FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA

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1 SUMÁRIO SUMÁRIO... Capítulo - I...4. Obtvos do Capítulo Introdução Comportamnto Mcânco dos Matras Sóldos até a Ruptura Dtrmnação do Módulo Elástco da Flxbldad d um Matral A Enrga Elástca Armaznada m um Sóldo Comportamnto Elástco Comportamnto Plástco Tnsão d fluênca ou scoamnto Tnsão d ruptura Proprdads Mcâncas dos Matras Tnsão Dformação Módulo d Elastcdad d Young (E) Malabldad Ductldad Dagramas Tnsão-Dformação Lmt d Rsstênca à Tração Durza Tnacdad Fluênca Rsstênca à Fluênca Fadga...6 Capítulo - II Introdução Análs do Estado das Tnsõs Tração Vtors d Acoplamnto das Tnsõs Componnts das Tnsõs Tnsão m um Ponto Tnsõs sobr um Plano Normal Rprsntação Dyádca das Tnsõs Equaçõs d Equlíbro...4

2 .3. Prncípos Físcos Matmátcos Momnto Lnar Momnto Angular Tnsõs Prncpas Análs do Movmnto d uma Dformação Elástca dos Corpos u Dfnção do vtor dslocamnto u Análs das Dformaçõs A Dfnção Tnsor das Dformaçõs A Dfnção do Tnsor Gradnt d Dformação Equaçõs d Compatbldad...56 Capítulo - III Obtvos do Capítulo Introdução Introdução a Elastcdad Lnar Fundamntos da Tora da Elastcdad Lnar Dnsdad d Enrga d Dformação Matras Elástcos Lnars Tora Elastodnâmca Lnar Equação Consttutva o Fluxo d Dformaçõs m um Matral Sóldo Elástco- Lnar A L d Hook Gnralzada para Sóldos Elástcos Lnars Equação Consttutva o Fluxo d Dformaçõs m um Matral Sóldo Elástco- Lnar A Vsão do Contínuo para a L d Hook Dnsdad d Enrga d Dformação na Elastcdad Equaçõs d compatbldad Equação Consttutva dos Matras Elástcos Lnars Complmntardad da Dnsdad da Enrga d Dformação Equação do Potncal Vtoral Gnralzado para a Dformação Elástca Equação Consttutva para o Fluxo do Potncal Vtoral das Taxas d Dformaçõs nos Fludos Equação do Potncal Vtoral Gnralzado para a Massa Fluda A Equação d Movmnto Elastodnâmco Lnar...80

3 3.4.4 Problmas d Valor d Contorno O Campo d Tnsão Elástco Lnar Equaçõs Báscas da Elastcdad para o Corpo Homogêno Isotrópco Equlíbro d um corpo lástco sob uma força d corpo Problmas Planos da Tora da Elastcdad Problmas Bdmnsonas na Elastcdad Equaçõs d Equlíbro Compatbldad para os Problmas Planos Estado Plano d Tnsão ou Dformação Função d Tnsão d Ary para Problmas B-Dmnsonas Problma d Dformação Plana: Problma d Tnsão Plana Funçõs d Ary m Coordnadas Cartsanas Equação B-harmônca Condçõs d Contorno Funçõs d Ary Coordnadas Polars O Laplacano a Equação B-Harmônca m trmos das Varávs Complxas Equação d Laplac m trmos d Varávs Complxas Rprsntação d Funçõs B-Harmôncas d Ary-Wstrgard por Funçõs Analítcas d uma Varávl Complxa As Funçõs d Ary-Wstrgard m trmos d uma Varávl Complxa Funçõs d Ary-Wstrgard para a Equação B-harmônca da MEL Forma Complxa da Função Harmônca d Tnsão Funçõs d Tnsão m trmos d Funçõs Harmôncas Complxas Dslocamnto Corrspondnt a uma dada Função d Tnsão Equaçõs d Kosolov Rfrêncas Bblográfcas

4 Capítulo - I PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS RESUMO. Obtvos do Capítulo 4

5 . Introdução as proprdads dos matras Vamos agora studar as proprdads dos matras sob o ponto d vsta básco do prncípo d Causa Efto ou Estímulo Rsposta dado plos sstmas físcos m studo. Pod-s dzr qu a físca qu studa as proprdads fnomnológcas dos matras stá basada nst prncípo unto com as rlaçõs da álgbra gomtra dos corpos m studo. CAUSA OU ESTÍMULO EFEITO OU RESPOSTA + ALGEBRA E GEOMETRIA FÍSICA FENOMENOLÓGICA OU ESTUDO DAS PROPRIEDADES DOS MATERIAIS As proprdads dos matras são classfcadas bascamnt m proprdads mcâncas, térmcas, létrcas, magnétcas óptcas, podndo havr proprdads qu nvolvam duas ou mas áras tas como: proprdads trmolétrcas, ltro-óptcas, tc. tas proprdads gralmnt stão rlaconadas a ftos conugados. Vamos a tabla abaxo: Tabla - I.. CAUSA X EFEITO = PROPRIEDADES Força Mcânca Dformação ou trnca Mcânca Mcânca Força Elétrca Corrnt ou transport d cargas Elétrca létrcas Força Magnétca Orntação d cargas magnétcas Magnétca Pulso d Luz Absorção, lumnscênca, Óptca transparênca Calor ou Pulso Térmco Transport d calor ou varação d tmpratura Térmca Vamos ncalmnt studar as proprdads mcâncas dos matras. 5

6 O studo xprmntal das proprdads mcâncas dos matras sóldos é fto utlzando-s bascamnt o chamado prncípo d causa fto ou stímulo rsposta. Est prncípo s basa no fato d qu as proprdads dos matras podm sr nfrdas da função d transfrênca qu assoca a causa ao su fto. A causa utlzada no studo das proprdads mcâncas é a aplcação d uma força xtrna F sobr o corpo d prova, conform mostra a fgura abaxo: Fgura -.. Força F aplcada sobr um corpo d prova d massa, M, volum, V. A condção d qulíbro do nsao é dada pla rsstênca mcânca do corpo á força aplcada, sto é dz-s qu há qulíbro d forças quando: xtrna F xt F xt R nt (. ) A partr do momnto m qu o corpo comça a s dformar sso é porqu a força comça a ultrapassar o lmt d rsstênca do matral st s drg para a ruptura do msmo. Ants da ruptura, porém nos tmos dos tpos prncpas d comportamnto com rspto a dformação do matral : o comportamnto lástco, o comportamnto plástco. 6

7 . 3 - Comportamnto Mcânco dos Matras Sóldos até a Ruptura O comportamnto mcânco para os matras sóldos, no qu dz rspto a dformação, é dvddo m frágs ducts (Fgura -. ). Os frágs, são aquls qu s rompm logo após o fm do su lmt lástco, não aprsntando quas nnhuma dformação plástca (procsso rvrsívl). Fgura -.. Comportamnto típco da tnsão x dformação dos matras frágés dúcts. A l d Hook dz qu, d acordo com a Fgura -. a Fgura -. 3, um matral, dntro do su lmt lástco lnar, atuado por uma força, F, ou tnsão,, aprsntará uma dformação dada por: E, (. ) ond = F/A é a tnsão aplcada A é a ára da scção transvrsal do corpo sob ação da força F. E é o módulo lástco do matral. O alongamnto prcntual ou dformação é dada por: = l/l, conform mostra a Fgura

8 Fgura Dstnsão máxma das lgaçõs químcas d um matral ants d s rompr, mostrando o tamanho crítco mínmo, l o, a partr do qual a ruptura acontc, sgundo o modlo d Grffth para um monocrstal. Fgura adaptada a partr da orgnal contda m MARDER [996]. A partr da rlação (. ), prcb-s qu um matral frágl dal aprsnta módulo lástco constant até a ruptura, nquanto qu o dúctl não. Isto sgnfca qu, a sparação ntr os planos crstalnos do matral frágl dal s dá contnuamnt, sm qu ocorra quas nnhum acúmulo d dftos na forma d dscordâncas (Fgura -. 3). Os dúcts, por outro lado, são aquls qu após o lmt lástco aprsntam dformaçõs plástcas por mo d dscordâncas na rd crstalna, acumulando dftos s rompndo após o ncruamnto (procsso rrvrsívl, Fgura -. ). D acordo com a tora do ncruamnto (hardnng) a rlação ntr a tnsão,, a dformação,, é dada por: m rf, (. 3) rf ond: rf é a tnsão ncal rf é a dformação ncal m, é um xpont fraconáro. Obsrv qu a rlação (. 3), mostra o trmo m potênca, qu pod sr rlaconada a uma auto-smlardad com a scala da dformação, rf, qu afta o aspcto mcrostrutural da suprfíc d fratura. Srá mostrado, no modlamnto fractal da suprfíc d fratura no Capítulo IV, qu st fato stá rlaconado com a rugosdad dsta suprfíc, dvdo a auto-smlardad fractal ond o xpont d ncruamnto, m, stará rlaconado com a dmnsão fractal, D, da msma. Porqu o matral ncrua ants d abrr uma trnca rugosa. 8

9 A partr da rlação (. 3), prcb-s qu no caso do matral dúctl, tanto a tnsão d fratura, f, como o módulo lástco, E, passa a dpndr da prsnça, ou não, dst acúmulo d dftos mcroscópcos..3. Dtrmnação do Módulo Elástco da Flxbldad d um Matral Exstm dfrnts métodos xprmntas para s dtrmnar o módulo lástco ou a flxbldad d um matral. A Fgura -. 4 aprsnta uma montagm xprmntal qu pod sr usada para dtrmnar o módulo lástco por mo da quação (. 4) [DOS SANTOS 999] abaxo. ond 3 S E 3 4w X u, (. 4) S é a sparação dos clndros d apoo, w é a largura do corpo d prova, é a sua spssura, X é a carga aplcada u é a sua dflxão do ponto d aplcação da força na drção vrtcal. Fgura Montagm xprmntal do nsao d flxão a três pontos com ntalh plano. Até o lmt d ruptura, o valor do módulo lástco do matral pod sr calculado pla quação (. 4), conform mostra na Fgura -.. Caso ocorra um crscmnto d trnca acma dst lmt máxmo d carga tolrávl plo matral, o valor da quação (. 4) passa a rprsntar a flxbldad do matral ao nvés do su módulo lástco. Para matras frágs, ou até msmo dúcts, a rlação (. ) é muto útl, porqu la consttu a bas da mcânca da fratura lástca lnar, conform srá vsto a sgur. 9

10 A Enrga Elástca Armaznada m um Sóldo Consdr um corpo traconado contnuamnt até o lmt da sua ruptura, conform mostra a Fgura A nrga d dformação total armaznada m um matral até st lmt é dado pla ára dbaxo da curva mostrada na Fgura -., sto é, pla ntgral da curva, x E, ou sa: u ( ) ( )d. (. 5) o Embora xstam dfrnts comportamntos mcâncos, conform mostra a Fgura -., é ntrssant, a prncípo, ntndr o mas smpls dls, qu corrspond a um matral frágl qu sgu a l lástca d Hook. Para st matral frágl, pod-s supor qu o corpo rspond a solctação xtrna d acordo com a quação (. ). Portanto, substtundo a xprssão (. ) m (. 5) tm-s qu a nrga d dformação lástca total armaznada m um matral frágl, até o lmt d sua ruptura, calculada pla l d Hook, é dado por: rscrvndo (. 6) m trmos d (. ) tm-s: E u( ) Ed, (. 6) o 0 u( ). (. 7) E Consdrando o corpo totalmnt dstnddo até o lmt máxmo d sua rsstênca mcânca, tm-s qu a tnsão máxma d alongamnto corrspond a tnsão d fratura do matral, f. Logo, para o caso da fratura lástca lnar (matral frágl dal), d acordo com a l d Hook dado m (. ), tm-s: f E max, (. 8) ond, f, é o módulo d ruptura ou a tnsão d fratura do matral, E é o su módulo lástco, máx é o alongamnto máxma do corpo m rlação ao su comprmnto ncal. D acordo com a Fgura -., para os matras frágs, a ntgral é obtda susbttundo-s (. 8) m (. 7) obtndo-s a nrga d dformação lástca total por undad d volum qu pod sr armaznada no corpo ants qu l s rompa, forncndo 0

11 Para um corpo d volum, V c, tm-s qu: Logo, substtundo-s (. 9) m (. 0) tm-s: U u f f. (. 9) E du u, (. 0) dv f f Vc. (. ) E Esta é a quantdad máxma d nrga por undad d volum qu um corpo pod armaznar, dsd qu s consdr qu st é formado por um matral dalmnt frágl, como uma crâmca, por xmplo Comportamnto Elástco É aqul m qu a dformação é rvrsívl, ou sa, as lgaçõs químcas dos átomos do matral não sofrram rcombnação, a força xtrna aplcada não ultrapassou o lmt nrgétco do poço d potncal dstas lgaçõs (cssando a causa cssa o fto). Ex. mola Comportamnto Plástco É aqul m qu a dformação é rrvrsívl, ou sa, as lgaçõs químcas dos átomos do matral s movram sofrndo algum tpo d rcombnação com outros átomos da vznhança, sto é, os planos crstalnos s dslocaram uns m rlação aos outros a força xtrna aplcada rmovu os átomos para fora do poço d potncal, ou sa, para fóra da posção d qulíbro (cssando a causa o fto prmanc). Ex. mantga, px, mtas.

12 Fgura Dagrama d tnsão x dformação para dformação lástca Tnsão d fluênca ou scoamnto

13 Tnsão d ruptura 3

14 . 4 Proprdads Mcâncas dos Matras Os matras struturas usados na prátca da ngnhara, m sua maora, dvm tr rsstênca. A rsstênca é uma mdda das forças xtrnas aplcadas ao matral, as quas são ncssáras para vncr as forças ntrnas d atração ntr as partículas lmntars do msmo. Rsumdamnt, a rsstênca s dv à soma das forças d atração ntr os létrons carrgados ngatvamnt os prótons carrgados postvamnt, no ntror do matral. Os matras, d acordo com suas aplcaçõs, dvm sr capazs d rsstr à ação d forças consdrávs, sofrndo apnas dstorçõs bastant pqunas. Contudo, proprdads muto dvrsas podm sr dsadas. Assm é qu o matral dv sr capaz d sofrr dformação prmannt, a xpnsas d quantdads d nrga tão pqunas quanto possívl. Ou sa, o matral dv sr malávl dúctl. No caso dos procssos d conformação, os mtas prdm sua malabldad, tornando-s duros rsstnts. Dz-s qu, nst caso, o matral fca ncruado. Assm sndo, o ngnhro prota su procsso d conformação para utlzar a malabldad ou ductldad do matral ao msmo tmpo faz com qu o mtal, após o procsso, possua rsstênca sufcnt para a aplcação a qu s dstna. Outras proprdads mcâncas são a lastcdad, durza tnacdad, bm como a fluênca a fadga, dntr outras. Em cada caso concrto, stas proprdads stão assocadas ao comportamnto do matral dant da aplcação d um sstma d forças xtrnas. Gralmnt, o ngnhro stá ntrssado na "dnsdad d força" ncssára para provocar uma dtrmnada quantdad dfnda d dformação, tmporára ou prmannt. Vamos agora dfnr os conctos mas mportants rlaconados as proprdads mcâncas dos matras Tnsão A tnsão é uma mdda da "dnsdad d força" é dfnda como forca por undad d ára. A tnsão é xprssa m Nwtons por mtro quadrado (N/m². Porém, m trmos d cênca dos matras, talvz sa mas convnnt xprssá-la m Nwtons por mlímtro quadrado (N/mm²). Além dsso, sta undad fornc um valor d tnsão qu é mas fácl d vsualzar, consdrando, por xmplo, qu a forca ncssára para rompr uma barra d aço d um mtro quadrado d sção transvrsal, é muto lvada para podr sr vsualzada 4

15 m trmos d valors fntos. Então, a tnsão é calculada dvdndo a forca pla ára na qual la stá agndo Dformação A dformação s rfr à altração (d forma) proporconal produzda m um matral sob nfluênca d tnsão. Ela é uma rlação numérca, mdda como o númro d mlímtros d altração para cada mlímtro do comprmnto orgnal. A dformação pod sr lástca ou plástca. A dformação lástca é rvrsívl dsaparc quando a tnsão é rmovda. Quando a dformação é d naturza lástca, os átomos são dslocados d suas posçõs ncas pla aplcação d tnsão. Porém, quando sta tnsão é rmovda, os átomos rtornam às posçõs ncas qu tnham m rlação aos sus vznhos. A dformação lástca é aproxmadamnt proporconal à tnsão aplcada (Fg. ), para fns prátcos, podmos dzr qu o matral obdc à l d Hook ( = E. ). Esta l stablc qu, para um corpo lástco, a dformação é drtamnt proporconal à tnsão aplcada. Fgura Dagrama d tnsão x dformação para dformação lástca A dformação plástca s dá quando o matral é tnsonado acma do su lmt d lastcdad. Com a dformação plástca, os átomos s movmntam dntro da strutura do matral, adqurndo novas posçõs prmannts com rspto a sus vznhos. Quando a tnsão é rmovda, apnas a dformação lástca dsaparc toda a dformação plástca prmanc (Fg. ) 5

16 Fgura Dagrama d tnsão x dformação para dformação plástca Módulo d Elastcdad d Young (E) O módulo d lastcdad d Young é a rlação ntr a tnsão aplcada a dformação lástca qu la produz. Em outras palavras, é a tnsão ncssára para produzr uma quantdad untára d dformação lástca. O módulo d Young stá vnculado à rgdz do matral o su valor é bastant mportant para o ngnhro d construçõs. O módulo d lastcdad é xprsso m trmos d tnsão d tração ou d tnsão d comprssão suas undads são as msmas para sss dos tpos d tnsão. Assm sndo: E = tnsão / dformação = N/mm² / mm/mm = N/mm², (. ) Em vrtud do lvado valor numérco d E, l normalmnt é xprsso m GN/m ou MN/mm. A sofstcada tcnologa das últmas décadas do século XX, frqüntmnt nvolv consdraçõs sobr a massa d matral ncssára para forncr dtrmnada rsstênca rgdz a uma strutura. Isto é partcularmnt mportant na ndústra arospacal m outras ndústras d transport, ou, d fato, m qualqur stuação m qu s gast nrga dvdo à força da gravdad. Dsta manra, o módulo d lastcdad é 6

17 gralmnt xprsso como módulo d lastcdad spcífco, no qual E stá rlaconado à dnsdad rlatva do matral: Módulo d lastcdad spcífco = E / dnsdad rlatva, (. 3) Malabldad Ductldad A malabldad rfr-s à capacdad do matral s dformar sm fraturar, quando submtdo à comprssão, nquanto qu a ductldad s rfr à capacdad do matral s dformar sm fraturar, quando submtdo a sforços d tração. Todos os matras dúcts são malávs, mas nm todos os matras malávs são ncssaramnt dúcts. Isto porqu um matral maco pod tr pouca rsstênca rompr faclmnt quando submtdo à tração. Fgura Componnts do tst d tração. A fgura mostra um corpo d prova rosquado. Porém, m mutos qupamntos, o corpo d prova é plano, é sguro por grampos d frcção. A ductldad é gralmnt xprssa m prátcos, pla porcntagm d alongamnto do comprmnto padrão d um corpo d prova padronzado, qu é submtdo à tração até a ruptura. A fgura 4 mostra qu, para tornar os rsultados comparávs, é ncssáro havr uma rlação padronzada ntr o comprmnto padrão do corpo d prova a ára da sção transvrsal do msmo. Já qu a maor part da dformação plástca s dá no "pscoço" (ntr Z Y), é claro qu a prcntagm d alongamnto quando s consdra ZY como comprmnto padrão, não srá a msma quando s consdra XY como comprmnto padrão. Consqüntmnt, os corpos d prova para tração dvm sr gomtrcamnt smlars, sndo conhcdos como corpos d prova proporconas. 7

18 Fgura Dagramas Tnsão-Dformação Quando os valors da tnsão da dformação corrspondnt, obtdos num tst d tração, são colocados num gráfco, vrfca-s qu cada tpo d matral é rprsntado por uma curva caractrístca. Os matras d ductldad dsprzívl, como os aços d alta durza, frro funddo concrto, aprsntam uma dformação até a fratura, d valor nulo ou muto pquno (Fg. 5 ()). Ou sa, ls não aprsntam lmt d scoamnto, só ocorrndo a dformação lástca. Por outro lado, um matral dúctl aprsnta um lmt d lastcdad (ou lmt d proporconaldad) além do qual á ocorr dformação plástca. O lmt d scoamnto é a tnsão máxma qu um matral pod suportar, ants qu s nc o scoamnto plástco. Nos matras frrosos macos (frro malávl aços d baxo carbono) m alguns matras plástcos, o níco do scoamnto plástco é caractrzado por um lmt d scoamnto bastant dfndo (Fg. 5 ()). Nssas condçõs, é fácl calcular a tnsão d scoamnto. Nos outros matras, nclundo pratcamnt todos os mtas lgas dúcts, bm como a maora dos matras plástcos, o lmt d lastcdad não é bm dfndo (Fg. 5 (v)). Sob mutos aspctos, nos protos d ngnhara, o lmt d scoamnto d um matral é d maor mportânca qu o lmt d rsstênca (tnsão máxma suportada plo matral, durant o scoamnto plástco). Por sto, drvou-s um valor d tnsão para substtur o lmt d scoamnto, naquls matras qu não aprsntam st lmt bm dfndo. Esta tnsão é conhcda como tnsão d prova é dfnda como a tnsão ncssára para produzr uma dformação plástca (ou sa, uma dformação prmannt) d 0,% ou 0,5% para alguns matras, no comprmnto padrão d corpo d prova. Esta tnsão é obtda da manra ndcada nas Fgs. 5 () (v). Os matras qu passam por alguns tratamntos como o ncruamnto ou, no caso d algumas lgas, por um tratamnto térmco aproprado, las são gralmnt mas 8

19 rsstnts mnos dúcts do qu os msmos matras qu stão nas condçõs normas d durza. Isto é ndcado na curva tnsão/dformação da Fg. 5 (). Fgura Dagramas tnsão/dformação rprsntatvos d város tpos d matral. () Matral não dúctl (frágl). () Matral smdúctl. () (v) Matras dúcts. T = lmt d rsstênca à tração; B = Tnsão d ruptura; Y = Lmt d scoamnto; P = Tnsão d prova Lmt d Rsstênca à Tração O lmt d rsstênca à tração do matral é calculado através da rlação ntr a força máxma aplcada durant o tst a ára ncal da sção transvrsal do corpo d prova. As undads nvolvdas são as d tnsão. Gralmnt as mas convnnts são MN/m² ou N/mm² qu, vdntmnt, são guas numrcamnt. É mportant notar qu ao longo d todo o nsao d tração, a tnsão é calculada com bas na ára ncal da sção transvrsal. Isto é, não s lva m consdração a dmnução d ára da sção transvrsal unto ao "pscoço", nos stágos fnas da dformação plástca. Por sta razão, os chamados dagramas 9

20 "tnsão/dformação" na raldad são dagramas força/alongamnto modfcados. O dagrama tnsão/dformação vrdadro, para sr rconstruído, ncssta qu s lv m consdração a dmnução da sção transvrsal, mdndo-s o dâmtro mínmo no pscoço para cada mdda da força aplcada (Fg. 6). Gralmnt é mpratcávl a mdda da tnsão vrdadra por st método. Na prátca, usa-s mas frqüntmnt o valor da tnsão d ngnhara. Fgura -.. Tnsão d ngnhara = Força / Ára ncal da tnsão transvrsal. É convnnt lmbrar qu a ordnada usualmnt dnomnada, na maora dos dagramas publcados, como "tnsão", quas smpr s rfr a sta "tnsão d ngnhara" m lugar da tnsão vrdadra. A rdução da sção transvrsal nos matras dúts, durant o scoamnto plástco, lva à aparnt anomala d qu a tnsão d ruptura sa mnor do qu o lmt d rsstênca à tração. Porém, a Fg. 6 mostra qu, d fato, a tnsão vrdadra d ruptura é maor qu o lmt d rsstênca à tração Durza Em lnhas gras, a durza é dfnda como a capacdad do matral rsstr à abrasão suprfcal. A durza rlatva dos mnras é constatada através da scala d Moh (Tabla ). sta scala consst d uma lsta d matras agrupados d tal manra qu qualqur mnral da lsta pod rscar os qu s localzam abaxo dl. Então o damant, qu é a substânca mas dura qu s conhc, ncabça a lsta com o índc d durza gual a 0. A 0

21 durza suprfcal d qualqur substânca pod sr vnculada à Escala d Mohr, dtrmnandos quas as substâncas padrão dsta scala qu rscam a rfrda substânca. Tabla - I.. Escala d Mohr Mnral Índc d durza Damant 0 Corndo 9 Topázo 8 Quartzo 7 Fldspato 6 Apatta 5 Fluorta 4 Calcta 3 Gsso Talco Obvamnt, a Escala d Moh é nadquada, quando s trata d uma dtrmnação rgorosa d durza d matras smlhants às lgas mtálcas. Para ssas substâncas, foram dsnvolvdos város tpos d tst d durza. Os nstrumntos smlhants ao Esclrômtro d Turnr (qu mda a rscabldad) foram logo abandonados substtuídos por qupamntos qu mdm a rsstênca das camadas suprfcas do matral à pntração d uma blha d alguma forma gométrca. Dsta forma, a durza não é mas dfnda m trmos d rsstênca à abrasão. No nsao d Brnll a blha é uma sfra d aço nquanto qu no nsao da Prâmd d Damant a blha usada é uma prâmd d damant. O tst d Rockwll mprga um con d damant ou uma sfra d aço. Em todos sts tsts, o índc d durza (H) é obtdo do valor: Força aplcada / Ára suprfcal da massa produzda, (. 4) As undads são as msmas da tnsão. Porém, ssas undads nunca são mprgadas quando s scrv o valor da durza, pos m qualqur scala d durza as condçõs d tst são padronzadas.

22 Fgura -.. Componnts da maora das máqunas d durza. A blha pod sr uma sfra d aço como ndcado na fgura, ou ntão uma prâmd d damant ou um con d damant Para a maora das lgas mtálcas, o lmt d rsstênca à tração é aproxmadamnt proporconal à durza, apsar d não xstr nnhuma conxão fundamntal ntr ssas duas proprdads, a não sr no qu dz rspto à rgdz gral do matral Tnacdad A tnacdad é mdda m trmos da nrga ncssára para fraturar um corpo d prova padrão. Sndo assm, a tnacdad não dv sr confundda com o lmt d rsstênca à tração, o qual é mddo m trmos da tnsão ncssára para fraturar um corpo d prova padrão. A ára sob a curva tnsão/dformação stá drtamnt rlaconada à nrga ncssára para fraturar o matral, pos a nrga é o produto da força méda pla dstânca na qual l atua.. Fgura Dagramas tnsão/dformação para () uma lga tratada para aumntar a rsstênca, () a msma lga na condção dúctl ou d pouca durza. A nrga, ndcada pla ára sob a curva, ncssára para fraturar o corpo d prova, é maor no caso do matral mnos rsstnt mas dúctl. D fato, alguns matras qu m su stado normal d ductldad pouca durza, são xtrmamnt tnazs, prdm sua tnacdad quando são submtdos a dtrmnados procssos d ndurcmnto ncruamnto. Estas rlaçõs stão ndcadas pla ára sob cada curva d tnsão/dformação, plo fato d qu mprgam carga d choqu. Uma part da nrga cnétca d um pêndulo osclant, é gasta na fratura d um corpo d prova padrão, convnntmnt ntalhado. Em ambos os métodos d dtrmnação da tnacdad

23 ao mpacto, qu são os métodos Izod Charpy, a undad utlzada é o Joul. Esss nsaos dão uma ndcação prátca do comportamnto do matral sob condçõs d carga d choqu. Em mutas crcunstâncas, a tnacdad é mas mportant como crtéro d avalação do matral, do qu a rsstênca à tração. Fgura Componnts das máqunas d nsao d mpacto. A nrga ncssára para fraturar a atmosfra é mdda na scala, m ouls Fluênca A fluênca pod sr dfnda como sndo uma dformação contínua, com a passagm do tmpo, m matras sutos a uma tnsão constant. Esta dformação é plástca ocorr msmo qu a tnsão atuant sta abaxo do lmt d scoamnto do matral. A tmpraturas abaxo d 0,4 T (ond T é a tmpratura absoluta d fusão do matral (scala Klvn)) a taxa d fluênca á altamnt mportant. Por sta razão a fluênca é muto pquna mas a tmpraturas maors qu sta, a fluênca é altamnt mportant. Por sta razão a fluênca é comumnt vsta como sndo um fnômno d lvadas tmpraturas, assocado a plantas d vapor tcnologa d turbnas d gás. No ntanto, para alguns dos mtas lgas mas macos com baxo ponto d fusão, a fluênca ocorrrá d forma sgnfcatva a tmpraturas ambnts. Antgos tlhados d chumbo flundo ao longo dos séculos, dvdo ao su própro pso, adquram uma dfrnça d spssura mnsurávl ntr a cumra, mas fna, os bras, mas grossos. Quando um matral mtálco é tnsonado d forma adquada, orgna-s d mdato uma dformação lástca (Fg. 0), qu é sguda por uma dformação plástca qu ocorr m três stágos: 3

24 () Fluênca prmára, ou transnt, OP, ncando-s com uma vlocdad rápda qu dmnu com o tmpo, à mdda qu o ncruamnto prossgu. () Fluênca scundára, ou d rgm prmannt, PS, na qual a vlocdad d dformação é compltamnt unform passa por su mnor valor. () Fluênca trcára, SX, na qual a vlocdad d dformação aumnta rapdamnt, até qu a fratura ocorra m X. Est stágo concd com o mpscoçamnto da pça. A fluênca m matras polmércos abaxo da tmpratura d transção vítra sgu, d forma grossra, a msma confguração dos mtas. A rlação qu xst ntr tnsão, tmpratura a rsultant taxa d fluênca stá mostrada na fgura. A baxas tnsõs /ou baxas tmpraturas pod ocorrr alguma fluênca prmára, mas ssa ca a um valor dsprzívl no stágo scundáro prsum-s qu é dvdo ao ncruamnto do matral. Com o aumnto das tnsõs /ou tmpraturas (curvas B C) a taxa d fluênca scundára também aumnta lvando à fluênca scundára também aumnta lvando à fluênca trcára nvtavlmnt à fratura. Fgura Curva típca d fluênca mostrando os três stágos d fluênca durant um nsao à alta tmpratura durant longo tmpo. 4

25 Fgura Varação das vlocdads d fluênca com a tnsão com a tmpratura. Na curva A o stágo fnal d fluênca torna-s dsprzívl, provavlmnt dvdo ao ncruamnto. Na curva C a vlocdad d fluênca scundára é mas lvada qu na curva B, dvdo à utlzação d uma tnsão mas lvada /ou lvada tmpratura Rsstênca à Fluênca A amplação do conhcmnto do mcansmo d fluênca (qu sugr dos tpos sparados d dformação plástca, () dvdo ao movmnto normal d dscordânca qu ocorr dntro d matras crstalnos () aqul qu é d caractrístca vscosa stá assocado com as rgõs não crstalnas do contorno d grão) possbltou aos cntstas d matras o dsnvolvmnto d matras rsstnts à fluênca com maor confança do qu ra possívl há poucas décadas atrás. Como a fluênca dpnd do movmnto d dscordânca, é obvo qu qualqur vnto qu rduza o movmnto dstas dscordâncas, também lmt a formação d novas, s oporá ftvamnt a fluênca. Gralmnt, os mtas com struturas crstalnas compactas (CFC ou HC) são os mas aproprados suas rsstêncas à fluênca podm sr lvadas por um ou mas dos sgunts métodos: () A adção d um lmnto d lga qu formará uma solução sólda com o mtal bas. Isto só srá ralmnt ftvo s os átomos solutos tvrm baxa mobldad. S, por outro lado, ls s dfundm lvrmnt com a atvação térmca ls também prmtrão qu as dscordâncas s movmntm,, dss modo, a rcupração- portanto, postrormnt a fluênca - pod ocorrr. () A adção d um lmnto d lga qu cr o ndurcmnto por dsprsão. Prcptados cornts pqunos prcptados não cornts são gralmnt produzdos por tratamnto d 5

26 prcptação, sndo ssncal qu à tmpratura d srvço tas partículas prmançam fnamnt dsprsas não coalsçam. Os prcptados fnamnt dsprsos formam barrras dsprsvas ao movmnto d dscordâncas. () Tratamnto d lga para garantr grãos grands quando for possívl, á qu sto rduz a suprfíc total d contornos d grão por undad d volum do matral,, dss modo, rduzndo a formação d vazos, o qu auxla bastant o movmnto d dscordâncas Fadga Os ngnhros stão cnts á há longo tmpo qu cargas "vvas" tnsõs altrnadas d pqunas ampltuds podm causar a falha num lmnto qu, ntrtanto, pod suportar uma consdrávl carga "morta". Sob a ação d cargas não constants o matral pod tornar-s fatgado. Então, nquanto a fluênca é um fnômno assocado com a xtnsão do componnt sob uma força constant agndo durant um longo tmpo gralmnt a altas tmpratura, a fadga rfr-s à falha d um matral sob ação d tnsõs flutuants rptdas. A falha por fadga ocorrrá, é vdnt, s a tnsão máxma stá acma do lmt d fadga. Apsar dsta, star anda bm abaxo da tnsão normal d scorrgamnto státco para o matral, sab-s qu a dformação plástca por dslzamnto ocorr durant o contínuo cclo d tnsão. Tas bandas d dslzamnto, como aparcm nas suprfícs, são tanto d ntrusão como d xtrusão (Fg. ). Fgura O dslzamnto localzado qu dá orgm a xtrusõs ntrusõs qu podm ncar as trncas d fadga. Embora tal ntrusão sa gralmnt muto pquna, aproxmadamnt da ordm d m, pod, é claro, agr como um concntrador d tnsõs ncar uma trnca por 6

27 fadga. Consdra-s qu uma fratura por fadga s dsnvolv três stágos - nuclação, crscmnto da trnca fratura ncal (Fg. 3). Fgura Os stágos d falha d fadga. Uma fratura por fadga é gralmnt fácl d dntfcar, á qu a rgão d crscmnto da trnca surg polda dvdo ao sfrgamnto das suprfícs d fratura, uma contra a outra, a mdda qu a tnsão s altrna. A fratura fnal é crstalna. A suprfíc d fratura, rsultant, tm uma aparênca caractrístca, sndo uma falha por fadga, consqüntmnt fácl d sr dntfcada. Como a trnca s propaga lntamnt a partr da font, as suprfícs fraturadas atrtam-s ntr s dvdo à naturza pulsant da tnsão, dss modo, as suprfícs tornam-s poldas. Frqüntmnt marcas na forma d concha stão prsnts, mostrando a drção d spalhamnto da trnca d fadga. Fnalmnt a pça não é mas capaz d suportar su carrgamnto a fratura fnal ocorr. Esta suprfíc rcém-fraturada é tpcamnt crstalna na aparênca. Qustonáro - Ond s dá a dfrnça ntr a dformação lástca a plástca. - Por qu é ncssáro dfnr o módulo d lastcdad spcífco a = E/d. 3 - Exmplo d malávs não dúcts. 4 - Por qu alguns matras não aprsntam dfndos os lmts d lastcdad. 7

28 5 - Porqu é ncssáro dfnr a tnsão d stétco (struturas) prda da ). - Exmplo gz x quadro ngro. 6 - Por qu s dfn a tnacdad (nrga) x ára. (lg. prmára). 7 - Em automóvs por qu s usa alta tnacdad. Qual você scolhra para do automóvl : tnsão d fluênca d scoamnto. 8 - Porqu cclos é mas fcnt qu dformação, acúmulo d dftos. 9 - Por qu s m nuclação, crscmnto da tnsão. 8

29 Capítulo - II ELEMENTOS DE MECÂNICA DOS SÓLIDOS RESUMO. - Introdução Uma abordagm a solução d problmas m mcânca dos sóldos é stablcr rlaçõs prmro ntr cargas aplcadas tnsõs ntrnas, subsqüntmnt, consdrar as dformaçõs. Uma outra abordagm é xamnar as dformaçõs ncalmnt, ntão procdr às tnsõs as cargas aplcadas. Dsprzando-s da vntual solução o camnho slconado, é ncssáro drvar as rlaçõs dos componnts ndvdualmnt. Nst capítulo, a prmra sér d quaçõs as quas dscrvm o qulíbro ntr forças xtrnas tnsõs ntrnas são drvadas. 9

30 . Introdução a Mcânca do Contínuo 30

31 . 3 Vtors Tnsors 3

32 . 4 - Análs do Estado das Tnsõs.. Tração Vtors d Acoplamnto das Tnsõs Um corpo dformávl suto a um carrgamnto xtrno é mostrado na Fgura -.. Podm xstr cargas aplcadas sobr o xtror, propramnt chamada d forças suprfcas, cargas dstrbuídas dntro do ntror do corpo, conhcdas como forças ntrnas. Um xmplo da últma é o fto da gravdad, a qual produz o pso-spcífco do corpo. Focando a atnção sobr um lmnto com uma ára A n sobr ou dntro do corpo orntada conform spcfcada por um vtor normal ˆn, nós acumulamos a força rsultant F n o momnto M n. Ambas são grandzas vtoras não são, m gral, A n na sgunt parallas a n. Logo buscamos a ntnsdad das rsultants sobr a ára forma. Fgura -.. Corpo dformávl sob carrgamnto xtrno. Fn dfn f lm ; ( vtor) ( a) Vn 0 V dv n Fn dfn Tn lm ; ( tnsor) ( b) An 0 A da n n n, (. ) 3

33 Ond M n dm n Cn lm ; ( tnsor) ( c) An 0 A da n n T n é conhcdo como vtor das tnsõs ou tração, C n é chamado d vtor do acoplamnto das tnsõs. A tora da lastcdad lmntar procd da suprposção d qu C n = 0, nquanto a tração T n rprsnta a ntnsdad das tnsõs m um ponto para uma orntação partcular d lmnto d ára spcfcada por ˆn. Uma dscrção complta no ponto rqur, qu o stado das tnsõs sa conhcdo para todas as drçõs, tal qu ncssáro, mas não sufcnt, para sta proposta. T n l msmo é.. Componnts das Tnsõs Nós agora studamos um parallpípdo rtangular nfntsmal no ponto m qustão construímos uma sér d coordnadas cartsanas x parallas ao lado, conform mostrado na Fgura. corrspondnt a cada xo coordnado xst um vtor untáro ˆ. Mostrado na fgura são as traçõs T qu atuam sobr cada fac, com o subscrto scolhdo corrspondnt a fac normal ê. Novamnt nfatza-s qu, m gral, T não é parallo a ˆ, o qual é prpndcular a fac do parallpípdo. Fgura -.. Tnsor das tnsõs normas csalhants m um corpo. 33

34 , ond é a drção do vtor normal o lmnto d ára é a drção da componnt do vtor tnsão. Cada tração pod sr scrta m trmos das componnts cartsanas na forma: f f ˆ f ˆ f ˆ f ˆ 3 3 Na notação d somatóra d Enstn (convnção d soma), ou, (. ) Mas ê f f f f ê f ê 3 ê 3 3 (. 3) T ê 3 (. 4) a qual xpandndo xplctamnt m três quaçõs fornc: T ê ê 3ê3 ê (. 5) T ê ê 3ê3 ê (. 6) ou anda ou T3 3ê 3ê 33ê3 3 ê 3 ê T T 3 ê T ê ê 3 T (. 7) (. 8) T ê ê (. 9) Os cofcnts,,..., 33, são conhcdos como componnts das tnsõs ou smplsmnt como tnsõs, nquanto qu toda a matrz forma o tnsor das tnsõs quando a rgra d transformação aproprada é vrfcada. O subscrto a convnção dos snas para as componnts das tnsõs são como sgu: 34

35 T atua. ) O prmro subscrto rfr-s à normal ˆ, a qual dnota a fac sobr a qual ) O sgundo subscrto corrspond à drção ˆ na qual a tnsão atua. 3) As tão chamadas componnts normas são postvas s las produzm tnsõs, ngatvas s las produzm comprssõs. As componnts d csalhamnto ( ) são postvas s drconadas na drção postva x nquanto atuam sobr a fac com a undad normal com undad normal ˆ, ou s drconadas na drção ngatva x nquanto atuam sobr a fac ˆ. Enquanto é algumas vzs vtal dstngur ntr tnsão comprssão a dfrnça ntr csalhamnto postvo ngatvo é gualmnt arbtráro...3 Tnsão m um Ponto Nós agora stamos m posção d procdr o prncpal obtvo dsta scção, ntão stablcr condçõs sufcnts para dscrvr compltamnt o stado tnsõs m um ponto. Nós mostrarmos qu sto pod sr ralzado por spcfcação das traçõs T sobr cada um dos três planos ˆ as quas pla quação (. 5) a (. 7), é quvalnt a spcfcar as nov componnts das tnsõs. Então, s a tração T n atua sobr qualqur lmnto arbtráro da suprfíc, dfnda por um ˆn aproprado, pod sr avalada, a proposção é provada o tnsor das tnsõs compltamnt spcfca o stado das tnsõs no ponto., rfrdo a qualqur sstma cartsano convnnt, 35

36 Fgura Forças agndo sobr um ttradro lmntar m um ponto P. O ttradro dfrncal na Fgura -. 3 mostra a tração T n atuando sobr o plano dntfcado por ˆn, ao longo com traçõs sobr as facs ndcadas por ê a força ntrna f por undad d volum. A força sobr a fac nclnada é T nda n nquanto a força sobr cada uma das outras facs é T da,,,3, dsd qu las têm normas untáras nas drçõs ngatvas ê. tal qu As áras dos planos stão rlaconadas por (. 8), ond da da cos( nˆ, ˆ ) da nˆ. ê (. 0) n n ond da n da nˆ. ˆ (. ) da n n nˆ.ˆ cos( nˆ, ê ) (. ) é a componnt d ˆn na drção ˆ também a drção cossno. A força d qulíbro para o ttradro da: T da n n TdA TdA T 3dA3 f ( hdan ) 0 3 (. 3) 36

37 Ond h é a altura do ttradro. Usando as quaçõs (. 0) a (. ), a quação (. 3) tornas: h ( TndAn T n f ) dan 0 3 (. 4) Logo, rsolvndo T n m componnts cartsanas Tê tomando o lmt quando h 0 a condção d qulíbro é satsfta s: T ê T n (. 5) O próxmo passo é scrvr T m trmos das componnts das tnsõs usando a quação (. 4). Contudo, é convnnt prmro mudar o índc mudo sobr o r.h.s da quação (. 5) d para, ntão: T n T n n ê (. 6) O qual prmt qu os cofcnts d ê nas quaçõs (. 5) (. 6) sam quaconadas forncndo: T n (. 7) Rcprocamnt, s as componnts T são conhcdas, a magntud d T n pod sr avalada como: T n / T T T ) (. 8) n ( dsd qu T n rprsnta uma componnt da tração qu atua sobr um plano arbtráro como dfndo por ˆn, o conhcmnto das componnts da tnsão rfrdas as coordnadas cartsanas é ralmnt sufcnt para spcfcar compltamnt o stado das tnsõs no ponto. Na quação (. 7), T n são ambas componnts dos vtors (tnsor d ordm ) tal qu a são as componnts d um tnsor d ordm. Portanto, s as componnts das tnsõs são conhcdas m um sstma d coordnadas, dto o sstma x, las podm sr avaladas por outro sstma d coordnadas, dto o sstma x, pla l d transformação para os tnsors d sgunda ordm. Ond cada drção cossno é: ' (. 9) k l kl 37

38 cos( x ', x ) (. 0) conform ntroduzdo antrormnt ( ) rprsnta o cossno do ângulo ntr os xos x, x. Dsd qu a rgra d transformação xcuta um papl mportant na tora da lastcdad, val a pna rafrmar qu, sto é, a drção dos cossnos não são smétrcos...4 Tnsõs sobr um Plano Normal É algumas vzs útl rsolvr T n m componnts qu são normas tangncas ao lmnto dfrncal d suprfíc da n, conform mostrado na Fgura Fgura Elmnto dfrncal d suprfíc A componnt normal é calculada por: N T. nˆ (. ) nn n T. ê. nˆ (. ) ou da quação (. 7): T. n (. 3) 38

39 n n (. 4) nn a componnt tangncal é: s T sˆ (. 5) ns n T. ê. sˆ (. 6) T. s (. 7) n s (. 8) ns ond s ê. sˆ (. 9) Isto frqüntmnt convnnt calcular ns usando o torma d Ptágoras como ns ( T ) / T nn (. 30) conduzndo a rsolução a um passo a mas, as componnts cartsanas d N s podm sr avaladas: N nˆ. ê (. 3) nn( k ). êk nn k nn n k (. 3) ond k =,, 3. a partr da quação (. 4) para ns, a smpls adção dá n n n (. 33) k T k,, 3. (. 34) nn( k) n nn( k ) ond T k são as componnts cartsanas d T conform dado pla quação (. 7). 39

40 ..5 Rprsntação Dyádca das Tnsõs Conctualmnt, pod sr útl vr o tnsor das tnsõs como uma grandza tpo vtoral tndo uma magntud drçõs assocadas, spcfcadas por vtors untáros. O dyádco, atrbuído ao matmátco J. Wllard Gbbs, é uma tal rprsntação. Nós scrvmos o tnsor das tnsõs ou dyádco das tnsõs como:.ê. ê (. 35). ê. ê 3. ê. ê 3. ê. ê. ê. ê 3. ê. ê 3. ê. ê. ê. ê ê. ê 3 3. ê. ê 3 3 (. 36) Ond os duplos vtors ustapostos são chamados dyádcos. As traçõs corrspondnts são avaladas por uma opração análoga ao produto scalar ou a opração d produto na artmétca vtoral: T. ê. ê (. 37) A opração ponto (.) d ê sobr [] slcona componnts com o sgundo vtor dado gual a ê dsd qu ê.ê =. A quação (. 37) é dêntca a quação (. 4). Smlarmnt, as componnts normas tangncas da tração T n sobr um plano dfndo pla normal n são:.ˆ. n nˆ (. 38) nn T n. nˆ (. 39).n. n (. 40).ˆ. n sˆ (. 4) ns T n. sˆ (. 4) 40

41 .n. s (. 43) como prvamnt achado nas quaçõs (. 4) (. 5), rspctvamnt Equaçõs d Equlíbro A partr d agora vamos studar as quaçõs d qulíbro ara os sóldos as quas são dcorrnts da Mcânca Nwtonana..3. Prncípos Físcos Matmátcos O stado das tnsõs m um ponto m qualqur drção tm sdo mostrado sr compltamnt dtrmnado plas componnts do tnsor cartsano das tnsõs. Naturalmnt, as tnsõs varam dntro do corpo. As quaçõs qu govrnam a dstrbução das tnsõs são conhcdas como as quaçõs d qulíbro são drvadas a partr da aplcação dos prncípos fundamntas da físca do momnto angular do momnto lnar à rgão mostrada como na Fgura -. 5 com a ára suprfcal A o volum V. Fgura Corpo m qulíbro. O prncípo do momnto lnar é: fdv TdA V A V. udv (. 44) 4

42 no qual é a dnsdad d massa; u é o vtor dslocamnto, o símbolo (.. ) sgnfca a drvada m rlação ao tmpo duas vzs. As quaçõs prcdnts podm sr scrtas na forma d componnts rconhcndo-s qu: f f. ê ( a) (. 45) logo T T ê (. 46).n. ê (. 47) a partr da quação (. 30). Consdrando o vtor posção r. Ond r x. ê (. 48) Mas E a rsultant das forças é dada por: nt fntdv (. 49) V F F F rdv xt nt V (. 50) F xt V x dv Logo substtundo (. 49) (. 5) m (. 5) tmos: (. 5) V x (. 5) fnt dv rdv V 4

43 .3. Momnto Lnar Para problmas státcos, o r.h.s. das quaçõs (. 44) são zro. Substtundo-s as quaçõs (. 53),(. 46) (. 45) m (. 44) nós tmos qu as quaçõs státcas do momnto lnar são: f. dv [ T ].ˆ nda 0 ou quvalntmnt V A (. 53) V f. ê dv n ê da 0 A (. 54) V f. dv n daê 0 (. 55) A V f. dv n da 0 A (. 56) Supondo qu as componnts das tnsõs são funçõs contínuas d class C possum drvadas contínuas, pod-s usar o torma da dvrgênca para transformar a ntgral d suprfíc m uma ntgral d volum. Portanto, (.[ T ]) dv V A [ T ]. nda ˆ Logo substtundo (. 57) m (. 53) tm-s: f dv (.[ T ]) dv 0 V V (. 57) (. 58) V ( f.[ T ]) dv 0 (. 59) V ( f ) dv 0 x (. 60) 43

44 Como todo lmnto d V m qulíbro, a rgão d ntgração é arbtrára, valndo para qualqur volum V, a quação (. 60) é satsfta s o ntgrado dsaparc. Portanto, f x 0 (. 6) Esta é a condção d qulíbro para o momnto lnar, a qual rprsnta as três quaçõs d qulíbro m trmos das nov componnts dsconhcdas da tnsão..3. Momnto Angular O prncípo do momnto angular é: ( r f ) dv ( r T ) da ( r u ) dv V No qual r é o vtor posção como mostrado na Fgura O qulíbro dos momntos dmanda qu: ond V A ( r f ) dv ( r [ T ]) nˆ da 0 r x A V ê xê x3ê3 (. 6) (. 63) (. 64) a forma scalar d (. 63) é: ond V k x f k dv A k x lk n da 0 l (. 65) k 0 s quasqur dos,, k são guas s,, k é uma prmutação cíclca d,,3 s,, k é uma prmutação d,3, (. 66) Usando o torma da dvrgênca tmos: V x l ( k x lk ) dv k x lknlda 0 (. 67) A 44

45 V x lk k ( lk x ) dv 0 k x fkdv (. 68) x x l l V usando (. 66) m (. 69) tmos: V V x lk k[ x ( fk ) lk ] dv 0 (. 69) x x l x s l k lk dv k lk ldv 0; l (. 70) xl 0 s l V l usando a xprssão (. 6) tmos: V [ ( lk k x fk ) lk l ] dv 0 xl 0 (. 7) V k lk ldv k V k dv 0 (. 7) Como a rlação é válda para qualqur volum tmos: 0 (. 73) k k a quação (. 73) pod sr avalada para =,,3, ond 0 (. 74) (. 75) Logo 0 (. 76) (. 77) 45

46 3 3 (. 78) ou anda d forma gral (. 79) (. 80) a qual é uma condção da smtra do tnsor das tnsõs qu, além dsso, mplca qu tm ss componnts ndpndnts, m vz d nov componnts. A quação (. 80) é muto mportant m todo o campo da mcânca dos sóldos. Nós podmos rscrvr a quação (. 7) como: T n (. 8) a quação (. 6) como: f x 0 (. 8) A qual é agora uma sér d três quaçõs ss ncógntas. Dsd qu las são usadas rptdamnt, sta é útl scrvr as últmas quaçõs na forma xplícta: f 3 x x x3 0 ( a) (. 83) f 3 x x x3 0 ( b) (. 84) f x x x3 0 ( c) a qual rprsnta um sstma qu é anda statcamnt ndtrmnado. (. 85) 46

47 . 6 - Tnsõs Prncpas Em todo ponto m um corpo xst um plano, chamado d plano prncpal, tal qu o vtor tnsão s stnd ao longo da normal n a st plano. Isto é, T n n (. 86) ond é a tnsão normal qu atua sobr st plano. A mplcação é qu não xst csalhamnto agndo sobr o plano prncpal. A drção d n é rfrda à drção prncpal. A ntrodução da quação (. 86) na quação (. 7) fornc: ( ) n 0 (. 87) A qual é uma sér d três quaçõs homogênas para a drção dos cossnos n qu dfnm a drção prncpal. Dsd qu n n =, ntão para vtar a solução trval (0, 0, 0) dvmos tr: a qual m uma forma matrcal é: dt n 0 (. 88) Esta é uma quação cúbca m qu pod sr scrta como: (. 89) 3 I I I 0 (. 90) Ond I, I, I 3 são grandzas scalars qu são ndpndnts do sstma d coordnadas na qual as componnts das tnsõs são xprssos. Elas são chamadas nvarants das tnsõs como: 3 I (. 9) I ( ) (. 9) I 3 k pqr p q kr (. 93) 6 47

48 Em uma forma xtndda tmos: I (. 94) 33 I ( (. 95) ) I 3 3 (. 96) Dvdo à smtra do tnsor das tnsõs xstm três raízs ras (,, 3 ), rfrnt as tnsõs prncpas da quação (. 89). Assocado a cada tnsão prncpal xst uma drção prncpal satsfazndo a quação (. 87) n n =. As três drçõs prncpas os planos assocados são mutuamnt ortogonas. Pod sr mostrado qu as tnsõs prncpas corrspondm ao valor máxmo, ntrmdáro mínmo das tnsõs normas m um ponto (crculo d Mohr). Contudo, a máxma tnsão d csalhamnto nst ponto é gual a mtad da dfrnça ntr as tnsõs prncpas máxma mínma qu atua sobr o plano, fazndo um ângulo d 45 o graus com a drção das tnsõs. Um conhcmnto das tnsõs prncpas é mportant porqu las formam a bas da tora das falhas dos matras. 48

49 . 7 Análs do Movmnto d uma Dformação Elástca dos Corpos u.5. - Dfnção do vtor dslocamnto u A sér fundamntal das quaçõs d campo qu govrnam o movmnto d um corpo lástco sotrópco homogêno consst da rlação do dslocamnto da dformação para pqunas dformaçõs. Portanto, consdr o dslocamnto u conform mostrado na Fgura Fgura Vtor dslocamnto u provocado por uma dformação lástca. sndo O dslocamnto do corpo é dado por: x X u u r dr ur du (. 97). (. 98) logo a dfrncal d x du ur dr ur. (. 99) dx dx du (. 00) 49

50 ou sa du du dr. (. 0) dr a vlocdad é: dx dx du v dt dt dt E a aclração é ntão: d x d X d u a dt dt dt E o stramnto é dado por: dx F I u dx (. 0) (. 03) (. 04) 50

51 Análs das Dformaçõs Consdr um corpo flxívl como uma glatna, sofrndo pqunas dformaçõs, conform mostra a Fgura ') ', ', '( ' ),, ( 3 3 x x x r r x x x r r (. 05) ) ' ( ) ' ( ) ' ( ' ê x x ê x x ê x x r r u (. 06) Fgura Dformação trdmnsonal m um corpo flxívl. ond ou d tração normas dformaçõs l l x u l l x u l l x u ; ; (. 07) ou d csalhamnto tangncas dfor l l x u l l x u l l x u l l x u l l x u l l x u. ; ; ; ; (. 08) Chamando d:

52 podmos scrvr: l, (. 09) l u x. (. 0) Para uma dformação qualqur tmos: Para o caso d tmos duas stuaçõs: u, (. ) x Fgura Casos d a) dformação b) rotação do ponto d vsta d dslocamnto vtoral. Para o caso d formação pura tmos: l l l l, (. ) logo 5, (. 3)

53 para o caso d rotação pura tmos: ( ), (. 4) l l l l, (. 5) logo 0, (. 6) ( ) 0, (. 7) Para qu uma rotação pura não sa ncluda no cálculo das dformaçõs, conform é mostrado no xmplo da Fgura -. 8 acma, dvmos construr um tnsor d dformaçõs smétrco ond =, logo d uma forma gral dvos tr: u u ( ), (. 8) x x Obsrv qu sta construção também nclu as dformaçõs normas, sndo portanto uma dfnção absolutamnt gral. 53

54 .5.3 A Dfnção Tnsor das Dformaçõs Somando-s as contrbuçõs d cada dformação para ncontrar a dformação rsultant m uma dada drção tmos: u x x 3x3, (. 9) u x x 3x3, (. 0) u 3 3x 3x 33x3, (. ) Escrvndo sob a forma d matrz nós tmos qu o tnsor das dformaçõs é dado por: u u u x x x 3, (. ) Escolhndo a orgm ond o vtor u = (u, u, u 3 ) é nulo, o tnsor dá a rlaçào ntr dos vtors; o vtor coordnada r = (x, x, x 3 ) o vtor dslocamnto u = (u, u, u 3 ). 54

55 A Dfnção do Tnsor Gradnt d Dformação Dfnndo a dformação E a torção W, como sndo: ond E u u ou u W u u ou u E u,, (. 3) W u,, (. 4) u E W (. 5) ou sa, s O u é dfndo como: u u u u u x x y z (. 6) Obsrv qu s o tnsor das dformaçõs é smétrco o tnsor das torçõs é nulo, u u (. 7) logo Sndo a dformação dfnda como: W 0 (. 8) T u u (. 9) 55

56 .5.5 Equaçõs d Compatbldad 56

57 Capítulo - III TEORIA DO CAMPO ELASTOSTÁTICO CLÁSSICO RESUMO Nst capítulo é aprsntado o dsnvolvmnto da solução da quação do campo lástco lnar por mo da dfnção d problmas planos (dformação plana tnsão plana) nsrndo-s as quaçõs d compatbldad com a fnaldad d s obtr a quação bharmônca. A solução gral da quação bharmônca é dsnvolvda utlzando-s varávs complxas as condçõs d Cauchy-Rmmann. Em sguda um dsnvolvmnto matmátco é fto para s obtr as quaçõs d Kosolov. Esta quaçõs tornam-s faclmnt aplcávl ao problma da fratura lástca lnar na obtnção do campo d tnsão/dformação ao rdor d uma trnca Obtvos do Capítulo ) Aprsntado o dsnvolvmnto da solução da quação do campo lástco lnar por mo da dfnção d problmas planos (dformação plana tnsão plana) ) Insrr as quaçõs d compatbldad com a fnaldad d s obtr a quação bharmônca ) Aprsntar dsnvolvr a solução gral da quação bharmônca utlzando-s varávs complxas as condçõs d Cauchy-Rmmann. v) Aprsntar dsnvolvmnto matmátco para s obtr as quaçõs d Kosolov. 57

58 3. - Introdução Nst capítulo nós dscutrmos a tora clássca da lastcdad como uma gnralzação dos métodos matmátcos dos capítulos antrors para o contínuo 58

59 3. 3 Introdução a Tora da Elastcdad Lnar A tora da lastcdad lnar s dsnvolvu no âmbto da Físca Clássca, ants da tora atômca d Dalton, ou mlhor, ants d s conhcr a strutura íntma da matéra a naturza das lgaçõs químcas ntr os átomos ou moléculas d um sóldo. Com sso, um corpo sóldo fo studado sgundo o prncípo d causa fto (ou stímulo rsposta) usando-s a mcânca nwtonana consdrando-o como um mo contínuo. Dsta forma, a L d Hook fo stablcda pla obsrvação xprmntal (mpírca) ond obsrvou-s qu a dformação sofrda (fto ou rsposta) por um corpo é proporconal a forca aplcada por undad d ára (causa ou stímulo). Fgura Estudo d causa (força) fto (dformação) aplcado sobr um sóldo contínuo. 59

60 Fundamntos da Tora da Elastcdad Lnar A tora da lastcdad studa o comportamnto mcânco d um matral m rlação a solctação d carga ou força xtrna, sob o ponto d vsta da dformação lástca rvrsívl, até o lmar da fluênca ou ruptura. Esta tora possu su suport fundamntal na l d Hook Dnsdad d Enrga d Dformação 60

61 3.4. Matras Elástcos Lnars O assunto da lastcdad trata do comportamnto daqulas substâncas qu tm a proprdad d rstaurar su tamanho forma quando as forças qu produzm a dformação são rmovdas. Nós ncontramos sta proprdad lástca d alguma forma m todos os corpos sóldos. Quando nós mpurramos uma pça d um matral, sta cd - o matral é dformado. S a força é pquna o bastant, os dslocamntos rlatvos dos város pontos do matral são proporconas à força nós dzmos qu o comportamnto é lástco. Suponhamos qu nos tomamos um bloco rtangular d matral d comprmnto, l, largura, w, d altura, h, conform mostra a Fgura A longação d uma barra sob uma tnsão unform. S nós puxamos nas xtrmdads com uma força, F, ntão o comprmnto aumnta d uma quantdad l. Nós supormos m todos os casos qu a varação no comprmnto é uma pquna fração do comprmnto orgnal. Como é d fato, para matras como a madra, aço, o matral qubrará s a varação no comprmnto é mas do qu alguns por cnto do comprmnto orgnal. Para um grand númro d matras, os xprmntos mostram qu para xtnsõs sufcntmnt pqunas a força é proporconal a xtnsão. F l, (3. ) Esta rlação é conhcda como L d Hook. A longação l da barra dpndrá também d su comprmnto. Nós podmos rprsntar sto com o sgunt argumnto. 6

62 S cmntarmos dos blocos um ao outro, xtrmdad a xtrmdad, as msmas forças atuarão m cada bloco, cada um dstndrá l. Então a longação d um bloco d comprmnto, l, srá duas vzs maor do qu o d um bloco d msma scção transvrsal, mas com comprmnto, l. D forma a obtr um númro mas caractrístco do matral, mnos d qualqur forma partcular, nós scolhmos tratar com a razão l/l da xtnsão do comprmnto orgnal. Esta razão é proporconal à força mas ndpndnt d l. F l/l, (3. ) S xprssarmos a dpndênca d F(l) m sér d Taylor trmos: F (l) = F(l = 0) + (F/)l + ( F/l )l, (3. 3) Como os l são muto pqunos os trmos d ordm supror (l, l 3, tc) são dsprzívs portanto fcamos apnas com. F (l) = (F/l)l, (3. 4) Est prmro trmo é nulo porqu na ausênca d dformação não há forcas aplcadas. Portanto chamando d k = F/l tmos: F (l) = kl, (3. 5) A força F também dpndrá da ára do bloco. Suponhamos qu nós pomos dos blocos lado a lado. Então para uma dada longação l nós trmos a força F m cada um dos blocos, ou duas vzs a mas a combnação dos dos blocos. A força, para uma dada quantdad d longação, dv sr proporconal a ára A da scção transvrsal do bloco. F ~ Al/l, (3. 6) Para obtr a l na qual o cofcnt d proporconaldad é ndpndnt das dmnsõs do corpo, nós scrvmos a L d Hook para um bloco rtangular na forma: F = YAl/l, (3. 7) Como consqüênca drta da l d Hook nós tmos qu a dnsdad volumétrca d forças, f, é uma constant, ndpndnt da dformação, l, dada por: f = df/dv = Y/l, (3. 8) A constant Y é uma proprdad qu dpnd xclusvamnt da naturza do matral, é conhcda cpmo Modulus d Young. 6

63 A força por undad d ára é chamada d tnsão (strss), a longação por undad d comprmnto é chamada d dformação (stran). A quação pod portanto sr rscrta da sgunt forma: Ou Ou anda F/A = Yl/l, (3. 9) tnsão = Modulus d Young x dformação, (3. 0) = Y, (3. ) Exst uma outra part da L d Hook... 63

64 Tora Elastodnâmca Lnar 3.4. Equação Consttutva para o Fluxo do Potncal Vtoral (Fluxo d Dformaçõs m um Matral Sóldo Elástco-Lnar L d Hook) A sér fundamntal das quaçõs d campo qu govrnam o movmnto d um corpo lástco sotrópco homogêno consst da rlação do dslocamnto da dformação para pqunas dformaçõs. Portanto, consdr o dslocamnto u conform mostrado na Fgura sndo O dslocamnto do corpo é dado por: x X u u r dr ur du (3. ). (3. 3) logo a dfrncal d x ou sa du ur dr ur. (3. 4) dx dx du (3. 5) 64

65 du du dr. (3. 6) dr a vlocdad é: dx dx du v dt dt dt E a aclração é ntão: d x d X d u a dt dt dt E o stramnto é dado por: dx F I u dx (3. 7) (3. 8) (3. 9) Dfnndo a dformação E a torção W, como sndo: ond E u u ou u W u u ou u E u,, (3. 0) W u,, (3. ) u E W (3. ) ou sa, s O u é dfndo como: u u u u u x x y z (3. 3) Obsrv qu s o tnsor das dformaçõs é smétrco o tnsor das torçõs é nulo, u u (3. 4) logo Sndo a dformação dfnda como: W 0 (3. 5) 65

66 T u u (3. 6) A L d Hook Gnralzada para Sóldos Elástcos Lnars A L d Hook na sua forma gnralzada é dada por: Ckl kl, (3. 7) Esta quação matrcal dá orgm a uma matrz C kl d 9 lnhas 9 colunas m um total d 8 lmntos na matrz. Porém por smtra tmos qu: C kl C ; C C ; C C, (3. 8) kl kl lk kl kl Logo rduzmos os lmntos para o númro d, os quas scrtos d forma xplcta tmos; logo xx yy zz yz zx xy C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C Dfnndo o módulo d csalhamnto, G, como sndo dado por: o módulo d Posson para,como xx yy zz yz zx xy, (3. 9) yz G yz, (3. 30) zx G zx, (3. 3) yz G yz, (3. 3) G kl, (3. 33) 66

67 como: v, (3. 34) As quaçõs d tnsõs podm sr scrtas m trmos do módulo lástco, E, xx E ve ve, (3. 35) xx yy zz yy ve E ve, (3. 36) xx yy zz zz ve ve E, (3. 37) xx yy zz A matrz antror pod sr scrta como: xx yy zz yz zx xy podm scrtas como: E ve ve ve E ve ve ve E G G G xx yy zz yz zx xy, (3. 38) D uma forma gral, sto é, para um matral sotrópco as quaçõs d tnsão para v / v tmos:, (3. 39) kk v ( kk ), (3. 40) v ond G : é o módulo d csalhamnto As quaçõs d dformação podm sr scrtas m trmos do módulo lástco, E, como: xx [ xx v( yy zz )], (3. 4) E 67

68 Sabndo qu: yy zz [ yy v( xx zz )], (3. 4) E [ zzx v( xx zz )], (3. 43) E E ( v) G, (3. 44) È possívl também montar a matrz nvrsa da matrz d rgdz da quação (3. 38) acma sta passa a s chamar d matrz d flxbldad ond: Skl kl, (3. 45) Com C kl S kl, ou sa: v v E E E v v xx xx E E E yy v v yy zz E E E zz yz yz G zx zx xy xy G G, (3. 46) D uma forma gral, sto é, para um matral sotrópco as quaçõs d tnsão podm scrtas como: v ( ) v kk Ond G : é o módulo d csalhamnto, (3. 47) 68

69 3.4.4 Equação Consttutva o Fluxo d Dformaçõs m um Matral Sóldo Elástco-Lnar Mas uma vz usando as msmas consdraçõs d Gbbs para os fluxos drvados d potncas os quas podm sr gralmnt xprssos m tmos d gradnt d grandzas scalars ou vtoras, no calo da tora da lastcdad tmos a l d Hook gnralzada a qual é dada por: J Uo ε I γ como o tnsor dformação é dado por (3. 0) (3. 6): Logo (3. 48) torna-s: J Uo ou fnalmnt na notação tnsoral tmos: kk. (3. 48) E u u. (3. 49). u u u. (3. 50) J Uo E tr E. (3. 5) Obsrv qu as notaçõs (3. 0) (3. 6), assm como as notaçõs (3. 40), (3. 48), (3. 50) (3. 5) são todas quvalnts. A quação d fluxo (3. 48) ou (3. 50) também pod sr scrta m trmos da quação gral Erro! Font d rfrênca não ncontrada. proposta por Gbbs usando-s a sgunt rlação: obtndo-s E ( v). (3. 5) como JUo. ui u u ( v) (3. 53) T. u. u. u, pod-s dfnr o Tnsor d Eshlby-Rc como sndo: tmos: T T v. u. u u u I ( v) 69 (3. 54)

70 J Uo T v. (3. 55) A Vsão do Contínuo para a L d Hook Dsnvolvrmos a sgunda part da L d Hook consdrando ncalmnt a ação d um corpo sóldo lástco sotrópco qu s dforma d acordo com ssa l, a qual pod sr scrta, na sua forma gnralzada, para um corpo sotrópco da sgunt forma: Consdr um corpo m sua forma prmtva, não dformada, como mostrado pla lnha cha na Fgura O corpo m sua gomtra dformada stá mostrado pla lnha ntrrompda. Fgura Corpo dformado mostrando o ponto a dslocado após a dformação local s. Um lmnto a dsloca-s para a posção a, da dstânca S. Usando componnts parallas a uma rfrênca convnnts x, y, z tmos S. S ˆ ˆ kˆ. (3. 56) Ond,,, para dada dformação são funçõs das coordnadas d posção prmtva x, y, z dos lmntos do corpo. Podmos ntão dfnr dformaçõs normas da sgunt manra: xx, (3. 57) x yy, (3. 58) y 70

71 zz. (3. 59) z Da rsstênca dos matras, sabmos qu as tnsõs dformaçõs normas stão rlaconadas com pqunas dformaçõs pla L d Hook da sgunt manra: xx [ xx v( yy zz )], (3. 60) E yy [ yy v( xx zz )], (3. 6) E zz [ zz v( xx zz )]. (3. 6) E Ond E é o módulo lástco d Young v é o cofcnt d Posson. Rcordamos qu o módulo d csalhamnto, G, é rlaconado com E v, pla sgunt rlação E G. (3. 63) ( v) Para chgar a l d dformação d Hook, obtmos as tnsõs normas m trmos dos dslocamntos. Para fazê-lo, somamos as quaçõs (3. 60) a (3. 6) coltamos os trmos da sgunt forma: xx v yy zz [ xx yy zz ]. (3. 64) E Obsrvando as dfnçõs d (3. 56) a (3. 59) pod-s vrfcar qu o prmro mmbro da quação (3. 64) é o dvrgnt d S, ou.s, logo rordnando (3. 64), obtmos: E xx yy zz.s. (3. 65) v Rsolvndo a quação (3. 60) para xx, tmos: xx E v )], (3. 66) xx ( yy zz Somando subtrando v xx no sgundo mmbro da quação acma substtundo xx por /x, obtmos: 7

72 xx E v( xx yy zz ) v xx, (3. 67) x Emprgando a quação (3. 65) para substtur a soma das tnsõs normas, podmos rordnar a quação acma da sgunt forma: ve xx ( v) E.S, (3. 68) x v Dvdndo por ( + v) obsrvando a quação (3. 65) unto com a dfnção d, dada por: A partr d (3. 65) tmos qu: 3 xx yy zz. (3. 69) Logo podmos scrvr a quação (3. 68) na forma: E.S, (3. 70) 3 ( v) E ve E xx. S. S, (3. 7) ( v) x ( v)( v) 3 ( v) Ond os últmos trmos são adconas, cua soma é zro. Logo, pondo m vdênca os trmos smlhants E v E xx. S, (3. 7) ( v) x ( v) 3 ( v) combnado os cofcnts do trmo.s, obtmos: Ou E v E xx. S, (3. 73) ( v) x 3( v) ( v) E E xx. S, (3. 74) ( v) x 3 ( v) Substtuído agora E /( v) por G, dado d acordo com (3. 63), obtmos: xx G G. S, (3. 75) x 3 7

73 Coltando os trmos xprmndo as quaçõs corrspondnts para outros componnts d tnsão, obtmos as rlaçõs dsadas d tnsão-dslocamnto, ou sa: xx G G. S, x 3 (3. 76) yy G G. S, y 3 (3. 77) zz G G. S, (3. 78) z Dnsdad d Enrga d Dformação na Elastcdad A dnsdad d nrga d dformação, W = W( kl ), é uma função potncal das dformaçõs dfnda como: Cua convxdad condção d stabldad é dada por: Usando (3. 79) tmos: ond W ( ) d, (3. 79) kl 0 W W ( '' ) W ( ) ( '' kl kl ), (3. 80) kl dw ( ) d, (3. 8) Logo W kl kl kl C, (3. 8) W ( '' ) W ( ) ( '' kl kl ), (3. 83) 73

74 Equaçõs d compatbldad A partr da rgra d Schwartz tmos qu: W kl W kl, (3. 84) Portanto Dsta forma o Jacobano fca: kl kl, (3. 85) W kl W kl W W W kl kl, (3. 86) Logo W W kl W kl W kl 0, (3. 87) Equação Consttutva dos Matras Elástcos Lnars Consdrando o caso d matras lástcos lnars a dnsdad d nrga d dformação pod sr xpandda m sér d Taylor da sgunt forma: W ( ) W ( ) (0) kl W... kl, (3. 88) kl Consdrando qu o prmro trmo da xpansão acma s anula por sr uma posção d qulíbro, nívl zro da dnsdad d nrga potncal, tmos: W ( kl ) C kl kl, (3. 89) Combnando as quaçõs (3. 89) (3. 7) ou (3. 8) tmos: 74

75 Substtundo a quação (3. 47) m (3. 90) tmos: W W, (3. 90) v ) ( ), (3. 9) v ( Complmntardad da Dnsdad da Enrga d Dformação A xstênca d uma únca nvrsa da rlação consttutva (3. 85) kl kl, (3. 9) Assgura a xstênca da complmntardad da dnsdad d nrga d dformação, W* = W*( ), dfnda por transformada d Lgndr como: W * A partr da rgra da cada drvando a quação (3. 93) tmos: W * W W, (3. 93) Substtundo a quação (3. 7) ou (3. 8), para 0 tmos:, (3. 94) W *, (3. 95) Portanto, * W, (3. 96) É drta a tarfa d mostrar qu a convxdad d W* sgu da convxdad d W. Para um matral frágl lástco lnar a combnação d (3. 90) com (3. 93) fornc: 75

76 Pod-s scrvr para st caso qu: W W W *, (3. 97) * * ( kl ) C kl kl, (3. 98) Ond o tnsor C* kl é o nvrso do tnsor C kl da msma forma: C Sgu d (3. 96) (3. 98) qu: * * * * * * kl C kl ; C kl C lk ; C kl C kl, (3. 99) * W ( kl ) * C kl kl, (3. 00) Para um matral sotrópco a quação (3. 00) s rduz a W* torna-s: v v kk, (3. 0) E E W * v v ( kl ) kl kl kk ll, (3. 0) E E S uma l d potênca ntr tnsão dformação xst, dada pla quação (3. 7), d tal forma qu a dformação é uma função homogêna d grau n da tnsão (quação (3. 00)), ntão a quação (3. 97) mplca qu W* dv sr uma função homogêna das componnts da tnsão d grau n+. Isto sgu do torma d Eulr para funçõs homogênas, portanto: W Combnado (3. 93) com (3. 03) tmos: * * W, (3. 03) n n n W n, (3. 04) Quando a tnsão é proporconal a dformação (n = ) ntão as quaçõs (3. 97), (3. 03) (3. 04) tornam-s dêntcas a quação (3. 90) (3. 97). 76

77 3.4.0 Equação do Potncal Vtoral Gnralzado para a Dformação Elástca Dada a quação da contnudad: d. J Xo Xo. (3. 05) dt Substtundo (3. 53) m (3. 05) tmos: d u.. ui u u ( v) dt Para ct, tmos: d u. u. u u I ( v) dt Ond a drvada matral d X é dada por: Logo Caso I) d u v u u dt t. ui. u u v u ( v) Para fluxos staconáros tmos:. ui. u u v u ( v). (3. 06). (3. 07). (3. 08) u t. (3. 09). (3. 0) Caso II) Para rgms ond os fluxos são prpndculars aos gradnts( v u ) tmos:. 0 Ond v u. ui. u u 0 ( v). (3. ) Equação Consttutva para o Fluxo do Potncal Vtoral das Taxas d Dformaçõs nos Fludos Nós sabmos qu um fludo s dlata contnuamnt sob a ação d uma força. Logo, d forma análoga, ao caso d dformação lástca podmos scrvr a L d Hook 77

78 para a tora d fludos, obtr uma xprssão analítca para o fluxo d nrga sob a forma d tnsão nos fludos, a partr do qu chamamos tnsão m um ponto, ou sa, d acordo com a dscrção da tnsão m um volum qualqur, da sgunt forma: J, (3. ) kk ond é o cofcnt d vscosdad, ( ), (3. 3) x x Sgundo o msmo racocíno fto para os sóldos podmos scrvr as rlaçõs ntr os cofcnts d vscosdad, a partr da rlação (3. 5).. (3. 4) ( v) Para um fludo ncomprssívl ond o volum s consrva tmos qu o módulo d Posson val v 0. 5, logo trmos uma rlação ntr os cofcnts d vscosdad dado por:. (3. 5) 3 D uma forma gral a força vscosa pod sr dada substtundo-s (3. ) m Erro! Font d rfrênca não ncontrada. consdrando a stuação d stado staconáro, obtém-s: f sndo.( ). (3. 6) vs. J kk Fnalmnt tmos: J Uo Na forma vtoral podmos scrvr: chamando d: T ( ), (3. 7). v v v. (3. 8) T ( ) J. v, (3. 9) 78

79 Portanto, D v v. (3. 0) J Uo D tr D. (3. ) A dnsdad d momnto lnar sob a forma d taxa d csalhamnto (ou gradnt d vlocdads) é dada pla transfrênca d momnto durant a taxa d csalhamnto (ou gradnt d vlocdads) cua dnsdad gnralzada é dada por: 3.4. Equação do Potncal Vtoral Gnralzado para a Massa Fluda Dada a quação da contnudad: d. J Xo Xo. (3. ) dt Substtundo Erro! Font d rfrênca não ncontrada. m (3. ) tmos: Para = ct, tmos: d. Xo Xo. (3. 3) dt Ond a drvada matral d X é dada por: Xo d dt Xo. (3. 4) d dt. Xo Xo t Xo. (3. 5) Logo Xo. Xo t Xo. (3. 6) Caso I) Para fluxos staconáros tmos: Caso II) Xo. Xo 0. (3. 7) Para rgms ond os fluxos são prpndculars aos gradnts( ) tmos: 79

80 Ond. 0 Xo Xo 0. (3. 8) t A Equação d Movmnto Elastodnâmco Lnar A partr d condçõs d qulíbro nós tmos qu: V fdv T. ds 0 S (3. 9) ou sa, o campo das tnsõs aplcado sobr a suprfíc d um sóldo m qulíbro é gual a dnsdad volumétrca d força armaznada por st sóldo. Da condção d não-rotação tmos: r f dv r T. ds V 0 S (3. 30) As quaçõs (3. 6) (3. 7) consttum a bas matmátca para a tora da lastcdad lnar. Contudo, consdrando qu o dslocamnto u s propaga no spaço no tmpo tmos: du du dr u (3. 3) dt dr dt t ou du dr u u (3. 3) dt dt t ou dr u u u (3. 33) dt t As quaçõs d qulíbro podm a partr d agora srm xprssos d forma a nclur a propagação dnâmca da dformação u, d acordo com a ª 3ª Ls d Nwton. Para o caso státco tmos: V fdv S T. ds V udv (3. 34) 80

81 V fdv T. ds 0 S (3. 35) Aplcando o torma da dvrgênca no sgundo trmo do lado squrdo da quação (3. 34) tmos: Substtundo (3. 36) m (3. 34) tmos: V S fdv T. ds. TdV V V. TdV V udv (3. 36) (3. 37) Como o volum m (3. 37) é arbtráro l pod sr scolhdo gual ao volum d control V fcando portanto, as quaçõs do balanço do momntum (3. 34) fdv.t u ou T f u (3. 38), ond é a dnsdad do corpo. Obsrv qu d uma forma gral tmos: T. nˆ nˆ. T T (3. 39) A rlação tnsão-dformação lnar é dada a partr da L d Hook, na forma tnsoral, ond: ou E T Itr E (3. 40) T E E (3. 4) kk ond E v ve (3. 4) v v ond são as constants lástcas do sóldo E é o módulo lástco d Young v é o módulo d Posson. Substtundo (3. 40) m (3. 38) tmos: ou f. (3. 43) ItrE E u 8

82 Substtundo (3. 40) m (3. 39) tmos: logo Mas a partr d (3. 6) tmos: f. (3. 44) I tre. E u (3. 45) ItrE Enˆ T Itr nˆ Enˆ T (3. 46) E Substtundo (3. 6) ou (3. 47) m (3. 44) (3. 46) tmos: E u u (3. 47) f tr u u. I. u u u (3. 48) u u I tr nˆ u unˆ T (3. 49) ou logcamnt para a quação (3. 48) tmos: Rscrvndo (3. 50) tmos: f... u. u. u u u u u u 8 (3. 50) f.. (3. 5) ou f. (3. 5) para a quação (3. 50) tmos: sndo tmos: u u u u u nˆ. nˆ. u u T (3. 53) nˆ. (3. 54) u u nˆ. u nˆ u

83 ou Portanto, como Fcamos com, nˆ.. u nˆ. u nˆ (3. 55) u T nˆ.. u nˆ. u nˆ (3. 56) u T f. (3. 57) u u u nˆ.. u nˆ. u nˆ (3. 58) u T f k (3. 59) k. (3. 60) u u u nˆ. u nˆ. u nˆ (3. 6) u T Esta é a quação dfrncal parcal dpndnt do tmpo para problmas m lastcdad m um corpo d volum V, ond k é a dnsdad volumétrca d força (força por undad d volum) m alguma função da posção do tmpo suta a condção (3. 6), sobr a suprfíc S lgada ao volum V Problmas d Valor d Contorno 83

84

85 3.7 O Campo d Tnsão Elástco Lnar Exstm três modos fundamntas d solctação d carga ou d carrgamnto, basado nos três xos fundamntas do spaço trdmnsonal d tnsão. Fgura Modos fundamntas d solctação d carga ou carrgamnto para a fratura. Nsta scção nós dscutrmos a tora clássca da lastcdad como uma gnralzação dos métodos matmátcos dos capítulos antrors para o contínuo Equaçõs Báscas da Elastcdad para o Corpo Homogêno Isotrópco Um corpo lástco tm um únco stado natural, para o qual o corpo rtorna quando todas as cargas xtrnas são rmovdas. Todas as tnsõs, dformaçõs dslocamntos d partículas são mddas a partr dst stado natural; sus valors são contados como zro naqul stado. 85