ANÁLISE DE MODELOS REOLÓGICOS VISCOELÁSTICOS ATRAVÉS DE FORMULAÇÕES MISTAS EM ELEMENTOS FINITOS. João Paulo Lima Santos

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1 ANÁLISE DE MODELOS REOLÓGICOS VISCOELÁSTICOS ATRAVÉS DE FORMULAÇÕES MISTAS EM ELEMENTOS FINITOS João Paulo Lma Santos DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL. Aprovada por: Prof. Wb João Mansur, Ph.D. Prof. Eduardo Goms Dutra do Carmo, D.Sc. Prof. José Antôno Fonts Santago, D.Sc. Prof. Luz Frnando Taborda Garca, D.Sc. Prof. Marco Aurélo Chavs Frro, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL FEVEREIRO DE 8

2 Lvros Gráts Mlhars d lvros gráts para download.

3 SANTOS, JOAO PAULO LIMA Análs d modlos rológcos vscolástcos através d formulaçõs mstas m lmntos fntos [Ro d Janro] 8 XII, 3 p. 9,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engnhara Cvl, 8 Dssrtação - Unvrsdad Fdral do Ro d Janro, COPPE. Vscolastcdad. Modlos rológcos 3. Elmntos fntos 4. Métodos stablzados I. COPPE/UFRJ II. Título ( sér

4 À mnha famíla.

5 AGRADECIMENTOS A todos qu colaboraram ao longo d mnha trajtóra nas xprêncas vvdas dsd a mnha qurda cdad do srtão d Alagoas até o Ro d Janro, na conclusão dsta tapa na vda. Aos mus pas Francsco Lourds, plo mnsurávl apoo por nsnar qu smpr dvmos r m busca d nossos objtvos, com muto trabalho prsvrança. Aos mus rmãos Fábo, Cássa famlars plo ncntvo m ncarar ss dsafo. À mnha namorada Jordana plo apoo comprnsão constants, ajudando a tornar amnos os momntos mas tmrosos. Aos amgos d rpúblca, por tornar a stada no Ro d Janro mas agradávl, m spcal ao Danl plo auxílo na rvsão d txto dsta dssrtação. Aos colgas do LAMEC: Ivon, Frnanda B., Frnanda M., Tln, Flávo dmas colgas. Agradcmnto spcal ao captão Vasconcllos ao Flp plas contrbuçõs na concrtzação dst trabalho. Aos profssors do PEC plo aprndzado, spcalmnt ao profssor Marco Frro plo pontapé ncal m um dos tmas da dssrtação. Ao profssor orntador Eduardo pla pacênca colaboração nos fundamntos matmátcos utlzados no dsnvolvmnto do trabalho. Ao profssor orntador Wb Mansur plas dscussõs tmátcas ssncas no dsnvolvmnto do trabalho pla xtrma confança conslhos prstados ao longo do curso. Ao CNPq plo apoo fnancro. v

6 Rsumo da Dssrtação aprsntada à COPPE/UFRJ como part dos rqustos ncssáros para a obtnção do grau d Mstr m Cêncas (M.Sc. ANÁLISE DE MODELOS REOLÓGICOS VISCOELÁSTICOS ATRAVÉS DE FORMULAÇÕES MISTAS EM ELEMENTOS FINITOS João Paulo Lma Santos Fvrro/8 Orntadors: Wb João Mansur Eduardo Dutra Goms do Carmos Programa: Engnhara Cvl Os matras vscolástcos vêm gradatvamnt atrando ntrss ndustral adqurndo maor spaço ntr aplcaçõs prátcas do cotdano, o qu tm stmulado o ntrss no dsnvolvmnto d stratégas d modlagm computaconal dss tpo d matral. Nss trabalho, aborda-s uma stratéga numérca para rprsntação d modlos rológcos para sóldos fludos vscolástcos lnars, basada no método dos lmntos fntos. Na stratéga mprgada, toma-s como bas um modlo ntgral para rprsntação do sóldo vscolástco padrão o modlo d Maxwll, transformando-os m um squma rcursvo passo-a-passo, ond a hstóra tmporal é obtda por uma sqüênca d solução d modlos lnars atualzados a cada tapa plas varávs controladoras da vscolastcdad. Faz-s uso d formulaçõs mstas m lmntos fntos para o tratamnto d problmas ncomprssívs, mprgando-s o método Galrkn Last Squar (GLS o método d stablzação drta d prssão (Bochv. Propõ-s também uma stratéga para dtrmnação do parâmtro d stablzação para o modlo GLS, qu rprsnta atualmnt uma das maors dfculdads no mprgo do método. Para vrfcação dos modlos mplmntados, dvrsas análss numércas foram ralzadas tanto para os modlos lnars quanto para os modlos vscolástcos. v

7 Abstract of Dssrtaton prsntd to COPPE/UFRJ as a partal fulfllmnt of th rqurmnts for th dgr of Mastr of Scnc (M.Sc. ANALYSIS OF VISCOELASTIC RHEOLOGICAL MODELS USING FINITE ELEMENTS MIXED FORMULATIONS João Paulo Lma Santos Fbruary/8 Advsors: Wb João Masur Eduardo Goms Dutra do Carmo Dpartmnt: Cvl Engnrng Vscolastc matrals ar attractng ndustral ntrst gradually and acqurng largr spac among practcal applcatons of daly ngnrng dsgn, thus stmulatng th dvlopmnt of computatonal modlng stratgs consdrng ths knd of matral. In ths work, a numrcal stratgy s dscussd for rprsntaton of rhologcal modls for lnar vscolastc solds and fluds, basd on th fnt lmnt mthod. Th usd stratgy s basd on th Maxwll vscolastc modl rprsntd n th ntgral form, transformd nto a stp-by-stp rcursv schm, whr th tm hstory s obtand through a squncy of lnar modls updatd n ach stag by th controllng varabls of th vscolastcty. Fnt lmnts mxd formulatons ar usd for th tratmnt of ncomprssbl problms, bng mployd: th Galrkng Last Squar mthod (GLS and th mthod of drct stablzaton of prssur (Bochv. It also proposd a stratgy for dtrmnaton of th paramtr of stablzaton for th GLS modl, that rprsnts on of th gratst dffcults nowadays n th us of th mthod. For vrfcaton of th mplmntd modls, svral numrcal analyss wr accomplshd so much for th lnar modls as for th vscolastc modls. v

8 Índc. Introdução.... Modlos rológcos vscolástcos O comportamnto lástco O comportamnto vscoso O fnômno d fluênca (crp O fnômno d rlaxação A vscolastcdad o fnômno d fluênca rlaxação Modlo molcular Modlos físcos/matmátcos Modlo d Maxwll Modlo d Klvn Modlo d Burgrs Modlo do sóldo lnar padrão Gnralzação dos modlos báscos Rprsntação por ntgras hrdtáras O método dos lmntos fntos Conctos báscos Formulação msta ncomprssbldad Condçõs d stabldad na formulação (u-p para a quação d Stoks Métodos stablzados Galrkn Last Squar (GLS Establzação drta d prssão (Bochv IGLS: Uma stratéga para dtrmnação do parâmtro d stablzação α do método GLS Modlo vscolástco ncomprssívl Extnsão dos modlos vscolástcos undmnsonas Formulação m lmntos fntos para a vscolastcdad lnar ncomprssívl Estratéga numérca Aplcaçõs dscussõs Exmplo : Vga submtda à ação d momnto d flxão... 8 v

9 6. Exmplo : Escoamnto d Stoks m rgm staconáro Exmplo 3: Vga vscolástca submtda à ação d momnto d flxão Exmplo 4: Mmbrana d Cook Exmplo 5: Análs d rvrsbldad da fluênca vscolástca Conclusõs rcomndaçõs Rfrêncas bblográfcas... v

10 Lsta d fguras Fgura. Comportamnto lástco lnar...6 Fgura. Comportamnto vscoso lnar...6 Fgura. 3 Curva típca xprmntal d fluênca...8 Fgura. 4 Aspcto da curva d fluênca m scala logarítmca...8 Fgura. 5 Tst d rlaxação...9 Fgura. 6 - Fluênca m matral vscolástco: (A sóldo; (B fludo... Fgura. 7 Corrção da curva d fluênca... Fgura. 8 Suprposção tmpo-tmpratura...3 Fgura. 9 Rlação ntr a taxa d conformação (rat o tmpo...6 Fgura. Modlo d Maxwll...7 Fgura. Rsposta ao tst d fluênca para o lmnto d Maxwll...9 Fgura. Confguração típca d um corpo submtdo a um tst d rlaxação... Fgura. 3 Rprsntação do modlo d Klvn... Fgura. 4 Rsposta ao tst d fluênca para o lmnto d Klvn...3 Fgura. 5 Modlo rológco d Burgrs...4 Fgura. 6 Elmnto sóldo vscolástco lnar...5 Fgura. 7 Elmnto d Maxwll gnralzado m sér...8 Fgura. 8 Elmnto d Maxwll gnralzado m parallo (Maxwll-Wchrt...8 Fgura. 9 Elmnto d gnralzado Klvn Vogt m parallo...9 Fgura. Modlo gnralzado d Klvn-Vogt m sér....9 Fgura. Varação da dformação no tmpo...3 Fgura 3. Caractrzação do domíno contorno...36 Fgura 3. Travamnto volumétrco da malha....4 Fgura 3. 3 Elmnto Q-P adaptado d BATHE [3]...5 Fgura Elmnto Q r -P (8/ m D / m 3D: adaptado d BATHE [3]...5 Fgura Elmnto Q -P (9/3 m D 7/4 m 3D: adaptado d BATHE [3]...5 Fgura Elmnto P -P (6/ m D / m 3D: adaptado d BATHE [3]...5 Fgura Elmnto P + -P (7/3 m D /4 m 3D: adaptado d BATHE [3]...53 Fgura 3. 8 Elmnto Q -Q (9/4-c m D 7/8-C m 3D: adaptado d BATHE [3] x

11 Fgura Elmnto P -P (6/3-c m D /4-c m 3D: adaptado d BATHE [3] Fgura 5. Modlo vscolástco lnar padrão...68 Fgura 5. Modlo sóldo vscolástco lnar gnralzado...68 Fgura 5. 3 Elmnto quadrlátro blnar...76 Fgura 5. 4 Função d forma blnar...77 Fgura 6. Vga submtda à ação d um momnto d flxão (adaptada d REDDY t. al.[5]... 8 Fgura 6. Domíno dscrtzado m 5 lmntos (3x6...8 Fgura 6. 3 Convrgênca do dslocamnto horzontal para ν =, Fgura 6. 4 Convrgênca do dslocamnto vrtcal para ν =, Fgura 6. 5 Convrgênca do dslocamnto horzontal para ν =, Fgura 6. 6 Convrgênca do dslocamnto vrtcal para ν =,...84 Fgura 6. 7 Dslocamnto horzontal m função do Posson (5 lmntos...85 Fgura 6. 8 Dslocamnto vrtcal m função do Posson (5 lmntos...85 Fgura 6. 9 Dslocamnto rsultant para ν =, Fgura 6. Dslocamnto rsultant para ν =, Fgura 6. Dstrbução d prssão para ν =, Fgura 6. Convrgênca para o dslocamnto horzontal (ν =, Fgura 6. 3 Convrgênca para o dslocamnto vrtcal (ν =, Fgura 6.4 Modo prssão spúra para (ν =, : (a 46 lmntos; (b 85 lmntos; (c 9 lmntos; (d 466 lmntos... 9 Fgura 6. 5 Prssão stablzado pla formulação IGLS (ν =, Fgura 6. 6 Caractrzação do problma d scoamnto d Stoks...9 Fgura 6. 7 Varação da prssão na sção d cort BB...9 Fgura 6. 8 Dstrbução spacal da prssão plo método GLS para α=...93 Fgura 6. 9 Dstrbução spacal da prssão plo método GLS para α=...93 Fgura 6. Dstrbução spacal da prssão plo método GLS para α=...93 Fgura 6. Dstrbução spacal da prssão plo método Bochv para α=...94 Fgura 6. Varação da vlocdad vrtcal na sção d cort BB...95 Fgura 6. 3 Dstrbução spacal da vlocdad vrtcal obtdo com o modlo GLS para: (a α=.; (b α=.5; (c α=.; (d α=.; Fgura 6. 4 Varação da vlocdad horzontal na sção d cort BB...96 x

12 Fgura 6. 5 Dstrbução spacal da vlocdad horzontal obtdo com o modlo GLS para: (a α=.; (b α=.5; (c α=.; (d α=.;...96 Fgura 6. 6 Dstrbução spacal do módulo d vlocdad obtdo com o modlo GLS para: (a α=.; (b α=.5; (c α=.; (d α=.; Fgura 6. 7 Dscrtzação spacal m 8 lmntos fntos...98 Fgura 6. 8 Evolução tmporal do dslocamnto...99 Fgura 6. 9 Gomtra dscrtzação spacal m lmntos ( x... Fgura 6. 3 Dslocamnto vrtcal para a malha x ( lmntos.... Fgura 6. 3 Dslocamnto vrtcal para a malha 5 x 5 (5 lmntos.... Fgura 6. 3 (a Malha d 9 lmntos (b malha d 5 lmntos... Fgura Dstrbução da prssão para (a α = (b α =,5.... Fgura Establzação da prssão para: (a α =, ; (b IGLS...3 Fgura Evolução tmporal do dslocamnto vrtcal (malha 3 x Fgura Evolução tmporal do dslocamnto vrtcal (malha 5 x Fgura Dslocamnto rsultant para t =...6 Fgura Dslocamnto rsultant para t =...6 Fgura Gomtra dscrtzação da malha...7 Fgura 6. 4 Dslocamnto horzontal para o modlo sóldo vscolástco padrão...8 Fgura 6. 4 Prssão para o modlo sóldo vscolástco padrão...9 Fgura 6. 4 (a Dstrbução spacal da prssão para t = ; (b Evolução tmporal da prssão... Fgura Dstrbução spacal da Prssão (stablzada... Fgura Dslocamnto rsultant para t =,4 para: (a ν =,5; (b ν =,3.... Fgura Dslocamnto horzontal para o modlo d Maxwll... Fgura Prssão- Modlo d Maxwll... Fgura Corpo submtdo a stado d csalhamnto puro...3 Fgura Modo prssão spúra no stado d csalhamnto puro....3 Fgura Dslocamnto rsultant para o GLS α =....4 Fgura 6. 5 Evolução tmporal do dslocamnto vrtcal (Modlo d Maxwll....4 Fgura 6. 5 Evolução tmporal da prssão (Modlo d Maxwll....5 Fgura 6. 5 Evolução tmporal do dslocamnto vrtcal prssão (Modlo do sóldo vscolástco....5 Fgura Dslocamnto rsultando para o modlo d Maxwll m t = :...6 (a ν =,; (b ν =,5...6 x

13 Lsta d tablas Tabla 6. Rsultado para o modlo d Bochv Tabla 6. Rsultado para o modlo GLS Tabla 6. 3 Rsultado para o FEAP Tabla 6. 4 Rsultados para a malha d 46 lmntos (ν =, Tabla 6. 5 Rsultados para a malha d 85 lmntos (ν =, Tabla 6. 6 Rsultados para a malha d 466 lmntos (ν =, x

14 . Introdução Os studos do comportamnto rológco dos matras rmotam aos prmórdos da humandad. Para o flósofo grgo Hráclto d Éfso ( a.c., a l fundamntal do unvrso é dvdr, o qu sgnfca contínuas transformaçõs. Para l, todos os srs a matéra stão m constant movmnto, afrmando: Tudo flu, nada nst nosso mundo é prmannt. Tudo stá mudando o tmpo todo. A mudança é a l da vda do unvrso. O flósofo parca obsrvar qu boa part dos matras quando submtdos a stágos d solctaçõs dstntas também sguam os procssos rgdos por sua l fundamntal, já parca mpulsonar a orgm dos studos rológcos. Nos séculos sgunts, a volução dos studos do comportamnto rológco fo dscrto plas rlaçõs consttutvas, qu rlaconavam a tnsão dformaçõs sofrdas plos mos m studo. Dos trabalhos ponros sobr os matras das podm-s dstacar: Archmds Nwton (687 sobr corpos prftamnt rígdos; Boyl (6, Hook(678, Young(87 Cauchy(87 sobr matras prftamnt lástcos; Pascal (963, Brnoull(738 Eullr(755 sobr fludos mscívs; Nwton(687, Navr(83 Stoks (845 sobr a dnâmca dos fludos nwtonanos. O trmo rologa fo usado pla prmra vz m 99, dfnda ntão como o studo do fluxo dformação d todas as formas d matéra, apsar d alguns autors rcntmnt lmtarm o trmo rologa ao studo d matras qu aprsntm comportamnto dfrnt dos sóldos prftamnt lástcos fludos das. Maors dtalhs sobr a orgm volução da rologa são aprsntados d forma rsumda por DORAISWAMY []. As rlaçõs consttutvas dsnvolvdas até mados do século XVIII não consguam rprsntar com prcsão o comportamnto d dtrmnados matras, m spcal alguns qu aprsntam um comportamnto ntrmdáro ntr o sóldo prftamnt lástco o fludo nwtonano, qu fcaram conhcdos postrormnt como matras vscolástcos. Dssa forma, pod-s dfnr a vscolastcdad como a proprdad d um matral xbr tanto comportamnto lástco quanto vscoso. Os matras vscolástcos têm caractrístcas tanto d sóldo (lastcdad, rsstênca ao fluxo

15 stabldad da forma quanto d fludo, tas como a dpndênca do fluxo com o tmpo, tmpratura tnsão aplcada. Os matras vscolástcos são ncontrados na ndústra almntíca, m vardads d polímros, m gomatras, m matras bológcos, m compóstos, dntr outras dvrsas vardads. MACKERLE [] afrma qu as áras d studos d aplcaçõs da vscolastcdad são as mas varadas possívs, a xmplo da ngnhara arospacal, ngnhara bomédca, ngnhara cvl, ngnhara d almntos ngnhara mcânca d matras. D acordo com DORAISWAMY [], os studos ncas dos matras vscolástcos foram mpulsonados plo crscmnto da ndústra dos polímros. Wbbr (835 fo um dos ponros nss novo campo da rologa, studando o comportamnto dos fos d sda, na época mprgados como componnts d alguns nstrumntos ltromagnétcos. Wbbr obsrvou qu após tnsonar axalmnt o fo d sda, obsrva-s não só uma dformação nstantâna lástca, mas também uma dformação qu progrda m função do tmpo. Lbrando-o m sguda do sforço d tração, hava uma contração mdata do fo, qu atnga o stado da dformação lástca, sguda por uma contração gradual até atngr o stado d pré-carrgamnto ncal. Wbbr hava ntão xprmntado o fnômno qu fcou postrormnt conhcdo como rlaxação d tnsão, qu l chamou d th aftr ffct, caractrzando dssa forma a dpndênca tmporal dssa até ntão nova class d matras. Nos anos sgunts, cntstas ngnhros ddcaram studos xprmntas matmátcos para obtr uma rprsntação das rlaçõs consttutvas para a vscolastcdad. Dstacam-s os trabalhos dsnvolvdos por Lord Klvn Jams Clrk Maxwll. Dmas contrbuçõs podm sr consultadas nas rfrêncas DOZDROV [3], FLÜGGE [4], BLEND [5] CHRISTENSEN [6]. Os studos numércos aprofundados dos matras vscolástcos foram dsnvolvdos a partr da década d 6, sobrtudo mpulsonados plo crscnt ntrss ndustral sobr os matras polmércos. Já nss príodo, os métodos d aproxmação das quaçõs dfrncas vnham sndo largamnt mprgados para a rprsntação d fnômnos nrnts à rologa, spcalmnt o método dos lmntos fntos (MEF. Do ponto d vsta numérco, a lnha d trabalho mprgando o método dos lmntos fntos (MEF na vscolastcdad sguu dos camnhos dstntos:

16 No prmro, qu nclu um maor númro d trabalhos dsnvolvdos, o problma é rsolvdo drtamnt no domíno do tmpo usando um procsso ncrmntal passo-a-passo. Faz-s uso d rlaçõs consttutvas nas formas ntgras dfrncas, a xmplo dos trabalhos dsnvolvdos por ZIENKIEWICZ t. al. [7] SRIBATHA LEWIS [8]. No sgundo tpo aplca-s o chamado prncípo da corrspondênca lástcovscolástco, dscutdo ncalmnt por ALFREY [9], ond os problmas vscolástcos são transformados m lástcos no domíno d Laplac. Em sguda, o problma lástco é rsolvdo va método dos lmntos fntos. Dpos dsso, aplcando a técnca d transformada nvrsa d Laplac, obtém-s a solução do problma vscolástco ncal. Emprgando ss método, ADEY BREBIA [] analsaram um clndro spsso oco d aço sob prssão ntrna. Alguns autors, a xmplo d CARPENTER [] comntam qu o mprgo da técnca basada no prncípo da corrspondênca pod tornar-s nvávl m casos d confguraçõs gométrcas complxas m casos não lnars. Um dos trabalhos ponros nssa lnha fo dsnvolvdo por WEBBER [], qu aplcou o prncípo da corrspondênca para problmas trmo-vscolástcos basados no modlo d Maxwll, mprgando o MEF na formulação clássca, ou sja, mprgando a sntnça varaconal apnas m trmos d dslocamnto/vlocdad. Os trabalhos ponros qu mprgavam drtamnt a solução no domíno do tmpo ram bastant smplfcados. CARPENTER [] dscorr qu no trabalho dsnvolvdo por WHITE [3] assuma-s o módulo d lastcdad volumétrca constant no tmpo o matral homogêno sotrópco. Fortmnt nfluncados pla tmpratura pla altração das proprdads do matral ao longo do tmpo, obsrvou-s a ncssdad d s ncorporar formulaçõs stávs qu prmtssm análss d mos próxmos à condção d ncomprssbldad (lvados valors do cofcnt d Posson, uma vz qu a formulação d lmntos fntos basada apnas na sntnça varaconal do dslocamnto (ou vlocdad pod nduzr a svras osclaçõs na aproxmação da prssão no campo da tnsão/dformação, além d sofrr o fto d travamnto volumétrco da malha. Um dos trabalhos ponros fo proposto por YADAGIRI REDDI [4], qu fzram uso d lmntos soparamétrcos assocados a squmas d ntgração rduzda. Nos anos sgunts, algumas formulaçõs mstas foram sndo mprgadas anda hoj dvrsas 3

17 stratégas são tstadas, sobrtudo para um maor ganho d prcsão atrlado à busca por formulaçõs com mnor custo computaconal. O prsnt trabalho objtva a análs mplmntação d modlos rológcos vscolástcos qu prmtam a rprsntação d mos comprssívs ncomprssívs. Para tanto, nvstgam-s algumas formulaçõs stablzadas m lmntos fntos, sobrtudo para a garanta d stabldad numérca m stuaçõs d ncomprssbldad. Uma brv rvsão bblográfca rlaconada aos modlos vscolástcos é aprsntada no capítulo, dstacando-s part dos modlos conctuas mas dfunddos na ltratura. A abordagm d formulaçõs m lmntos fntos para modlos ncomprssívs é aprsntada no capítulo 3, nfatzando prncpalmnt o uso d formulaçõs mstas. Já no capítulo 4 é dscutda uma nova stratéga para dtrmnação do parâmtro d stablzação para o método d aproxmação msto m lmntos fntos GLS (Galrkn Last Squar. No capítulo 5 são abordados alguns aspctos rlaconados à mplmntação computaconal à stratéga numérca para rprsntação d modlos vscolástcos ncomprssívs. Algumas aplcaçõs são aprsntadas no capítulo 6, sobrtudo para análs da acuráca dos modlos mplmntados. As consdraçõs fnas sugstõs para trabalhos futuros são aprsntadas no capítulo 7. 4

18 . Modlos rológcos vscolástcos Os matras vscolástcos são caractrzados pla obsrvânca d um comportamnto ntrmdáro ntr o sóldo lástco o fludo nwtonano. DROZDOV [3] afrma qu para um matral sr consdrado vscolástco, é ncssáro qu o msmo xprmnt os fnômnos d fluênca rlaxação d tnsõs. Esss fnômnos stão assocados à combnação dos ftos lástcos vscosos, podndo sr rprsntados por dvrsos modlos rológcos cujo comportamnto pcular é função do arranjo m assocação dos lmntos báscos: mola (rprsntando a parcla lástca amortcdor (rprsntado a parcla vscosa, qu podm caractrzar sóldos vscolástcos ou fludos vscolástcos. Os studos dscutdos nss trabalho srão rstrtos a pqunas dformaçõs, caractrzando apnas os aspctos da vscolastcdad lnar. Para uma mlhor caractrzação dos fnômnos atrlados ao comportamnto vscolástco, srá aprsntado nss capítulo uma brv dscrção dos fnômnos nrnts à vscolastcdad... O comportamnto lástco Os matras são classfcados m lástcos quando após aplcação d um carrgamnto ntrno consqünt dformação obsrva-s a rcupração d sua forma orgnal, aprsntando assm uma dformação rvrsívl, havndo ntão consrvação d sua nrga ntrna. Nss matral, o stado d dformação é atngdo mdatamnt após a aplcação da carga. Um matral básco lástco é gralmnt rprsntado por uma mola, conform mostrado na fgura (.a. Aplcando-s uma tnsão constant σ ( t = σ (fg.b, é dto qu o corpo aprsnta comportamnto lástco lnar caso s obsrv uma dformação constant proporconal à tnsão aplcada (fg.c. 5

19 Fgura. Comportamnto lástco lnar Os matras lástcos lnars obdcm à l d Hook, sndo a constant d proporconaldad E uma caractrístca ntrínsca do matral, conhcda como módulo d lastcdad. A rlação consttutva para o matral lástco lnar é ntão dfnda pla sgunt rlação: σ( t = E. ε( t (... O comportamnto vscoso A vscosdad d um corpo dscrv a rsstênca qu um matral ofrc ao scoamnto. O fto da vscosdad é mas vdnt nos fludos, qu por dfnção são substâncas qu s dformam contnuamnt sob ação d qualqur força tangncal. Nsta dfnção, não é lvada m conta a strutura molcular do fludo, qu é composto d dvrsas moléculas m movmnto. Fgura. Comportamnto vscoso lnar Um matral vscoso é usualmnt rprsntado plo lmnto da fgura (.a. Aplcando-s nss lmnto uma tnsão constant σ ( t = σ (fg.b, é dto qu o lmnto s comporta como fludo nwtonano s sua taxa d dformação é drtamnt proporconal à tnsão aplcada: 6

20 σ ( t ηε. (. = ( t Nss caso, a constant d proporconaldad η é conhcda como vscosdad, su valor rá dtrmnar o grau d rsstênca ao csalhamnto do fludo, sndo um parâmtro caractrístco para a dscrção da curva d dformação aprsntada na fgura (.c..3. O fnômno d fluênca (crp A fluênca, também conhcda na ltratura por sua trmnologa nglsa (crp, stá rlaconada à tndênca das partículas consttunts dos matras sofrrm movmntos consqünts da aplcação contnuada d cargas d ntnsdad constant. Para um mlhor ntndmnto do fnômno, dscut-s o xprmnto orundo do tst d fluênca, aprsntado por DROZDOV [3]. Nss tst, dalza-s um corpo ncalmnt m su stado natural (sm carrgamnto. No nstant t = é aplcada uma força d ntnsdad P m uma sção d ára S obtndo-s uma tnsão σ. Em rsposta à aplcação da carga, uma dformação ε é obsrvada d forma nstantâna, no caso dos matras prftamnt lástcos ssa dformação é mantda constant para t >. Entrtanto, para matras vscolástcos, obsrva-s uma dformação ncrmntal ε (t, qu m gral aprsnta tndênca crscnt ao longo do tmpo, sndo dtrmnada t por uma taxa d varação ε (. Ess fnômno d altração no valor da dformação sob condçõs d carrgamnto unform no tmpo é chamado d fluênca. Sgundo DROZDOV [3], o procsso d fluênca pod sr caractrzado pla dformação d fluênca ε (t, qu é a dfrnça ntr a dformação no nstant ε (t a c dformação orunda do procsso lástco ε. Entrtanto, a rprsntação mas comum é fta através da chamada função d fluênca, qu corrspond a uma rlação ntr a dformação d fluênca a tnsão aplcadaσ, conform rlação aprsntada a sgur: εc ( ( Jt ( t ε t ε = = σ σ (. 3 Na fgura (.3 é aprsntada uma curva típca d fluênca para um sóldo vscolástco. Em função d rsultados xprmntas, m gral ajustam-s as 7

21 xprssõs analítcas para a curva d fluênca, usualmnt sob forma xponncal, ond J corrspond ao módulo d fluênca. Fgura. 3 Curva típca xprmntal d fluênca (adaptado d DROZDOV [3] D acordo com ROYLANCE [5], a curva d fluênca quando plotada m scala logarítmca aprsnta um ponto d nflxão, qu caractrza o tmpo d rlaxação τ do procsso d fluênca, conform aprsntado na fgura (.4. Os valors Jg Jr rprsntam, rspctvamnt, a fluênca do matral na fas vítra (glassy fas lástca (rubrry, qu srão dscutdas na sção.5. Fgura. 4 Aspcto da curva d fluênca m scala logarítmca (adaptado d ROYALANCE [5] 8

22 .4. O fnômno d rlaxação Dfn-s como rlaxação d tnsõs o fnômno d alívo nos sforços ntrnos qu ocorr m alguns matras quando sujtos a uma dformação constant. Para mlhor ntndmnto do fnômno, srá aprsntada a xprênca orunda do tst d rlaxação. Nss xprmnto, um corpo é subtamnt posto m stuação d traconamnto axal consqüntmnt é obsrvado um ncrmnto m su comprmnto, nduzndo a um stado d dformação axal qu é mantdo constant para ftos do tst ao longo do tmpo. O comportamnto dos valors assocados à tnsão dformação são lustrados na fgura (.5. Fgura. 5 Tst d rlaxação Para um matral prftamnt lástco a tnsão também s mantra constant ao longo da análs. Entrtanto, para um matral vscolástco ss valor dmnu monotoncamnt a partr do tmpo t >, tndndo a um valor assntótco σ lm. A curva do comportamnto da tnsão no tmpo aprsntada pla fgura (.5 é conhcda como curva d rlaxação, é gralmnt obtda através d nsaos xprmntas, ond m sguda ajustam-s funçõs para caractrzação do comportamnto, sndo stas conhcdas como funçõs d rlaxação. Um parâmtro mportant assocado aos nsaos d rlaxação é, portanto, a função d rlaxação, qu dtrmna o módulo d rlaxação m cada nstant t, dfndo pla rlação: σ ( t G ( t = ε (. 4 D acordo com ROYLANCE [5], a fluênca rlaxação são rsultants do msmo mcansmo molcular, por ssa razão o valor assocado à fluênca J(t o módulo d rlaxação G (t na maora das stuaçõs podm sr corrlaconados. No caso d um matral vscolástco lnar, sss valors são nvrsos ntr s. Entrtanto, nm smpr ssa rlação é fácl d sr obtda nos dmas matras vscolástcos, m partcular, porqu a rsposta ao tst d rlaxação é obtda d forma mas rápda do qu o qulíbro d forças obtdo no tst d fluênca. 9

23 .5. A vscolastcdad o fnômno d fluênca rlaxação Na ltratura, a dpndênca tmporal do campo d tnsão dformação advnda dos fnômnos d fluênca rlaxação confr aos matras vscolástcos a dnomnação d matras com mmóra, qu podm sr subclassfcados m fludos vscolástcos sóldos vscolástcos. ROYLANCE [5] aprsnta alguns lmntos dfrncadors do comportamnto d sóldos fludos vscolástcos. D acordo com sua dfnção, um fludo vscolástco submtdo a um stado d dformação constant (tst d rlaxação rá produzr um stado d tnsão qu rá dcar a zro. Contraramnt, os sóldos vscolástcos quando submtdos a um stado d dformação constant (tst d rlaxação aprsntarão uma componnt d tnsão qu rmansc não-nula. DROZDOV [3] afrma qu para um mo sóldo vscolástco a dformação ε ( t tnd a um valor lmt ε sua drvada ε ( t tnd a zro quanto t. Entrtanto, para um fludo vscolástco a taxa d dformação ε ( t tnd para um valor lmt ε, qu corrspond a um fluxo nwtonano. Em outras palavras, um sóldo vscolástco quando submtdo ao tst d fluênca aprsntará uma dformação lmtada, nquanto qu o fludo vscolástco tndrá a uma dformação lmtada cuja taxa d dformação s aproxmará à d um fluído nwtonano. Ess comportamnto é aprsntado na fgura (.6. Fgura. 6 - Fluênca m matral vscolástco: (A sóldo; (B fludo (adaptado d DROZDOV [3]

24 A dstnção ntr o comportamnto d um fludo d um sóldo pod sr fto através do númro d Dborah. D acordo com LEAL [6], o númro d Dborah, D, é uma grandza admnsonal qu prmt dstngur, m função da sua magntud, s um dtrmnado matral tm um comportamnto mas próxmo d um fludo ou d um sóldo. Essa grandza pod sr obtda pla rlação tmpo d rlaxação/tmpo d obsrvação. Pqunos valors do númro d Dborah corrspondm a matras qu têm tmpo sufcnt para atngr um stado d rlaxação, por sso, comportam-s como fludos. Contraramnt, os matras qu aprsntam um valor lvado do númro d Dborah stão mas próxmos do comportamnto d um matral sóldo. DROZDOV [3] aprsnta uma xprssão para a dformação total ε ( t basada nas componnts da dformação d fluênca, nstantâna (lástca nwtonana (vscosa. Para tal, consdra-s um lmnto vscolástco submtdo a uma tnsão unform σ, ao qual s pod assocar uma dformação nwtonana ε n proporconal ao tmpo (q..5, uma dformação ncal ε nstantâna uma componnt dformação d fluênca ~ ε ( t, qu gralmnt não é tão smpls d sr dtrmnada, corrspondndo c a uma parcla varávl ao longo do tmpo. A dformação total dv corrspondr à soma d uma vntual dformação nstantâna d uma dformação d fluênca, rsultant da soma das parclas nwtonana ~ ε ( t varávl, conform quação (.6. ε σ η n( t = t ε ( t = ε + ε c ( t ond: ε ( t = ε ( t + ~ ε ( t c n c c (. 5 (. 6 As proprdads d rsposta ncal ao stímulo d forças também não é unform nos matras vscolástcos. Basado no trabalho d Gskus (995, DROZDOV [3] aprsnta uma classfcação d sóldos fludos vscolástcos m função do comportamnto mcânco ncal, conform aprsntado m sguda:

25 Sóldos com vscosdad nstantâna ( ε =,ε <, ε = ; Sóldos com lastcdad nstantâna ( ε,ε <, ε = ; Fludos com vscosdad nstantâna ( ε =,ε =, ε ; (. 7 Fludos com lastcdad nstantâna ( ε,ε =, ε ; Alguns polímros aprsntam modlo mcânco com comportamnto dfrnt dos modlos d fluênca convnconal dos sóldos fludos vscolástcos. Sgundo DROZDOV [3], m alguns casos a dformação ε ( t m sóldos polmércos aumnta monotoncamnt não tnd a um valor lmtado fnto, nquanto qu sua taxa d dformação tnd a zro com o aumnto do tmpo. D acordo com ROYLANCE [5], a tmpratura nflunca fortmnt as proprdads do matral vscolástco. Essa nfluênca é obsrvada m um dslocamnto rlatvo da curva d fluênca. Com bas nsso, pod-s fazr uma analoga tmpo x tmpratura, ftuando-s uma corrção no tmpo d rlaxação do matral a partr d um fator d troca a T (q..8. Tal procdmnto ocorr através da dfrnça dos valors aprsntados na curva d fluênca, conform fgura (.7, ond τ rf corrspond a tmpratura d rfrênca τ a tmpratura para o qual s dsja ftuar a corrção. logτ = logτ + log a (. 8 rf T Fgura. 7 Corrção da curva d fluênca. (adaptado d ROYLANCE [5].

26 Para dtrmnar o fator d troca a T, part-s d um gráfco d rfrênca qu aprsnt dfrnts valors do módulo d fluênca d um msmo matral para dstntas tmpraturas. Dv-s ntão construr uma curva para a tmpratura a sr corrgda através d uma ntrpolação dos valors das curvas d tmpraturas xstnts (fg..8a. Com bas nos ncrmntos ncssáros para o ajust, rtorna-s à curva prncpal corrgndo-s os valors dslocados no xo ordnado, conform procdmnto aprsntado na fgura (.8. Fgura. 8 Suprposção tmpo-tmpratura (adaptado d ROYLANCE [5. O procdmnto acma é váldo apnas para matras qu possuam tmpo d rlaxação smpls. Para matras vscolástcos complxos, qu podm aprsntar tmpo múltplo d rlaxação (mas d um ponto d nflxão dvm-s ftuar corrçõs através das rlaçõs d Arhnus, conform dscutdo por ROYLANCE [5]. Um outro fator qu tm nfluênca sgnfcatva no fnômno da vscolastcdad é o fto do nvlhcmnto do matral, qu pod trazr mudanças nas proprdads vscolástcas com o tmpo. Normalmnt o fto do nvlhcmnto nduz ao aumnto do módulo d lastcdad à dmnução das dformaçõs d fluênca. DROZDOV [3] argumnta qu é convnnt dstngur os ftos físcos (rvrsívs químcos (rrvrsívs do nvlhcmnto. Os ftos das altraçõs químcas, qu são gralmnt rrvrsívs s procssam através d raçõs químcas sofrdas plos matras consttunts rão nduzr a modfcaçõs mcâncas com o tmpo, a xmplo do procsso d hdratação do concrto. Já os procssos físcos starão assocados ao qulíbro trmodnâmco, tndm, por xmplo, a rduzr a nrga d ntropa por consqüênca as taxas d fluênca rlaxação. Convém rlmbrar qu a ntropa stá rlaconada à quantdad d nrga no corpo qu não pod sr 3

27 transformada m trabalho. Esss procssos ocorrm d manra pcular a cada class d matral vscolástco, cabndo ntão uma análs pontual para sua caractrzação..6. Modlo molcular Os prncpas mcansmos controladors da vscolastcdad stão rlaconados à racomodação d partículas da strutura molcular consttunt. Ess comportamnto é xplcado pla tora molcular. Os mcansmos aprsntados s basam no trabalho Engnrng Vscolastcty, aprsntada por ROYLANCE [5] para polímros vscolástcos. Sgundo ssa tora, quando um matral vscolástco é submtdo a um stado d tnsão, os comprmntos ângulos das lgaçõs molculars são altrados, os átomos são movdos para uma posção d maor nrga ntrna. Caso o matral tnha mobldad molcular sufcnt, rarranjos molculars d larga-scala podm sr obsrvados, podndo havr grands mudanças na conformação molcular. A combnação da prmra sgunda ls da trmodnâmca, ncarada a partr d um ncrmnto no trabalho mcânco fdx, faz ntrprtar qu, para o qulíbro do sstma, dvrá ocorrr um aumnto na nrga ntrna du ou uma dmnução na nrga d ntropa TdS, rgda pla sgunt rlação: fdx = du TdS (. 9 D acordo com a formulação aprsntada, a ntropa ds é fortmnt nfluncada pla tmpratura T, pod sr uma forma convnnt d rprsntar xprmntalmnt a rlação ntr as proprdads físcas do matral a nrga d ntropa. A ntropa stá rlaconada com o númro d confguraçõs (ou arranjos d msma nrga qu um dado sstma pod assumr. A ntrprtação molcular da ntropa sugr qu, m uma stuação puramnt gométrca, quanto maor o númro d confguraçõs, maor a ntropa [7]. Nss contxto, nota-s qu a força d rtração ntrna ncssára para um lastômro (borracha alongado rcuprar sua forma orgnal dvrá aumntar m função da lvação d tmpratura, caractrzando uma alta parcla d nrga ntrópca. Por outro lado, no caso do aço (mtal, ssa força d rtração rá dmnur com a lvação da tmpratura, ou sja, a xpansão térmca atuará alvando a tnsão 4

28 ntrna, aprsntando dssa forma uma baxa parcla d nrga ntrópca. A dfrnça nss comportamnto é dvda à mobldad molcular, qu stá rlaconada com a nrga ntrópca. Um msmo matral pod aprsntar dfrnts valors m sua força ntrna, qu dpndrá da tmpratura consqüntmnt do grau d ntropa, caractrzando fass físcas dfrncadas. Na fas vítra, atngda m baxas tmpraturas, o dslocamnto molcular é rlatvamnt pquno m rlação a sua confguração d orgm, por sso, na ralzação do trabalho mcânco fdx obsrva-s um maor armaznamnto da nrga lástca, rfltdo pla lvada rgdz do matral consqünt mnor dformação. Já m tmpraturas mas lvadas (fas lástca, as cadas molculars possum maor mobldad, assocadas a um maor valor da conformação molcular. A mobldad molcular é nfluncada por fators físcos químcos, tal qual a arquttura molcular, a tmpratura ou a prsnça d fludos d absorção. O grau d mobldad molcular é mddo pla taxa d conformação (rat, qu pod sr quantfcada pla xprssão d Arrhnus: E ' rat xp( RT (. Nssa xprssão, E rprsnta a nrga d atvação aparnt R é a constant unvrsal dos gass prftos, R=8,34J/mol-K. Em uma zona d transção do comportamnto vítro-lástco, dfn-s uma tmpratura d transção T g, tal qu para T>>T g (fas lástca o valor da taxa d conformação (rat é lvado, prmtndo aos matras atngr rvrsbldad complta d dformação. Para T<<T g (fas vítra os valors da taxa d conformação são pqunos a rsposta ao stímulo d forças é mas lnta, por ssa razão, a rcupração d dformação é mas lnta. A rgão ntrmdára é conhcda como lathry ou vscolástca, pos sua rsposta é combnação dos ftos vscosos das fass vítra lástca, conform aprsntado na fgura (.9. 5

29 Fgura. 9 Rlação ntr a taxa d conformação (rat o tmpo Para EIRICH [8], o comportamnto do sóldo vscolástco rsulta do rarranjo molcular qu pod sr rvrsívl ou rrvrsívl, sugrndo qu os prncpas mcansmos controladors da fluênca m sóldos vscolástcos são: a mpulsão mcânca orunda d movmntos dfrncas, o scorrgamnto das partículas a dfusão molcular. No caso dos fludos vscolástcos, a vscolastcdad é controlada plo ntrlaçamnto d cadas molculars com as cadas adjacnts, sndo qu a dnâmca dssas ntraçõs controlam a função d fluênca do matral, podndo nclusv não sr constant. Em função dos ftos vscosos atuants nos matras vscolástcos, o fto da fluênca ntroduz modfcaçõs nas proprdads ntríscas do matral prmtndo uma nova acomodação molcular, qu pod nduzr a um comportamnto d ncomprssbldad..7. Modlos físcos/matmátcos Para rprsntar os ftos vscosos lástcos prsnts nos matras vscolástcos dvrsos modlos físco-matmátcos são ncontrados na ltratura gralmnt são consttuídos por dfrnts arranjos gométrcos d molas (rprsntando a parcla lástca amortcdors (rprsntando a parcla vscosa. Os prncpas modlos obsrvados na ltratura são aprsntados m sínts nas subsçõs sgunts. 6

30 .7. Modlo d Maxwll O modlo d Maxwll é consttuído pla assocação d um lmnto lástco lgado m sér a um lmnto vscoso, conform lustrado na fgura (.. Ess modlo fo proposto ncalmnt por Jams Clrk Maxwll, m analoga aos modlos létrcos. Fgura. Modlo d Maxwll Aplcado-s uma tnsão σ nas xtrmdads do lmnto vscolástco aprsntado na fgura (., obsrva-s qu a dformação total corrspond à soma das parclas lástca vscosa (q.., rprsntadas plos índcs rspctvamnt. Por outro lado, a tnsão s dstrbu d forma constant nas parclas lástca nlástca, conform xprssão (.. ε ( t ε + ε = ( t ( t (. σ ( t σ = σ = ( t ( t (. As rlaçõs consttutvas dos lmntos componnts da parcla lástca vscosa assumm a sgunt forma: σ( t = E. ε( t (. 3 σ ( t = ηε. ( t (. 4 Combnando as xprssõs antrors chga-s a uma xprssão dfrncal para o modlo d Maxwll, conform aprsntado na quação (.5: ε ( t ( t + ( t = ε ε σ ( t σ ( t ε ( t = + E η (. 5 7

31 A partr da quação (.5 pod-s studar o comportamnto dos matras vscolástcos d Maxwll. Prmramnt, srá ftuada uma análs a partr do tst d fluênca. Para tal, aplca-s uma tnsão σ qu s mantém constant para t >, conform xprssão: σ ( t = σ. u( t (. 6 Nssa xprssão acma, u(t rprsnta a função passo untáro (Havsd δ a função dlta d Drac. Admt-s ncalmnt qu o matral não stá sob ação d carrgamnto, conform condçõs ncas aprsntadas na xprssão (.7.,; t < t ut ( =,; t> t,5; t = t ; t = δ ( t = ; t δ ( tdt= ε ( = σ ( = (. 7 Aplcando o oprador transformada d Laplac na quação (.5 obtém-s: σ ( t σ ( t L ε ( t = L + L E η ε ( { ε ( t } [ σ ( + s. L{ σ ( t }] L{ σ ( t } + s. L = + E η (. 8 Introduzndo as condçõs ncas (q..7 na quação (.8, rsulta: { σ (} { σ (} L t L t sl. { ε ( t } = s+ (. 9 E η Após a aplcação da transformada Laplacana na quação (.6, tm-s: 8

32 σ L{ σ ( t } = σ L{ u( t } = s (. L Rarranjando a quação (.9 com bas no rsultado d (. tmos: σ { ε ( t } = + E. s σ η. s (. Rscrvndo (. na forma do oprador Laplacano aplcando a função passo untáro chga-s faclmnt a uma função qu rá forncr a dformação sofrda plo matral no nstant d tmpo t: L { ε ( t } σ ε ( t = E σ σ = L u( t + L t. u( t E η σ + t. u( t η (. A rsposta ao tst d fluênca para o lmnto d Maxwll é aprsntada na fgura (., dstacando-s a varação tmporal da tnsão dformação ao longo do tst d fluênca. Fgura. Rsposta ao tst d fluênca para o lmnto d Maxwll Com bas no gráfco da fgura (., obsrva-s qu no nstant d aplcação da carga ( t = t = o lmnto d Maxwll rspond com dformação quvalnt à 9

33 dformação lástca. Nos nstants d aplcação d carga sgunts ( t < t < t, obsrva-s um ncrmnto na dformação advnda do comportamnto vscoso, conform dscrto na quação (.. No nstant t = t, após a rmoção da carga aplcada, nota-s o fnômno d rvrsbldad d fluênca. Dssa forma, o matral rcupra o stado d dformação sofrdo pla parcla lástca, atngndo um stado d dformação mnor qu srá quvalnt ao grau d dformação prdda pla parcla vscosa. Através da quação (., nota-s qu s a mola for nfntamnt rígda (E = o modlo s rduz ao fludo nwtonano. Da msma forma s o amortcdor s tornar nfntamnt vscoso (η =, o modlo s rduz a uma mola (lástco. A análs dos lmts da quação (. prmt xtrar as sgunts conclusõs: σ (. 3 + ε ( = E ε ( (. 4 D acordo com CHRISTENSEN [6], o modlo d Maxwll prvê qu há um aumnto lmtado da dformação. Isto é uma caractrístca d mutos fludos, por sso os matras qu podm sr dscrtos pla quação (. são conhcdos como fludos d Maxwll. Analsa-s agora o lmnto d Maxwll submtdo ao tst d rlaxação, através da aplcação d uma dformação constant: ε ( t = ε ( t. u( t (. 5 s s. L t E η { ε ( t } =. L{ σ ( t } + L{ σ ( } ε s. = s L L { σ t } s E + L η { σ ( t } = E. ε. E + s η ( { σ ( t } = E. ε. L E. t η

34 E t η σ ( t = E. ε ( t. (. 6 A curva d rlaxação para um lmnto d Maxwll é aprsntada na fgura (.. Através da análs dos lmts da xprssão (.6, pod-s obsrvar qu ncalmnt a tnsão no lmnto é quvalnt a tnsão m rgm lástco (q..7, qu dca xponncalmnt até um valor qu tndrá a zro (q σ ( = E. ε (. 7 σ ( = (. 8 Fgura. Confguração típca d um corpo submtdo a um tst d rlaxação O comportamnto do lmnto d Maxwll é strtamnt pcular ao d um fludo vscolástco, tratando-s dssa forma d um fludo não-nwtonano. Na ltratura, obsrva-s uma grand quantdad d matras qu podm sr nquadrados como fludos vscolástcos, qu são prncpalmnt obsrvados m almntos componnt bológcos. NAGAYAMA t. al [9] utlzaram um modlo d Maxwll composto por dos lmntos lgados m parallo para modlar o comportamnto d células do tcdo muscular d artéras submtdas a prssõs do fluxo sanguíno. No artgo nttulado Rhology for th food ndustry, MUNIZAGA CÁNOVAS [] dscrvm uma sér d almntos qu podm sr rprsntados plo modlo d Maxwll, a xmplo da maons ktchup..7. Modlo d Klvn D acordo com o modlo rológco proposto por Lord Klvn, o fto da vscolastcdad pod sr rprsntado pla combnação d um lmnto vscoso um lástco, lgados m parallo, conform fgura (.3.

35 Fgura. 3 Rprsntação do modlo d Klvn A aplcação d uma tnsão σ nas xtrmdads do lmnto d Klvn provocará uma dstrbução d tnsõs nas parclas lástca vscosa, d forma qu a tnsão total atuant no lmnto srá quvalnt a soma d cada parcla (q..9. Por outro lado, como os lmntos stão ntrconctados m suas xtrmdads, as dformaçõs sofrdas pla parcla lástca vscosa dvrão aprsntar gual valor, conform quação (.3, ond rprsnta a parcla lástca rprsnta a parcla vscosa. σ ( t + σ = σ ( t ( t (. 9 ε ( t = ε = ε ( t ( t (. 3 Combnando as xprssõs (.9 (.3 às rlaçõs consttutvas lástcas vscosas, q. (.3 q. (.4, obtém-s a quação dfrncal do modlo d Klvn, aprsntada a sgur: σ ( t + σ = σ ( t ( t E( t σ ( t (. 3 ε ( t + ε ( t = η η Para analsar o comportamnto do modlo d Klvn quando submtdo ao tst d fluênca, a quação dfrncal (.3 srá rsolvda através da aplcação do oprador Laplacano, conform procdmnto aprsntando antrormnt para o modlo d Maxwll. Chga-s ntão a xprssão (.3, ond u(t corrspond a função Havsdad. Para a tnsão σ atuando no ntrvalo d (, t, o comportamnto da hstóra d dformação ε (t é o ndcado na fgura.4. ε ( t E E σ. t = η. u( t (. 3

36 Fgura. 4 Rsposta ao tst d fluênca para o lmnto d Klvn Através da análs d lmts da quação (.3 pod-s provar qu mdatamnt após a aplcação da carga, o lmnto d Klvn submtdo ao tst d fluênca aprsnta uma dformação nstantâna nula (q..33. Por outro lado, s o carrgamnto for mantdo constant no tmpo, o valor da dformação tnd para um valor assntótco aprsntado na quação (.34. Entrtanto, após a rmoção da carga, a dformação dca xponncalmnt até o valor d dformação nula. + ε ( = (. 33 σ ε ( = E (. 34 Submtndo o lmnto d Klvn ao tst d rlaxação, através da análs da quação (.3, sob a aplcação súbta d uma dformação ε mantda constant, rá s obtr: E L. η η L {} ε +. L{} ε = L{ σ} E s E + η s η s. ε =. L{ σ} { σ } = η ε +. ε = η. ε. L{ δ ( t + E. ε. L{ u( t } = L{ η. ε. δ ( t + E. ε. u( }. t [ ( t E. u( ] σ ( t = ε. ηδ + t (. 35 Com a análs dos lmts da xprssão (.35 pod-s obsrvar qu, após a aplcação da carga, a tnsão s mantém constant, conform a quação (.37. 3

37 σ ( + (. 36 σ ( = E. ε (. 37 O comportamnto do lmnto d Klvn é típco d um sóldo vscolástco. Na ltratura, podm-s dstacar aplcaçõs do modlo d Klvn no campo da ngnhara gotécnca, gologa ndústra d almntos. MAKRIS [] aprsnta um modlo vscolástco d Klvn, combnado a partr d lmntos, para análs d fundaçõs frnt a rsposta sob o fto d trrmotos. Como aplcação na ndústra d almntos, KUO WANG [] utlzaram um squma composto d 6 lmntos d Klvn para modlar o comportamnto d dvrsas vardads d qujo, objtvando o dsnvolvmnto d uma mtodologa d rotulação d qualdad através d uma análs d fluênca vscolástca..7.3 Modlo d Burgrs O modlo proposto por Burgr consst na junção d um lmnto d Klvn assocado a um lmnto vscoso outro lástco m sér, conform fgura (.5. Fgura. 5 Modlo rológco d Burgrs Dlmtando 3 zonas d dformação, m qu a zona ( corrspond à parcla vscosa, a zona ( ao lmnto d Klvn a zona (3 à parcla lástca, pod-s afrmar qu a dformação total no lmnto é dada por: ε t = ε ( t + ε ( t + ε ( (. 38 ( 3 t Rdfnndo a xprssão (.38 m trmos d taxa d dformação, combnando com as xprssõs (.3, (.4 (.3, chga-s a formulação dfrncal para o modlo d Burgs aprsntada na quação (.39. 4

38 E E E EE EE σ σ+ σ = E ε+ ε η η η ηη η (. 39 O modlo d Burgrs tm sdo um dos modlos rológcos mas utlzados na dscrção do comportamnto vscolástco d msturas btumnosas, a xmplo dos studos ralzados por VALE MELO [3]..7.4 Modlo do sóldo lnar padrão Aparntmnt parc não havr uma padronzação na dfnção do chamado modlo do sóldo vscolástco padrão. Entrtanto, os dos modlos aprsntados na ltratura stão rlaconados à assocação d dos lmntos lástcos um lmnto vscoso. O modlo mas dfunddo assoca um lmnto d Maxwll a um lmnto lástco conctados m parallo (fg..6. Ess modlo é dscutdo por CHRISTENSEN [6], SIMO HUGHES [4], DROZDOV [3], FINDLEY t. al. [5] VINOGRADOV MALKIN [6]. A outra rprsntação não srá abordada nss trabalho. Sndo Fgura. 6 Elmnto sóldo vscolástco lnar σ σ m as tnsõs na parcla lástca no lmnto d Maxwll rspctvamnt, rprsntados plos índcs, a dstrbução d tnsõs no lmnto é dada por: σ ( t = σ ( t = σ ( t + σ ( t (. 4 Rarranjado a xprssão (.4 aplcando as quaçõs (.3 (.4 chga-s à quação dfrncal para o modlo do sóldo padrão aprsntado na quação (.4. 5

39 σ ( t σ ( t + E η E = ( + E E ε ( t + ε ( t η (. 4 O sóldo vscolástco lnar ao sr submtdo ao nsao d rlaxação, fazndos ε ( t = ε consdrando a quação (.4, passará a sr rprsntado pla quação dfrncal (.4. σ ( t σ ( t + E η E = + ε η (. 4 A solução gral da quação (.4 é dada pla xprssão (.43, ond σ ( + rprsnta a tnsão no corpo vscolástco mdatamnt após a aplcação da carga. + [ E ε + ( ] E σ ( t = Eε + xp( t σ η (. 43 Intgrando a quação (.4 com rlação ao tmpo, objtvando a dtrmnação d σ ( + a partr do nstant mdatamnt antror à aplcação da dformação no tmpo t( -, obtém-s: tn tn σ ( t dt + E σ ( t E dt = ( + η E t n E ε ( t dt + η t n ε ( t dt (. 44 Admtndo qu no nstant ncal da aplcação da dformação (tst d rlaxação nstant t=t( -, o corpo aprsnta stado d tnsão dformação nula, o rsultado da quação (.44 no nstant t=t n s aprsnta na forma: σ ( t E n E (. 45 = + ε ( tn E Fazndo t n = + na quação (.45, obsrva-s qu mdatamnt após a aplcação da dformação, o modlo do sóldo vscolástco lnar aprsnta uma 6

40 rsposta m tnsão total qu corrspond a um comportamnto lástco com rgdz quvalnt a soma dos lmntos lástcos assocados m parallo, ou sja: ( E + σ ( = ε, ond E = E + E (. 46 Substtundo o valor da tnsão ncal, advndo da quação (.46, na xprssão (.43, pod-s stablcr o valor da tnsão para cada nstant d tmpo σ (t na forma: E ( = E + E xp( σ t ε t (. 47 E E η Pla dfnção da q. (.4, a razão ntr a tnsão total a dformação constant é dfnda como função d rlaxação G (t, d forma qu pod-s rscrvr a quação (.47 na forma: σ ( t E = = E + E ( xp( G t t ε E E η (. 48 O modlo vscolástco do sóldo lnar padrão tm sdo amplamnt utlzado m modlagns d aplcaçõs na ngnhara strutural, mcânca gotécnca. Tpcamnt, aplcaçõs podm sr ftas m matras qu aprsntm fluênca vscolástca, a xmplo do concrto, algumas vardads d madra, matras polmércos, dntr outros..7.5 Gnralzação dos modlos báscos Os modlos mas smpls podm sr gnralzados por um númro fnto d combnaçõs dos lmntos báscos. Ess procsso prmt partcularzar alguns fnômnos vscolástcos qu não consgum sr rprsntados com prcsão plos modlos tradconas. Para o modlo d Maxwll, as combnaçõs podm sr ftas através da ntrlgação d lmntos báscos m sér ou m parallo. Na combnação m sér 7

41 aprsntada na fgura (.7, o comportamnto é smlhant ao modlo básco, sndo qu as parclas lástca vscosa rsultants corrspondm ao somatóro da contrbução d cada lmnto básco, conform quação (.49. Fgura. 7 Elmnto d Maxwll gnralzado m sér n ε ( t = σ ( t + σ ( t (. 49 E η = = Já na combnação dos lmntos d Maxwll m parallo, chamado d modlo d Maxwll-Wchrt, aprsntado na fgura (.8, a nfluênca d cada lmnto d Maxwll produz altração no tmpo d rlaxação. Nss modlo, a tnsão dformação total podm sr obtdas através da análs ndvdual d cada lmnto. Fgura. 8 Elmnto d Maxwll gnralzado m parallo (Maxwll-Wchrt D acordo com FINDLEY t. al [5], cada quação dfrncal do lmnto d Maxwll pod sr rscrta sob a forma d um oprador dfrncal m rlação ao tmpo D = d/dt. No modlo d Maxwll-Wchrt, a tnsão total corrspond à soma das tnsõs m cada lmnto d Maxwl qu compõ o novo sstma, conform a sgunt quação: n n D σ = σ = ε D = = + E η (. 5 Elmnando o oprador D do dnomnador da quação (.5 através d uma manpulação algébrca, chga-s faclmnt à quação (.5, qu rprsnta uma xprssão para o modlo gnralzado d Maxwll-Wchrt. 8

42 9 ε η η η η σ η = + = E D E D E D E D E D n (.5 Já na assocação d um númro fnto d lmntos d Klvn m parallo, dando orgm ao modlo gnralzado d Klvn-Vogt (fg..9, o sstma rá s comportar como um lmnto com rgdz vscosdad quvalnts ao somatóro d cada proprdad assocada ao n-ésmo lmnto d Klvn, conform quação (.5. Fgura. 9 Elmnto d gnralzado Klvn Vogt m parallo = = + = n n E η ε ε σ (. 5 Na combnação d lmntos d Klvn m sér, obsrva-s qu a dformação total corrspond à soma das dformaçõs nos lmntos báscos (fg.., conform quação (.53. Fgura. Modlo gnralzado d Klvn-Vogt m sér. + = = = = n n E D η σ ε ε (. 53 Para a lmnação do oprador dfrncal D da quação (.53, faz-s novamnt uma opração algébrca, cuja xprssão fnal é dada pla quação (.54.

43 n ε ( Dη + E = σ [( Dη + E ( Dη 3 + E ( Dη + E ( Dη 3 + E ] (.54 =.8 Rprsntação por ntgras hrdtáras Até a prsnt sção, os modlos vscolástcos dscrtos foram aprsntados na forma dfrncal. Uma outra manra bastant dfundda na ltratura d s rprsntar o comportamnto vscolástco é através da chamada forma ntgral. Ess procdmnto é possívl, no caso da vscolastcdad lnar, graças ao mprgo do prncípo d suprposção d Boltzmann (BERGER [7]. Para dscrvr a formulação ntgral da vscolastcdad lnar adotam-s novamnt das hpótss as sgunts consdraçõs (DROZDOV [3]: Idalza-s um corpo vscolástco ncalmnt m su stado natural (lvr d tnsõs. No nstant τ uma força d valor untáro é aplcada, a dformação longtudnal (t,τ m cada nstant t τ é aprsntado pla forma: t (, τ = ( τ + (, tτ (. 55 Na formulação aprsntada m (.55, rprsnta a dformação lástca nstantâna, ao passo qu traduz a dformação adconal advnda dos ftos vscolástcos. D acordo com o prncípo d suprposção d Boltzmann, a dformação ε ( t rsultant da hstóra d tnsão { σ( ( t τ t } é gual à soma das dformaçõs causadas plas varaçõs lmntars d tnsõs: ( ( t d σ τ ε t = (, t τ dτ dτ (. 56 Para tal, o comportamnto da tnsão no tmpo é dalzado a partr da curva aprsntada na fgura (., ond s podm obsrvar os lmntos nfntsmas o tmpo τ d aplcação da força. 3

44 3 Fgura. Varação da dformação no tmpo Intgrando por parts a quação (.56, obtém-s: τ σ τ τ σ τ τ σ τ τ τ τ σ ε τ τ d t t Y t E t d t t t t t t (, ( ( ( (, (, ( ( ( + = = = = + = Υ, ( (, ( τ τ τ t C E t (. 57 Como a tnsão aplcada aprsnta valor untáro, obsrva-s qu na xprssão (.57 a função, ( τ t Υ corrspond à dformação total advnda da parcla = E, ( t C = τ. Naturalmnt, s E for constant, a drvada da parcla, ( τ t Υ, consqüntmnt, o rspctvo ntgrando da xprssão (.57 é nulo. A partr do oprador K(t,τ aplcado a, ( τ t Υ, dfndo por DROSDOV [3] como crp krnl, a quação (.57 pod sr rprsntada sob a forma da quação (.58, ond, ( τ t C contablza uma mdda dos ncrmntos d dformação vscolástcos: + =, ( ( (, ( τ τ τ τ t C E t E t K + = t d t K t t E t (, ( ( ( ( τ τ σ τ σ ε (. 58

45 Na prátca, o oprador crp krnl é um controlador do parâmtro d fluênca, a parcla C ( t, τ rá rprsntar a nfluênca do nvlhcmnto no matral vscolástco. Idalza-s qu o módulo d lastcdad s mantém constant, d forma qu E ( t = E. Pod-s também caractrzar o oprador K crp krnl uncamnt m função da dfrnça d tmpo ( t τ, d forma qu a quação (.59 pod sr rscrta sob a forma d uma ntgral d convolução: ε ( t = σ ( t + t K( t τ σ ( τ dτ E( t t ε ( t = σ ( t + C ( t τ σ ( τ dτ E( t (. 59 ond: = K(t C C = EC( t A quação (.59 é conhcda como quação d fluênca. D forma smlar, podmos stablcr uma quação ntgral qu corrlacon a tnsão vscolástca m função da dformação, também conhcda como quação d rlaxação. σ ( t = E( t ε ( t t χ( t, τ ε ( τ dτ τ Ond χ( t, τ = E( τ + Q( t, τ (. 6 A função Q ( t, τ quantfca uma mdda do parâmtro d rlaxação do matral vscolástco, qu no nstant τ = corrspond a Q ( t, τ =. Com bas no funconal R ( t, τ, dfndo por DROSDOV [3], a quação (.6 pod sr rscrta sob a forma: t σ ( t = E( t ε ( t R( t, τ ε ( τ dτ ond: Rt (, τ = + Qt (, τ Et ( t E( τ (. 6 D manra smlar às smplfcaçõs adotadas na quação d fluênca, a quação d rlaxação também pod sr rscrta uncamnt m função do tmpo ( t τ, d forma qu a quação (.6 pod sr raprsntada como: 3

46 33 = = τ τ ε τ ε τ τ ε τ ε σ d t Q t t E d t R t t E t t t ( ( ( ( ( ( ( ( ( ond: ( ( t Q t R = E Q t t Q ( ( = (. 6 Em gral, as quaçõs ntgras são xprssas m trmos das funçõs d fluênca d rlaxação, conform obsrvado m CHRISTENSEN [6], BLAND [5], BERGEN [7] VINOGRADOV MALKIN [6]. Dssa forma, DOZDROV [3] corrlacona a função Q(t com a função d rlaxação (t G, d forma qu: ( ( + = t Q t G (. 63 Com o uso da xprssão (.63 ntgração por parts, a quação (.6 pod sr aprsntada na forma (.64, obtndo dsta manra uma quação ntgral para a tnsão m função da taxa d dformação da função d rlaxação (t G. = + = = = τ τ ε τ τ ε τ ε σ τ τ d t G t G t t E t t t ( ( ( ( ( ( ( = τ τ ε τ σ d t G E t t ( ( ( (. 64 No capítulo 4, srão dscutdas as técncas mprgadas para a solução das quaçõs ntgras aprsntadas, basadas prncpalmnt no método dos lmntos fntos, qu srá focado no próxmo capítulo.

47 3. O método dos lmntos fntos Em parallo aos avanços tcnológcos, a ngnhara tm aprmorado sus métodos procssos m busca da obtnção d mlhors rsultados. Os métodos numércos têm acompanhado ssa tndênca a cada da busca-s por formulaçõs numércas mas prcsas computaconalmnt fcnts. O método dos lmntos fntos já é bastant dfunddo na solução d problmas qu nvolvm quaçõs dfrncas. Tv suas orgns na década d 5, sobrtudo na aplcação à ndústra arospacal à ngnhara strutural, sndo postrormnt stnddo na década d 7 à mcânca dos fludos outras áras a partr dos prncípos da análs funconal. Formulaçõs dstntas foram dsnvolvdas nas décadas sgunts, prncpalmnt m função das osclaçõs numércas obsrvadas nos problmas da mcânca dos fludos. Uma das lnhas d maor dstaqu dsnvolvda nss príodo nvolv a chamada formulação msta m lmntos fntos. Maors dtalhs sobr o dsnvolvmnto das formulaçõs m lmntos fntos ao longo da hstóra podm sr obsrvados m LOGAN [8] HUEBNER THORNTON [9]. Srão aprsntados na sção (3. os conctos lmntars da formulação clássca do método dos lmntos fntos. Em sguda, dscut-s a formulação msta do MEF, dstacando-s os crtéros d stabldad numérca. As formulaçõs stablzadas são dscutdas na sção (3.4, nfatzando a formulação Galrkn Last Squar, doravant chamada d (GLS, a d stablzação drta da prssão, qu srá rfrncada como (Bochv, formulaçõs stas mprgadas no dsnvolvmnto dst trabalho. 3. Conctos báscos O foco prncpal do método dos lmntos fntos consst na transformação da formulação dfrncal do problma m uma forma ntgral varaconal, também conhcda como formulação varaconal ou formulação fraca. A partr da formulação varaconal da dscrtzação spacal tmporal (problmas transnts da rgão m análs (domíno, a solução qu m gral prtnc a um spaço d dmnsão nfnta (solução contínua é aproxmada por lmntos d spaço d dmnsão fnta (solução dscrta. Esta solução aproxmada é chamada d aproxmação d lmntos fntos. O problma ntão rca na rsolução d um sstma d quaçõs algébrcas cuja solução corrspond aos valors aproxmados nos nós dos lmntos. 34

48 Para tal procdmnto, é ncssáro tr o conhcmnto da quação dfrncal rgnt do problma das rstrçõs às quas a msmo stá sujta, caractrzando dssa forma um problma d contorno d valor ncal. D forma gral, o objtvo é obtr a solução u d um problma qu atnda ao conjunto d quaçõs dfrncas no domíno Ω dfndas plo oprador dfrncal matrcal A(u (3., rsptando as condçõs no contorno Γ rgdas plo oprador dfrncal matrcal B(u (3.. Α(u A ( u A ( u A ( n u = = b m Ω (3. B ( u u B ( B(u = = g B n ( u m Γ (3. h Através da dscrtzação spacal { n } Π = Ω,..., Ω, a gomtra da rgão srá dcomposta m partçõs do domíno, dnomnadas d malha d lmntos fntos, composta por n lmntos n n pontos nodas, satsfazndo: (fg. 3.. Dssa forma, Ω Ω s ' Ω pod sr mapado no corrspondnt lmnto padrão rgular através d mapamntos soparamétrcos, sndo o domíno d modlagm dado ' pla unão d todos os lmntos fntos, tal qu: n nc c (fg. 3., = c= Ω Γ= Ω Γ ond Γ c dnota o contorno dos lmntos m contato com Γ. A forma gométrca dos lmntos da malha pod assumr dvrsas confguraçõs, sndo as mas comuns para problmas bdmnsonas as gomtras trangulars quadrlátras. 35

49 Fgura 3. Caractrzação do domíno contorno No domíno da rgão lustrada na fgura (3., a solução aproxmada m cada lmnto da malha (u m é obtda através da ntrpolação dos valors nodas a m d cada -ésmo ponto nodal do lmnto (consttuído por r pontos nodas da malha m, através das funçõs N, conform quação (3.3. Convém rssaltar qu a aproxmação é fta para todos os graus d lbrdad nodal (componnts do vtor solução. r h m m m = u u a N = com m =,..., n (3. 3 D acordo com ZIENKIEWICZ TAYLOR [3], os valors d a m da xprssão (3.3 são parâmtros a srm dtrmnados. As funçõs N utlzadas para aproxmar a solução nodal no ntror dos lmntos são conhcdas como funçõs d ntrpolação (funçõs d forma, qu dvm sr lnarmnt ndpndnts. MANSUR [3] dscorr qu a scolha das funçõs d ntrpolação dv sr fta d tal manra qu, quando o númro d partçõs no domíno tnda a um valor nfnto, a solução aproxmada dv tndr ao valor xato, sndo st crtéro conhcdo por compltvdad. Pod-s também rprsntar a solução aproxmada m qualqur ponto do domíno u = {u, u,..., u ngl } T (vtor contndo aproxmaçõs d dstntos graus d lbrdad através d uma rlação global ntr os parâmtros a srm dtrmnados m cada lmnto da malha (arranjados m uma forma matrcal global suas rspctvas funçõs d forma (ntrpolação (q

50 h u u = an Ond: a a r a = am a mr j N j T N = N = [ N N N k ] (3. 4 j N m A partr da dscrtzação do domíno m lmntos fntos, as funçõs d forma N srão dfndas localmnt m cada lmnto, tndo sus valors atrbuídos a partr d sus nós. É comum na ltratura rotular a função d ntrpolação através d sua class. Uma função d ntrpolação prtnc à class C n- s la é d ordm n, ou sja, s sua drvada d ordm (n- xst (é fnta. Nst caso, tanto a função como suas drvadas até ordm (n- dvm sr contínuas. Conform dscutdo antrormnt, o objtvo é transformar a forma dfrncal m uma forma ntgral varaconal, qu pod sr d manra gral rprsntada pla quação (3.5. A partr dssa formulação srá prmtda a obtnção dos parâmtros dsconhcdos a m da xprssão (3.3, calculados com uma malha d n lmntos: n G dω+ g dγ= G dω+ g dγ = F dω j j j j Ω j Ω Γ = Ω Γ ΩΓ (3. 5 A forma ntgral da xprssão (3.5 para cada problma spcífco pod sr obtda através da aplcação do método dos rsíduos pondrados. Uma outra manra d s obtr a forma (3.5 é através da dtrmnação do funconal varaconal. h h No método dos rsíduos pondrados, os rsíduos Au ( Au ( Bu ( Bu ( são multplcados por funçõs vtoras j = ( w wj T w com j = (,...,r, lnarmnt ndpndnts (funçõs d pondração, m sguda são ntgrados m Ω Γ, rspctvamnt na sgunt forma: Ω T T w j A( an dω+ w j B( an dγ= Para j = a n (3. 6 Γ 37

51 Na prátca, é possívl rduzr a ordm dos opradors A(u B(u da xprssão (3.6 através da ntgração por parts, para casos undmnsonas, do torma d Gauss para casos bdmnsonas, obtndo-s assm a formulação varaconal assocada. Maors dtalhs sobr o procdmnto podm sr obsrvados m MANSUR [3], ZIENKIEWICZ TAYLOR [3] BATHE [3]. A forma d dfnção da função d pondração w j rá dtrmnar o método d aproxmação m lmntos fntos. Os mas dfunddos na ltratura são: Método d Galrkn: No método d Galrkn, adota-s como função d pondração a msma função utlzada como função d forma (ntrpolação. Por produzr matrzs smétrcas, ss método é bastant mprgado na ltratura. Pondração por mínmos quadrados (last squar: No método dos mínmos quadrados, adota-s como função d pondração o própro rsíduo A(u drvado do oprador dfrncal. D acordo com ZIENKIEWICZ TAYLOR [3], na ltratura, a dnomnação d método d Ptrov-Garlrkn é smpr assocado às stratégas m qu o uso da função d pondração é tal qu wj N j. As aplcaçõs dos modlos mprgados nss trabalho atndm à quação d Stoks para a lastcdad lnar comprssívl ncomprssívl, o scoamnto d fludos ncomprssívs m rgm staconáro (fluxo d Stoks para a vscolastcdad lnar, sndo rgdas plas quaçõs (3.7 (3.8, ond dv corrspond ao oprador dvrgnt. Além dsso, b stá assocdo à ação d forças d massa, p é a prssão K o módulo d lastcdad volumétrca (Bulk Modul. A(u = dvσ = b (3.7 A(u = dvu = p K (3. 8 A quação (3.7 é na vrdad uma smplfcação da quação gral d consrvação d momnto d Navr-Stoks, obtda através da análs d qulíbro d um volum d control lmntar, dsprzando-s a varação tmporal d u. Além dsso, a xprssão (3.8 rprsnta a rlação consttutva volumétrca, rlaconada à 38

52 consrvação da massa. Maors dtalhs podm sr obsrvados m FOX & MCDONALD [33]. As componnts d u T =[u,v,w] na mcânca dos sóldos rprsntam as componnts dos dslocamntos, nquanto qu na mcânca dos fludos o vtor u corrspond as componnts da vlocdad [3]. Em ambos os casos, as componnts do tnsor d tnsão σ srão d manra gral dpndnts das componnts d u através das rlaçõs consttutvas, dscutdas prvamnt no capítulo. O tnsor σ é smétrco, a mnos qu s consdr ftos d rotação na quação d qulíbro, pod sr dcomposto na forma xprssa m (3.9a (FOX & MCDONALD [33]. Em função da smtra, pod-s também rprsntar σ m uma forma vtoral, xprssa m (3.9b. σxx τxy τ xz p σxx + p τxy τ xz σ = τ yx σ yy τ yz = p + τ yx σ yy + p τ yz τzx τzy σzz p τzx τzy σzz + p (3. 9a σ T σ σ σ τ τ τ = xx yy zz xy xz yz (3. 9b Na quação (3.9a, as componnts σ s assocam à tnsão normal, τ à tnsão tangncal (tnsão d csalhamnto, p rprsnta a prssão státca assocada a part sotrópca do tnsor d tnsõs. A formulação aqu aprsntada é complmntada plas condçõs d contorno spcfcadas m (3. (3.. A quação (3. faz rfrênca à condção d contorno d Drchlt, utlzada quando o valor da vlocdad (ou dslocamnto é conhcdo m uma rgão do contorno Γ u. No caso m qu s conhcm as componnts das forças atuants por undad d ára da suprfc m quação (3., conhcda como condção d Numann. Γ t, faz-s uso da u = g m Γ (3. u σ.n = t m ond Γ=Γu Γ t Γ (3. t 39

53 D poss da quação dfrncal rgnt do problma das condçõs d contorno assocadas, pod-s fnalmnt stablcr uma forma fraca da quação d Stoks para a aproxmação m lmntos fntos. A sgur, srá aprsntada uma sínts do procsso utlzado por ZIENKIEWICZ TAYLOR [3], através do stablcmnto d uma xprssão funconal va prncípo dos trabalhos vrtuas. Para tanto, a quação d qulíbro (3.7 pod sr agora rscrta m função d suas componnts, d manra qu: σ x σ y σ z xx yy zz τ xy + y τ yx + x τ xz + x τ xz + z b x τ yz + + b y = z τ b z yz + y (3. Partndo da xprssão gral (3.6, a varação δ = [ δu, δv, δw] u corrspond à função d pondração (forma vtoral quvalnt ao método dos rsíduos pondrados: T V δ T ua(u σ τ xx xy τ xz δu bx + x y z σ yy τ yx τ yz dv = δv b y + dv y x z V σ τ zz τ xz yz δ w b z z x y (3. 3 Através da ntgração por parts da ralzação d algumas opraçõs algébrcas chga-s à forma varaconal dada pla xprssão (3.4, qu pod sr rscrta utlzando a notação d rsíduos pondrados, bastando substtur V δ ε T σdω V T δu bdω V Γ δu T tdγ = T w σdω wbdω wt dγ= u u u V Γ T δ = u w. u (3. 4 Na formulação acma, δε = Sδu, ond corrspond ao oprador gradnt: 4

54 x y z = y x z z y x δ ε é um oprador lnar dfndo por: ( δu x ( δ v y ( δ w z δε = = Sδu= δu ( δu + ( δv y x ( δv + ( δw z y ( δw + ( δu x z (3.5 Após a dscrtzação, a quação (3.4 passa a sr rprsntada por um conjunto d quaçõs algébrcas é gralmnt caractrzada na forma matrcal Ku=f. 3. Formulação msta ncomprssbldad O comportamnto ncomprssívl ou quas ncomprssívl dos matras pod nduzr a algumas dfculdads na smulação numérca da formulação clássca do MEF, tas como o travamnto volumétrco (lockng, com consqünt mprcsão d solução osclaçõs na dstrbução d prssão. Ess fto m gral ocorr na aproxmação d fludos ncomprssívs, na lastcdad lnar ncomprssívl, m 4

55 matras hpr-lástcos m matéras qu xbm comportamnto vscoso, a xmplo da vscolastcdad vscoplastcdad. D acordo com BATHE [3], o trmo travamnto (lockng é tradconalmnt usado quando o dslocamnto (ou vlocdad aproxmado pla solução do MEF é mnor do qu o valor ral. Isso rá nduzr a uma propagação do rro anda maor na aproxmação das tnsõs/dformaçõs, qu dpndm das drvadas dos dslocamntos/vlocdads. Uma ntrprtação físca do fnômno d travamnto é dscutda por PANNACHET BOONPICHETVONG [34], qu afrmam qu o fto d travamnto ocorr quando a malha m lmntos fntos não é capaz d dscrvr, d forma contínua, a prsrvação d volum. No caso da lastcdad, ss fto s dá quando o matral stá próxmo à stuação d ncomprssbldad (lvados valors do cofcnt d Posson: ν, 5, mplcando qu a dformação volumétrca tnd a sr nula. Para lustrar o fnômno, aprsntam-s os lmntos da fgura (3.. Nota-s qu o lmnto supror da rgão dstacada pod apnas dslocar vrtcalmnt su nó lvr. Por outro lado, o únco nó lvr do lmnto nfror pod apnas sr dslocado horzontalmnt. Como o únco nó lvr é comum a ambos os lmntos, a únca forma d atndr a ambas as stuaçõs d forma smultâna é não ralzar movmnto, travando dssa forma o dslocamnto no lmnto. Fgura 3. Travamnto volumétrco da malha. (Adaptado d PANNACHET BOONPICHETVONG [34]] Convém rssaltar qu o fto d travamnto ocorr somnt m problmas m qu há rstrção à dformação. Por xmplo, ss fnômno não stá prsnt m problmas m qu s admt um stado plano d tnsão. Entrtanto, valors lvados do cofcnt d Posson ( ν, 5 podm nduzr ao modo d prssão spúra, 4

56 compromtndo dssa forma a aproxmação das tnsõs da prssão. Ess fnômno srá dscrto com mas dtalhs na sção 3.3. Basado no trabalho d Nagtgall (974, BITEENCOUR [35] dscut o fto do rfnamnto da malha no fnômno d travamnto. Sgundo o msmo, o fto do travamnto ocorr quando a razão ntr o númro d graus d lbrdad na malha o númro d rstrçõs é gual ou nfror ao valor untáro. Para contornar o problma, podr-s-a aumntar o númro d graus d lbrdad através do rfnamnto d malha, d forma qu quando o númro d lmntos tnd a um valor nfnto, a formulação clássca d Galrkn s aproxma da solução xata, rmovndo dssa forma o fto do travamnto d malha. Entrtanto, a aproxmação da prssão anda contnua compromtda. Uma ntrprtação m trmos d consrvação d nrga sobr a orgm do fnômno d travamnto é dscutda por SORIANO [36]. Sgundo o msmo, a nabldad d crtos lmntos fntos m rprsntar quantdads crítcas d dtrmnados tpos d nrga, com consqünt grand rgdz spúra, é o qu dnomna d travamnto. Há ntão nconsstênca d alguns campos d varávs quando um ou mas tpos d nrga tnd a sr anulada, o qu gralmnt é rqurdo plas condçõs físcas lmts. Por xmplo, no caso da lastcdad ncomprssívl, a nrga potncal corrspondnt à varação d volum tnd a sr anulada à mdda qu o cofcnt d Posson tnd a,5. Uma das altrnatvas ponras mprgadas para rmovr o fto d travamnto consst no uso do modlo d dslocamntos/vlocdads com ntgração rduzda ou ntgração rduzda sltva. A ntgração rduzda sltva substtu a parcla rlaconada à dformação volumétrca m cada ponto d ntgração por uma dformação volumétrca méda no lmnto. Porém, ss método não é capaz d prvr o travamnto csalhant m problmas prdomnados por flxão [37]. A ntgração rduzda unform, por possur apnas ponto d ntgração, é mas fcnt do qu o método d ntgração rduzda sltva. Contudo, a nrga artfcal ntroduzda para controlar o travamnto csalhant pod aftar ngatvamnt a prcsão da solução rqurr um rfnamnto d malha sgnfcatvo [37]. Com os avanços na fundamntação matmátca do método dos lmntos fntos, sobrtudo basada na análs funconal, comçaram a sr dsnvolvdas formulaçõs 43

57 altrnatvas à formulação clássca (dslocamntos/vlocdads, prncpalmnt para rmovr o fto do travamnto caractrístco da formulação da Galrkn m stuaçõs próxmas a ncomprssbldad. Uma das vrtnts s basa na chamada formulação msta, cuja déa cntral é utlzar como varávl d stmação não apnas o campo d vlocdad/dslocamnto, mas também outras varávs d ntrss d aproxmação. D acordo com BATHE [3], os trabalhos ponros qu mprgavam formulaçõs mstas s basaram no funconal d Hu-Washzu, sndo postrormnt substtuído plo uso do funconal d Hllngr-Rssnr. Dntro do contxto lngüístco da formulação msta, o númro d varávs utlzadas na aproxmação sub-dfnrá a class do problma m uma trmnologa dnomnada d campo. Na ltratura, são bastant dfunddas formulaçõs d campos (u-σ u-p, 3 campos (u-σ-ε u-p-ε 4 campos (u-σ-ε-t. Ess trabalho s rstrngrá ao studo da formulação msta d campos (u-p. Maors dtalhs sobr as dmas formulaçõs são dsponblzados m BATHE [3] ZIENKIEWICZ TAYLOR [3]. D acordo com ZIENKIEWICZ TAYLOR [3], o prncpal problma no uso da formulação clássca basada apnas no dslocamnto para a class d problmas ncomprssívs ou quas-ncomprssívs rsd na dtrmnação da tnsão méda ou prssão. Por ssa razão, é convnnt ftuar a sparação do tnsor d tnsõs m suas componnts dsvatóra hdrostátca, d manra smlar à xprssão (3.9. A prssão hdrostátca corrspond à méda das tnsõs nas drçõs ortogonas, d forma qu: T (3.6 p= ( σxx + σ yy + σzz = tr( σ = σ m 3 3 ond: T m = [ ] (3.7 Admtndo-s qu o matral sja sotrópco, a dformação volumétrca ε v s rlacona com a prssão hdrostátca através do módulo d lastcdad volumétrca K (3.8: p (3. 8 ε v = K ond: 44

58 T = + + =m ε T = εxx εyy εzz εxy εxz ε yz εv εxx εyy εzz ε K E = 3( ν (3.9 D manra smlar à componnt do tnsor d tnsão, pod-s dfnr uma componnt d dformação dsvatóra, xprssa pla quação (3.: T T T εd = ε mεv ( I mm ε = I m m ε = Idε (3. Anda d acordo com a notação d ZIENKIEWICZ TAYLOR [3], a tnsão dsvatóra pod sr rscrta na forma: s = σ mp (3. Com bas nas prrrogatvas dscutdas acma, pod-s rprsntar a tnsão total pla soma da parcla dsvatóra s da prssão hdrostátca p. σ T = s + p m = G + p uu + p I 3 mm ε m D ε D ond: I = j εj = ε s j E G = ( + ν up (3. (3. 3 (3. 4 Para s obtr a forma fraca, aplca-s o método dos rsíduos pondrados, conform dscutdo na sção 3.. Os spaços corrspondnts às funçõs d forma 45

59 função d pondração dvm star rstrtos às dfnçõs d (3.5 a (3.7. Maors dtalhs podm sr obsrvados m GUERMOND [38] ADAMS [39]. S = { u H ( Ω u = g} m Γ (3. 5 u * P = { q L ( Ω} s não xst ncomprssbldad total (3. 6 = { ( Ω; Ω= } no caso d ncomprssbldad total * P q L qd Ω w= { w H ( Ω ; w= } m Γ (3. 7 u Para uma mlhor comprnsão das dfnçõs supractadas, srá aprsntado rsumdamnt cada spaço assocado às funçõs d ntrpolação d pondração para a formulação msta. Dtalhs adconas podm sr consultados nas rfrêncas [36], [37] [38]. Convém rssaltar qu as drvadas são no sntdo fraco: L ( Ω = { ϕ: Ω ; ϕ dω< } ; Ω ϕ H ( Ω = { ϕ: Ω ; ϕ L ( Ω, L ( Ω} ; x H ( Ω = { ϕ = ( ϕ ϕ ; ϕ H ( Ω } com n ; n,..., n O objtvo ntão é ncontrar o par d soluçõs (u, p S * P qu satsfaça à sntnça d rsíduos pondrados para a quação d consrvação d momntum consrvação d massa. Para a consrvação d momntum, o tnsor d tnsõs dfndo na xprssão (3.4 pod sr agora aplcado na forma msta, através da substtução do tnsor d tnsõs (3.4 m suas parclas dsvatóra hdrostátca: wu :( Duuε + Duppd Ω= wubdω+ wutdγ Ω Ω Γ (3. 8 Na quação (3.8, wu dnota o gradnt da função d pondração w u. O dslocamnto (ou vlocdad a prssão são fnalmnt calculados fazndo-s a aproxmação (3.3 (forma matrcal, scolhndo-s como funçõs d pondração para o dslocamnto prssão as msmas adotadas como funçõs d ntrpolação ( , caractrzando assm o uso do método d Galrkn. Na notação utlzada, δd u δp p corrspondm rspctvamnt aos valors nfntsmas (dscrtos do campo d dslocamnto prssão, conform notação aprsntada m [44]: 46

60 T T wu = ( δdu ( N u (3. 9 T ( p ( p q = δp N h u u = Nuu p p h =NP p T (3. 3 (3.3 A sntnça varaconal rsultant da xprssão (3.8 assum a forma da quação (3.3 (forma fraca: Ω ( ( T T T T ( δd ( N :( D N u + D N P d Ω= ( δd N bdω+ T + ( δd N tdγ Γ u u u u T uu u up p u u Ω (3.3 Além dsso, para a sntnça volumétrca (consrvação da massa, a forma fraca é obtda d acordo com a xprssão (3.33, ond dvu corrspond ao dvrgnt aplcado ao campo u. Ω p T T p q dv u dω= ( p ( p dv dω K δp N u K Ω q P * (3.33 Matrcalmnt, a sntnça rsultant pod sr rprsntada pla xprssão (3.34, conform formulação aprsntada por ZIENKIEWICZ TAYLOR [3] BATHE [3]: Kuu Kup u Ru = K K R T up pp P p sndo: (3.34 K K K uu up pp = = = n = n = n = K K K uu up pp 47

61 R u = n = R u R p = ond: n = R p T K = B D B d Ω uu Ω uu T K = B D N d Ω up up p Ω T K pp = Np N p d Ω K Ω R T T = N b dω + N t dγ R u u u Ω Γ = p (3. 35 ε = Nu= Bu (3. 36 s u B= N = [ B B ] (3. 37 s u n T uu G (3. 38 D = I mm 3 D = T up m (3. 39 D acordo com BATHE [3], uma atnção spcal dv sr dada às condçõs d contorno no caso da ncomprssbldad total. Sgundo o msmo, quando todo o contorno stvr rstrto à condção d Drchlt (apnas dslocamnto/ vlocdad prscrto, o dslocamnto/vlocdad u dv sr compatívl com a dformação volumétrca do domíno. Convém rssaltar qu ss caso partcular d condção d contorno é mas comum m fludos. Essa obsrvação físca é xprssa por: ε d dt v Ω= un = (3. 4 Ω Γt Na xprssão (3.4, n é o vtor untáro normal à suprfíc do domíno. A rlação é atndda caso o dslocamnto/vlocdad prscrto na drção normal a suprfíc do domíno sja tal qu o volum do corpo sja consrvado. Uma sgunda condção é qu a prssão dv sr prcrta m algum ponto do domíno, vsto qu a rlação consttutva é função tanto do dslocamnto/vlocdad quanto da prssão, a 48

62 não prscrção d um valor pontual podrá torná-la ndtrmnada. Em todo caso, pods prscrvr qualqur valor para a prssão, uma vz qu a prssão não rá conduzr a nnhuma dformação. Dtalhs adconas podm sr consultados na rfrênca [36]. Obsrva-s na formulação aprsntada m (3.35 qu a matrz K pp assum valors próxmos a zro para lvados valors d Posson ( ν, 5, uma vz qu o módulo K tnd ao nfnto. Ess fato nduzrá a alguns crtéros para garanta d stabldad. O studo da stabldad nas formulaçõs mstas (u-p são gralmnt assocadas à condção d lpsdad nf sup, rlaconada às condçõs d (BNB Babuska-Ncas- Brzz (GUERMOND [38], dscutdas na próxma sção. 3.3 Condçõs d stabldad na formulação (u-p para a quação d Stoks Conform dscutdo por DE [4], a formulação m lmntos fntos basada uncamnt na sntnça varaconal do dslocamnto/vlocdad (formulação clássca é smpr stávl, mas é sujta ao fnômno travamnto m stuaçõs d ncomprssbldad. Por outro lado, a formulação msta consgu rmovr o fto do travamnto, mas nm smpr é stávl para todas as classs d funçõs d ntrpolação da prssão dslocamnto/vlocdad. D acordo com DE [4], a stabldad da formulação msta (u-p é garantda caso os crtéros d lpsdad condçõs nf-sup sjam atnddos. A condção d lpsdad é automatcamnt atndda para problmas ncomprssívs, dsd qu s faça uso da ntgração total, não usando dssa forma squmas d ntgração rduzda. Para a dscussão do crtéro nf sup, consdram-s spaços das funçõs d pondração w u como sndo V h H. Toma-s também Qh L ( Ω como o spaço das funçõs d pondração w p. D acordo com a condção nf sup, β > tal qu (GUERMOND [38], BATHE [3]: ( q(dv w d Ω u nf sup * q P w u V h q w q w u u Ω β (3. 4 ond: 49

63 = Ω ( dω ( = + = j= x Ω j (3. 4 (3. 43 D acordo com GUERMOND [38], quando a condção (3.4 é atndda, a sgunt stmatva pod sr obtda: u u (, l h + p p h C u p h com l (3. 44 Em (3.44 h é o maor dâmtro avalado para os lmntos da malha. Maors dtalhs sobr as condçõs nf-sup podm sr obtdos nas rfrêncas [38] [4]. D forma bastant smplfcada, quando o rsultado da xprssão (3.4 conduz a β= é dto qu a formulação ncontra-s no modo d prssão spúra, vsto qu a condção nf-sup não é satsfta. Na prátca, sso ocorr m stuaçõs próxmas a ncomprssbldad total, quando o módulo K tnd a um valor nfnto, consqüntmnt, a matrz K pp tnd a sr anulada. Dssa forma, a matrz rsultant (3.34 rá s tornar sngular, o sstma podrá dssa forma rtornar múltplas soluçõs, não garantndo a acuráca da solução. Os fundamntos matmátcos dssa ntrprtação podm sr obsrvados m [38] [4]. D acordo com ZIENKIEWICZ TAYLOR [3], o rsultado mas mportant das rstrçõs da nf-sup rfr-s ao fato d qu a ordm da função d ntrpolação utlzada para aproxmação do dslocamnto/vlocdad dv sr maor do qu a utlzada na prssão (3.45. Em função dsso, a formulação msta (u-p fo largamnt mprgada através do uso d lmntos fntos soparamétrcos com lvados númros d nós. η u > η p (3. 45 CHAPELLE BATHE [4] propusram uma stratéga numérca para vrfcação das condçõs nf-sup. Nssa stratéga, o parâmtro β é calculado para uma sqüênca d malhas dscrtzadas do problma. É dto qu a formulação msta (u-p passa no tst nf-sup numérco s o parâmtro β s aproxma assntotcamnt para um 5

64 valor postvo à mdda qu a malha va sndo rfnada. Maors dtalhs são aprsntados nas rfrêncas [4] [4]. Em gral, obsrvam-s na ltratura duas stratégas dstntas para o tratamnto da prssão no uso da formulação msta (u-p. Na prmra, a prssão não é consdrada contínua ntr os pontos nodas adjacnts dos lmntos. D acordo com BATHE [3], nssa stratéga a prssão pod sr statcamnt condnsada, fazndo com qu a solução sja aproxmada apnas m trmos do campo d dslocamnto (ou vlocdad. Sgundo o msmo, ssa stratéga pod sr fcnt para stuaçõs próxmas à ncomprssbldad somnt quando a malha for sufcntmnt rfnada. Um arquétpo dssa stratéga é o chamado método B-bar. Sgundo ZIENKIEWICZ TAYLOR [3], ss método é frquntmnt utlzado m problmas não-lnars, tas como plastcdad problmas com não lnardad gométrca, prncpalmnt pla smplcdad da formulação rspctva facldad no acoplamnto da formulação msta a problmas mas complxos. Entrtanto, a condnsação státca nvablza o uso da formulação para ncomprssbldad total. Convêm rssaltar qu o uso dssa formulação stá rstrto às condçõs d stabldad dscutdas prvamnt. Uma outra manra d tratar a prssão nos problmas mstos consst no mprgo d formulaçõs qu garantam a contnudad da prssão nos nós adjacnts aos lmntos fntos. Nss caso, a prssão não pod sr condnsada, sndo ntão obtda drtamnt através da aproxmação nodal. Com bas nos crtéros d stabldad, BATHE [3] aprsnta m sínts as sgunts consdraçõs para classs d lmntos fntos submtdas ao uso da formulação msta (u-p: Elmnto Q -P (4/ m D 8/ m 3D: O lmnto aproxma razoavlmnt o dslocamnto, mas a aproxmação da tnsão pod não sr acurada, vsto qu o tratamnto da prssão constant no lmnto pod nduzr a possívs flutuaçõs da prssão. O lmnto não satsfaz à condção nf-sup. Fgura 3. 3 Elmnto Q-P adaptado d BATHE [3] 5

65 Elmnto Q r -P (8/ m D / m 3D: O lmnto satsfaz à condção nfsup, mas o fato d s assumr a prssão constant pod rqurr uma malha bastant rfnada para a aproxmação da tnsão com acuráca. Fgura Elmnto Q r -P (8/ m D / m 3D: adaptado d BATHE [3] Elmnto Q -P (9/3 m D 7/4 m 3D: Corrspond ao prmro mmbro da famíla d lmntos da forma Q n -P n-, com n. Essa famíla d lmntos satsfaz à condção nf-sup. Fgura Elmnto Q -P (9/3 m D 7/4 m 3D: adaptado d BATHE [3] Elmnto P -P (6/ m D / m 3D: O lmnto satsfaz à condção nfsup. Entrtanto, o fato d s assumr a prssão constant pod rqurr uma malha bastant rfnada para a aproxmação da tnsão com acuráca. Fgura 3. 6 Elmnto P -P (6/ m D / m 3D: adaptado d BATHE [3] Elmnto P + -P (7/3 m D /4 m 3D: Corrspond ao prmro mmbro da famíla d lmntos P + n -P n-, com n. Essa famíla d lmntos satsfaz à condção nf-sup. 5

66 Fgura Elmnto P + -P (7/3 m D /4 m 3D: adaptado d BATHE [3] Elmnto Q -Q (9/4-c m D 7/8-C m 3D: Corrspond à famíla d lmntos Q n -Q n-, com n. Essa famíla d lmntos satsfaz à condção nfsup. Os nós dstacados são pontos d aproxmação do dslocamnto (ou vlocdad da prssão, qu agora é contínua ntr os lmntos. Fgura 3. 8 Elmnto Q -Q (9/4-c m D 7/8-C m 3D: adaptado d BATHE [3] Elmnto P -P (6/3-c m D /4-c m 3D: Corrspond à famíla d lmntos P n -P n-, com n. Essa famíla d lmntos satsfaz à condção nfsup. Os nós dstacados são pontos d aproxmação do dslocamnto (ou vlocdad da prssão, qu agora é contínua ntr os lmntos. Fgura Elmnto P -P (6/3-c m D /4-c m 3D: adaptado d BATHE [3] 3.4 Métodos stablzados As aplcaçõs nvolvndo a formulação msta (u-p foram bastant dfunddas para a lastcdad ncomprssívl para o problma d Stoks através do uso d lmntos fntos soparamétrcos com funçõs d ntrpolação d ordm supror. 53

67 Entrtanto, o custo computaconal ncssáro para rsolvr sstmas d quaçõs orundos dos lmntos fntos soparamétrcos com lvados númros d pontos nodas é rlatvamnt sgnfcatvo. Por ssa razão, novas formulaçõs contnuaram sndo dsnvolvdas para qu foss possívl a aproxmação da formulação msta (u-p m qualqur class d lmntos, consqüntmnt, qualqur ordm d função d ntrpolação para o dslocamnto/vlocdad para a prssão. Entrtanto, ssas formulaçõs dvm d alguma manra atndr ou burlar os crtéros d stabldad d Babuska-Ncas-Brzz [38], prncpalmnt m rlação à condção nf-sup. D acordo com FRANCA [4], os métodos stablzados são construídos a partr da modfcação da forma varaconal do problma, d tal manra qu o ganho na stabldad numérca não compromta a consstênca da aproxmação. No prsnt trabalho, optou-s plo mprgo das formulaçõs mstas (u-p GLS Bochv, qu srão dscrtas nas sçõs sgunts Galrkn Last Squar (GLS O método Garlrkn last squar (GLS fo ncalmnt proposto por HUGHES t al.[43], consst m adconar na sntnça varaconal d Garlkn a parcla corrspondnt a pondração por mínmos quadrados, conform (3.46. Ω T δu [ A(u b] dω+ δa(u τ [ A(u b ] dω= Ω T * (3. 46 A prmra parcla da sntnça (3.46 é dêntca à formulação (3.8. Dv-s, agora, stablcr a sntnça varaconal para a parcla d mínmos quadrados, conform xprssão (3.47: Ω T * T δa(u τ A(u b dω= [dv σ( δu, δ p] τ[dv σ( up, + b ] dω (3. 47 Ω Nssa formulação, τ corrspond a uma matrz d stablzação, dfnda por HUGHES t al. [43] na forma: * valor m módulo 54

68 αh τ = G I (3. 48 Na xprssão (3.48, α corrspond a um parâmtro qu dv sr ajustado para a boa prformanc do método, sndo rcomndado sr d ordm O( para lmntos trangulars quadrlátros. D acordo com HUGHES t al. [43], h é um parâmtro /dm caractrístco dos lmntos da malha, pod sr rprsntado como: h= ( dω, ond dm corrspond à dmnsão do domíno. Para a aproxmação por mínmos quadrados, a função d pondraçãoδa(u pod sr dcomposta nas parclas dsvatóra sférca, na forma da quação (3.49. A formulação mprgada nssa sção s basa na rfrênca [44]. Ω δa(u = [dv σ( w, q] = [dv( Duuε + pi] ond: T u T T T T u ( u (3. 49 ε = ( δd N (3. 5 p T T = ( δpp ( N (3. 5 p Utlzando as xprssõs (3.5 (3.5 m (3.49 obtém-s: T u T T T T T δa(u = [dv σ( w, q] = ( δdu [dv( Duu Nu ] + ( δpp dv( mnp (3. 5 D manra smlar, pod-s rscrvr a sntnça rsdual na forma fort A(u d acordo com a xprssão: T A(u = dv σ( u, p + b = dv( Duu Nuu + dv( mn pp + b = Luuu + LupP + b (3. 53 ond: L = dv( D N T (3. 54 uu uu u L = dv( mn (3. 55 up p Fnalmnt, pod-s scrvr a sntnça da pondração por mínmos quadrados na forma da quação (

69 Ω δa(u T τa(u dω= [( δd T ( L T + ( δp T ( L T ] τ[ L u+ L P+ b ] dω T T = [( δd ( L τ[ L u+ L P+ b] dω+ Ω T T + [( δp ( L τ[ L u+ L P+ b] dω Ω Ω u uu uu up p up uu up u uu P up uu up (3. 56 A formulação GLS é ntão obtda somando a parcla d pondração do rsíduo (sntnça varaconal dos método d Galrkn (3.3 d mínmos quadrados (3.56: BD B u BD N P L τl u L τl P ( T ( T ( T ( T uu dω + up pdω + uu uudω + uu updω Ω Ω Ω Ω = (N b dω+ (N t dω (L τbdω T T T u u uu Ω Ω Ω (3. 57 A parcla corrspond à quação d consrvação d massa (3.8 para o GLS assum a forma: Ω T ( dv p T T T (3. 58 δp (N d d p u Ω+ δ up uu + up + Ω= K ( P (L τ[l u L P b] Ω Combnando as xprssõs (3.57 (3.58 pod-s chgar a uma rprsntação matrcal para o modlo GLS, conform aprsntado plo conjunto d quaçõs (3.59. G G G K uu Kuu Kup Kup u R T = u Ru G G G (K up + K up K pp + K pp P Rp (3. 59 As matrzs corrspondnts à xprssão (3.59 podm sr calculadas a partr do conjunto d quaçõs (3.6: G T K uu = (L uu τl uu Ω G T K up = (L uu τl up Ω dω dω 56

70 G T K pu = (L up τl uu Ω dω (3. 6 è G T K pp = (L up τl up Ω G Ω dω R = (L τb dω G = p Ω uu R (L τb dω Ond: K R n G G * K* = = n G G ** = R** = up T T O método GLS é bastant dfunddo na ltratura, prncpalmnt m aplcaçõs da dnâmca dos fludos computaconal (CFD. A stabldad do método é garantda pla pondração ntr a soma dos rsíduos dos métodos d Galrkn d mínmos quadrados. D acordo com BARTH t al. [45], ssa formulação tm obtdo sucsso por sr uma das úncas formulaçõs mstas a garantr a conxão ntr as modfcaçõs da sntnça varaconal por pnalzação a um problma d otmzação do funconal Lagrangano na forma msta, o qu aproxma a solução a um ponto d sla (saddlpont (u-p, garantndo dssa forma acuradas aproxmaçõs para a vlocdad/dslocamnto a prssão. Um fator complcador nssa formulação stá rlaconado à dfnção do parâmtro d stablzação α, qu possu um valor ótmo para cada class d problma rqur tsts numércos para sua calbração, sndo dfndo globalmnt para todos os lmntos da malha. Tsts numércos rvlam uma nfluênca sgnfcatva do parâmtro d calbração na prcsão da aproxmação, sndo a ntrfrênca anda maor m malhas não struturadas. Para contornar ssa dfculdad, no prsnt trabalho s nvstga uma stratéga para dtrmnação do parâmtro d stablzação d forma automátca a nívl d lmnto com bas m parâmtros gométrcos da malha, conform srá dscutdo no capítulo Establzação drta d prssão (Bochv 57

71 O método proposto por DOHRMANN BOCHEV [46] é obtdo através da modfcação da sntnça varaconal msta através do uso da projção da prssão local m L. Nss método, a stabldad rsulta d uma rlação spcal ntr os spaços da vlocdad prssão, qu assgura qu o spaço da prssão concda com o ntrvalo do oprador do spaço dvrgnt da vlocdad. D acordo com DOHRMANN BOCHEV [46], ssa rlação é quvalnt à condção nf-sup. A stablzação do método é obtda sm o uso da sntnça varaconal da quação d momntum, usando apnas a quação d consrvação d massa. Dssa forma, não há ncssdad d cálculo d drvadas d ordns suprors para a mplmntação dss squma. Dtalhs do fundamnto tórco podm sr consultados na rfrênca [46]. D acordo com ZIENKIEWICZ TAYLOR [3], ss método parc star totalmnt corrto é obtdo sm gnorar nnhum trmo da sntnça varaconal global. A sntnça varaconal msta da quação d momnto é mantda ntacta (3.6. Para garantr a stabldad, DOHRMANN BOCHEV [46] ntroduzm na sntnça varaconal da parcla d consrvação d massa uma xprssão dpndnt da prssão p (aproxmada por uma função d forma contínua d grau d polnômo k, da projção da prssão p m um spaço polnomal d ordm (k-, conform xprssão (3.6. Ω δε T D εdω + d Ω δε T mpdω Ω δu T bdω Γ δu T tdγ = (3. 6 Ω δ p mε K p dω Ω α G ( δp δp ( p p dω (3. 6 Na xprssão (3.6, α corrspond a um parâmtro d stablzação a sr ajustado para boa prformanc da formulação. Nota-s claramnt qu ss parâmtro não é dpndnt d parâmtros da malha. DOHRMANN BOCHEV [46] sugrm o uso d α =. Já ZIENKIEWICZ TAYLOR [3], com bas m xmplos numércos, sugrm o valor α = para ótma prformanc da aproxmação. D acordo com ZIENKIEWICZ TAYLOR [3], à parcla corrspondnt a stablzação d prssão, a nívl d lmnto, é garantda pla xprssão (3.63, aprsnta baxo custo computaconal, pos não nvolv drvadas d ordm suprors. 58

72 Ω ( δp δp dω = δ p (3. 63 Na formulação (3.63 a prssão é aproxmada pla xprssão (3.64, ond N a contém o conjunto d polnômos d ordm k: p p ˆ = N ~ p = N p ~ (3. 64 a a a Por outro lado, a prssão projtada p é calculada com bas no conjunto d polnômos h b (x d ordm (k-, conform xprssão (3.65. p h ( x b β b = h(xβ (3. 65 b Com bas nas quaçõs (3.64 (3.65, pod-s stablcr uma rlação ntr a prssão p p, d forma qu: Ω T h hdωβ = h NdΩp (3. 66 T ~ Ω Hβ = Gp ~ (3. 67 Fnalmnt, a projção da prssão pod sr calculada pla xprssão (3.68: p = h(xh Gp ~ (3. 68 Com bas na xprssão (3.68 no dsnvolvmnto das sntnças varaconas (3.6 (3.6, chga-s à aproxmação para o dslocamnto/vlocdad prssão, conform xprssõs matrcas (3.69 (3.7 [3]. K C d T C u ~ f (3. 69 = V p ~ T K = B D B dω d Ω d T C B mn = dω Ω (

73 α d α T V = N + Ω K G N GH G G ond: Ω K d = n = K d C= V = n = n = C V ZIENKIEWICZ TAYLOR [3] dscorrm qu para a matrz V, quando G/α é muto mnor qu K, o fto da stablzação drta da prssão corrspond a uma forma d pnaldad quvalnt à dfrnça ntr a prssão ntrpolada a projtada. Além dsso, para as condçõs d xstênca stabldad, nota-s qu o fato d s utlzar a prssão projtada d ordm (k- por s só quval à condção nf-sup. 6

74 4. IGLS: Uma stratéga para dtrmnação do parâmtro d stablzação α do método GLS A grand dfculdad nas aplcaçõs do método GLS proposto por HUGHES t al. [43] stá rlaconada à dfnção do parâmtro d stablzação α, qu assum um valor ótmo para cada class d problma. Essa dfculdad passa a sr mas vdnt m problmas qu nvolvm malhas não struturadas, prncpalmnt m casos ond haja grand contrast ntr as áras caractrístcas dos lmntos m casos d dstorçõs xcssvas da malha. Para contornar ssas dfculdads, nst capítulo nvstga-s uma formulação para a dtrmnação do parâmtro α a nívl d lmnto, tomando por bas as proprdads físcas do problma a caractrístca gométrca d cada lmnto da malha. A formulação aqu aprsntada fo dsnvolvda m CARMO t al. [47]. Para facltar a comprnsão do dsnvolvmnto tórco, raprsnta-s a formulação do problma d Stoks, cujo objtvo é ncontrar o par d solução do campo d dslocamnto prssão (u, p, prtncnt ao spaço n H ( Ω L ( Ω satsfazndo: p ( G u + = f m Ω para =, n * (Consrvação d momnto x (4. Bp + u = m Ω (Consrvação da massa (4. u = g m Γ g para =, n * (Condção d Drchlt (4. 3 ( G u pi n = r m Γ q (Condção d Nwman (4. 4 Na formulação acma, G corrspond ao módulo lástco csalhant (para o caso da lastcdad ou a vscosdad (para o caso d fludos (4.5, junto com λ (4.6 dfn as chamadas constants d Lamé. A partr das msmas pod-s dfnr a rlação (4.7 para B: E (4. 5 G = ( + ν Eν λ = ( + ν ( ν (4. 6 (4. 7 B = G + λ * n = para problmas bdmnsonas; n = 3 para problmas trdmnsonas 6

75 6 Nota-s claramnt qu quando 5, ν o valor d λ, consqüntmnt, B. Conform dscutdo no capítulo 3, o método GLS consst m adconar na formulação d pondração d Galrkn por uma sntnça d pondração m mínmos quadrados, assumndo a forma da xprssão (4.8: Ω + + Ω = d G x p u G x p u G h n ( ( ( α (4. 8 Pod-s rscrvr m função da parcla da prssão a dntdad (4.9, pla adção subtração do trmo dfusvo: ( ( u G x p u G x p + + = para =, n (4. 9 Elvando-s os lados squrdo drto da xprssão (4.9 ao quadrado, obsrva-s qu a rlação (4. é vrdadra: ( ( ( = ( ( ( ( ( u G x p u G u G x p u G u G x p (4. Ralzando a multplcação d cada trmo da xprssão (4. por uma parcla constant, a nívl d lmnto, chga-s à sgunt rlação: ( ( ( ( ( ( ( u G h G x p u G h G x p h G + + α α α (4. A partr da dsgualdad (4., são stablcdas as sgunts conclusõs:

76 O prmro trmo da dsgualdad, parcla d stablzação da prssão; α p ( h, corrspond à G x α p + G x A parcla ( h ( ( G u forncdo plo GLS; corrspond ao trmo α G A parcla ( h ( ( G u pla sntnça varaconal do GLS. corrspond a um trmo não forncdo No caso d ncomprssbldad total ( ν =, 5, nota-s qu a parcla rlaconada ao dvrgnt do campo d vlocdad/dslocamnto tnd a sr anulado na quação d consrvação d massa. Consqüntmnt, ( G u =,, portanto, α > é xgdo apnas para mlhora da aproxmação, mas não para a stablzação da prssão, qu é stablzada para qualqur α. Para um α pquno o sufcnt, a consqüênca para os spaços d polnômos a nívl d lmnto na sntnça varaconal d Galrkn pod sr rscrta na sgunt dsgualdad: Ω α ( h G ( ( G u dω < β G u u dω = β G( u dω Ω Ω (4. Como < β <, é obsrvada uma dmnução na parcla corrspondnt à part dfusva na sntnça varaconal d Galrkn. Dssa forma, a stabldad do GLS é consguda por um mpréstmo da stabldad da parcla dfusva para o campo d prssão. O qu dv sr fto ntão é dtrmnar um α qu consga pondrar d forma fcnt ssa dstrbução numérca da parcla qu rá garantr a stabldad da prssão no método GLS. Ess procdmnto pod sr ralzado pla stratéga dscrta a sgur: lmnto Sndo η, η,..., Ω, podm-s dfnr as funçõs: η npl as funçõs d forma nos npl pontos nodas do 63

77 ϕ = η Ω η dω η η dω Ω npl npl com =,,..., (npl-, (4. 3 = *, k npl Dfnndo o spaço ( Ω = { Ψ; Ψ = A ; A R} P ϕ, nota-s qu λ corrspond ao máxmo da sgunt rlação lmtada suprormnt: ( [ ( G Ψ ] h dω Ω λ = Sup G (4. 4 *, k ψ P ( Ω, ψ G Ψ dω Ω λ Ω S a rlação (4.4 for vrdadra, a sgunt sntnça dv sr obdcda: G Ψ dω Ω ( h [ ( G Ψ ] G dω *, Ψ P n ( Ω (4. 5 Multplcando ambos os trmos da xprssão (4.5 por α >, obtém-s: Ω G Ψ d Ω Ω ( h [ ( G Ψ ] d Ω α λ α G *, Ψ P n ( Ω (4. 6 Para qu ocorra um maor qulíbro ntr a stablzação do campo u p adotas: α λ = (4. 7 Portanto, pod-s fnalmnt stablcr uma rlação para α nos molds da xprssão (4.8 m função d λ, qu traduzrá nformaçõs rlatvas ao grau d dstorção do lmnto. α =,5 s λ 8 mn,5; α = ( λ +,5 s λ > 8 (

78 É ncssáro, portanto, dtrmnar λ para obtr nformaçõs da gomtra do lmnto, consqüntmnt, stablcr o valor para o parâmtro d stablzação α. Isso é fto pla dfnção do funconal (4.9: λ( Ψ = Ω ( [ ( G Ψ ] h Ω G G Ψ dω dω *, Ψ P n ( Ω (4. 9 Pod-s ntão stablcr um valor ótmo para funconal (4.9: λ( Ψ = com =,,..., (npl- A λ através da maxmzação do (4. Para facltar a notação rsultant, dfnm-s as matrzs M, grad j M,, dv j xprssas rspctvamnt plas quaçõs (4. (4. M, grad j = G ϕ ϕ j dω com =,,..., (npl- Ω (4. M, dv j = Ω ( h [ ( G ][ ( G ϕ ] dω ϕ com =,,..., (npl- j (4. Do rsultado da maxmzação (4. do funconal (4.4, conclu-s qu λ é o maor auto-valor da sgunt rlação:, grad dv ( M ( M, X = λx j j Com X = (X, X,..., X np- (

79 5. Modlo vscolástco ncomprssívl A proprdad ntrínsca do matral vscolástco d r adqurndo um comportamnto ncomprssívl ao longo tmpo, sobrtudo plos ftos da fluênca rlaxação, dscutdos no capítulo, tm dsprtado ao longo dos anos o ntrss por formulaçõs numércas qu garantam consstênca stabldad numérca para a modlagm dos matras vscolástcos. Conform dscutdo no capítulo 3, a técnca d aproxmação numérca utlzada nss trabalho é basada no método dos lmntos fntos (MEF. Srá aprsntada nss capítulo uma xtnsão dos conctos d vscolastcdad aprsntados no capítulo. Em sguda, na sção 5., é dscutda a formulação m lmntos fntos para a vscolastcdad lnar. Na sção sgunt, são abordadas algumas consdraçõs sobr a stratéga numérca adotada para a mplmntação computaconal para a vscolastcdad ncomprssívl. 5.. Extnsão dos modlos vscolástcos undmnsonas Os modlos rológcos undmnsonas aprsntados no capítulo podm sr stnddos faclmnt para as formulaçõs bdmnsonal trdmnsonal. Dssa forma, os valors da tnsão total σ, dformação total ε, tnsão dsvatóra s dformação dsvatóra, até ntão dalzados como scalars, passam a sr ntrprtados como tnsors, xprsso num arranjo vtoral, conform rprsntado pla xprssão (5. para 3 dmnsõs (5. para dmnsõs. σ = [ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ] T x y z xy yx yz zy zx xz ε = s = [ ε ε ε ε ε ε ε ε ε ] T x y z xy yx [ s s s s s s s s s ] T x y z xy yx yz yz zy zy zx zx xz xz (5. = [ ] T x y z xy yx yz zy zx xz 66

80 σ = [ σ σ σ ] T x y xy ε = s = [ ε ε ε ] T x y xy [ s s s ] T x y xy (5. = [ ] T x y xy D acordo com SIMO HUGHES [4], os ftos da vscolastcdad são dsprzívs na parcla hdrostátca do campo d tnsão d dformação, sndo sts admtdos como puramnt lástcos. Dssa forma, o fto da vscolastcdad formulado nst trabalho s rstrngrá à parcla dsvatóra. Partndo da quação ntgral do modlo vscolástco lnar aprsntado na quação (.57, pod-s rscrvr a xprssão para a parcla dsvatóra da tnsão m função da dformação dsvatóra na forma da quação (5.3, conform dscutdo por ZIENKIEWICZ TAYLOR [48]. t s ( t = G( t τ dτ τ (5.3 As análss aqu dsnvolvdas srão rstrtas ao modlo do sóldo vscolástco lnar padrão (fg 5.. Através dssa formulação, srá possívl partcularzar a rprsntação fnal tanto para um fludo vscolástco (modlo d Maxwll quanto para um sóldo vscolástco (sóldo vscolástco padrão. Partndo da forma ntgral (5.3, nota-s qu é ncssáro obtr uma função d rlaxação G(t-τ, d tal manra qu a xprssão dfrncal do modlo do sóldo vscolástco lnar aprsntado na quação (.4 sja atndda. Uma rprsntação da função d rlaxação qu atnd à quação dfrncal rsultant é aprsntada na xprssão (5.4, xprssa agora m trmos do módulo lástco csalhant G. Not qu a xprssão assum a msma forma da função d rlaxação aprsntada na quação (.48. [ μ μ λ ] Gt ( = G + xp( t/ ond: G + = G G (5.4 E + = E E 67

81 μ = E μ = E η λ = E E = E = G G G G Fgura 5. Modlo vscolástco lnar padrão Gnralzando o modlo aprsntado na fgura (5., através d uma assocação d N lmntos d Maxwll lgados parallamnt a um lmnto lástco (fg. 5., obsrva-s qu a tnsão rsultant nss lmnto assum a forma da xprssão (5.5, ond q rprsnta a dformação parcal advnda d cada lmnto d Maxwll. σ = E ε N q = (5.5 Fgura 5. Modlo sóldo vscolástco lnar gnralzado Tomando-s como rfrênca a xprssão (5.4 a quação (.4, rdfn-s uma xprssão dfrncal para o sóldo vscolástco padrão gnralzado. Nss caso, com bas na solução da quação dfrncal rsultant, conclu-s qu a função d rlaxação dv assumr a sgunt forma: 68

82 N Gt ( = G μ + μn xp( t/ λn, ond: = (5.6 N = μ = μ μ = G G μ = G N N G η N λ N = E N D acordo com ZIENKIEWICZ TAYLOR [48], a formulação (5.6 quval a uma xprssão da sér d Drchlt-Prony. Dssa forma, as formulaçõs ntgral dfrncal do modlo vscolástco são quvalnts a partr do uso da sér d Prony como função d rlaxação. Na prátca, os parâmtros assocados à sér d Prony são ajustados a partr do nsao d rlaxação. A solução d modlos vscolástcos m lmntos fntos através da sér d Prony é bastant dfundda, sndo nclusv ncorporada m programas comrcas, a xmplo do ABAQUS, ANSYS FEAP. Maors dtalhs sobr a stratéga numérca utlzada nsss programas podm sr obsrvados nas rfrêncas [37], [49] [5]. 5.. Formulação m lmntos fntos para a vscolastcdad lnar ncomprssívl A stratéga numérca utlzado no dsnvolvmnto dst trabalho s basa na formulação aprsntada por ZIENKIEWICZ TAYLOR [48] SIMO HUGHES [4]. A déa cntral é transformar a ntgral d convolução (5.3 m squma rcursvo passo-a-passo, nvolvndo varávs ntrnas qu prmtam ftuar a ntgração numérca a partr do hstórco d tnsõs dformaçõs m cada ncrmnto d tmpo. Dssa forma, m cada ntrvalo d tmpo obtém-s uma confguração típca d uma formulação lnar, ond m cada passo subsqünt ocorr a atualzação ncrmntal das varávs ntrínscas ao procsso vscolástco. 69

83 Incorporando a xprssão da função d rlaxação (5.6 na quação ntgral (5.3 é possívl rscrvr a componnt da tnsão dsvatóra m função dos parâmtros da sér d Prony. t M s( t = G μ μ t τ λn dτ + xp( ( / n= τ (5.7 Para o modlo do sóldo vscolástco lnar padrão, partcularzado a partr da xprssão (5.7 fazndo-s M= tm-s: t s ( t = G με( t + Gμ xp( ( t τ / λ dτ τ (5.8 A partr da ntrodução da varávl ntrna h(t a xprssão (5.8 pod sr rscrta na forma: t h ( t = xp( ( t τ / λ dτ τ [ μ μ ] s( t = G ε( t + h ( t (5.9 D acordo com ZIENKIEWICZ TAYLOR [48], nas aplcaçõs dos modlos vscolástcos assum-s qu ncalmnt o matral não stá submtdo à ação d carrgamnto. No nstant t, o corpo vscolástco sofr um valor dformaconal nstantâno, aprsntando varação m função dos tmpos subsqünts. Para calcular a dformação nos nstants sgunts à aplcação da carga, rcorr-s ao artfíco: t n + + n n + + (. dτ = (. dτ + (. dτ + (. dτ + (. dτ (5. t t t n Plas condçõs mpostas, nota-s qu o prmro trmo do lado drto é nulo. O sgundo trmo s rlacona à dformação nstantâna (lástca, nquanto os últmos trmos cobrm a hstóra das dformaçõs. O rsultado da xprssão (5. aplcado a 7

84 (5.9 xplctado m trmos do nstant t(n+ rsulta m uma xprssão qu pod sr rprsntada pla combnação das quaçõs (5. (5.. h n+ = xp( Δt / λ h n + Δh (5. tn Δ = + h xp( ( tn+ tn tn λ dτ τ (5. Para obtr uma solução numérca da xprssão (5., pod-s adotar qu a taxa d formação m cada ntrvalo d tmpo Δt é constant, sndo xprssa m trmos da dfrnça fnta progrssva (5.3, conform dscutdo por ZIENKIEWICZ TAYLOR [48] SIMO HUGHES [4]. Aplcando (5.3 na quação (5. é possívl rprsntar a varávl ntrna Δ h na forma da quação (5.4. n = + τ Δ t Δt n tn Δ = + h n+ xp[ ( tn+ tn / λ ][ n+ tn ] dτ n (5.3 (5.4 Intgrando a xprssão (5.4 m função do valor médo do ntrvalo [t n, t n+ ], obtém-s o valor da varávl h(t ndcada na quação (5.9 para cada ncrmnto d tmpo t(n+ sob a forma da quação (5.5. h = xp( Δ t/ λ.h +Δh ( * n+ n n+ n+ n ond * Δ h n+ λ = [ xp( Δt / λ ] Δt (5.5 (5.6 ZIENKIEWICZ TAYLOR [48] sugrm qu para pqunos ntrvalos d tmpo Δt, a xprssão (5.6 dv sr substtuída pla solução da sér aprsntada na quação (5.7, vsto qu para valors d Δt próxmos a zro a função (5.6 va assumndo comportamnto sngular. 7

85 3 * Δt Δt Δt h n = ! 4! (5.7 λ λ λ Δ + A rlação consttutva vscolástca aprsntada na quação (5.9 pod ntão sr dscrtzada para cada ntrvalo d tmpo t(n+ m função da varávl ntrna (5.5, d forma qu a tnsão m cada passo subsqünt é dada por: s M ( m =. G μ. n+ + μ m h n+ (5.8 m = n+. Do ponto d vsta computaconal, a partr da formulação d lmntos fntos dscutda no capítulo 3, é ncssáro calcular a matrz consttutva C ** n+ para o modlo vscolástco m studo, qu pod sr obtda através da dfrncação do tnsor d tnsõs dsvatóro aprsntado na quação (5.8 m rlação à dformação total, conform stablcdo por ZIENKIEWICZ TAYLOR [48] na forma da quação ( C n + = s ε n + n+ = s n+ n + I d (5.9 A drvada parcal da xprssão da parcla dsvatóra do tnsor d tnsõs assum a forma aprsntada na quação (5., ond I corrspond ao tnsor dntdad. Para xmplfcar o procsso d obtnção analítca das xprssõs, rstrng-s o númro d trmos para M=, corrspondnt a um modlo do sóldo vscolástco padrão. Entrtanto, para a xtnsão da formulação para M>, dv-s calcular o valor da varávl ntrna h n+ para cada M-ésmo lmnto d Maxwll lgado ao modlo, alocando a contrbução d cada parcla d forma lnar. s h = G μ I + μ (5. Por outro lado, drvando a xprssão (5.5 com rlação a dformação dsvatóra tm-s: * ** Para mantr a notação orgnal d ZIENKIEWICZ TAYLOR [48], a matrz consttutva D uu passa agora a sr rprsntada por C n 7

86 h = Δh n+ n+ ( Δt n+ I (5. Combnando as quaçõs (5. (5., pod-s rscrvr a xprssão (5.9 sob a forma: s C [ μ + Δh n t ] I d n + n G ε ( + = = μ + Δ n + (5. ZIENKIEWICZ TAYLOR [48] dscorrm qu a formulação para matrz consttutva aprsntada na quação (5. dfr da formulação lástca lnar apnas na parcla do módulo d csalhamnto, qu agora passa a sr dpndnt dos parâmtros vscolástcos da varávl ntrna. O tnsor d tnsõs σ m cada passo d tmpo t n+ é atualzado a partr da parcla dsvatóra, conform aprsntado pla quação (5.8. Dssa forma, é ncssáro ftuar a atualzação do vtor d forças ntrnas, conform formulação aprsntada por ZIENKIEWICZ TAYLOR [48] SIMO HUGHES [4]: f T = B σ + dω Ω n+ vsc n. (5.3 Objtvando uma gnralzação dos conctos dscutdos, srá aprsntada uma formulação altrnatva para a vscolastcdad, basada na função d nrga armaznada W o (ε, conform aprsntado por SIMO HUGHES [4]. Essa função d nrga W o (ε pod também sr dcomposta m uma parcla dsvatóra volumétrca, d forma qu: W ~ ( ε = W ( + U ( Θ (5.4 ond Θ corrspond ao traço do tnsor d dformação ε. A rsposta lástca volumétrca é caractrzada pla parcla U (Θ. Pod-s dfnr também uma rsposta lástca nstantâna para o tnsor d tnsão, dado pla rlação: ~ ~ W ( ε (5.5 σ ( ε = εw ( ε ε 73

87 Com bas no lmnto aprsntado na fgura (5., d manra smlar à obtnção da xprssão (5.5, pod-s rscrvr o tnsor d tnsão sob a forma: σ ( t = σ ( t q N = (5.6 A quação consttutva para o modlo vscolástco dscutdo prvamnt também pod sr rscrto com bas na função da nrga W o, rsultando na xprssão (5.7. t σ( = U '( Θ I + G( t s ~ ( dv{ W [ ( s } d t ] ds ds (5.7 Smlarmnt ao procdmnto ralzado para a obtnção do squma rcursvo passo-a-passo aprsntado antrormnt, adotando-s a sér d Prony como função d rlaxação, pod-s a partr da xprssão (5.7 rdfnr a varávl ntrna h(t, agora xprssa m trmos da função d nrga: ~ ( dv{ W [ ( s } = t d h( t xp[ ( t s / τ ] ] ds ds (5.8 Dssa forma, m cada n-ésma tração tmporal a varávl ntrna h(t é atualzada com bas na quação (5.9, obtda d manra smlar à xprssão dscutda m (3.4, através d um squma d ntgração d ponto médo m [t n t n+ ]. SIMO HUGLES [4] nfatzam qu a formulação aprsntada é ncondconalmnt stávl acurada m sgunda-ordm. Entrtanto, para lmntos d baxa ordm a formulação stá sujta ao fnômno d travamnto próxmo ao lmt d ncomprssbldad. Por ssa razão, é xtrmamnt mportant fazr uso da formulação msta m lmntos fntos. h xp( Δt / τ h + xp( Δt / ( s s (5.9 n+ = n n n τ n+ n ond: (5.3 ~ n = dv[ W ( n ] s + + n dv[ ε ] (5.3 + = n+ 74

88 Assumndo-s d/ds [s (s] constant no ntrvalo [t n t n+ ], chga-s fnalmnt a uma xprssão quvalnt à forma aprsntada antrormnt na quação (5.5: h xp( Δtn / τ = xp( Δtn / τ h n + ( s n+ Δt / τ s n+ n n (5.3 Para a matrz consttutva, a xprssão rsultant é obtda através da rlação (5.33: σ n + C n+ = = ε σ n + n+ ε n+ (5.33 SIMO HUGHES [4] aprsntam a formulação da matrz consttutva m função d uma parcla C n+, obtda pla lnarzação do tnsor n+ s (q d alguns trmos da varávl ntrna auxlar h n+, rsultando na xprssão (5.35. C + n+ 9 ~ ~ ~ = ( W n+ I [( W n + : I] [( W n + : I] 3 3 ~ [ I : ( W : I] I I n + I + (5.34 C I Θ C '' n + n+ = U n + + G ( Δt n + ε n+ (5.35 Nota-s qu s o comportamnto ncal do matral for admtdo como lástco lnar, qu os ftos da vscolastcdad stão prsnts apnas na parcla dsvatóra, a xprssão (5.35 é quvalnt à partcularzação da formulação (5., dscutda antrormnt. 5.3.Estratéga numérca Conform dscutdo antrormnt, a déa cntral da stratéga numérca adotada para a solução do modlo vscolástco lnar consst na transformação da xprssão (5.3 m um squma ncrmntal, ond m cada passo d tmpo Δt é obtda 75

89 uma confguração d um modlo lnar, qu é atualzada a cada tapa d solução através das varávs controladors da vscolastcdad. Duas stratégas d solução para o modlo lnar foram mprgadas nss trabalho: A prmra s basa na formulação msta proposta por HUGHES t. al. [43], conhcda como GLS[5]. A sgunda na formulação d stablzação drta da prssão, proposta por DOHRMANN BOCHEV [46]. Adotou-s para mplmntação das formulaçõs dscrtas no capítulo 3 o lmnto quadrlátro blnar aprsntado na fgura (5.3. O dslocamnto/vlocdad a prssão são aproxmados drtamnt a partr dos 4 pontos nodas do lmnto. Convém rssaltar qu o procdmnto d cálculo agora passa a sr ftuado a nívl d lmnto, m função das coordnadas locas ξ η (bdmnsonal. Fgura 5. 3 Elmnto quadrlátro blnar A função d ntrpolação adotada assum a forma da xprssão (5.36, qu fo mprgada tanto para a aproxmação do dslocamnto/vlocdad quanto para a prssão. N = ( + ξξ ( + ηη =,,3 4 4 (5.36 Os valors d ξ η stão assocados a cada índc da xprssão (5.36, consqüntmnt, a cada ponto nodal do lmnto (fg 5.3, na forma aprsntada na tabla sgunt: 76

90 Tabla 5. Parâmtros da função d ntrpolação blnar ξ η Nota-s qu a xprssão (5.36 garant contnudad ntr os nós adjacnts dos lmntos fntos tanto no dslocamnto/vlocdad quanto na prssão. O comportamnto gráfco da função d ntrpolação para = é lustrado na fgura (5.4. Fgura 5. 4 Função d forma blnar D acordo com BATHE [3], d forma gral, nos lmntos soparamétrcos as coordnadas locas s rlaconam com as coordnadas globas através da matrz Jacobana J, rlação sta qu pod sr faclmnt obtda através da aplcação da rgra da cada, rsultando na xprssão (5.37, ond ς rprsnta a coordnada natural na drção z, nos casos trdmnsonas. N N x = J y N z ond: N ξ N η N ς (

91 78 = z N y N x N z N y N x N z N y N x N ς ς ς η η η ξ ξ ξ J (5.38 Na mplmntação do método GLS, uma mportant tapa stá rlaconada ao cálculo das drvadas d sgunda ordm das funçõs d ntrpolação. A stratéga adotada basa-s na formulação aprsntada na rfrênca [44], sob a forma: + = y N x N y x y x y x N N N x y y x y y x x y x y x y x y x xy N y N x N η ξ η ξ η η ξ ξ η ξ η ξ ξ η ξ η η ξ η ξ η η η η ξ ξ ξ ξ.. (5.39 A ntgração numérca fo ralzada através do método da quadratura d Gauss. A xprssão rsultant para a ntgração tanto no modlo GLS quando no BOCHEV rqur apnas pontos d quadratura d ntgração. D acordo com BATHE [3], o númro d pontos d ntgração é função do grau p do polnômo do ntgrando, dfndo pla rlação + p, para p ímpar; para p par consdra-s o númro ntro mdatamnt supror ao rsultado da razão dscrta. A corrlação, a nívl d lmnto, ntr as ntgraçõs nos sstmas d coordnadas global local é stablcda mdant a xprssão (5.4, ond dt J corrspond ao dtrmnant da matrz Jacobana, np o númro d pontos d ntgração w o pso corrspondnt a cada quadrant d ntgração d Gauss. Maors dtalhs podm sr consultados m BATHE [3] ZIENKIEWICZ TAYLOR [3].

92 Ω = f ( x, y, z dω = =, np j=, np k =, np h( ξ, η, ς w w g( ξ, η, ς dt Jdξdηdς = k j w dt Jdξdηdς (5.4 Com bas nas prrrogatvas nfatzadas nas sçõs prlmnars, o modlo vscolástco ncomprssívl é obtdo por um squma rcursvo passo-a-passo, rcando m um modlo lnar a cada tração tmporal n, conform squma aprsntado m (5.4. n + n + n + ( X ( u, p = f f ( u, p K δ (5.4 vs No caso da vscolastcdad lnar, nota-s qu a matrz K n+ dpnd apnas do ntrvalo d tmpo Δt, consqünt da dpndênca da matrz consttutva C n+ (vr quação 5.. Em função das hpótss dscutdas nos capítulos prlmnars, obsrva-s qu, para t =, a formulação corrspond à solução d um modlo lástco lnar. Para tanto, atrbu-s: n+ h = (5.4 f vs = Nas tapas sgunts, a força ntrna vscolástca n+ f vs é calculada com bas na xprssão (5.3, qu é dpndnt das tnsõs dformaçõs dvatóras por consqüênca da varávl ntrna h n+. O dslocamnto a prssão m cada tapa n são atualzados através da solução ncrmntal da xprssão (5.4, conform xprssõs (5.43 (5.44. n+ n+ n u = δ u + u (5.43 n+ n+ n p = δ p + p (5.44 Para mlhor comprnsão dos procdmntos dscrtos, o algortmo com os procdmntos d cálculo é aprsntado na fgura sgunt: 79

93 Iníco das traçõs no tmpo n t n+ =t n +Δt Iníco do modlo lástco ncomprssívl [GLS ou Bochv] C n+ Motangm da matrz consttutva (q. 5. Itração nos lmntos -Montagm da matrz K n+ [GLS ou bochv] p p + p n+ n+ n = δ (nodal Atualzação da prssão nodal Itração nos pontos d ntgração d Gauss ε n+ = ε n + Δε - (Atualzação da dformação total n+ =I d ε n+ (Dformação dsvatóra h n+ =xp(-δt /λ.h n + Δh( n - n+ s (Varávl ntrna M ( m Fgura =. G 5. 5 μ. Algortmo n+ + μ para m h no + modlo (Tnsão vscolástco dsvatóra lnar m = n+. n + p n p + = N p (Prssão no ponto d ntgração σ s m (Tnsão total n+ = n+ + p n+ n+ T f =. nt B σ n+ dω (Força ntrna vscolástca Ω Fm da tração nos pontos d ntgração d Gauss Fm das traçõs nos lmntos n+ n+ -Computar K f = f f global; r vs -Computar solução KX ( u, p f = n+ rs n+ δ u n+ δ p (q. 5.4 n+ n+ n -u = δ u + u (atualzar dslocamnto Fm das traçõs no tmpo 8

94 6. Aplcaçõs dscussõs Est capítulo é voltado à ralzação d análss das stratégas métodos dsnvolvdos no trabalho. Nas prmras aplcaçõs (xmplos 6. 6., avalam-s as formulaçõs m lmntos fntos mplmntadas frnt a stuaçõs d quasncomprssbldad ncomprssbldad total (fludos, sobrtudo para vrfcar a acuráca da solução dos modlos lnars GLS Bochv, ncssáros para o procsso d solução do modlo vscolástco. Nos xmplos sgunts, nvstga-s o comportamnto rológco d sóldos fludos vscolástcos, ftuando a análs comparatva através do softwar FEAP, dsnvolvdo por TAYLOR [5]. Na últma aplcação, avala-s o comportamnto numérco frnt à ralzação d um nsao d fluênca. Em stuaçõs m qu há prsnça d malhas não struturadas, nvstgam-s também os rsultados obtdos com a formulação IGLS, proposta no capítulo 4. Convém rssaltar qu a formulação utlzada para o modlo msto no FEAP corrspond à formulação d 3 campos (u-p-θ com prssão dscontínua ntr os nós adjacnts dos lmntos na malha, podndo vntualmnt, m função da malha, aprsntar um pquno dsvo quando comparada às formulaçõs d campos (u-p d prssão contínua avalados nss trabalho. Todas as undads físcas utlzadas nos xmplos são do Sstma Intrnaconal d undads (SI, ssas undads não srão xplctadas nos xmplos aprsntados. 6. Exmplo : Vga submtda à ação d momnto d flxão O objtvo dssa prmra análs é avalar globalmnt os modlos lnars mplmntados. Para tanto, os modlos srão aplcados para obtr a aproxmação das componnts do dslocamnto d uma vga submtda à ação d um momnto d flxão m stado plano d dformação, conform aprsntado na fgura (6.. O momnto aplcado pod sr substtuído plo sstma bnáro d força quvalnt (carrgamnto aprsntado na fgura (6.. 8

95 Fgura 6. Vga submtda à ação d um momnto d flxão (adaptada d REDDY t. al.[5] Ess problma é dscutdo por REDDY DJOCO [5], qu aprsntam a solução analítca para os dslocamntos vrtcal horzontal, xplctados rspctvamnt plas quaçõs (6. (6.. f ( ν l (6. u( x, y = x y EL f ( ν ν v( x, y = x + y( y l (6. EL ν Prmramnt, srá analsada a convrgênca dos modlos GLS Bochv frnt ao grau d rfnamnto da malha. Adotam-s como parâmtros os sgunts valors: L = ; l = ; f = ; E = 5. Os rsultados foram xtraídos a partr dos valors da solução aproxmada xata no ponto nodal da xtrmdad supror da fac drta (fg. 6.. As malhas utlzadas nas análss aprsntam dstrbução d rfnamnto m lmntos rtangulars, sndo o domíno subdvddo m: 8 lmntos (4x; 3 lmntos (8x4; 8 lmntos (6x8 5 lmntos (3x6. Para fns lustratvos, a malha d 5 lmntos é aprsntada na fgura sgunt (fg. 6.. Nssa prmra análs, optou-s apnas plo uso d malhas struturadas. Fgura 6. Domíno dscrtzado m 5 lmntos (3x6 8

96 Cab rssaltar qu os algortmos mplmntados dvm aprsntar boa prformanc tanto para valors lvados d cofcnt d Posson quanto para valors mas baxos. Por ssa razão, a análs d convrgênca fo ralzada para os valors d cofcnt d Posson ν =, ν =, Adotou-s como parâmtro caractrístco da malha a raz quadrada do númro d lmntos. A norma do rro absoluto fo utlzado como crtéro ndcador da qualdad da aproxmação. Nas fguras sgunts são aprsntadas as varaçõs do rro absoluto m função da raz quadrada do númro d lmntos, qu srá um ndcatvo da taxa d convrgênca dos algortmos m função da varação dos parâmtros d stablzação. Erro absoluto Bochv a = Bochv a = GLS a =. GLS a =.5 GLS a = Raz quadrada do númro d lmntos Fgura 6. 3 Convrgênca do dslocamnto horzontal para ν =, Bochv a = 6. Bochv a = Erro absoluto GLS a =. GLS a =.5 GLS a = Raz quadrada do númro d lmntos Fgura 6. 4 Convrgênca do dslocamnto vrtcal para ν =,

97 Erro absoluto Bochv a = Bochv a = GLS a =. GLS a =.5 GLS a = Raz quadrada do númro d lmntos Fgura 6. 5 Convrgênca do dslocamnto horzontal para ν =,. Erro absoluto Bochv a = Bochv a = GLS a =. GLS a =.5 GLS a = Raz quadrada do númro d lmntos Fgura 6. 6 Convrgênca do dslocamnto vrtcal para ν =,. Obsrva-s qu para um númro rduzdo d lmntos a formulação msta não aprsnta boa prformanc, prncpalmnt para lvados valors do cofcnt d Posson (fg Entrtanto, aumntando-s o númro d lmntos (d 8 para 3 já s obsrva uma mlhora sgnfcatva na aproxmação. Os tsts mostraram qu os algortmos mplmntados consguram vtar o fto d travamnto caractrístco da formulação clássca d Garlkn para lvados valors d Posson m stado plano d dformação. Ess comportamnto é aprsntado na fgura (6.7 para o dslocamnto horzontal (6.8 para o dslocamnto vrtcal. Os rsultados foram condznts com a rsposta analítca. Para facltar a comparação avalação d qualdad dos métodos mplmntados, m função do parâmtro d stablzação, são aprsntadas as tablas (6. (6., qu trazm a nformação do rro rlatvo comparado com a solução analítca. Na tabla (6.3 84

98 aprsntam-s os rsultados obtdos através do FEAP, sobrtudo para qu s possa utlzá-lo como parâmtro d análs d qualdad nos xmplos sgunts. u - dslocamnto horzontal Analtca Bochv a= Bochv a= GLS a=. GLS a=.5 FEAP-F.Msta FEAP-F.Dsl Cofcnt d posson Fgura 6. 7 Dslocamnto horzontal m função do Posson (5 lmntos v - dslocamnto vrtcal Analtca Bochv a= Bochv a= GLS a=. GLS a=.5 FEAP-F.Msta FEAP-F.Dsl Cofcnt d posson Fgura 6. 8 Dslocamnto vrtcal m função do Posson (5 lmntos 85

99 Tabla 6. Rsultado para o modlo d Bochv Posson Bochv α = Bochv α = u v Erro u Erro v u v Erro u Erro v -,664 3,35,39%,36% -,6647 3,343,3%,7%, -,6585 3,93,3%,% -,6593 3,969,%,9%, -,6396 3,983,6%,5% -,646 3,3,%,%,3 -,673 3,364,%,% -,686 3,45,3%,3%,4 -,566,873,9%,6% -,5633,85,58%,53%,49 -,589,5435,46%,4% -,59,557,84%,77%,4999 -,55,5,47%,43% -,545,55,88%,8%, ,54,58,47%,43% -,544,5,88%,8%, ,54,58,47%,43% -,544,5,88%,8% Tabla 6. Rsultado para o modlo GLS Posson GLS α =. GLS α =.5 u v Erro u Erro v u v Erro u Erro v -,6639 3,36,4%,38% -,6655 3,38,7%,5%, -,658 3,97,7%,5% -,66 3,36,%,%, -,639 3,96,4%,3% -,644 3,64,%,%,3 -,666 3,33,%,% -,69 3,45,4%,39%,4 -,566,83,%,% -,5637,867,65%,59%,49 -,577,5379,%,9% -,5,5534,88%,8%,4999 -,5,554,%,% -,546,5,9%,8%, ,5,55,%,% -,546,57,9%,8%, ,5,55,%,% -,546,57,9%,8% Tabla 6. 3 Rsultado para FEAP Posson FEAP Formulação msta FEAP Formulação u u v Erro u Erro v u v Erro u Erro v -,668 3,356,73%,53% -,663 3,33,97%,7%, -,6573 3,89,4%,33% -,6554 3,86,7%,53%, -,6394 3,96,9%,3% -,637 3,879,46%,38%,3 -,68 3,358,%,8% -,649 3,49,3%,8%,4 -,568,88,49%,9% -,5578,7896,39%,37%,49 -,596,544,58%,44% -,4847,4343 4,53% 4,5%,4999 -,57,53,5%,44% -,85, ,7% 485,%, ,56,5,5%,44% -,3,53 3,8. 4 % 4,7. 4 %, ,53,585,45%,34% -,4, -6 5,3, -6 3,6. 7 % 4,7. 7 % Com bas nos rsultados aprsntados, obsrva-s qu os modlos Bochv GLS rmovram fcntmnt o fto do travamnto caractrístco da formulação clássca d Galrkn m stado plano d dformação, obtdos através do FEAP. Notas também qu o grau d aproxmação dpnd ssncalmnt do parâmtro α adotado nas análss. O dslocamnto rsultant (módulo do dslocamnto a prssão são aprsntados nas fguras a sgur: 86

100 Fgura 6. 9 Dslocamnto rsultant para ν =, Fgura 6. Dslocamnto rsultant para ν =,. Fgura 6. Dstrbução d prssão para ν =, Analsa-s agora o comportamnto das formulaçõs lnars frnt à aproxmação m malhas não struturadas com grau d dstorção ntr os lmntos, sobrtudo para avalar o dsmpnho das formulaçõs GLS, Bochv IGLS. Os studos foram ralzados com malhas subdvddas m 46, 85, lmntos. A rlação ntr a raz quadrada do númro d lmntos o rro absoluto obtdo na aproxmação dos dslocamntos horzontal vrtcal é aprsntada, rspctvamnt, nas fguras (6. (6.3. Os studos foram ralzados adotando-s ν =,

101 .. Convrgnca - Dslocamnto horzontal IGLS Bochv a=. bochv a=. GLS a=..8 Erro absoluto Raz quadrada do númro d lmntos Fgura 6. Convrgênca para o dslocamnto horzontal (ν =, Convrgnca - Dslocamnto vrtcal IGLS Bochv a=. bochv a=. GLS a=. Erro absoluto Raz quadrada do númro d lmntos Fgura 6. 3 Convrgênca para o dslocamnto vrtcal (ν =, Os rsultados mostraram um grand aumnto na snsbldad do parâmtro d calbração α para malhas rrgulars, prncpalmnt no modlo GLS. Nota-s qu a formulação proposta IGLS aprsntou os mlhors rsultados, tanto m trmos d aproxmação quanto m trmos d taxa d convrgênca. Para facltar as análss comparatvas, são aprsntados nas tablas d (6.4 a (6.6 os rsultados numércos para a aproxmação dos dslocamntos vrtcal 88

102 horzontal orundos das dvrsas formulaçõs mplmntas nss trabalho, aprsntando-s também o rro rlatvo obtdo m cada aproxmação. Tabla 6. 4 Rsultados para a malha d 46 lmntos (ν =, Formulação u v rro u rro v IGLS -5.E-.59E+ 4.6% 3.7% Bochv α = -5.5E-.76E+.4%.5% Bochv α = -6.E-.99E+.8% 9.7% GLS α =. -5.7E-.83E+ 4.7% 3.4% GLS α =.5 -.4E+ 6.5E+ 79.8% 6.6% GLS α =. -4.7E-.33E+ 5.85% 6.85% Tabla 6. 5 Rsultados para a malha d 85 lmntos (ν =, Formulação u v rro u rro v IGLS -5.E-.55E+.9%.96% Bochv α = -5.E-.6E+ 3.99% 4.4% Bochv α = -4.83E-.43E+ 3.4%.67% GLS α =. -5.E-.6E+ 4.43% 4.3% GLS α =.5-6.3E- 3.6E+ 6.4% 6.3% GLS α = E-.43E+ 3.4%.67% Tabla 6. 6 Rsultados para a malha d 466 lmntos (ν =, Formulação u v rro u rro v IGLS -5.E-.5E+.6%.% Bochv α = -5.6E-.53E+.%.5% Bochv α = -5.E-.56E+.3%.7% GLS α =. -5.5E-.5E+.7%.99% GLS α = E-.69E+ 6.94% 7.5% GLS α = E-.48E+.63%.63% Um fato qu val a pna obsrvar stá rlaconado ao xclnt grau d aproxmação do campo d dslocamnto obtdo pla formulação GLS com α =, qu corrspond ao uso apnas da parcla d Galrkn. Entrtanto, conform dscutdo no capítulo 3, m stuaçõs próxmas à ncomprssbldad o uso da formulação msta d Galrkn é sujta ao chamado modo prssão spúra. Ess comportamnto ocorr no xmplo analsado. A dstrbução da prssão para GLS, α =, é aprsntada na fgura sgunt: 89

103 Fgura 6. 4 Modo prssão spúra para (ν =, : (a 46 lmntos; (b 85 lmntos; (c 9 lmntos; (d 466 lmntos. A formulação IGLS consguu contornar com fcênca o modo d prssão spúra (nstabldads no campo d prssão, bm como obtv grand ganho d prcsão no campo d dslocamnto. A dstrbução d prssão obtda plo IGLS para a malha d 466 lmntos é aprsntada na fgura (6.5. Fgura 6. 5 Prssão stablzado pla formulação IGLS (ν =,

104 6. Exmplo : Escoamnto d Stoks m rgm staconáro Nsta análs procura-s avalar a prformanc das formulaçõs mstas mplmntadas frnt à stuação d ncomprssbldad total. Tradconalmnt, mprga-s o problma d fluxo d Stoks m rgm staconáro, qu concd com o problma d ncomprssbldad da lastcdad lnar (ν =,5. Ess problma é dscrto por ZIENKIEWICKZ TAYLOR [3] BATHE [3]. O problma consst na rprsntação d um domíno bdmnsonal m forma d um quadrado d dmnsão untára. Idalza-s qu todos os lados do contorno aprsntam vlocdad nula nas drçõs vrtcal horzontal, xcto no contorno supror qu aprsnta vlocdad untára na drção horzontal m todos os nós, com xcção dos nós das xtrmdads. Admt-s qu o fludo possu vscosdad untára, através da rlação d Lamé faclmnt pod sr obtdo o valor do módulo d lastcdad corrspondnt. Como o problma analsado não possu solução analítca, srão adotados os msmos parâmtros utlzados por ZIENKIEWICKZ TAYLOR [3], sobrtudo para qu sja possívl ftuar uma análs comparatva. Tratando-s d um problma totalmnt ncomprssívl, qu dspõ somnt d vlocdads prscrtas no contorno, é ncssáro spcfcar o valor da prssão m um ponto no domíno, conform dscutdo no capítulo 3. A gomtra condçõs d contorno são aprsntadas no modlo conctual, mostrado na fgura (6.6. O domíno fo dscrtzado m lmntos quadrangulars d comprmnto d lado., obtndo-s dssa forma uma malha m lmntos fntos composta por lmntos. Fgura 6. 6 Caractrzação do problma d scoamnto d Stoks 9

105 ZIENKIEWICKZ TAYLOR [3] aprsntam a solução numérca do problma obtda por dvrsas técncas dstntas através da aproxmação d uma malha d lmntos trangulars, cuja gomtra s sobrpõ à obtda pla dvsão d cada lmnto quadrangular da fgura (6.6 m lmntos trangulars a partr d sua dagonal. Os rsultados aqu obtdos foram smlhants aos obtdos por ZIENKIEWICKZ TAYLOR [3]. Na fgura (6.7, a solução numérca da prssão m uma sção d cort BB (fg. 6.6 é aprsntada. Foram avalados dstntos parâmtros d calbração para os modlos GLS Bochv. Uma solução obtda por ZIENKIEWICKZ TAYLOR [3] para lmntos trangulars é afxada no gráfco para fns comparatvos. Fgura 6. 7 Varação da prssão na sção d cort BB D acordo com o gráfco aprsntado na fgura (6.7, obsrva-s qu o cálculo da prssão é xtrmnt snsívl dpndnt dos parâmtros d pnalzação utlzados nos modlos, prncpalmnt plo fato d s consdrar apnas vlocdads prscrtas. Para mlhor comprnsão do fnômno, srá aprsntado o comportamnto da dstrbução spacal da prssão para o modlo GLS m função do parâmtro d stablzação α (fguras 6.8,

106 Fgura 6. 8 Dstrbução spacal da prssão plo método GLS para α=. Fgura 6. 9 Dstrbução spacal da prssão plo método GLS para α=. Fgura 6. Dstrbução spacal da prssão plo método GLS para α= Obsrva-s qu para valors muto baxos d α a prssão prmanc stávl (fg. 6.8, mas aprsnta gradnts acntuados altos valors numércos nas rgõs 93

107 próxmas à xtrmdad supror do domíno. À mdda qu o parâmtro α va assumndo maors valors os gradnts nas xtrmdads vão dmnundo (fg Entrtanto, para valors muto lvados d α obsrva-s uma fort dsspação nos valors da prssão (fg. 6.. Espcfcamnt nss problma ZIENKIEWICKZ TAYLOR [3] sugrm um valor para o parâmtro d stablzação GLS comprnddo ntr.5 α. Nota-s na fgura (6.7 qu o comportamnto do parâmtro α=.5 no modlo GLS fo smlar ao modlo Bochv com α=. A fgura (6. mostra a dstrbução spacal da prssão para o modlo do Bochv. Fgura 6. Dstrbução spacal da prssão plo método Bochv para α= Ess valor condz com os rsultados analsados por DORHMANN BOCHEV [46], qu sugrm o uso do parâmtro stablzador para ss modlo d projção d prssão (Bochv ntr. α. D manra gral, o campo d vlocdad nos problmas ncomprssívs é bm mas comportado quando comparado ao d prssão. Na fgura (6. é aprsntado o prfl d vlocdad vrtcal (v na sção d cort BB. A dstrbução spacal do campo d vlocdad obtdo através do método GLS é aprsntada na fgura (6.3. Já o prfl d vlocdad horzontal (u é rprsntado na fgura (6.4, tomado como bas a sção d cort AA. Em sqüênca, o campo d vlocdad horzontal é mostrado na fgura (6.5. Convém rssaltar qu para lvados valors do parâmtro d stablzação α obsrva-s um comportamnto anômalo do campo d vlocdad (fg. 6.3d 6.5d. 94

108 . Vlocdad no cort BB.5. Vlocdad vrtcal (v GLS. GLS.5 GLS. -.5 Bochv. Bochv Coordnada x Fgura 6. Varação da vlocdad vrtcal na sção d cort BB Fgura 6. 3 Dstrbução spacal da vlocdad vrtcal obtdo com o modlo GLS para: (a α=.; (b α=.5; (c α=.; (d α=.; 95

109 Vlocdad horzontal (u GLS. GLS.5 GLS. Bochv. Bochv. Vlocdad no cort AA Coordnada x Fgura 6. 4 Varação da vlocdad horzontal na sção d cort BB Fgura 6. 5 Dstrbução spacal da vlocdad horzontal obtdo com o modlo GLS para: (a α=.; (b α=.5; (c α=.; (d α=.; 96

110 Obsrva-s qu as osclaçõs no campo d vlocdad m função do parâmtro stablzador são mínmas. No ntanto, a combnação dos ftos osclatóros na parcla da vlocdad vrtcal /ou horzontal pod compromtr a vlocdad rsultant (módulo da vlocdad das partículas fludas, consqüntmnt, a drção d fluxo. Objtvando ftuar ssa análs, são aprsntadas as componnts gráfcas da fgura (6.6, qu mostra a varação do módulo d vlocdad m função do parâmtro stablzador para o modlo GLS. Fgura 6. 6 Dstrbução spacal do módulo d vlocdad obtdo com o modlo GLS para: (a α=.; (b α=.5; (c α=.; (d α=.; Conform já sprado, as ntrfrêncas das osclaçõs no módulo da vlocdad das partículas fludas são pratcamnt nxstnts no ntrvalo.5 α para o modlo GLS. D manra smlar ao campo d prssão, o campo do módulo d vlocdad para o modlo Bochv é dêntco ao campo d vlocdad do modlo GLS com α=., conform prvamnt aprsntado na fgura (6.6c. 97

111 6.3 Exmplo 3: Vga vscolástca submtda à ação d momnto d flxão Para analsar o fto tmporal da vscolastcdad, raprsnta-s o problma dscutdo no tm 6.. A análs fo ralzada com a malha d 8 lmntos, lustrada na fgura sgunt: Fgura 6. 7 Dscrtzação spacal m 8 lmntos fntos. Para a análs, adota-s um Posson ν =,3 módulo d lastcdad E =. Os parâmtros vscolástcos corrspondm a μ =,99 τ =, admtndo-s qu a vga aprsnta comportamnto típco d um sóldo vscolástco lnar padrão. Adota-s nas análss um ntrvalo d tmpo Δt =,. Nota-s qu a função d rlaxação para o problma dscrto corrspond à xprssão (6.3: Gt ( =,+,99xp(,6 [ t] (6.3 Conform dscutdo no capítulo, o rarranjo molcular advndo dos ftos da vscolastcdad pod nduzr a stuação d ncomprssbldad. Ess fto pod sr avalado através d um cofcnt d Posson ftvo, qu pod sr calculado pla razão ntr o módulo d lastcdad volumétrca K o módulo d csalhamnto Gt (, rsultando na sgunt xprssão: 3K G( t ν f ( t = 6K + G( t (6.4 No gráfco (6.8, é aprsntada a volução tmporal do dslocamnto vrtcal na xtrmdad supror da fac drta (vr ponto d análs na fgura 6.. Os rsultados obtdos através d dfrnts parâmtros d stablzação para o modlo vscolástco através dos métodos GLS Bochv são comparados aos rsultados obtdos através do softwar FEAP. Convém rssaltar qu a análs no FEAP fo ralzada a partr da formulação basada apnas no método dos dslocamntos, prncpalmnt para avalar o fto do travamnto caractrístco dssa formulação para lvados valors d Posson. 98

112 Dslocamnto vrtcal - v Fap - dsl. Bochv a = Bochv a = GLS a =. GLS a = Tmpo Fgura 6. 8 Evolução tmporal do dslocamnto A partr da quação (6.4, pod-s obsrvar qu o Posson ftvo para t corrspond a ν f = Um valor sgnfcatvo do cofcnt d Posson ftvo é alcançado m t =, corrspondndo a ν f ( = A partr dos nstants sgunts, nota-s um crscnt aumnto do rro absoluto ntr a formulação MEF basada no método dos dslocamntos, obtdos com o FEAP, as aproxmaçõs dos dmas modlos. Nos rsultados aprsntados na tabla (.3, nota-s qu ssa formulação do FEAP aprsnta rro numérco d 4,5% para um ν =,49, sndo qu os rros crscm consdravlmnt quando ν, 5. Entrtanto, para valors mas baxos d ν os rsultados são actávs. Dssa forma, pod-s conclur qu os rsultados obtdos com os modlos GLS Bochv foram condznts com os rsultados obtdos com o FEAP dntro da margm d valdad da formulação nl utlzada para análs. Por outro lado, para tmpos lvados, ond o Posson ftvo s aproxma d,5, aparntmnt a formulação m dslocamnto (rlatva ao FEAP sofru o fto d travamnto. 99

113 6.4 Exmplo 4: Mmbrana d Cook Nss xmplo, aprsnta-s um problma m stado plano d dformação tradconalmnt utlzado para avalação d rsultados das formulaçõs mstas. O problma d Cook fo ntroduzdo por SIMO RAFAI [5] consst m uma placa ngastada na xtrmdad squrda submtda à ação d forças tangncas na fac da drta. Nas dmas ntrfacs a placa é lvr não há aplcação d forças. Tal confguração torna-s ntrssant para análs, uma vz qu s obsrva o aparcmnto d sforços normas cortants. A gomtra condçõs d contorno podm sr vsualzadas na fgura (6.9. Adota-s um módulo d lastcdad E = 5. Obsrva-s qu os lmntos da malha aprsntam um crto grau d dstorção, o qu pod complcar o dsmpnho da formulação GLS. Fgura 6. 9 Gomtra dscrtzação spacal m lmntos ( x Prmramnt, é fta uma análs da stabldad convrgênca dos modlos lnars frnt a stuaçõs d quas-ncomprssbldad. Os studos foram ralzados com a rgão dscrtzada m lmntos ( x, 4 lmntos ( x, 9 lmntos (3 x 3 5 lmntos (5 x 5. Os rsultados foram comparados aos do programa FEAP. Nas fguras (6.3 (6.3 são aprsntados a varação do dslocamnto vrtcal no ponto d rfrênca (xtrmdad supror da fac da drta m função do cofcnt d Posson, para as malhas d (x 5 (5x5 lmntos rspctvamnt.

114 9 Dslocamnto vrtcal - v GLS a =.5 GLS a =. Fap - mst. Fap - dsl. Bochv a = Bochv a = Cofcnt d Posson Fgura 6. 3 Dslocamnto vrtcal para a malha x ( lmntos. 9 8 Dslocamnto vrtcal - v GLS a =.5 Fap - mst. Fap - dsl. Bochv a = Bochv a = Cofcnt d Posson Fgura 6. 3 Dslocamnto vrtcal para a malha 5 x 5 (5 lmntos. Através das fguras (6.3 (6.3 nota-s claramnt qu à mdda qu a malha atng um crto grau d rfnamnto, a aproxmação dos modlos mplmntados (GLS Bochv são quvalnts à aproxmação obtda com a formulação msta do FEAP.

115 Indpndntmnt do grau d rfnamnto da malha, a formulação basada apnas na sntnça varaconal do dslocamnto (u aprsnta travamnto para lvados valors do cofcnt d Posson. Apnas para fto lustratvo, na fgura sgunt pod-s obsrvar a dstrbução d lmntos para a malha (3 x 3 (5x5: Fgura 6. 3 (a Malha d 9 lmntos (b malha d 5 lmntos Por outro lado, ndpndntmnt do grau d rfnamnto da malha, a dstrbução d prssão mostrou-s bastant snsívl m função dos parâmtros d stablzação. No modlo GLS, para α = s obsrvou novamnt o modo prssão spúra. Já para α =,5 as prssõs foram fortmnt amortcdas, grando também osclaçõs numércas, conform aprsntado na fgura (6.33. (a Fgura Dstrbução da prssão para (a α = (b α =,5. (b

116 Os mlhors rsultados rlatvos a stablzação da prssão foram obtdos com valors α<,. Já a formulação IGLS novamnt obtv grand êxto na aproxmação, aprsntando ganho d prcsão numérca quando comparado a α =,, conform aprsntado na fgura (6.34. (a Fgura Establzação da prssão para: (a α =, ; (b IGLS (b Admt-s para as análss sgunts qu o matral m studo aprsnta um comportamnto rológco típco d um sóldo vscolástco padrão (lnar, com os sgunts parâmtros: ν =,49; μ =,5 ; τ =. A função d rlaxação assum ntão a forma: 5 Gt ( =,5 +,5xp(,98 [ t] (6. 5 Através da rlação (6.4 pod-s obsrvar qu o matral aprsnta um cofcnt d Posson ftvo d,495 para t. A volução tmporal do dslocamnto é aprsntada na fgura sgunt. Os rsultados foram obtdos com o uso da malha d 9 lmntos (3x3. 3

117 6 5 4 Dslocamnto vrtcal - v GLS a =.5 Fap - mst. Fap - dsl. Bochv a = Bochv a = Tmpo Fgura Evolução tmporal do dslocamnto vrtcal (malha 3 x 3 A dfrnça prcntual máxma ntr os rsultados obtdos com a formulação msta do FEAP fo d,8% para o GLS, d,6% para o Bochv α = d,7 % para o Bochv α =. Nota-s qu a formulação basada na sntnça varaconal do dslocamnto (Fap dsl. aprsntou valors nfrors às dmas formulaçõs para t >,5, aparntmnt consqünt do fto d travamnto para lvados valors do cofcnt d Posson. A dfrnça prcntual ntr os rsultados obtdos através da formulação msta do FEAP dos modlos dsnvolvdos tnd a dmnur m função do grau d rfnamnto da malha. Na fgura sgunt, é aprsnta a volução tmporal do dslocamnto obtda com uma malha d 5 lmntos (5x5. Os rsultados foram obtdos utlzando um cofcnt d Posson ncal d ν=,499. 4

118 6 5 4 Dslocamnto vrtcal - v GLS a =.5 Fap - mst. Bochv a = Bochv a = Tmpo Fgura Evolução tmporal do dslocamnto vrtcal (malha 5 x 5 Nssa análs, a dfrnça prcntual máxma ntr a formulação msta do FEAP dos modlos mplmntados corrspond a,% para o GLS,,9% para o Bochv α =,,% para o Bochv α =. Nas fguras sgunts, são aprsntados o dslocamnto rsultant (módulo do dslocamnto nos nstants t = (dformação lástca nstantâna t = (advnda dos ftos da vscolastcdad. Nota-s qu o fto da vscolastcdad ncorporou um ncrmnto sgnfcatvo do dslocamnto rsultant. 5

119 Fgura Dslocamnto rsultant para t =. Fgura Dslocamnto rsultant para t =. 6

120 6.5 Exmplo 5: Análs d rvrsbldad da fluênca vscolástca Nsta aplcação, analsa-s o comportamnto numérco m analoga ao comportamnto físco d um corpo vscolástco posto m nsao d fluênca (carga constant submtdo à rmoção da carga q m um nstant t >. Para tanto, dalza-s ncalmnt um corpo ngastado submtdo à ação d força d tração orgnada por um carrgamnto q, cuja confguração gométrca dscrtzação spacal é aprsntada na fgura (6.39, ond pod-s obsrvar a subdvsão do domíno m 64 lmntos. Adota-s: a =b =; q=5; t =,5; Fgura Gomtra dscrtzação da malha. Prmramnt, consdra-s um matral com proprdads caractrístcas d um sóldo vscolástco padrão, adotado como ncomprssívl (ν =,5 com vscosdad G = 3,333 ( quvalnt a um E =. Adota-s como tmpo d rlaxação o valor untáro (τ = μ =,6. O comportamnto tmporal do dslocamnto horzontal no ponto d análs (vr fgura 6.39 é aprsntado na fgura (6.4. 7

121 .35.3 Bochv a = GLS a =.5 GLS a =. Dslocamnto horzontal - u Tmpo Fgura 6. 4 Dslocamnto horzontal para o modlo sóldo vscolástco padrão. Obsrva-s no nstant ncal a rsposta nstantâna corrspondnt ao dslocamnto d um modlo lástco lnar. Nos nstants sgunts d aplcação da carga constant q, o dslocamnto aumnta contnuamnt, aprsntando tndênca a assumr um valor assntótco caractrístco dos xmplos aprsntados antrormnt. No nstant t =,6, após a rmoção da carga, há uma rcupração mdata quvalnt a rsposta nstantâna ncal. Em sguda, obsrva-s a rcupração da parcla vscosa, qu dv sr ntgralmnt rcuprada m função do arranjo do modlo. A ntrprtação do comportamnto lustrado na fgura (6.4 é faclmnt comprndda s o analsarmos a partr do modlo físco aprsntado na fgura (.6. Incalmnt, a rsposta nstantâna dv corrspondr ao dslocamnto advndo da parcla lástca do modlo, qu corrspond a soma dos lmntos lástcos qu stão lgados m parallo. Após a rmoção da carga, o lmnto lástco qu stá parallamnt lgado ao lmnto d Maxwll forçará a rcupração total do dslocamnto, condzndo com o comportamnto obtdo plo MEF mostrado na fgura (6.4. 8

122 Pla própra dfnção do nsao d fluênca, a prssão dv sr mantda constant no lmnto ao longo do tst. Ess comportamnto é compatívl com os rsultados obtdos, ond nos nstants d aplcação da carga t<,6 a prssão é mantda constant proporconal ao valor d carrgamnto aplcado. Após a rtrada da carga, é sprado qu prssão sja nula. Dssa forma, os rsultados numércos aprsntados na fgura (6.4 stão condznts com o comportamnto físco do nsao d fluênca. 6 5 Bochv a = GLS a =.5 4 Prssão Tmpo Fgura 6. 4 Prssão para o modlo sóldo vscolástco padrão Um fato mportant a dstacar stá rlaconado aos rsultados obtdos através do modlo GLS com α =, qu quval ao uso somnt da formulação msta d Galrkn. Conform dscutdo no capítulo 3, para lvados valors do cofcnt d Posson ssa formulação stá sujta ao modo prssão spúra. Tm-s aqu novamnt um caso típco, ond os dslocamntos são razoavlmnt aproxmados (fg 6.4 mas a prssão stá totalmnt compromtda, conform lustrado m (6.4. 9

123 Prssão (p 4 35 GLS a = Prssão Exo Y Exo X Tmpo Fgura 6. 4 (a Dstrbução spacal da prssão para t = ; (b Evolução tmporal da prssão Dssa forma, as formulaçõs mplmntadas consguram ftvamnt rmovr o fto do modo prssão spúra o fto d travamnto, garantndo stabldad para o modlo vscolástco. A prssão stablzada é aprsntada na fgura (6.43, obtda plo modlo Bochv. Prssão (p Prssao Exo Y Exo X Fgura Dstrbução spacal da Prssão (stablzada Para avalar os ftos tmporas da vscolastcdad, consdraram-s também análss com dfrnts valors do cofcnt d Posson, obtndo-s rsultados smlars aos aprsntados. Entrtanto, para a confguração m studo, nota-s claramnt a dpndênca dos dslocamntos com o valor do cofcnt d Posson. Na fgura sgunt, os rsultados m t =,4 para cofcnts d Posson,5, são aprsntados. Dstaca-s o comportamnto próxmo às xtrmdads do ngast, ond obsrva-s a consrvação d volum nos lmntos da malha para ν =,5.

124 Fgura Dslocamnto rsultant para t =,4 para: (a ν =,5; (b ν =,3. (scala altrada para vsualzação x Consdra-s agora o matral com proprdads d um fludo vscolástco d Maxwll. Nss caso, têm-s μ =, dmas proprdads dêntcas às utlzadas na análs antror (ν =,5. O comportamnto tmporal do dslocamnto horzontal no ponto d análs é aprsntado na fgura (6.45. Conform sprado, nota-s uma rsposta lástca ncal sguda por um aumnto do dslocamnto no tmpo, qu d acordo com as análss tórcas aprsntadas no capítulo crscrá ndfndamnt, cuja tndênca da taxa d dformação (cofcnt angular s aproxmará a d um fludo nwtonano. Nota-s qu a partr do nstant d rtrada da carga (t>,6, há rcupração mdata da parcla lástca, sndo a parcla vscosa rrcuprávl, conform dscutdo prvamnt. Obsrva-s uma pquna osclação numérca no nstant mdatamnt postror a rtrada da carga, orgnada pla dscontnudad do carrgamnto. Convém rlmbrar qu a taxa d dformação é aproxmada através d um squma numérco m dfrnça fnta progrssva.

125 Bochv a = GLS a =.5 GLS a =. Dslocamnto horzontal - u Tmpo Fgura Dslocamnto horzontal para o modlo d Maxwll O comportamnto da prssão aproxmada é mostrado no gráfco sgunt, conform dscussão préva stá d acordo com a ntrprtação físca do problma. 6 Bochv a = GLS a = Prssao Tmpo Fgura Prssão- Modlo d Maxwll

126 Agora, faz-s uma análs d um corpo submtdo a um stado d csalhamnto puro. Nss caso, os ftos da vscolastcdad stão prsnts apnas na parcla dsvatóra, uma vz qu a prssão dv sr nula. A dstrbução da carga q é aprsntada na fgura sgunt: Fgura Corpo submtdo a stado d csalhamnto puro Novamnt, para lvados valors d cofcnt d Posson, o uso da formulação msta d Galrkn rvlou o modo prssão spúra, conform aprsntado na fgura (6.48. Prssao 4 Prssão (p Exo Y.5 Exo X.5 Fgura Modo prssão spúra no stado d csalhamnto puro. 3

127 Entrtanto, os valors aproxmados para o dslocamnto foram novamnt razoávs, vtando dssa forma o fto do travamnto. A confguração do dslocamnto rsultant é aprsntada na fgura sgunt: Dslocamnto rsultant Fgura Dslocamnto rsultant para o GLS α =. Os rsultados obtdos para o modlo d Maxwll com ν =,5 são aprsntados na fgura (6.5, ond s obsrva um comportamnto condznt com os rsultados tórcos prvamnt dscutdos..8.6 Bochv a = GLS a =.5 GLS a =. Dslocamnto horzontal - u Tmpo Fgura 6. 5 Evolução tmporal do dslocamnto vrtcal (Modlo d Maxwll. 4

128 D manra sprada, a prssão aproxmada toma valors nulos ao longo d toda análs, conform aprsntado na fgura ( x -8 Bochv a = GLS a = Prssao Tmpo Fgura 6. 5 Evolução tmporal da prssão (Modlo d Maxwll. Em outra análs, adotou-s o matral com comportamnto típco d um sóldo vscolástco padrão, com μ =,6. Os rsultados obtdos para o dslocamnto prssão foram novamnt condznts com o comportamnto físco sprado, conform aprsntado na fgura ( Bochv a = GLS a =.5 GLS a =. x -9 9 Bochv a = GLS a =.5 Dslocamnto horzontal - u Tmpo Prssao Tmpo Fgura 6. 5 Evolução tmporal do dslocamnto vrtcal prssão (Modlo do sóldo vscolástco. 5

129 Ambas as análss foram ralzadas com dvrsos valors do cofcnt d Posson. Para lustrar a nfluênca dss parâmtro nas análss, aprsnta-s na fgura sgunt o dslocamnto rsultant (módulo do dslocamnto para o modlo d Maxwll ralzado com Possons ν =, ν =,5 m t =. a Fgura Dslocamnto rsultando para o modlo d Maxwll m t = : (a ν =,; (b ν =,5. b 6