr númros ntros, ou um d cada vz. Então a quação é (A. ) é abrvada para três quaçõs cada uma tndo a soma d três trmos sobr su lado drto (sto é, quação (A. )) Um xmplo a mas é dado por,,, ' Q m m (A. 5) Rprsntando

28 ' Q ' Q ' Q Q Q Q Q Q Q (A. 6) ' Q m Nós notamos qu m x ' a, =,, é o msmo qu a (A. 4). Contudo, É uma quação sm sgnfcado. OBS: m x m, =,, é o msmo qu a quação (A. ) a b (A. 7) O índc lvr qu aparc m cada trmo d uma quação dv sr o msmo. Então as sgunts quaçõs são sm sgnfcado. a k c,, a b c d 0,,, (A. 8) o crto sra a b c,, (A. 9) S xstm dos índcs lvr qu aparcm m uma quação tal qu: Am Am,,,, (A. 0) Então a quação é uma... scrta d 9 quaçõs; cad uma tm uma soma d trmos no lado drto. D fato, 8

29 A A A m m m A m A A m m A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A m m m A A m A m m A A A A A A A A A A A A A A A A A A (A. ) A A A m m m A A m A m m Novamnt, quaçõs tas como: A A A A A A A A A A A A A A A A A A k (A. ) Não tm sgnfcado Va anda o xmplo corrto d quaçõs com dupla somatóra a x (A. ) possu 09 quaçõs. A notação ndcal também acta a mudança d índcs. k k a x a v v (A. 4) k k kl k l Para a x a v v (A. 5) m m kl k l A Dlta d Krönckr Isto é: O dlta d Kronckr, dnotado por é dfndo como: s (A. ) 0 s 9

30 0 (A. ) Em outras palavras, a matrz do dlta d Krönckr corrspond a matrz dntdad, sto é: 0 0 I 0 0 (A. 6) 0 0 I ond nós obsrvamos as sgunts proprdads: (a) (A. ) (corrspond ao traço da matrz dntdad) (b) m m m ou d forma gral: a a a m m m a a a a a a a a a ( p / ) ( p / ) ( p / ) (A. 4) a a a (,,) (A. 5) m qu são três possvs trmos: (c) ou m mm mm mm m (A. 6) m m m m m m m ou anda d forma gral: ( p / ) ( p / ) ( p / ) (A. 7) (A. 8) m m Matrcalmnt tmos: 0

31 (A. 9) Partcularmnt tmos outras proprdads: m m (A. 0) ou m m (A. ) para o caso n mn m n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n mn m n mn m n mn m n mn m n mn m n mn m n mn m n mn m n mn m n mn m n mn m n mn m n mn m n mn m... (A. )

32 d) Sa,, uma bas d vtors untáros prpndculars um ao outro (bas ortonormal), ntão o produto scalar: pod sr xprsso como:. (A. ) cos(, )...cos(, )..0 0.cos(, )..0 0 (A. 4) cos(, )..0 0.cos(, )...cos(, )..0 0 (A. 5) fnalmnt cos(, )..0 0.cos(, )..0 0.cos(, ).. (A. 6) A4 Símbolo d Prmutação ou nsor d Lv-Cvta O símbolo d prmutação, dnotado por k é dfndo por: k s formam prmutação par ou cíclca d,, 0 s não formamuma prmutação d,, s formam prmutação ímpar ou não cíclca d,, (A. 7) Est também é conhcdo como o tnsor d Lv-Cvta. Vamos como fca:

33 com prmutação sm prmutacão (A. 8) Nós notamos qu: k (A. 9) k k k k k Podmos obsrvar também o numro d prmutaçõs: 0 4 (A. 0) Va qu: ) As prmutaçõs pars (0,,4) ou cíclcas:,, no sntdo horáro possu como rsultado o valor + ) As prmutaçõs ímpars (,,) ou não-cíclcas:,, no sntdo ant-horáro possu como rsultado o valor - ) As não-prmutaçõs pars possu como rsultado o valor 0. conform mostra a Fgura -.. Fgura -..

34 4 Sa,, uma tríad d vtors qu formam uma bas ortonormal postva, ond: 0 ; 0 ; 0 ; ; ; ; (A. ) qu pod sr scrto d forma rsumda como: k k k k k k (A. ) Dsnvolvmos tmos: 0 ; 0 ; ) ( ) ( ) ( k k k k k k k k k k k k (A. ) conform mostra a Fgura -..

35 Fgura -.. a) bas ortonormal b) rgra da mão drta para o produto vtoral. Agora, sam a b vtors com rprsntação na bas,, dada por: a a b b Então o qu sra o produto vtoral a b? a b ( a ) ( b ) a b ( ) a b k k (A. 4) (A. 5) Isto é: a b a b k k (A. 6) qu possu 7 trmos. As sgunts dntdads úts podm sr provadas (va o Problma A7) Idntdads Importants ) ) ) p 6 (A. 7) pqr pqr (A. 8) pkl pq pq k l (A. 9) l k 5

36 Provando a proprdad () 6

37 A5 Manpulaçõs com a Notação Indcal a) Substtução S a u b (A. 0) m m b v c. m m m m n n (A. ) Então a ordm para substtur os b s m () para dntro d () é: nós prmro mudamos o índc lvr m () d para m, ncssaramnt, o índc mudo m para alguma outra ltra, como n por xmplo, tal qu: Agora, () () fornc Logo b v c. (A. ) m mn n a u ( v cn ) (A. ) m m mn a u v c (A. 4) mn n Agora (A. 4) rprsnta três quaçõs cada uma tndo a soma d nov trmos m su lado drto. É rrado, por xmplo, smplsmnt substtur: obtndo a u ( v c ) (A. 5) m m m a u v c (A. 6) m m m b) Multplcação S p a m b m (A. 7) 7

38 q c m d m (A. 8) Então pq a b c d (A. 9) m m n n É mportant notar qu: pq a b c d (A. 40) m m m m D fato, o lado drto dsta xprssão não é msmo dfndo na convnção d soma, além dsso, é obvo qu: pq a m m b Dsd qu o produto d vtors é dstrbutvo, portanto, s a a b b m c m d m (A. 4) (A. 4) S m partcular, s,, sào vtors untáros prpndculars um ao outro, ntão. tal qu: c) Fatoração S a. b ( a ).( b a b a b ) a b a b a (. ) a b b a b (A. 4) Então, usando o dlta d Krönckr, nós podmos scrvr: n n 0 (A. 44) n n (A. 45) al qu (A. 44) usando-s a quvalênca (A. 45), torna-s: Então n n 0 (A. 46) 8

39 n 0 (A. 47) d) Contração d Índcs Lvrs (índcs lvrs índcs mudos) A opração d dntfcação d dos índcs tal soma sobr ls é conhcda como contração. Por xmplo, é a contração d. (A. 48) OBS: só s contra índcs lvrs. S (A. 49) Então (A. 50) outros xmplos. S A A A A k k k k A A A A k kk A A A A A A A k A A A A k A (A. 5) ou anda B kl B B B B ( ; k, l ) B kl B B B B ( k ; l ) (A. 5) B kl B B B B ( k ; l ) 9

40 . 4 - Part B: nsors B nsor ransformação Lnar( ) Sa uma transformação lnar, a qual transforma qualqur vtor m um outro vtor. S transforma a m c b m d nós scrvmos: a c b d (B. ) S possu as sgunts proprdads lnars: a b a (B. ) b (B. ) a a ond a b são dos vtors arbtráros é um scalar arbtráro ntão é chamado d uma ransformação Lnar. Est é também chamado d nsor d Sgunda Ordm ou smplsmnt um nsor. Uma dfnção altrnatva quvalnt d uma transformação lnar é dada por uma únca proprdad lnar. a b a (B. 4) b ond a b são dos vtors arbtráros são scalars arbtráros. Fgura -.. ransformação Lnar Vtoral d um vtor a m c. : tnsor d ª ordm ou smplsmnt tnsor S dos tnsors S, transforma qualqur vtor arbtráro a d uma forma dêntca, ntão sts tnsors são guas um ao outro, sto é: Lnar Invrsívl (Rvrsívl); Não-lnar Não-Invrsívl (Irrvrsívl) 40

41 a Sa c (B. 5) logo S (B. 6) Exampl B. Sa uma transformação a qual transforma todo vtor m um vtor fxo n. Ë sta uma transformação tnsoral? Soluton Sa a b dos vtors quasqur, ntão pla dfnção d, a n, b n (B. 7) Claramnt vmos qu: a b n (B. 8) (B. 9) a b a b Portanto, não é uma transformação lnar. Em outras palavras, st não é um tnsor + Escalars vtors são algumas vzs chamadas d tnsors d ordm zro prmra ordm rspctvamnt. Msmo pnsando qu ls podm sr dfndos algbrcamnt, m trmos d crtas rgras opraconas, nos scolhmos não fazr sto. O concto gométrco d scalars vtors, qu nós supomos qu os studants stão famlarzados com ls, é gualmnt sufcnt para a nossa proposta. 4

42 Exmplo B. Sa uma transformação a qual transforma todo vtor m um vtor qu é k vzs o vtor orgnal. É sta uma transformação tnsoral? Solução Sa a b dos vtors arbtráros scalars arbtráros, ntão por dfnção d, tmos: a ka b kb (B. 0) (B. ) a b k a b Claramnt vmos qu: ka kb ka kb a b k a b (B. ) Logo (B. ) a b a b Então, pla Equação (B.), é uma transformação lnar. Em outras palavras, l é um nsor No xmplo prévo, s k = 0 ntão o tnsor transforma todos os vtors m zro. Est é o tnsor zro é smbolzado por O. 4

43 Exmplo B. Consdr uma transformação qu transforma todo vtor m sua magm splho com rspto a um palno fxo. É um tnsor. Fgura Solução Consdr um parallogramo no spaço com sus lados rprsntados plos vtors a b sua dagonal rprsntada pla rsultant a b. Uma vz qu o parallogramo prmanc um parallogramo após a rflxão, a dagonal (o vtor rsultant) do parallogramo rfltdo é claramnt ( a b), o rfltdo ( a b), a b, a soma do rfltdo d a d b. Isto é, ( a b) a b. ambém, para um scalar qualqur, a rflxão d a, obvamnt a msma qu vzs a rflxão d a (Isto é, ( a) a ) porqu ambos os vtors tm a msma magntud dada por vzs a magntud d a a msma drção. Então, plas Equaçõs (B.) é um tnsor. Fgura

44 Exmplo B.4 Quando um corpo rígdo sofr uma rotação sobr algum xo, os vtors dscrvm m gral varaçõs m suas drçõs. Isto é, a rotação transforma vtors dscrtos no corpo rígdo m outros vtors. Dnot sta transformação R. É R um tnsor? Solução Consdr um parallogramo mrso no corpo rígdo com sus lados rprsntando vtors a b sua dagonal rprsntadndo a rsultant a b. Dsd qu o parallogramo pmanc um parallogramo após a rotação sobr qualqur xo, a dagonal (o vtor rsultant) do parallo rotaconado é claramnt ambos R ( a b), o rotaconado ( a b ), R a R b, a soma do rotaconado a o rotaconado b. Isto é R( a b) Ra Rb. Um argumnto smlar como aqu usado no xmplo prévo conduz a R( a) R( a). Então R é um tnsor. Fgura

45 Exmplo B.5 Sa um tnsor qu transforma os vtors spcífcos a b d acordo com a sgunt rgra. Dado um vtor a a b ; b a b (B. 4) c a b, ach c Solução a a b (B. 5) b a b (B. 6) Usando a proprdad d lnardad dos tnsors tmos: c a b) a b ( (B. 7) ou logo c ( a b) ( a b) (B. 8) c (a b) a b (B. 9) 45

46 B Componnts d um nsor Sa uma bas ortonormal postvamnt orntada d vtors Fgura Sa um tnsor As componnts d um vtor dpndm da bas d vtors usadas para dscrvr as componnts. Isto também srá vrdad para os tnsors. Sa,, os vtors untáros da bas nas drçõs dos xos x, x, x rspctvamnt, d um sstma d coordnadas cartsanas rtangulars (bas ortonormal). Sob uma transformação, sts vtors,,, tornam-s ê, ê ê. Cada um dsts (,, ) sndo um vtor, pod scrto como: (B. ) conform mostra a Fgura -. 8 Fgura

47 ou m notação ndcal tmos: (B. ) Multplcando-s scalarmnt a (B. ) por ê é claro qu: São 9 componnts d na bas ê ; ; ; k, ou k k k k k k k ; ; ; (B. ) (B. 4) Logo d forma gral tmos: (B. 5) qu são as componnts d um tnsor. As componnts nas quaçõs acma são dfndas como as componnts do tnsor. Estas componnts podm sr posta m uma matrz como sgu: (B. 6) Est tnsor d ª ordm possu = 9 lmntos. Esta matrz échamada d matrz do tnsor com rlação à sér dos vtors da bas,, ou ê abrvamdamnt. Nós notamos qu, a forma com qu nós tmos scolhdo para dnotar as componnts d transformação dos vtors da bas, os lmntos da prmra coluna são as componnts do vtor ê, aquls 47

48 da sgunda coluna são componnts do vtor ê, aquls da trcra coluna são as componnts do vtor ê. Exmplo B. forma: Obtnha a matrz para o tnsor o qual transforma os vtors da bas da sgunt (B. 7) Solução Pla quação (B. 7) é claro qu: 4 0 (B. 8) 0 Exmplo B. Sa uma transformação lnar qu transforma todo vtor m sua magm splhada m rlação a um plano fxo. S ê é normal ao plano d rflxão ( ê ê são parallos a st plano). Ach a matrz do tnsor. Fgura

49 Solução Uma vz qu a normal ao plano d rflxão é transformada m su ngatvo vtors parallos ao plano não são altrados, tmos: Pla quação (B. 0) é claro qu: (B. 9) (B. 0) 0 0 Nós notamos qu st é somnt uma das nftas matrzs do tnsor, cada uma dpnd d uma scolha partcular da bas d vtors. Na matrz acma, a solha d ê é ndcada no canto nfror squrdo da matrz. S nós scolhmos ê ' ê ' star sobr um plano prpndcular ao splho conform mostra a Fgura -. 9 ê ' apontando drtamnt para fora do papl. Então nós tmos: ' ' ' 0 ' 0' 0 ' 0 0' 0' ' Então, m rlação a ê, a matrz do tnsor é: (B. ) (B. ) 0 0 ' Por todo st lvro, nós dnotarmos a matrz d um tnsor m rlação a bas ê por ou m rlação a bas ' por ' ou '. A últma duas matrzs não dv sr confundda com ', o qual rprsnta a matrz do tnsor ' com rlação a bas ê. 49

50 Exmplo B. Sa R corrspondnt a uma notação postva d um corpo rígdo sobr o xo x por um ângulo. Ach a matrz d R. Fgura Solução A partr da Fgura -. 0 é claro qu: R R R cos 0 sn 0 sn cos 0 0 (B. ) Então, R cos sn 0 sn cos (B. 4) Fgura

51 5 B Componnts d um Vtor ransformado Dado um vtor a um tnsor, nós dsamos calcular as componnts d a b a partr das componnts d a das componnts d. Sam as componnts d a m rlação a bas,, dado por,, a a a, sto é: a a a a (B. ) ou na notação ndcal d Enstn tmos: a a (B. ) b b (B. ) Logo a a a a a a a b (B. 4) ou a a a b (B. 5) Então ). ( ). ( ). (. ). ( ). ( ). (. ). ( ). ( ). (. a a a b b a a a b b a a a b b (B. 6) ou a a a b b ) ( (B. 7) Pla quação (B. 5), nós tmos: a a a b a a a b a a a b (B. 8)

52 qu corrspond a multplcar scalarmnt ambos os mmbros da quação (B. 7) por ê k, obtr: b. b. ( a ). a. b k k b k a k k a k k k a. k (B. 9) ou b a (B. 0) Nós podmos scrvr as três quaçõs acma na forma d matrz como: b b b a a a (B. ) ou b a b a (B. ) Nós podmos concsamnt drvar a quação (B. 8) usando a notação ndcal como sgu: a a (B. ) nós obtmos: a a a (B. 4) qu corrspond a (B. ) portanto b b. b. ( a ). a. b k b k k k a k a k k k k a. k (B. 5) A quação (B. 5) nada mas é do qu a quação (B. 8) m notação ndcal. Nós vmos qu a quação tnsoral b a, xst uma quação matrcal corrspond 5

53 xatamnt da msma forma, sto é [ b] [ ][ a]. Esta é a razão pla qual nós adotamos a convnção d qu, tc. S nós tvéssmos adotado a convnção, ntão nós tríamos obtdo [ b] [ ] [ a] para a quação tnsoral b a, a qual não sra natural. Exmplo B. Dado um tnsor qu transforma a bas d vtors como sgu: Como st tnsor transforma o vtor: a (B. 6) (B. 7) Solução Usando a quação (B. ) tmos: b b b (B. 8) Ou b 5 8 (B. 9) 5

54 B4 Soma d nsors dnotada por Sa S dos tnsors a um vtor arbtráro qualqur. A soma d com S, S, é dfnda por:, a (B4. ) Sa a Sa Pod-s vr faclmnt qu sta dfnção trnsformação lnar). S é ralmnt um tnsor (porqu é uma Para achar as componnts d S, sa W o tnsor soma d com S, W S, a (B4. ) Usando as quaçõs ( ) ( ), as componnts d W são obtdas sr: W S S (B4. ) ond W W. S S. S (B4. 4) sto é: W S (B4. 5) Est rsultado é dvdo a proprdad dstrbutva do oprador lnar. Em notação matrcal, nós tmos qu: [ W ] [ ] [ S] (B4. 6) 54

55 B5 Produto d dos nsors Sa S dos tnsors a um vtor arbtráro qualqur, ntão S S, são dfndos sr as transformaçõs (faclmnt vsto sr tnsors) Sa Sa (B5. ) S (B5. ) a Sa ond a a (B5. ) Chamando d X S, ntão as componnts d S são: X. X. S (B5. 4) sto é: sto é: S. S. S. S W. S S S S S m S m m m m m m S m m nm nm m.. nm n m m m m m (B5. 5) Portanto d forma análoga tmos: m Sm S (B5. 6) Smm S (B5. 7) D fato a quação a quação ( ) é quvalnt a quação matrcal 55

56 ond, a quação ( ) é quvalnt a quação matrcal [ S] [ ][ S] (B5. 8) [ S] [ S][ ] (B5. 9) Os dos produtos d matrzs são m gral dfrnts. Então, é claro qu m gral o tnsor produto não é comutatvo, sto é: S,S V são três tnsors, ntão: S S (B5. 0) (B5. ) SV a SV a SVa SVa (B5. ) SVa SVa SVa SVa sto é SV SV Fca como xrcíco provar qu: (B5. ) n SnmVm SV (B5. 4) 56

57 Então o produto tnsoral é assocatvo. Isto é, portanto, natural dfnr as potêncas postvas ntgras d uma transformação por sts smpls produtos, tal qu: : n... n vzs (B5. 5) É a dfnção da potênca d tnsors. Exmplo B5. (a) Sa R um tnsor corrspondnt a uma rotação d corpo rígdo sobr o xo- x para a drta. Ach a matrz d R. (b) Sa S um tnsor corrspondnt a uma rotação d corpo-rígdo sobr o xo- x, para a drta. Ach a matrz d S. (c) Ach a matrz do tnsor qu corrspond a rotação (a) ntão a rotação (b). (d) Ach a matrz do tnsor qu corrspond a rotação (b) ntão a rotação (a). () Consdr um ponto P cuas coordnadas ncas são (,,0). Ach a nova posção dst ponto dpos das rotaçõs da part (c). Ach também a nova posção dst ponto dpos das rotaçõs da part (d). Solução a) Para o tnsor R: (90º/x ) Para sta rotação a transformaçào dos vtors da bas é dada por: R R R (B5. 6) tal qu: R (B5. 7) b) Para o tnsor S: (90º/x ) 57

58 D forma smlar ao m (a) a transformaçào dos vtors da bas é dado por: S S S (B5. 8) tal qu: c) Uma vz qu SRa cuas componnts sào dadas pla matrz: logo S (B5. 9) SRa, a rotação rsultant é dada pla smpls transformação SR SR (B5. 0) SR (B5. ) d) D manra smlar ao tm (c) a notação rsultant é dada pla smpls transformação RS cuas componnts são dadas pla matrz. logo RS (B5. ) RS (B5. ) ) Sa r a posção ncal do ponto P. Sa r * r** a posção rodada d P dpos da rotação da part (c) (d) rspctvamnt. Então 58

59 0 0 * r r SR (B5. 4) Logo r * 0 (B5. 5) Isto é: r* (B5. 6) 0 0 ** r r RS (B5. 7) Logo 0 r ** (B5. 8) Isto é: r ** (B5. 9) Est xmplo lustra qu a ordm das rotaçõs é mportant, porqu produto nào é comutavo. SR RS, ou sa o 59

60 B6 ransposto d um nsor Sam dos tnsors. O transposto d um tnsor, dnotado por, é dfndo sr um tnsor qu satsfaz a sgunt dntdad para todos os vtors a b : a. b b. a a, b Pod sr vsto faclmnt qu é um tnsor. (B6. ) A partr da dfnção acma, nós tmos qu as componnts do tnsor no sstma d coordnadas é dada por: Então.. (B6. ) (B6. ) ou matrcalmnt tmos: Isto é a matrz d (B6. 4) é o transposto da matrz d. Nós também notamos qu pla Equação (B6. ) val a pna obsrvar qu: a. b b. a a, b (B6. 5) Então Vamos qu: ou para b 0 tmos qu: a. b b. a a, b b. a b. a 0 b. a a 0 0 (B6. 6) (B6. 7) (B6. 8) 60

61 a a 0 (B6. 9) Vamos qu: Logo para a 0 tmos qu: a (B6. 0) (B6. ) Portanto, Pod-s também sr stablcdo qu: (va o problma B) Esta é uma rlação qu não é trval. Sabndo qu: (B6. ) S S (B6. ) S S msm (B6. 4) S S S S S m S m m m m m (B6. 5) Portanto, S S (B6. 6) Isto é, o transposto d um produto dos tnsors é gual ao produto dos tnsors transpostos na ordm rvrsa. Gnralzzando tmos: ABCD... S... Z Z... S... D C B A (B6. 7) 6

62 B7 Produto Dádco d dos Vtors Sam dos vtors a b quasqur. O produto dádco d vtors a b, dnotado por ab ou a b é dfndo sr a transformação na qual transforma um votr arbtráro c d acordo com a sgunt rgra: a b c b. c a c. b a, a, b, c dádco (B7. ) Va qu o produto dádco ab é lnar, ou sa, agora, para quasqur c, d,, nós tmos, a partr da dfnção acma qu: a b c d a b. c d a b. c b. d b. c a b. d a a b c d a b c a b d (B7. ) Portanto, o produo dádco ab é um tnsor. ( Lnardad) Vrfcando quas são as componnts do produto dádco ab, tmos: Sa W ab um tnsor ond suas componnts são dadas por: W. W. a b. ab (B7. ) Usando a dfnção d dádco tmos: W ab a b... a bnn.. amm bn. n a. m m. b ammb a b a b (B7. 4) Portanto, 6

63 W a b (B7. 5) Na notação matrcal a Equação (B7. 5) é a ab ab ab W a b b b a b a b a b a ab ab ab (B7. 6) Va qu m partcular, as componnts do produto dádco dos vtors da bas, são: (B7. 7) (B7. 8) Então stá claro qu ualqur tnsor pod sr rprsntado da sgunt forma:... nsors nsors nsors Untáros Untáros Untáros (B7. 9) ou... (B7. 0) sto é: (B7. ) Nós notamos qu há uma outra notação comumnt usada para o produto dádco d a b ab a b Portanto, (B7. ) (B7. ) 6

64 B8 raço d um nsor O traço d um tnsor produto dádco (díad) ab tr ab a b. é dfndo como: (B8. ) Além dsso o traço é um oprador lnar, sto é, satsfaz a sgunt rlação: tr ab cd tr ab tr cd (B8. ) Obs: odo tnsor é um oprador lnar mas nm todo oprador lnar é um tnsor. O traço d um tnsor é: tr tr tr. tr (B8. ) Matrcalmnt o traço d um tnsor a soma dos lmntos da dagonal prncpal da matrz do tnsor. (B8. 4) tr (B8. 5) É óbvo qu: tr tr (B8. 6) (B8. 7) Logo (B8. 8) tr 64

65 B9 nsor Idntdad nsor Invrso Sa a um vtor qualqur, o tnsor dntdad (I) é tal qu: Ia a, a (B9. ) m partcular as componnts d I são dadas por: ond logo I (B9. ) I. I (B9. ) I (B9. 4) ou I (B9. 5) Matrcalmnt [I] é a matrz dntdad. É óbvo qu: I I (B9. 6) qu I a a (B9. 7) I a I a a va qu ssa opração é comutatva smpr para qualqur qu sa o tnsor. Dado um tnsor, s xstr um tnsor S tal qu: ntão S é o tnsor nvrso d matrcalmnt S I (B9. 8) S (B9. 9) 65

66 S I (B9. 0) ond S (B9. ) S xst dsd qu o dtrmnant sa dfrnt d zro: 0 (B9. ) Quando um tnsor é nvrsívl, ntão xst um mapamnto unívoco ntr os vtors a b a b (B9. ) S, 0 ntão b a (B9. 4) Fgura -.. S, 0 ntão Fgura

67 Exrcícos ) I (B9. 5) Mas não é tão óbvo qu: ) (B9. 6) pos I (B9. 7) transpondo o produto tmos: I (B9. 8) multplcando os dos lados por Logo ) Provar qu: tmos: I (B9. 9) (B9. 0) S S (B9. ) 67

68 B0 nsor Ortogonal Sa a b dos vtors quasqur. Dfn-s o tnsor ortogonal como aqul qu prsrva o angulo os comprmntos dos vtors a b Fgura ond a Qa b Qb (B0. ) Por dfnção tmos qu: Qa. Qb a. b a b (B0. ) transpondo tmos: logo b. Q Q a Qa. Qb b. a a. b b. Q Q a a. Ib (B0. ) (B0. 4) Q Q I (B0. 5) Q Q I (B0. 6) QQ I (B0. 7) Mas anda qu: 68

69 Q Q (B0. 8) Matrcalmnt tmos: Em notação ndcal tmos: Q Q Q Q I (B0. 9) Q Q Q Q (B0. 0) m m m m Por outro lado tmos: Q Q Q Q (B0. ) m m m m Portanto, o dtrmnant d Q é: Va qu: como QmQm QmQm (B0. ) Q (B0. ) Q Q Q Q (B0. 4) Q Q (B0. 5) logo Q Q Q (B0. 6) Portanto, Q Q Q rotação rflxão spcular (B0. 7) 69

70 B Matrz d ransformação ntr dos Sstmas d Coordnadas Cartsanas Fgura ' Q Q Q Q Qmm ' Q Q Q ' Q Q Q (B. ) ond Q é um tnsor ortogonal o qual: ou QmQ m QmQm (B. ) Q Q Q Q I (B. ) QQ Q Q I (B. 4) logo Q. Q. ' (B. 5) Q cos. ' (B. 6) É a matrz dos cosnos drtors ntr os vtors da bas ^ 70

71 B Ls d ransformaçõs das Componnts d um Vtor Sa um vtor a com componnts na bas a a (B. ) na bas tmos: Ond Logo a a ' ' a ' a. ' a. Q Q a. Q a m m m m m m (B. ) (B. ) a ' Q m a m (B. 4) Matrcalmnt a ' Q Q Q a a ' Q Q Q a a ' Q Q Q a (B. 5) ou a' Q a (B. 6) ransformação nvrsa: a ' Q a (B. 7) m m E Q a ' Q Q a a (B. 8) k k m m k km Logo a Qa ' (B. 9) Matrcalmnt 7

72 a Q Q Q a ' a Q Q Q a ' a Q Q Q a ' (B. 0) ou a Qa' (B. ) 7

73 B Ls d ransformaçõs das Componnts d um nsor Sa um tnsor, com componnts na bas ï A rprsntação d m ' : Sabndo qu: tmos:. (B. ) ' '. ' (B. ) Q (B. ) ' m m ' Q. Q m m n n Q Q. m n m n (B. 4) Logo ' Q m Q n mn (B. 5) Matrcalmnt tmos: ' Q Q (B. 6) ransformação Invrsa ' Q m Q n mn (B. 7) Logo Q Q ' Q Q Q Q k l k l m n mn km ln km ln mn kl (B. 8) Portanto, Q Q ' (B. 9) m n mn Matrcalmnt tmos: Q ' Q ' Q Q (B. 0) 7

74 Para algumas componnts ' '. ' (B. ) ' ' '. (B. ) componnts d na bas ï 74

75 B4 Dfnção d um tnsor plas Ls d ransformação Quando as componnts d um vtor ou tnsor m rlação a são conhcdas, são uncamnt dtrmnadas. Por xmplo: ntão suas componnts m ' Logo Sam a b tas qu: a ' b ' Q a Q b (B4. ) m m m m 0 (B4. ) Q a b m m m Mutplcando ambos os mmbros por: Q Q a b r m m m a mn m m a m b b m (B4. ) Portanto, a m b (B4. 4) m Logo podmos dfnr um tnsor m trmos d sua l d transformação: nsor d Ordm 0 (ou scalar) ' nsor d Ordm (ou vtor) a (B4. 5) ' Q m a m (B4. 6) nsor d Ordm (ou matrz) ' Q m Q n mn (B4. 7) nsor d Ordm (ou suprmatrz) ' k Q m Q n Q rk mnr (B4. 8) nsor d Ordm 4 (ou hprmatrz) ' kl Q m Q n Q rk Q sl mnrs (B4. 9) : : 75

76 nsor d Ordm n (ou Nmatrz) ' Q Q Q Q... (B4. 0) kl... m n rk sl mnrs... Sa um tnsor d ª ordm nsor a d ordm assocado adrção (B4. ) (B4. ) k mk m Multplcando os dos lados por tmos:.. k mk m mk m (B4. ) Logo. (B4. 4) k k Conclumos portano qu, Um um nsor d Ordm n assoca a um vtor (tnsor d ordm ) um nsor d Ordm n-. ou anda Um um nsor d Ordm n assoca a um tnsor d ordm r um nsor d Ordm n - r. a) Rgra da Adção d nsors um tnsor Sa S são componnts d tnsors, ntão S são componnts d ' S ' Q Q m n mn Q Q S m n mn ' S ' Q Q S m n mn mn (B4. 5) 76

77 b) Rgra da Multplcação Por xmplo sa a b vtors: a a b no sstma ' ) b (componnts d a b no sstma Logo ab é um tnsor d ª ordm a ' b' Q a Q b Q Q Q a b m m n n m n pk m m ) a ' b ' (componnts d (B4. 6) a ' a ' b ' Q a Q a Q b Q Q Q a a b (B4. 7) k m m n n pk n m n pk m n p a nsor d ordm Contrando aa bk aabk tmos: a ' a ' b' k m m n n pk p a ' a ' b' Q a Q a Q b Q Q Q a a b m n pk m n p Q a a b mn pk m n p Q a a b k pk n n p a nsor d ordm ( vtor ) (B4. 8) c) Rgra do Quocnt Sam a os componnts d um vtor as componnts d um tnsor arbtráro (d ª ordm) ond a b é válda para qualqur sstma d coordnadas. Então b são as componnts d um vtor. a bp vtor nsor vtor (B4. 9) Logo a Q a ' (B4. 0) m m Substtundo ( ) ( ) m ( ) tmos: Q Q ' (B4. ) m n mn 77

78 Q a ' Q Q ' b (B4. ) m m m n mn A quação a b val para qualqur sstma d coordnadas. Portanto, Substtundo ( ) m ( ) tmos: Multplcando os dos lados por Então Para ' kn 0 a ' ' b' (B4. ) m mn n Q ' b' Q Q ' b (B4. 4) m mn n m k mn Q k tmos: Q Q ' b ' Q Q Q ' b k m mn n k m n mn (B4. 5) mn km ' b ' Q ' b (B4. 6) kn n n kn ' b ' Q b 0 kn n n b (B4. 7) ' n Q n b (B4. 8) Qu é um tnsor d ª ordm (vtor) 78

79 B5 nsor Smétrco nsor Antsmétrco Ou Um tnsor é dto sr smétrco s (B5. ) (B5. ) Matrcalmnt tmos: (B5. ) Ou sa (B5. 4) Ou Um tnsor é dto sr antssmétrco s (B5. 5) (B5. 6) Matrcalmnt tmos: (B5. 7) 0 0 Ou sa (B5. 8) 0 0 Qualqur tnsor d ª ordm pod sr dcomposto na soma d um tnsor smétrco com um antssmétrco. 79

80 S A (B5. 9) ond: S (B5. 0) A (B5. ) ond S (B5. ) S o própro tnsor for smétrco tmos: S (B5. ) S (B5. 4) S o própro tnsor for antssmétrco tmos: A (B5. 5) Exrcíco: Mostr qu sta dcomposção é únca. 80

81 B6 Vtor Dual d um nsor Antssmétrco Sa um tnsor antsmétrco. Dfn-s o dual d como: A a t a, a (B6. ) Fgura Fgura Componnts do vtor dual: A A t a t a, a lk k a k k A a t a, a k lk l k t A lk l (B6. ) ntão kk k lk tl ltl t l t A k k k k A A A (B6. ) ntão t A k k (B6. 4) ou 8

82 Portanto, t A k t t t k A A A ï (B6. 5) (B6. 6) 8

83 B7 Autovalor Autovtor d um nsor Sndo um tnsor d ª ordm a a (B7. ) O vtor a é o valor scalar qu vrfcam a gualdad acma são dnomnados auto-vtor auto-valor, rspctvamnt do tnsor. Fgura Qualqur vtor // a a também é auto-vtor. a a a (B7. ) Exmplo: Ia a ond, a (B7. ) Como dtrmnar os auto-valors auto-vtors. Sa n um auto-vtor untáro n n I n (B7. 4) ond ou n 0 (B7. 5) 0 (B7. 6) 8

84 0 0 0 (B7. 7) A solução trval é: para não sa válda só a solução trval dvmos tr: ou 0 (B7. 8) I (B7. 9) dt 0 I 0 Equação caractrístca donsor (B7. 0) a quação caractrístca do tnsor qu fornc os auto-valors. 84

85 B8 Valors Prncpas Drçõs Prncpas d um nsor Ral Smétrco Os auto-valors d um tnsor smétrco ral são também ras. Para tnsor smétrco ral xstm smpr, plo mnos, auto-vtors também chamados d drçõs prncpas. Os corrspondnts auto-valors são chamados valors prncpas. Sam n n auto-vtors d, rspctvamnt: n n n n (B8. ) Multplcando uma quação por n a outra por n n. n n. n n. n n. n (B8. ) n. n n. n n. n n. n (B8. ) Fazndo ( ) ( ): n. n 0 (B8. 4) S, ntão n n. Logo as drçõs prncpas são mutuamnt ortogonas. Suponha qu n n são auto-vtors d um msmo auto-valor. n n n n (B8. 5) ond é valdo a sgunt combnação lnar tmos: n n n n n n (B8. 6) n n n n (B8. 7) Logo, qualqur combnação lnar ntr n n também um auto-vtor d. Suponha qu assocado a tmos o auto-vtor n. Pod-s mostrar qu os auto-vtors assocados a n n stão m um plano n. 85

86 Fgura drção. Portanto, é possívl tomar n, n n mutuamnt ortogonas. Suponha qu os auto-vtors assocados a ls são quasqur Portanto, para m tnsor smétrco ral as drçõs prncpas são smpr mutuamnt ortogonas. 86

87 B9 Matrz d nsor m rlação as Drçõs Prncpas Consdrando qu: satsfazndo n. n (B9. ) n. n n. n. n n (B9. ) ond é uma matrz dagonal (B9. ) ou sa n. n n. n n. n n. n 0 n. n n. n 0 n. n n. n n. n n. n 0 : n. n n. n (B9. 4) Formando ntão a sgunt matrz dagonal n (B9. 5) Sa ' í uma bas qualqur. Então, ' ; ', ' (B9. 6) Dsd qu: max,, mn,, (B9. 7) 87

88 Prova: Sa ' n n n (B9. 8) ond ' '. ' (B9. 9) ' ' (B9. 0) Portanto, ' (B9. ) 88

89 B0 Invarants Escalars d um nsor Dada a quação caractrístca: Esta é uma quação cúbca m qu pod sr scrta como: 0 (B0. ) I I I 0 (B0. ) Obsrv qu os auto-valors são ndpndnts da bas. Portanto, os cofcnts I, I, I, são nvarants ndpndnts da bas utlzada no cálculo, ond I tr (B0. ) I (B0. 4) ou I tr tr (B0. 5) Rprsntando na bas das drçõs prncpas tmos: I dt (B0. 6) n (B0. 7) ond I (B0. 8) I (B0. 9) 89

90 I (B0. 0) 90

91 . 5 - Part C: Cálculo nsoral C Funçõs nsoras d um Escalar Sa t uma função tnsoral d um scalar t (tal como o tmpo). Fgura ) A drvada d com rspto a t é dfnda sr um tnsor d sgunda ordm dao por: d dt t t t lm (C. ) t0 t na forma ndcal a drvada d cada lmnto da matrz é dado por: d dt lm t0 d dt t t t t (C. ) ) As sgunts dntdads podm sr faclmnt stablcdas. d S d S dt dt (C. ) ou d S d S dt dt d dt S (C. 4) logo 9

92 d S d S dt dt d dt ds dt (C. 5) ) ou d d t d t dt dt t d t d t dt dt dt (C. 6) (C. 7) d t dt t d d t (C. 8) dt dt Portanto, t d dt t d d t (C. 9) dt dt 4) S ds d dt dt (C. 0) S ds d dt dt d dt m S m (C. ) d dt m S m dsm dsm m m (C. ) dt dt Portanto, 9

93 d dt S ds ds (C. ) dt dt 5) a da d dt dt (C. 4) a da d dt dt d dt a (C. 5) d dt a da d a (C. 6) dt dt Portanto, d dt a da da (C. 7) dt dt Para provar a quação (C. 7), nós usamos a dfnção (C. ) d dt a Somando subtrando o trmo t at t d dt a lm t 0 t tat t t at lm (C. 8) t0 t tmos: t tat t t at t at t t at t t (C. 9) d dt a t tat t t at t t at t t at lm (C. 0) t 0 t Ou d dt a t t t a t t t a t t at lm (C. ) t0 t 9

94 Ou d dt a t t t a t t t a t t at lm lm (C. ) t0 t t0 t Então d dt a d da a (C. ) dt dt 6) d dt d dt (C. 4) d dt d d dt dt (C. 5) d d dt (C. 6) dt Portanto, d dt d dt (C. 7) 94

95 Exmplo C. Mostr qu m coordnadas cartsanas as componnts d d / dt sto é, d dt são dadas plas drvadas das componnts d dt Solução Sndo dada por: (C. 8) Dsd qu os vtors da bas,, são fxos tmos: d d d dt dt dt 0 (C. 9) Então Logo d dt d d d (C. 0) dt dt dt d dt d (C. ) dt Portanto, d dt d (C. ) dt 95

96 Exmplo C. Mostr qu para um tnsor ortogonal Q t, dq Q dt é um tnsor antsmétrco. Solução Dsd qu QQ I, nós tmos: d QQ dq dq di dt Q dt dt Q dt 0 (C. ) Isto é: dq Q dt dq dt Q (C. 4) Sndo dq dt dq (C. 5) dt (Va a quação C.) Então: Mas dq Q dt dq Q dt (C. 6) dq Q dt dq Q dt (C. 7) (Va a quação C.) Portanto, dq Q dt Ou sa, sndo A dq / dt Q ntão dq Q dt (C. 8) A A (C. 9) 96

97 Exmplo C. Uma rotação d um corpo rígdo dpndnt do tmpo ao rdor d um ponto fxo pod sr rprsntado por um tnsor rotação R t, tal qu um vtor posção r o é r t R t r. Drv a quação: transformado por mo da rotação m um vtor o ond é o vtor dual do tnsor antssmétrco dr / dtr. dr r (C. 40) dt A partr da quação bm conhcda na cnmátca do corpo rígdo, nós podmos dntfcar com a vlocdad angular do corpo. Solução r R t r tmos: A partr d o t dr dr r o (C. 4) dt dt mas r o pod sr scrto a partr d: r t R (C. 4) t r o como R t r t R t Rt r o I (C. 4) logo r R (C. 44) o t r t Substtundo (C. 44) m (C. 4) tmos: dr dr R t r t (C. 45) dt dt Mas dr / dtr é um tnsor antssmétrco (va Exmplo C.) tal qu: 97

98 dr dr R rt r (C. 46) dt dt ond é o vtor dual do tnsor antssmétrco dr / dtr. 98

99 C. Campo Escalar, Gradnt d uma Função Escalar Sa um ponto P, localzado por um vtor r a partr d uma orgm O d um sstma d coordnadas, formado pla bas d vtors ortogonas,,,, conform mostra a Fgura -.. Fgura -.. Função potncal o su gradnt. Sa r uma função d um valor scalar da posção do vtor r : r r scalar Isto é, para cada posção r, vtor campo scalar (C. ) r dá o valor d um scalar, tal como a dnsdad, r dscrv um campo tmpratura ou potncal létrco no ponto. Em outras palavras, scalar. Assocado com um campo scalar, xst um campo vtoral, chamdo d gradnt d, o qual é d consdrávl mportânca O gradnt d m um ponto r é dfndo sr um vtor (dnotado por grad, ou por r ) tal qu su produto com dr fornc a dfrnça dos valors do scalar m r dr r, sto é, d dfndo r dr r d r. dr r : é um vtor dado pla rgra do quocnt. chamando d dr dr r scalar vtor vtor (C. ) (C. ) 99

100 ond dr dr qu: S dr dnota a magntud d dr, ê r é um vtor untáro na drção d dr (not dr / dr ), ntão a quação acma dá para dr na drção ê r, d r dr d r dr. (C. 4). ou d dr d dr r r. (C. 5) Isto é, a componnt d drvada drconal). r na drção d ê dá a taxa d varação d naqula drção (a Sa uma bas ortonormal. Em partcular, as componnts d r drção d ê é dada por: na d r. x dr na drção ê (C. 6) D forma smlhant para as dmas drçõs tmos: d r. x dr na drção ê (C. 7) d r. x dr na drção ê (C. 8) Portanto, as componnts cartsanas d r são: r r r (C. 9) sto é: 00

101 d r r r. dr (C. 0) Do cálculo d varação d funçõs tmos: d dx dx dx x x x (C. ) Logo, comparando (C. ) com (C. 4) vmos qu: d r dx r dx r dx (C. ) Portanto, d (C. ) (C. 4), tmos qu, no sstma d coordnadas cartsano o vtor gradnt é dado por: x x x r (C. ) Sgnfcado do Vtor Gradnt O vtor gradnt possu uma ntrprtação gométrca smpls. Por xmplo, s r dscrv um campo d tmpratura, ntão, sobr uma suprfíc d tmpratura constant (.. sobr uma suprfíc sotérmca), uma constant. Sa r um ponto sobr sta suprfíc. Então para toda qualqur vznhança do ponto r dr sobr a msma suprfíc sotrma, d 0. Então d r. dr 0 (C. 4) Suponha uma curva ond constant, conform mostra a Fgura -.. Fgura -.. Função potncal o su gradnt. 0

102 d dr r (C. 5). r como n (C. 6) tmos: d. n r (C. 7) dr ou d dr cos n, r (C. 8) Como r n d dr. (C. 9) n n logo d.. n n n dr 0 (C. 0) A drvada drconal é máxma para ou sa, para a drção prpndcular a Portanto, s cos n, r, logo nsta drção trmos: d (C. ) dr ct. d dr r. 0 r (C. ) para uma ct. Então é um vtor prpndcular a suprfíc no ponto r, ou sa (C. ) ê 0