TENSORES 1.1 INTRODUÇÃO

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1 nsors ENSORES. INRODUÇÃO Os lmntos sóldos utlzados m Engnhara Mcânca das Estruturas dsnolm-s num spaço trdmnsonal no qu rspta à sua Gomtra, sndo ncssáro posconar pontos, curas, suprfícs obctos no spaço gométrco trdmnsonal m qu s nsrm, para ss fto utlzam-s sstmas d xos ortogonas d rfrênca, como s rprsnta na fgura.. z P V S O y x Fgura.: Sóldo rdmnsonal.

2 nsors O ponto P da fgura. pod tr a sua posção dntfcada no spaço atraés das coordnadas ( x, x, ) x rfrdas a um sstma d xos coordnados qu têm x orgm O é consttuído por três xos coordnados ortogonas ntr s, um sstma cartsano. Um conunto d pontos pod star contdo sobr uma lnha, sobr uma suprfíc ou num olum trdmnsonal. s lnhas as suprfícs podm sr rlants m trmos gométrcos para dntfcar conuntos d pontos no spaço, por xmplo, socuras. Nst txto são consdrados spaços ctoras trdmnsonas a não sr qu s spcfqu o contráro sss spaços são Eucldanos. s quantdads físcas rlants são por zs, grandzas scalars qu podm sr rprsntadas por caractrs, como a,b,c ou α,β,γ, como é o caso da massa, da dnsdad da tmpratura. Grandzas físcas como a força, a locdad a aclração são m gral rprsntadas por ctors para os quas s usam ltras mnúsculas m ngrto, u,,w ou para as suas componnts a notação ndcal u,, w. s tnsõs, as dformaçõs, tc, são quantdads rprsntadas m gral por tnsors d sgunda ordm, para os quas s usa a smbologa,b,c ou a notação ndcal,b,c... assocada às componnts do tnsor. Os tnsors d ª ordm ao longo do txto são m gral rfrdos smplsmnt como nsors. Para algumas grandzas podm tr d utlzar-s tnsors d ª ordm para a sua rprsntação, sndo a notação utlzada,b,c ou k, Bk, Ck..., ou ntualmnt tnsors d ordm supror á ª para os quas s utlza a notação,b,c. fm d ntroduzr as opraçõs as proprdads dos tnsors qu são frquntmnt utlzadas nos capítulos subsqunts, comça por fazr-s rfrênca nst capítulo aos ctors, passando sgudamnt aos tnsors d ª ordm fnalmnt faz-s uma br rfrênca aos tnsors d ordm supror às funçõs scalars, ctoras tnsoras, assm como aos conctos d gradnt drgênca d tnsors. Introdução fta ao Cálculo nsoral não é xausta mutas fórmulas são aprsntadas sm dmonstração, para um studo mas dtalhado do assunto xstm áros txtos, Das gudo[978],smmonds[994],danlson[997],holzapfl[] rusdll and Noll[99] ntr mutos outros qu podm sr utlzados no rfrdo studo.

3 nsors. VECORES Um ctor é gomtrcamnt um sgmnto d rcta, ao qual fo atrbuído um sntdo no spaço, por xmplo, na fgura., stá rprsntado um ctor, u, st ctor pod dntfcar a posção do ponto B rlatamnt ao ponto, consdrado como a orgm do sstma d rfrênca. Nst caso o ctor u, é um ctor d posção. B u Fgura.: Vctor d posção d B rlatamnt a. Um ctor no spaço Eucldano trdmnsonal pod sr rprsntado plas suas componnts rlatamnt a uma bas d ctors. Dsgnando por {, } a bas, d ctors, o ctor u pod sr scrto como uma combnação lnar dos ctors d bas, ou sa u u + (.) ond + u u u {, u, u } u são as componnts do ctor u, as quas stão rprsntadas gomtrcamnt na fgura.. Em gral consdra-s como bas d ctors no spaço trdmnconal, três ctors untáros ortogonas com a drcção dos xos coordnados com o sntdo posto dsss xos. u u u u Fgura.: Componnts do Vctor u.

4 nsors grandza do ctor pod rprsntar-s, por u u + u + u. No caso d s consdrar um spaço a n dmnsõs, um ctor u pod sr dsgnado por u, n tnsor d ª ordm, ou ctor, não stando ncssaramnt assocado ao spaço gométrco trdmnsonal. S bm qu a maor part das grandzas rlants m Mcânca dos Sóldos sam grandzas rprsntás no spaço trdmnsonal xstm no ntanto aplcaçõs d Mcânca dos Sóldos m qu o uso d tnsors d ª ordm no spaço R n é ncssáro.. OPERÇÕES COM VECORES E ENSORES DE ª ORDEM.. DIÇÃO DE VECORES soma do ctor u com o ctor é o ctor w qu s obtém adconando os dos ctors w u +, ou sa, as componnts do ctor w obtém-s por adção das componnts dos ctors u : w u +, w u +, w u + (.) num spaço a três dmnsõs. subtracção d dos ctors também é possíl procssa-s adconado um dos ctors ao ctor qu s obtém consdrando o outro ctor com o snal ngato. w u + ( ) s componnts do ctor w são: w, w u, w u (.) u adção subtracção d ctors no spaço trdmnsonal pod fazr-s gomtrcamnt, rcorrndo à l do parallogramo, como s rprsnta na fgura.4. adção d ctors é comutata é assocata. u u + u θ u - Fgura.4: dção subtracção d ctors. 4

5 nsors No caso d s consdrarm ctors no spaço a n dmnsõs a adção procssas d modo análogo ao rfrdo sndo as componnts w u +. Podm somar-s α zs o msmo ctor obtndo-s um ctor qu é w α u qu corrspond ao produto d um scalar por um ctor. adção do ctor u com o ctor (-u) conduz ao ctor nulo dsgnado por o... PRODUOS ESCLR, VECORIL E RIPLO DE VECORES opração produto d dos ctors aparc com três formas dstntas qu corrspondm a quantdads físcas dstntas, o chamado produto scalar, o chamado produto ctoral o chamado produto tnsoral, podndo aparcr combnaçõs dsts produtos como, por xmplo o produto scalar trplo. Comça por studar-s o produto scalar, o produto ctoral os produtos trplos. O produto scalar ou produto ntrno d dos ctors costuma rprsntar-s por u é: ( u, ) ( u + u ) u u cos θ (.4) ou no spaço d dmnsão n n n n u u u δ (.5) ond δ é o símbolo d Kronckr, ou sa é tal qu: s δ (.6) s grandza rsultant do produto scalar d dos ctors é uma grandza scalar, no caso d srm dos ctors ortogonas ntr s, o produto scalar, u., tm o alor zro. No caso d s usar a connção dos índcs rptdos, nntada por Enstn, a quação.5 pod scrr-s com a forma: n u u u. Not-s qu a connção d índcs rptdos não s aplca no caso d xstr o snal d adção ntr as quantdads com o índc qu a opração subacnt à connção dos 5

6 nsors índcs rptdos é uma contracção qu é rprsntada m notação smbólca por um ponto ntr os dos ctors. Exmplo. Consdr as xprssõs sgunts xpanda-as tndo m conta a connção dos índcs rptdos. a) u w b) δ Solução: a) Somando prmro m dpos m obtém-s: ( + + )( + ) u u u w w + w b) Somando m para o º mmbro da gualdad obtém-s : δ δ+ δ+ δ. Sndo,obtém-s: δ δ+ δ+ δ δ, para obtém-s δ δ + δ + δ δ, para obtém-s δ δ + δ + δ δ d acordo com as caractrístcas do símbolo d Kronckr. Consdrando um ctor untáro,, cuo módulo é, a procção do ctor u na drcção d tm uma grandza gual ao produto scalar u u cosθ(u,). Dntr as proprdads do produto scalar há qu rfrr o facto d sr uma opração comutata u u. O produto ctoral d dos ctors u é um ctor qu é ortogonal aos ctors u é rprsntado por u. O comprmnto d u é dfndo como sndo gual à ára do parallogramo por ls formado no spaço trdmnsonal, como s rprsnta na fgura.5. 6

7 nsors u u u Fgura.5: Ára Produto Vctoral d dos Vctors. Os ctors bas {, } são tas qu:, (.7) O produto ctoral d dos ctors, pod sr calculado do sgunt modo: ( u ) ( ) u ( ) u (.8) ( u u ) + ( u u ) + ( u u ) u u u u dt (.9) Exmplo. Mostr qu u ( u). Solução: quantdad u é tal qu: u u u ( ) ( u u ) + ( u u ) + ( u u ) (a) 7

8 nsors quantdad u é tal qu: ( ) - ( u) u u [ ( u u ) + ( u u ) + ( u ) ] u ( u u ) + ( u u ) + ( u u ) (b) s xprssõs (a) (b) são dêntcas o qu dmonstra a racdad da gualdad ncal. O produto scalar trplo dos ctors u, w é rprsntado por ( u ). w corrspond ao olum d um parallpípdo, como s rprsnta na fgura.6 tm a grandza: ( ).ww ( u u ) + w ( u u )+ u ( u u ) w w w w dt u u u (.) c / n w. n u u w u Fgura.6: Volum Produto Escalar rplo. rprsntação do produto scalar trplo pod sr smplfcada rcorrndo ao chamado símbolo prmutador qu é rprsntado por ε k, tnsor d ª ordm, o qual pod sr dfndo do sgunt modo: ( ) ε s for (,, k) t k ( ) s for,, k m ordm cíclca com,, k dstntos al qu ou k ou k s for,, k,, k dstntos m ordm não cíclca (.) 8

9 nsors s ordns cíclcas d (,, k) com, k, são (,, ); (,, ) (,, ). s ordns não cíclcas d (,, k) são (,, ); (,, ) (,, ). Os nt st produtos scalars trplos das bass d ctors, são: ( ). ε k k k Exmplo. Mostr qu Solução: Not-s qu εk ε k ε ε pqk δ δ q δqδ p k é p. δ δ δ ( ). k dt δ δ δ δk δk δk δ(δ δk δ δk) δ(δ δk δ δk) + δ(δ δk δ δk) Como s pod rfcar o º mmbro dsta rlação só tm 6 alors possís. O alor d εpqr também pod sr calculado d modo análogo: ε pqr δp δp δp ( ) p q. r dt δq δq δq δr δr δr δp(δq δr δqδr) δp (δqδr δqδr) + δp(δqδr δq δr) Para é: ε k δ(δ δk δ δk) εpqr δp(δq δr δqδr). Consquntmnt para é ε εpqr δ(δ δk δδk) δp(δq δr δqδr) δp (δ q δkr δ r δkq) k Para qualqur é: δp δq δr ε k ε pqr dt δ p δ q δ r δkp δkq δkr δp (δ q δkr δ r δkq) - δq (δ p δkr δ r δkp) + δr (δ p δkq δ q δkp) Fazndo no º mmbro da rlação antror rk obtém-s: 9

10 nsors ε εpqk δ δq δq δ k p p Fazndo uso do símbolo prmutador o produto ctoral u pod sr scrto com a forma u ε k u k No caso dos ctors u srm os ctors bas, o produto ctoral é: εk k como rsulta da dfnção do símbolo prmutador. Os scalars ε k são rfrdos como sndo as componnts do tnsor prmutador fazndo uso dsts símbolos, o produto scalar trplo pod sr rprsntado por: ( ). u wk εk u w (.) Dmonstra-s faclmnt qu o sgundo mmbro da quação. é qualnt ao º mmbro da quação.. Outro produto trplo é o chamado, produto ctoral trplo d três ctors u,,w, rprsntado por u ( w) tndo m conta a dfnção d produto ctoral pod sr calculado a partr das componnts dos ctors u,,w do sgunt modo: u ( w) ε k u ( εmn m wn) k εkεmnu m wn ( km n kn m) m n k δ δ δ δ u w un k wn k um m wk k (u.w) -(u.) w (.) O produto ctoral trplo é m gral não assocato, como s pod constatar. k Exmplo.4 Mostr (u ) w (u.w) -(.w) u. Solução: (u ) w ( u ) wk k u wk ( ) k u wk ε m( k) m

11 nsors k m mkn n u w ε ε ( δk δn δn δk) u wk n uk n wk n un k wk n (u.w) -(.w) u. c.q.d. Est ctor stá contdo no plano u, é m gral dstnto d.... PRODUO ENSORIL DE VECORES O produto tnsoral d dos ctors u é um tnsor d ª ordm, u, st tnsor pod actuar num ctor w. dfnção d produto tnsoral stá ncluída na gualdad sgunt [ u ] w ( w)u (.4) D acordo com a xprssão antror, o tnsor u actua no ctor w, sndo o rsultado um ctor qu tm a drcção sntdo do ctor u cuo comprmnto é gual a ( w)u ou sa o comprmnto orgnal d u multplcado plo produto scalar d w. Por outras palaras, consdrando os spaços ctoras E, d dmnsão p F d dmnsão q (sobr o msmo corpo k), chama-s produto tnsoral dos dos spaços um trcro spaço ctoral sobr k qu é dsgnado por sgunts: E F qu satsfaz as condçõs. cada para d ctor ( u, ) com u E F, stá assocado um lmnto E F, chamado produto tnsoral d u por dsgnado por u, d tal modo qu a) ( + ) u + u b) ( u + u ) u + u c) ( u) λ ( u ) u ( λ ) u (L Dstrbuta) " λ (L ssocata). S {, } for uma bas d ctors d E {, f }... p ctors d F, os pq ctors d dmnsão pq). f... q for uma bas d fα consttum uma bas d E F (spaço

12 nsors s condçõs a) b) c) prmtm-nos conclur qu, com u u f, o lmnto u do produto s pod scrr na forma α α u ( u ) ( f ) u ( f ) α α α α com pq scalars u (,...; α,...q) na bas tnsoral fα. α como componnts do ctor u O produto tnsoral dos ctors d bas do spaço trdmnsonal, rprsnta um conunto d tnsors d ª ordm. Uma z qu o númro d ctors bas é, xstm 9 combnaçõs d produtos tnsoras ntr ls. Os 9 tnsors,, consttum uma bas adquada para rprsntar as componnts d um tnsor d ª ordm tm uma função smlhant aos ctors bas m rlação aos ctors. O produto tnsoral d três ctors dá orgm a um tnsor d ª ordm é: R u w O produto tnsoral é m gral não comutato. Exmplo.5 O tnsor é um tnsor cartsano d ordm. Mostr qu a procção d na bas ortogonal d ctors é dfnda d acordo com a rlação sgunt. ond são as no componnts do tnsor. Solução: O produto, d acordo com a dfnção d tnsor d ª ordm, pod scrr-s com a sgunt forma ( m n) mn D acordo com a dfnção [ u ] w (. w) u o sgundo mmbro da quação antror pod sr altrado

13 nsors ( m n) mn ( n ) m mn nm m δ mn Multplcando scalarmnt por ambos os mmbros da quação antror obtém-s: m m m mδm c.q.d. m m.4 ENSORES.4. ENSORES DE ª ORDEM O tnsor d ª ordm, pod sr xprsso m trmos das componnts rlatas à bas tnsoral, como sndo: [ ] ou tndo m conta a connção dos índcs rptdos [ ]. (.5) Nstas condçõs as quantdads são alors scalars qu dpndm da bas scolhda para a sua rprsntação. part tnsoral d stá lgada à bas d tnsors. À smlhança do qu acontc com os ctors, o tnsor, l própro não dpnd do sstma d coordnadas scolhdo, mas as suas componnts dpndm. O tnsor é compltamnt caractrzado pla sua acção nos três ctors bas. acção do tnsor no ctor bas k é: [ ] k (.6) k. δ pod sr ntroduzdo com a forma O produto [ ] k ( k ) k δ k na quação (.6), obtndo-s: k (.7) O tnsor a actuar num ctor conduz à quação sgunt: [ [ ] ( k k ) k [ ] k (.8) (.9) componnt do ctor é: ( ) (.)

14 nsors Um aspcto rlant rlaconado com a connção dos índcs rptdos tm a r com o facto d o índc rptdo podr sr mudado sm altrar o alor da xprssão corrspondnt ou sa: (.) αβ β α.4. OPERÇÕES COM ENSORES DE ª ORDEM adção d ctors é uma opração á conhcda fo rfrda m.., a soma dos ctors rsultants do produto d um tnsor d ª ordm por um ctor, pod scrr-s com a sgunt forma [ + P] + ou sa P [ + P ] P soma d tnsors + (.) Consquntmnt a soma dos tnsors + P rfrdos à msma bas tnsoral é faclmnt calculada da sgunt forma: [ +P] + P (.) ond P rprsntam, as componnts dos tnsors P rspctamnt. D notar-s qu a opração adção d tnsors à smlhança do qu acontc com a opração d adção d ctors é uma opração comutata. multplcação d um ctor,, por um scalar, α, também é possíl, sndo [ α ] α[ ] ou sa [ ] α α (.4) multplcação por um scalar é uma opração dstrbuta [ + P] α α P α + (.5) O produto scalar d ctors, u com o ctor, u, é um scalar. Esta opração não é comutata, mas xst um procsso d obtr o msmo rsultado qu é transpondo o tnsor trocando a ordm dos ctors, ou sa: u u (.6) s componnts do tnsor transposto são tas qu como s pod dmonstrar. No caso do tnsor sr smétrco o tnsor transposto é gual a. Para 4

15 nsors tnsors smétrcos,, pod dzr-s qu u u, como rsulta do facto d para tnsors smétrcos sr. O produto d dos tnsors é rprsntado por [ P ] pod sr obtdo, consdrando P P [ ] [ ] sndo [ P] Pk [ k ] ( m m ) ( Pk m δkm ) ou sa tndo m conta qu s pod procdr à contracção do índc m, [ ] P Pk k (.7) É prcso notar qu sta opração é m tudo análoga à opração produto d matrzs. O tnsor P é um tnsor d ª ordm é: P Pk k (.8) o qual pod sr obtdo consdrando o produto scalar P u. ( ) u. P u. P (.9) Not-s qu no caso d sr P, o produto é um tnsor smétrco msmo qu o tnsor não sa smétrco. Um tnsor qu é frquntmnt utlzado é o tnsor dntdad I qu tm a proprdad d sr tal qu I para todos os ctors. O tnsor dntdad pod sr calculado m trmos dos ctors bas como sndo, I δ (.) ond as somas m m stão subntnddas. Not-s qu a quação antror pod sr dmonstrada calculando o produto do tnsor I plo ctor bas. norma do tnsor é dsgnada por é um alor não ngato qu é gual à raz quadrada d :. O tnsor, tm um nrso, ( ) ( ), tal qu sndo I (.) Em trmos das componnts do tnsor, sta rlação toma a forma 5

16 nsors k k δ k k δ (.) sndo as componnts d forma como s calculam as componnts as componnts d à consdrada nas opraçõs d Cálculo Matrcal. a partr das componnts é análoga Exmplo.6 Mostr qu o tnsor pod sr consdrado gual à soma d um tnsor smétrco com um tnsor ant-smétrco do sgunt modo: + + Solução: Consdr-s qu a dcomposção é fta d tal modo qu B+C sndo C prtnd-s mostrar qu B é smétrco C ant-smétrco. B B Consquntmnt B é um tnsor smétrco. C C B C Consquntmnt C é um tnsor ant-smétrco. + B O traço d um tnsor, é um scalar dsgnado por tr qu é gual à soma dos lmntos da dagonal da forma matrcal do tnsor d ª ordm, tr + +. (.) Em notação ndcal a contracção sgnfca, dntfcar dos índcs somar consdrando os índcs mudos. Em notação smbólca é caractrzada por um ponto ntr os dos ctors. lém da contracção smpls á rfrda, é possíl consdrar a contracção dupla d dos tnsors B, caractrzada por dos pontos, da qual rsulta um scalar. contracção dupla pod sr dfnda m trmos do traço do sgunt modo: 6

17 nsors : B tr( B) tr( B ) tr( B ) tr( B ) B : ou B B (.4) s proprdads da contracção dupla são: I:tr:I : (BC) (B ) : C ( : (u ) u (u C) ) : (u ) : (w y) ( u w)( y) : B ) : (k l) ( k)( ) δk δ l (.5) ( l as quas podm sr dmonstradas. Exmplo.7 Mostr a partr da dfnção (.4) qu: a) ( B) B b) ( ) ( ) Solução: a) Multplcando B à squrda por B B B B I B B B I consquntmnt ( B) B. b) ( ) ( ) I Consquntmnt ( ) ( ) I, obtém-s:.4. ENSORES DE ORDEM SUPERIOR À ª Um tnsor cartsano d ordm n pod scrr-s com a forma... n... (.6) n Um tnsor d ordm n num spaço cartsano tm n componnts... n, como s pod faclmnt constatar por obsração d.6. No caso partcular d n sr gual a 7

18 nsors zro, obtém-s um scalar. Um tnsor d ª ordm é um ctor tm componnts, tc. O tnsor d ª ordm no spaço cartsano tm 7 componnts pod sr scrto com a sgunt forma: k sndo k as componnts d. (.7) k O tnsor prmutador, εk rfrdo antrormnt é um xmplo d um tnsor d ª ordm. Os conctos noldos na dfnção do tnsor prmutador d ª ordm podm sr utlzados para dfnr o tnsor prmutador d ordm n, E,,,..., n s for (,,,..., n) m ordm cíclca dstntos s for (,,,..., ) tal qu ou / ou... s for (,,,..., n) dstntos m ordm não cíclca n n n (.8) Outro xmplo partcular d um tnsor d ª ordm é o chamado produto trádco d três ctors u,,w, rprsntado por u w, com as caractrístcas sgunts (u ) wu w (u w)x(w x)u (u w):(x y)( x)(w y)u (u w):i( w)u (.9) contracção dupla d um tnsor d ªordm, com um tnsor d ª ordm, B produz um ctor, como s pod rfcar: ( ) ( ) B k B k : : lm k Blm ( l )( k m ) k Blm l km δ k Bk δ l m (.4) Os tnsors cartsanos d 4ª ordm qu podm sr rprsntados por,b,c, têm 8 componnts podm xprmr-s m trmos dos ctors bas cartsanos do sgunt modo k l kl (.4) 8

19 nsors O produto tnsoral d dos tnsors d ª ordm é um tnsor d 4ª ordm pod rprsntar-s ss produto m notação smbólca como C B a qu corrspond a notação ndcal Ckl Bkl. s opraçõs d contracção smpls dupla consdradas para os tnsors d ª ordm podm sr utlzadas para tnsors d ordm supror à ª, tornando-s também possíl contracçõs d ordm supror..5 MUDNÇ DE BSE Consdr-s dos sstmas d coordnadas cartsanas, o º com uma bas d ctors {, } o º com uma bas d ctors ortogonal { g, g g },,. Um ctor no spaço pod sr conhcdo m trmos das suas componnts numa bas ou noutra bas ortonormada, como s mostra na fgura.7. g g g Fgura.7: Componnts do Vctor m Sstmas d Coordnadas Dstntas. ' g (.4) rlação ntr os dos conuntos d componnts pod sr obtda consdrando o produto scalar do ctor por uma das bass d ctors, por xmplo,, ou sa: 9

20 nsors ' ' (. ) ou Q g (.4) tndo m conta qu (. ) δ. Os produtos scalars ( g ) corrspondm a no alors scalars, as componnts do tnsor d transformação ou d mudança d coordnadas, Q, qu são: Q g (.44) os scalars Q são os cosnos dos ângulos ntr os no pars d ctors bas. s componnts do tnsor d sgunda ordm,, podm sr stablcdas m duas bass d ctors ortonormadas d modo análogo ao consdrado para o ctor, ou sa: ' [ g g ] [ ] (.45) ' ond é a componnt do tnsor na bas tnsoral [ g ] componnt na bas d tnsors [ ] sstmas d coordnadas pod sr obtda, calculando o produto modo g m n mn ( g )( g ) m n g é a. rlação ntr as componnts nos dos g. g m n, do sgunt g ' (.46) Dsgnando por Q g., a formula antror pod sr scrta com a sgunt forma ' mn Q Q (.47) m n Portanto um tnsor d ª ordm rcorr a um tnsor d transformação, Q, com componnts Q para fto d mudança d xos, um tnsor d ª ordm rcorr a dos tnsors d transformação. No caso d s tratar duma transformação ortogonal, os tnsors d transformação têm componnts tas qu Q k Q k (.48) δ Q k Q k δ Estas quaçõs podm sr faclmnt dmonstradas rcorrndo à dfnção d Q.

21 nsors Exmplo.8. O sstma d xos x, x, x O é obtdo a partr do sstma d xos x, x, x O consdrando uma rotação d 45º no sntdo contráro ao dos pontros do rlógo m torno do xo x. Dtrmn: a) as componnts do ctor + + no sstma d xos x, x, x O b) as componnts do tnsor 4 4 no sstma d xos x, x, x O. Solução a)s componnts do tnsor d transformação são: / / / Consquntmnt: / / / b)o tnsor é: / / / 4 4 / / / 4 4

22 nsors Os tnsors d ª ordm têm proprdads qu não dpndm da scolha das bass m qu stão dfndos qu são os chamados narants dos tnsors. Os narants dos tnsors são tas qu: ( Q, Q, ) f ( ) f k kl l (.49) sndo f uma função narant do tnsor. Os narants do tnsor,, consdrados fundamntas são: I II (.5) III k k Uma gnralzação para o caso d tnsors d ordm supror à ª, da l d transformação d tnsors d um sstma d xos noutro sstma d xos é: Q ' mn...p m Q n...q pk...k sndo o númro d tnsors d transformação gual à ordm do tnsor..6. VLORES PRÓPRIOS DE ENSORES SIMÉRICOS DE ª ORDEM O produto ntrno d um tnsor por um ctor u u ou u (.5) pod sr sto como uma transformação lnar pla qual o ctor u é transformado atraés do tnsor num ctor magm num spaço Eucldano trdmnsonal. No caso partcular do tnsor sr smétrco, com componnts ras, dfndo m cada ponto do spaço, assocado a cada drcção no spaço, dfnda plo ctor untáro n num ponto, xst um ctor magm tal qu.n ou n (.5) No caso do ctor sr um múltplo scalar d n, λn, ntão a quação.5 toma a forma.n λ n ou n λ n (.5) sndo a drcção n chamada d drcção prncpal ou ctor própro d o scalar λ chamado d alor prncpal ou alor própro d. s quaçõs.5 consttum um sstma d quaçõs a qu s pod dar a forma

23 nsors (-λ I ) n ou ( λ δ ) n (.54) Est sstma homogéno d quaçõs para as ncógntas n λ, tm uma solução não tral s o dtrmnant dos cofcnts for nulo, sto é -λ I ou λ δ (.55) por xpansão do qual s obtém uma quação cúbca m λ, conhcda por quação caractrístca qu tm a forma λ I λ + II λ III (.56) ond os cofcnts d λ podm xprmr-s do sgunt modo m trmos das componnts do tnsor I tr II III [( tr ) tr( )] [ ] (.57) dt ε k k sndo stas quantdads conhcdas como º, º º narants scalars prncpas do tnsor, rspctamnt. s raízs da quação.56 são ras dsd qu o tnsor sa smétrco com componnts ras. O cálculo dos ctors prncpas faz-s rcorrndo ás quaçõs.54 á condção d sr n n. É possíl dmonstrar qu os ctors prncpas são mutuamnt ortogonas. Qualqur tnsor smétrco pod sr rprsntado plos sus alors própros λ plos ctors própros corrspondnts qu formam uma bas ortogonal n. ndo m conta qu I n n qu I, sndo I o tnsor dntdad obtém-s a chamada dcomposção spctral d qu é I ( n) n λ n n (.58) O tnsor na bas das drcçõs prncpas é um tnsor dagonal, cuos alors dagonas são os alors própros d, ou sa ' n n n λ n λ δ Est rsultado pod sr obtdo drctamnt da dcomposção spctral.58.

24 nsors Exmplo.9. Dtrmn os alors própros ctors própros do tnsor,, cuas componnts são: Solução: Os narants do tnsor, são: I tr( ) II [( tr ) + tr ( ) ] 9 III dt 99 quação caractrístca toma a forma: λ λ 9λ 99 Rsolndo obtém-s: λ 6.8; λ 4.8; λ. qu são os alors prncpas do tnsor. s quaçõs qu prmtm a obtnção dos ctors própros são: ( λ ) n+ 5n 5 n+ ( 4 λ ) n λ n ( ) Para cada um dos alors d λ arbtra-s um dos alors d n rsol-s o sstma d quaçõs para obtr os rstants alors d n sgudamnt normalzam-s os ctors obtdos. Os ctors própros são: ; ; 4

25 nsors.7 CMPOS ESCLRES, CMPOS VECORIIS E CMPOS ENSORIIS Um campo corrspond ssncalmnt a uma função qu é dfnda num domíno contínuo. Uma função tnsoral é uma função cuos argumntos são uma ou mas arás tnsoras cuos alors são scalars, ctors ou tnsors. Um campo scalar stá assocado a uma função f ( x) cuo alor para um ponto x do domíno contínuo é um scalar, um campo ctoral stá assocado a um função cuo alor num ponto é um ctor um campo tnsoral stá assocado a uma função cuo alor num ponto é um tnsor. s funçõs φ(), u() () são xmplos d funçõs scalars, ctoras tnsoras d um tnsor arál. O tnsor arál pod sr sto duma forma gral pod sr um scalar, um ctor ou um tnsor d ordm supror. Um campo scalar f ( x) pod sr dsnoldo m sér d aylor do sgunt modo f f ( x + dx) f ( x) + df + o(dx) com df x x d O trmo o(dx) tnd para zro quando dx tnd para zro. quantdad df pod sr scrta com a sgunt forma ( x) f df dx f ( x) dx gradx f ( x) dx (.59) x grandza f ( x) assocada à função scalar é o chamado gradnt o qual dá uma ndcação do modo como o campo scalar ara quando s muda d um ponto para outro do campo. O gradnt d uma função f ( x) é um campo ctoral. O gradnt é um ctor qu tm um sntdo tal qu ndca a drcção sgundo a qual o campo stá a mudar mas rapdamnt. dmnsão do ctor f ( x) mudança do campo scalar m dtrmnada drcção. ndca a locdad d O gradnt d um campo scalar φ() d arál tnsoral pod sr obtdo consdrando o dsnolmnto m sér d aylor d φ(+d), ou sa φ ( + d) φ( ) + dφ + o( d) [ d] φ( ) φ( ) φ (.6) sndo d : d tr ( ) d tr ( grad φ( ) ) 5

26 nsors Um campo ctoral é uma função ctoral ( x) qu dfn um ctor m cada ponto do domíno. s opraçõs d multplcação d ctors podm sr consdradas num campo ctoral, nomadamnt os produtos scalar, ctoral tnsoral. ssocado a uma função ctoral pod dfnr-s o ctor gradnt d um campo ctoral do sgunt modo gradx (.6) x cuas componnts cartsanas são: u u u x x x u u u grad x x x (.6) x u u u x x x No caso do campo scalar a quantfcação da mudança pod sr fta por consdração do gradnt, no caso do campo ctoral a quantfcação da mudança pod sr fta por consdração da chamada drgênca do ctor, a qual é dfnda como sndo lm d( x) d.n s (.6) V V S ond ds é um lmnto d ára d dmnsõs nfntésmos sobr a suprfíc do domíno d olum V. n ( x) S V Fgura.8: Sóldo no spaço. 6

27 nsors grandza S. n ds é por zs rfrda como sndo o fluxo. d É possíl dmonstrar qu: ( x) ( x) tr(gradx ) (.64) x x O chamado torma da drgênca traduz-s na gualdad sgunt: d dv S. n d (.65) No caso dos campos tnsoras d arál x, a drgênca d um campo tnsoral é: d (.66) x x k k ( x) ( k) O torma da drgênca para um campo tnsoral é traduzdo pla sgunt quação, ou sa: d d n (.67) S ds lgumas das grandzas rlants m Mcânca dos Sóldos são grandzas qu podm nclur-s no tpo d grandzas rprsntás por funçõs scalars, ctoras tnsoras. PROBLEMS PROPOSOS. Mostr qu (us o concto d produto scalar). Calcul o alor das sgunts xprssõs a) δ b) δ δ c). sndo um ctor untáro d) δ ) k δ k δ f) εk δ k u u 7

28 nsors. Os alors têm componnts num msmo sstma d xos qu são: (,, ) (,, ). Calcul o comportamnto dos ctors o ângulo qu formam ntr s. Dtrmn a ára do parallogramo formado plos ctors. 4. Mostr qu u u ( ). 5. Mostr qu ( u + β) w α ( u w) + β( w) 6. Mostr qu o tnsor 7. Mostr qu u. u. α. é um tnsor smétrco. 8. Mostr qu a b a o. 9. Mostr qu u. u + u. Mostr qu o produto scalar trplo é ant-smétrco ou sa qu ( u ). w ( u). w. Mostr qu [ u ] u (Not qu a. b b a ). Mostr qu dt εk k. Mostr qu dt( B ) dt. dt B 4. Consdr dos sstmas d xos cartsanos um com bas {,, } com bas {, g g } Q g, o outro g tal qu a matrz d transformação. é consttuída plos cosnos drctos dos ângulos formados plos ctors bas a) Mostr qu g Q qu Q g g. b) Pod dfnr-s um tnsor d rotação Q tal qu Q g. Mostr qu st tnsor pod sr dfndo do sgunt modo Q Q [ g g ] são as componnts do tnsor na bas [ g g ] xprmr-s com a forma Q [ ] g qu Q. Mostr qu o tnsor pod c) Mostr qu o produto Q Q I, qu Q é um tnsor ortogonal. 5. Calcul o tnsor no caso do tnsor tr as componnts sgunts 8

29 nsors 6. Dtrmn a rlação ntr os alors prncpas d C E no caso d sr E 7. Dtrmn os alors prncpas os ctors prncpas do tnsor smétrco (C-I) 5 8. Consdr a função ctoral ( x ) u u + u u + u u gradnt calcul o a drgênca do campo ctoral, d. 9. Consdr as funçõs ctoras u ( x), ( x) w ( x) a função tnsoral ( x) Calcul os alors sgunts a) ( u. ) b) d ( u ) c) ( u ) d) d ( ) ) ( u. ) d) ( ) g) d ( u ) h) d [( u ) w] ) [( u ). w]. BIBLIOGRFI Das gudo, F..[978] "Int. à lg. Lnar Gomtra nalítca", Lrara Escolar Edtora, Lsboa. Smmonds, J.G. [98] " brf on tnsor analyss", Sprngr-Vrlag, Nw York. Danlson, D..[997], "Vctors and nsors n Engnrng and Physcs", nd dn, ddson-wsly Publshng Company, Radng. Holzapfl, G..[], "Nonlnar Sold Mchancs", John Wlly&Sons. rusdll, C. and Noll W. [99], "h Nonlnar Fld hors of Mchancs", nd dn, Sprngr Vrlag, Brln. 9