ESTUDO DO COMPORTAMENTO MECÂNICO DE MICROESTRUTURAS DE MATERIAIS COMPÓSITOS COM MATRIZ METÁLICA PAULA VIANA QUEIROZ ANDRADE

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOTECNIA ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL ESTUDO DO COMPORTAMENTO MECÂNICO DE MICROESTRUTURAS DE MATERIAIS COMPÓSITOS COM MATRIZ METÁLICA PAULA VIANA QUEIROZ ANDRADE D57E7 GOIÂNIA 27

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3 PAULA VIANA QUEIROZ ANDRADE ESTUDO DO COMPORTAMENTO MECÂNICO DE MICROESTRUTURAS DE MATERIAIS COMPÓSITOS COM MATRIZ METÁLICA Dssrtação aprsntada ao Programa d Pós-Graduação m Gotcna, Estruturas Construção Cvl da Unvrsdad Fdral d Goás, para obtnção do título d Mstr m Engnhara Cvl. Ára d concntração: Mcânca das Estruturas. Orntador: Prof. Dr. José Júlo d Crqura Ptuba D57E7 GOIÂNIA 27

4 Dados Intrnaconas d Catalogação na Publcação na (CIP) GPT/BC/UFG Andrad, Paula Vana Quroz. Estudo do comportamnto mcânco d mcrostruturas d matras compóstos com matrz mtálca [manuscrto] / Paula Vana Quroz Andrad cxv, 5 f. : l., fgs.. Orntador: Prof. Dr. José Júlo d Crqura Ptuba Dssrtação (Mstrado) Unvrsdad Fdral d Goás, Escola d Engnhara Cvl (EEC), Programa d Pós- Graduação m Engnhara Cvl Gotcna, Estruturas Construção Cvl, Goâna, 27. Bblografa. Inclu lsta d fguras, abrvaturas símbolos.. Compósto d Matrz Mtálca 2. Plastcdad 3. Fratura Cosva 4. Elmnto d Volum Rprsntatvo I. José Júlo d Crqura Ptuba, ornt. II. Título.

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6 DEDICATÓRIA A mnha famíla, qu smpr stv comgo m todos os momntos.

7 AGRADECIMENTOS Prmramnt agradço à Dus, pla mnha vda por guar os mus passos. Aos mus pas, João Hlna, qu smpr acrdtaram no mu potncal smpr m apoaram ajudaram durant toda a mnha camnhada, ao mu rmão xmplo, Ivo, qu smpr m nsprou pssoalmnt profssonalmnt, à mnha avó amada, Dvna ao mu namorado, João Vctor, qu m du suport ncntvo durant sss dos anos, além da sua norm pacênca durant ssa jornada. Aos profssors do GECON, qu amplaram nossos conhcmntos nos prpararam para ssa nova fas, m spcal ao mu orntador Prof. Dr. José Júlo qu m acompanhou, orntou ajudou m todo o mu trabalho. Aos mus amgos colgas d mstrado, qu camnharam junto comgo nss momnto contrbuíram normmnt na mnha formação. E por fm, a CAPES, plo auxílo fnancro.

8 RESUMO Est trabalho trata d uma contrbução sobr a análs da mcrostrutura d matras compóstos com matrz mtálca (CMM) sua aplcação na Engnhara Estrutural. O objtvo gral é vrfcar as potncaldads lmtaçõs do mprgo da modlagm proposta. Para sso, consdram-s os procssos dsspatvos d plastfcação, qu ocorr na matrz, d dscolamnto, qu ocorr na rgão d ntrfac matrz/nclusão, ond a nfluênca d tas procssos na rsposta macroscópca do matral srá nvstgada. Incalmnt, a aplcabldad dst matral nas dvrsas áras d Engnhara é dscrta. Para as smulaçõs numércas do comportamnto strutural d CMM, o modlo d von Mss é utlzado na modlagm da matrz assm como um modlo d fratura cosva na smulação do procsso d dscolamnto na ntrfac. A nclusão é consdrada lástca com grand rgdz. Contudo, os procssos dsspatvos qu ocorrm na mcrostrutura qu rprcutm no comportamnto macromcânco do matral são analsados através d uma modlagm na mcroscala utlzando um procsso d homognzação basada no concto d Elmnto d Volum Rprsntatvo (EVR) no Método dos Elmntos Fntos (MEF). A tnsão dformação são médas volumétrcas dos rspctvos campos mcroscópcos sobr o EVR. Por fm, as análss numércas aprsntadas com o mprgo da modlagm proposta vdncam sua boa rprsntatvdad do comportamnto mcânco do CMM contrbundo para futuras aplcaçõs d compóstos d matrz mtálca na ngnhara. Palavras-chav: Compósto d Matrz Mtálca. Plastcdad. Fratura cosva. Elmnto d Volum Rprsntatvo. P. V. Q. ANDRADE Rsumo

9 ABSTRACT Ths work dals wth analyss of th mcrostructurs composd of mtal matrx composts (MMC) and ts applcaton n Structural Engnrng. Th man goal of ths ssay s consdrd th potntalts and lmtatons whn usng th modlng actvty suggstd. For ths, t s ntndd to consdr th dsspatv procsss of plastfcaton, occurrng n th matrx, and phas dbondng, that occurs n th matrx/ncluson ntrfac rgon, whr th nflunc of such procsss on th macroscopc rspons of th matral wll b nvstgatd. Intally, th applcablty of ths matral n th varous Engnrng aras s dscrbd. For th numrcal smulatons of th MMC structural bhavor, th von Mss modl s usd n th modlng of th matrx and a cohsv fractur modl s usd n th smulaton of th phas dbondng procss. Incluson s consdrd lastc wth grat rgdty. Howvr, th dsspatv procsss that occur n th mcrostructur and that affct th macro mchancal bhavor of th matral ar analyzd through a mcroscal modlng usng a homognzaton procss basd on th concpt of Rprsntatv Volum Elmnt (RVE) and th Fnt Elmnt Mthod (FEM). Th stran and dformaton ar volumtrc mans of th rspctv mcroscopc flds on th EVR. Th gnral objctv s to vrfy through numrcal analyss th potntalts and lmtatons of th us of th proposd modlng for futur applcatons of mtallc matrx composts n ngnrng, whch shows a good rprsntatvnss of th mchancal bhavor of th CMM. Palavras-chav: Mtallc Matrx Compost. Plastcty. Cohsv Fractur. Rprsntatv Volum Elmnt. P. V. Q. ANDRADE Abstract

10 LISTA DE FIGURAS Fgura. Dfrnts scalas d obsrvação (BITTENCOURT,999)... 9 Fgura.2 Exmplos d matras compóstos d matrz mtálca (VENTURA, 29) Fgura 2. Esquma rprsntatvo da Multscala (BORGES, 25) Fgura 2.2 Mcrostrutura d um aço com um possívl modlo para o EVR (LOPES, 23) Fgura 2.3 Macroscala contínua com a mcroscala local (GODOI, 26) Fgura 2.4 Esquma rprsntatvo da Multscala (GIUSTI, 29) Fgura 2.5 Rprsntação squmátca da dformação d um EVR sob o modlo d Taylor (LOPES, 23) Fgura 2.6 Rprsntação squmátca da dformação d um EVR sob a condção d frontra lnar (LOPES, 23) Fgura 2.7 Gomtras do EVR pródco. Células quadradas hxagonas (GIUSTI, 29) Fgura 2.8 Rsumo dos contornos cnmátcos do EVR suas rspctvas dformaçõs, adaptado plo autor (GIUSTI, 29) Fgura 3. Imagm da suprfíc d fratura d Poltlno d Alta Dnsdad/Inclusõs d Vdro. (a) Dsprsão d nclusõs spaços vazos na matrz (b) Dscolamnto complto na ntrfac matrz/nclusão (ZANG CHEN, 22) Fgura 3.2 Modlagm consttutva da mcrostrutura d CMMs (SANTOS t al., 26) Fgura 3.3 Gráfco do comportamnto plástco a) Ral b) Idalzado (PROENÇA, 988) 54 Fgura 3.4 Efto Bauschngr (PROENÇA, 988) Fgura 3.5 Comportamnto plástcos gras (PROENÇA, 988) Fgura 3.6 Crtéro d von Mss (Autor)... 6 Fgura 3.7 O stado plano d tnsão, adaptada plo autor, (SOUZA NETO t al., 28)... 6 Fgura 3.8 Modos d fraturamnto (KANG, 22) Fgura 3.9 Confguração do modlo d Dugdal (LEONEL, 29)... 7 Fgura 3. Fac transvrsal cosva d um corpo trdmnsonal (ORTIZ E PANDOLFI, 999)... 7 Fgura 3. Modlo do Elmnto Fnto d Contato Fratura Cosva (PITUBA E SOUZA NETO, 25) P. V. Q. ANDRADE Lsta d Fguras

11 Fgura 4. Modlo utlzado para a análs do comportamnto d mcrostruturas d CMMs (Autor)... 8 Fgura 4.2 Tnsão d csalhamnto ( xy ) x Dformação dstorconal ( xy ) (Autor) Fgura 4.3 Tnsão normal ( x ) x Dformação normal ( x ) (Autor) Fgura 4.4 Tnsão normal ( y ) x Dformação normal ( y ) (Autor) Fgura 4.5 Tnsão d csalhamnto ( xy ) x Dformação dstorconal ( xy ) (Autor) Fgura 4.6 Tnsão normal ( x ) x Dformação normal ( x ) (Autor) Fgura 4.7 Tnsão normal ( y ) x Dformação normal ( y ) (Autor) Fgura 4.8 Tnsão d csalhamnto ( xy ) x Dformação dstorconal ( xy ) (Autor) Fgura 4.9 Tnsão normal ( x ) x Dformação normal ( x ) (Autor) Fgura 4. Tnsão normal ( y ) x Dformação normal ( y ) (Autor) Fgura 4. Tnsão d csalhamnto ( xy ) x Dformação dstorconal ( xy ) (Autor) Fgura 4.2 Tnsão d csalhamnto ( xy ) x Dformação dstorconal ( xy ) (Autor) Fgura 4.3 Tnsão normal ( x ) x Dformação normal ( x ) (Autor) Fgura 4.4 Tnsão normal ( y ) x Dformação normal ( y ) (Autor) Fgura 4.5 EVR m Procsso d Dscolamnto (Autor) Fgura 4.6 Tnsão d csalhamnto ( xy ) x Dformação dstorconal ( xy ) (Autor)... 9 Fgura 4.7 Tnsão normal ( x ) x Dformação normal ( x ) (Autor)... 9 Fgura 4.8 Tnsão normal ( y ) x Dformação normal ( y ) (Autor)... 9 Fgura 4.9 Tnsão d csalhamnto ( xy ) x Dformação dstorconal ( xy ) (Autor) Fgura 4.2 EVR m Procsso d Dscolamnto Fgura 4.2 Comparação ntr as curvas do matral homognzado com vazo, malhas 2 (Autor) Fgura 4.22 Gráfco smulando o dscarrgamnto, para obtnção das dformaçõs plástcas, malha (Autor) Fgura 4.23 L d ncruamnto para matral com vazo (Autor) Fgura 4.24 Comparação ntr as curvas do matral homognzado com nclusão lástca, malhas 3 4 (Autor) Fgura 4.25 Gráfco smulando o dscarrgamnto, para obtnção das dformaçõs plástcas, malha 3 (Autor) Fgura 4.26 L d ncruamnto para matral com uma nclusão lástca (Autor) Fgura 4.27 Comparação ntr as curvas do matral homognzado com nclusão plástca, malhas 3 4 (Autor) P. V. Q. ANDRADE Lsta d Fguras

12 Fgura 4.28 Gráfco smulando o dscarrgamnto, para obtnção das dformaçõs plástcas, malha 3 (Autor) Fgura 4.29 L d ncruamnto para matral com uma nclusão plástca (Autor) Fgura 4.3 Comparação ntr os três modlos d ndurcmnto (Autor) Fgura 4.3 EVRs para análs da nfluênca da dstrbução das nclusõs. (a) Modlo. (b) Modlo 2. (c) Modlo 3. (d) Modlo 4. (Autor)... Fgura 4.32a Rlação d tnsão-dformação na drção x para dfrnts modlos d dstrbução d nclusõs (Autor)... Fgura 4.32b Zoom da rlação d tnsão-dformação na drção x para dfrnts modlos d dstrbução d nclusõs (Autor)... Fgura 4.33 EVRs para análs da nfluênca do aumnto d volum d nclusõs. Dstrbução I: (a)%. (b)2%. (c)3%. (d)4%. ()5%. (f)6%. Dstrbução II: (g)%. (h)2%. ()3%. (j)4%. (k)5%. (l)6%. (Autor)... 3 Fgura 4.34a Rlação d tnsão-dformação na drção x para os dfrnts modlos d quantdad dstrbução das nclusõs (Autor)... 3 Fgura 4.34b Zoom da rlação d tnsão-dformação na drção x para os dfrnts modlos d quantdad dstrbução das nclusõs (Autor)... 4 P. V. Q. ANDRADE Lsta d Fguras

13 LISTA DE ABREVIATURAS CCC Estrutura cúbca d corpo cntrada CFC Estrutura cúbca d fac cntrada CMM Compósto d matrz mtálca UCR Undad clular d rptção EPT Estado plano d tnsão EVR Elmnto d volum rprsntatvo HC Estrutura hxagonal compacta MEF Método d Elmntos Fntos MFEP Mcânca da Fratura Elasto-Plástca MFLE Mcânca da Fratura Lnar Elástca PEP Pol-tlno-proplno PTV Prncípo dos Trabalhos Vrtuas MSV Mcroscopa d Sonda d Varrmnto P. V. Q. ANDRADE Lsta d Abrvaturas

14 LISTA DE SÍMBOLOS SÍMBOLOS ROMANOS A b B D D D p D n+ D E f f y F F b F Ára Campo d forças d volum Matrz qu rlacona dslocamntos com dformaçõs Dâmtro Matrz consttutva tangnt consstnt Matrz tangnt lastoplástca consstnt Oprador consttutvo tangnt homognzado Oprador tangnt consstnt com a l consttutva ncrmntal mcroscópca Módulo d lastcdad Tnsor consttutvo smétrco Funconal consttutvo Vtor d forças Vtor d forças ratvas ao campo d dslocamnto mposto Vtor d forças ntrnas nos nós ntrnos F nt Forças ntrnas do lmnto fnto G J 2 K K l L l ht Módulo d lastcdad transvrsal Tnsão dsvadora Módulo volumétrco Matrz d rgdz tangnt do EVR Comprmnto caractrístco do domíno macrocontínuo Comprmnto Comprmnto caractrístco das htrgndads P. V. Q. ANDRADE Lsta d Símbolos

15 l n N R t t t t v u u u u ~ u V V V Comprmnto caractrístco do EVR Vtor normal a fssura Númro d lmntos fntos Valor crítco Tnsão cosva ao longo da fssura Campo d forças xtrnas Campo d forças ntrnas Campo d forças qu atua no vazo Campo d dslocamnto Campo d dslocamnto mcroscópco Campo d dformação macroscópca Campo d flutuação do dslocamnto Dslocamntos nodas do lmnto fnto Volum Volum do lmnto Volum na mcrostrutura SÍMBOLOS GREGOS d c n s Parâmtro qu rlacona os modos d abrtura normas csalhants Multplcador plástco Dslocamnto d abrtura ftva Abrtura crítca Abrtura dvdo ao modo I Abrtura dvdo ao modo II Vtor d forças ntrnas rlaconado ao lado (postvo ou ngatvo) do lmnto fnto Tnsor d dformaçõs P. V. Q. ANDRADE Lsta d Símbolos

16 p ~ p y d Tnsor d dformaçõs lástcas Tnsor d dformaçõs plástcas Campo d dformação mcroscópcas do EVR Tnsor d dformação homognzado na mcroscala Campo d flutuação da dformação Dfrnça dos campos d dslocamntos Fator d pnaldad Tnsão Tnsão d tração normal cosva Tnsão mcroscópca Tnsor d tnsão homognzado na mcroscala Tnsão d scoamnto Cofcnt d Posson Enrga cosva lbrada Suprfíc d scoamnto Ângulo d dlatânca Enrga d dformação lástca armaznada Enrga d dformação lástca armaznada d dstorção Enrga d dformação lástca armaznada volumétrca Função do potncal Domíno do macrocontínuo Domíno do EVR Contorno do ponto mcroscópco m s Domíno mcroscópco das nclusõs do EVR Domíno mcroscópco da matrz do EVR Domíno dos sóldos P. V. Q. ANDRADE Lsta d Símbolos

17 Domíno mcroscópco dos vazos do EVR Conjunto das nclusõs do EVR Conjunto dos vazos do EVR Campo d dslocamntos vrtuas cnmatcamnt admssívs SÍMBOLOS MATEMÁTICOS S Oprador gradnt smétrco do campo d dslocamnto u Oprador d multplcação crculado vtoral Está contdo m Unão Intrsção Igual a Prtncnt a Qualqur P. V. Q. ANDRADE Lsta d Símbolos

18 SUMÁRIO CAPÍTULO -- INTRODUÇÃO SÍNTESE DO CONTEÚDO MICROESTRUTURA MATERIAIS COMPÓSITOS COM MATRIZ METÁLICA (CMM) JUSTIFICATIVA OBJETIVOS SUMÁRIO DOS CAPÍTULOS CAPÍTULO 2 -- MODELAGEM DA MICROESTRUTURA SEGUNDO UMA ABORDAGEM MULTIESCALA INTRODUÇÃO À ANÁLISE MULTIESCALA DEFINIÇÃO DE UM ELEMENTO DE VOLUME REPRESENTATIVO (EVR) Campo d Dslocamnto Flutuação dos Dslocamntos no EVR FORMULAÇÃO Equlíbro no EVR Prncípo d Hll-Mandl Tnsão Homognzada Condçõs d Contorno Impostas no EVR Modlo d Taylor Modlo d Dslocamnto Lnar no Contorno do EVR Modlo d Flutuaçõs Pródcas d Dslocamntos no Contorno do EVR Rlação ntr os modlos ctados Módulo Consttutvo Tangnt Homognzado Modlo d Taylor Modlo d Dslocamnto Lnar no Contorno do EVR Modlo d Flutuaçõs Pródcas d Dslocamntos no Contorno do EVR... 5 CAPÍTULO 3 -- MODELOS CONSTITUTIVOS EMPREGADOS INTRODUÇÃO À TEORIA DA PLASTICIDADE P. V. Q. ANDRADE

19 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Modlo d von Mss Consdraçõs Gras Aspctos Computaconas INTRODUÇÃO À MECÂNICA DA FRATURA Modlo d Fratura Cosva Modlo Consttutvo d Fratura Cosva Elmnto Fnto d Contato... 7 CAPÍTULO 4 -- ANÁLISES NUMÉRICAS DE CMMS SENSIBILIDADE PARAMÉTRICA DO MODELO EMPREGADO NA INTERFACE DESLOCAMENTO LINEAR X FLUTUAÇÃO PERIÓDICA INFLUÊNCIA DO PARÂMETRO IMPORTÂNCIA DO DESCOLAMENTO EM REGIME DE COLAPSO NO CMM PROPOSIÇÃO DE X HOMOGENEIZADO DA MICROESTRUTURA INFLUÊNCIA DA DISTRIBUIÇÃO DE INCLUSÕES INFLUÊNCIA DA QUANTIDADE E DISTRIBUIÇÃO DE INCLUSÕES... 2 CAPÍTULO 5 -- CONCLUSÕES E SUGESTÕES CONCLUSÕES SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS... 6 REFERÊNCIAS... 7 P. V. Q. ANDRADE Sumáro

20 CAPÍTULO INTRODUÇÃO. SÍNTESE DO CONTEÚDO Dsd o comço da humandad, os matras marcavam o progrsso das cvlzaçõs. Assm, com o passar dos anos, os matras xstnts já não ram mas sufcnts para a utlzação, sndo ntão crados os matras compóstos, orgnados das prmras socdads agrícolas. Os prmros compóstos foram pards rforçadas com fxs d palha, arcos carroças ftos com paus ossos, ntr outros. Então sts foram sndo substtuídos por matras mas rsstnts. Dntro dss contxto, o matral a sr studado nst trabalho é o compósto d matrz mtálca rforçado, compósto ss, largamnt utlzado nas ndústras aronáutca, arospacal automoblístca, tndo como xmplos mas spcífcos: avõs mltars, capacts mltars com psos mnors, vículos spacas, ntr outros. Atualmnt, os mrcados d matras compóstos stão cada vz mas dfunddos. Estudos rcnts mostram qu o maor mrcado contnua a sr o dos transports (3%), mas a construção cvl (9,7%), marnha (2,4%), qupamnto létrco/ltrônco (9,9%), produtos d consumo (5,8%), aparlhos qupamntos comrcas são também mrcados m grand xpansão. O mrcado arospacal d aronavs rprsnta apnas,8 % o qu é surprndnt tndo m conta a sua mportânca na orgm dos compóstos. (VENTURA, 29, p.2) Portanto, o trabalho studa o comportamnto mcânco d compóstos d matrz mtálca rforçados por nclusõs com alto grau d rgdz quando submtdos às açõs d carrgamnto d naturza mcânca, vrfcando as potncaldads lmtaçõs do mprgo d uma modlagm do comportamnto mcânco da sua mcrostrutura. D modo mas spcífco, prtnd-s studar a nfluênca da consdração do dscolamnto da ntrfac matrz/nclusão na rsposta macroscópca do compósto. Para tanto, um modlo consttutvo basado na Mcânca da Fratura srá utlzado, assm como o modlo d Plastcdad d von Mss. P. V. Q. ANDRADE Capítulo

21 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz MICROESTRUTURA Um concto básco para o studo d qualqur matral é o concto d mcrostrutura. A mcrostrutura d um matral comprnd as caractrístcas físcas do matral qu podm sr obsrvadas ao mcroscópo (um mcroscópo pod produzr um aumnto d. vzs até mas ou mnos.5. vzs, dpndndo d sua qualdad, logo a mcrostrutura cobr uma faxa d caractrístcas ntr E -9 mtros até E -3 mtros), o qual é o oposto da macrostrutura, qu é a strutura qu pod sr obsrvada a olho nu. Alguns autors dfnm qu a mcrostrutura também pod sr dfnda como o arranjo básco dos núclos létrons do matral dos dftos xstnts m scala atômca, aftando ntão drtamnt profundamnt as proprdads d um matral sua aplcabldad, sndo consdrado um matral ansótropo, ou sja, com dfrnts proprdads mcâncas m suas drçõs. Já numa vsão macrostrutural, o matral pod sr consdrado como sótropo, o qual tm as msmas proprdads mcâncas ndpndnt da drção. Na Fgura. são vstas as dfrnts scalas d obsrvação da strutura, confgurando-s a mcroscala, a msoscala a macroscala. Fgura. Dfrnts scalas d obsrvação (BITTENCOURT,999) A strutura dos mtas é polcrstalna, sndo ntão um mosaco d crstas qu dfrm ntr s pla drção. Dvdo a sso, xstm modos d altrar a mcrostrutura, como por dformação plástca, rcrstalzação, adção d novas fass manpulação das fass já xstnts. Mutos mtas são solúvs uns nos outros, formando ntão as lgas. Logo, as lgas são matras mtálcos com mas d uma fas. Para crar uma lga xstm duas formas, por nsrção d um átomo no ntror dos monocrstas ou por substtução d um átomo por outro, ou sja, sso altra as proprdads naturas do mtal. P. V. Q. ANDRADE Capítulo

22 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz... 2 Os crstas d mtas puros, m sua maora, são compostos por uma rptção d struturas d monocrstas, sndo stas: strutura cúbca d corpo cntrado (CCC), d frro, strutura cúbca d facs cntradas (CFC), d cobr alumíno, strutura hxagonal compacta (HC), d znco ttâno. Na strutura CCC, cada íon tm ss vznhos mas próxmos com carga oposta. Já na strutura CFC, cada íon tm oto vznhos mas próxmos com a carga oposta. Os monocrstas aprsntam alguns planos d maor dnsdad d átomos, ofrcndo ntão uma rsstênca mnor ao scorrgamnto rlatvo ntr as parts, podndo ocorrr à clvagm. Sgundo Pronça (2), a clvagm é o scorrgamnto ntr planos crstalográfcos qu acontc com ruptura das lgaçõs atômcas. As técncas da mcromcânca para a produção d nformação nos nívs macroscópco mcroscópco são utlzadas para a prcsão das caractrístcas globas m vsta da mcânca contnua, assm como a avalação dos possívs modos d falhas qu conduzm a uma falha fnal d matras htrogênos. O modlo mcromcânco provdnca um procdmnto fcnt para dtrmnar projtar as proprdads dos matras compóstos. Logo, é prcso ntndr bm ntrprtar corrtamnt as altraçõs na strutura ntrna dos matras, pos sso tm um papl fundamntal na formulação dos modlos consttutvos, prmtndo rlaconar mudanças ras ocorrdas no nívl d mcroscala com fnômnos vdncados macroscopcamnt. Daí surg a mportânca d ralzar psqusas com dsnvolvmnto aplcaçõs d modlos da mcrostrutura d matras d modo a obtr rspostas macroscópcas complxas, as quas modlos fnomnológcos já não rproduz com tanta fcênca. A modlagm da mcrostrutura sua rprcussão na macrostrutura tm sdo alvo d váras psqusas no mo cntífco mundal, sndo, portanto, um tma atual d ntrss..3 MATERIAIS COMPÓSITOS COM MATRIZ METÁLICA (CMM) Ants d aprsntar a dfnção d um matral compósto com matrz mtálca, é prcso ntndr o qu é um matral compósto. Matras compóstos fazm part do nosso da a da. Els podm sr ncontrados m avõs, carros, bccltas ou raquts d têns, ntr tantos outros. Com o passar dos anos, os matras xstnts já não stavam mas sndo sufcnts para rspondr aos rqustos d novas tcnologas, ntão fo crada uma combnação d matras para qu atndss a ssa dmanda. P. V. Q. ANDRADE Capítulo

23 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz... 2 Matras compóstos são matras formados por duas ou mas fass, sndo ssas d dfrnts proprdads químcas físcas. Sparadamnt, os consttunts do compósto mantêm suas caractrístcas, porém, quando msturadas, formam um composto com proprdads mpossívs d s obtr com apnas um dls. Mlton (22) afrma qu compóstos são matras qu aprsntam htrogndads m scalas d comprmnto qu são muto maors do qu a scala atômca, prmtndo assm a utlzação d quaçõs da físca clássca nas scalas d comprmnto da htrogndad, porém são statcamnt homogênas m scalas d comprmnto macroscópco, ou, plo mnos m algumas scalas d comprmnto ntrmdáro. Em suma, no prsnt trabalho, um matral compósto é formado por um matral colado na matrz mtálca quando o compósto é submtdo a um stado d xctação, l s dscola, grando ntão o dano, através da prda d cosão ntr as fass. As varávs são a lgação do qu acontc na mcrostrutura para a macrostrutura. Os matras podm sr muto parcdos na macrostrutura muto dfrnts na mcrostrutura. A classfcação d um matral compósto pod sr fta consdrando dos tpos (ou duas fass): matrz (fas contínua) rforço (fas dsprsa). A fas contínua, por sua vz, tm três classfcaçõs: matrz mtálca, matrz crâmca ou matrz polmérca, as quas confrm strutura ao matral compósto, através do prnchmnto dos vazos qu fcam ntr os rforços mantndo os msmos nas suas posçõs. Pod-s, portanto, surgr uma snrga ntr matrz rforço, transformando no matral compósto fnal, com proprdads não xstnts nos matras orgnas. Os mtas são rsstnts bons condutors d ltrcdad, mutas d suas proprdads são atrbuídas ao su grand númro d létrons, logo, as matrzs mtálcas têm maor rsstênca maor ponto d fusão. Os matras crâmcos são compostos com lmntos mtálcos não mtálcos, nclundo mnras arglosos, cmnto vdros, qu são duros, porém muto qubradços. Logo, as matrzs crâmcas podm sr utlzadas para rsstênca tmpraturas xtrmamnt lvadas, prdndo-s ntão a tnacdad. Por fm, os polímros são matras naturas ou sntétcos, comprndndo os plástcos borrachas, os quas são gralmnt compostos orgâncos com altos psos molculars as matrzs polmércas têm m gral uma baxa rsstênca um baxo ponto d fusão. A fas dsprsa ou d rforço são os qu ralçam proprdads mcâncas, ltromagnétcas ou químcas do matral como um todo também é classfcada m três catgoras: fbras contínuas, fbras dscontínuas whskrs, ou partículas (Smth, 998). P. V. Q. ANDRADE Capítulo

24 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Uma forma mas prcsa para ndcar os consttunts d um compósto é como rforço/matrz, por xmplo, carbono/alumíno, qu sra uma matrz mtálca d alumíno rforçada com fbras d carbono, ou carbono/poxy, qu sra uma matrz polmérca d rsna póx rforçada com fbras d carbono. Além dsss, xstm város outros xmplos. Dntr os dfrnts tpos d matras compóstos, as fbras são as mas utlzadas hoj m da, são consdradas tcnologcamnt mas mportants. Suas vantagns são númras, nclundo rsstênca mcânca um módulo d lastcdad xcpconalmnt lvado, comparado com outros matras qu têm a msma dnsdad. Um xmplo muto usual são as fbras d carbono. O comprmnto da fbra a fcênca da sua lgação com a matrz tm uma nfluênca d grand rlvânca para qu sjam garantdos valors lvados d rsstênca rgdz do compósto. As fbras muto curtas rsultam m uma transmssão pouco fcnt da carga xtrna aplcada sobr a matrz contínua, logo é prcso um comportamnto crítco mínmo da fbra, para qu assm xsta uma transmssão ftva dos sforços, assgurando assm as maors rsstêncas rgdz possívs na drção m qu a fbra s alnha. D acordo com Mathws Rawlngs (994), os rforços m forma d fbras s caractrzam plos sus comprmntos muto maors qu a dmnsão transvrsal. Sndo assm, as orntaçõs do rforço d fbras contínuas gralmnt são un ou bdrconas, tndo a rlação d comprmnto, L, dâmtro, D, maor do qu (L/D> ). Já para as fbras dscontínuas, as orntaçõs podm sr alatóras ou sgundo as drçõs prfrncas, tndo a rlação L/D gralmnt mnor qu 5 (L/D< 5). Por fm, as dmnsõs das partículas são aproxmadamnt guas m todas as drçõs sua gomtra pod sr sférca, cúbca ou rrgular sua orntação pod sr, m gral, alatóra ou sgur uma organzação spcífca. Os consttunts do rforço proporconam mlhoras nas proprdads tas como a rsstênca à tração, rsstênca à dformação, rsstênca à fadga, rsstênca ao choqu térmco, rsstênca à corrosão, rsstênca à condutvdad, rgdz, podndo sr fto para facultar uma ou todas ssas caractrístcas, dpndndo do qu o novo matral rqur. Sgundo Vntura (29), é prcso crar uma ntrfac ntr a matrz o rforço, qu possa adquar a rgdz do rforço com a ductldad da matrz para qu haja uma boa ntração ntr ambos, sndo ssncal qu a ductldad da matrz sja mínma ou msmo nula para qu o compósto aprsnt um comportamnto rlvant. P. V. Q. ANDRADE Capítulo

25 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz As matrzs mtálcas são lmtadas m algumas caractrístcas dvdo ao fator tmpratura, porém a maora dos mtas lgas consttum boas matrzs, sndo qu xstm poucas aplcaçõs a baxas tmpraturas. As prmras aplcaçõs dos compóstos com matrz mtálca foram struturas nas ndústras aronáutca arospacal, na forma d chapas ou pças forjadas dvdo à ncssdad d componnts lvs rsstnts. Para aplcaçõs arospacas, apnas os mtas lvs d baxa dnsdad aprsntam proprdads rlvants, como o ttâno, alumíno magnéso, sndo assm, nst campo as matrzs mtálcas têm um grand potncal. Para ss tpo d matral compósto, normalmnt é comum utlzar rforço d fbras dscontínuas ou d partículas, plo fato dls prmtrm a produção por técncas comuns d procssamnto d matras mtálcos. Como sts matras aprsntavam um bom dsmpnho, a ndústra automoblístca ncorporou tm ncorporado os compóstos (d uma manra gral) cada vz mas, sndo qu uma das ponras no caso dos compóstos com matrz mtálca fo a Toyota do Japão (níco da década d 6) qu passou a psqusar sss matras trmnou por lançar, ntr outros componnts, pstõs d vículos automoblístcos ond a cabça dos msmos é rforçada por fbras d alumíno blas qu podram rsstr as mas altas tmpraturas d trabalho anda tndo pards mas fnas qu rduzm o pso dos msmos aumnta o rndmnto dos motors. Na década d 7, nos Estados Undos, foram ftas mutas psqusas sobr a aplcação d compóstos d matrz mtálca m lançadors d mísss aronavs mltars. Com o dsnvolvmnto aclrado dssas psqusas nas últmas décadas, não só a ndústra automoblístca passou a s ntrssar plos compóstos, como também xstm aplcaçõs qu abrangm as ndústras d matras sportvos (possbldad d usar pças mas lvs mas rsstnts), ndústras bélcas (xmplo: stabldad térmca ntr outras proprdads), ngnhara cvl (pod-s ctar o studo d fraçõs volumétrcas d agrgados d concrto por Farag t al. (29), Borgs (25), Godo (26), Borgs t al. (27), msturas asfáltcas por Souza (25), studo d rochas por Sangr (28), alguns mas), áras médcas outras, qu passaram a usar os compóstos com matrz mtálca também outros tpos d compóstos. Atualmnt a Honda do Japão faz psqusas com o ntuto d substtur parts d blocos d motors qu utlzavam frros funddos por compóstos com matrz mtálca rforçada por fbras d alumíno carbono. Prtnd-s aumntar a rsstênca ao dsgast às altas tmpraturas, utlzando um compósto d matrz d alumíno qu contm 2% d fbras d P. V. Q. ANDRADE Capítulo

26 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Al 2 O 3 9% d fbras d graft, no rvstmnto dos clndros do motor. É vsto ntão qu a ntrodução dos compóstos d matrz mtálca nos componnts d automóvs acontc prncpalmnt por mo das lgas d alumíno, aumntando assm a rsstênca dsss matras aprovtando o su potncal para a rdução do pso. Na Fgura.2 é vsto alguns xmplos d matras compóstos d matrz mtálca. Fgura.2 Exmplos d matras compóstos d matrz mtálca (VENTURA, 29) D acordo com Chawla Shn (2), os mcansmos d fortalcmnto vstos nos matras compóstos d matrz mtálca podm sr dvddos m duas catgoras: rforço drto rforço ndrto. O rforço drto m partículas rforçadas d mtas é uma xtnsão dos mcansmos compóstos d fortalcmntos clásscos utlzados para dscrvr o comportamnto dos compóstos rforçados com fbras contínuas. Sob uma carga aplcada, o carrgamnto é transfrdo da matrz fraca, através da matrz/ntrfac rforçada, para o típco rforço d maor rgdz. Dsta manra, o fortalcmnto ocorr plo rforço transportando grand part do carrgamnto aplcado. Dvdo ao baxo aspcto da rlação das partículas matras, o carrgamnto não é tão fcnt quanto no caso d fbras contínuas rforçadas, mas anda é sgnfcatvo para forncr o fortalcmnto. Nos compóstos d matrz mtálca, quando um rforço crâmco d alta rgdz é ncorporado m uma lga mtálca, a ncompatbldad térmca ntr a alta xpansão da matrz mtálca a baxa xpansão crâmca é tpcamnt muto alta. Assm, após o rsframnto, ocorr à formação d luxaçõs no rforço/matrz d ntrfac, dvdo à ncompatbldad térmca. Dssa manra, a ndução térmca da prfuração do dslocamnto rsulta no rforço ndrto da matrz. A mdda ndrta do rforço é mas dfícl d quantfcar do qu a drta. P. V. Q. ANDRADE Capítulo

27 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Nos matras compóstos com matrz mtálca, a típca fas d rforço é muto mas dura/rsstnt do qu a matrz. Assm, uma fração sgnfcatva da tnsão é ncalmnt suportada plo rforço. Sgundo Prado (23), m problmas d ngnhara é d grand ntrss conhcr o comportamnto global d matras compóstos para obtr projtos qu aprfçom sgurança baxo custo. Justfca-s, portanto, dsnvolvr um método d homognzação qu prmta calcular os cofcnts ftvos dos compóstos. Também é d ntrss nvstgar possívs comportamntos anômalos qu possam aparcr da combnação d matras qu formam as fass do compósto qu ndvdualmnt não aprsntm nnhuma falha nos crtéros d stabldad. Assm, uma qustão qu surg é sabr s o matral homognzado também aprsnta falhas nos crtéros d stabldad. Os matras compóstos possum, como já fo dto, duas ou mas fass, as suas ntraçõs orgnam um comportamnto global dfrnt do d cada matral consttunt, logo as stmatvas calculadas para as proprdads dsts matras dtrmnam a qualdad das aproxmaçõs obtdas m uma smulação numérca. Entrtanto, a modlagm dtalhada d struturas com ss tpo d matral acarrta, normalmnt, m custos computaconas muto lvados. Por outro lado, para a modlagm mcromcânca, a mcrostrutura dos matras da matrz mtálca pod sr rprsntada por uma undad clular d rptção (UCR) (ABADI, 22). As opraçõs ralzadas sobr a UCR a comprnsão da sua rsposta por comparação com a L d Hook gnralzada ou prncípos nrgétcos prmtm dtrmnar aproxmaçõs às proprdads homognzadas do matral. Normalmnt a UCR é sujta a uma dformação unaxal aumntada para um valor consdrávl para avalar os comportamntos d ambos os matras, lástco plástco, da matrz mtálca compósta. Sgundo Böhm (998), os dtalhs gométrcos físcos da UCR são procssados d modo a darm lugar a um conjunto únco d proprdads médas, rprsntatvas das htrogndads do matral, stas proprdads podm sr o rsultado d problmas d studo do comportamnto homognzado ou valors ntrmédos para srm utlzados subsquntmnt m análss da strutura global. Para smulaçõs numércas mas complxas, normalmnt utlza-s o método dos lmntos fntos, vsando contornar part das lmtaçõs dos métodos clásscos. Exstm mutas publcaçõs qu studam os matras compóstos, há váras nvstgaçõs numércas analítcas. Dntr las, Tanaka t al. (97) nvstgaram a formação da cavdad na ntrfac d uma nclusão m uma matrz sférca dformada plastcamnt. Tvrgaard P. V. Q. ANDRADE Capítulo

28 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz (98) studou os ftos d vazos mcroscópcos sobr o mcansmo d falha d um matral dúctl, analsando-o por um mo lastoplástco com uma matrz duplamnt pródca d vazos clíndrcos crculars. Jasuk Tong (989) nvstgaram o fto da ntrfac no módulo lástco ftvo transvrsal do compósto, ls consdraram dos modlos utlzaram a tora Mor Tanaka para obtr o campo d tnsão para nclur o fto da ntração da fbra. Os rsultados obtdos a partr da análs mcromcânca foram utlzados para prvr o módulo lástco macroscópco d compóstos com as ntrfacs lgadas d forma mprfta, foram comparados com o caso prftamnt adrdo. Em 99, Tvrgaard studou, através d um modlo mcro mcânco, as proprdads d tração d um mtal dúctl rforçado com fbras curtas. A comparação dos rsultados para fbras rígdas, com rsultados qu rprsntam a lastcdad da fbra mostram qu, para além da gama d lastcdad ncal, o comportamnto tnsão-dformação global é domnado pla plastcdad da matrz. Pagano Tandon (99) studaram os módulos lástcos térmcos fcazs da fbra contínua rforçada m compóstos d matrzs frágs m qu ocorr a dscolagm o dslzamnto ntr os consttunts. A tora do módulo ftvo rlacona as médas dos tnsors d tnsão dformação sobr um lmnto d volum rprsntatvo (EVR) através das constants lástcas ftvas a partr dsso é fta a mdção físca da tnsão composta. Els também dmonstraram qu o tnsor d rgdz ftva do compósto torna-s assmétrco sobr crtas condçõs ntrfacas. O problma da sparação da matrz d fbra (dscolagm) também é modlado como uma matrz nfraqucda por vazos clíndrcos no lugar das fbras, m qu o campo d tnsão dntro da rgão d vácuo não s anula, na tntatva d proporconar uma solução mas ralsta para st problma. O comportamnto lastoplástco fcaz d um compósto rforçado com partículas nclundo danos grados pla dscolagm também fo dscutdo por Zhao Wng (996, 997) Tohago Chou (996). Em sus studos, os matras d matrz foram assumdos como sndo lastoplástcos, os ftos da taxa d dformação, o crscmnto nulo dstrbução d tamanho d partícula sobr a rlação consttutva macroscópca, no ntanto, não são consdrados. Vrfcou-s qu a rsstênca ntrfacal, a concntração d partículas, a forma modo d nclusão d todos dsmpnham um papl sgnfcatvo na rsposta global do sstma htrogêno durant o procsso d dscolagm progrssva. Zhong Mgud (997) studaram o dsnvolvmnto d uma solução lástca unfcada xplícta para o problma d falta d homogndad d uma sfra com uma ntrfac colada mprftamnt. Mklc t al., m 998, psqusaram sobr o comportamnto lástco d um P. V. Q. ANDRADE Capítulo

29 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz sstma d nclusõs lvrs d dfrnts graus d lbrdad ncorporado nos poros d uma matrz lástca prfurada. Haddad Todosu, m 999, utlzaram cálculos trdmnsonas d lmntos fntos m células rprsntatvas para studar o dscolamnto ntrfacal dos compóstos d matrz mtálca. Consdraram os rforços como lástcos, nquanto o comportamnto da matrz é dscrto como lasto-vscoplástca. Os rsultados obtdos mostraram qu o comportamnto macroscópco do compósto dpnd, m grand mdda, da razão ntr a força normal tangncal da ntrfac os comprmntos caractrístcos qu dfnm a gomtra dos rforços. Zhng t al. (2) ralzaram um studo duplo por mo ftvo d lmntos fntos para xamnar a nfluênca d dscolamnto parcal ntrfacal na rgdz lástca d um composto d duas fass contndo fbras líptcas alnhados. Ghassmh (22) utlzou um EVR para comparar rgdzs d compóstos altamnt carrgados com partículas parcalmnt totalmnt dscoladas. Chn t al. m 23 studaram o fto do rforço dvdo às partículas rígdas o fto d nfraqucmnto dvdo aos mcrovazos causados por dscolamnto sobr as proprdads mcâncas globas dos compóstos rforçados com partículas. Moon t al. (24) utlzaram uma mcroscopa d sonda d varrmnto (MSV) para studar o comportamnto adsvo d uma mstura d pol-tlno-proplno (PEP) do éstr d n-butlo do ácdo abétco. Els ntrprtaram a falha d adsão das amostras m trmos do procsso d dsspação d nrga por comparação das dpndêncas d vlocdad durant o procsso d dscarga. Rnnr t al. (25) analsaram valors caractrístcos drvados d xprmntos d mssão acústca através do qual ls provaram qu os campos d tnsão m ntração d partículas vznhas nfluncaram o procsso d dformação qu msmo as partículas grands pod agrgar ou, plo mnos, assocar ao grand tor d carga. Matous Gubll (25, 26) modlaram o dano ntrfacal por lmntos cosvos, obtv as proprdads da mcroscala cosa xprmntalmnt. Rabnovtch (28) studou comparou a abordagm da mcânca da fratura lástca lnar uma ntrfac cosva (zona cosva) numa análs d dscolagm d vgas d concrto rforçadas, com fbra rforçada d polímro lgada a tras xtrnamnt. Lgarth Nordson (2) studaram a falha m um compósto mcro rforçado, ond s vrfcou qu a nfluênca das condçõs d contorno mpostas na ntrfac é mnor. Zhang Chn (22) propusram um crtéro para a dscolagm ntrfacal d polímros d partículas rforçadas. Outra forma d abordagm do problma da modlagm computaconal d matras compóstos é a utlzação do concto d lmnto d volum rprsntatvo (EVR). A P. V. Q. ANDRADE Capítulo

30 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz rsposta d um dado lmnto d volum rprsntatvo, m gral é dtrmnada por stratégas d homognzação, a partr da qual s dduzm as proprdads globas. A forma mas drta d fazr sso é na caractrzação do comportamnto do matral, smulando a sua rsposta a carrgamntos smpls. Srá vsto com mas dtalhs a forma d dfnr ralzar ssas smulaçõs numércas no capítulo 4. Invstgaçõs xprmntas (Clyn Wthrs, 993; Sursh t al., 993) mostram qu, normalmnt, xstm três mcromcansmos qu prvalcm para o dano m partículas rforçadas nos compóstos da matrz mtálca, nclundo dscolagm fratura ao longo da ntrfac ntr a matrz os rforços, fratura frágl do rforço, plastcdad dúctl localzada na matrz. Dv-s notar qu o mcansmo d dano domnant stá ntmamnt rlaconado com as forças do rforço, a matrz compósta a sua ntrfac, a forma do rforço concntração, o modo do carrgamnto. D acordo com Azz (22), a maor ára crítca notoramnt para o crscmnto da fssura é d ntrfac da matrz d fbra. Um dos métodos amplamnt utlzado na ltratura para a smulação da dscolagm ntrfacal m compóstos é o modlo cosvo. A da para o modlo d cosão basa-s na consdração d qu a análs d dano sab da xstênca da fssura com antcdênca. Em CMMs, a ntrfac da matrz d fbra parc sr uma rgão crítca para o dano a um prssuposto razoávl para os lmntos cosvos como fo mostrado por Tvrgaard (98 99), Lgarth Nordson (2), Santos t al. (26) Ptuba t al. (26). Dos mcansmos concorrnts nos CMMs aftam o comportamnto m gral, ond a dscolagm ntrfacal rduz a força o tamanho mnor da partícula aumnta a força..4 JUSTIFICATIVA A aplcação crscnt da matrz mtálca compósta rforçada (CMMs), como já fo dto, é dvdo às proprdads mlhoradas tas como uma lvada rgdz, lvada rsstênca à tração, rsstênca à dformação, rsstênca ao dsgast, baxa dnsdad capacdad d amortcmnto, porém ssas proprdads úts são acssívs com o custo d ductldad fracas das proprdads d fratura. Ou sja, o potncal para o uso dos matras compóstos com matrz mtálca para um uso gnralzado é um pouco rstrto dvdo à sua baxa ductldad tnacdad à fratura. Portanto, um conhcmnto abrangnt d todos os tpos d proprdads é ncssáro, o qu rqur uma comprnsão d ambos os comportamntos P. V. Q. ANDRADE Capítulo

31 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz consttutvos d falha, para mnmzar ssas lmtaçõs através do modlo mcrostrutural, o qu rqur uma comprnsão complta dos mcromcansmos d sus procssos d danos ntrínscos. Então, plo qu fo vsto, vrfca-s a mportânca do mprgo dss tpo d compósto na atualdad da ngnhara, justfcando-s ntão cada vz mas o conhcmnto do comportamnto mcânco dsss tpos d matras, anda, s studando o qu acontc na sua mcrostrutura, ond a abordagm m váras scalas (foco do prsnt trabalho) s mostra bastant nova ntrssant no mo cntífco atual. Sndo assm para qu s mprgum d forma sgura os compóstos, faz-s ncssára o studo do comportamnto dss tpo d matral..5 OBJETIVOS O objtvo gral do trabalho é vrfcar as potncaldads lmtaçõs do mprgo da modlagm proposta nss trabalho contrbundo para o ntndmnto do comportamnto mcânco d compóstos d matrz mtálca com vstas às aplcaçõs na ngnhara. Como objtvos spcífcos do trabalho têm-s: Propor curvas tnsão x dformação d ncruamnto homognzado advndas da mcrostrutura htrogêna para o macrocontínuo dsss matras. Estudar o comportamnto dos CMMs, consdrando ou dsconsdrando o dscolamnto da ntrfac matrz/nclusão. Dfundr o studo do comportamnto mcânco dos matras htrogênos, utlzando a abordagm d váras scalas..6 SUMÁRIO DOS CAPÍTULOS A sgur, stá dscrta a dvsão dst txto m capítulos: O Capítulo aborda o concto d mcrostrutura, a dfnção d um matral compósto com matrz mtálca sua aplcação, dfnndo ntão a sua mportânca no cnáro atual. Em sguda, uma rvsão bblográfca é aprsntada, ond é dscrto quas autors já trataram ss assunto m trabalhos com foco m smulaçõs numércas. P. V. Q. ANDRADE Capítulo

32 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz... 3 O Capítulo 2 aprsnta uma rvsão bblográfca a rspto da tora da homognzação no âmbto da formulação multscala, qu srá mprgada nss trabalho, o studo do mprgo na mcrostrutura d CMMs a formulação m trmos d lmntos fntos para sta análs. O Capítulo 3 trata sobr a Plastcdad, m partcular o modlo d von Mss com mprgo na modlagm da matrz mtálca. Também, a Mcânca da Fratura é brvmnt dscrta tndo como foco um modlo d fratura cosva utlzado para smular a fas d dslocamnto da ntrfac matrz/nclusão. O Capítulo 4 consttu-s das smulaçõs numércas, análss aplcaçõs dos modlos propostos os sus rsultados, obtdos ao longo da psqusa. No Capítulo 5 são aprsntadas as conclusõs da psqusa algumas sugstõs para trabalhos futuros. P. V. Q. ANDRADE Capítulo

33 CAPÍTULO 2 MODELAGEM DA MICROESTRUTURA SEGUNDO UMA ABORDAGEM MULTIESCALA As Toras Multscalas surgram para prmtr aprsntar rspostas qu as Toras Fnomnológcas Consttutvas não abordam qu é a consdração d forma drta dos fnômnos qu acontcm na mcrostrutura. Os modlos consttutvos são dtos como macroscópcos fnomnológcos gralmnt são utlzados na caractrzação do comportamnto dos matras, na sua aplcação consdra-s qu o matral é um mo homogêno, no ntanto, no nívl d mcrostrutura, xstm htrogndads, como vazos, nclusõs dfrnts fass, qu tm um comportamnto qu pod aftar as suas proprdads globas. Portanto, com a Tora Multscala é possívl aprsntar rspostas qu consdram as caractrístcas da mcrostutura sus ftos dsspatvos, possundo um grand potncal d dsnvolvmnto utlzação. Sgundo Gust (29), a Tora Multscala possu váras vantagns, como o fato d prmtr à mplmntação d rotaçõs dformaçõs fntas m ambas as scalas, rsolvm problmas lnars não lnars com dpndênca no tmpo, consdram qualqur tpo d matral, utlzam não só o Método dos Elmntos Fntos (MEF), mas qualqur técnca d cálculo para rsolvr os problmas admt qualqur forma gométrca para a mcrostrutura modlada no EVR. Por fm, ss capítulo é composto por uma ntrodução sobr a análs multscala, a dfnção do EVR, a tora d homognzação dntro d uma abordagm multscala, a dscrção do Elmnto d Volum Rprsntatvo (EVR), sua dfnção, a formulação sobr as condçõs d qulíbro do EVR, o prncípo d Hll-Mandl, a homognzação d tnsõs, as condçõs d contorno mpostas no EVR o módulo consttutvo tangnt homognzado, dando assm um maor ntndmnto ntrprtação dos rsultados numércos qu foram obtdos ao longo da psqusa. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 2

34 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz INTRODUÇÃO À ANÁLISE MULTIESCALA É ncssáro sgur alguns passos para fazr uma análs multscala, já qu os modlos multscala s basam na consdração d qu cada ponto nfntsmal no domíno do problma global/macroscópco é tratado como sndo um Elmnto d Volum Rprsntatvo (EVR). Então prmramnt dfnm-s os pontos d ntrss a srm studados no domíno da macrostrutura. Dpos d fto sso, submt-s a strutura a um carrgamnto qualqur, através d um modlo na macroscala, tm-s para cada EVR um campo d dformaçõs. Então s adota um modlo consttutvo na msoscala, através dss modlo, studa-s o comportamnto do matral no EVR, conform a dformação macroscópca mposta ao EVR. Para passar da msoscala para a macroscala, utlza-s a tora da homognzação o concto d méda volumétrca, atualzando ntão a rlação consttutva para aqul ponto, obtndo como rspostas homognzadas do tnsor consttutvo d tnsõs. E por fm, com a rlação consttutva atualzada para todos os EVR, s dá um novo ncrmnto d carga, obtndo ntão, através do modlo na macroscala, novos campos d dformaçõs a srm aplcados nos EVRs. Pod-s dzr qu a modlagm multscala é a rsolução d város subproblmas d qulíbro, ao nívl mcroscópco, no EVR, dntro do problma global da scala macroscópca (LOPES, 23). D acordo com Gust (29), os modlos multscala tm um grand potncal d dsnvolvmnto utlzação, pos aprsnta mutas vantagns. Els têm um grand potncal d aplcação na smulação d procssos qu nvolvam solctaçõs complxas também podm sr utlzados no dsnvolvmnto, vrfcação otmzação d modlos consttutvos mcroscópcos sua rsposta global smpr é rsultant da mcrostrutura, ndpndntmnt d como é modlada. Na Fgura 2. é rprsntado o squma d uma análs multscala. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 2

35 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Fgura 2. Esquma rprsntatvo da Multscala (BORGES, 25) A formulação da modlagm Multscala sgu a proposta d Grman t al. (983 apud GIUSTI, 29) sua strutura varaconal stá dscrta dtalhadamnt por Souza Nto Fjóo (26), Frnands t al. (25a) Frnands t al. (25b). Est trabalho não comprnd todo o sstma multscala, são studadas apnas as análss na mcrostrutura do EVR, no qual, um campo macroscópco d dformação é conhcdo aplcado ao EVR. 2.2 DEFINIÇÃO DE UM ELEMENTO DE VOLUME REPRESENTATIVO (EVR) Utlza-s um Elmnto d Volum Rprsntatvo (EVR) para dscrvr a mcrostrutura d um matral, stando assocado a um ponto no problma macroscópco, ou sja, é um ponto na macrostrutura qu rprsnta a mcrostrutura do matral, é assm uma forma prátca d ldar com as proprdads do matral ao nívl mcroscópco, o qual tm nfluênca no su comportamnto global. Para um EVR sr statcamnt rprsntatvo, é prcso qu l tnha uma dmnsão qu nclua o maor númro possívl d htrogndads qu rprsnt m trmos médos a mcrostrutura do matral. A Fgura 2.2 rprsnta a mcrostrutura d um aço um possívl EVR caractrzando a matrz, a sgunda fas as nclusõs (LOPES, 23). GERMAIN, P.; NGUYEN, Q. S.; SUQUET, P. Contnuum thrmodynamcs. Journal of Appld Mchancs, Transactons of th ASME, 5(4):-2, 983. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 2

36 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Fgura 2.2 Mcrostrutura d um aço com um possívl modlo para o EVR (LOPES, 23) O tamanho do EVR dv sr muto mnor qu o comprmnto caractrístco do domíno do problma. Dz-s ntão qu o comprmnto caractrístco do EVR (l ) dv sr muto maor qu o comprmnto caractrístco das htrogndads (l ht ) qu s ncontram na mcrostrutura muto nfror ao comprmnto caractrístco do domíno macroscópco (l), para qu sja garantda a condção d contnudad, o tamanho do EVR também dv sr muto supror à scala das struturas atômcas. Basado nss concto, a célula mcroscópca é rprsntada por N, sndo dfndo plo contorno do EVR. Dsta forma, cada ponto matral x do macrocontínuo, rprsntado por, tm assocado um EVR (qu s caractrza pla varávl y, ponto arbtráro na célula mcroscópca). Ess lmnto mcroscópco também possu a dfnção d um volum V, o domíno, o contorno o l. No gral, consdra-s qu o EVR é consttuído por uma part dnomnada matrz, qu é rprsntada por m, ond são nsrdas nclusõs, rprsntadas por Têm-s ntão as sgunts dfnçõs para os domínos d análs: os vazos v. (2.) m v (2.2) m v Para smplfcar, não srão consdrados vazos nm nclusõs no contorno do EVR, logo: v (2.3) P. V. Q. ANDRADE Capítulo 2

37 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Na Fgura 2.3 obsrva-s a rprsntação das dfnçõs gométrcas dscrtas acma, da macroscala contínua da mcroscala local. Fgura 2.3 Macroscala contínua com a mcroscala local (GODOI, 26) O EVR é dscrto como contínuo d modo qu o concto d tnsão prmança váldo na mcroscala. Incalmnt, a tnsão m um ponto qualqur do contínuo, m crto nstant d tmpo t é dada pla dformação até aqul nstant, sndo ntão: t t f (2.4) sndo, f o tnsor consttutvo smétrco, S S u o oprador gradnt smétrco do campo d dslocamnto u. Smlarmnt, no EVR, tm-s qu: Ond: S y t u, (2.5) y,t é a dformação no EVR; u é o vtor d dslocamnto. O tnsor d dformação, bm como o tnsor d tnsão m um ponto x da macrostrutura é dado como a méda volumétrca da dformação no EVR, m um nstant t arbtráro, sndo ntão: V x, t y, tdv (2.6) P. V. Q. ANDRADE Capítulo 2

38 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Através da quação 2.5, pod-s rscrvr a quação 2.6 sndo: V S x, t udv (2.7) V x, t y, tdv (2.8) Essas quaçõs aprsntam a dformação macroscópca ou homognzada a tnsão macroscópca ou homognzada, qu são rsultados do procsso d transformar uma quantdad mcroscópca m uma quantdad macroscópca, chamado d homognzação Campo d Dslocamnto Flutuação dos Dslocamntos no EVR O campo d dslocamnto mcroscópco u é dcomposto, sm qu haja a prda da gnraldad, por: y t ux, t u y, t u~ y t u,, (2.9) Na quação 2.9, a parcla corrspond ao campo d dformação macroscópca, qu vara lnarmnt d acordo com a coordnada y, sndo assm, o campo d dformação pod sr scrto como: y, t x ty u, (2.) A parcla d corrspond ao campo d flutuação d dslocamnto a parcla é o dslocamnto macroscópco rlaconado ao ponto x, qu nss caso é concdnt com o dslocamnto d corpo rígdo do corpo. Ess dslocamnto não mplca numa dformação no EVR, consdra-s para o EVR uma cnmátca d pqunas dformaçõs pqunos dslocamntos, podndo ntão dsconsdrar ssa parcla, o qu rsulta na sgunt quação: y t x, ty u~ y t u,, (2.) Na Fgura 2.4 é rprsntada gomtrcamnt ssa dcomposção aprsntada na quação 2.. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 2

39 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Fgura 2.4 Esquma rprsntatvo da Multscala (GIUSTI, 29) Analogamnt, pod-s rscrvr a quação 2. m trmos d dformação, obtndo a sgunt quação: ~ y t x, t y, t, (2.2) Sndo: ~ S~ y, t u campo d flutuação das dformaçõs, vara d forma gnérca m y. 2.3 FORMULAÇÃO A formulação para um problma na mcroscala é basada m um prncípo varaconal, o Prncípo dos Trabalhos Vrtuas (PTV). Já fo vsto antrormnt qu o EVR rprsnta a mcrostrutura a formulação do MEF é a frramnta utlzada para rsolvr o problma d qulíbro. As varávs do EVR, como as dmnsõs constants lástcas s dfrm do matral no macrocontínuo tas caractrístcas são dfndas para um EVR padrão, o qual srá utlzado para todos os pontos da strutura, logo, a solução d um EVR, su cálculo dos dslocamntos, das forças ntrnas, das tnsõs vrdadras da matrz consttutva lastoplástca dos sus lmntos fntos, é obtdo quando s alcança a convrgênca, d acordo com a tolrânca adotada do su problma d qulíbro proposto. É prcso dfnr as condçõs d contorno a sr mpostas no EVR para qu s torn possívl rsolvr ss problma, vdncando qu a rsposta obtda pod varar m função da condção d contorno adotada. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 2

40 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Para uma mlhor struturação organzação da formulação sgundo uma abordagm multscala, é consdrado nss trabalho cnco tapas: Equlíbro no EVR; O Prncípo d Hll-Mandl; Homognzação das Tnsõs; Condçõs d Contorno Impostas no EVR; Módulo Consttutvo Tangnt Homognzado Equlíbro no EVR Assumndo qu o EVR stá sujto a um campo d forças d volum b=b(y,t) a um campo d forças xtrnas d suprfíc t = t (y,t) atuando no contorno, m analoga com o PTV da mcânca dos sóldos, é dto qu o EVR stá m qulíbro s, somnt s, a quação varaconal é satsfta a cada nstant: S : dv b dv t da ond: (2.3) campo d dslocamntos vrtuas cnmatcamnt admssívs; contorno xtrno do EVR; domíno do EVR. Admt-s qu xstm vazos no EVR, logo, ond é o domíno dos vazos é o domíno dos sóldos, logo acma s tornará: S S S : dv b dv t da : dv b dv S (2.4) Pod-s sparar a quação 2.4 m duas quaçõs para um dtrmnado vazo, consdrando qu os vazos solados também stão m qulíbro, obtndo as sgunts quaçõs d qulíbro: S S V : dv b dv t da S S V : dv b dv t da t da (2.5) (2.6) sndo, o contorno do vazo t v o campo d forças d suprfícs qu atua nos vazos. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 2

41 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Nst trabalho é assumdo qu as forças d volum qu agm nos vazos são nulas, ntão apnas a força t v sobr é lvada m conta na contrbução do vazo para a rsstênca do EVR. b ( y, t) y (2.7) Prncípo d Hll-Mandl O Prncípo d macro homogndad d Hll-Mandl (Hll, Mandl, 97 3 apud GIUSTI, 29) stablc qu a potênca das tnsõs macroscópcas m qualqur ponto do macrocontínuo dv sr gual à méda volumétrca da potênca das tnsõs mcroscópcas sobr o EVR assocado a ss ponto para qualqur movmnto cnmatcamnt admssívl do EVR, ou sja: : dv V : (2.8) A quação pod sr rscrta como: : : (2.9) Ond rprsntam os tnsors d tnsão dformação homognzados na mcroscala, rspctvamnt. O Prncípo d macro homogndad d Hll-Mandl é váldo s, somnt s, os trabalhos vrtuas xrcdos plas forças xtrnas, t, os trabalhos vrtuas xrcdos plas forças d volum b, são guas a zro, conform dmonstrado por Gust (29). S t da b dv (2.2) (2.2) A partr das quaçõs , a quação d qulíbro 2.6 rsulta m: S V : dv t da S (2.22) 2 HILL, R. A slf-consstnt mchancs of compost matrals. Journal of th Mchancs and Physcs of Solds, 3(4):23-222, MANDEL, J. Plastcté classqu t vscoplastcté. CISM Lctur Nots. Sprngr-Vrlag, Udn, 97. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 2

42 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz... 4 Já a tnsão mcroscópca, por sua vz, m um ponto y qualqur do EVR é rlaconada com a dformação mcroscópca, através da função consttutva a qual nvolv varávs ntrnas d acordo com o modlo consttutvo. O pod sr dfndo, d forma análoga com a quação 2.4, como sndo: (, t) f ( ( y, t)) y y (2.23) E consdrando a quação 2.4, tmos: S ( y, t) f ( u ( y, t)) y (2.24) Fazndo a substtução da quação 2.24 na quação 2.22 chga-s na sgunt quação: S S V f y( u ( y, t)) : dv t ( y, t) da S (2.25) Tal quação rprsnta o problma d qulíbro mcroscópco. E substtundo a quação 2. na quação 2.25, tmos: S ~ S V f y( ( x, t) u ( y, t)) : dv t ( y, t) da S (2.26) Como no caso dss trabalho é consdrado qu os vazos não possum função strutural sabndo qu m função da rstrção cnmátca adotada s obtém dfrnts tpos d modlos, a quação d qulíbro s torna: S ~ S f ( ( x, t) u ( y, t)) : dv y S (2.27) Ao fazr a dscrtzação do domíno do EVR m lmntos fntos, no tmpo, para um dtrmnado ncrmnto n dscrtzação h, é prcso ncontrar o vtor d flutuaçõs qu satsfaça a quação abaxo: h B T n f ( y Bu ~ n ) dv (2.28) ond: B é a matrz qu rlacona dslocamntos com dformaçõs (para um lmnto ); f y é o funconal qu calcula as tnsõs mcroscópcas. Para um campo qualqur a quação 2.28 smpr srá satsfta s: P. V. Q. ANDRADE Capítulo 2

43 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz... 4 G n B h T n f ( y Bu ~ n ) dv (2.29) Aplcando o método d Nwton-Raphson, qu consst m buscar a corrção da flutuação para tração k, rsolv-s a quação 2.29, tal qu: F k K k u ~ k (2.3) sndo: F vtor d forças K matrz d rgdz tangnt no EVR. Dnotando B como lmnto matrz d dformação-dslocamnto N como númro d lmntos fntos, F K são dfndos como: F k h B T n k f ( Bu~ ) dv y (2.3) K k h B T D k BdV N B T D k B dv (2.32) E tm-s anda qu, o campo da matrz tangnt consttutva consstnt ao longo do domíno do EVR é dado por: D k df y d n ~ Bu (2.33) Após computar as corrçõs da quação 2.3, o campo d flutuação d dslocamntos, consdrando a ntração k rlatva ao mcrocontínuo é dado por: u ~ k k k u ~ u ~ (2.34) Tnsão Homognzada A tnsão homognzada é calculada pla quação 2.8, a qual s admt qu o domíno do EVR tm uma part sólda uma part d vazos (matrz agrgados), rsultando na sgunt quação:, V V V x, t y, tdv y, tdv y tdv (2.35) S v P. V. Q. ANDRADE Capítulo 2

44 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz D acordo com Frnands t al. (25a), utlzando o Torma d Grn, a dscrtzação dos lmntos no domíno do EVR m lmntos fntos, a quação 2.35 pod sr scrta sndo:, V S x, t t y, t yda by t ydv s s (2.36) Utlza-s a xprssão u s v u v v u vtors u v. 2 no cálculo das ntgras, válda para quasqur A quação 2.36 é calculada d forma aproxmada, com a dscrtzação do EVR m lmntos fntos, aond t rprsnta as forças ntrnas dos nós sobr o contorno y rprsnta o vtor das coordnadas x x2 do ponto y do EVR. Sndo assm, para um dtrmnado lmnto, o vtor das forças ntrnas é dado por: T Fnt B V (2.37) Ond: B é a matrz qu rlacona dformação dslocamnto no lmnto fnto ; são as tnsõs no lmnto fnto ; V é o volum do lmnto. Para s obtr o vtor d forças ntrnas total do EVR, agrupam-s as contrbuçõs d todos os lmntos Condçõs d Contorno Impostas no EVR Dfrnts condçõs d contorno podm sr aplcadas ao EVR para dfnr as dvrsas classs d modlos multscala. Essas dfrnts condçõs lvam a dfrnts graus d lbrdad, com sso, os rsultados obtdos possum dfrnças sgnfcatvas, sndo prcso scolhr os rsultados d acordo com o tpo d problma, do matral, da naturza da dstrbução dos consttunts no EVR. (LOPES, 23) Srão aprsntadas a sgur três classs d modlos multscala para as condçõs d contorno do EVR, tas classs s dfrncam pla mposção d um spaço d varaçõs admssívs, são conhcdas como: P. V. Q. ANDRADE Capítulo 2

45 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Modlo d Taylor ou dformaçõs homogênas no EVR, também conhcda como rgra das msturas; Modlo d dslocamnto lnar no contorno do EVR; Modlo d flutuaçõs pródcas d dslocamntos no contorno do EVR. O modlo d Taylor é o mas rstrtvo com a aplcação mas smpls, aprsntando a solução mas rígda m vsta do problma mcroscópco. O modlo d flutuaçõs pródcas é o mas utlzado pla comundad cntífca, pos aprsnta uma mlhor convrgênca das proprdads médas utlzando EVR d mnors dmnsõs, aprsntando a solução mnos rígda dntro os três modlos ctados. Portanto, cada modlo aprsnta uma stmatva d rsposta dfrnt. Nst tm procura-s dscrvr brvmnt os modlos ctados. Maors dtalhs ncontram-s m Gust (29) Frnands t al. (25a) Modlo d Taylor O modlo d Taylor é obtdo quando o spaço dos dslocamntos vrtuas cnmatcamnt admssívs é nulo, ou sja, quando = {}. Logo, o campo d flutuaçõs também é nulo m qualqur ponto do su domíno sóldo, ou sja: u~ y S (2.38) Assm, substtundo a quação 2.38 na quação 2., obtém-s o sgunt campo d dslocamnto mcroscópco: u ( y, t) ( x, t) y (2.39) A partr da quação 2.39 é possívl dzr qu o campo d dslocamnto mcroscópco tm varação lnar y, logo a dformação no EVR é homogêna (constant), sndo gual a dformação macroscópca: ( y, t) ( x, t) (2.4) Dssa forma a quação d qulíbro, quação 2.3, é dada pla solução trval u. Nss caso não xst ncssdad d rsolvr o problma d qulíbro do EVR, já qu sua solução é conhcda. ~ P. V. Q. ANDRADE Capítulo 2

46 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz O campo d dformaçõs nas vznhanças dos vazos próxmos da ntrfac pod sr bastant complxo tr bastant mpacto na rsposta mcânca macroscópca, no ntanto, nss modlo, não é possívl capturar ssas varaçõs. Na Fgura 2.5 é vsta uma rprsntação do tpo d dformação sofrda plo EVR d acordo com ssa hpóts. Fgura 2.5 Rprsntação squmátca da dformação d um EVR sob o modlo d Taylor (LOPES, 23) Modlo d Dslocamnto Lnar no Contorno do EVR O modlo d dslocamnto lnar assum qu o campo d flutuação dos dslocamntos é nulo na frontra do EVR, ou sja, os dslocamntos são lnars no contorno do EVR: u ( y, t) ( x, t) y y (2.4) Para satsfazr a quação 2.2, mposta plo Prncípo d Hll-Mandl, as forças d volum b são nulas no domíno, ou sja, a únca força d volum, b, ortogonal a qualqur b(y,t) =. A quação 2.2 smpr srá satsfta, já qu o campo d flutuaçõs é nulo m é, portanto, a força d suprfíc t sobr o contorno xtrno, qu dv sr ortogonal a, prtnc ao spaço dos campos rgulars sobr. (LOPES, 23) Como as forças d volum, b, são nulas, a tnsão homognzada dada pla quação 2.36 s tornará: x, t t y, ts yda (2.42) V ond t são as forças ntrnas no contorno do EVR. A quação d qulíbro 2.3, srá dcomposta m parclas, ond o sub-índc é rlatvo aos nós ntrnos B aos nós d contorno, já qu nst modlo dvm-s calcular apnas as flutuaçõs no domíno do EVR, sndo assm: P. V. Q. ANDRADE Capítulo 2

47 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz FB F k K K BB B k B K K u ~ B ~ u k (2.43) Como a flutuação d dslocamntos no contorno são nulos ( ~ ) qu F b são apnas forças rlatvas ao campo d dslocamnto mposto, para calcular as flutuaçõs para os nós ntrnos consdra-s a quação: u B ~ k ( k ) k K F u (2.44) ond, F é o vtor das forças ntrnas nos nós ntrnos. Através da quação 2.37, pod-s calcular o F. A confguração dformada típca d um EVR sujto a sta condção d contorno é vsta na Fgura 2.6. Fgura 2.6 Rprsntação squmátca da dformação d um EVR sob a condção d frontra lnar (LOPES, 23) Modlo d Flutuaçõs Pródcas d Dslocamntos no Contorno do EVR O modlo d flutuaçõs pródcas d dslocamntos no contorno do EVR é aproprado para rprsntar o comportamnto d matras com mcrostrutura pródca. Pod-s mostrar qu qualqur comportamnto do matral aprsnta uma rsposta pródca s malhas rfnadas são consdradas, no sntdo d qu mas pontos d ntgração sgnfcam mas EVRs (Frnands t al., (25b)). Os xmplos típcos d formas para os contornos d EVR pródcos são as quadradas, rtangulars hxagonas, como mostra a Fgura 2.7. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 2

48 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Fgura 2.7 Gomtras do EVR pródco. Células quadradas hxagonas (GIUSTI, 29) Através da Fgura 2.7 é possívl obsrvar nos EVRs qu cada lado, o qual a drção normal ao contorno é n, corrspond a um lado gual oposto contorno n, sndo n =, com drção normal ao n. Dssa msma forma, para cada ponto y + prtncnt ao contorno xst um ponto corrspondnt y - prtncnt ao contorno. Nss modlo tm qu a flutuação do dslocamnto dv sr pródca no contorno do EVR, sndo assm, cada par d pontos y + y - são guas, ou sja: u ~ ( y, t) u~ ( y, t) par d pontos, y y (2.45) As flutuaçõs d dslocamntos nos cantos também são nulas, logo, nss modlo, o spaço é dto como: ~ u / u~ ( y, t) u~ ( y, t) y, y ~ * K (2.46) Nst caso, a tnsão homognzada também é dada pla quação 2.42 para obtr o vtor d forças ntrnas nodas, o vtor dos dslocamntos no EVR a matrz consttutva tangnt m cada lmnto, é prcso rsolvr prmro o problma d qulíbro no EVR dado pla quação 2.3. Essa quação srá dcomposta m parclas, ond o sub-índc é rlatvo aos nós ntrnos, p m rfrm-s aos pars d pontos y + y - dfndos no contorno, não concdndo com o canto, chgando m: Fp Fm F k K K K pp mp p K K K pm mm m K K K p m k u ~ p ~ u m ~ u k (2.47) P. V. Q. ANDRADE Capítulo 2

49 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Sndo, F p, F m F forças ntrnas, calculadas através da quação 2.37 nos pontos p, m, rspctvamnt. E para vtar dslocamntos d corpo rígdo, nos cantos são prscrtas flutuaçõs nulas, não sndo dfndos na quação 2.47 trmos rlatvos aos cantos. u ~ ~ Consdrando qu u, a quação 2.47 s rsulta m: m p Fp Fm F k K K K pp mp p K K K pm mm m K K K p m k u ~ p ~ u p ~ u k (2.48) Após as manpulaçõs algébrcas a quação acma pod sr scrta como: Fp F F k m K pp K K pm p K K mp m K mm K p K K k m u ~ p ~ u k (2.49) As flutuaçõs nos pontos p nos nós ntrnos são as ncógntas do problma. O vtor Fp F F m k pod sr obtdo a partr do vtor d forças ntrnas Rlação ntr os modlos ctados D acordo com Gust (29), os modlos d Taylor, d Dslocamnto Lnar no Contorno do EVR d Flutuaçõs Pródcas d Dslocamntos no Contorno do EVR s dfrm somnt * pla scolha fta para o spaço das varaçõs admssívs K. A Fgura 2.8 rprsnta os spaços qu dfnm os modlos dsnvolvdos nas sçõs antrors d manra rsumda. ~ P. V. Q. ANDRADE Capítulo 2

50 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Fgura 2.8 Rsumo dos contornos cnmátcos do EVR suas rspctvas dformaçõs, adaptado plo autor (GIUSTI, 29) Anda sgundo Gust (29), através da Fgura 2.8, é smpls vr a rlação ntr os spaços propostos para os modlos obtdos, sndo: T L P (2.5) Logo, o modlo d Taylor o d flutuação pródca no contorno aprsntam dos xtrmos, supror nfror, sndo o prmro mas rígdo o sgundo mas flxívl. Dssa forma, as análss dst trabalho foram ralzadas utlzando as condçõs d contorno lnars pródcas Módulo Consttutvo Tangnt Homognzado D acordo com Frnands t al. (25a), a tnsão homognzada rlatva ao macrocontínuo m um ncrmnto n+ é dada pla sgunt forma: n n : n n (2.5) Sndo: D n n n o oprador consttutvo tangnt homognzado. Através das quaçõs 2.8, , a tnsão homognzada no ncrmnto n+ é: P. V. Q. ANDRADE Capítulo 2

51 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz P. V. Q. ANDRADE Capítulo 2 dv u f V dv f V n S n y n y n ) ~ ( ) ( ) ( ) ( (2.52) Dss modo, o oprador tangnt homognzado é: dv u f V D n n S n y n n n ) ( ) ( ) ~ ( (2.53) Modlo d Taylor Como no modlo d Taylor o campo d flutuaçõs é nulo no EVR, ) ( ~ n S u =, fazndo com qu a quação 2.53 s torn: dv D V dv V dv f V D n n n y Taylor n ) ( ) ( (2.54) Sndo: D oprador tangnt consstnt com a l consttutva ncrmntal mcroscópca; D Taylor méda volumétrca do tnsor consttutvo ncrmntal. Consdrando-s a quação 2.53 para um caso gral, é possívl rprsntar o oprador tangnt sndo: ~ n Taylor n n D D D (2.55) Ond o ~ n D é: dv u f V D n S y n ) ~ ( ~ (2.56) Para o cálculo d ~ n D, consdrando qu no EVR sjam dfndas N f fass, podndo cada fas tr proprdads lástcas dfrnts, a quação 2.54 srá calculada da sgunt forma: N f n Total Taylor n D V V D ) ( (2.57)

52 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Modlo d Dslocamnto Lnar no Contorno do EVR ~ A fm d calcular o D, consdr a sgunt forma smplfcada para a quação 2.44: n u ~ R n K R n F R n (2.58) Tndo ntão: ( EVR EVR F R) ( F ) (2.59) ( u~ ) ( u~ ) EVR R n EVR n (2.6) K R ( K ) k (2.6) Consdrando a quação qu D ( n) n, a quação 2.56 pod sr scrta como: ~ Dn R R V G K G T R (2.62) Ond a matrz G R é obtda a partr da matrz G total, calculada da sgunt manra: G N D B V (2.63) ond, N é o númro d lmntos utlzados na dscrtzação B é a matrz qu rlacona dslocamnto com dformação do lmnto. Essa msma dfnção é utlzada para o Modlo d Flutuaçõs Pródcas. Para o cálculo d D ~, o oprador tangnt é dado pla quação 2.55, sndo a parcla d n ~ Taylor dada pla quação 2.57 consdrando-s a quação 2.6, D rsulta m: n ~ Dn V G K G T (2.64) Sndo G a parcla da matrz G rfrnt aos pontos ntrnos. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 2

53 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Modlo d Flutuaçõs Pródcas d Dslocamntos no Contorno do EVR Assm como no Modlo d Dslocamnto Lnar no Contorno do EVR, para calcular o D ~, é n consdrado a sgunt forma smplfcada para a quação 2.49: u ~ R n K R n F R n (2.65) Tndo ntão: EVR F EVR p Fm ( FR ) (2.66) F ( u~ ) EVR R n u ~ p ~ u EVR n (2.67) K R K pp K K pm p K K mp m K mm K p K K k m (2.68) Para o cálculo d D ~, o oprador tangnt é dado pla quação 2.55, sndo a parcla d n Taylor dada pla quação 2.57 na quação 2.62, K R é dado pla quação 2.68 G R é dfnda como: G R G p G m G (2.69) Logo a quação 2.62 torna-s: ~ D n V G G G K G G G T p m R p m (2.7) P. V. Q. ANDRADE Capítulo 2

54 CAPÍTULO 3 MODELOS CONSTITUTIVOS EMPREGADOS Com o ntuto d smular o comportamnto mcânco do CMM, nst trabalho utlza-s o modlo d von Mss na matrz mtálca. Ess modlo consttutvo é basado na Tora da Plastcdad ndcado para matras com comportamnto dúctl. Já para smular o procsso d dscolamnto na zona d ntrfac matrz/nclusão, um modlo d fratura cosva um modlo d contato são utlzados m conjunto com um lmnto fnto d fratura contato rcntmnt dsnvolvdo (Ptuba t al., 26). Por sso srá dscutdo nss capítulo a Tora da Plastcdad, m spcal o modlo d von Mss, dscrto m maors dtalhs m Souza Nto t al. (28), além da Mcânca da Fratura, spcalmnt sobr o modlo d fratura cosva. A Fgura 3. lustra uma magm ral d procssos dsspatvos ocorrdos m mcrostruturas d CMM. Já a Fgura 3.2 mostra a proposta d modlagm m lmntos fntos utlzada nst trabalho. Fgura 3. Imagm da suprfíc d fratura d Poltlno d Alta Dnsdad/Inclusõs d Vdro. (a) Dsprsão d nclusõs spaços vazos na matrz (b) Dscolamnto complto na ntrfac matrz/nclusão (ZANG CHEN, 22) P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

55 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Fgura 3.2 Modlagm consttutva da mcrostrutura d CMMs (SANTOS t al., 26) Elmntos d contato fratura cosva (ntrfac) Elmntos fntos trangulars (nclusão) Elmntos fntos trangulars (matrz) 3. INTRODUÇÃO À TEORIA DA PLASTICIDADE As orgns da Tora da Plastcdad podm sr rastradas até mados do século XIX, sgundo o dsnvolvmnto substancal qu ocorru, m partcular na prmra mtad do século XX, sta tora é hoj stablcda m bass matmátcas é consdrada como uma das toras qu gram modlos consttutvos fnomnológcos mas bm-sucddos da Mcânca Computaconal d matras sóldos. A plastcdad é a proprdad, xbda por muto matras sóldos, d sustntar a dformação prmannt (ou plástca) dpos d sr submtda a crtos carrgamntos, ou sja, é a proprdad d um corpo d mudar d forma d modo rrvrsívl após crto carrgamnto. Em outras palavras, a plastfcação d um matral é caractrzada plo surgmnto d dformaçõs rrvrsívs quando s procd a um dscarrgamnto, nclusv quando s anula a solctação a qu o corpo stá submtdo. A Tora da Plastcdad fornc um quadro gral para a dscrção consttutva do contínuo para o comportamnto d uma mportant class d matras stá, bascamnt, procupada com sóldos qu, após tr sdo submtdo a um programa d carrgamnto, possa sofrr dformaçõs prmannts (ou plástcas) quando compltamnt dscarrgados. D acordo com Souza Nto t al. (28), a tora da plastcdad é rstrta para a dscrção d matras ( condçõs) para os quas as dformaçõs prmannts não dpndm da taxa d aplcaçõs d cargas é mutas vzs rfrda como taxa ndpndnt d plastcdad. Matras cujo comportamnto pod sr adquadamnt dscrto pla tora da plastcdad P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

56 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz são usualmnt chamados d matras plástcos (ou d taxa ndpndnt plástca), na ngnhara, um grand númro d matras, tas como os mtas, o concrto, as rochas, arglas, solos, tcdos bológcos ntr város outros, m gral, podm sr modlados como plástco sob uma ampla gama d condçõs d ntrss prátco. No níco, a Tora da Plastcdad fo orgnalmnt dstnada à análs d matras mtálcos. Obsrva-s o comportamnto plástco d um matral quando s tornam nulas as tnsõs sobr l, sndo ntão possívl notar uma dformação prmannt no msmo. Tas dformaçõs aparcm quando é xcddo o lmt das tnsõs, qu é chamado d tnsão d scoamnto. Pronça (988) mostra qu ssas caractrístcas podm sr obsrvadas a partr d uma análs puramnt fnomnológca num nsao d tração smpls. Na Fgura 3.3 são lustrados os aspctos prncpas do comportamnto plástco, ral dalzado, d um matral mtálco. Fgura 3.3 Gráfco do comportamnto plástco a) Ral b) Idalzado (PROENÇA, 988) Através da Fgura 3.3, prcb-s qu duas rgõs s dstacam para uma stuação d cargadscarga-carga. A prmra, comprndda da orgm até o ponto da tnsão d scoamnto, y, caractrza, no caso, o rgm lástco lnar. Nsta rgão, as stuaçõs d carga dscargas sucssvas, prcorrm o msmo camnho, não aparcndo dformaçõs plástcas. A dformação durant ss rgm qu aparc, é chamada d dformação lástca, la dsaparc quando ocorr o dscarrgamnto, ou sja, quando a tnsão s torna nula. A sgunda, comprndda ntr o ponto qu atng a tnsão d scoamnto, y, até o ponto A, é caractrzada como rgm plástco. A dscarga não s dá mas plo msmo camnho prcorrdo na carga, mas por um camnho dfrnt aproxmadamnt parallo ao do rgm lástco. Obsrva-s, no nívl nulo d tnsão, uma dformação rsdual, chamada d dformação plástca, sndo sta uma dformação rrcuprávl. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

57 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz No modlo d comportamnto plástco ral, contnuando com uma nova tapa d carga, novamnt o camnho é lnar, stndndo-s até o ponto B, o qual corrspond uma tnsão maor qu y. E a partr daí a tndênca da curva é d atngr a msma rgão qu sra dfnda s o carrgamnto tvss acontcdo sm a prmra dscarga, sdo contínuo. Então, surg novamnt à dformação plástca antror, a tnsão y stá com um novo valor dfndo, dnomnando ntão ss fnômno como ncruamnto. Já no modlo d comportamnto plástco dalzado, dsprza-s o cclo d hstrs (fto causado plo dscarrgamnto-carrgamnto m qu a curva não passa plo msmo camnho), admtndo-s assm qu na nova stuação d carga, o rgm lástco lnar s stnd até o nívl d tnsão A. Também é vdncado nos mtas caractrístco do comportamnto no rgm plástco, o fto Bauschngr, vsto na Fgura 3.4. Fgura 3.4 Efto Bauschngr (PROENÇA, 988) Sja um mtal com tnsõs lmts d scoamnto, y, guas na tração comprssão, ao solctar o corpo com uma carga, sando d um stado ncal snto d dformaçõs prmannts para um nívl d tnsão supror a y, m sguda ftuando uma dscarga uma carga novamnt, m sntdo oposto, obsrva-s qu a tnsão lmt é atngda com um valor nfror à y. Est fto é caractrzado pla nfluênca da dformação prmannt m casos d ansotropa (PROENÇA, 988). Anda sgundo Pronça (988), quanto ao comportamnto m rgm plástco, obsrva-s no aço uma pquna rgão d ndurcmnto, sguda d um patamar m qu as dformaçõs crscm sm um aumnto sgnfcatvo d tnsõs, conform é vsto na Fgura 3.5(a); por P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

58 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz outro lado, é vsto qu as lgas não aprsntam um patamar d scoamnto dfndo, já m outros matras, xprmntam, a partr d um dtrmnado nívl d tnsão, o amolcmnto, ou sja, acréscmos d dformação qu corrspondm a nívs cada vz mnors d tnsõs, conform é vsto na Fgura 3.5(b). Na Fgura 3.5(c), qu é o caso magnado, não xst corrspondênca físca xprmntal. Fgura 3.5 Comportamnto plástcos gras (PROENÇA, 988) A Tora da Plastcdad abrang uma ampla class d modlos consttutvos para sóldos. Os modlos d plastcdad mas comumnt utlzados na análs d ngnhara são: modlo d Trsca, von Mss, Mohr-Coulomb Druckr-Pragr, sndo qu sss dos últmos são mas utlzados para matras como rochas concrtos, pos tm um comportamnto mas frágl. No prsnt trabalho é utlzado o modlo d von Mss, pos o matral a sr studado é um matral compósto cuja a matrz é mtálca, von Mss é um modlo bastant dfunddo na ltratura para a utlzação m matras mtálcos. Est crtéro fo proposto plo spcalsta m matmátca aplcada, Rchard von Mss ( ) m Modlo d von Mss O modlo d von Mss s basa na dtrmnação da nrga d dstorção d crto matral, ou sja, da nrga rlaconada com mudanças na forma do msmo. Por ss crtéro, um comportamnto strutural stará m condçõs d sgurança, nquanto, o maor volum d nrga m dstorção por undad d volum do matral, prmancr abaxo da nrga d dstorção por undad d volum ncssára, para provocar o scoamnto no corpo d prova d msmo matral submtdo a nsao d tração. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

59 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Consdraçõs Gras Von Mss (93 4 apud Souza Nto t al, 28) admtu qu a plastfcação foss ocorrr uma vz qu a tnsão octaédrca d csalhamnto no ponto foss alcançada. D acordo com o crtéro d von Mss, o procsso plástco comça quando nvarant d tnsão dsvadora J 2 atng um valor crítco. Matmatcamnt, sta condção é rprsntada pla quação: J 2 R (3.) Ond R é o valor crítco, aqu sndo uma função d ndurcmnto d uma varávl ntrna,, para sr dfnda dpos. A ntrprtação físca do crtéro d von Mss dz qu uma vz qu o comportamnto lástco dos matras é assumdo como lnar lástco, a nrga d dformação lástca armaznada () no stado gnérco dfndo pla tnsão pod sr dcomposta como a soma: d v (3.2) Ond d é a nrga d dformação lástca armaznada d dstorção dformação lástca armaznada volumétrca. Da contrbução da dstorção, v é a nrga d d s, 2G (3.3) Ond: 2 s J, G (3.4) E da contrbução volumétrca, v p 2 K (3.5) Ond G K são, rspctvamnt, o módulo d lastcdad transvrsal módulo volumétrco. Nas quaçõs , o crtéro d von Mss é quvalnt a afrmar qu o comço do 4 VON MISES, R. Mchank dr Fstn Korpr m Plastsch-dformabln Zustand. Nachr. d. Gsllsch d. Wssnsch. Zu Gottngn, Math.-phys. Klass, 93. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

60 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz procsso plástco ocorr quando a nrga d dformação lástca d dstorção atng um valor crítco. O valor crítco corrspondnt da nrga d dstorção é: G R (3.6) Nota-s qu o componnt d prssão do tnsor d tnsão não partcpa na dfnção do crtéro d von Mss, apnas o nvarant d prssão pod nfluncar no lmt d scoamnto plástco. Dsta forma, o crtéro d von Mss também não é snsívl à prssão. Em um stado d csalhamnto puro, ou sja, um stado com a contrbução apnas da part csalhant da tnsão, logo, tmos:,' (3.7) Sab-s qu, s = qu: J 2. (3.8) 2 Então a suprfíc d scoamnto d von Mss pod sr dfnda como: s y J 2 (3.9) Ond y R é o lmt csalhant d tnsão. Por outro lado, consdrando o caso d tnsão unaxal:, (3.) Nst caso, tmos: P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

61 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz s, (3.) J (3.2) E a função d suprfíc d scoamnto d von Mss pod sr dfnda como: q y (3.3) Ond R é o lmt d scoamnto unaxal d tnsão : y 3 s q 3J (3.4) 2 q é chamado d tnsão ftva ou quvalnt d vom Mss. O lmt d scoamnto unaxal ou csalhant d tnsão para o crtéro d von Mss é rlatado como: (3.5) y 3 y. Dvdo à sua dfnção m trmos d uma nvarant do tnsor d tnsõs, a função d suprfíc d scoamnto d von Mss é uma função sotrópca d σ. A suprfíc d scoamnto (Φ = ) assocada com ao crtéro d von Mss é rprsntada, no spaço d tnsõs prncpas, pla suprfíc d um clndro crcular nfnto, cujo xo concd com o xo hdrostátco. Em plano é rprsntado d acordo com a Fgura 3.6. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

62 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz... 6 Fgura 3.6 Crtéro d von Mss (Autor) Aspctos Computaconas A mplmntação computaconal ral tm sdo rstrta aos stados d dformação plana dformação axssmétrca. Então procupa-s com os problmas no stado plano d tnsão (EPT) m qu crtos componnts d tnsão, m vz d dformação, stão rstrtos a zro. Apsar da sua trvaldad, a rstrção no EPT rqur uma análs mas aprofundada. Ess tm stá dscrto basado m Souza Nto t al. (28), ond maors dtalhs podm sr ncontrados. O EPT é ntroduzdo na análs dos corpos m qu uma das dmnsõs (a spssura - t) é muto mnor qu as outras dmnsõs é submtda a cargas qu gram tnsõs domnants prpndculars à drção da spssura, como mostrado na Fgura 3.7. As stuaçõs típcas d ntrss da ngnhara m qu a hpóts d stado plano d tnsão é aplcávl são ncontradas na análs d placas sujtas a cargas no plano m mmbranas fnas com rgdz dsprzívl na flxão no cort transvrsal (SOUZA NETO t al., 28). P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

63 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz... 6 P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3 Fgura 3.7 O stado plano d tnsão, adaptada plo autor, (SOUZA NETO t al., 28) Assocando os índcs 2 com as drçõs no plano o índc 3 corrspondnt a drção normal (transvrsal ou spssura), um EPT gnérco é dfndo por um tnsor: (3.6) Rlmbrando um caso smpls d lastcdad no EPT sotrópco, a rlação ntr os componnts d tnsão não nulos as dformaçõs no plano é dada pla xprssão: ² E (3.7) o qual quval, m trmos d csalhamnto módulo d comprssbldad, lê-s: G (3.8) sndo:

64 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3 G K G K (3.9) No modlo trdmnsonal: G G G G K G K G K G K G K G K G K G K G K (3.2) no qual prscrvmos os componnts no plano d dformação,, anulamos com componnts fora do plano d tnsão,,. Qu nos dá o sstma: * 3 * 23 2 * * 2 * 22 * G G G G K G K G K G K G K G K G K G K G K (3.2) ond o astrsco é usado para apontar às quantdads dsconhcdas. A solução do sstma acma produz a l lástca do EPT m conjunto com as xprssõs já bm conhcdas para a dformação fora do plano = =: G K G K (3.22) Em suma, as quaçõs consttutvas d lastcdad do EPT são obtdas por prscrção das dformaçõs no plano fazndo cumprr a rstrção do plano d tnsão sobr a l trdmnsonal, m sguda, obtndo como rsultado, as dformaçõs dntro fora do plano.

65 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Rstrng-s a quação consttutva do caso trdmnsonal a fm d obtr o su homólogo no EPT. A da subjacnt é a msma: prscrvr apnas as dformaçõs no plano da quação trdmnsonal usar a rstrção no EPT como uma condção adconal, d modo a dtrmnar as tnsõs no plano as dformaçõs fora do plano. O problma orgnal trdmnsonal lastoplástco d valor ncal é rdfndo da forma rstrta como sgu. Para o EPT lastoplástco d valor ncal, dados os valors ncas (t ) (t ), para o tnsor d dformação lástco um conjunto d varávl ntrna, dada a hstóra dos componnts do tnsor d dformação no plano: t t, t, t t,,, 22 2 T (3.23) ncontra-s as funçõs (t), (t) (t), para a dformação lástca, o conjunto d varávl ntrna o multplcador plástco qu satsfaz a rdução gral da quação consttutva lastoplástca trdmnsonal: t t t N t, At t t H t, At (3.24) (3.25), t, t, At, t t, At (3.26) com: t, At, (3.27), m adção, satsfaz a rstrção do plano d tnsão. A fm d ncontrar uma aproxmação numérca para a solução do problma d volução lastoplástca do stado plano d tnsão acma, alguma modfcação é ncssára. As qustõs rlatvas à mplmntação xplícta d modlos d EPT são abordados por Marqus (984). Para o squma mplícto, podm sr adotadas três prncpas abordagns gras para ldar com o problma: P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

66 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz (a) nsrção drta da rstrção no plano d tnsão no prdtor lástco trdmnsonal aplcado no nívl do ponto d Gauss. Esta abordagm também pod sr mplmntada por mo d uma ntração d Nwton-Raphson para aplcação no EPT; (b) uso do rtorno d mapamnto padrão trdmnsonal no nívl do ponto d Gauss com a condção do EPT adconada como uma rstrção strutural ao nívl da strutura global; (c) uso do EPT projtando as quaçõs consttutvas, ond, m smlhança com o procdmnto do tm (a), a rstrção plano d tnsão é mposta ao nívl do ponto d Gauss. Essa stratéga fo mplmntada no programa MATLAB para o modlo sotrópco d ndurcmnto d von Mss. Essas três abordagns são quvalnts m qu, dsd qu o msmo squma numérco usado é na dscrtzação das quaçõs lastoplástcas, as três mtodologas produzam um ncrmnto dêntco d tnsão plana nas quaçõs consttutvas. A dfrnça ssncal ntr ssas abordagns, nst caso, rsd na forma m qu a rstrção plana d tnsão mposta ao modlo trdmnsonal é aplcada. Para o caso trdmnsonal, há uma smplfcação consdrávl do sstma algébrco, podndo sr alcançado através da xploração dnomnada no modlo m qustão. É possívl notar qu smplfcaçõs tm rduzdo o rtorno d mapamnto para o modlo d von Mss para uma únca quação não lnar. Sob sotropa lastoplástca, por xmplo, a condção d EPT mplca: p p 3 3 3, , (3.28) garantndo qu 3 23 dsaparçam. Nst caso, a únca quação adconal no rtorno d mapamnto trdmnsonal é: n, 33 n (3.29) tral com uma assocação xtra dsconhcda 33. Também é possívl ldar com o EPT usando o algortmo trdmnsonal orgnal (sm modfcação) dntro d um loop d Nwton-Raphson para o EPT ao nívl do ponto d Gauss. Para smplfcar, é consdrado o caso como sotrópco, ond a dformação a componnt d tnsão d csalhamnto transvrsal dsaparcm d forma dêntca. A fm d dscrvr o procsso, é convnnt utlzar a notação para a matrz: P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

67 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz T 22 2 T (3.3) (3.3) Durant uma tração d qulíbro típca, os dslocamntos no plano são prscrtos por sso a matrz d dformação no plano ordnada é n +. Em vz d dar n + (ou tral n ) como a ntrada d um sstma algébrco aumntado, pod procdr da sgunt manra: m prmro lugar, é dfnda alguma stmatva ncal para o dsconhcdo ( tral ) 33 n. Um possívl palpt pod sr o antror, ond convrgram (qulíbro) para fora do plano d dformação lástca, ou sja, podmos dfnr:. tral 33 : 33 n (3.32) Aqu o subscrto n + fo adotado por convnênca d notação, ond n é a tração antror n+ a tração atual. Em sguda, usamos a matrz d dformação aumntada: tral tral T T 33 (3.33) assm como a ntrada do algortmo d ntgração para o caso axssmétrco. Not-s qu um componnt d dformação fora do plano dv sr prscrto para o algortmo axssmétrco. Dpos d aplcar a axssmtra lástca no rtorno do mapamnto, a rotna corrspondnt va voltar para a matrz d tnsão aumntada: T T. n 33 (3.34) S 33 = (ou, nos trmos computaconas, 33 tol ) ntão a suposção tral n, d fato rsolv o problma do stado plano d tnsão, a solução obtda plo algortmo axssmétrco é a qu stamos procurando. Caso contráro, podmos aplcar uma corrção d Nwton- Raphson para obtr outro palpt: tral 33 : tral 33 D 33 22, (3.35) ond D 22 é o componnt da matrz tangnt consstnt axssmétrca: P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

68 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz d d d d D D 2 D D 2 22 d d 22 2d d33 tral tral tral 2 tral, (3.36) qu rlacona as componnts d tnsão dformação. Rpt-s o procsso até ncontrar o valor da dformação lástca tral 33 qu, junto com a dformação no plano cnmatcamnt prscrto pla tração d qulíbro global, rsulta m zro (ou um valor muto pquno) d tnsão transvrsal m cma da aplcação do algortmo axssmétrco. 3.2 INTRODUÇÃO À MECÂNICA DA FRATURA Sgundo Gullo (22), a Mcânca do Dano dfr-s da Mcânca da Fratura nos sgunts aspctos: Na Mcânca do Dano a rsstênca d uma strutura carrgada é dtrmnada m função da volução d um campo d dftos contnuamnt dstrbuídos; Na Mcânca da Fratura a rsstênca d uma strutura carrgada é dtrmnada m função da volução d um dfto partcular. O mo m volta da fssura é assumdo como ntacto. Mas ants d falar sobr a Mcânca da Fratura, é prcso ntndr o qu é uma falha. Sob o ponto d vsta mcroscópco, a falha d uma strutura s dá d acordo com o acúmulo d danos, a ncação d uma ou mas trncas, a propagação dssas trncas, chgando por fm na fratura do matral. Consdra-s qu uma strutura ou uma part dla falha, quando a msma fca totalmnt nutlzada ou quando la anda pod sr utlzada, porém não dsmpnha mas sua função d forma satsfatóra ou quando uma dtroração séra a torna nsgura para contnuar a sr utlzada. Uma strutura falha por nglgênca durant o projto, a construção ou a opração da strutura, ou até msmo pla aplcação d um novo projto ou d um novo matral qu vm a produzr um rsultado ndsjado. Assm, o prncpal ponto d studo da Mcânca da Fratura é o comportamnto do matral quando contém uma fssura, ou sja, uma trnca. O procsso d ruptura do matral ocorr plo crscmnto d uma fssura. Esta fssura pod sr um dfto nrnt ao matral, dcorrnt do procsso d fabrcação, como trncas d tratamnto térmco, dftos d soldagm, falhas ntrnas m componnts funddos, tc. Em outros casos P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

69 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz a fssura pod s dsnvolvr dvdo a uma solctação dnâmca, como na nuclação d trncas por fadga. A Mcânca da Fratura é a ára qu studa procssos mcâncos qu lvam à propagação d fndas, fssuras outros dftos, qu dmnum a rsstênca do matral, provocando a fratura. Ela surgu, d acordo com Andrson (995), com a ncssdad d analsar o comportamnto dos matras m qu a sua strutura aprsntava alguma fssura, trnca ou dscontnudad. Um dos objtvos da Mcânca da Fratura é obtr as rspostas do comportamnto mcânco para matras com a prsnça d trncas m sua strutura. D acordo com a abordagm tradconal, o matral é assumdo como adquado quando a tnsão d ruptura for maor qu a tnsão aplcada sprada. Já para a Mcânca da Fratura m s, xstm duas varávs m substtução à tnsão d ruptura, o tamanho da fssura a tnacdad à fratura, como a caractrístcas rlvants do matral. O uso cada vz mas gnralzado da Mcânca da Fratura s dv ao fato d qu sta prmt quantfcar d uma forma bastant prcsa os nívs admssívs m qu um componnt com trncas pod oprar, sm qu vnha a falhar. Est fator é muto mportant, prncpalmnt m pças com um maor custo d fabrcação, como grands rotors funddos ou soldados, rsrvatóros soldados olodutos, pos dvdo ao procsso d fabrcação utlzados, é quas mpossívl assgurar qu não ocorram dftos ntrnos no matral, ou sja, são muto sujtos à ocorrênca d dftos. Quando o control d qualdad dtcta um dfto d tamanho sgnfcatvo, a dcsão d rjtar ou não o componnt passa a tr um pso conômco bastant lvado, dvdo ao custo do componnt. Por outro lado, quando o control d qualdad não dtcta qualqur dfto sto não sgnfca qu o componnt ralmnt não os tnha, xstm dftos qu podm passar dsprcbdos. Tsts d sobrcarga podm sr utlzados para forncr uma da d qual o tamanho máxmo d dftos qu o componnt pod vntualmnt contr. Nstas stuaçõs é qu a Mcânca da Fratura tm plna aplcação, tornando possívl uma dcsão conscncosa sobr o procdmnto a adotar, para rfugar ou não uma pça, por xmplo. D acordo com Rosa (22), os studos sobr a Mcânca da Fratura ncaram quando os procssos usuas d cálculo strutural s tornaram nsufcnts para xplcar falhas d struturas solctadas por nívs d tnsõs bastants abaxo dos admssívs. Em 93, Ingls publcou o prmro trabalho a rspto d fratura. Nst trabalho, fo obsrvado por l o fto das concntraçõs d tnsõs próxmas a furos, m placas planas, P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

70 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz submtdo a um stado d tração axal, fo obsrvado também qu próxmo a ls possuía uma concntração d tnsão, qu ra proporconal às dmnsõs das nclusõs. Em 92, Grffth, a partr do modlo d Ingls, propôs qu as trncas só acontcram caso obdcss à l d consrvação d nrga. El formalzou uma conxão ntr a tnsão d fratura o tamanho da fssura, dando orgm ao concto d balanço d nrga. Fo vsto qu d acordo com o aumnto da fssura, a nrga potncal armaznada plo sstma dmnu, dsspando ntão a nrga potncal lástca, provocada pla formação da nova fssura. Sus studos foram ftos m vdros, ou sja, ss modlo é aplcado para matras dalmnt frágs. Porém o modlo não aprsntou a rsposta sprada para outros matras, como por xmplo, os mtas. Irwn, m 948 Orowan, soluconaram a dfcênca do modlo proposto por Grffth para matras dúcts. Sgundo ls, a Tora d Grffth podra sr aplcada para os mtas, dsd qu a nrga suprfcal consdrada ncluíss a nrga dspndda na dformação plástca suprfcal, p, contmplando assm os matras lastoplástcos. Por outro lado, um dos prncpas parâmtros utlzados na Mcânca da Fratura para dscrvr a propagação d uma fssura s rlacona com o tpo a forma da msma. Exstm ntão três modos, conform vsto na Fgura 3.8. Fgura 3.8 Modos d fraturamnto (KANG, 22) O modo I (tração) é chamado d modo d abrtura, ond a propagação da fssura acontc no plano o dslocamnto a força aplcada são normas ao plano da fratura. O modo II (csalhamnto dntro do plano/dslzamnto) é ond a propagação da fssura acontc no plano o dslocamnto a força aplcada são parallos ao plano da fratura. E por fm o modo III (csalhamnto fora do plano/rasgamnto) é ond a propagação da fssura acontc no spaço o dslocamnto a força aplcada são parallos ao plano da fratura. Em 939, Wstrgaard rprsntou os campos d tnsõs numa placa com um furo no cntro, lvando Irwn, m 957, a propor um fator, chamado d Intnsdad d Tnsão, qu P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

71 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz rprsnta as tnsõs na rgão próxma à ponta da trnca. Cada modo, ctado antrormnt, tm um fator d ntnsdad assocado. Pod-s anda ctar qu a Mcânca da Fratura possu, ncalmnt, duas vrtnts d studo, a Mcânca da Fratura Lnar Elástca (MFLE) a Mcânca da Fratura Elasto-Plástca (MFEP). A MFLE surgu m função das lmtaçõs na aplcação dos conctos tradconas para prvr o comportamnto dos matras quanto à prsnça d dscontnudads ntrnas suprfcas, são aplcados apnas para matras lnars-lástcos m condção quas státca, sndo mas bm aplcada m para matras frágs. Já a MFEP surgu m função das lmtaçõs na aplcação do crtéro d K lc da MFLE m matras dúcts, ond a xstênca d uma zona plástca d tamanho sgnfcatvo m rlação à spssura nvalda as consdraçõs d tnsõs lástcas na ponta da trnca, controlando o procsso d fratura, ou sja, consdra a fratura sndo plástca m condçõs d quas státca. A partr do MFEP surgram város outros trabalhos, como a Mcânca da Fratura Dnâmca, a Mcânca da Fratura Vscolástca, a Mcânca da Fratura Vscoplástca, qu consdram o tmpo como uma varávl. Dntro dss contxto, tm-s também o surgmnto da Mcânca da Fratura Cosva qu vo como uma altrnatva para smular a prda gradual d rsstênca rgdz através da proposta d transmssão d sforços ntr as suprfícs d uma fratura. Essa tora srá a bas da proposção d um modlo consttutvo utlzado nss trabalho qu srá dscrto a sgur Modlo d Fratura Cosva Os modlos ctados antrormnt são bastant fcazs quando s trata d fraturas m matras frágs, ond s dsprza a zona d fraturamnto, porém a dmnsão da zona d procssos nlástcos prsnts m matras dúcts cmntícos não sgu a confguração aprsntada nos matras frágs sndo consdravlmnt maor. Sndo assm, são ncssáras modfcaçõs na tora orgnal d forma a sta consgur rprsntar sss fnômnos. Então, a proposção dssas modfcaçõs orgnou os modlos cosvos, qu aprsntam aproxmaçõs sobr o comportamnto da zona d procsso d matras com dfrnts comportamntos struturas. As fssuras smpr consdraram a ocorrênca m sua rgão m forma d ponta aguda, porém sss modlos são aplcados apnas para uma zona d procsso d fratura, d tamanho pquno não consdrando o qu P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

72 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz... 7 acontc m volta da trnca. Logo a fnaldad do modlo d fratura cosva é a dscrção do procsso d fratura complto, assm como o su progrsso. Dugdal, m 96, aprsntou o prmro modlo d fratura cosva, com o objtvo d rprsntar a fratura m chapas fnas d matras dúcts, dscrvndo a rgão danfcada qu aprsnta crta capacdad d transmtr sforços, ou sja, propõ a xstênca d uma fratura capaz d transfrr a tnsão d uma fac para outra. Sgundo ss modlo, a fssura ral é substtuída por uma fssura dnomnada ftva, a qual tm su comprmnto maor qu o da fssura ral, dvdo ao acréscmo no comprmnto dcorrnt da prsnça d uma zona plástca (da), conform vsto na Fgura 3.9. Fgura 3.9 Confguração do modlo d Dugdal (LEONEL, 29) Essa xtnsão stá sujta a tnsõs d plastfcação constants atuando no sntdo d fchar as xtrmdads da fssura, ss comprmnto é tão grand qu as tnsõs sngulars na xtrmdad da fssura dsaparcm, fazndo com qu o fator d ntnsdad d tnsão s torn gual à zro. Com bas na tora d Dugdal, m 962, Barnblatt stndu os conctos para matras frágs. A partr dss modlo, m 976, Hllrborg t al. propusram um modlo m qu ncluía o amolcmnto dvdo a tração na zona d procssos nlástcos, aplcando a tora m concrtos, propondo o modlo d fssura fctíca. O trmo fctíco é mprgado para rssaltar o fato d qu ssa part da fssura não pod sr dscontínua com total sparação das facs como m uma fssura d tração lvr. Em 996, Camacho Ortz aprsntaram um modlo m qu smulava a partr d uma nova forma os dvrsos mcansmos d fraturamnto, ond s ncluu um novo parâmtro para a ncalzação do procsso d fratura. Com ssa nova varávl fo possívl fazr com qu a análs s ncass sm nnhuma fratura cosva, d acordo com o procsso d P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

73 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz... 7 carrgamnto, na malha, os lmntos fntos qu smulam o fraturamnto são ncluídos durant a xcução da análs. Em 999, Ortz Pandolf contnuaram o studo stndramno para casos trdmnsonas. Em 25, Crak t al. dsnvolvram um método m lmntos fntos para a smulação d fraturas dnâmcas a fragmntação d cascas fnas. O modlo d fratura cosva utlzado nst trabalho é o dsnvolvdo m Ptuba t al. (26), ond a forma xponncal adotada para a l d transmssão d sforços s mostrou bastant propíca para a smulação do procsso d fratura m mos dúcts, nclusv mnmzando problmas d nstabldad numérca nrnts a st tpo d problma Modlo Consttutvo d Fratura Cosva Elmnto Fnto d Contato Em 999, Ortz Pandolf propusram um modlo consttutvo para fratura cosva, o qual dscrv a l cosva d dformação fnta rrvrsívl. Nst modlo analsa-s a propagação da fssura trdmnsonalmnt. Na Fgura 3. obsrva-s um sóldo contndo uma dscontnudad com abrtura δ. Fgura 3. Fac transvrsal cosva d um corpo trdmnsonal (ORTIZ E PANDOLFI, 999) D acordo com o modlo d Ortz Pandolf (999), a nrga cosva lbrada é dada pla quação (3.37): n, s,q (3.37) Ond: n abrtura dvdo ao modo I; s abrtura dvdo ao modo II; q varávl qu dscrv os procssos nlástcos da cosão. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

74 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Podmos scrvr qu: s δ s (3.38) Dando assm um carátr sotrópco para o su comportamnto naqula suprfíc. E para a formulação da l cosva dos modos mstos, ntroduz-s um dslocamnto d abrtura ftva, como é vsto na quação (3.39) S n Ond: dslocamnto d abrtura ftva; parâmtro qu quantfca a razão ntr os procssos d abrtura da fratura dvdo ao scorrgamnto à sparação normal, assum valors dfrnts para as abrturas d scorrgamnto normal, varando d a. Como um modlo smpls d cosão é obtdo assumndo qu a nrga potncal lvr dpnd apnas d através do dslocamnto d abrtura ftva, sto é:,q (3.4) A partr dsso, sgu a l cosva, dada pla quação 3.4: t 2 t S Ond: n n (3.4) n é o vtor normal a fssura; t é a tnsão cosva scalar. No qual, o valor d t é dado pla quação 3.42: t (3.42) t s t n Essa rlação mostra qu dfn qu a razão ntr os procssos rlatvos ao csalhamnto as tnsõs normas crítcas, sndo ntão um fator d pso para s lvar m conta o fnômno d scorrgamnto ntr as bordas da fssura. Prcb-s qu, próxmo ao fchamnto, à suprfíc cosva é sujta à condção d rstrção d contato, nclundo o atrto, consdrando P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

75 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz ambos como fnômnos ndpndnts a srm modlados fora da l cosva (ORTIZ; PANDOLFI, 999). Ptuba t al. (26) propõm, para smular o comportamnto mcânco d matras, com o ntuto d mnmzar problmas d nstabldad da rsposta numérca dss tpo d formulação, a nrga cosva lbrada na mcrostrutura do matral (quação 3.37) é dado pla xprssão: c cc. (3.43) Ond a l d tnsão ftva cosva para o caso d carrgamnto é obtda da quação 3.4, como sndo: t c / c, s = máx > (3.44) E a rlação proposta para a tnsão ftva scalar no caso d dscarrgamnto é proposta admtndo-s um caso lástco, ou sja, sm dslocamnto d abrtura ftva rsdual, sndo dscrta a sgur: t t máx, s < máx (3.45) máx Ond é a bas nprana ( = 2,7828), c é um parâmtro do modlo qu rflt a máxma tnsão d tração normal cosva, é a vlocdad d abrtura, máx é a máxma abrtura ftva até o nstant da análs, t máx é a máxma tnsão ftva até o nstant da análs c é a abrtura crítca. Enquanto a tnsão ftva for mnor qu a tnsão d tração normal cosva, c, não xst fratura na rgão vrfcada, mas quando ssa tnsão ftva assumr valors maors qu a tnsão d tração normal cosva, a fratura é crada, consdrada como um procsso d sparação gradual com a fnaldad d vtar uma fort brusca dscontnudad no matral. Sgundo Ortz Pandolf (999), há uma rlação ntr a taxa lbrada d nrga crítca (G c ) para a propagação d fratura, m nosso caso, na mcrostrutura do matral, a l cosva. Adotando-s a drção como sndo aqul no plano da fratura na drção d propagação da msma, pod-s admtr qu Gc é dado por: P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

76 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz G c R t. dx (3.46). Ond R é o comprmnto da zona cosva. A quação 3.46 pod anda sr ntndda como: G C t., dx (3.47) Para o caso da quação 3.43, tmos qu a taxa lbrada d nrga crítca é xprssa como: G C (3.48) C C Obvamnt qu a nrga d fratura das modlagns convnconas, aqulas ralzadas com modlos consttutvos fnomnológcos, trata da fratura no macrocontínuo como um mo homognzado. No prsnt trabalho, o concto d nrga d fratura stá ntmamnt lgado ao qu ocorr na ntrfac na msoscala do matral, qu ao s propagar unr com outras mcrofssuras podm vr a grar um procsso d localzação, o qu lva à formação d uma fratura no macrocontínuo. Ess procsso lva a uma rlação ntr as nrgas d fratura no macrocontínuo (matral homognzado) na msoscala do matral, como abordado m Olvr t al. (24). Ants do aparcmnto das fraturas, uma rgdz ntr as bordas da possívl fratura prsnt ntr os lmntos fntos trangulars é chamada d fator d pnaldad (λ p ). Est fator d pnaldad é um parâmtro d valor scalar. Na prátca, valors altos para o fator d pnaldad são adotados a fm d obtr uma aproxmação prcsa. Tal procdmnto garant qu a possívl fratura prmança fchada até s atngr o crtéro d sparação, ao msmo tmpo, garant a admssbldad físca d todo o procsso. O fator d pnaldad é, portanto, uma rgdz mposta ao fchamnto da fssura. Por outro lado, sgundo Crak t al., 25, é crada uma rgdz nos nós pars com o procsso d contato d lmntos fntos cosvos, para não prmtr a pntração das suprfícs d fssura, porém, nos rgms prdomnants d tração, st fator d pnaldad substtu ftvamnt a porção rígda ncal da l cosva por uma rsposta lnar rígda, conform s vê na quação Para dtctar o fnômno d contato cosvo, é adotado o concto das dfrnças ntr os pontos d Gauss do lmnto fnto d contato fratura cosva. t, s (3.49) p p c P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

77 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Adota-s a fratura como aparcndo propagando apnas na frontra do lmnto fnto d contato fratura cosva. Em 28, Paulno t al. abordaram uma análs m qu, nas bordas d uma fssura os lados opostos ntragm através d uma tração cosva, nvolvndo ntão nss fnômno uma transção da contnudad para uma dscontnudad dscrta. Para sso utlza-s o modlo d fratura cosva, podndo assm sr smulado por funçõs d nrqucmnto ou plas técncas d nsrção d fratura ntr lmntos. Nst trabalho srá utlzada a técnca m qu o lmnto fnto d contato fratura cosva é nsrdo ntr os lmntos fntos trangulars, o qual fornc rspostas prcsas, vtando assm a ncssdad d uma adaptação da malha na nsrção do lmnto cosvo. Esss lmntos são compostos por duas suprfícs, suas confguraçõs são concdnts com as bordas dos lmntos fntos trangulars na confguração ndformada do EVR. Em 25, Ptuba Souza Nto (25) aprsntaram uma formulação na qual o lmnto fnto d contato fratura é dfndo como um lmnto d quatro nós, a sua gomtra é compatívl com a d dos lmntos trangulars usados para modlar as fass da matrz a nclusão, no prsnt trabalho srá adotado a msma formulação. Fgura 3. Modlo do Elmnto Fnto d Contato Fratura Cosva (PITUBA E SOUZA NETO, 25) A Fgura 3., mostra qu no sstma local do lmnto fnto, o xo s é a drção d csalhamnto o xo n é a drção da normal. Sgu abaxo as quaçõs dos dslocamntos nodas das forças ntrnas (quaçõs ): P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

78 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3 u u u u u u u (3.5) n t n t n t F F F nt nt nt nt F F F F (3.5) As varávs u + F nt+ são os dslocamntos nodas vtor d forças ntrnas rlaconados com o lado postvo +, as varávs u - F nt- são os dslocamntos nodas vtor d forças ntrnas rlaconados com o lado ngatvo -. Para calcular a função d abrtura m cada ponto d Gauss utlza-s a sgunt quação:...,,2,3 u u s s u N u N (3.52) Na quação, u - ( ) u + ( ) são os dslocamntos rlaconados ao ponto d Gauss na suprfíc ngatva postva, N - ( (s)) N + ( (s)) são as funçõs d forma rlaconadas ao ponto d Gauss na suprfíc ngatva postva. Logo, a matrz N tm a contrbução da função d forma d ambos os lados, conform vsto na quação abaxo: N N N N N N N N N N N (3.53) Logo, consdrando prncípo do trabalho vrtual ao longo da fssura no lado postvo +, trmos:

79 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz w nt t s. ηs d R S T N stsd R (3.54) 2 S 2 Aprsntando ntão o vtor d tnsõs os dslocamntos vrtuas. Por outro lado, é possívl obtr o vtor das forças ntrnas no lmnto fnto d contato fratura cosva, como é mostrado na quação abaxo: F n t l N T t S d (3.55) 2 Ond: l é o comprmnto do lmnto fnto; t(s()) é o vtor d tnsão cosva m cada ponto d Gauss, composta plas componnts d csalhamnto normas, conform a quação S S t s t S (3.56) t n D acordo com as quaçõs vstas, é possívl notar qu cada ponto d Gauss contrbu para a volução das forças ntrnas através do vtor d tnsão computado. Sndo pla l cosva, na qual a fssura stá m rgm d abrtura ou d dscarrgamnto, ou sndo pla l d contato, na qual a fssura s ncontra fchada sndo mplda a contnuar fchada no ponto d Gauss, fazndo com qu as suprfícs da fssura talvz não sjam propramnt parallas. Pla l cosva, ou sja, para fssuras abrtas, no caso d carrgamnto, o vtor d tnsão cosva é obtdo através das quaçõs , para o caso partcular no ponto d Gauss, sndo suas componnts conform quaçõs abaxo: t t s n c c 2 s (3.57) c c (3.58) n P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

80 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz E das quaçõs são obtdas o vtor d tnsão cosva para os casos d dscarrgamnto nos pontos d Gauss d ntrss, sndo suas componnts conform quaçõs t t s n tmax 2 s (3.59) max tmax n (3.6) max Sndo, t máx ( ) máx ( ) os últmos valors convrgdos do ncrmnto antror, no contxto d cálculos d lmntos fntos mplíctos, porém pla l d contato, ou sja, s as suprfícs d fssura fcham no ponto d Gauss d ntrss, a tnsão é dada plas quaçõs s p s t l (3.6) t n p n l (3.62) Rtornando à quação 3.54, nota-s qu a ntgral é válda ao longo da suprfíc ndformada do lmnto, m sua confguração d rfrênca, qu a msma pod sr aproxmada numrcamnt utlzando um squma com três pontos d Gauss, qu é dfndo ao longo do lmnto, dando assm o vtor d forças ntrnas do lmnto, vsto nas quaçõs F l ngauss n t T N ts (3.63) 2 n t n t F F n t (3.64) F Para obtr o vtor d forças ntrnas no lado ngatvo F nt- é prcso lvar m conta qu o vtor d tnsão cosva tm valors ngatvos, para satsfazr a qulíbro do lmnto fnto nt+ d contato fratura cosva, consdrando qu F = F nt-. Contudo, para rsolvr o caso d um problma não lnar d valor d contorno do EVR dscrtzado é prcso fazr a lnarzação da quação d qulíbro, como é vsto abaxo: d F R d u ~ d u (3.65) P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

81 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3 Sndo o R a força dsqulbrada, u ~ d um ncrmnto do campo d flutuação d dslocamnto a rlação u F d d é a rgdz tangnt, qu também pod sr chamada d K. Focando nos lmntos fntos, tmos como a rgdz tangnt consstnt, K, scrta como s vê na quação n t n t n t u F u F u F K d d d d d d (3.66) Na componnt rlaconada com o lado ngatvo é prcso consdrar a drção do vtor d tnsão cosva, porém para o lado postvo, prcb-s qu: n t n t u δ δ F u F d d d d d d (3.67) ngauss d d l d d 2 ξ S T n t δ t N δ F (3.68) N N u u N u N u δ d S S d d d (3.69) Equaçõs smlars a ssas são obtdas para o lado ngatvo. Na quação 3.68 pod-s calcular o ponto d Gauss d ntrss através da drvada δ t d d, porém ao consdrar uma abrtura d fssura, ssa drvada é dada, para os casos d carrgamnto dscarrgamnto, plas quaçõs , rspctvamnt. n c n c s n c s n c s s t d d d d d d d d d d n n s n n s s s δ t δ t δ t δ t δ t ξ S (3.7) 2 max max t d d d d d d d d d d n n s n n s s s δ t δ t δ t δ t δ t ξ S (3.7) E caso a fssura stja fchando no ponto d Gauss, a matrz sra:

82 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz... 8 d dt δ S ξ pl (3.72) P. V. Q. ANDRADE Capítulo 3

83 CAPÍTULO 4 ANÁLISES NUMÉRICAS DE CMMS Nst capítulo é abordada a vrfcação da vabldad do mprgo da formulação aprsntada nst trabalho. Para tanto, são aprsntadas smulaçõs numércas na mcrostrutura d matras compóstos rforçados procurando-s prvr su comportamnto mcânco utlzando o Método dos Elmntos Fntos, vr Fgura 4.. Fgura 4. Modlo utlzado para a análs do comportamnto d mcrostruturas d CMMs (Autor) 4. SENSIBILIDADE PARAMÉTRICA DO MODELO EMPREGADO NA INTERFACE A partr do trabalho d Azz (22), foram dfndos os valors ncas dos parâmtros rfrnts às proprdads dos matras, adotando-s para a matrz um cofcnt d Posson m =,3 um módulo d lastcdad, atrbuído d acordo com o tpo d matral nss caso fo dfndo sndo gual a E m = 69. MPa. Para as nclusõs, fo utlzado um cofcnt d Posson =,7 a rlação para o módulo d lastcdad fo d E = 5,7x E m, rsultando m E = MPa. A tnsão d plastfcação adotada fo d 2 MPa o módulo d ncruamnto adotado fo d 5 MPa (lastoplástco-prfto). O modlo utlzado fo o d von Mss com ncruamnto sotrópco, além d sr consdrado stado plano d tnsão (EPT) m todas as análss. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

84 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz DESLOCAMENTO LINEAR X FLUTUAÇÃO PERIÓDICA Com o objtvo d vrfcar a possbldad d dfrnças ntr rspostas numércas utlzando dfrnts modlos multscala, um EVR rprsntando uma mcrostrutura d CMM (Fgura 4.) fo analsado consdrando-s os modlos d flutuação pródca condção d dslocamnto lnar. Basado nos trabalhos d Crak t al. (25), Frnands t al. (25a) Santos t al. (26), foram consdrados os parâmtros corrspondnts às caractrístcas dos lmntos d fratura, c =, MPa, =,77, p = 3 c =,2 mm, sndo utlzados 58 lmntos fntos trangulars 6 lmntos fntos d contato fratura cosva 339 nós na malha qu corrspond à modlagm. Nas drçõs x y, foram consdradas as dformaçõs macroscópcas gnércas aplcadas x =,4, y = -,7 uma dformação dstorconal, xy =,2. Para vrfcar ntão a snsbldad do modlo m trmos d parâmtros, fo fta uma comparação ntr os dos modlos, para vr qual a nfluênca dls para a tnsão homognzada a dformação macroscópca mposta no EVR, sus rsultados são aprsntados nas fguras abaxo. Fgura 4.2 Tnsão d csalhamnto ( xy ) x Dformação dstorconal ( xy ) (Autor) P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

85 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Fgura 4.3 Tnsão normal ( x ) x Dformação normal ( x ) (Autor) Fgura 4.4 Tnsão normal ( y ) x Dformação normal ( y ) (Autor) A partr dos gráfcos das Fguras 4.2, é vrfcado qu apsar dos rsultados srm bm próxmos, o modlo d Flutuação Pródca rprsnta mas a dsspação d nrga, dmonstrando prncpalmnt quando a fas d dscolamnto da ntrfac matrz/agrgado s nca, obtndo rspostas mas flxívs mas próxmas da raldad quando comparado com o modlo d Dslocamnto Lnar, o qu stá d acordo com Souza Nto Fjó (26). Prcb-s sso prncpalmnt no gráfco qu rprsnta o comportamnto do csalhamnto, ond há uma vdnt prda d adrênca da ntrfac dvdo ao scorrgamnto. Sndo assm, para os próxmos xmplos é utlzado o modlo d Flutuação Pródca INFLUÊNCIA DO PARÂMETRO Uma sgunda análs fo m rlação à mportânca do parâmtro, o qual rlacona a abrtura normal com a abrtura por csalhamnto, suas varaçõs, d acordo com o tpo d carrgamnto adotado. Os outros parâmtros do modlo d fratura cosva utlzados são os P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

86 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz msmos adotados para o prmro xmplo. Foram smulados três tpos d carrgamntos, tnsão prdomnant d tração na drção x, tnsão prdomnant d comprssão na drção x tnsão d csalhamnto puro. Em cada caso, três valors d foram comparados, o utlzado ncalmnt, =,77, um valor maor um mnor, =,8 =,6, rspctvamnt. Para o prmro caso, tnsão prdomnant d tração na drção x, foram mpostas nas drçõs x y, as dformaçõs macroscópcas, x =,2, y = -,5 uma dformação dstorconal, xy =,. As Fguras 4.5, lustram as comparaçõs das rspostas com a varação d. Fgura 4.5 Tnsão d csalhamnto ( xy ) x Dformação dstorconal ( xy ) (Autor) Fgura 4.6 Tnsão normal ( x ) x Dformação normal ( x ) (Autor) P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

87 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Fgura 4.7 Tnsão normal ( y ) x Dformação normal ( y ) (Autor) Como sprado, para um matral qu possu uma matrz com comportamnto dúctl, o parâmtro nflunca a tnsão homognzada d csalhamnto, como pod sr vsto na Fgura 4.5 dvdo ao rlaconamnto dss parâmtro com o scorrgamnto ntr as facs da fssura. Portanto, uma dmnução do valor do parâmtro lva a uma prda d rgdz acompanhada d um procsso mas vdnt d dscolamnto da ntrfac. Já no caso da Fgura 4.6, a tnsão homognzada normal na drção d x não aprsntou dfrnça sgnfcatva ao varar Por outro lado, na drção y, a tnsão homognzada normal aprsntou o msmo comportamnto até o procsso d dscolamnto sr atvado com um valor baxo d tnsão homognzada, como pod sr vsto na Fgura 4.7. A partr da tnsão d pco, um comportamnto d softnng é vdncado mostrando o dscolamnto ntnso por abrtura normal. O aumnto do valor do parâmtro proporconou uma prda d rgdz mas acntuada. Para o sgundo caso, stado prdomnant d comprssão, foram utlzadas as dformaçõs macroscópcas d: x = -,2, y =,5 a msma dformação dstorconal, xy =,. Pod sr vsto, através das Fguras 4.8, , qu o parâmtro não nflunca nos rsultados para o caso d stado prdomnant d comprssão, pos como sprado nss caso tmos problmas d contato nos lmntos d fratura o dslzamnto, assm como a abrtura normal ntr as facs da fratura na ntrfac, não s faz prsnt. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

88 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Fgura 4.8 Tnsão d csalhamnto ( xy ) x Dformação dstorconal ( xy ) (Autor) Fgura 4.9 Tnsão normal ( x ) x Dformação normal ( x ) (Autor) Fgura 4. Tnsão normal ( y ) x Dformação normal ( y ) (Autor) Para o trcro caso, csalhamnto puro, foram utlzadas as dformaçõs macroscópcas d: x = -7, y = -7 a dformação dstorconal, xy =,8. Na Fgura 4., sgu o rsultado da nfluênca do parâmtro para ss caso. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

89 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Fgura 4. Tnsão d csalhamnto ( xy ) x Dformação dstorconal ( xy ) (Autor) É possívl conclur qu para o xmplo analsado, a nfluênca d para o gráfco d tnsão homognzada d csalhamnto é pratcamnt nula. Já os rsultados rlatvos às tnsõs normas homognzadas nas drçõs x y foram consdrados como valors nulos por s tratar d um stado d csalhamnto puro IMPORTÂNCIA DO DESCOLAMENTO EM REGIME DE COLAPSO NO CMM A trcra análs tv a ntnção d vdncar a mportânca da consdração do procsso d dscolamnto m rgm d colapso no Compósto d Matrz Mtálca. Para sso fo comparado um modlo d uma nclusão adrda, ou sja, com a ntrfac prftamnt adrda, sm a nsrção d lmntos fntos d contato fratura na ntrfac, uma nclusão dscolada, com a nsrção d lmntos d fratura contato qu podm sr atvados a dpndr do procsso d dformação na ntrfac. Novamnt foram rssaltados os três casos, o prmro sndo d stado prdomnant d tração, o sgundo d stado prdomnant d comprssão o últmo d csalhamnto puro. Para ssas comparaçõs, foram utlzados novamnt os parâmtros do prmro xmplo as dformaçõs macroscópcas utlzadas no xmplo antror, as quas são, para o caso d stados prdomnants d tração, guas a: x =,2, y = -,5 xy =,. As Fguras 4.2, rprsntam as comparaçõs ntr as tnsõs homognzadas as dformaçõs macroscópcas mpostas. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

90 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Fgura 4.2 Tnsão d csalhamnto ( xy ) x Dformação dstorconal ( xy ) (Autor) Fgura 4.3 Tnsão normal ( x ) x Dformação normal ( x ) (Autor) Fgura 4.4 Tnsão normal ( y ) x Dformação normal ( y ) (Autor) Nos gráfcos das Fguras , d tnsão homognzada d csalhamnto tnsão normal, rspctvamnt, já s prcb a mportânca d consdrar o dscolamnto na ntrfac m rgm d colapso do MMC, havndo uma dfrnça consdrávl nos rsultados, ou sja, xst uma dmnução na rgdz do EVR ao consdrar a fratura na ntrfac. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

91 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Na Fgura 4.4 obsrva-s a fratura ocorrndo d modo vdnt na nclusão dscolada, havndo uma qubra da curva uma prda acntuada d rsstênca, nclusv com rgm d softnng apsar da ductldad do matral. Já para a nclusão adrda xst uma lnardad no gráfco. Novamnt s prcb uma maor rgdz para o caso da nclusão adrda, por não havr fratura na ntrfac. Esss rsultados stão d acordo com os aprsntados na ltratura (Santos t al., 26, Ptuba t al., 26, Chn t al., 23, Santos Ptuba, 27) vdncam a mportânca d consdrar o procsso d dscolamnto da ntrfac na smulação do comportamnto d matras compóstos rforçados m rgm d colapso, msmo sndo st, um matral com proporção bm maor d matral dúctl na rgão da matrz. A nglgênca da possbldad d ocorrênca do procsso d dscolamnto lva a uma análs ncorrta do comportamnto mcânco dss tpo d matral. A Fgura 4.5 rprsnta a malha dformada com a nclusão dscolada com fator d amplação da dformação para fto d vsualzação. Nssa fgura é possívl obsrvar o comportamnto d abrtura m modo I na drção x nquanto qu a abrtura va passando para um modo msto I II à mdda qu s obsrva a ntrfac m drçõs nclnadas. Já na drção y, obsrva-s o funconamnto do lmnto fnto funconando bascamnt como lmnto d contato mpdndo a transposção das facs do msmo, o qu sra fscamnt ncorrto. Portanto, a modlagm proposta aprsnta rsultados cornts quanto à smulação do comportamnto dos modos d abrtura na ntrfac. Fgura 4.5 EVR m Procsso d Dscolamnto (Autor) Para o caso d tnsão prdomnant d comprssão, as dformaçõs macroscópcas mpostas são: x = -,2, y =,5 xy =,, os rsultados são aprsntados nas fguras a sgur. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

92 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz... 9 Fgura 4.6 Tnsão d csalhamnto ( xy ) x Dformação dstorconal ( xy ) (Autor) Fgura 4.7 Tnsão normal ( x ) x Dformação normal ( x ) (Autor) Fgura 4.8 Tnsão normal ( y ) x Dformação normal ( y ) (Autor) Para o caso d stados prdomnants d comprssão, os rsultados são bm próxmos para ambos os casos, nclusão adrda dscolada, tanto para a tnsão homognzada d csalhamnto como para as tnsõs homognzadas normas, com lv tndênca d rsposta mnos rígda para a consdração do dscolamnto na drção y. Ess é o comportamnto P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

93 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz... 9 sprado para um EVR nss stado d tnsõs lvando aos lmntos d fratura contato funconar ssncalmnt m rgms d contato. Já para o últmo caso, stado prdomnant d csalhamnto, as dformaçõs macroscópcas mpostas ao EVR são: x = -7, y = -7 xy =,8. Nas fguras a sgur são aprsntadas as comparaçõs. A Fgura 4.9 aprsnta a comparação das rspostas consdrando não consdrado o procsso d dscolamnto da ntrfac. Obsrva-s uma lv dmnução da rgdz do EVR msmo consdrando prfta adrênca matrz/nclusão. Porém para o stado d xctação do EVR, anda não há um comportamnto dúctl vdnt dvdo à prfta adrênca ntr matrz/nclusão, as tnsõs ntrnas da matrz são totalmnt transmtdas, ond as msmas, por srm rígdas, consgum anda nfluncar a rsposta homognzada do EVR, confrndo-lh um comportamnto anda lástco na fas d carrgamnto aprsntada na Fgura 4.9. Já a consdração da possbldad d dscolamnto da ntrfac com a consdração d lmntos d fratura contato na ntrfac gra uma rsposta lástca até um nívl d,4 GPa, ond ocorr o níco do procsso d dscolamnto fazndo com qu as tnsõs ntrnas não sjam totalmnt transmtdas às nclusõs rígdas, o qu acarrta num aumnto d tnsõs ntrnas na matrz lvando a um procsso d plastfcação da rsposta homognzada do EVR vdncado um comportamnto dúctl do matral pla maor proporconaldad da matrz plo própro stado d dformação macroscópco mposto ao EVR com prdomnânca d dformação dstorconal. Porém, não há vdênca d prda d rsstênca com comportamnto d softnng justfcada pla abrtura d fraturas na ntrfac srm ssncalmnt m modo II, com prpondrânca do csalhamnto (scorrgamnto na fratura), ao msmo tmpo m qu o fnômno d contato xstnt na maora da rgão d ntrfac (vr Fgura 4.2) garantndo anda uma rgdz ao EVR. Já os rsultados rlatvos às tnsõs normas homognzadas nas drçõs x y foram consdrados como valors nulos por s tratar d um stado d csalhamnto puro. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

94 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Fgura 4.9 Tnsão d csalhamnto ( xy ) x Dformação dstorconal ( xy ) (Autor) Na Fgura 4.2 é rprsntada a malha dformada da nclusão dscolada com fator d amplação para fto d vsualzação. Fgura 4.2 EVR m Procsso d Dscolamnto 4.2 PROPOSIÇÃO DE X HOMOGENEIZADO DA MICROESTRUTURA A mtodologa utlzada nst tm trata d modlos mult-scala do tpo Hrárqucos. Nst caso, o EVR é utlzado para avalar a rsposta mcânca assocada a uma faxa d valors parâmtros pré-dtrmnados. Usualmnt, os parâmtros pré-dtrmnados podm sr camnhos d dformaçõs macroscópcas mpostas a rsposta mcânca pod sr tnsõs homognzadas. Portanto, pod-s construr um modlo quas-fnomnológco na macroscala a partr da bas d dados d nformaçõs pré-calculada. Em suma, prtnd-s nst tm propor quaçõs d comportamnto macroscópco do matral para dformaçõs macroscópcas mpostas pré-dtrmnadas basadas nas rspostas da mcrostrutura do matral. Est tpo aproxmação é muto fcnt, porém pod-s mnconar como dsvantagm a utlzação dssa mtodologa m matras com mcrostrutura muto P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

95 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz complxas. Nss últmo caso, os modlos dtos smconcorrnts é a técnca mas adquada, vr dtalhs m Frnands t al. (25). Por sso, nss tm srá proposto uma l d ndurcmnto para CMMs com struturas smpls na sua mcrostrutura. Para sso, prmramnt fo utlzado um EVR d tamanho x mm spssura d 8 mm, composto por uma matrz d comportamnto dúctl govrnada plo modlo d von Mss, cujo o módulo d lastcdad E = 2. MPa, y = 4 MPa módulo d ncruamnto d 2. MPa (% d E) cofcnt d Posson =,3, tndo anda um vazo no cntro d dâmtro gual a 2 mm. Lvando m conta o vazo, é fto o cálculo da dformação macroscópca mposta, para sso é utlzada uma rgra d msturas para dscobrr um novo cofcnt d Posson qu rprsnta a mcrostrutura homognzada. A ára da malha é d cm² a ára do vazo é d,34 cm², logo tmos ntão uma porcntagm d vazo gual a 3,4% a matrz corrspond a 96,86% do total. Com sso, para ncontrar o novo valor do cofcnt d Posson utlza-s uma rgra d mstura, a quação 4.: 3,4,3 96,86,29 (4.) Para ss xmplo, fo utlzada uma smulação d um caso d tnsão d tração unaxal, sndo a dformação macroscópca x =,2, logo, para a dformação m y, trmos o,2 vzs o novo cofcnt d Posson, chgando a uma dformação y = -,582 consdrando nulo o xy, não lvando m conta a spssura da placa. Foram utlzadas duas malhas, uma com 279 lmntos 6 nós (Malha, mnos rfnada) uma com 639 lmntos 36 nós (Malha 2, mas rfnada). As curvas do matral homognzado, com ss vazo d 3,4%, para cada uma das malhas, são rprsntadas na Fgura 4.2, mostrando a rlação ntr a tnsão ftva d von Mss, q (kn/cm²), a qual é a tnsão qu quantfca o stado d tnsão do matral m cada ponto, a dformação unaxal mprgada, x. E, na Fgura 4.2 é rprsntada também a comparação ntr as duas curvas para ss prmro xmplo. A partr dssa comparação, prcb-s qu ambas as malhas tvram o msmo rsultado, conclundo-s qu sso ocorr dvdo ao fato d qu os procssos dsspatvos stão na matrz, logo não tm mportânca qual malha for utlzada, a rsposta srá smpr a msma, obvamnt procurando-s a objtvdad. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

96 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Fgura 4.2 Comparação ntr as curvas do matral homognzado com vazo, malhas 2 (Autor) Escolhu-s ntão a malha para fazr a l d ncruamnto. Para sso, através do gráfco da curva do matral homognzado, são traçadas parallas, m rlação à nclnação ncal, smulando o dscarrgamnto, ntão, obtêm-s as dformaçõs plástcas para cada ponto, ou sja, a tnsão ftva d von Mss (q) para cada dformação plástca ( p ), como é vsto na Fgura Fgura 4.22 Gráfco smulando o dscarrgamnto, para obtnção das dformaçõs plástcas, malha (Autor) Através dsss dados, utlzando o programa Excl, faz-s um novo gráfco, da l d plastcdad para ss matral homognzado, utlzando os valors das tnsõs ftvas d von Mss (q) as dformaçõs plástcas ncontradas, ntão ncontra-s uma curva s faz uma curva d tndênca, sndo ssa a nossa l, crando um modlo d ncruamnto para ss EVR como s vê na Fgura P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

97 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Fgura 4.23 L d ncruamnto para matral com vazo (Autor) A l d ndurcmnto para ss matral com um vazo corrspondnt à 3,4% é dada pla quação: q = 2366,4 p ² + 268,9 p + 29,567. Um outro modlo proposto, fo d um matral htrogêno, o qual fo utlzado ss msmo EVR d tamanho x m spssura d 8 mm, composto pla matrz com o msmo matral govrnado plo crtéro d Von Mss, porém ao nvés do vazo, fo consdrada uma nclusão lástca no cntro d dâmtro também gual a 2 mm, com módulo d lastcdad gual a 6. MPa cofcnt d Posson gual a,2 a partr dsso, novamnt é fto o cálculo da dformação macroscópca mposta, para dscobrr um novo cofcnt d Posson. A ára da malha contnua sndo d cm² a ára da nclusão, contnua sndo d,34 cm², logo tmos ntão uma porcntagm d nclusão lástca gual a 3,4% a matrz corrspond a 96,86% do total. Com sso, para ncontrar o novo valor do cofcnt d Posson tmos a quação 4.2:,2 3,4,3 96,86,297 (4.2) Mas uma vz fo utlzada uma tnsão d tração unaxal, com a msma dformação macroscópca x =,2, porém, como o novo valor d cofcnt d Posson, a dformação m y, sndo y = -,594. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

98 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz As malhas utlzadas nss sgundo xmplo são: uma com 666 lmntos 366 nós (Malha 3) a outra 268 lmntos 43 nós (Malha 4), suas curvas do matral homognzado são rprsntadas na Fgura 4.24, a comparação ntr las. Fgura 4.24 Comparação ntr as curvas do matral homognzado com nclusão lástca, malhas 3 4 (Autor) Como sprado, para ss caso, como possu a nclusão d outro tpo d matral, a malha mas rfnada (Malha 3), aprsntou um rsultado mas prcso, por sso, para ncontrar a curva ntr a tnsão ftva d von Mss (q) para cada dformação plástca ( p ) do matral, fo utlzada ssa malha. A Fgura 4.25 mostra como fo fto a smulação do dscarrgamnto, para a obtnção das dformaçõs plástcas. Fgura 4.25 Gráfco smulando o dscarrgamnto, para obtnção das dformaçõs plástcas, malha 3 (Autor) E com sss dados, chgamos a nova l d ncruamnto para a mcrostrutura studada, rprsntada na Fgura P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

99 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Fgura 4.26 L d ncruamnto para matral com uma nclusão lástca (Autor) A l d ncruamnto para ss matral htrogêno com 3,4% d nclusão lástca é dada por: q = p ² p + 38,98. Para últma proposta d modlo são utlzadas as msmas malhas proprdads do xmplo 2, porém não adotando uma nclusão lástca, sm uma nclusão plástca d von Mss, lastoplástca prfta, ou sja, adotou-s uma tnsão d scoamnto, gual a 2 MPa, mantndo as msmas porcntagns da nclusão, consquntmnt o msmo ncontrado, as msmas dformaçõs macroscópcas: x =,2, y = -,594 xy =. São utlzadas novamnt as malhas 3 4 suas curvas do matral homognzado são rprsntadas na Fgura P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

100 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Fgura 4.27 Comparação ntr as curvas do matral homognzado com nclusão plástca, malhas 3 4 (Autor) Mas uma vz, como sprado, a malha 3 aprsnta um rsultado mas prcso é la a utlzada para ncontrar a curva ntr a tnsão ftva d von Mss (q) para cada dformação plástca ( p ) do matral, como pod sr vsto na Fgura Fgura 4.28 Gráfco smulando o dscarrgamnto, para obtnção das dformaçõs plástcas, malha 3 (Autor) Prcb-s um comportamnto mas plástco na curva, como sprado, dvdo a prsnça d uma nclusão plástca m uma matrz plástca. A l d ncruamnto para matras htrogênos é rprsntada na Fgura 4.29, para ss matral com 3,4% d nclusão plástca, la é dada pla quação: q = p ² ,9 p + 4,455. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

101 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz Fgura 4.29 L d ncruamnto para matral com uma nclusão plástca (Autor) Por fm, é fta uma comparação ntr sss três rsultados, o modlo d ncruamnto para a malha com o vazo (Modlo ), o para a malha com uma nclusão lástca (Modlo 2) para a malha com uma nclusão plástca (Modlo 3), para mostrar as dfrnças ntr ls, rprsntado na Fgura 4.3. Fgura 4.3 Comparação ntr os três modlos d ndurcmnto (Autor) Prcb-s através do gráfco qu o modlo com a nclusão lástca possu um maor aumnto P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

102 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz... na tnsão d von Mss um comportamnto mnos plástco, como spra-s dss tpo d nclusão. O modlo sm nclusão com a prsnça do vazo quas não aprsnta aumnto na tnsão d von Mss o modlo com nclusão plástca prcb-s um comportamnto vdntmnt plástco. 4.3 INFLUÊNCIA DA DISTRIBUIÇÃO DE INCLUSÕES São aprsntadas quatro dfrnts dstrbuçõs d nclusõs consdrando o procsso d dscolamnto na ntrfac m um EVR d tamanho mm x mm d spssura gual a,2 mm com o númro d lmntos fntos d fratura gual a 78. Em todos os modlos, a fração d volum dos agrgados é a msma, 5% as nclusõs são dstrbuídas d forma alatóra. Então compara-s o fto dssa dstrbução d nclusõs procurando-s vrfcar a rsposta dada pla modlagm utlzada nst trabalho. A Fgura 4.3 aprsnta tas dstrbuçõs das nclusõs para os quatro modlos. Fgura 4.3 EVRs para análs da nfluênca da dstrbução das nclusõs. (a) Modlo. (b) Modlo 2. (c) Modlo 3. (d) Modlo 4. (Autor) Para o modlo fo utlzado um EVR aprsntando uma malha com 238 nós 358 lmntos trangulars. Para o modlo 2 foram utlzados 234 nós 378 lmntos trangulars, para o modlo 3, 2295 nós 2988 lmntos trangulars por fm, para o modlo 4, foram utlzados 2293 nós 2984 lmntos trangulars. A partr dsss modlos foram ralzadas análss consdrando a ntrfac matrz/nclusão modlada por lmntos d fratura contato, submtndo os EVRs a uma dformação macroscópca dêntca para todos os modlos ( x =,77, y = -,77 xy = ), obtndo-s valors d tnsão homognzada na drção x para cada EVR. Val rssaltar qu os parâmtros dos modlos d fartura contato do modlo d von Mss utlzados para modlar a ntrfac, matrz nclusõs são os msmos consdrados no tm 4.. As Fguras 4.32a 4.32b lustram as rspostas obtdas qu são comparadas ntr s com o ntuto d vrfcar a nfluênca da dstrbução das nclusõs nos rsultados. O gráfco rlacona as tnsõs normas homognzadas na drção x com as dformaçõs P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

103 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz... macroscópcas mpostas nas análss. Fgura 4.32a Rlação d tnsão-dformação na drção x para dfrnts modlos d dstrbução d nclusõs (Autor) Fgura 4.332b Zoom da rlação d tnsão-dformação na drção x para dfrnts modlos d dstrbução d nclusõs (Autor) Através dos gráfcos é possívl prcbr qu os quatro modlos aprsntam curvas pratcamnt dêntcas d tnsão-dformação, ndpndntmnt do tpo d dstrbução adotado, confrmando ntão qu a dstrbução não nflunca na rsposta macromcânca homognzada do EVR, stando d acordo com conclusõs ncontradas na ltratura (Quarsma, 26 Km Al-Rub, 2). Além dsso, sgundo Tvrgaard (99), para além da gama d lastcdad ncal, o comportamnto tnsão-dformação global é domnado pla plastcdad da matrz, o qu pod sr constatado com os rsultados aprsntados nas Fgura 4.32a 4.32b. P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

104 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz INFLUÊNCIA DA QUANTIDADE E DISTRIBUIÇÃO DE INCLUSÕES Nsta sção srá avalada a nfluênca da quantdad d nclusõs suas dstrbuçõs sobr o comportamnto do matral m rgm prdomnant d tração, ond o modo I d abrtura é mas vdnt. Essa análs fo fta para 2 grupos d 6 EVRs dfrnts m cada um. Os grupos s dfrm pla dstrbução alatóra das nclusõs, qu aqu são chamados d dstrbução I II. Els possum um aumnto gradatvo da fração volumétrca das nclusõs, ncando com % até 6%. Val rssaltar qu os parâmtros dos modlos d fratura contato do modlo d Von Mss utlzados para modlar a ntrfac, matrz nclusõs são os msmos consdrados no tm 4.. Na dstrbução I, para o modlo com % d nclusão fo utlzado uma malha com 842 nós, 3222 lmntos trangulars 2 lmntos fntos d fratura, para o modlo com 2% d nclusão fo utlzado uma malha com 734 nós, 2786 lmntos trangulars 32 lmntos fntos d fratura. Para o modlo com 3% d nclusão fo utlzado uma malha com 899 nós, 2856 lmntos trangulars 45 lmntos fntos d fratura, para o modlo com 4% d nclusão fo utlzado uma malha com 27 nós, 2932 lmntos trangulars 63 lmntos fntos d fratura, para o modlo com 5% d nclusão fo utlzado uma malha com 2266 nós, 293 lmntos trangulars 78 lmntos fntos d fratura. Por fm, para o modlo com 6% d nclusão fo utlzado uma malha com 246 nós, 34 lmntos trangulars 92 lmntos fntos d fratura. Na dstrbução II, para o modlo com % d nclusão fo utlzado uma malha com 893 nós, 3324 lmntos trangulars 2 lmntos fntos d fratura, para o modlo com 2% d nclusão fo utlzado uma malha com 784 nós, 2886 lmntos trangulars 32 lmntos fntos d fratura. Para o modlo com 3% d nclusão fo utlzado uma malha com 96 nós, 289 lmntos trangulars 45 lmntos fntos d fratura, para o modlo com 4% d nclusão fo utlzado uma malha com 233 nós, 2964 lmntos trangulars 63 lmntos fntos d fratura, para o modlo com 5% d nclusão fo utlzado uma malha com 2346 nós, 39 lmntos trangulars 78 lmntos fntos d fratura. Por fm, para o modlo com 6% d nclusão fo utlzado uma malha com 2477 nós, 372 lmntos trangulars 92 lmntos fntos d fratura. A Fgura 4.33 lustra os 2 EVRs, sndo o prmro grupo (dstrbução I) composto plos EVRs rprsntados nas Fguras 4.33a, 4.33b, 4.33c, 4. 33d, 4. 33, 4. 33f o sgundo grupo P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4

105 D57E7: Estudo do Comportamnto Mcânco d Mcrostruturas d Matras Compóstos com Matrz... 3 (dstrbução II) composto plos EVRs 4. 33g, 4. 33h, 4. 33, 4. 33j, 4. 33k, 4. 33l. Fgura 4.34 EVRs para análs da nfluênca do aumnto d volum d nclusõs. Dstrbução I: (a)%. (b)2%. (c)3%. (d)4%. ()5%. (f)6%. Dstrbução II: (g)%. (h)2%. ()3%. (j)4%. (k)5%. (l)6%. (Autor) Para analsar a nfluênca da quantdad d nclusõs sua dstrbução, os EVRs foram submtdos a uma dformação macroscópca dêntca para os 2 casos, sndo, x =,77, y = -,77 xy =, obtndo-s os valors d tnsõs normas homognzadas na drção x com as dformaçõs macroscópcas mpostas. Os rsultados stão agrupados nas Fguras 4.34a 4.34b. Fgura 4.354a Rlação d tnsão-dformação na drção x para os dfrnts modlos d quantdad dstrbução das nclusõs (Autor) P. V. Q. ANDRADE Capítulo 4